Estatística Aplicada (Slides)

MBA EM GESTÃO FINANCEIRA E
CONTROLADORIA
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DA MAT.
FINANCEIRA E ESTATÍSTICA APLICADA
APRESENTAÇÃO DO PROFESSOR
Acadêmico:
• Graduado em Análise de Sistemas pelo Centro de Estudos
Superiores de Maceió CESMAC (2001), possui especialização em
Gestão Estratégica de Sistemas de Informação pela Faculdade de
Alagoas - FAL (2006). Mestrando em Ciências da Computação –
UFPE(2013...). Atualmente é Professor Especialista Tempo Integral
da Faculdade Estácio de Alagoas - FAL.
Profissional:
• Administrador de Redes
• Gerente de Projetos de TI
• Consultor em TI
Apresentação da disciplina (2ª parte)
• Disciplina: Fundamento da Matemática Financeira e
ESTATÍSTICA APLICADA Carga horária: 40h*
• Datas das Aulas: 20/02 e 27/02.
• EMENTA: Estatística descritiva; Probabilidade;
Distribuições de Probabilidades; Estimação e Intervalos de
Confiança; Testes de Hipóteses; Correlação e Regressão;
Coleta de Dados e Métodos de Amostragem.
• Objetivo Geral:
– Apresentar conceitos fundamentais de Estatística Aplicada.
Objetivos Específicos:
– Apresentar os fundamentos de estatística descritiva.
– Apresentar os conceitos de correlação e regressão e sua
importância para estabelecer relações entre variáveis.
– Apresentar os fundamentos da teoria de probabilidades.
– Apresentar distribuições de probabilidade úteis na modelagem e
solução de problemas.
– Apresentar princípios e métodos para coleta e tratamento de
dados.
– Apresentar métodos de amostragem úteis na modelagem e
solução de problemas.
– Apresentar princípios e métodos para estimação de parâmetros
e estabelecimento de intervalos de confiança.
– Apresentar métodos para conduzir Testes de Hipóteses úteis na
modelagem e solução de problemas.
MAPA CONCEITUAL – ESTATÍSTICA
Referências
• BIBLIOGRAFIA BÁSICA
– SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1993, 3ª Ed.;
– MORETTIN, L. G. Estatística Básica. Probabilidade. Volume 1. São
Paulo: Pearson Education do Brasil, 1999, 7ª Ed;
– MORETTIN, L. G. Probabilidades. Probabilidade. Volume 2. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 1999, 7ª Ed;
• BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
– MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e
Probabilidade.... Rio de Janeiro: LTC, 2009, 4ª Ed.;
– DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências.
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, 6ª Ed.
– NAZARETH, Helenalda. Curso Básico de Estatística. São Paulo, Editora
Ática, 1995.
Sistema de Avaliação
• Nota mínima para aprovação na disciplina: 7
• Distribuição dos pontos:
– Será calculada a média de matemática financeira
com estatística.
• Proposta de Avaliação para a Estatística Aplicada
– Participação nas aulas (2 pontos)
– Pesquisa/Trabalho (5 pontos)
– Exercício de Fixação (3 pontos)
Agenda
• Conceitos introdutórios
• Coleta de Dados e Métodos de
Amostragem
• Estatística Descritiva e Correlação
/ Regressão
• Probabilidade e Distribuições de
Probabilidade
• Estimação e Testes de Hipóteses
Introdução à Estatística
• É fundamental o emprego da Estatística em quase todas as
áreas do conhecimento, todas as vezes que estiverem
envolvidas informações na forma de dados coletados em
pesquisas ou de forma experimental.
• Com o objetivo de alcançar uma melhoria dos processos tanto
nas áreas industriais como tecnológicas, as ferramentas
estatísticas tem alcançado um papel importantíssimo nesse
cenário.
Conceito de Estatística
Estatística é “um conjunto de
técnicas e métodos de pesquisa
que, entre outros tópicos, envolve o
planejamento do experimento a
ser realizado, a coleta qualificada
dos dados, a inferência, o
processamento, a análise e a
disseminação das informações”.
Todo profissional hoje em dia deve estar ciente da importância
da Estatística e ter conhecimento de como utilizá-la, a fim de ter
um lugar no mercado de trabalho com a capacidade de lhe dar
com as realidades atuais extremamente competitivas. Dentre
várias habilidades profissionais, vem crescendo em importância
o desenvolvimento do pensamento estatístico, tendo em vista
as necessidades de todas as áreas de conhecimentos de uma
análise mais apurada durante os processos decisórios.
Estatística na área de Gestão
Observa-se que o controle de qualidade foi criado como uma necessidade
de resolver problemas na redução de custos, no controle de perdas
desnecessárias, na uniformização e normalização da produção, auxiliando
as empresas a controlarem, melhor distribuírem e maximizarem os seus
recursos, tornando-as assim mais competitivas.
Aplicação da Estatística
Recursos Humanos
• Pessoal / Folha de
Pagamento.
• Avaliação de
Desempenho
• Treinamento
• Recrutamento &
Seleção
Aplicação da Estatística
Operações
• Logística
• Qualidade Total
• Avaliação de Estoques
• Cadeia de Suprimentos
Aplicação da Estatística
Marketing
• Propaganda
• Pesquisa de Mercado
• Comportamento do
Consumidor
• Endomarketing
Aplicação da Estatística
TI
• Monitoramento
• Gestão de Recursos
• Suporte
• Banco de dados
• Telecomunicações
• Desenvolvimento de
software...
Aplicação da Estatística
Finanças
• Risco e Retorno de
Investimentos
• Financiamento de
Recursos
• Orçamento Empresarial
• Projeção de Resultados
Motivação Estatística
• O objetivo fundamental da
Estatística é extrair informações
confiáveis a partir dos dados
coletados para a tomada de
decisão.
Método Científico
Há muito tempo que o homem
faz descobertas importantes,
que originaram muitos dos
conhecimentos atuais.
Entretanto muitas dessas
descobertas foram ao acaso, ou
em função de uma necessidade
da época e muitas dessas
descobertas não seguiram um
caminho, roteiro ou um método
específico.
Método Científico
Hoje em dia os métodos de observação, estudo e análise fazem parte da
maioria dos aumentos de conhecimentos atuais. Até mesmo os
conhecimentos obtidos por descobertas ao acaso são desenvolvidos com
base em métodos específicos, que chamamos de métodos científicos.
Os métodos são as trilhas que nos permite chegar a um objetivo, ou a
um determinado resultado, sendo um conjunto de passos e
procedimentos que repetidos fornecem um resultado específico.
Dentre os métodos científicos destacamos o método estatístico e
experimental.
Método Experimental
• Quando se realiza um experimento e se deseja
analisar como se comportam seus resultados
ao se alterar algum dos elementos
componentes do experimento, é necessário
manter constante os demais fatores (causas).
• Quando se usa este tipo de pesquisa, faz-se uma
análise do problema, montam-se as hipóteses
necessárias.
• As alterações nas variáveis tanto em quantidade,
quanto em qualidade, permite o estudo das
relações de causas e efeitos do referido
fenômeno em análise. Todo esse procedimento
experimental permite que se possa avaliar e
controlar os resultados obtidos.
Método Experimental
Pontos importantes do método experimental:
 Indicar o objeto de estudo;
 Determinar as variáveis independentes
capazes de influenciar o fenômeno em estudo;
 Identificar as ferramentas de análise, controle
e observação dos efeitos, resultantes da manipulação
das variáveis, sobre o objeto.
Método Estatístico
•
No método estatístico, observando suas várias etapas,
podemos considerar que a mais importante muitas vezes
não é a análise de dados.
• Podemos dizer que a etapa que necessita de maior
atenção e cuidado é o planejamento de como o conjunto
de dados será coletado.
• Um mau planejamento, ou mesmo uma coleta
feita de forma inapropriada pode acarretar em
dados inúteis, de onde não se consegue tirar
nenhuma informação ou qualquer conclusão
coerente.
Método Estatístico
• O uso dos métodos estatísticos está praticamente
em todos os setores e campos de estudo.
• É possível utilizar o método na avaliação da
produção, a fim de melhorar o controle de
qualidade e permitir um produto melhor a
custos menores;
• utilizar no controle estatístico de doenças e
epidemias, permitindo uma ação antecipada
no controle de doenças;
• ou até mesmo na criação de
regulamentações e leis, com a finalidade de
proteger espécies em extinção, verificadas
através de levantamentos estatísticos da
população..
Abusos da Estatística
• Não é de hoje que ocorrem abusos com a
Estatística. Assim é que, há cerca de um século, o
estadista Benjamin Disraeli disse:
• “Há três tipos de mentiras: as mentiras,
as mentiras sérias e as estatísticas”. Já
se disse também que “os números não
mentem; mas os mentirosos forjam os
números” e que “se torturarmos os
dados por bastante tempo, eles acabam
por admitir qualquer coisa”.
•O historiador Andrew Lang disse que algumas
pessoas usam a Estatística “como um bêbado
utiliza um poste de iluminação – para servir de
apoio, e não para iluminar”.
