Raciocínio Lógico (Exercícios – Funiversa)

Rodrigo Melo
FUNDAMENTOS
DA LÓGICA
Professor Rodrigo Melo
Rodrigo Melo
PRIMEIROS CONCEITOS
O primeiro conceito que iremos estudar será
a proposição.
• Toda proposição deve:
- ser uma oração, que tenha sujeito e
predicado;
- possuir apenas dois valores lógicos:
verdadeiro (V) ou falso (F).
- ser declarativa, ou seja, não pode ser
interrogativas, exclamativas e nem imperativa.
Rodrigo Melo
Exemplo:
1) Qual dos itens abaixo é uma proposição?
• a) “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”
( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa)
• b) “como é o seu nome?”;“o jogo foi de quanto?”
( R: não é proposição, é uma sentença interrogativa)
• c) “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”.
( R: não é proposição, é uma sentença imperativa)
• d) “Feliz ano novo!”
( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa)
• e) A Terra é maior que a Lua.
( R: é proposição, pois é uma oração, tem sujeito e predicado)
Rodrigo Melo
Representação
• As proposições, geralmente são representadas
por letras minúsculas (p, q, r, s etc).
São outros exemplos de proposições:
Pedro é médico. = p
5 < 8 (Cinco é menor que oito.) = q
Luíza foi ao cinema ontem à noite = r
Rodrigo Melo
LEIS FUNDAMENTAIS DO
PENSAMENTO LÓGICO
• PRINCÍPIO DA IDENTIDADE
Se uma proposição for verdadeira ela será
verdadeira; uma proposição falsa é falsa.
• PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO
Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa
ao mesmo tempo.
• PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO
Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa:
não há outra possibilidade
Rodrigo Melo
NEGAÇÃO ( ~ )
Dada uma proposição
qualquer “p”, a negação
dessa proposição é “não-p”.
Representa-se essa negação
como: “~”
Se atribuirmos que essa
proposição seja verdadeira a
negação será falsa. Agora, se
atribuirmos que p for falsa a
sua negação será verdadeira.
Com isso pode-se concluir
que
a negação de qualquer
proposição atribui o valor
lógico oposto.
p
V
F
~p
F
V
Equivalências de
Negação
Não é verdade que A.
É falso que A.
Rodrigo Melo
PROPOSIÇÕES
Existem dois tipos de proposições: simples e composta.
• SIMPLES
Serão proposições simples ou proposição atômica aquelas
que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras orações.
Exemplos:
Todo homem é mortal. (Só existe uma oração)
• COMPOSTA
Se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si,
formando uma só sentença, estaremos diante de uma
proposição composta ou proposição molecular.
Rodrigo Melo
Exemplos de proposição
composta:
•
João é médico e Pedro é dentista.
( 1ª oração: João é médico e 2ª Pedro é dentista)
•
•
•
Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.
Ou Luís é baiano, ou é paulista.
Se chover amanhã de manhã, então não
irei à praia.
Rodrigo Melo
CONECTIVOS LÓGICOS
Para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa,
isso dependerá de duas coisas:
1º) do valor lógico das proposições componentes;
2º) do tipo de conectivo que as une.
Tipos de conectivos lógicos que estudaremos:
Rodrigo Melo
PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Conjunção
Disjunção
pvq
Disjunção
exclusiva
Condicional
Bicondicional
p
q
p^q
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
Rodrigo Melo
EXERCÍCIOS
1) Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
V
15 é múltiplo de 7
F
8 é número primo
F
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
a) se 15 é múltiplo de 7 ou 16 é múltiplo de 2 então 8 é número primo.
F
ou
V
V
então
então
F
F
F
b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7.
c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.
Rodrigo Melo
EXERCÍCIOS
1) Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
V
15 é múltiplo de 7
F
8 é número primo
F
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7.
V
ou
V
F
então
então
F
F
F
c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.
Rodrigo Melo
EXERCÍCIOS
1) Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
V
15 é múltiplo de 7
F
8 é número primo
F
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.
V
então
V
então
F
e
F
F
F
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.
Rodrigo Melo
EXERCÍCIOS
1) Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
V
15 é múltiplo de 7
F
8 é número primo
F
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.
F
e
F
F
então
então
V
V
V
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.
