Movimento Introdução - Sistema Internacional de

Movimento Introdução - Sistema Internacional de Unidades (SI)
01. (Vunesp-SP) o intervalo de tempo de 2,4 minutos equivale, no Sistema Internacional de
Unidades(SI), a:
a) 24 segundos
b) 124 segundos
c) 144 segundos
d) 160 segundos
e) 240 segundos
02. (Fuvest-SP) Em um prédio de 20 andares (além do térreo) o elevador leva 36 s para ir do
térreo ao 20ºandar. Uma pessoa no andar X chama o elevador, que está inicialmente no térreo,
e 39,6 s após a chamada a pessoa atinge o andar térreo. Se não houve chamadas
intermediárias, e os tempos de abertura e fechamento da porta do elevador e de entrada e
saída do passageiro são desprezíveis, podemos dizer que o andar X é o:
a) 9º
b) 11º
c) 16º
d) 18º
e) 19º
03. (PUC-SP) um intervalo de tempo igual a 25.972,5 segundos corresponde a:
a) 7 h 12 min 52,5 s
b) 7 h 772 min 0,5 s
c) 7 h 21 min 145 s
d) 432 h 52,5 min
e) 432,875 h
04. (UFAC) Num campo de futebol não-oficial, as traves verticais do gol distam entre si 8,15 m.
Considerando que 1 jarda vale 3 pés e que um pé mede 30,48 cm, a largura mais aproximada
desse gol, em jardas, é:
a) 6,3
b) 8,9
c) 10,2
d) 12,5
e) 14,0
05. (FCC) Se colocados um em seguida ao outro, os cigarros de 100 mm consumíveis durante
10 anos por um fumante que, sistematicamente, fumasse 20 cigarros por dia, seria possível
cobrir uma distância, em metros, de:
3
a) 5,7x10
3
b) 7,3x10
3
c) 8,2x10
3
d) 9,6x10
3
e) 15x10
06. (Fuvest-SP) No estádio do Morumbi 120.000 torcedores assistem a um jogo. Através de
cada uma das 6 saídas disponíveis podem passar 1.000 pessoas por minuto. Qual o tempo
mínimo necessário para se esvaziar o estádio?
a) uma hora
b) meia hora
c) 1/4 de hora
d) 1/3 de hora
e) 3/4 de hora
07. (Fuvest-SP) Um conhecido autor de contos fantásticos associou o tempo restante de vida
de certa personagem à duração de escoamento da areia de uma enorme ampulheta. A areia se
escoa, uniforme, lenta e inexoravelmente, à razão de 200 gramas por dia. Sabendo-se que a
ampulheta comporta 30 kg de areia e que 2/3 do seu conteúdo inicial já se escoaram, quantos
dias de vida ainda restam a tão desinfeliz personagem?
a) 100
b) 50
c) 600
d) 2.000
e) 1.000
01: c
2,4 min = 2,4 x 60 s = 144 s
02: b
36 s / 20 andares = 1,8 s/andar (tempo gasto por andar)
39,6 s/(1,8 s/andar) = 22 andares (subida e descida)
portanto: 22 andares/2 = 11 andares (11º andar)
03: a
25.972,5 s / 60 = 432 min + 52,5 s (tempo restante)
432 min /60 = 7 h + 12 min (tempo restante)
portanto: 25.972,5 s = 7 h 12 min 52,5 s
04: b
1 jarda = 3 pés = 3 x 30,48 cm = 91,44 cm
-2
1 jarda--------- 91,44 x 10 m
x jarda----------- 8,15 m
-2
91,44 x 10 x = 8,15
x = 8,9 jardas
05: b
10 anos = 10 x 365 dias = 3.650 dias
3.650 dias x 20 cigarros/ dia = 73.000 cigarros
3
73.000 cigarros x 0,1 m/cigarro = 7.300 m = 7,3 x 10 m
06: d
120.000 torcedores/ 6 saídas = 20.000 torcedores por saída
20.000 torcedores/ 1.000 torcedores por minuto = 20 minutos
20 min = 1/3 h
07: b
1/3 de 30 kg = 10 kg = 10.000 g (massa de areia restante)
10.000 g/200 g por dia = 50 dias
01. (FCC-SP) Todo movimento é relativo.Então, pode-se dizer que, para três pontos materiais
A, B e C:
I) se A está em movimento em relação a B e B está em movimento em relação a C, então A
está em movimento em relação a C.
II) se A está parado em relação a B e B está parado em relação a C, então A está parado em
relação a C.
Responda mediante o seguinte código:
a) I está certo e II está errado.
b) I está certo e II está certo.
c) I está errado e II está certo.
d) I e II estão errados.
e) nada se pode afirmar.
02. (PUC-SP) Leia com atenção a tira da Turma da Mônica mostrada abaixo e analise as
afirmativas que se seguem, considerando os princípios da Mecânica Clássica.
I. Cascão encontra-se em movimento em relação ao skate e também em relação ao amigo
Cebolinha.
II. Cascão encontra-se em repouso em relação ao skate, mas em movimento em relação ao
amigo Cebolinha.
III. Em relação a um referencial fixo fora da Terra, Cascão jamais pode estar em repouso.
Estão corretas:
a) apenas I
b) I e II
c) I e III
d) II e III
e) I, II e III
03. (FDC-PR) Agora, faremos uma rápida avaliação de seus conhecimentos de Física. Você,
provavelmente, deve estar preocupado em recordar tudo o que aprendeu durante a preparação
para o vestibular. Mas não fique nervoso. Vamos começar a analisar seus conhecimentos de
movimento e repouso. Olhe seus companheiros, já sentados em seus lugares, preste atenção
em você e reflita sobre as noções de movimento, repouso e referencial.
Agora, julgue as afirmativas a seguir.
01) Você está em repouso em relação a seus colegas, mas todos estão em movimento em
relação à Terra.
02) Em relação ao referencial "Sol", todos nesta sala estão em movimento.
04) Mesmo para o fiscal, que não pára de andar, seria possível achar um referencial em
relação ao qual ele estivesse em repouso.