• Todas essas afirmações se referem aos abusos
da Estatística quando os dados são apresentados
de forma enganosa.
Fases da Pesquisa
Pesquisa Estatística
Planejamento
O que?
Onde?
Como?
Cronograma
Orçamento...
Coleta
Aplicação
Do
Questionário
Crítica
Validação
Dos dados
Coletados/
Organização
Dos
Dados na
planilha
Análise
Aplicação
De técnicas
estatísticas
Resultados
Apresentação
Do relatório /
Resultados
Estudo da Estatística
 Estatística Descritiva, que se preocupa com a
organização e descrição dos dados experimentais;
 Estatística Indutiva (Estatística Inferencial), que
cuida da sua análise e interpretação, ou seja, tirar
conclusões sobre populações com base nos
resultados observados em amostras extraídas
dessas populações.
 Estatística Probabilística – representa o estudo
de planejar jogadas ou estratégias de jogos de
azar , bem como o risco e o acaso em eventos
futuros.
População e Amostra
• População - Conjunto de
todos os elementos que
possuem pelo menos
uma característica em
comum.
• Amostra - Subconjunto
representativo
da
população
Variáveis
• Qualitativa – quando
seus valores são
expressos por atributos.
Exemplo : Sexo , Cor da
Pele.
• Quantitativa – quando
seus valores são
expressos por números.
Exemplo : altura,
numero de alunos de
um colégio.
Variáveis Quantitativas
• Discretas – variáveis
que só podem assumir
valores pertencentes a
um conjunto
enumerável. Exemplo :
numero de alunos de
uma escola.
• Contínuas – quando
uma variável pode
assumir qualquer valor
entre dois limites.
Exemplo : Peso de um
adulto pode ser de 70
Kg ou 70,1 Kg ou 79,13
Kg ou 70,134 Kg.
Organização dos dados.
• Os dados estatísticos podem estar organizados ou desorganizados.
•
•
Quando desorganizados recebem a denominação de “dados
estatísticos brutos”. Por exemplo: Z = (5, 2, 4, 1, 3)
Já quando organizados recebem a denominação de “dados
organizados em Rol”. Por exemplo: Z = (1, 2, 3, 4, 5)
• O Rol pode ser organizado em ordem numérica, alfabética ou
alfanumérica, de forma crescente ou decrescente.
Por exemplo: Z = (1, 2, 3, 4, 5)
Z = (A, B, C, D, E)
Z = (5, 4, 3, 2, 1)
Tipologias de variáveis
• Para cada fenômeno existe um número correspondente de
resultados possíveis. Por exemplo:
• fenômeno - “sexo” dois os resultados possíveis são: masculino e
feminino;
• fenômeno - “número de filhos” o número de resultados possíveis, é
expresso através dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n;
• fenômeno “altura” os resultados podem tomar um número infinito
de valores numéricos dentro de um certo intervalo.
• Neste momento cabe reforçar a definição de Variável:
 é um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
• A partir dos exemplos anteriores podemos afirmar que os dados
estatísticos também podem ser identificados segundo o seu tipo
ou espécie, ou seja:
• Dados contínuos – são aqueles em que a variável pode assumir
qualquer valor dentro de um intervalo, como para o caso do
exemplo “altura” , em que são aceitos valores desde 1,40 até 2,30.
Neste caso a variável é dita variável quantitativa contínua.
• Neste ponto cabe esclarecer algumas regras de aproximação e
arredondamento de dados segundo a NBR 5891 da ABNT:
Amostragem Não Probabilística
• Acidental ou de conveniência – indicada para
assuntos exploratórios.
• Intencional – Escolhe-se um grupo específico.
• Quotas ou proporcional – É necessário o
conhecimento prévio da população.
Amostragem Probabilística
• Aleatória Simples – é utilizada uma tabela de
números aleatórios.
• Aleatória Estratificada – Estratifica cada
subconjunto através de critérios.
• Conglomerado – Por sorteio é indicado um
conjunto.
Tabelas
I. Tabelas
• Por definição tabela é um conjunto de observações de alguma
forma organizadas e distribuídas em um quadro.
Título
Variável A
Linhas com os Valores da variável A
Variável B
Linhas com os Valores da variável B
II. Séries estatísticas
• Por definição, série estatística é toda a tabela que representa um
determinado conjunto de dados estatísticos organizados segundo a
cronologia, o local ou a categoria.
II.A Série cronológica ou temporal ou histórica
• Descreve os valores da variável, em local específico, de acordo
com intervalos de tempo variáveis.
PRODUÇÃO MÉDIA DE FEIJÃO NO BRASIL 2007-2008
ANOS
PRODUÇÃO
(1.000 t)
2007
2008
51 138
52 223
II.B Série geográfica ou territorial
• Descreve os valores da variável, em determinado instante,
segundo diversos locais.
Tempo de espera por um ônibus – 2001.
Estado
Pernambuco
Bahia
Sergipe
Alagoas
Paraíba
Tempo em min.
7,5
7,0
7,0
5,9
Menos de 4
II.C Série especificativa ou categórica
• Descreve os valores da variável, em determinado tempo e local,
segundo espécies ou categorias.
O que vai fazer com a participação nos lucros? - 2009
Opções
Pagar dívidas
Fazer compras
Investir
Valor percentual
(%)
40
43
17
II.D Série mista
• É uma série conjugada, pois pode variar simultaneamente o
tempo, o fato e o lugar.
ANO
1940
1950
1960
1970
1980
População Urbana do Brasil por Região
REGIÃO
N
NE
SE
S
406
3381
7232
1591
581
4745
10721
2313
958
7517
17461
4361
1.624
11753
28965
7303
3.037
11567
42810
11878
CO
271
424
1007
2437
5115
GRÁFICO ESTATÍSTICO
• Forma de se apresentar os dados estatísticos.
Objetivos:
• produzir uma impressão mais rápida e viva do
fenômeno em estudo,
• causar melhor impressão visual.
Gráficos Estatísticos e Tabelas facilitam a análise e a
interpretação.
INDICADORES DE CONSUMO
MELHORAM EM JANEIRO
Miriam Leitão
TIPOS DE GRÁFICOS
• Diagramas
Gráficos geométricos dispostos em, no máximo, duas
dimensões.
• Cartogramas
Ilustrações relativas a cartas geográficas, utilizadas em
Geografia, História e Demografia.
• Pictogramas
Processo gráfico no qual constam figuras.
TIPOS DE GRÁFICOS
• Diagramas
Gráfico em linha ou em curva.
Gráfico em colunas ou em barras.
Gráfico em colunas ou em barra múltiplas.
Gráfico em setores.
• Cartogramas
• Pictogramas
GRÁFICOS EM LINHA OU EM CURVA
• Utiliza uma linha poligonal.
• Utiliza o Sistema de Coordenadas Cartesianas.
GRÁFICOS EM LINHA OU EM CURVA
GRÁFICO EM COLUNAS
• Utiliza retângulos dispostos verticalmente.
• Os retângulos têm a mesma base e as alturas são
proporcionais aos respectivos dados.
GRÁFICO EM COLUNAS
GRÁFICOS EM BARRAS
• Utiliza retângulos dispostos horizontalmente.
• Os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos
das bases são proporcionais aos respectivos dados
GRÁFICO EM COLUNAS/BARRAS MÚLTIPLOS
• Representa simultaneamente dois ou mais fenômenos
estudados com o objetivo de compará-los.
GRÁFICO EM SETORES
• Gráficos de pizza.
• Construído com base em um círculo, dividido em setores, de
acordo com o numero de parcelas.
• Os 3600 disponíveis no círculo são repartidos proporcionalmente.
• Regra de 3 simples, onde a soma de todas as parcelas
corresponde a 3600.
• Ressalta a participação de cada parcela no todo.
GRÁFICO EM SETORES
Exercícios
• A tempe
( ) A temperatura máxima observada foi de 30 °C .
• A tempe
( ) Às 09:00 horas a temperatura era mais elevada do que às 08:00
horas.
( ) A variação das temperaturas observada foi de 6 °c .
CARTOGRAMA
• Representam a cartas geográficas
• Objetivo: apresentar dados estatísticos relacionados
com áreas geográficas ou políticas.
• Utilizado em Geografia, História e Demografia.
• Dados absolutos (população): pontos em numero
proporcional aos dados.
• Dados relativos (densidade): hachuras ou cores.
CARTOGRAMAS
PICTOGRAMAS
Processo gráfico
no qual constam
figuras.
População Urbana no Brasil
em 1980 (x10)
PICTOGRAMAS
PICTOGRAMAS
Amostra dos alunos de uma escola sobre os seus desportos preferidos.
Qual a relação entre os alunos que preferem futebol e volei?
PICTOGRAMAS
Qual foi o aumento de produção entre os anos de 1996 e
1997?
Quantos livros de autores portugueses foram vendidos?
Qual foi o genero de livro menos vendido nesse mês?
( ) Lúcia tem mais moedas da Austrália do que do Canadá.
( )O país do qual a Lúcia possui mais moedas é a Suíça.
( ) Lúcia tem mais 3 moedas do Brasil do que da Africa do Sul
( ) Lúcia tem menos moedas do Canadá do que do Brasil
( ) O número de moedas que a Lúcia tem na sua colecção é 84.
(a) Gráfico em linha/curva
(b) Grafico em Colunas
(c) Pictograma
(d) Grafico em Barras
(e) Grafico em Setores
(f) Cartograma
(a) Gráfico em linha/curva
(b) Grafico em Colunas
(c) Pictograma
(d) Grafico em Barras
(e) Grafico em Setores
(f) Cartograma
(a) Gráfico em linha/curva
(b) Grafico em Colunas
(c) Pictograma
(d) Grafico em Barras
(e) Grafico em Setores
( f) Cartograma
(a) Gráfico em Colunas Multiplas
(b) Grafico em Barras Multiplas
(c) Pictograma
(d) Cartograma
(a) Gráfico em linha/curva
(b) Grafico em Colunas
(c) Pictograma
(d) Grafico em Barras
(e) Grafico em Setores
(f) Cartograma
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA
DISTRIBUIÇÃO
