Conteúdos de Matemática – Supletivo – Ensino Fundamental 1

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Conteúdos de Matemática – Supletivo – Ensino Fundamental
1) Sistema de Numeração Decimal
Um sistema de numeração é um conjunto de
princípios constituindo o artifício lógico de
classificação em grupos e subgrupos das
unidades que formam os números. É um
sistema de numeração de posição que utiliza
a base dez, isto significa que, dez unidades
de uma ordem qualquer formam uma de
ordem imediatamente superior. Depois das
ordens, as unidades constitutivas dos
números são agrupadas em classes, em que
cada classe tem três ordens, em que cada
ordem tem uma denominação especial, sendo
idênticas às mesmas ordens de outras
classes.
Em 3.742.756, temos um número constituído
de 7 algarismos, mas este número possui 6
algarismos distintos (diferentes). Como é
constituído por 7 algarismos temos, 7 ordens
(6 unidades, 5 dezenas, 7 centenas, 2
unidades de milhar, 4 dezenas de milhar, 7
centenas de milhar, 3 unidades de milhão) e
3 classes (simples, milhar, milhão).
Pode ser escrito na forma decomposta, como:
3 x 1.000.000 + 7 x 100.000 + 4 x 10.000 + 2
x 1.000 + 7 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1.
2) Conjuntos Numéricos
(A) Números Naturais:
Números Naturais, como o próprio nome
sugere, são números utilizados na contagem
de elementos, números positivos, inteiros,
representados da seguinte forma:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
As operações básicas com números
naturais são:
- Adição: 74 + 28 + 37 + 15 = 154.
74, 28, 37, 15 são as parcelas e 154 é a soma
ou total.
- Subtração: 27 728 – 14 324 = 13 404.
27 728 é o minuendo, 14 324 é subtraendo e
13 404 é a diferença.
- Multiplicação: 327 . 3 = 981.
327 e 3 são os fatores e 981 é o produto.
- Divisão: Dividendo (D) | Divisor (d)
Resto (R)
Quociente (Q)
Assim, temos que D = d . Q + R, também
chamada de prova real.
Divisão Exata: Quando o Resto é igual a
“zero”, por exemplo: 48 : 3 = 16.
Divisão não-exata: Quando o “resto” é
diferente de “zero”, por exemplo, 15 : 6 = 2 e
resta 3.
(B) Números Inteiros:
Esse conjunto é formado pelos números
naturais e também por seus simétricos.
Dois números são simétricos quando sua
soma é zero.
Z = {..., – 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}
- Adição:
1) Números de mesmo sinal:
(+ 22) + (+ 4) = + 22 + 4 = + 26 ou 26.
(– 8) + (– 5) = – 8 – 5 = –13.
2) Números de sinais contrários:
(+ 13) + (– 5) = + 13 – 5 = + 8.
(– 8) + (+ 2) = – 8 + 2 = – 6.
- Subtração:
Nas operações onde o sinal negativo precede
os parênteses, podemos raciocinar direto, ou
seja, – (+ 3) é o oposto de (+ 3) que é – 3 e
– (– 3) é o oposto de (– 3) que é +3.
a) (+ 200) – (+ 120) = + 200 – 120 = + 80.
b) (+ 30) – (– 18) = + 30 + 18 = + 48 ou 48.
c) (– 19) – (+ 12) = – 19 – 12 = – 31.
d) (– 23) – (– 10) = – 23 + 10 = – 13.
e) (– 15) – (– 24) = – 15 + 24 = + 9 ou 9.
- Multiplicação:
1) Dois fatores de mesmo sinal:
(+ 3) x (+ 4) = + 12 ou 12.
(– 8) x (– 5) = + 40 ou 40.
2) Dois fatores de sinais contrários:
(+ 3) x (– 5) = – 15.
(– 8) x (+ 2) = – 16.
- Divisão:
Como a divisão é a operação inversa da
multiplicação, segue a mesma observação dos
sinais.
(– 42) : (– 7) = + 6 ou 6.
(+ 39) : (+ 13) = + 3 ou 3.
(+ 12) : (– 6) = – 2.
(– 15) : (+ 3) = – 5.
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- Potenciação:
É o caso particular da “multiplicação” quando
os fatores são todos iguais.
3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243, ou seja, 35 = 243.
Em 35 = 243, temos, 3 é a base, 5 é o
expoente e 243 é a potência.
1) Bases positivas:
(+ 3)2 = (+ 3) . (+ 3) = 9 ou 9.
(+ 5)3 = + (5 . 5 . 5) = + 125 ou 125.
2) Bases negativas:
(– 6)2 = (– 6) . (– 6) = + 36 ou 36.
(–2)3 = (– 2) . (– 2) . (– 2) = – 8.
Propriedades da Potenciação:
1) (+ 2)3 . (+ 2)5 = (+ 2)3 + 5 = (+ 2)8.
2) (+ 5)7 : (+ 5)4 = (+ 5)7 – 4 = (+ 5)3.
3) (43)2 = 43 . 2 = 46.
4) (2 . 52)3 = 21.3 . 52 . 3 = 23 . 56.
Observações:
1) (base)0 = 1, por exemplo, (– 5)0 = 1.
2) (base)1 = base, por exemplo, (– 5)1 = – 5.
3)
 