Rodrigo Melo
EXERCÍCIOS
1) Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
V
15 é múltiplo de 7
F
8 é número primo
F
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.
V
então
V
então
F
ou
F
F
F
Rodrigo Melo
02. Uma sentença lógica equivalente a
“Se Pedro é economista, então Luisa é solteira.” é:
p
então
V
F
q
Temos que encontrar essa
sequência de valores lógicos
p
q
~p
~q
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
p
V
v
q
Resultado
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.
p
v
q
F
Rodrigo Melo
• b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.
p
v
~q
p v ~q
p
q
~p
~q
V
V
F
V
F
F
F
Resultado
V
F
V
V
F
v
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
São equivalentes????
Não!!!!!!
Rodrigo Melo
• c) Se Luisa é solteira , Pedro é economista.
q
então
p
q
p
V
V
V
V
Resultado
p
q
~p
~q
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
São equivalentes????
Não!!!!!!
Rodrigo Melo
• d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.
~p
então
~p
p
q
~p
~q
V
V
F
V
F
F
F
~q
~q
Resultado
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
São equivalentes????
Não!!!!!!
Rodrigo Melo
• e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.
~q
então
~p
~q
~p
F
F
V
V
Resultado
p
q
~p
~q
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
São equivalentes????
SIM!!!!!!
Aula 2
Rodrigo Melo
PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Conjunção
Disjunção
pvq
Disjunção
exclusiva
Condicional
Bicondicional
p
q
p^q
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
Rodrigo Melo
Equivalências
São proposições cujas tabelas-verdade possuem os
mesmos valores lógicos, ou seja, são iguais.
CONTRAPOSITIVA
p→q
~q → ~p
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
p→q
p
q
~p
~q
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
~q → ~p
Dizer que Carlos não é pedreiro ou Abel é paulista é, do pont
de vista lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Carlos é pedreiro, então Abel é paulista
b) se Abel é paulista, então Carlos é pedreiro
c) se Carlos não é pedreiro, então Abel é paulista
d) se Carlos é pedreiro, então Abel não é paulista
e) se Carlos não é pedreiro, então Abel não é paulista
Carlos não é pedreiro ou Abel é paulista
p
ou
q
V
Temos que encontrar
essa sequência de
valores lógicos
V
V
são
equivalentes!
F
a) se Carlos é pedreiro, então Abel é paulista
~p
então
q
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
Expressões
lógicas
Rodrigo Melo
1) (CESPE) Considere as seguintes proposições:
A) 3 + 4 = 7 ou 7 – 4 = 3
V
ou
V
=V
B) 3 + 4 = 7 ou 3 + 4 > 8
V
ou
F
=V
C) 32 = –1 ou 32 = 9
F
ou
V
=V
F
=F
D) 32= –1 ou 32= 1
F
ou
Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são V.
Rodrigo Melo
2) (CESPE) Considere as seguintes proposições:
A) 6 – 1 = 7 ou 6 + 1 > 2
F
ou
=V
V
B) 6 + 3 > 8 e 6 – 3 = 4
e
V
=F
F
C) 9 × 3 > 25 ou 6 × 7 < 45
V
ou
=V
V
D) 5 + 2 é um número primo e todo número primo é ímpa
V
e
F
=F
CORRETA
Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são F.
Rodrigo Melo
Exercícios
(CESPE) Na comunicação, o elemento fundamental é
a sentença, ou proposição simples, constituída
esquematicamente por um sujeito e um predicado,
sempre nas formas afirmativa ou negativa, excluindose as interrogativas e exclamativas. Toda proposição
pode ser julgada como falsa (F), ou verdadeira (V),
excluindo-se
qualquer
outra
forma.
Novas
proposições são formadas a partir de proposições
simples, com os conectivos “e”, simbolizado por ;
“ou”, simbolizado por ; “se ... então...”, simbolizado
por .
Rodrigo Melo
Usa-se também o modificador “não”, simbolizado por
¬. As proposições são representadas por letras do
alfabeto: A, B, C etc. A seguir são apresentadas as
valorações para algumas proposições compostas a
partir das valorações das proposições A e B que
compõem essas proposições compostas. As
valorações de uma proposição composta compõem a
tabela-verdade da respectiva proposição.
