tensão tensão "em um"

CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA
INTRODUÇÃO
Dois elementos passivos que
armazenam energia:Capacitores e Indutores
CAPACITORES
Armazenam energia através do campo elétrico (energia
eletrostática) Modelo de elemento de circuito (variação da
tensão).
INDUTORES
Armazenam energia através do campo magnético
Modelo de elemento de circuito (variação da corrente)
COMBINAÇÃO DE INDUTORES E CAPACITORES
Combinação de elementos em série/paralelo.
CIRCUITOS RC, RL, RLC e AMP-OP
Circuitos integradores e diferenciadores
Equações integro-diferenciais
CAPACITORES
Cerâmicos
Multiplacas cerâmico
Eletrolíticos e de
estado sólido
1
CAPACITORES
Axial
Radial
Courtesy of Johnson Manufacturing Co.
Capacitores variáveis com dielétrico de ar
Testando dielétrico de um capacitor
Ohmímetro: identifica
dielétrico deteriorado
(capacitores de papel e
eletrolítico)
Dielétrico rompido,
qualidade de isolação
diminui de modo que a
resistência entre as
placas se torna
relativamente pequena.
2
Resumo:
CAPACITORES
Capacitores típicos
Capacitor básico de placas paralelas
USO DA CONVENÇÃO
PASSIVA
DE ELEMENTO
REPRESENTAÇÃO DO CIRCUITO
3
C=
εA
d
ε Dielectric constant of material in gap
TAMANHO PARA UM CAPACITOR AR (GAP-AR) EQUIVALENTE
55F =
8.85×10−12 A
⇒ A = 6.3141×108 m2
1.016×10−4
Normalmente os valores de capacitância são pequenos
em geral Microfarad (µF). Usualmente, para circuitos
integrados, na ordem de nano e pico Farad (nF e pF).
Distribuição das linhas de campo
Efeito de borda: reduz
a capacitância
Sem efeito de borda:
ideal - prática
Robert L. Boylestad
Introductory Circuit Analysis, 10ed.
Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc.
Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.
4
Ex.: Determinar a capacitância para cada caso.
C=
C=
C=
C=
εA
d
εA
d
εA
d
εA
d
= 3 x(5µF ) = 15µF
=
0,1µF
= 0,05µF
2
= 2,5 x( 20µF ) = 50µF
= 5x
4
(1000 pF ) = 0,16 µF
(1 / 8)
CAPACITORES
Circuito simples de carga com duas placas.
Robert L. Boylestad
Introductory Circuit Analysis, 10ed.
Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc.
Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.
5
Lei básica para carga:
Q = f (VC )
Lei de Coulumb, capacitores lineares:
Q = CVC
C é a CAPACITÂNCIA do dispositivo e tem unidade
em
charge
voltage
Representação linear p/ capacitor.
Um Farad(F) é a capacitância do dispositivo que
pode armazenar um Coulomb de carga a cada Volt.
Farad =
EXEMPLO
Coulomb
Volt
Tensão através de um capacitor de 2 micro
Farads “segura” 10mC de carga
VC =
1
1
Q=
10 *10 −3 = 5000V
−6
C
2 *10
Capacitância em Farads, carga em Coulombs
resulta tensão em Volts
Michael Faraday
Capacitores podem ser perigosos!!!
Capacitores somente armazenam e trocam
Energia eletrostática. Não criam energia.
O capacitor é um elemento
passivo, logo segue a
convenção passiva.
Representação de circuito linear
i (t ) = C
dv
(t )
dt
6
QC = CVC
Lei p/ capacitância
Se a tensão varia a carga tembém varia, logo há
um deslocamento de corrente através do capacitor
Pode-se expressar a tensão no capacitor
em termos da corrente através do mesmo
VC (t ) =
1
1
Q=
C
C
… Ou pode-se expressar a corrente
Em termos da tensão no capacitor
t
∫i
C
iC =
( x)dx
−∞
Lei p/ capacitância em termos da integral
A implicação matemática
para a integral, define
que...
VC (t −) = VC (t + ); ∀t
Tensão através do capacitor DEVE
ser contínua.
Lei da capacitância em termos da derivada
Implicação a partir da derivada??
VC = Const ⇒ iC = 0
Comportamento DC ou estado inicial
Um capacitor inicialmente atua como um
CIRCUITO ABERTO
CAPACITOR COMO ELEMENTO DE CIRCUITO
iC
+
vC
dQ
dV
=C C
dt
dt
EXEMPLO
C = 5 µF
DETERMINE THE CURRENT
−
iC (t ) = C
i (t ) = C
dvc
(t )
dt
1
vR
R
vR = RiR
iR =
t
vC (t ) =
t
∫
−∞
=
1
iC ( x )dx
C −∫∞
t0
∫
−∞
vC ( t ) =
Lei de Ohm
t
+∫
t0
dv
(t )
dt
− 60mA
i = 5 × 10−6 [ F ] ×
24 V 
= 20mA
6 × 10−3  s 
i (t ) = 0 elsewhere
v c ( tO )
t0
1
1 t
i
(
x
)
dx
+
iC ( x )dx
C
C −∫∞
C t∫0
t
vC (t ) = vC (t0 ) +
1
iC ( x)dx
C t∫0
O fato da tensão ser definida através de
uma integral tem importantes implicações...
7
iC
+
CAPACITOR COMO ELEMENTO ARMAZENADOR DE ENERGIA
Potência Instantânea
vC
pC (t) = vC(t)iC(t)
−
t
dv
iC (t ) = C c (t )
dt
pC (t ) = CvC (t )
pC (t ) = C
W
vC (t ) =
dvc
dt
1
q (t )
iC ( x)dx = C
∫
C −∞
C
pC (t ) =
d  1 2  Energia é a integral da potência
 vC ( t ) 
t
dt  2