3 2
=
5
5 2 25
=
.
9
3
Números Primos:
Todo o número natural que é divisível por ele
mesmo e pro 1, é chamado de número
primo. Exemplo: 2 , 3 , 7 , 11 , 97 , 101 , ...
Obs: O número 2 é o único primo par.
Múltiplos: M(5) = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... }
Divisores: D(15) = { 1, 3, 5, 15 }
Mínimo Múltiplo Comum (MMC):
MMC é o menor múltiplo comum aos valores
em questão.
M(6) = { 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , ... }
M(8) = { 0 , 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , 56 , ... }
Logo M.M.C (6 , 8) = 24
Máximo Divisor Comum (MDC):
MDC é o maior divisor comum aos valores
em questão.
D(30) = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 }
D(40) = { 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 20 , 40 }
Logo M.D.C ( 30 , 40 ) = 10
(C) Números Racionais (frações):
Número racional é aquele que pode ser
representado por meio de um quociente
de dois números inteiros (∈ Z ). Ou seja,
número racional é todo número que pode ser
escrito da seguinte forma:
a
| a ∈ Z, b ∈ Z e b  zero}
b
Simplificação de números racionais:
Q={
Divida numerador (em cima) e denominador
(em baixo) pelo mesmo número (MDC)
obtendo uma fração equivalente com termos
menores.
20 20  4 5


Exemplo:
32 32  4 8
Operações com números racionais:
Adição e subtração
Calcula-se o m.m.c. dos denominadores,
divide-se o m.m.c. pelo denominador de cada
fração e multiplica-se pelos respectivos
numeradores.
Ou poderá torná-las equivalentes:
Exemplo:
3 2 9  8 17
 

, ou seja,
4 3
12
12
3 2 9
8 17
 


4 3 12
12 12
5 3 25  6 19
 

2 5
10
10
Multiplicação
Multiplica-se numerador com numerador e
denominador com denominador
3 2 6 3

Exemplo:  
2 7 14 7
Divisão
Conserva-se a primeira fração e multiplica
pelo inverso da segunda.
3 5 3 4 12 6