08) Se dois mosquitos entrarem na sala e não pararem de amolar, podemos afirmar que
certamente estarão em movimento em relação a qualquer referencial.
16) Se alguém lá fora correr atrás de um cachorro, de modo que ambos descrevam uma
mesma reta, com velocidades de mesma intensidade, então a pessoa estará em repouso em
relação ao cachorro e vice-versa.
Dê como a soma dos números associados às proposições corretas.
04. (PUC-SP) Considere a seguinte situação:
Um ônibus movendo-se numa estrada e duas pessoas: uma (A) sentada no ônibus e outra (B)
parada na estrada, ambas observando uma lâmpada fixa no teto do ônibus.
"A" diz - A lâmpada não se move em relação a mim, uma vez que a distância que nos separa
permanece constante.
"B" diz - A lâmpada está se movimentando, uma vez que ela está se afastando de mim.
a) "A" está errada e "B" está certa.
b) "A" está certa e "B" está errada.
c) Ambas estão erradas.
d) Cada uma, dentro do seu ponto de vista, está certa.
e) Nada se pode afirmar a respeito do movimento dessa lâmpada.
05. (ACAFE-SC) Para responder a esta questão, use o seguinte código:
a) I, II e III estão corretas;
b) I e III estão corretas;
c) I e II estão corretas;
d) somente I está correta;
e) somente III está correta.
Dizemos que os conceitos de movimento e repouso são relativos, pois dependem do sistema
de referência estabelecido. Com base nisso, podemos afirmar que:
I. um corpo parado em relação a um referencial pode estar em movimento em relação a outro
referencial;
II. um livro colocado sobre uma mesa está em repouso absoluto, pois, para qualquer referencial
adotado, sua posição não varia com o tempo;
III. em relação a um edifício, o elevador estacionado no terceiro andar está em repouso, porém,
em relação ao Sol, o mesmo elevador encontra-se em movimento.
01: c
I) errado
II) correto
02: d
I) errado
II) correto
III) correto
03: 22 (02 + 04 + 16)
01) Errado pois os colegas estão em repouso em relação à Terra.
08) É difícil, mas podemos conseguir um referencial que acompanhe-os.
04: d
- O movimento é relativo ao referencial.
05: b
- II está errado, pois não existe repouso absoluto.
01.(UFSM-RS) Um avião, voando em linha reta, com velocidade constante em relação ao solo,
abandona uma bomba. Se a resistência do ar sobre ela puder ser desprezada, a trajetória
dessa bomba será em forma de uma:
a) parábola para um observador que estiver no avião.
b) linha reta vertical para um observador que estiver fixo no solo.
c) linha reta horizontal para um observador que estiver no avião.
d) linha reta vertical para um observador que estiver no avião.
e) mesma figura para qualquer observador, pois independe do referencial.
02. (PUC-SP) Uma pessoa encontra-se em lugar fixo de um caminhão animado de movimento
retilíneo e cujo valor da velocidade é constante. A pessoa lança uma pedra verticalmente para
cima. Desprezando-se a resistência do ar, pode-se afirmar que:
a) a pedra atingirá o solo na vertical do ponto de que foi lançada;
b) a pedra retornará à pessoa que a lançou;
c) a trajetória será uma reta vertical em relação à Terra;
d) a trajetória será uma parábola em relação ao caminhão;
e) a pedra atingirá o solo na frente do caminhão.
03. (F.M. Santos-SP) Considere um ponto na superfície da Terra. Podemos afirmar:
a) o ponto descreve uma trajetória circular.
b) o ponto está em repouso.
c) o ponto descreve uma trajetória elíptica.
d) o ponto descreve uma trajetória parabólica.
e) a trajetória descrita depende do referencial adotado.
04. (AFA-SP) De uma aeronave que voa horizontalmente, com velocidade constante, uma
bomba é abandonada em queda livre. Desprezando-se o efeito do ar, a trajetória da bomba,
em relação à aeronave, será um:
a) arco de elipse.
b) arco de parábola.
c) segmento de reta vertical.
d) ramo de hipérbole.
e) um ponto.
05. (UFES-ES) Uma pessoa está sentada num ônibus, exatamente sob uma lâmpada presa no
teto, olhando para frente. O ônibus movimenta-se numa reta com rapidez constante. De
repente, a lâmpada se desprende do teto. Onde cairá a lâmpada?
06. (PUC-SP) Um helicóptero sobe a partir de um heliporto, deslocando-se verticalmente com
velocidade constante de 18 km/h. Esboce a trajetória de um ponto situado na extremidade da
Hélice para dois observadores, um situado dentro do helicóptero e outro fixo no heliporto.
07. (UFSC-SC) Uma tartaruga percorre trajetórias, em relação à Terra, com os seguintes
comprimentos: 23 centímetros; 0,66 metros; 0,04 metros e 40 milímetros. O comprimento da
trajetória total percorrida pela tartaruga, nesse referencial, é:
a) 970 m
b) 9,7 mm
c) 0,097 m
d) 9,7 km
e) 0,97 m
08.(Fuvest-SP) Uma bolinha de massa m, presa através de um fio a um ponto P do teto de
uma sala de aula, é abandonada em B, a partir do repouso. Quando a bolinha passa por A,
diretamente abaixo de P, o fio se rompe. Nos eixos x e y traçados, qual dos esquemas abaixo
pode representar a trajetória subseqüente da bolinha?
a)
b)
c)
d)
e)
09. (UERJ-RJ) Um avião se desloca, em relação ao solo, com velocidade constante, como
mostrado na figura. Ao atingir uma certa altura, deixa-se cair do avião um pequeno objeto.
Desprezando a resistência do ar, as trajetórias descritas pelo objeto, vistas por observadores
no avião e no solo, estão representadas por:
10. (EFEI-MG) Um certo país ASNU, sentindo-se agredido pelo país Batilã, resolve atacar a
sua capital, Bukal. Um avião do país ASNU é incumbido de soltar uma bomba, que cairá
somente sob a ação da gravidade, sobre o palácio do governo na capital. Sabendo-se que a
bomba atingiu seu alvo, qual das figuras abaixo melhor representa, em relação ao solo, as
trajetórias do avião e da bomba?
a)
b)
c)
d)
e)
11. (CESGRANRIO-RJ) Um trem anda sobre trilhos horizontais retilíneos com velocidade
constante igual a 80 km/h. No instante em que o trem passa por uma estação, cai um objeto,
inicialmente preso ao teto do trem. A trajetória do objeto vista por um passageiro parado dentro
do trem, será:
a)
b)
c)
d)
e)
12. (Cesgranrio-RJ) Em relação à situação descrita na pergunta anterior, qual é a trajetória do
objeto vista por um observador parado na estação?