Rodrigo Melo
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes
1 Considere as seguintes sentenças:
I) O Acre é um estado da Região Nordeste.Sim
II) Você viu o cometa Halley? Não
III) Há vida no planeta Marte. Sim
IV) Se x < 2, então x + 3 > 1. Sim
Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são
proposições.
Rodrigo Melo
2) ( ) Há duas proposições no seguinte conjunto de
sentenças:
(I) O BB foi criado em 1980. Sim
(II) Faça seu trabalho corretamente. Não
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.Sim
Rodrigo Melo
Negação
Rodrigo Melo
Negação de uma proposição
composta
CONJUNTIVA: ~(p e q)
Para negarmos uma proposição no formato de conjunção
(p e q), faremos o seguinte:
1º) Negaremos a primeira (~p);
2º) Negaremos a segunda (~q);
3º) Trocaremos e por ou.
Rodrigo Melo
Negação de uma proposição
composta
DISJUNTIVA: ~(p ou q)
Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou
q), faremos o seguinte:
1º) Negaremos a primeira (~p);
2º) Negaremos a segunda (~q);
3º) Trocaremos ou por e.
Rodrigo Melo
CONDICIONAL: ~(p → q)
1º) Mantém-se a primeira parte ou afirma; e
2º) Nega-se a segunda.
BICONDICIONAL: ~(p ↔ q)
Rodrigo Melo
1) A negação da afirmativa “Me caso ou compro
sorvete.” é
a) me caso e não compro sorvete.
b) não me caso ou não compro sorvete.
c) não me caso e não compro sorvete.
d) não me caso ou compro sorvete.
e) se me casar, não compro sorvete.
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo
2) Negando a sentença “ Se a Nanci está feliz então
está alegre e bonita.”
a) Se a Nanci não está feliz então não está alegre e
nem bonita.
b) Se a Nanci está alegre e bonita então está feliz.
c) Se a Nanci não está feliz então está alegre e bonita.
d) Se a Nanci não está alegre e nem bonita então está
feliz.
e) A Nanci está feliz e não alegre ou não bonita.
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo
3) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e
Alberto é alto, é logicamente equivalente a
dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é
alto.
Rodrigo Melo
Sentenças
abertas
Rodrigo Melo
Sentenças abertas com uma
variável
TAUTOLOGIA
• Uma proposição composta formada por duas ou
mais proposições será dita uma Tautologia se ela
for sempre verdadeira, independentemente dos
valores lógicos das proposições que a compõem.
Exemplo:
.
Rodrigo Melo
• CONTRADIÇÃO
Uma proposição composta formada por duas ou mais
proposições será dita uma contradição se ela for
sempre falsa, independentemente dos valores lógicos
das proposições que a compõem.
Exemplo:
• CONTIGÊNCIA
Uma proposição composta será dita uma contingência
sempre que não for uma tautologia nem uma
contradição.
Rodrigo Melo
1) Chama-se tautologia a toda proposição que é
sempre verdadeira, independentemente da verdade dos
termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é
gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então
Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é
alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
Rodrigo Melo
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
Rodrigo Melo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e
Guilherme é gordo
Rodrigo Melo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo
Condição suficiente e
condição necessária
Na condicional a primeira proposição é condição
suficiente para a segunda e a segunda é
C.S
condição necessária para a primeira.
p→q
C.N
Exemplo:
Se Andréa e paulista então Andréa é brasileira.
Rodrigo Melo
Na bi condicional a primeira proposição é
condição suficiente e necessária para a segunda
e vice versa.
C.S e CN
p↔ q
C.S e CN
Exemplo:
Rodrigo é sobrinho de Elisia se somente se Elisia
for irmã de Ecleide, mãe de Rodrigo.
Rodrigo Melo
Exemplo:
Se chover então faz frio. Assim sendo:
a) Chover é condição necessária para fazer frio.
b) Fazer frio é condição suficiente para chover.
c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer
frio.
d) Chover é condição suficiente para fazer frio.
e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para
chover.
Rodrigo Melo
Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:
a) Marcos estudar é condição necessária para João não
passear
b) Marcos estudar é condição suficiente para João
passear.
c) Marcos não estudar é condição necessária para João
não passear.