2
wC (t 2 , t1 ) = ∫ pC ( x )dx
dq
1
qC (t ) C (t )
C
dt
pC (t ) =
t1
1 d 1 2 
 qc (t ) 
C dt  2

Se os limites são ±∞, tem-se a
“energia total armazenada.”
Se t1 é menos infinito, tem-se
a“energia armazenada em t2.”
1
1
wC ( t 2 , t1 ) = CvC2 ( t 2 ) − CvC2 ( t1 )
2
2
wC ( t 2 , t1 ) =
1 2
1
qC ( t 2 ) − qC2 ( t1 )
C
C
Energia armazenada de 0 - 6 ms
C = 5µF
1
1
wC (0,6) = Cv C2 (6) − Cv C2 (0)
2
2
1
wC (0,6) = 5 *10−6 [ F ] * ( 24) 2 [V 2 ]
2
Carga armazenada em 3ms
EXEMPLO
qC (3) = CvC (3)
qC (3) = 5 *10 −6 [ F ] *12[V ] = 60 µC
“Energia total armazenada?” ....
Carga em Coulombs,
capacitância em Farads
“Carga total armazenada?” ... então a energia é dada em?
8
C = 4 µ F . FIND THE VOLTAGE
V(0) = 0
v ( t ) = v ( 0) +
1t
i ( x )dx; t > 0
C ∫0
0≤t ≤2
1t
v (t ) = v ( 2) + ∫ i ( x )dx; t > 2
C2
v (t ) = −2t + 8 × 10−3[V ]
2 < t ≤ 4ms
C = 4 µ F . FIND THE POWER
i (t ) = 8 × 10−3 t
V(0) = 0
p(t ) = 8t 3 , 0 ≤ t ≤ 2ms
2 < t ≤ 4ms
p(t ) = 0, elsewhere
9
ENERGIA
p(t ) = 8t 3 , 0 ≤ t ≤ 2ms
p(t ) = 0, elsewhere
2 < t ≤ 4ms
EXTENSÃO
C = 2µ F
DETERMINE THE CURRENT
i = 2 × 10−6 F ×
i = 2 × 10−6 F ×
i (t ) = C
dv
(t )
dt
− 12 V 
4 × 10−3  s 
12 V 
=
2 × 10−3  s 
10
+
PROBLEMA
C = 2µ F
v (t )
−
QUAIS VARIÁVEIS SÃO
CALCULADAS?
v ( t ) = 130 sin (120π t )
Energia armazenada em um tempo t
E (t ) =
Carga armazenada em um dado tempo
Corrente através do capacitor
1 2
CvC (t ) E (1 / 240) = 1 2 *10− 6 [ F ] *1302 sin 2  π 
 