• Histograma, Polígono de Frequência, Polígono de
Frequência Acumulada (Ogiva de Galton).
• Utilizam o primeiro quadrante do sistema de eixos
coordenados cartesianos ortogonais.
• Eixo das abscissas: valores da variável.
• Eixo das ordenadas: freqüências.
HISTOGRAMAS
HISTOGRAMAS
Histograma referente à distribuição do número de candidatos
segundo as notas finais acumuladas nas duas etapas, com os
respectivos pesos. 1998 UnB
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
• Gráfico em linha, com as freqüências marcadas sobre
as perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos
pontos médios dos intervalos de classe.
• É a linha poligonal fechada que une ordenadas
traçadas dos pontos médios das classes.
• Sua construção é feita, quase sempre,
acompanhando a do histograma
Polígono de frequências sobre a duração das
comunicações por telefones.
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA
•Ogiva de Galton
•Sir Francis Galton 1822-1911
•Ogiva: gráfico de uma distribuição
cumulativa
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA
(OGIVA DE GALTON)
Representa frequência acumulada.
Mantém o eixo das abscissas
Altera a escala do eixo das ordenadas, conforme o tipo
dessa frequência.
Construção: marcamos na abscissa os valores da
variável (limites superiores dos intervalos) e na ordenada
as freqüências acumuladas.
HISTOGRAMA/POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA
• Questões para revisão de conteúdo:
- Coloque F para falso e V para verdadeiro:
( ) Estatística é a ciência que estuda quantitativamente os
fenômenos naturais ou sociais, cuja avaliação está baseada
em métodos científicos de coleta, organização,
apresentação e análise de dados.
( ) Amostra é um subconjunto das observações abrangidas
pela população, através da qual se faz um estudo ou
inferência sobre as características da população.
- Tomando por base o texto abaixo:
• Ao chegarmos a uma Empresa em que exista risco de
acidentes, não precisamos percorrer todos os ambientes de
trabalho, obrigatoriamente, para conseguirmos chegar à
conclusão, bem próxima à realidade, de que existe o
cuidado com a proteção do trabalhador. Para tanto, basta
que seja observado, através de inspeção em alguns setores
de cada Departamento, por exemplo, se todos possuem e
estão usando os Equipamentos de Proteção Individual e
Coletiva, bem como atendendo os procedimentos
operacionais estabelecidos.
Podemos afirmar que estamos tratando do conceito de:
a) Amostra;
b) População;
c) Censo;
d) Conjunto Universo.
- Coloque F para falso e V para verdadeiro
(
) Os dados organizados recebem a denominação de
“dados organizados em Rol”!
(
) Variável é um conjunto de resultados possíveis de um
fenômeno.
(
) Dados contínuos são aqueles em que a variável pode
assumir qualquer valor dentro de um intervalo.
Considere uma faculdade com 2.000 estudantes dos quais
1.200 estudam Administração e 800 estudam
Ciências Contábeis. Considerando que 40% dos
alunos de Administração e 30% dos alunos de
Ciências Contábeis possuem bolsas de estudo,
responda:
a) Quantidade de estudantes de Administração que
possuem bolsas de estudo.
b) Quantidade de estudantes de Ciências Contábeis que
não possuem bolsas de estudo.
c) Dentre os bolsistas, qual o percentual de alunos de
Administração ?
d) Dentre os não bolsistas , qual o percentual de alunos
de Ciências Contábeis?
Medidas de Posição Central
• Em uma dada distribuição amostral, é possível fazer várias observações, no
intuito de entender o comportamento dos seus valores.
• Podemos, por exemplo, tentar localizar a maior concentração de valores de uma
determinada distribuição.
• Revisaremos então as medidas de posição. São elas: as medidas de tendência
central e as separatrizes.
Medidas de tendência Central
• As medidas de tendência central são valores
que, de maneira condensada, trazem
informações contidas nos dados estatísticos;
• É um valor que tende a melhor representar
um conjunto de números. Funcionam como
um resumo, passando a ideia do
comportamento geral dos dados.
• Resumindo: Representam um valor central em
torno do qual os dados se concentram e se
distribuem.
Médias
MÉDIA ARITMÉTICA
 SIMPLES  a média aritmética, ou média, de um conjunto de N
números X1, X2, ...., Xn é definido por:
_
X = X1 + X2 + ....... + Xn / n
EXEMPLO :
 {1, 1, 3, 4,
4}
X = 1 + 1+ 3 + 4 + 4 = 13 = 2,6
 MÉDIA PONDERADA  Se os valores X1, X2, ...., Xn ocorrerem
com freqüências f1, f2, ....., fn, então:
_
X = X1 f1 + X2 f2 + ..... + Xn fn =  Xi fi
-------------------------------------------f1 + f2 + ..... + fn
 fi
MODA
Pode-se definir como moda o valor mas freqüente, quando
comparada sua freqüência com a dos valores contíguos de um
conjunto ordenado. A moda pode não existir e, mesmo que exista,
pode não ser única.
EXEMPLOS :
 X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8
moda = 6 – valor mais freqüente – unimodal
 Y = 2, 3, 4, 5, 6
não tem moda – amodal
 Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9
tem duas modas 4 e 8 – bimodal
MODA
FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS:
Mo =( l * + L * ) / 2
Ou
Mo = l* + h ( D1 / D1 + D2)
Sendo:
l*  Limite Inferior da Classe Modal.
L*  Limite Inferior da Classe Modal.
h  intervalo de classe.
D1  Frequencia Simples – Frequencia Anterior.
D2  Frequencia Simples – Frequencia Posterior
Mediana
Corresponde ao valor do elemento central de uma amostra.
FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS:
Md = l* + h ( Xm – F(Ant) / f*)
Sendo:
l*  Limite Inferior da Classe Mediana.
f*  frequencia simples da classe mediana.
h  intervalo de classe.
Xm  Valor Mediano.
Medidas de tendência Central
Medidas de Posição
•
Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse de determinarmos
qual o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, quatro partes iguais,
dez partes iguais e cem partes iguais. A estes valores (separatrizes) chamaremos
respectivamente de:
 Quartis
 Decis
 Percentis
•
O interesse no conhecimento das separatrizes decorre do fato de a partir delas
poderemos introduzir os índices de Pearson, de uso muito prático na descrição de
uma variável X.
Medidas de Posição
• QUARTIS  dividem a distribuição em quatro partes
iguais.
Qnq = X ( nqn / 4 + ½)
Sendo:
• Qnq  primeiro, segundo e terceiro quartil ( i = 1, 2
e 3)
• nq  número do quartil que se deseja obter
• X  elemento da série ordenada
• n  tamanho da amostra
Medidas de Posição
DECIS – Dividem a distribuição ordenada em dez partes
iguais.
• Dnq = X ( Dqn / 10 + ½)
• Sendo:
• Dnq  primeiro até o nono decil ( i = 1, 2 ... e 9)
• nq  número do Decil que se deseja obter
• X  elemento da série ordenada
• n  tamanho da amostra
Medidas de Posição
• PERCENTIS : Dividem a distribuição ordenda
em cem partes iguais.
• Cnq = X ( Cqn / 100+ ½)
• Sendo:
• Cnq  primeiro ao nonagésimo nono centil (
i = 1, 2 ....e 99)
• nq  número do Centil que se deseja obter
• X  elemento da série ordenada
• n  tamanho da amostra
Exercícios:
1. Determine a mediana para os dados (1, 5, 8, 9, 10):
a) 3,3
b) 8
c) 6,6
d) 5
Exercícios:
2. Determine a média para os dados (2, 3, 10, 15, 15):
a) 10
b) 13
c) 15
d) 9
Exercícios:
3. A moda representa:
a) O elemento central da distribuição.
b) A diferença entre a média e a mediana.
c) O elemento de maior frequência na distribuição de
valores.
d) A soma de todos os valores, dividido pela quantidade de
dados.
Exercícios
4) Considere a seguinte amostra de uma pesquisa feita
com 15 consumidores que atribuíram as seguintes
notas a uma mercadoria , numa escala de 0 a 100 : 65,
68, 70, 75, 80, 80 ,82 ,85, 90 ,90, 90, 95, 98, 100, 100.
Calcular :
a) A Média
b) Moda
c) 3º Quartil
Exemplo usando Excel
• Determine a média, a moda, a mediana, Os quartis da
amostra abaixo, depois Construa uma tabela de
distribuição de frequências:
44
48
53
54
56
56
56
57
60
60
62
63
63
63
63
65
66
67
68
68
69
69
70
71
72
74
77
78
80
81
82
85
90
93
95
95
97
100
106
107
Medidas de Dispersão
• As medidas de dispersão dizem como se
distribuem os valores em torno da média da
amostra (ou população). Elas são:
– Amplitude
– Variância
– Desvio Padrão
– Coeficiente de Variação
Medidas de Dispersão
• AMPLITUDE
–É a diferença entre o maior e o menor
dado observado.
–A amplitude não mede bem a
dispersão dos dados porque, em seu
cálculo, usam-se apenas os valores
extremos – e não todos os dados.
Medidas de Dispersão
Exemplo:
Aluno
Antônio
João
José
Pedro
Antônio 
João 
José 
Pedro 
5
6
10
10
5
4
5
10
a = 5-5 =0
a = 6-4 = 2
a = 10-0 = 10
a = 10-0 = 10
Notas
5
5
5
5
Média
5
4
5
0
5
6
0
0
5
5
5
5
Medidas de Dispersão
Variância
A variância da amostra, representada por s2, é
obtida somando-se os quadrados dos desvios, em
relação à sua média e dividindo o resultado pelo
número de observações menos um.
s
2
( x  x)