(A seta imediatamente abaixo representa o sentido do movimento do trem para esse
observador.)
a)
b)
c)
d)
e)
13. (UCBA) Um vagão está em movimento retilíneo com velocidade escalar constante em
relação ao solo. Um objeto se desprende do teto desse vagão. A trajetória de queda desse
objeto, vista por um passageiro que está sentado nesse vagão, pode ser representada pelo
esquema:
a)
b)
c)
d)
e)
14. (UESB-BA) Um avião, voando com velocidade constante e próximo à superfície da Terra,
abandona um objeto. Despreze o efeito do ar.
Para um observador parado no solo, a trajetória do objeto é:
a) vertical.
b) oblíqua.
c) semicircular.
d) hiperbólica.
e) parabólica.
15. (Unirio-RJ) Um rapaz está em repouso na carroceria de uma caminhão que desenvolve
velocidade horizontal constante de módulo igual a 30 m/s. Enquanto o caminhão se move para
frente, o rapaz lança verticalmente para cima uma bola de ferro de 0,1 kg. Ela leva 1,0 segundo
para subir e outro para . Desprezando-se a resistência do ar, pode-se afirmar que a bola caiu
na(o):
a) estrada, a mais de 60 m do caminhão.
b) estrada, a 60 m do caminhão.
c) estrada, a 30 m do caminhão.
d) caminhão,a 1,0 m do rapaz.
e) caminhão, na mão do rapaz.
16. (FCC-SP) Um trem todo construído de acrílico transparente passa por uma estação
ferroviária com velocidade constante. Um dos vagões está ocupado por um cientista que faz
experimentos de queda livre com uma bolinha. Essas experiências consistem em deixar a
bolinha cair e medir, a intervalos de tempo bem precisos, a posição da bolinha com relação ao
piso do trem. Na estação, um outro cientista observava a atuação de seu colega. As figuras
que melhor indicam a trajetória da bolinha, como foi observada pelos dois cientistas, no trem e
na estação, respectivamente, são:
a)
b)
c)
d)
e)
17. (PUC-RS) A afirmação todo movimento é relativo significa:
a) todos os cálculos de velocidade são imprecisos;
b) não existe movimento com velocidade constante;
c) a velocidade depende sempre de uma força;
d) a velocidade depende sempre de uma aceleração;
e) a descrição de qualquer movimento requer um referencial.
18. (PUC-PR) Em relação a um avião que voa horizontalmente com velocidade constante, a
trajetória das bombas por ele abandonadas é:
a) uma reta inclinada;
b) uma parábola de concavidade para baixo;
c) uma reta vertical;
d) uma parábola de concavidade para cima;
e) um arco de circunferência.
19. (UFPB) Um observador, situado em um veículo que se move para a direita com velocidade
v, deixa cair uma pedra. Qual dos gráficos abaixo melhor representa o movimento dessa pedra,
do ponto de vista de um segundo observador que se move, também para a direita, com
velocidade v em relação ao primeiro?
a)
b)
c)
d)
e)
20. (UFMG) Júlia está andando de bicicleta, com velocidade constante, quando deixa cair uma
moeda. Tomás está parado na rua e vê a moeda cair. Considere desprezível a resistência do
ar.
Assinale a alternativa em que melhor estão representadas as trajetórias da moeda, como
observadas por Júlia e por Tomás:
a)
Júlia
Tomás
b)
Júlia
Tomás
c)
Júlia
Tomás
d)
Júlia
Tomás
e)
Júlia
Tomás
21. (UEPG-PR) Analise as proposições abaixo e marque cada uma delas com V (verdadeiro)
ou F (falso):
( ) O estudo da trajetória de uma partícula independe do referencial adotado.
( ) Uma partícula que está em movimento em relação a um referencial pode estar em
repouso em relação a outro.
( ) Se dois móveis se deslocam por uma estrada retilínea com velocidades constantes e
iguais, e no mesmo sentido, um está em repouso em relação ao outro.
A seqüência correta obtida é:
a) F − V − F
b) F − F − V
c) V − F − V
d) V − V − F
e) F − V − V
01: d
- A bomba acompanhará o avião, pois tem a mesma velocidade.
02: b
- A pedra acompanhará a pessoa, pois tem a mesma velocidade horizontal.
03: e
- Só podemos falar de trajetória se indicarmos o referencial.
04: c
- A bomba acompanhará o avião, pois tem a mesma velocidade horizontal.
05:
- A lâmpada cairá sobre a cabeça da pessoa pois ela está também com a mesma rapidez
que a pessoa.
06:
- Dentro do helicóptero: movimento circular uniforme.
- No heliporto: movimento helicoidal (espiral).
07: e
23 centímetros = 0,23 metros
40 milímetros = 0,04 metros
Portanto: 0,23 m + 0,66 m + 0,04 m + 0,04 m = 0,97 m
08: c
- A trajetória é um arco de parábola.
09: c
- Para um observador no solo será um arco de parábola e para um observador no avião, o
pequeno objeto, acompanha o avião enquanto cai, descrevendo uma reta.
10: c
- Um corpo solto de um avião em movimento tem velocidade igual ao do avião acompanhado-o
e caindo ao mesmo tempo, descrevendo um arco de parábola.
11: a
- O passageiro dentro do trem também está com velocidade 80 km/h, a mesma do corpo que
vai cair, portanto eles andam juntos, mesmo enquanto o corpo cai, por isso o corpo descreve o
movimento de um reta para o passageiro.
12: c
- Como o trem tem movimento em relação ao passageiro na estação, o corpo também tem
velocidade de 80 km/h em relação ao passageiro. Quando o corpo é solto ele cai e é levado
para a esquerda descrevendo um arco de parábola.