2
2
2
qC (t ) = CvC (t ) qC (1 / 120) = 2 *10 −6 [C ] * sin(π )[V ] = 0
iC = C
dvC
(t ) iC (1 / 120) = 2 *10−6 *130 *120π cos(π )
dt
pC (t ) = vC (t )iC (t )
Potência elétrica no capacitor em um dado instante
Energia armazenada em um dado intervalo
C
C
A
W
1
1
w (t 2 , t1 ) = CvC2 (t 2 ) − CvC2 (t1 )
2
2
J
Corrente conhecida ...
EXEMPLO
iC
J
Corrente no capacitor
+
vC
−0.5 t
e ; t ≥ 0
iC (t ) = 
[mA]
 0; t < 0
−
C = 2 µF
Tensão em determinado t
t
vC (t ) =
1
iC ( x )dx vC (0) =
C −∫∞
0[V ]
t
vC (t ) = vC (t 0 ) +
Tensão em t quando a tensão em to<t é conhecida
2
vC ( 2) = vC (0) +
1
iC ( x )dx
C t∫0
2
1  1 −0.5 x 
1
1
1 −0.5 x
(1 − e −1 ) = 0.6321*106
=
−
e
e
dx =
−6
−6 

∫
2
*
10
0
.5
2
*
10
0
.
5
C0

0
Carga em um dado t
qC (t ) = CvC (t )
qC (2) = 2 * 0.6321
V
C
t
1 − 0 .5 x
1
dx
iC ( x )dx vC (t ) = 0; t ≤ 0 vC (t ) = vC (0) + ∫ e
∫
C
C −∞
0
10 6 (1 − e −0.5t ); t ≥ 0
Potência elétrica no capacitor
pC (t ) = vC (t )iC (t ) W
vC (t ) = 
V
0; t < 0
1 2

J
Energia armazenada no capacitor em t
w (t ) = CvC (t )
2
1
1
Energia “total” armazenada no capacitor
wT = CvC2 (∞)
wT = 2 *10−6 * (106 ) 2 = 106 J
2
2
t
Tensão em função do tempo
vC (t ) =
11
Dados: corrente e capacitância
PROBLEMA
Calcular a tensão em função do tempo
VC (t ) = 0; t ≤ 0
Corrente é zero para t<0, tem-se:
−6
0 < t < 5m sec ⇒i (t ) = 15 µA t = 310 A t = 3 *10−3[ A / s] t
C
−3
5 ms
5
10
10 s
3
3 *10 −3 t
VC (0) = 0 ⇒ VC ( t ) =
∫ xdx [V ] = 3 *10 t 2 [V ]; 0 < t < 5 *10 −3[ s]
4 *10 −6 0
8
t (m sec)
5 < t < 10 ms ⇒ iC (t ) = −10 [ µA]
VC (5ms ) =
Carga armazenada: 5ms
Em particular
VC (t ) =
75 *10 −3 10
−
t − 5 *10−3 [V ]; 5 *10−3 < t < 10 *10−3 [ s ]
8
4
(
75 *10−3
[V ]
8
t≤0
)
Energia total armazenada
−3 2
1
E = CVC2 ET = 0.5 * 4 *10 −6  25 *10  [ J ]
8
2


q (5ms ) = (75 / 2) [ nC ]
0;