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João
passear.
e) Marcos estudar é condição necessária para João
passear.
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo
Aula 3
Rodrigo Melo
1. Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, o mordomo e o
jardineiro. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um
ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente
ou não. Sabe-se, ainda, que:
•se o cozinheiro é inocente, então o mordomo é culpado;
•ou o jardineiro é culpado ou o mordomo é culpado, mas não os
dois;
•o jardineiro não é inocente.
Logo:
a) o mordomo e o jardineiro são os culpados
b) o cozinheiro e o jardineiro são os culpados
c) somente o mordomo é culpado
d) somente o cozinheiro é inocente
e) somente o jardineiro é culpado
Rodrigo Melo
2. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por
outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é
difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:
a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.
b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.
c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.
d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.
Rodrigo Melo
3. Se A é alegre então B é boa, se B é boa então C é calma.
Sabe-se que C não é calma, nestas condições pode-se
concluir que:
a) A não é boa.
b) B não é alegre.
c) A não é calma.
d) C não é alegre.
e) A não é alegre.
Rodrigo Melo
4. Considere as seguintes proposições:
p: Eduardo é estudante.
q: Carina é bailarina.
A proposição composta ~(~p  q) em linguagem corrente é
a) “Não é verdade que Carina não é bailarina e Eduardo não é
estudante”.
b) “Carina não é bailarina ou Eduardo é estudante”.
c) “Carina não é estudante ou Eduardo é bailarino”.
d) “Não é verdade que Carina é bailarina ou Eduardo é estudante”.
e) “Carina não é bailarina e Eduardo não é estudante”.
Rodrigo Melo
5. Considere a sentença “Se os juros baixarem, haverá
crescimento econômico”.
A CONTRAPOSITIVA dessa sentença é
a) Se os juros não baixarem, não haverá crescimento econômico.
b) Se não houver crescimento econômico, os juros não baixam.
c) Se os juros não baixarem, haverá crescimento econômico.
d) Se houver crescimento econômico, os juros baixam.
e) Se os juros não baixarem, haverá recessão.
Rodrigo Melo
6. A NEGAÇÃO da sentença: “Hortelino saiu sem avisar e foi ao
cinema” é
a) “Hortelino saiu sem avisar e não foi ao cinema”.
b) “Hortelino não saiu sem avisar e não foi ao cinema”.
c) “Hortelino não saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.
d) “Hortelino não saiu sem avisar e foi ao cinema”.
e) “Hortelino saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.
Rodrigo Melo
7. Sejam as declarações:
Se ele me ama então ele casa comigo.
Se ele casa comigo então não vou trabalhar.
Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que:
a) Ele é pobre mas me ama.
b) Ele é rico mas é pão duro.
c) Ele não me ama e eu gosto de trabalhar.
d) Ele não casa comigo e não vou trabalhar.
e) Ele não me ama e não casa comigo.
Rodrigo Melo
8. Sejam as declarações:
Se o governo é bom então não há desemprego.
Se não há desemprego então não há inflação.
Ora, se há inflação podemos concluir que:
a) A inflação não afeta o desemprego.
b) Pode haver inflação independente do governo.
c) O governo é bom e há desemprego.
d) O governo é bom e não há desemprego.
e) O governo não é bom e há desemprego.
Rodrigo Melo
9. Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em
um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade;
e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz:
“Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz:
“Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é
quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está
sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:
a) Janete, Tânia e Angélica
b) Janete, Angélica e Tânia
c) Angélica, Janete e Tânia
d) Angélica, Tânia e Janete
e) Tânia, Angélica e Janete
10. Se Bia briga com Lara, então Lara vai ao teatro. Se Lara vai ao teatro,
então Sandra fica em casa. Se Sandra fica em casa, então Bruno briga
com Sandra. Ora, Bruno não briga com Sandra. Logo...
a) Sandra não fica em casa e Bia não briga com Lara.
b) Sandra fica em casa e Lara vai ao teatro.
c) Sandra não fica em casa e Lara vai ao teatro.
d) Lara vai ao teatro e Bia briga com Lara.
e) Lara não vai ao teatro e Bia briga com Lara.