13: c
- O passageiro dentro de um vagão com velocidade constante possui a mesma velocidade do
corpo que vai cair, portanto eles andam juntos, mesmo enquanto o corpo cai, por isso o corpo
descreve o movimento de um reta para o passageiro.
14: e
- Quando o corpo é abandonado ele possui velocidade igual ao do avião e continua andando
enquanto cai, descrevendo uma trajetória parabólica.
15: e
- O corpo está com velocidade igual a do caminhão, assim, quando foi lançado ao ar continuou
seu movimento junto com o caminhão, caindo de volta no caminhão, na mão do rapaz.
16: c
- A bolinha acompanha o trem, fazendo com que o cientista do trem só percebe o
deslocamento vertical; já o cientista que está na estação observa o movimento de caída da
bolinha juntamente com o seu deslocamento lateral.
17: e
- Para a descrição de qualquer movimento devemos adotar um referencial.
18: c
- A bomba solta por ele possui a mesma velocidade dele, acompanhando-o, por isso o avião
observa um reta vertical.
19: b
- Este movimento relativo é como se o primeiro carro se afastasse para a esquerda com
velocidade v, quando o segundo estiver parado, dando um arco de parábola da direita para
esquerda.
.
20: c
- Júlia verá um linha reta vertical, pois a moeda a acompanhará com a mesma velocidade que
tinha, e Tomás verá a composição deste movimento, a velocidade com que está a moeda
(velocidade da bicicleta) horizontal com a sua queda, dando um arco de parábola.
21: e
- Toda trajetória depende do referencial adotado.
Espaço e função horária do espaço
01. (UTP) Numa determinada trajetória, um ponto material tem função horária: x = 10 – 2t
(tempo em segundos e posição em metros). No instante t = 3 s, a posição do ponto será:
a) 6 m
b) 10 m
c) 4 m
d) 16 m
e) n.d.a.
02. (EESJC-SP) Uma partícula tem equação horária dos espaços dada por:
s = 100 – 20t
(SI)
a) Qual a trajetória da partícula?
b) Em que instante a partícula passa pela origem dos espaços?
03. (UNITAU-SP) Um automóvel percorre uma estrada com função horária x = – 40 + 80t, onde
x é dado em km e t em horas. O automóvel passa pelo km zero após:
a) 1,0 h
b) 1,5 h
c) 0,5 h
d) 2,0 h
e) 2,5 h
04. Um móvel descreve um movimento de acordo com a função horária do espaço:
s = – 40 + 20t
Determine
o
instante
que
esse
(SI)
móvel
passa
pelo
espaço
s
=
60
m.
–
50
m.
05. Um móvel descreve um movimento de acordo com a função horária do espaço:
s = 10 + 2t
(SI)
Determine o instante que esse móvel passa pelo espaço s = 30 m.
06. O movimento de um móvel respeita a função horária do espaço:
s = – 100 + 5t
Qual
o
instante
em
que
esse
móvel
(SI)
passa
pelo
espaço
s
=
07. Em que instante, um corpo que descreve um movimento de acordo com a função horária
do espaço abaixo, alcança o espaço 6 m?
s = 50 – 15t + t
2
(SI)
08. Determine o instante em que um automóvel que descreve um movimento sobre uma
rodovia descrito pela função horária do espaço abaixo, passa pelo marco km 500?
s = 50 + 90t
(s em km e t em horas)
09. Sabe-se que um móvel passa pela origem dos espaços duas vezes em seu movimento.
Determine quanto tempo após passar pela primeira vez na origem dos espaços ele retorna a
esse local, sabendo que o movimento é descrito pela função horária dos espaços:
s = 48 – 16t + t
01: c
a) Como x = 10 – 2t, temos no tempo t = 3s:
x = 10 – 2∙3
x = 10 – 6
x=4m
2
(SI)
02:
a) Somente com a função horária do espaço, não podemos dizer a respeito da trajetória.
b) s = 0 (origem dos espaços)
s = 100 – 20t
0 = 100 – 20t
20t = 100
t = 100/20
t=5s
03: c
- Pelo quilômetro zero é quando x = 0, temos:
0 = – 40 + 80t
40 = 80t
80t = 40
t = 40/80
t = 0,5 h
04:
- No espaço s = 60 m , temos:
60 = – 40 + 20t
60 + 40 = 20t
100 = 20t
20t = 100
t = 100/20
t=5s
05:
- No espaço s = 30 m , temos:
30 = 10 + 2t
30 – 10 = 2t
20 = 2t
2t = 20
t = 20/2
t = 10 s
06:
- No espaço s = – 50 m , temos:
– 50 = – 100 + 5t
– 50 + 100 = 5t
50 = 5t
5t = 50
t = 50/5
t = 10 s
07:
- No espaço s = 6 m , temos:
2
6 = 50 – 15t + t
2
– t + 15t – 50 + 6 = 0
2
– t + 15t – 44 = 0 (-1)
2
t -15t + 44 = 0
- Temos que resolver a equação do segundo grau:
2
∆ = b – 4ac
2
∆ = (–15) – 4∙1∙44
∆ = 225 – 176
∆ = 49
- Calculando o tempo:
t' = (15 + 7)/2 = 11 s
t'' = (15 – 7)/2 = 4 s
- O corpo passa no espaço 6 m nos instantes 4 s e 11 s.
08:
- No km 500 , temos:
500 = 50 + 90t
500 – 50 = 90t
450 = 90t
90t = 450
t = 450/90
t=5h
09:
- Ele passa pela origem do espaço quando s = 0:
2
0 = 48 – 16t + t
2
– t +16t – 48 = 0 (– 1)
2
t – 16t + 48 = 0
- Temos que resolver a equação do segundo grau:
2
∆ = b – 4ac
2
∆ = (–16) – 4∙1∙48
∆ = 256 – 192
∆ = 64
- Calculando o tempo:
t' = (16 + 8)/2 = 12 s
t'' = (16 – 8)/2 = 4 s
- Como este corpo passa no tempo 4 s e retorna no tempo 12 s, portanto o tempo que ele
demora para passar novamente pela origem dos espaços é de 12 – 4 = 8 s.