 3 2
t ;

 8
Vc (t ) =  75 10
− (t − 5);
8 4

25
− ;

8

3 *103 * (5 *10 −3 ) 2
75
[V ] = [mV ]
8
8
t
75
75 *10−3
1
[mV ] ⇒ VC (t ) =
+
( −10 *10−6 )[ A / s]dx
−6 ∫
8
8
4 *10 5*10−3
qC (t ) = CVC (t )
q(5ms) = 4 *10−6 [ F ] *
VC (5ms ) =
Descrição formal dos pontos de um sinal
0 < t < 5ms
5 < t ≤ 10 [ ms]
[mV ]
t > 10[ms]
12
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES: CAPACITOR IDEAL
1. Só há fluxo de corrente através de um capacitor, se a tensão
em seus terminais variar com o tempo. Capacitor é um
circuito aberto para CC;
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em
um capacitor mesmo que a corrente através dele seja zero,
como no caso em que a tensão em seus terminais é constante;
3. É impossível promover uma mudança finita na tensão nos
terminais de um capacitor em um intervalo de tempo nulo,
demandaria uma corrente infinita;
4. Capacitor não dissipa energia, somente armazena – modelo
matemático do dispositivo (no caso real, o modelo tem uma
resistência finita associada ao dielétrico a ao
encapsulamento).
INDUTORES
USO DA CONVENÇÃO PASSIVA
Circuito representativo
para um indutor
Linhas de fluxo podem
extender além do Indutor
criando efeito indutivo
“desgarrado”
O fluxo variável com o tempo
cria um contator EMF,
provocando a tensão nos
terminais do dispositivo.
13
Joseph Henry
Indutores
Montagem de
superfície
Tipos de indutores
Toroidal de potência
Encapsulados
Filtro de alta corrente (40 µH a 5 A)
De filtro de alta corrente (24 µH a 60 A)
Núcleo de ar
14
RESUMO
Tipo: De núcleo aberto
Valores Típicos: 3 mH a 40 mH
Aplicações: Usado em filtros
passa-baixa. Encontrado em circuitos de
alto-falantes.
Tipo: De RF
Valores Típicos: 10 µH a 50 µH
Aplicações: Usado em receptores de
rádio e televisão e em circuitos de
comunicação. Encontrados em circuitos
de AM, FM e UHF.
Tipo: Toroidal
Valores Típicos: 1 mH a 30 mH
Aplicações: Usado em linhas de
transmissão para filtrar transientes e
reduzir interferências eletromagnéticas.
Encontrado em muitos eletrodomésticos.
Tipo: Encapsulado
Valores Típicos: 0,1 µH a 100 µH
Aplicações: Usado em uma grande
variedade de circuitos com osciladores,
filtros passa-baixa e outros.
Tipo: Cilíndrico
Valores Típicos: 3 µH a 1 mH
Aplicações: Usado em linhas de
transmissão de alta corrente.
Tipo: Para montagem em superfície
Valores Típicos: 0,01 µH a 100 µH
Aplicações: Encontrado em muitos
circuitos eletrônicos que exigem
componentes em miniatura para que
sejam montados emplacas de circuito
impresso com multicamadas.
Tipo: Linha de retardo
Valores Típicos: 10 µH a 50 µH
Aplicações: Usado em receptores de
televisão em cores para corrigir
diferenças de tempo entre os sinais de
cor e o sinal de branco e preto.
Tipo: Ajustável
Valores Típicos: 1 µH a 100 µH
Aplicações: Indutor variável usado em
osciladores e outros circuitos de RF de
transceptores e receptores de rádio e
televisão.
Tipo: Com derivações
Valores Típicos: 0,6 mH a 50 mH
Aplicações: Usado em filtros de linha, fontes
de alimentação chaveadas, carregadores de
baterias e outros equipamentos eletrônicos.
UM FLUXO MAGNÉTICO VARIANTE NO TEMPO
INDUZ UMA TENSÃO
vL =
dφ
dt
Lei da indução
PARA UM INDUTOR LINAR O FLUXO É
PROPORCIONAL A CORRENTE
φ = LiL ⇒
vL = L
diL
dt
FORMA DIFERENCIAL
DA LEI DA INDUÇÃO
A CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE, L, É
CHAMADA DE INDUTÂNCIA DO COMPONENTE
INDUCTÂNCIA É MEDIDA EM UNIDADE DE
henry (H). DIMENSIONALMENTE
HENRY=
Volt
Amp
sec
INDUTORES ARMAZENAM ENERGIA ELECTROMAGNETICA.
PODEM SER ALIMENTADOS E ARMAZENAR ENERGIA NO
CIRCUITO, MAS NÃO PODEM CRIAR ENERGIA.
DEVEM RESPEITAR A CONVENÇÃO PASSIVA.
Seguindo o sinal da convenção passiva
15
vL = L
diL
dt
iL (t ) =
1
vL ( x) dx
L −∫∞
Forma diferencial da Lei da Indução
t
Forma Integral da Lei da Indução
t
iL (t ) = iL (t0 ) +
1
vL ( x) dx; t ≥ t0
L t∫0
iL (t −) = iL (t +); ∀t
Conseqüência direta da forma Integral
Corrente DEVE ser continua
iL = Const. ⇒ vL = 0
Conseqüência direta da forma diferencial
Comportamento DC
Potência e Energia armazenadas
p L (t ) = v L (t )iL (t )
t2
w L (t 2 , t1 ) = ∫
t1
W
p L (t ) = L
d 1 2