11. Rafael quer ir ao teatro assistir a peça “Noviça Rebelde”, mas não
tem certeza se a mesma está sendo exibida. Seus amigos, Luana, Luis e
Ivan têm opiniões discordantes sobre se a peça está ou não em cartaz.
Se Julia estiver certa, então Ivan está enganado. Se Ivan estiver
enganado, então Luis está enganado. Se Luis estiver enganado, então a
peça não está sendo exibida. Ora, ou a peça “Noviça Rebelde” está
sendo exibida, ou Rafael não ira ao teatro. Verificou-se que Julia está
certa. Logo,
a) A peça “Noviça Rebelde” está sendo exibida.
b) Luis e Ivan não estão enganados.
c) Ivan está enganado, mas Luis não.
d) Luis está enganado, mas Ivan não.
e) Rafael não irá ao teatro.
12. Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu,
Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta
sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo,
a) Nestor e Júlia disseram a verdade
b) Nestor e Lauro mentiram
c) Raul e Lauro mentiram
d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade
e) Raul e Júlia mentiram.
(CESPE) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma
frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F),
mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o
tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições
porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser
nem V nem F. As proposições são representadas
simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C
etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem
F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A
então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Um
raciocínio lógico considerado correto é formado por uma
seqüência de proposições tais que a última proposição é
verdadeira sempre que as proposições anteriores na
seqüência forem verdadeiras.
Considerando as informações contidas no texto acima,
13) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de
proposições seguintes:
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado
no concurso.
Maria é alta.
Portanto José será aprovado no concurso.
14) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de
proposições seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um
emprego.
Ela conseguiu um emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
Rodrigo Melo
Aula 4
Rodrigo Melo
Proposições categóricas
São quatro proposições categóricas possíveis. As
proposições categóricas serão classificadas em:
- Universais
- Particulares
Rodrigo Melo
As proposições universais são aquelas em que o
predicado refere-se à totalidade do conjunto.
Exemplo:
“Todos os homens são inteligentes.”
Na proposição acima observamos que é universal
onde englobam todos os homens sem exceção,
e que pode ser representado como:
“Todo S é P”
Rodrigo Melo
As proposições particulares são aquelas em que o
predicado refere-se apenas a uma parte do
conjunto.
Exemplo:
“Alguns homens são inteligentes.”
Já nesta outra proposição acima, não são incluídos
todos os homens, só uma parte deles, que pode ser
representado como:
“Alguns S é P.”
Esses tipos de proposições também podem ser
classificados em:
- afirmativas (exemplo anterior)
- negativas
No caso da negativa podemos ter:
“Nenhum homem é inteligente”
Na proposição acima ela é universal negativa e
simbolizamos por:
“Nenhum S é P.”
- Outro exemplo:
“Alguns homens não são inteligentes.”
Ela é particular e negativa que poder ser representada
por:
“Algum S não é P.”
Rodrigo Melo
• Com isso podemos resumir essas
Afirmativa
Negativa
Universal (A) Todo S é P
(E) Nenhum S é P.
(I) Algum S é P
(O) Alguns S não é
P.
Particular
Rodrigo Melo
Diagrama
(A) Todo S é P.
(E) Nenhum S é P.
(I) Algum S é P.
(O)Algum S não é P.
Rodrigo Melo
Lógica da Argumentação
Argumento
É um conjunto de proposições com uma estrutura
lógica que podem ter como conseqüência outra
proposição. Ou seja, conjunto de proposições p1, p2,
p3, ..., pn que tem como conseqüência outra
proposição r.
As proposições p1, p2, p3, ..., pn serão
chamados de premissas do argumento, e a
proposição r de conclusão do argumento.
Rodrigo Melo
Exemplo:
p1: Se eu passar no concurso então irei trabalhar.
p2: Passei no concurso.
r: Irei trabalhar
Rodrigo Melo
Validade ou Invalidade
Validade de um argumento
Para um argumento ser válido a verdade das
premissas deve garantir a verdade da conclusão do
argumento. Significa dizer que jamais deverá ter uma
conclusão falsa, independente da validade de suas
premissas.
Exemplo:
Todos os peixes tem asas. (F)
Todos os pássaros são peixes. (F)
Todos os pássaros tem asas. (V)
Rodrigo Melo
Invalidade de um argumento
Para um argumento inválido, quando há possibilidade
de suas premissas serem verdadeiras e sua
conclusão falsa, ou seja, a verdade de suas
premissas não é suficiente para garantir a verdade da
conclusão.