n 1
2
s 
2
x
2

( x)
n 1
n
2
Medidas de Dispersão
Exemplo: Considere dois bancos com as seguintes taxas de
serviços:
2
(
x

x
)
Banco A: 8,9,10,8,6,11,7,13.
2
s

Banco B: 7,3,10,6,5,13,18,10.
n 1
Calcule a variância desses dois conjuntos.

Banco A:
X
8
9
10
8
6
11
7
13
Média
9
9
9
9
9
9
9
9
X - média
-1
0
1
-1
-3
2
-2
4
2
(
x

x
)

(X – média)2
1
0
1
1
9
4
4
16
36
36
s 
 5,14
7
2
Medidas de Dispersão
Exemplo: Considere dois bancos com as seguintes taxas de
2
serviços:
(
x
)

2
Banco A: 8,9,10,8,6,11,7,13.
x


2
n
Banco B: 7,3,10,6,5,13,18,10.
s 
n 1
Calcule a variância desses dois conjuntos.
Banco B:
X
7
3
10
6
5
13
18
10
X2
49
9
100
36
25
169
324
100
x
x
72
812
2
s2  ?
Medidas de Dispersão
• DESVIO -PADRÃO
–O desvio padrão é a raiz quadrada do
valor obtido para a variância.
–Ele é o valor que quantifica a dispersão
dos eventos sob distribuição normal, ou
seja, a média das diferenças entre o
valor de cada evento e a média central.
Medidas de Dispersão
Coeficiente de Variação
• Corresponde à relação entre o desvio-padrão e a
média.
• Ele mede a dispersão relativa em relação à média.
CV 
s
x
 100
Medidas de Dispersão
• Calcule o desvio-padrão da amostra: 4, 5, 5, 7 e 8 e
marque a opção correta:
A)
B)
C)
D)
2,56.
1,64.
5,80.
1,80.
Medidas de Dispersão
• Calcule o desvio-padrão da amostra: 2, 2, 7, 8 e 9 e
marque a opção correta:
A) 5,6.
B) 3,36.
C) 7,6.
D) 1,30.
E) 1,70.
Medidas de Dispersão
• O Desvio Padrão, bem como a Variância, é uma
medida de dispersão. Uma daquelas que
medem o quanto cada elemento de uma
distribuição se desviou de um valor central. No
caso, este valor central é a média. As notas do
aluno João ao longo de 6 simulados feitos por
ele foram: 4,0 - 7,0 - 6,0 - 6,0 - 8,0 - 5,0
determine o desvio padrão dessas notas.
Medidas de Dispersão
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ENEM 2010 - Questão 170 – Prova Rosa.
Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no
concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou
superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da
pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos
obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a
média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no
concurso, é:
A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
B) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.
D) Paulo, pois obteve maior mediana.
E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
Medidas de Dispersão (Excel)
Calcule a média e o desvio padrão dos dados
apresentados na tabela abaixo:
Peso em gramas de um produto.
Produto A
25,5
26,0
26,5
25,0
26,0
25,0
24,0
25,0
25,5
26,0
Produto B
27,0
27,0
27,0
27,0
26,0
27,0
27,5
27,0
28,0
26,0
Medidas de Dispersão (Excel)
Calcule a variância, o desvio padrão e o
coeficiente de variação dos dados da tabela
abaixo:
Conceito de qualidade de uma
pesquisa a um determinado serviço
100,0
100,0
97,5
80,0
97,5
85,0
85,0
80,0
Noções sobre correlação
• Existem situações em que interessa estudar
o comportamento conjunto de duas
variáveis. O comportamento conjunto de
duas variáveis aleatórias contínuas pode ser
observado através do gráfico de dispersão,
no qual cada variável é plotada em cada eixo
cartesiano, ou através de uma medida
estatística denominada coeficiente de
correlação.
Noções sobre correlação
• O termo correlação significa relação nos dois
sentidos: descreve a associação entre duas
variáveis, não fazendo julgamento sobre se uma é
causa ou conseqüência da outra. A correlação é
usada quando se deseja estudar quão
consistentemente duas variáveis mudam em
conjunto. Quando isto ocorre diz-se que há uma
correlação ou covariação, cuja direção e magnitude
podem ser quantificadas.
Diagrama de dispersão
• Para desenhar uma diagrama de dispersão, 1º
se traça o sistema de eixos cartesianos. Depois
se representa uma das variáveis no eixo dos X
e a outra variável no eixo dos Y. Colocam-se,
então, os valores das variáveis sobre os
respectivos eixos e marca-se um ponto para
cada par de valores.
Correlação: Positiva e Negativa
• Correlação positiva – as variáveis X e Y
crescem no mesmo sentido, isto é, à medida
que x cresce, em média, Y também cresce.
• Correlação negativa – as variáveis X e Y
variam em sentidos opostos, isto é, caso X
cresça, Y em média decresce.
• Correlação nula – não há interação entre as
variáveis X e Y.
Coeficiente de correlação ( r )
• Sejam X e Y duas variáveis aleatórias de uma população, das
quais é selecionada uma amostra de pontos (x;y). A correlação
entre as variáveis X e Y quantifica o grau da relação linear
entre os resultados.
• A correlação entre as variáveis aleatórias X e Y da população é
estimada pelo coeficiente de correlação de Pearson, denotado
por r:
r