 Li L ( x ) dx
dt  2

1
1
w (t 2 , t1 ) = Li L2 (t 2 ) − Li L2 ( t1 )
2
2
1
w L (t ) = Li L2 (t )
2
Corrente em Amps, Indutância em Henrys
energia em Joules
J
Energia armazenada no intervalo
pode ser positiva ou negativa
“Energia armazenada em t”
DEVE ser não-negativa. ELEMENTO PASSIVO!!!
EXEMPLO
L=10mH. ENCONTRAR A TENSÃO
v (t ) = L
m=
diL
d 1

(t )iL (t ) =  LiL2 (t ) 
dt
dt  2

20 × 10−3 A
 A
= 10 
2 × 10−3 s
s
di
(t )
dt
 A
m = −10 
s
ENERGIA ARMAZENADA ENTRE 2 AND 4 ms
1
1
w (4,2) = Li L2 ( 4) − Li L2 ( 2)
2
2
w (4,2) = 0 − 0.5 *10 *10 −3 (20 *10−3 ) 2
J
A DERIVADA DE UMA LINHA RETA É UMA
CONSTANTE
 10( A / s ) 0 ≤ t ≤ 2ms
di 
= − 10( A / s ) 2 < t ≤ 4ms
dt 
0 elsewhere

O VALOR É NEGATIVO POR QUE O
INDUTOR ESTA FORNECENDO ENERGIA
PREVIAMENTE ARMAZENADA
di

( t ) = 10( A / s )
−3
dt
 ⇒ v ( t ) = 100 × 10 V = 100mV
L = 10 × 10−3 H 
16
PROBLEMA
L=0.1H, i(0)=2A. OBTER i(t), t>0
v (V )
1
1
w (t 2 , t1 ) = Li L2 ( t 2 ) − Li L2 ( t1 )
2
2
2
i ( t ) = i ( 0) +
1t
v ( x )dx
L ∫0
2 t (s)
CÁLCULOS DA ENERGIA
Energia armazenada no
Intervalo pode ser negativa ou positiva
Energia inicial armazenada no Indutor
w (0) = 0.5 * 0.1[ H ](2 A) 2 = 0.2[ J ]
t
v ( x ) = 2 ⇒ ∫ v ( x )dx = 2t ; 0 < t ≤ 2
0
L = 0.1H ⇒ i (t ) = 2 + 20t ; 0 ≤ t ≤ 2 s
“Energia total armazenada no indutor”
w (∞) = 0.5 * 0.1[ H ] * (42 A) 2 = 88.2 J
v ( x ) = 0; t > 2 ⇒ i (t ) = i ( 2); t > 2 s
Energia armazenada entre 0 e 2 sec
42
1
1
w (2,0) = Li L2 (2) − Li L2 (0)
2
2
i (A)
w (2,0) = 0.5 * 0.1 * (42) 2 − 0.5 * 0.1* ( 2) 2
w ( 2,0) = 88[ J ]
2
2
t (s)
EXEMPLO
OBTER A TENSÃO ATRAVÉS L, E A ENERGIA
ARMAZENADA (EM FUNÇÃO DO TEMPO)
v (t )
PARA ENERGIA ARMAZENADA NO INDUTOR
w L (t )
NOTAR QUE A ENERGIA ARMAZENADA
EM QUALQUER TIMPO É NÃO NEGATIVA
-ELEMENTO PASSIVO-
17
EXEMPLO
L = 10mH
DETERMINE THE VOLTAGE
v (t ) = L
di
(t )
dt
v = −100mV