Deslocamento escalar e distância percorrida
01. (UNITAU-SP) Um móvel parte do km 50, indo até o km 60, de onde, mudando o sentido do
movimento, vai até o km 32. A variação de espaço e a distância efetivamente percorrida são:
a) 28 km e 28 km
b) 18 km e 38 km
c) − 18 km e 38 km
d) − 18 km e 18 km
e) 38 km e 18 km
02. Um carro parte do km 20, vai até o km 70, onde, mudando o sentido do movimento, vai até
o km 30 em uma estrada. A variação de espaço (deslocamento escalar) e a distância
efetivamente percorrida são, respectivamente, iguais a:
a) 90 km e 10 km
b) 10 km e 90 km
c) − 10 km e 90 km
d) 10 km e 10 km
e) 90 km e 90 km
03. Um carro, percorrendo sempre a mesma reta, parte do km 80, vai até o km 120, inverte o
sentido de seu movimento e retorna ao km 50. A variação de espaço (ou deslocamento
escalar) e a distância percorrida são, respectivamente, iguais a:
a) 10 km e 30 km
b) 10 km e 10 km
c) − 10 km e 30 km
d) − 30 km e 110 km
e) 20 km e 110 km
04. (CESGRANRIO-RJ) Uma formiga movimenta-se sobre um fio de linha. Sua posição s varia
com o tempo t, conforme mostra o gráfico. Entre os instantes t = 0 e t = 5,0 s:
a) Qual o deslocamento escalar da formiga?
b) Qual distância percorrida por ela?
05. (UMC-SP) Uma partícula tem seu espaço (s) variando com o tempo (t) de acordo com a
tabela a seguir:
t(s)
s(m)
0
− 10
1,0
− 5,0
2,0
0
3,0
5,0
4,0
10
5,0
15
6,0
10
7,0
10
8,0
10
a) Qual a trajetória descrita pela partícula?
b) Quanto vale o espaço inicial s0?
c) Em que instante t0 a partícula passa pela origem dos espaços?
d) Qual a distância percorrida entre os instantes t1 = 0 e t2 = 4,0 s, admitindo-se que, neste
intervalo, não houve inversão no sentido do movimento?
e) Em que intervalo de tempo a partícula pode ter permanecido em repouso?
01: c
variação do espaço:
∆s = s − s0
∆s = 32 − 50
∆s = − 18 km
distância percorrida:
∆s1: variação do espaço na primeira parte.
∆s2: variação do espaço na segunda parte.
d =∆s1 + ∆s2
d =(60 − 50) + (32 − 60)
d =10 + − 28
d = 10 + 28
d = 38 km
02: b
variação do espaço:
∆s = s − s0
∆s = 30 − 20
∆s = 10 km
distância percorrida:
∆s1: variação do espaço na primeira parte.
∆s2: variação do espaço na segunda parte.
d =∆s1 + ∆s2
d =(70 − 20) + (30 − 70)
d =50 + − 40
d = 50 + 40
d = 90 km
03: d
variação do espaço:
∆s = s − s0
∆s = 50 − 80
∆s = − 30 km
distância percorrida:
∆s1: variação do espaço na primeira parte.
∆s2: variação do espaço na segunda parte.
d =∆s1 + ∆s2
d =(120 − 80) + (50 − 120)
d =40 + − 70
d = 40 + 70
d = 110 km
04:
a) Observando o gráfico, temos em t = 0 s o valor do espaço inicial é s 0 = 2,0 cm, e para t = 5,0
s o valor do espaço final é s = 3,0 cm, portanto:
∆s = s − s0
∆s = 3,0 − 2,0
∆s = 1,0 cm
b) Observando o gráfico, temos que no instante t = 2,0 s ocorre uma inversão no sentido de
movimento, então, temos que calcular o ∆s das duas partes, antes e depois da inversão:
∆s1: variação do espaço na primeira parte.
∆s2: variação do espaço na segunda parte.
d =∆s1 + ∆s2
d =(7,0 − 2,0) + (3,0 − 7,0)
d =5,0 + − 4,0
d = 5,0 + 4,0
d = 9,0 cm
05:
a) Com uma tabela de posições, nada podemos dizer a respeito da trajetória da partícula.
b) O espaço inicial é o espaço no tempo zero, s0 = − 10 m.
c) A origem dos espaços é quando o espaço vale zero, t0 = 2,0 s.
d) Não havendo inversão basta calcular a variação do espaço:
d = ∆s
d = s − s0
d = 10 −(− 10)
d = 10 + 10
d = 20 m
e) A partícula permanece em repouso quando seu espaço não varia, entre os tempos 6,0 s e
8,0 s.
Transformação de velocidade
01. (F. M. Jundiaí-SP) A velocidade escalar de um carro é de 90 km/h. Essa velocidade
equivale a:
a) 20 m/s
b) 25 m/s
c) 36 m/s
d) 120 m/min
e) 180 m/min
02. Qual a velocidade escalar, em km/h, de um avião que está a 100 m/s?
a) 0,1
b) 3,6
c) 36
d) 360
e) 3.600
03. (UFSE) Um ciclista percorre uma pista com velocidade de 36 km/h. A velocidade do ciclista,
em m/s, é de:
a) 36
b) 20
c) 12
d) 10
e) 6
04. (Vunesp-SP) Um motorista está dirigindo seu automóvel numa avenida a uma velocidade
média de 54 km/h. Sua velocidade média, em m/s, é igual a:
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
05. (FCC-SP) A velocidade escalar de um carro é de 90 km/h. Essa velocidade equivale a:
a) 20 m/s
b) 25 m/s
c) 36 m/s
d) 120 m/s
e) 180 m/s
01: b
90 km/h = (90/3,6) m/s = 25 m/s
02: d
100 m/s = (100∙3,6) km/h = 360 km/h
03: d
36 km/h = (36/3,6) m/s = 10 m/s
04: c
54 km/h = (54/3,6) m/s = 15 m/s
05: b
90 km/h = (90/3,6) m/s = 25 m/s
Velocidade escalar média
01. (FGV-SP) O desenho abaixo corresponde ao esboço das anotações feitas por um motorista
ao longo de uma viagem.