 x2 


x y

xy 
 x 
2
n
n

 y 2 
 

 y 
2
n




***O coeficiente de correlação ( r )varia entre –1 e +1.
Grau de correlação
• CHADDOCK propôs a seguinte classificação quanto
ao grau de correlação:
Classificação do grau de correlação
r=0
Não há correlação
r < 0,5
Correlação Fraca
r > 0,5
Correlação Média
r > 0,75
Correlação Forte
r=1
Correlação Perfeita
Resumindo...
• O coeficiente de correlação mede o “ajuste” de uma
reta traçada o mais próximo possível dos pontos que
a determinaram, isto é, quão próximos da reta
traçada se encontram os pontos. O gráfico ou
diagrama de dispersão mostra se as duas variáveis
variam no mesmo sentido (r > 0), em sentidos
opostos (r < 0),ou se as duas variáveis não variam
em conjunto (r = 0). Portanto o coeficiente de
correlação varia de -1 a +1, denominando a
correlação para esses valores extremos de:
correlação perfeita e negativa (r = -1) e correlação
perfeita e positiva (r = +1).
Exercício
Exercícios
• 1 - Faça um diagrama de dispersão e avalie se
existe correlação e qual o seu tipo.
Dia
1
5
10
15
20
25
30
Carros Vendidos
10
8
7
6
4
2
1
Qt de carros vendidos (y)
12
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
Dias do mês (x)
30
35
Exercícios
• 2 - Faça um diagrama de dispersão e calcule o
coeficiente de correlação para os dados
apresentados na tabela abaixo:
Dados relativos a duas variáveis X e Y
X
3
5
4
2
1
Y
2
2
7
7
2
Exercícios
• Um administrador de entrevistadores aferiu as semanas de experiência
e o número de entrevistas realizadas numa amostra com 10
entrevistadores revelando os seguintes dados:
Nº de entrevistas
realizadas
4
9
12
6
8
10
6
5
10
7
Experiência de entrevistadores
14
nº de entrevistas realizadas
Semanas de
experiência
15
41
58
18
37
52
28
24
45
33
12
58
10
8
6
4
18
15
24
28
33
37
41
45 52
2
0
• Determine o coeficiente de correlação.
15 18 24 28 33 37 41 45 52 58
Semanas de experiência
Desafio ( Excel )
• 3 – Em um trabalho analisando a produção de uma determinada peça, foi
obtido tanto o tempo quanto a quantidade de peças produzidas. Os
dados estão na tabela abaixo.
Produção (Qt)
Construa um diagrama de dispersão. Você
acha que existe correlação entre as medidas?
25
Tempo (em
horas)
2,7
45
2,7
60
3,5
68
3,7
80
5,8
100
5,1
120
4,8
140
11,7
143
11,1
148
14,2
Noções sobre Regressão Linear
• Todas as vezes que temos duas variáveis com certa
correlação e desejamos estudar uma variável em
função da outra, fazemos uma análise de regressão.
• O objetivo principal da análise de regressão é realizar
a relação entre as duas variáveis, a partir de um
modelo matemático linear, partindo de n
observações delas.
• A variável sobre a qual desejamos fazer a estimativa
é denominada variável dependente e a outra recebe
o nome de variável independente.
Noções sobre Regressão Linear
• Anteriormente foi estudado o
comportamento conjunto de duas variáveis,
agora será estudado como uma variável
varia em função da outra.
• Quando se estuda a variação da variável Y
em função de uma variável X, diz-se que Y é
a variável dependente e que X é a variável
explanatória.
Reta de regressão
• Dada uma nuvem de pontos de configuração
aproximadamente retilínea, é sempre possível interpolar
a esses pontos uma reta – Reta de Regressão - com o
objetivo de produzir uma informação simplificada.
Tempo
(minutos)
2
3
5
8
10
12
14
15
Produtos
Fabricados
4
6
10
16
19
21
28
32
Produtos Fabricados
y = 2,0073x - 0,3127
R² = 0,9809
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Reta de regressão
• Para que esta reta fique bem determinada é necessário que
se calcule:
– O coeficiente angular – que dá a inclinação da reta – é representado
por b.
b

x y

xy 
x
2

n
( x) 2
n
– O coeficiente linear – que é o ponto que intercepta o eixo dos Y,
representado por a.
a  y  bx
*Onde
y e x são as médias de Y e X respectivamente.
Reta de regressão
^ a equação da reta de regressão ficará:
• Assim
Y  a  bx
são os valores calculados para Y
Agora que já conhecemos as fórmulas,
ajuste a reta de regressão do primeiro
exemplo desta apresentação.
Resolução do Exemplo
Fórmulas:
Coeficiente Angular
b

 x y
xy 
x
2

n
( x) 2
Coeficiente Linear
^
Equação da reta
a  y  bx
Y  a  bx
X^2
Produtos Fabricados
n
Tempo (X)
(minutos)
2
3
5
8
10
12
14
15
Produtos
Fabricados (Y)
4
6
10
16
19
21
28
32
69
136
X.Y
35
4
9
25
64
100
144
196
225
8
18
50
128
190
252
392
480
767
1518
30
25
20
15
10
5
0
0
5
y  17
10
15
20
x  8,625
Ajustando a reta – Transformação de Variáveis
Para que uma regressão linear simples possa ser
ajustada aos dados, muitas vezes se torna necessário
transformar uma ou as duas variáveis, já que, em
alguns casos as duas variávies não se distribuem em
torno de uma reta e sim, de uma curva ou mesmo de
número muito grande de retas, ocasionando desta
maneira, uma margem grande de erros, caso não haja a
TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEIS.
• Essa transformação pode ser:
– O logaritmo de uma variável
– A extração de raiz quadrada
– A inversão da variável.
•
Exercícios
Um administrador de entrevistadores aferiu as semanas de experiência e o
número de entrevistas realizadas numa amostra com 10 entrevistadores
revelando os seguintes dados:
Nº de entrevistas
realizadas
4
9
12
6
8
10
6
5
10
7
Experiência de entrevistadores
14
nº de entrevistas realizadas
Semanas de
experiência
15
41
58
18
37
52
28
24
45
33
12
58
10
8
6
4
18
15
24
28
33
37
41
45 52
2
0
15 18 24 28 33 37 41 45 52 58
Semanas de experiência
• Ajuste uma reta de regressão aos dados apresentados.
Fórmulas:
Coeficiente Angular
b