v = 10 ×10−3[ H ] ×
20 ×10−3  A 
2 ×10−3  s 
EXEMPLO
OBTER A CORRENTE
i (t )
i (t )
L=200mH
i ( t ) = i ( 0) +
1t
v ( x )dx; t > 0
L ∫0
v (t ) = 0; t < 0 ⇒ i (0) = 0
18
OBTER A POTÊNCIA
L=200mH
i (t )
POWER
p( t )
OBTER A ENERGIA
ENERGIA NUNCA É NEGATIVA.
O DISPOSITIVO É PASSIVO
ENERGIA
w (t )
L=5mH
OBTER A TENSÃO
m=
20mA
1ms
10 − 20
( A / s)
2 −1
v = −50mV
m=
m=0
v = 0V
v (t ) = L
di
(t )
dt
0 − 10
( A / s)
4−3
v = −50mV
m=
v = 5 × 10−3 ( H ) × 20( A / s ); 0 ≤ t < 1ms = 100mV
19
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES: INDUTOR IDEAL
1. Só há tensão nos terminais de um indutor, se a corrente
através dele variar com o tempo. Indutor é um curto circuito
para CC;
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em
um indutor mesmo que a tensão em seus terminais seja zero,
como no caso em que a corrente através dele é constante;
3. É impossível promover uma mudança finita na corrente
através de um indutor em um intervalo de tempo nulo,
demandaria uma tensão infinita;
4. Indutor não dissipa energia, somente armazena – modelo
matemático do dispositivo (no caso real, o modelo tem uma
resistência finita em série - enrolamento).
ESPECIFICAÇÕES DO CAPACITOR
CAPACITANCE RANGE p F ≈ C ≈ 50mF
IN STANDARD VALUES
STANDARD CAPACITOR RATINGS
FORMA ONDA TENSÃO
Nominal current
300nA
100 × 10−9 F
(−3) − 3 V 
= −600nA
3 − 2  s 
6.3V − 500V
300nA
STANDARD TOLERANCE
± 5%, ± 10%, ± 20%
EXEMPLO
C = 100nF ± 20%
i (t ) = C
dv
(t )
dt
DADA A FORMA DE ONDA DA TENSÃO
DETERMINAR A VARIAÇÃO NA
CORRENTE
20
ESPECIFICAÇÃO DO INDUTOR
FORMA DE ONDA CORRENTE
INDUCTANCE RANGES ≈ 1nH ≤ L ≤≈ 100mH
IN STANDARD VALUES
v = 100 × 10−6 H ×
200 × 10−3  A 
20 × 10−6  S 
STANDARD INDUCTOR RATINGS
≈ mA − ≈ 1A
STANDARD TOLERANCE
± 5%, ± 10%
µs
EXEMPLO
L = 100µ H ± 10%
di
v (t ) = L ( t )
dt
DADO A FORMA DE ONDA DA CORRENTE