Analisando as informações contidas nesse esboço, podemos concluir que a velocidade escalar
média desenvolvida pelo motorista entre as cidades A e D foi:
a) 90 km/h
b) 85 km/h
c) 80 km/h
d) 70 km/h
e) 60 km/h
02. (Fatec-SP)
Uma partícula percorre um eixo Os; ela percorre de O na data ZERO, passa por A(30 m) na
data 2,0 s e por B(10 m) na data 4,0 s. Nos percursos indicados, as velocidades médias são
(em metros/segundos):
OA
AB
OAB
a) +15,0 -10,0
+2,5
b) +15,0 -10,0
+12,5
c) +15,0 +10,0
+12,5
d) +7,5
-10,0
+2,5
03. (Vunesp-SP) Ao passar pelo marco ”km 200” de uma rodovia, um motorista vê um anúncio
com a inscrição: “ABASTECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. Considerando que
este posto de serviço se encontra junto ao marco “km 245” dessa rodovia, pode-se concluir que
o anunciante prevê, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velocidade média, em
km/h, de:
a) 80
b) 90
c) 100
d) 110
e) 120
04. (FCC-SP) Qual a velocidades escalar média, em km/h, de uma pessoa que percorre, a pé,
1.200 m em 20 min?
a) 4,8
b) 3,6
c) 2,7
d) 2,1
e) 1,2
05. (Fuvest-SP) Um avião vai de São Paulo a Recife em 1 h e 40 min. A distância entre essas
cidades é aproximadamente 3.000 km.(Dado: velocidade do som no ar: 340 m/s)
a) Qual a velocidade média do avião?
b) O avião é supersônico?
06. (Cesgranrio-RJ) Uma linha de ônibus urbano tem um trajeto de 25 km. Se um ônibus
percorre esse trajeto em 85 minutos, a sua velocidade escalar média é aproximadamente:
a) 3,4 km/h
b) 50 km/h
c) 18 km/h
d) 110 km/h
e) 60 km/h
07. (UFRJ) Durante uma viagem entre duas cidades, um passageiro decide calcular a
velocidade escalar média do ônibus. Primeiramente, verifica que os marcos indicativos de
quilometragem na estrada estão dispostos de 2,0 em 2,0 km. O ônibus passa por três marcos
consecutivos e o passageiro observa que o tempo gasto pelo ônibus entre o primeiro marco e o
terceiro marco é de 3 min. Calcule a velocidade escalar média do ônibus neste trecho da
viagem, em km/h.
08. (PUC-SP) Uma partícula move-se obedecendo à equação horária do espaço: s = 4 – 4t +
2
4t (SI), para t ≥ 0.Determine sua velocidade escalar média entre os instantes t 1 = 0 e t2 = 10 s.
09. Um automóvel descreve um movimento de acordo com a função horária da posição:
s = 4 + 6t
Calcule
a
velocidade
escalar
média
(SI)
entre
os
instantes
2
s
e
9
s.
10. (Ulbra-RS) Um veículo percorre, inicialmente, 40 km de uma estrada em 0,5 h. A seguir
mais 60 km, em 1 h 30 min. A velocidade média do veículo, durante todo o percurso, em km/h,
é:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
11. (AEU-DF) Em 10 min, certo móvel percorre 12 km. Nos 15 min seguintes, o mesmo móvel
percorre 20 km e, nos 5 min que se seguem, percorre 4 km. Sua velocidade escalar média em
m/s, supondo constante o sentido do movimento, é:
a) 1,2
b) 10
c) 17
d) 18
e) 20
12. (FCC-SP) A distância, por estrada de rodagem, entre Cuiabá e Salvador é de 3.400,8 km.
Um ônibus demora 2 dias e 4 h desde a saída de Cuiabá e a chegada a Salvador, incluindo 10
h de paradas e refeições, abastecimentos etc. A velocidade escalar média desse ônibus
durante os 2 dias e 4 h da viagem é, em km/h, igual a :
a) 35,3
b) 40,2
c) 50,5
d) 65,4
e) 80,9
13. (Cesgranrio-RJ) Uma pessoa, correndo, percorre 4,0 km com velocidade escalar média de
12 km/h. O tempo de percurso é de:
a) 3,0 min
b) 8,0 min
c) 20 min
d) 30 min
e) 33 min
14. (PUCCamp-SP) Numa corrida de carros, suponha que o vencedor gastou 1 h 30 min para
completar o circuito, desenvolvendo uma velocidade média de 240 km/h, enquanto que um
outro carro, o segundo colocado, desenvolveu a velocidade média de 236 km/h. Se a pista tem
30 km, quantas voltas o carro vencedor chegou à frente do segundo colocado?
15. (F.E. Santos-SP) Você num automóvel faz um determinado percurso em 2 h,
desenvolvendo uma velocidade escalar média de 75 km/h. Se fizesse o mesmo percurso a
uma velocidade escalar média de 100 km/h, quanto tempo ganharia?
16. (Fuvest-SP) Um ônibus sai de São Paulo às 8 h e chega a Jaboticabal, que dista 350 km da
capital, às 11 h 30 min. No trecho de Jundiaí a Campinas, de aproximadamente 45 km, a sua
velocidade foi constante e igual a 90 km/h.
a) Qual a velocidade média, em km/h, no trajeto São Paulo-Jaboticabal?
b) Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí-Campinas?
17. (UFMG) Uma escola de samba, ao se movimentar numa rua reta e muito extensa, mantém
um comprimento constante de 2 km. Se ela gasta 90 min para passar completamente por uma
arquibancada de 1 km de comprimento, sua velocidade média deve ser:
a) (2/3) km/h
b) 1 km/h
c) (4/3) km/h
d) 2 km/h
e) 3 km/h
18. (Mackenzie-SP) Um automóvel trafega ao longo de uma rodovia passa pelo marco de
estrada 115 km às 19 h 15 min e pelo marco 263,5 km às 20 h 54 min. A velocidade escalar
média desse automóvel, nesse intervalo de tempo, é:
a) 148,5 m/s
b) 106,8 m/s
c) 29,7 m/s
d) 25,0 m/s
e) 90,0 m/s
19. (MAPOFEI) Um automóvel percorre a distância entre São Paulo e São José dos Campos
(90 km) com velocidade escalar média de 60 km/h, a distância entre São José de Campos e
Cruzeiro (100 km) com a velocidade escalar média de 100 km/h e entre Cruzeiro e Rio de
Janeiro (210 km) com velocidade média de 60 km/h. Qual a velocidade escalar média do
automóvel entre São Paulo e Rio de Janeiro?