x y

xy 
x
2

n
( x) 2
Resolução
Coeficiente Linear
a  y  bx
^
Equação da reta
Y  a  bx
n
Semanas de
experiência (X)
15
41
58
18
37
52
28
24
45
33
Nº de entrevistas
realizadas (Y)
4
9
12
6
8
10
6
5
10
7
351
77
x^2
X.Y
225
60
1681
369
3364
696
324
108
1369
296
2704
520
784
168
576
120
2025
450
1089
231
14141
3018
y  7,7
x  35,1
Desafio ( Excel )
• Em um trabalho analisando a produção de uma determinada peça, foi
obtido tanto o tempo quanto a quantidade de peças produzidas. Os
dados estão na tabela abaixo.
,
Utilizando o Excel, Construa um diagrama de
dispersão e Ajuste uma reta de regressão
aos dados apresentados.
25
Tempo (em
horas)
2,7
45
2,7
60
3,5
68
3,7
80
5,8
100
5,1
120
4,8
140
11,7
143
11,1
148
14,2
Conteúdo Programático desta aula
 Conhecer a definição de
probabilidade e seus principais
teoremas;
 Aprender o significado e aplicação
dos eventos complementares, dos
eventos independentes, bem como os
eventos mutuamente exclusivos;
 Entender a definição dos conceitos
de experimento aleatório e do espaço
amostral, assim como suas
finalidades, utilizações e aplicações
no campo da teoria da probabilidade
em estatística.
• O estudo de probabilidades diz respeito a experiências
aleatórias, cujo resultado não pode ser conhecido "a
priori" antes que a experiência seja efetivamente
realizada e o seu resultado observado. Embora o
resultado de uma experiência aleatória seja imprevisível
existe certo tipo de regularidade presente neste tipo de
experiência, e isto nos permite criar modelos para
representar fenômenos aleatórios.
O estudo da probabilidade vem da necessidade
de em certas situações, prevermos a
possibilidade de ocorrência de determinados
fatos.
• Ao começarmos o estudo da probabilidade,
normalmente a primeira ideia que nos vem à mente
é a da sua utilização em jogos, mas podemos utilizálo em muitas outras áreas. Um bom exemplo é na
área comercial, onde um site de comércio eletrônico
pode dela se utilizar, para prever a possibilidade de
fraude por parte de um possível comprador.
Experimento Aleatório
Experimentos cujos resultados podem
apresentar variações, mesmo quando
realizados em condições
praticamente iguais.
Ex.: Lançamento de um dado
Observação do sexo de recém-nascidos
Lançamento de uma moeda
Jogar duas moedas
Espaço Amostral ( S )
Conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório.
Ex.: S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } (lançamento de um dado)
S = { M, F }
S = { C , K } onde, C = cara K= coroa
S = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... } (números naturais)
S = { CC, CK, KC, KK } (Lançamento de duas moedas)
1
2
3
4
5
Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostral,
geralmente denotado por letras maiúsculas.
Quando lançamos um dado ou uma moeda,
chamamos a ocorrência deste fato de evento.
Qualquer subconjunto de um espaço amostral
é um evento.
E = lançamento de um dado
S={1,2,3,4,5,6}
A = sair face par
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
Suponha que uma experiência aleatória tem
apenas um número finito de resultados possíveis.
Seja A um evento associado a essa experiência
aleatória. Então a probabilidade do evento A é
dada por:
f
P  A 
p
P(A) – probabilidade de ocorrer o evento A
f – número de casos FAVORÁVEIS à
ocorrência de A
p – Número de casos POSSÍVEIS
Importante:
A probabilidade varia entre 0 e 1:
Caso seja igual a um chama-se EVENTO CERTO.
Caso seja igual a zero chama-se EVENTO IMPOSSÍVEL.
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
A probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para
casa primeiro) considerando-se um espaço amostral
(Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de
elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de
elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos
que foram brincar na rua), desde que espaço o amostral
seja um conjunto equiprovável, ou seja, todos os seus
elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer (as
condições de retorno para casa são as mesmas para os
três irmãos).
Probabilidade condicional
É a probabilidade de ocorrer determinado
evento sob uma dada condição. Indica-se a
probabilidade condicional de ocorrer o
evento A sob a condição de ter ocorrido B
por P(A/B), que lê-se probabilidade de A
dado B.
Exemplo: Joga-se um dado e sabe-se que
saiu um número ímpar. Qual a
probabilidade desse número ter sido o
número 3?
Eventos independentes
Dois eventos são independentes
quando a probabilidade de ocorrer um
deles não é modificada pela ocorrência
do outro.
Teorema do produto
Para eventos independentes:
P(A e B) = P(A). P(B)
Para eventos dependentes:
P(A e B) = P(A). P(B/A)
Exemplo: Em um saco temos dez bolas, quatro brancas e
seis vermelhas. Iremos fazer o sorteio de 2 bolas (com
reposição), qual a probabilidade de sair uma bola branca e
uma bola vermelha desse sorteio?
P(B e V)= P(B) . P(V)= 4/10 . 6/10 = 24/100
Teorema da Soma
Para eventos independentes:
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Para eventos dependentes:
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Exemplo: Suponha que tenhamos uma urna com quatro
bolas, duas pretas, uma azul e uma verde. Qual a
probabilidade de sair uma bola azul ou verde do primeiro
sorteio?
P(A) = ¼
P(V) = ¼
P(A ou V) = ¼ + ¼ = ½ = 0,5 = 50%
TEOREMA DA SOMA
Exemplos
1)Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade
de obtermos um número menor que 3 e maior
que 4?
Como sabemos neste exemplo o espaço
amostral é composto de seis elementos:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
TEOREMA DA SOMA
Chamemos de A o evento que representa a ocorrência de
um menor que 3:
A = { 1, 2 }
Vamos chamar de B o evento que representa a ocorrência
de um número maior que 4:
B = { 5, 6 }
Como o número de elementos de S é 6, temos que n(S) = 6.
Para A temos n(A) = 2 e para B temos também n(B) = 2.
Portanto: A probabilidade de obtermos um número menor
que 3 e maior que 4 é igual a 4/6 ou 2/3.
AXIOMAS
Exemplos
1)Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos
um número divisor de 6?
Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de
um dado é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Como estamos interessados apenas nos resultados divisores
de 6, o evento E é representado por:
E = { 1, 2, 3, 6 }Então n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto:
Podemos também apresentar o resultado na forma de uma
porcentagem: A probabilidade de se obter um número
divisor de 6 é 2/3 ou 66,67%.
EXERCÍCIOS
Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade
de obtermos um número menor que 2 e maior
que 4?
a) 2/3
b) 1/3
c) 1
d) 1/2
EXERCÍCIOS
Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade
de obtermos um número primo ou um
número ímpar?
a) 2/3
b) 1/3
c) 1
d) 1/2
EXERCÍCIOS
• Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores,
registrou que 650 deles trabalham com cartões de
crédito da bandeira MasterCard, que 550
trabalham com cartões de crédito da bandeira
VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito
de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de
ao escolhermos deste grupo uma pessoa que
utiliza a bandeira VISA, ser também um dos
consumidores que utilizam cartões de crédito da
bandeira MasterCard?
EXERCÍCIOS
No lançamento de um dado qual é a
probabilidade de obtermos um 3 ou um 5?
X
Em lançamentos sucessivos de um dado qual
é a probabilidade de obtermos um 3 e
depois um 5?
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Objetivos:
 Conhecer a definição dos modelos teóricos de
distribuição de probabilidade ;
 Aprender o significado e aplicação das
variáveis aleatórias;
 Entender a definição dos conceitos de
distribuição normal.
Distribuição discreta
Variável Aleatória
Quando uma variável é influenciada pelo acaso, resultando de
uma soma de fatores não controlados, diz-se que é uma variável
aleatória.
As variáveis aleatórias são indicadas por letras minúsculas,
podem ser discretas ou contínuas.
• Variável aleatória discreta – só assume valores que podem ser
associados a números naturais (1, 2, 3.....).
• Variável aleatória discreta binária – só assume um de dois
valores possíveis. Exemplo: Ao jogarmos uma moeda, temos
como resultado cara ou coroa. Podemos assumir que Cara é o
número Zero e que Coroa é o número Um.
• Variável aleatória contínua – assume infinitos valores em um
dado intervalo. Exemplo: Peso corporal.
Distribuição discreta
É todo o conjunto de valores que podem ser assumidos
pela variável aleatória discreta, com as suas respectivas
probabilidades.
Exemplo: Distribuição dos resultados de um jogo de dado.
X
P(X)
1
1/6
Atenção: A soma das
2
1/6
probabilidades associadas a
3
1/6
todos os valores possíveis de
4
1/6
uma variável aleatória é
5
1/6
sempre igual a 1
6
1/6
Total
1
PROBABILIDADES
Distribuição de Probabilidade
Consideremos a distribuição de frequências relativas ao
número de acidentes em um estacionamento :
Numero de Acidentes Frequência
0
22
1
5
2
2
3
1
30
Em um dia a possibilidade de:
a)
b)
c)
d)
Não ocorrer acidente
ocorrer um acidente
ocorrerem dois acidentes
ocorrerem três acidentes
PROBABILIDADES
Distribuição de Probabilidade
Podemos escrever:
Numero de Acidentes Probab.
0
0,73
1
0,17
2
0,07
3
0,03
1
Essa tabela é denominada distribuição de
probabilidade.
Distribuição Binomial
É uma distribuição discreta que resulta da soma de variáveis
aleatórias binárias.
A distribuição binomial fica definida quando são dados dois
parâmetros:
n – número de variáveis aleatórias binárias observadas
p – probabilidade de ocorrer valor 1 em uma única observação.
Dados n e p temos:
 n  x n x
P( x)    p q
 x
onde
n
n!
  