Exemplo:    
2 4 2 5 10 5
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3) Álgebra
(A) Valor Numérico (VN):
Valor numérico é o valor que a expressão
algébrica quando suas variáveis (letras)
assumem valores dados.
Determine o valor numérico da expressão a2
+ 3ab – 4 c, quando a = –3, b = 2 e c = 5.
VN = a2 + 3ab – 4 c
VN = (–3)2 + 3 . (–3). 2 – 4 . 5
VN = + 9 – 18 – 20  VN = – 29.
(B) Operações com polinômios:
a) Adição e Subtração: reduzir termos
semelhantes (mesma parte literal), operar os
coeficientes numéricos e manter a parte
literal.
2x + 3xy + 2 – 6xy + 8x – 1 =
10x – 3xy + 1.
b) Multiplicação: determinar o produto dos
coeficientes numéricos, manter as variáveis e
somar os respectivos expoentes.
1) (– 4x3y5) . (–3 y2v) = + 12x3y7v.
2) ( 2x + 3) . ( 3x – 1) =
2x . ( 3x – 1) + 3 . ( 3x – 1 ) =
6x2 – 2x + 9x – 3 = 6x2 + 7x – 3.
c) Divisão: determinar o quociente dos
coeficientes numéricos, manter as variáveis e
subtrair os respectivos expoentes.
(–16x4y5 z) : (+ 8x y2 ) = – 2x3y3z.
(C) Fatoração:
- Fator comum em evidência:
2x2 + 6xy = 2x . ( x + 3y ).
- Diferença de dois quadrados:
16m2 – 49 = ( 4m + 7 ) . ( 4m – 7 ).
- Trinômio Quadrado Perfeito:
9x2 + 12 xy3 + 4y6 = ( 3x + 2x3 )2.
- Agrupamento:
ax + 2ay + 2bx + 4by =
a.( x + 2y ) + 2b . ( x + 2y ) =
( x + 2y ) . ( a + 2b )
(D) Produto Notável:
- Quadrado da soma de dois termos:
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
- Quadrado da diferença de dois termos:
( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
- Produto da soma pela diferença de dois
termos:
( a + b ) . ( a – b ) = a 2 – b2
4) Equações e Sistemas
Equação é toda sentença matemática que
representa uma igualdade e na qual existe
uma ou mais incógnitas (letras) que indicam
números desconhecidos.
(A) Equações do 1º grau:
É toda equação do tipo ax + b = 0 com a ≠ 0
e também a e b  IR (reais).
A solução é dada por x = – b/a.
Exemplo:
3x  6  x  2
3x  x  2  6
2x  8
8
x
2
x4
S={4}
(B) Equações do 2º grau:
É toda equação do tipo ax2 + bx + c = 0 com
a ≠ 0 e também a, b e c  IR. As equações do
2º grau são classificadas em completas ou
incompletas.
- Equações completas:
x2 + 6x + 9 = 0 e 3x2 – 7x + 4 = 0
- Equações incompletas:
8x2 = 0; x2 – 4x = 0 e 2x2 – 50 = 0
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A solução da equação do 2º grau é dada pela
Fórmula de Baskara definida por:
b 
x=
, com  (delta) = b2 – 4.a.c
2a
 (delta) chamado de discriminante, está
relacionado com a solução da equação
(indica o número de raízes da solução).
- Quando  > 0  x’  x” (2 raízes distintas)
- Quando  = 0  x’ = x” (2 raízes iguais)
- Quando  < 0  x’ e x”  IR (não tem raiz)
Algumas equações do 2º grau podem ter sua
solução através do cálculo mental, ou seja,
pela “soma” e o “produto” das raízes.
b
c
S=
e
P=
a
a
(C) Sistema de Equações do 1ºgrau:
 x  2y  5
Exemplo: 
2 x  2 y  2
Método da adição
 x  2y  5

2 x  2 y  2
  
3x  0  3
3x  3
x 1
x  2y  5
1 2 y  5
2y  4
y2
S = { ( 1 , 2) }
Método da substituição
 x  2y  5

2 x  2 y  2
x  2y  5
x  5  2y
2 x  2 y  2
2.(5  2 y)  2 y  2
10  4 y  2 y  2
 6 y  2  10
 6 y  12 .(1)
6 y  12
y2
S = { ( 1 , 2) }
x  5  2y
x  5  2.(2)
x  54
x 1
5) Grandezas Proporcionais
Razão
Sendo x e y dois números racionais,
com
y  0 dizemos que a razão de x para y é o
x
quociente .
y
Exemplo: A razão de 40 para certo número é
8. Qual número é esse?
40
40
 8  8x = 40  x =
x=5
x
8
Proporção
São duas razões que apresentam como
resultado o mesmo valor.
Exemplo: Em um determinado posto de
gasolina oferece-se um desconto de 3 reais
para cada 15 litros de gasolina. Se um
motorista colocar 90 litros, que desconto
obterá?
270
3
x

 15.x = 3 . 90  x =
15 90
15
 x = 18 reais
Porcentagem
Quando a razão de duas grandezas é
designada por fração cujo denominador é
100, dá-se o nome de taxa de porcentagem.
Exemplo: Na venda de uma televisão o
vendedor ganhou 3% de comissão, sabendo
que a televisão foi vendida por 1400 reais.
Qual foi a comissão do vendedor?
3
4200
 1400 
 42 reais.
3% de 1400 =
100
100
Exemplo: Com uma lata de tinta é possível
pintar 50 m2 de parede. Para pintar uma
parede de 72 m2, gasta-se uma lata e mais
uma parte de uma segunda lata. A parte que
se gasta da segunda lata, em porcentagem,
é:
50 m2  100% de uma lata
(72  50) m2  x % de uma lata
50 . x  100 . 22
2200
x
 44
50
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Regra de Três
Números diretamente proporcionais
Exemplo:
Dividindo 70 em partes proporcionais a 2, 3 e
5, a soma entre a menor e a maior parte é:
Resolução: Os números proporcionais a 2 , 3
e 5, podem ser representados por 2x, 3x e 5x
2 x  3x  5x  70
Logo: 10 x  70
x7
2.7  14
Então: 3.7  21 e 14 + 35 = 49.
5.7  35
Regra de três simples
È um processo utilizado para resolver
problemas com duas grandezas.
Exemplo: Uma empresa possui 6
empregados que produzem por mês 1600
peças. Se forem contratados mais 3
empregados quantas produzirão?
Nº de empregados
Nº de peças
6