DETERMINAR A VARIAÇÃO NA TENSÃO
C→L
v→i
i →v
21
ELEMENTOS IDEAIS E PRÁTICOS
i (t )
+
i (t )
+
v (t )
−
i (t )
i (t )
+
+
v (t )
−
v (t )
v (t )
−
ELEMENTO IDEAL
MODELOS INCLUINDO RESISTÊNCIAS
DE FUGA - PRÁTICO
dv
i (t ) = C (t )
dt
v (t ) = L
di
(t )
dt
i (t ) =
−
v (t ) = Rleak i ( t ) + L
v (t )
dv
+ C (t )
Rleak
dt
di
(t )
dt
MODELO DE “FUGA”
INDUTORES
MODELO DE “FUGA”
CAPACITOR
CAPACITORES ASSOCIADOS EM SÉRIE
Cs =
C1C2
C1 + C2
Combinação em série
com dois capacitores
6µF
3µF
CS =
2µ F
NOTAR A SIMILARIDADE COM A ASSOCIAÇÃO
PARALELA DE RESISTORES.
22
EXEMPLO
1µ F
DETERMINAR O CAPACITOR
EQUIVALENTE E A TENSÃO
INICIAL
2µ F
3 + 2 +1
=
6
OU PODEMOS REDUZIR EM DOIS TERMOS
= +2V − 4V − 1V
SOMA ALGÉBRICA DAS TENSÕES INICIAIS
POLARIDADE É DETERMINADA PELA REFERÊNCIA
DE CADA TENSÃO
Dois capacitores descarregados são conectados como abaixo.
Encontrar a capacitância desconhecida.
EXEMPLO
+
8V
+
-
12V
FIND C1
30µ F
+
18V
−
−
+
4V
−
C
12µ F
MESMA CORRENTE. CONECTADOS PARA UM MESMO PERIODO DE TEMPO
MESMA CARGA EM AMBOS CAPACITORES
Q = (30 µ F )(8V ) = 240 µC
Q = CV ⇒ Q = (12 µF )(6V ) = 72 µC
C1 =
72µC
= 4µ F
18V
23
CAPACITORES ASSOCIADOS EM PARALELOS
ik ( t ) = C k
dv
(t )
dt
i (t )
EXEMPLO
CP
EXTENSÃO
6µ F
2µ F
4µ F
3µ F
C eq →
3
C eq = µ F
2
4µ F
12 µ F
3µ F
24
OBTER A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE
PROBLEMA
ALL CAPACITORS ARE 4 µF
8µ F
8µ F
4µ F
C eq
8
32
+8 =
3
3
32
µF
12
8µ F
8µ F
PROBLEMAS
SE TODOS OS CAPACITORES TEM O MESMO VALOR, C,
DETERMINAR OS CAPACITORES EQUIVALENTES EM CADA CASO.
25
Exemplos de interconecções
Todos capacitores iguais
a C=8 microFarads
CEQ
C AB = ______
INDUTORES ASSOCIADOS EM SÉRIE
v (t ) = LS
vk (t ) = Lk
di
(t )
dt
di
(t )
dt
EXEMPLO
Leq =
7H
26
INDUTORES ASSOCIADOS EM PARALELO
i (t )
EXEMPLO
4mH
N
i (t 0 ) = ∑ i j ( t0 )
2mH
i (t0 ) = 3 A − 6 A + 2 A = −1A