Exemplos:
Todos os cachorros são animais. (V)
Todos os gatos animais. (V)
Todos os cachorros são gatos. (F)
Rodrigo Melo
Todos os alunos do curso passaram.
Daniel não é aluno do curso.
Portanto, Daniel não passou.
Rodrigo Melo
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS
Os argumentos também podem ser classificados em:
- dedutivos
- indutivo
O argumento dedutivo será quando suas premissas
fornecerem prova conclusiva da veracidade da
conclusão.
Já o argumento indutivo quando possui informações
que ultrapassam as fornecidas nas premissas.
Rodrigo Melo
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS
Exemplos:
Argumento dedutivo
Todo ser humano tem pai.
Todos os homens são humanos
Todos os homens têm pai.
Argumento indutivo
O Botafogo é um ótimo time de futebol.
O Vasco é um ótimo time de futebol.
O Fluminense é um ótimo time de futebol.
Todos os times brasileiros são ótimos times de futebo
Rodrigo Melo
ARGUMENTO DEDUTIVO VÁLIDOS
Lembrando que argumentos válidos ou inválidos
aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e
que a validade depende apenas da forma do
argumento e não dos valores das premissas.
Afirmação do antecedente ou Modus ponens
Se eu passar no concurso então irei trabalhar.
Passei no concurso.
Irei trabalhar
Rodrigo Melo
ARGUMENTO DEDUTIVO VÁLIDOS
Negação do conseqüente ou Modus tollens
Uma equivalência específica vista anteriormente
de uma condicional é chamada de contra
positiva.
p→q = ~q→ ~p
Exemplo:
Se ela me ama, então casa comigo.
Não casa comigo.
Então ela não me ama.
Dilema
Este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre
duas alternativas indesejáveis.
Exemplo:
Maria inscreveu-se no concurso do TRT, porém não gostaria de sa
do Rio de Janeiro, e seus colegas de trabalho estão torcendo po
ela.
Eis o dilema de Maria:
- Se Maria passar no concurso vai ter que ir embora do Rio de
Janeiro.
- Se Maria não passar no concurso ficará com vergonha diante dos
colegas de trabalho.
Portanto: Ou Maria vai embora do Rio de Janeiro ou Maria ficará
com vergonha diante dos colegas de trabalho
ARGUMENTO DEDUTIVO INVÁLIDO
É a combinação da verdade com falsidade das
premissas de qualquer maneira com a verdade ou
falsidade da conclusão. Lembrando que as premissas
não sustentam a conclusão.
Exemplo:
Todos os mamíferos são mortais.(V)
Todos os cachorros são mortais.(V)
Todos os cachorros são mamíferos.(V)
Este argumento tem a seguinte forma:
Todos os A são B.
Todos o C são B.
Todos os C são A.
ARGUMENTO DEDUTIVO
INVÁLIDO
Podemos observar que é um argumento inválido,
pois suas premissas não sustentam a
conclusão. Então todos os argumentos inválidos
chamaremos de falácias. Para compreender
melhor basta substituir: A por humanos, B por
mortais e C por cachorros. Logo teremos:
Todos os humanos são mortais.(V)
Todos o cachorros são mortais.(V)
Todos os cachorros são humanos.(F)
SILOGISMO
É o argumento formado por duas premissas e uma
conclusão. No silogismo teremos três termos:
- Termo menor: sujeito da conclusão
- Termo médio: é o termo que aparece uma vez
em cada premissa e não aparece na conclusão.
- Termo maior: predicado da conclusão
Adotaremos a premissa maior a que contém o
termo maior e a premissa menor a que contém
o termo menor
SILOGISMO
Exemplo:
• Todas as mulheres são bonitas.
• Todas as princesas são mulheres.
