Uma contribuição ao estudo da regressão linear múltipla

Uma contribuição ao estudo da regressão linear múltipla
Jessé Montello *
1. Introdução; 2. Coeficiente de correlação parcial entre variáveis independentes; 3. Coeficiente de correlação simples entre os estimadores de mínimos quadrados de dois coeficientes de regressão.
1.
Introdução
Cun~idere-,e
a eq uatJiu de
(I)
onde)' é u \ etar
regre,~;i()
!J
= X
da~ ubsenaçõe~
linea r
d
+ c.
da yari;íyel dependente:
;-
!h
'I -
R. bras. Econ ..
Rio de Janeiro.
2i 13) : li-li.
jul.'set. 19i3
E
é o vetor coluoa ela., perturbações
aleatória~:
E-
L f".-J
e
~
o "elOr dos coelicientcs de
regre~,ão:
d
l~
R.B.E. :l 73
o
estimador de mínimos quadrados de
Com respeito ao vetor
seguintes propriedades:
f. ()
E (t·. X)
Com base
ne~sas
~
é o vetor:
modelo dússico de regTessão estabelece as
= O.
\'ar
Cf
X)
= (TI
propriedades demonstra-se que:
desde que X tenha característita k
Considere,se agora
a~
<
1/.
"ariá\'eis independente,:
í21
. .r I
.
I
* o
I .
e lesIgnemos
por 1"'.'1.2 .. ,-1.1+1. .. ,-J.IT1. .1. • ()l! ,uupesmente
porl'ij
coeficiente de correlação parcial de amo'ara entre Xi e x j • quando se elimina
a influência das outras "aráveis.
Esses coeficientes de correlac:ão parcial entre a, \ariáveis (2) formam a
matriz:
R*
,.*
*
L rle1
*
i';2J,'
*
I'I'~
-.J
Designando,se por S a matril: (X'X). tem-,e:
UFGRnS.IO USEAR .\ICI.T1Pl.a
1:1
RepreseJltand()-~c
por Sij () elemcnto genérico da matri7 inycrsa S-I
tern-,e:
Des~a mau'i! dedll/-\l' que os coeticientes de correlação entre a'i componC'nte'i de li formam ;1 matril:
P!I
Pu
PII'
p.,.,
P!I.
/'
onc!('
Pii
~o
pre'iente trab,tlho. Yarnll'l mo,trar que:
Pii =
2.
p(/;,. b,) = -
* para /...J
\. k
fii'
Coeficiente de correlação parcial entre variáveis independentes
Con,idl'l'ClllO' a, regn:"ôe, linearc, entre
. .. x h ·
XI
e,,:: .....
.\ matrit .\ d;", obserya(:õe, das \'ari;í"eis
particionada do ,cguIIlte modo:
'\1'
XI>
e entre x" ex:: .
.\~ • . . . •
Xk
pode ser
Designando-,e por.\' a ,eguinte matrit. idem potcnte:
y = / --
11' (/1"
Ir)-] //,'.
t- imediato qut'
X.r] represenLt a ,oma do, quadrados do, resíduo, da primeira regressão mCllciol1;tcla:
.rI
14
R.li.E. :\ 7:\
x;
X.r2 repre~enta a ~ol1la dm quadrados dos resíduos da segunda regre"ão mencionada .
.r~ ~\~.f.! reprc"icnta a sonla dos produto'i drsse~ re~íduo~.
Resulta então. que () coeficiente de correlação parcial entre
Xl
e
Xi
3. Coeficiente de correlação simples entre os estimadores de mínimos quadrados
de dois coeficientes de regressão
{',ando a nota<,'ão da introdu(:ão. o coeficiente de correlação entre ú] e
li" é:
X'X.
Ora, sendo
tem-se:
r-
,
I
)'1
Xl XI
,
X' X
:..:.
,
:l'"
,
li'
-,
,
x~ X~
.l"2 .1'1
.r]
.r'2 Ir
parti< iOI1ada da maneira indicada. Fa/el1(lo-,e:
PI
[ ~:
.i:!
.rI
.1':
·,'1
.r2 .f2
RI
c
.r ] •
[ .1':
:r~
()I
//,'u-
/I' ]
/1'
tem-se
_\" X
IIFGR1-.\5,.[0 U_\EAR .\lC L TlPIA
15
Por uma conhecida fórmula para in\"ersão de matrizes particionadas, a
submatri7 da matril
corre,pondente à <;ubmatri7 P 1 da matriz S,
,cfá: 1
,-I,
.'\otando-se que:
:r~
[ .r 2
li' (/c' /e)-I
l{'
(11" U') -
I
ou
(ti)
tendo em yista a defini('ào da matri, S dada pela relacão Ul).
Seg-ue-~e
(P I
('n tão q llC:
-
tendo em \'i,la que os elementos da matriz (ti)
Por conseguinte,
~ã()
escalares ('
tern-~e:
,
.
,,22
('
16
R.H.E. 3 7:·:
Donde. tendo em \'ista (fi). podemos esrre\'er:
Comparando c'ita relacão com a (15). tem-'ie:
Pur altera~'ãu na ordem das "ari;í"eis independente, na equação de
regressão (1). obtém-se que, em geral. tem-se:
que é a rela~'ão que desejávamO'; ckmomtrar.
ciar o seguinte teorema:
E~~a
relação permite enun-
Trornlla: O corficielllc' de corrclaçiío linear entrl' os cstimadorrs de
minilllos quadrados b i e b j dos coeficientes (lt: rc{Zressão j3i c j3j é igual,
com sinal contrário. ao coeficicl/tl' di' correlação parcial entre as 'l'ariállf'is
:\'i r Xj. a f]1If' SI' rrfrrelll ('.IS('\' coeficientes.
-:\0 caso particular em que se tem uma equação de regressão com três
\'ariáYeis:
I.
iln
li
Inl1-Se que:
,
[f i..,."
:]
(,r"l -
-.:. . "] [0':1
... " r.ra~
'
-
.rl)-
, "1
.r~r,
tendo em Yista que nes~e caso o coeticiente lk correlação parcial entre as
yariúyeis .\1 e Xc coincide com o coeficiente de correlação simples .
.-\ prupriedade enunciada "em mostrar a importáncia que tem a matriz
(X'X)-l para a determinação dos coeficientes de correlação parcial entre
as variáveis independentes (regre''iora~). que figuram numa equação de
Pode-,c em pregar e,sa propriedade para calcular coeficientes
parciais. usando os programas para computação eletrônica de regressão.
regre~~ã().
IIf_·(;}u: ...... ,:jO USFAH JICLTIPL4
17
DEMOGRAFIA Y ECONOMIA
Redactores
Raúl Benítez Zenteno, Gerardo M. Bueno, Gustavo Cabrera Acevedo, Eliseo Mendoza Berrueto, Leopoldo Solís M., Rodolfo Stavenhagen. Claudio Stern, Luis Unikel S., Víctor L. Urquidi.
Secretario de redacción: Raúl de la Pefia
Vol. VII, Núm. 1 (19)
1973
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La
con~trucción
de vivienda y el empleo en México
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La capacidad dei sector industrial para generar ocupación
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