 x  x! (n  x)!
Combinação de n, x a x
Exemplo:
Distribuição Binomial (Exemplo 1)
Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas.
Calcule a possibilidade de serem obtidas três
caras nessas cinco provas
F(X) = P(X = k) = 5 . p3 . q5-3
3
P(X = k) = 10 * (1/2)3 * (1/2)2 = 10*1/8*1/4 = 10/32 = 5/16
Exemplo:
Distribuição Binomial (Exemplo 2)
Dois times de futebol , A e B, jogam entre si seis
vezes. Encontre a possibilidade do time A
ganhar quatro jogos.
F(X) = P(X = 4) = 6 . p4 . q6-4
4
P(X = 4) = 15 * (1/3)4 * (2/3)2 = 15*1/81*4/9 = 20/243
Exemplo:
Sabe que na fabricação de uma peça ela pode ser boa ou apresentar
defeito. Qual é a probabilidade de ocorrem 3 peças boas em 5 peças
fabricadas?
n=5
x=3
A probabilidade de ser peça boa em uma fabricação é ½  p = ½
Assim q = 1 – ½ = ½ teremos:
3
2
5
  1   1 
5!
1 1
1
P(3)       
   10 
 0,3125
3!(5  3)! 8 4
32
 3  2   2 
Em porcentagem P(3) = 0,3125 X 100 = 31,25%
Média e Variância em distribuição
binomial
Média    np
Variância   2  npq
Exemplo: Calcule a média e a variância para a
fabricação de peças boas em 1000 peças fabricadas.
1
  np  1000   500
2
1 1
  npq  1000    250
2 2
2
Exercícios
1 – Um exame é constituído de dez testes tipo
certo-errado. Quantos testes acertam, em média,
um aluno que nada sabe sobre a matéria do
exame? Qual a variância da distribuição?
2 – Seja X a variável aleatória que indica o número
de meninos em uma família com 5 crianças.
Apresente a distribuição de X em uma tabela.
Distribuição Normal
• O pesquisador estuda variáveis. O estatístico diz
que essas variáveis são aleatórias porque elas
têm um componente que varia ao acaso.
• Por exemplo, a variabilidade dos pesos ao nascer
de nascidos vivos de mesmo sexo, raça, idade
gestacional e filhos de mães em condições
similares de alimentação é explicada pelo acaso.
Então o peso ao nascer é uma variável aleatória.
Distribuição Normal
• As grandes amostras de certas variáveis aleatórias
permitem construir gráficos que têm aparência
típica como o ilustrado abaixo.
Peso ao nascer
CARACTERÍSTICAS GERAIS
• As medidas de produtos fabricados em série e os
erros de medidas dão origem a gráficos
semelhantes ao apresentado acima. Essas são
variáveis que têm distribuição que se aproximam
da distribuição normal.
CARACTERÍSTICAS GERAIS
1. Variável aleatória pode assumir qualquer valor real;
2. Curva em forma de sino simétrica em torno da
média;
3. Área total sob a curva vale 1
4. Igual probabilidade de ocorrer valores maiores ou
menores que a média
5. A configuração da curva é dada por dois
parâmetros: a média e o desvio padrão.
TABELA - Distribuição Normal Padrão Z~N(0,1)
Zc
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
0,00
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4987
3,10 ou +
0,4999
0,01
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4987
0,02
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4982
0,4987
0,03
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4988
0,04
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4793
0,4838
0,4875
0,4904
0,4927
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4988
0,05
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,4394
*0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4989
0,06
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4989
0,07
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
0,4989
0,08
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
*0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4990
0,09
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
0,4990
DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA
• Distribuição normal de média zero e variância 1,
probabilidades facilmente encontradas em
tabelas.
Exemplo:
1 - Qual a probabilidade de
ocorrer valor entre zero e 1,56?
Por tabela é ----->>> ?????
2 – Qual a probabilidade de
ocorrer valor maior do que
z=1,56?
1,56
PROBABILIDADES NA DISTRIBUIÇÃO
NORMAL
• Suponha que a quantidade de aditivo em 100ml
de gasolina tem distribuição normal com média
200mg e desvio padrão 20mg. Qual a
probabilidade de uma amostra apresentar entre
200 e 225mg de aditivo por 100ml de gasolina?
Z
X 