• Todas as princesas são bonitas
- Termo menor: as princesas
- Termo médio: mulheres
- Termo maior: bonitas
- Premissa menor: todas as princesas são
mulheres
- Premissa maior: todas as mulheres são bonitas
Regras para a validade de um
Silogismo
1) Todo silogismo deve conter apenas três termos;
2) O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez;
3) O termo médio não pode constar na conclusão;
4) Nenhum silogismo que tenha suas premissas negativas é
válido;
5) De duas premissas particulares não poderá ter uma
conclusão;
6) Se há uma premissa particular a conclusão será
particular;
7) Se há uma premissa particular negativa a conclusão será
particular .negativa
EXERCÍCIOS
1.Verifique a validade das seguintes argumentações. Se
ela for válida indique por “v”, se for não válida
indique por “nv”.
a) Toda pessoa persistente acaba vencendo. Ora, você
certamente vencerá. Logo, você é persistente. nv
b) Todo alemão é inteligente. Ora, Fritz é alemão. Logo,
ele é inteligente.v
c) Todo macaco é animal. Ora, homem é animal. Logo,
homem é macaco.nv
d) Você é um patinho. Ora, a mãe do patinho é uma
pata. Logo, a sua mãe é uma pata.v
2.(CESPE) Considerando que uma argumentação é
correta
quando,
partindo-se
de
proposições
presumidamente verdadeiras, se chega a conclusões
também verdadeiras, julgue o próximo item. Suponha-se
que as seguintes proposições sejam verdadeiras.
I Todo brasileiro é artista.
II Joaquim é um artista.
Nessa situação, se a conclusão for “Joaquim é
brasileiro”, então a argumentação é correta.( E )
3.Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G
é R”, então é necessariamente verdadeiro que:
*a) algum A não é G
b) algum A é G.
c) nenhum A é G
d) algum G é A
e) nenhum G é A
4.Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabese, também, que todo B é C. Segue-se, portanto,
necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
*c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C
5.Todos os médicos são obesos. Nenhum obeso sabe nadar.
Segue-se que:
a) Algum médico não é obeso
b) Algum médico sabe nadar
c) Nenhum médico sabe nadar
d) Nenhum médico é obeso
e) Algum obeso sabe nadar
6.(CESPE) – Das premissas:
A: “Nenhum herói é covarde.”
B: Alguns soldados são covardes.”
Pode-se corretamente concluir que:
a) alguns heróis são soldados.
b) alguns soldados são heróis.
c) nenhum herói é soldado.
*d) alguns soldados não são heróis.
e) nenhum soldado é herói.
7.Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum
filósofo é rico" e que "alguns professores são ricos".
Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta
comunidade
a) alguns filósofos são professores
b) alguns professores são filósofos
c) nenhum filósofo é professor
*d) alguns professores não são filósofos
e) nenhum professor filósofo
8.(CESPE) A forma de uma argumentação lógica
consiste de uma seqüência finita de premissas seguida
por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica
consideradas válidas e há formas consideradas
inválidas. No quadro abaixo, são apresentadas duas
formas de argumentação lógica, uma de cada tipo
citada, em que “~” é o símbolo de negação.
A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes.
a) A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1:Todo funcionário que sabe lidar com
orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece
contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.E
b) A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos
devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.E
9.Se é verdade que “Alguns B são R” e que “Nenhum Z é R”,
então é necessariamente verdadeiro que:
a) algum B não é Z
b) algum B é Z
c) nenhum B é Z
d) algum Z é B
e) nenhum Z é B
10. Se for verdade que “Nenhum hexágono é icoságono” e que
“Nenhum eneágono é icoságono”, então é necessariamente
verdadeiro que:
a) algum hexágono não é eneágono
b) algum hexágono é eneágono
c) nenhum hexágono é eneágono
d) algum eneágono é hexágono
e) não se pode tirar conclusão
Rodrigo Melo
Aula 5
Fatorial e o Principio
Fundamental da
Contagem
Professor Rodrigo Melo
Fatorial
Sendo n um número natural maior que um (1), podemos definir
como fatorial de n (n!) o número:
Lembrando que n  N (n pertence aos números naturais) e
n  1 ( n maior que 1 ).
O símbolo n! (lê-se: fatorial de n ou n fatorial.)