j =1
INDUCTORES COMBINAM SIMILARMENTE AOS RESISTORES
EXTENSÃO
TODOS OS INDUTORES IGUAIS A 4mH
a
CONNECTAR OS COMPONENTES AOS NÓS
d
6mH
a 4mH
2mH
NA DÚVIDA…
REDESENHAR!
c
4mH
Leq
c
d
2mH
2mH
b
2mH
IDENTIFICAR OS NÓS
TROCAR OS NÓS EM CIRCUITOS FECHADOS
a
b
Leq = (6mH || 4mH ) + 2mH = 4.4mH
d
c
b
27
TODOS INDUTORES SÃO 6mH
a
a
2mH
6 || 6 || 6
Leq
b
b
6mH
6mH
c
6mH
c
NÓS PODEM TER FORMAS COMPLICADAS.
LEMBRAR DA DIFERENÇA ENTRE O
LAYOUT FÍSICO E AS CONECÇÕES
ELÉTRICAS
Leq = 6 + [(6 + 2) || 6] = 6 +
Leq =
48
24
= 6 mH
14
7
66
mH
7
a
b
SELECIONA-SE O LAYOUT
c
L-C
28
CIRCUITOS COM AMPOP E RC
O AMPOP IDEAL
RO = 0 ⇒ vO = A(v + − v− )
IDEAL ⇒ RO = 0, Ri = ∞, A = ∞
Ri =∞⇒
A=∞⇒
O INTEGRADOR – AMPOP e RC
v+ = 0
ASSUMINDO CONDIÇÕES IDEIAS
v _ = v+ ( A = ∞)
i_ = 0 ( Ri = ∞)
29
O DIFERENCIADOR – AMPOP e RC
i2
R1
i1
KVL
v+ = 0
KCL@ v − : i1 + i2 = i−
CONDIÇÕES IDEAIS
v_ = v+ ( A = ∞)
i_ = 0 ( Ri = ∞)
v1 ( t ) = R1i1 +
v
i1 + O = 0
R2
1 t
i1 ( x )dx
C1 −∫∞
R1C1
replace i1 in terms of v o (i1 = −
R1C1
vo
)
R2
dvo
dv
+ vo = − R2C1 1 (t )
dt
dt
di1
dv
+ i1 = C1 1 (t )
dt
dt
EXEMPLO
INPUT TO IDEAL DIFFERENTI ATOR WITH R2 = 1kΩ, C1 = 2 µ F
IDEAL DIFFERENTIATOR
10 V
m=
5 × 10−3 s
vo = − R2C1
dv1
(t )
dt
DIMENSIONAL ANALYSIS
V
V
V ×s
Ω= =
=
Q
A
Q
s
Q
F = ⇒ Ω× F = s
V
R2C1 = 1× 103 Ω × 2 × 10−6 F = 2 × 10−3 s
30
EXEMPLO INPUT TO AN INTEGRATOR WITH R1 = 5kΩ, C 2 = 0.2 µ F
CAPACITOR IS INITIALLY DISCHARGED INTEGRATOR
R1C 2 = 10−3 s
v o ( t ) = v o ( 0) −
1 t
vi ( x )dx
R1C 2 ∫0
DIMENSIONAL ANALYSIS
V
V
V ×s
Ω= =
=
A Q
Q
s
Q
F = ⇒ Ω× F = s
V
t
−3
−3
0 < t < 0.1s :v1 (t ) = 20 × 10−3 ⇒ yo (t ) = ∫ v1 ( x )dx = 20 × 10 t (V × s ) ⇒ y (0.1) = 2 × 10 (V × s )
0
0.1 < t < 0.2 s : v1 (t ) = −20 × 10
−3
t
⇒ yo (t ) = yo (0.1) + ∫ v1 ( x )dx = 2 × 10−3 − 20 × 10−3 (t − 0.1)(V × s )
0.1
vo (t ) =
1
yo (t )
R1C 2
31