20. (UNICENP-PR) Um automóvel percorre 250 m de um trajeto com uma velocidade média de
25 m/s, e os 50 m restantes com uma velocidade media de 10 m/s. Determine a velocidade
média deste automóvel no percurso total:
a) 12,5 m/s
b) 15 m/s
c) 17,5 m/s
d) 20 m/s
e) 22,5 m/s
21. (UFPE) Quatro cidades A, B, C e D estão dispostas de tal forma que as distâncias
rodoviárias entre A e B, B e C e C e D são, respectivamente, AB = 60 km, BC = 100 km e CD =
90 km. Se um automóvel vai de A até B a uma velocidade escalar média de 60 km/h, da cidade
B até C a uma velocidade escalar média de 50 km/h e de C até D a uma velocidade escalar
média de 45 km/h, determine a velocidade escalar média deste automóvel, em km/h, para o
percurso de A até D.
22. (PUC-MG) Um automóvel viaja a 20 km/h durante o primeiro minuto e a 30 km/h nos dois
minutos seguintes. Sua velocidade escalar média durante os três minutos, em km/h, é:
a) 20
b) 30
c) 31
d) 25
e) 27
23. (Unimep-SP) Um ciclista deve percorrer 35 km em 1 h. O ciclista observa que gastou 40
min para percorrer 20 km. Qual deverá ser a velocidade média para percorrer a distância
restante dentro do tempo previsto?
a) 45 km/h
b) 70 km/h
c) 60 km/h
d) 30 km/h
e) 25 km/h
24. (UFBA) Um ônibus faz um trajeto entre duas cidades em duas etapas. Na primeira, percorre
uma distância de 150 km em 90 min. Na segunda, percorre 220 km em 150 min. A velocidade
média do ônibus durante toda a viagem é de:
a) 1,6 km/h
b) 64,0 km/h
c) 92,5 km/h
d) 94,0 km/h
e) 185,0 km/h
25. (Fatec-SP) Um veículo percorre 100 m de uma trajetória retilínea com velocidade escalar
constante de 25 m/s, e os 300 m seguintes com velocidade constante igual a 50 m/s. A
velocidade média durante o trajeto todo é de:
a) 37,5 m/s
b) 40 m/s
c) 53,3 m/s
d) 75 m/s
e) n.d.a.
26. (Fuvest-SP) Uma moto de corrida percorre uma pista que tem formato aproximado de um
quadrado com 5 km de lado. O primeiro lado é percorrido com uma velocidade média de 100
km/h, o segundo e o terceiro a 120 km/h, e o quarto a 150 km/h. Qual a velocidade média da
moto nesse percurso?
a) 110 km/h
b) 120 km/h
c) 130 km/h
d) 140 km/h
e) 150 km/h
27. (Fuvest-SP) Após chover na cidade de São Paulo, as águas da chuva descerão o rio Tietê
até o rio Paraná, percorrendo cerca de 1000 km. Sendo de 4 km/h a velocidade média das
águas, no percurso mencionado será cumprido pelas águas da chuva em aproximadamente:
a) 30 dias
b) 10 dias
c) 25 dias
d) 2 dias
e) 4 dias
28. (UFRN) Um móvel passa pela posição s1 = 20 m no tempo t1 = 5 s e pela posição s2 = 60 m
no tempo t2 = 10 s. Quais são, respectivamente, os valores do deslocamento e da velocidade
média do móvel entre os instantes t1 e t2?
a) 40 m e 8 m/s
b) 60 m e 10 m/s
c) 60 m e 12 m/s
d) 40 m e 14 m/s
e) 50 m e 16 m/s
29. (UFPA) Certa pessoa viaja em um automóvel cujo velocímetro não funcionava. Desejando
saber qual a velocidade escalar média do automóvel e sabendo que os postes da rede elétrica
dispostos à margem da estrada distam 60 m um do outro, a pessoa começou a marcar o tempo
no instante em que passou em frente a um certo poste(chamemos de 1º poste), e constatou
que transcorreram 45,6 s até o instante em que passou diante do 20º poste. Assim constatou
que no intervalo de tempo durante o qual ele se deslocou do 1º ao 20º poste a velocidade
escalar média do automóvel era, em km/h, de:
a) 25
b) 69
c) 90
d) 95
e) 98
30. (UI-MG) Considere as seguintes velocidades médias:
1 - Velocidade de um atleta numa corrida de 100 m.
2 - Velocidade de um maratonista.
3 - Velocidade da luz no vácuo.
4 - Velocidade do som no ar.
A seqüência correta das velocidades, em ordem crescente, é:
a) 1, 2, 4, 3
b) 2, 1, 3, 4
c) 2, 1, 4, 3
d) 1, 2, 3, 4
e) 4, 2, 1, 3
31. Qual a velocidade escalar média de um trem de 100 m de comprimento que leva 30 s para
atravessar uma ponte de 500 m?
2
32. (UFSM-RS) A função horária para uma partícula em movimento retilíneo é x = 1 + 2t + t ,
onde x representa a posição (em m) e t, o tempo (em s). O módulo da velocidade média (em
m/s) dessa partícula, entre os instantes t = 1 s e t = 3 s, é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 12
e) 16
33. (PUC-PR) Um automóvel percorre um certo trecho com velocidade escalar média de 40
km/h e depois volta pelo mesmo trecho com velocidade escalar média de 60 km/h. Sua
velocidade média no trajeto de ida e volta foi, em km/h, igual a :
a) 48
b) zero
c) 40
d) 50
e) 60
34. (Fuvest-SP) Uma escada rolante de 6 m de altura e 8 m de base transporta uma pessoa da
base até o topo da escada num intervalo de tempo de 20 s. A velocidade média desta pessoa,
em m/s, é:
a) 0,3
b) 0,5
c) 0,7
d) 0,8
e) 1,0
O enunciado a seguir refere-se às questões 35 e 36.