X  200

20
Como x=225 teremos:
225  200
z
 1,25
20
Por tabela 1,25 corresponde a 39,44%.
Exercícios
• 01. Através de levantamentos anteriores,
verificou-se que o tempo médio gasto por um
candidato a supervisor de vendas, em
determinado teste, é aproximadamente
normal com média de 60 minutos e desvio
padrão de 20 minutos. Que porcentagem de
candidatos levará menos de 60 minutos para
concluir o teste?
Exercícios
• 02. A vida útil de lavadoras de pratos
automáticas é de 1,5 anos, com desvio padrão
de 0,3 anos. Se os defeitos distribuem-se
normalmente, que percentagem das lavadoras
vendidas necessitará de conserto antes de
expirar o período de garantia de um ano?
Exercícios
• 03. Latas de conservas são fabricadas por uma
indústria com média de 990 g e variância de
100. Uma lata é rejeitada pelo controle de
qualidade dessa indústria se possuir peso
menor que 975g. Qual a probabilidade de uma
lata ser rejeitada.
Exercícios
04. Uma população com características normais
tem peso médio de 75 kg e desvio padrão de 3
kg. Calcule o percentual de pessoas que tem
peso acima de 79,5 Kg a) 10% b) 6,68% c)
43,32% d) 34,13% e) 5,87%
Exercícios
05. O levantamento do custo unitário de
produção de um medicamento revelou que
sua distribuição é normal com média R$ 56,00
e desvio padrão R$ 5,00. Um item da
produção é escolhido ao acaso. Calcular a
probabilidade do custo desse item ser menor
que R$ 51,00;
a) 16,67% b) 6,68% c) 13,32% d) 34,13% e)
15,87%
Amostragem
• Distribuições de Amostragem
• Intervalos de Confiança para a Média
Amostragem
Zentgraf (2007) aponta que os métodos de amostragem
podem apresentar alguns problemas em sua
aplicação quando :
• Quando a população foi muito pequena
• Quando os dados da população apresentarem
volatilidade alta
• Casos de necessidade de previsão absoluta
• Dados da população já estiverem disponíveis
Amostragem
• Em uma pesquisa, buscamos uma amostra que seja
representativa da população analisada. Porém, uma média
amostral quase nunca será a mesma de uma média
populacional, bem como o desvio-padrão. Esse erro amostral
existe independente da forma ou critérios de como uma
determinada pesquisa foi elaborada.
Exemplo : Considere que ao analisar 10.000 notas de Estatística
do nosso EAD , verificamos uma nota média de 6 , com
desvio-padrão de 1,2. Porém ao retirar uma amostra de 50
alunos verificamos uma nota média e desvio-padrão
diferentes do que o mensurado pela população.
Amostragem
Se repetirmos essa amostragem por 100 vezes , teremos
diferentes médias e desvios-padrões para cada amostra
coletada. Podemos chegar desta forma a uma distribuição
amostral de médias. A distribuição amostral de médias , de
acordo com Levin & Fox (2004) possuem algumas
características :
• “A medida que o tamanho das amostras cresce, as médias
dessas amostram vão se aproximando a uma distribuição
limite que é a distribuição normal.Este é o teorema do Limite
Central.
• A média de uma distribuição amostral de médias ( média das
médias ) é igual a uma verdadeira média populacional.
• O desvio-padrão de uma distribuição amostral de médias é
menor do que a da população.”
Amostragem
• Na prática , uma pesquisa dificilmente é realizada com mais de uma ou
duas amostras. Seria difícil, desta forma, chegar a chamada média das
médias. O erro padrão da média é calculada pela divisão do desvio-padrão
da população pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
sx =s/√n
Vamos utilizar como exemplo um exercício do nosso material didático :
O valor médio em dólar das vendas de um determinado produto no último
ano é conhecida como seguindo a distribuição normal com média de R$
3.400,00 por revendedor a varejo com desvio-padrão de R$ 200,00. Se um
grande número de revendedores comercializar o produto, determine o
erro padrão da média para uma amostra de tamanho n=25
s x = s / √ n = 200 /√ 25 = 200 / 5 = 40
Teste T (Student)
Conteúdo Programático desta aula
Aprender a aplicar o teste de hipóteses
Compreender e analisar os resultados do Teste.
TESTE T
• O Teste T é utilizado para determinar se
duas amostras poderão ser provenientes de
duas populações subjacentes (ou amostras)
que possuem a mesma média, ou seja: que
as médias das duas populações (ou
amostras) não sejam significativamente
diferentes.
Quando utilizar o Teste T?
Pode ser utilizado em três situações distintas:
1ª) Quando as amostras são apresentadas em
pares de valores, (amostras emparelhadas).
2ª) Quando as amostras, que podem ter
números diferentes de dados, possuem
variâncias iguais, (homoscedástica).
3ª) Quando as amostras, que podem ter
números diferentes de dados, possuem
variâncias desiguais, (heteroscedástica).
Utilizando o Teste T
• O Teste T de Student é ainda determinado
utilizando a distribuição unicaudal ou
bicaudal. Neste caso o Teste T retornará o
dobro da probabilidade obtida pela
distribuição unicaudal, correspondente à
probabilidade de um valor mais alto da
estatística-t sob a suposição de que as duas
séries de dados sejam amostragens de
populações com a mesma média.
Executando o Teste T
Para executar o Teste T entre duas amostras listadas em uma
planilha, devem ser seguidos os passos descritos a seguir:
1º) Clique no menu “Ferramentas”, fazendo descer a cortina
correspondente onde se deve clicar na última opção:
“Análise de dados...”.
2º) Na janela “Análise de dados” escolha a ferramenta de
análise desejada para o Teste T:
Teste T: duas amostras em par para médias
Teste T: duas amostras presumindo variâncias equivalentes
Teste T: duas amostras presumindo variâncias diferentes.
3º) Na janela correspondente à análise selecionada,
entre com as opções de “Entrada”, tais sejam:
Intervalo da variável 1
Insira a referência de células para o primeiro intervalo de dados que
você deseja analisar. O intervalo deve consistir em uma única coluna
ou linha de dados. Ex.: A1:A10.
Intervalo da variável 2
Insira a referência de células para o segundo intervalo de dados que você deseja analisar. O
intervalo deve consistir em uma única coluna ou linha de dados. Ex.: B1:B10.
Hipótese da diferença de média
Insira o número que você deseja para a mudança nas médias das amostras. O valor 0 (zero)
indica que as médias das amostras são hipoteticamente iguais.
Rótulos
Selecione esta opção se a primeira linha ou coluna dos intervalos de entrada contiver rótulos.
Desmarque esta opção se os intervalos de entrada não contiverem rótulos; o Microsoft
Excel gera os rótulos de dados adequados para a tabela de saída.
Alfa
Insira o nível de confiança para o teste. Este valor deve estar no intervalo entre 0 e 1. O nível
alfa é um nível de significância relacionado à probabilidade de ocorrência de um erro tipo
I (rejeição de uma hipótese verdadeira). Ex.: 0,05 (ou 5%).
São três as opções de “Saída”:
Intervalo de saída
Insira a referência para a célula superior esquerda
da tabela de saída. O Excel determinará automaticamente o
tamanho da área de saída e exibirá uma mensagem se a
tabela de saída estiver prestes a substituir os dados
existentes.
Nova planilha
Clique nesta opção para inserir uma nova planilha na pasta de
trabalho atual e colar os resultados começando pela célula A1
da nova planilha. Para nomear a nova planilha, digite um
nome na caixa.
Nova pasta de trabalho
Clique nesta opção para criar uma nova pasta de trabalho e colar
os resultados em uma nova planilha na nova pasta de
trabalho.
O Resultado
O resultado apresentado em uma tabela contém:
- Os parâmetros estatísticos média, variância e número de
dados de cada amostra;
- Coeficiente de correlação de Pearson para amostras emparelhadas ou a
variância agrupada para amostras presumindo variâncias equivalentes;
- Hipótese da diferença de média (valor de Entrada); geralmente 5%.
- Graus de liberdade: igual a (n-1) para amostras emparelhadas ou a (n1 +
n2 – 2) para os demais tipos;
- Stat t: Valor calculado para a estatística t.
- P(T <= t) unicaudal: Probabilidade obtida com a distribuição Student
unicaudal.
- t crítico unicaudal: Valor crítico para a estatística t, correspondente à
distribuição Student unicaudal.
- P(T <= t) bicaudal: Probabilidade obtida com a distribuição Student
bicaudal.
- t crítico bicaudal: Valor crítico para a estatística t, correspondente à
distribuição Student bicaudal.
Análise do resultado
• Compara-se o valor da estatística t obtida para os dados
das amostras (Stat t) com o valor crítico (tc)
correspondente à distribuição teórica (Student)
unicaudal ou bicaudal. Se t < tc, a hipótese nula não pode
ser rejeitada, ou seja: “As duas amostras podem ser
provenientes de duas populações subjacentes (ou
amostras) que possuem a mesma média”, ou, em outras
palavras: “As médias das duas amostras não são
significativamente diferentes”.
Atividade de Avaliação (3 pontos)
• Disponibilizamos uma planilha no portal do curso
(http://www.estacioarapiraca.com.br/mbagfc2015/) para a atividade
avaliativa da disciplina.
• A planilha foi dividida em 08 equipes que serão compostas
por no máximo 06 alunos.
• Cada equipe deve analisar a sua pasta de trabalho (os dados
foram simulados para uma pesquisa sobre a taxa efetiva de
juros entre dois bancos). Cada equipe deve apresentar a
estatística descritiva, um gráfico comparando os resultados
entre os dois bancos, como também aplicar o teste T e
analisar o resultado obtido informando se há ou não uma
diferença significativa entre as médias .
OBRIGADO E
BONS ESTUDOS!