Exemplos:
7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1= 720
3! = 3 . 2 . 1 = 6
Observação:
Por definição, para 0!=1 e 1! = 1
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
Por este meio pode-se determinar quantas vezes, de modo
diferente, um acontecimento pode ocorrer. Ou seja, é um
princípio combinatório que indica de quantas formas se pode
escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o
primeiro conjunto tem k1 elementos, o segundo tem k2
elementos, e assim sucessivamente, então o número total T de
escolhas é dado por:
T = k1 . k2 . k3 . ... kn
Princípio da Multiplicação
Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e uma
decisão d2 puder ser tomada de y maneiras então as decisões
d1 e d2 podem ser tomadas de (x.y) maneiras.
Exemplos:
1) Uma homem possui quatro camisas e três calças. De quantos
modos diferentes ele poderá se vestir?
Solução
Escolha de uma calça: 3 possibilidades
Escolha de uma camisa: 4 possibilidades
Total: 3 x 4 = 12 combinações
A escolha de uma calça poderá ser feita de três maneiras diferentes, onde cada
calça poderá ser combinada com as quatro camisas.
Exemplo 2:
Para fazer uma viagem Rio - São Paulo - Rio, posso usar como
meio de transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos
modos posso escolher os transportes se não desejo usar na
volta o meio de transporte usado na ida?
Solução
Há três modos de escolher o transporte de ida. Depois
disso, há duas alternativas para a volta. A resposta é 3 x 2= 6
modos.
Princípio da Adição
Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 possibilidades,
respectivamente, então o número de possibilidades para o
evento A ou B é n1 + n2.
Exemplo:
1) Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5?
Solução
Podemos considerar dois casos disjuntos:
- números que começam por 4 =1x10x10x10 possibilidades
- números que começam por 5 = 1x10x10x10 possibilidades e
Então temos um total de 2x10x10x10 possibilidades, pois (1x10x10x10) +
(1x10x10x10)= 2x10x10x10.
PERMUTAÇÃO
São agrupamentos com n elementos, de forma que os n
elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações
podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação Simples
Permutações simples de n elementos distintos são os
agrupamentos formados com todos os n elementos e que
diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.
Pn = n!
PERMUTAÇÃO
Exemplo:
Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com
os algarismos 1,2,3,4,5?
Solução
P5=5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Logo, podemos formar 120 números
Permutação com Repetição
Se entre os n elementos de um conjunto existem a elemento
repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim
sucessivamente, o número total de permutações que podemos
formar é dado por:
Exemplo:
Quantos são os anagramas da palavra:
a) ELEGER
b) CANDIDATA
Permutação Circular
Chamamos de Permutação Circular a disposição dos
elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para
determinarmos o número de disposições possíveis basta utilizar
expressão abaixo:
Pc = (n-1)!
Exemplo:
1) De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em uma
mesa circular?
Solução
Pc = (4-1)! = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 arrumações possíveis
Arranjo Simples
- não há repetição de elementos;
- a ordem dos elementos é considerada um novo agrupamento;
- Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p.
An , p
n!

(n  p)!
OBS: Todos os problemas de Arranjo Simples também poderão se
resolvidos pelo Princípio Multiplicativo.
Exemplo:
Seja o conjunto A ={1,2,3}. Quantos números com 2 algarismos
distintos podemos formar com os elementos de A?
Combinação Simples
-
-
não há repetição de elementos;
a ordem dos elementos não é considerada um novo
agrupamento;
Lê-se: combinação de n elementos tomados p a p.
Cn, p 
n!
( n  p)! p!
Exemplo:
Quantas duplas distintas podemos formar com 3 pessoas A, B , C?
Arranjo com Repetição
- há repetição de elementos;
- a ordem dos elementos é considerada um novo agrupamento;
Exemplo:
Seja o conjunto A ={1,2,3}. Quantos números com 2 algarismos
distintos podemos formar com os elementos de A admitindo
repetições?
Combinação com Repetição
-
há repetição de elementos;
a ordem dos elementos não é considerada um novo
agrupamento;
Combinação com Repetição
Exemplo:
1) Um menino está em um parque de diversões e resolve comprar
dois bilhetes. No parque há 4 tipos de brinquedos:
C -- chapéu mexicano
F -- trem fantasma
M – montanha russa
R – roda gigante
O menino pode comprar dois bilhetes do mesmo tipo, se ele quiser
ir duas vezes no mesmo brinquedo. Nessas condições, qual é o
número total de possibilidades de compra dos bilhetes?
FIM