1600
9

x
14400
(D)
6. x = 9 . 1600  x 
6
 x = 2400 peças.
Regra de três composta
È um processo utilizado para resolver
problemas com três ou mais grandezas.
Exemplo: uma máquina, trabalhando 8 horas
por dia, consegue produzir 16 unidades de
determinado material em 20 dias. Determine
quantas horas por dia deverá trabalhar para
produzir 36 unidades em 40 dias.
Unidades
Dias
Horas/dia
16
20
8
36
40
x
(D)
(I)
8 16 40

  64.x = 72 . 8
x 36 20
576
 9  x = 9 horas por dia.
x=
64
6) SISTEMAS DE MEDIDAS E GEOMETRIA
Geometria Plana
Sistema legal de medidas
 comprimento
Km hm
dam m
dm
cm
mm
 massa
Kg
hg
dag g
dg
cg
mg
 capacidade
Kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
 tempo
Hora (h)
Minutos (min) Segundos (seg)
Radicais: K Kilo h hecto
da deca
d deci
c centi
m mili
Figuras Planas
Perímetro:
Calcular o perímetro (P) da figura é
determinar a soma de todas as medidas de
seus lados.
Exemplos: O perímetro de um paralelogramo
de lados x e 2x é igual a 60 cm. Determine
a medida de seus lados.
2x
x + 2x + x + 2x = 60
x
x
6x = 60
2x
= 10 e 10 cm.
- A medida dos lados são 20 xcm
Área:
Calcular a área (A) da figura é determinar o
valor da medida da superfície da figura. O
cálculo da área depende da figura plana em
questão, veja:
bh
2
Dd
Losângo:
2
Triângulo:
Retângulo: b . h
Quadrado: L2
Paralelogramo: b . h
Trapézio:
B  b   h
2
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Principais Ângulos
Teorema de Tales:
a) ângulo agudo: cuja medida é menor que
90º.
b) ângulo obtuso: cuja medida é maior do que
90º.
c) ângulo reto: cuja medida é igual a 90º.
d) ângulos congruentes: são ângulos que
possuem a mesma medida.
e) ângulos complementares: são ângulos cuja
a soma de suas medidas é igual a 90º.
f) ângulos suplementares: são ângulos cuja a
soma de suas medidas é igual a 180º.
Um feixe de retas paralelas (conjunto de três
ou mais retas paralelas em um plano)
determina sobre duas transversais quaisquer,
segmentos proporcionais.
Exemplo: Observe o feixe de retas paralelas
abaixo e determine o valor para “x”:
- Triângulo: ângulos internos:
Todo triângulo possui a soma das medidas de
seus ângulos é igual a 180º.
Exemplo:
Os ângulos internos de um
triângulo são proporcionais a 2, 3 e 4
respectivamente. A medida do maior deles é?
2x
3x
4x
A soma dos ângulos internos de um triângulo
é 180º, logo:
2x + 3x + 4x = 180º
9x = 180º  x = 20º
Assim,
12 cm
2x cm
21 cm
3x + 5 cm
2x
12
 são proporcionais

(3x  5)
21
 (3x + 5) . 12 = 2x . 21
 36x + 60 = 42x
 36x – 42x = – 60
 –6x = –60
 x = 10
Teorema de Pitágoras:
Em um triângulo retângulo (ângulo mede 90º)
é possivel aplicar o teorema de Pitágoras, ou
seja, o quadrado da hipotenusa (maior lado) é
igual a soma dos quadrados dos catetos (os
outros lados).
 (Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2
 a 2 = b 2 + c2
Exemplo: Determine o valor de “x” na figura
40
50 cm
30 cm
60
80
x cm
O maior ângulo deste triângulo é 80º.




a 2 = b2 + c 2
502 = 302 + x2
2500 = 900 + x2
2500 – 900 = x2
x2 = 1600  x =
1600 = 40.