Para se aplicar multas em uma estrada que não possui radar, existem marcas distantes 500 m
uma da outra. Um patrulheiro com binóculo avista um veículo que, ao passar pela primeira
marca, faz com que o patrulheiro acione o cronômetro. Ao passar pela segunda marca, o
cronômetro é parado para verificação do tempo. A velocidade máxima permitida na estrada é
de 120 km/h.
35. (FEI-SP) Qual é o tempo que o patrulheiro deverá medir, se um carro estiver andando no
limite de velocidade permitida nessa estrada?
a) 5 s
b) 10 s
c) 15 s
d) 40 s
e) 60 s
36. (FEI-SP) Se o tempo medido pelo patrulheiro for 12 s, o carro:
a) será multado com velocidade 10% superior à permitida;
b) será multado com velocidade 20% superior à permitida;
c) será multado com velocidade inferior à permitida (50% da velocidade máxima);
d) será multado com velocidade 25% superior à permitida;
e) não será multado.
37. (Fuvest-SP) Um barco é erguido 24 m, no interior de uma eclusa, num intervalo de tempo
de 40 min. Sua velocidade média de ascensão é:
a) 18 m/s
-3
b) 2,5x10 m/s
-3
c) 5x10 m/s
-2
d) 10 m/s
-3
e) 7,2x10 m/s
38. (Fuvest-SP) Uma pessoa caminha numa pista de Cooper de 300 m de comprimento, com
velocidade média de 1,5 m/s. Quantas voltas ela completará em 40 minutos?
a) 5 voltas
b) 7,5 voltas
c) 12 voltas
d) 15 voltas
e) 20 voltas
39. (Unisinos-RS) Na prova dos 100 m pelo mundial de atletismo, disputada em Tóquio
(Japão), no dia 25/08/91, o americano Carl Lewis estabeleceu o novo recorde mundial com
9,86 s. Nessa prova, o brasileiro Robson Caetano completou os 100 m em 10,12 s, conforme
Zero Hora de 26/08/91. A distância entre os dois atletas citados, quando o vencedor cruzou a
linha de chegada, foi, em centímetros, aproximadamente de:
a) 2,57
b) 2,64
c) 25,7
d) 257
e) 264
40. (FIRA ALFENAS-MG) Sejam A e B dois pontos de uma reta e P o ponto médio de AB. Um
homem percorre AP com velocidade escalar média de 4,0 m/s e PB com velocidade escalar
média de 6,0 m/s. A velocidade escalar média do homem entre A e B é de:
a) 5,0 m/s
b) 4,8 m/s
c) 2,0 m/s
d) 10 m/s
e) 4,6 m/s
41. (UFES) Um automóvel percorre metade de sua trajetória com velocidade escalar média de
30 km/h e a outra metade com velocidade escalar média de 70 km/h. A velocidade escalar
média em toda a trajetória foi de:
a) 63 km/h
b) 50 km/h
c) 42 km/h
d) 38 km/h
e) 35 km/h
42. (FIRA ALFENAS-MG) Um ponto material move-se em linha reta, percorrendo dois trechos
consecutivos MN e NP. O trecho MN é percorrido com velocidade escalar média igual a 20
km/h e o trecho NP com uma velocidade escalar média igual a 60 km/h. O trecho NP é o triplo
do trecho MN. Pode-se afirmar que a velocidade escalar média no trecho MP foi de:
a) 10 km/h
b) 60 km/h
c) 100 km/h
d) 40 km/h
e) 25 km/h
43. (UFMA) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea AB, onde M é o ponto médio,
sempre no mesmo sentido e com movimento uniforme em cada um dos trechos AM e MB. A
velocidade da partícula no trecho AM é de 3 m/s e no trecho MB é 6 m/s. A velocidade média
entre os pontos A e B vale:
a) 4,5 m/s
b) 6 m/s
c) 4 m/s
d) 9 m/s
44. (UCS-RS) Você vai fazer uma viagem de uma cidade A até uma cidade B com velocidade
uniforme de 30 km/h e retornar de B até A com velocidade de 60 km/h. A velocidade escalar
média total da viagem é de:
a) 0 km/h
b) 40 km/h
c) 45 km/h
d) 50 km/h
e) um valor impossível de ser calculado com os dados fornecidos.
45. (Cesgranrio-RJ) Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veículo leva para
percorrer um trecho de 400 m da estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho
com velocidade de 140 km/h. Sendo de 80 km/h a velocidade limite permitida, qual deve ser a
maior velocidade média do carro na segunda metade do trecho para evitar ser multado?
46. (Unicamp-SP) Brasileiro sofre! Numa tarde de sexta-feira, a fila única de clientes de um
banco tem comprimento médio de 50 m. Em média, a distância entre as pessoas na fila é de
1,0 m. Os clientes são atendidos por três caixas. Cada caixa leva cerca de 3,0 min para
atender um cliente. Pergunta-se:
a) Qual a velocidade (média) dos clientes ao longo da fila?
b) Quanto tempo um cliente gasta na fila?
c) Se um dos caixas se retirar por 30 min, de quantos metros a fila aumenta?
47. (Vunesp-SP) Um automóvel desloca-se com velocidade escalar média de 80 km/h durante
os primeiros quarenta e cinco minutos de uma viagem de uma hora e com velocidade escalar
média de 60 km/h durante o tempo restante. A velocidade escalar média do automóvel, nessa
viagem, em km/h, foi igual a:
a) 60
b) 65
c) 70
d) 75
e) 80
48. (ENEM) Um automóvel percorre uma estrada de 400 km que liga duas cidades. Nos 300
km iniciais, devido às boas condições da estrada, o motorista desenvolve uma velocidade
escalar média de 100 km/h, mas nos 100 km restantes, devido à erosão provocada pelas
chuvas, só consegue manter a velocidade escalar média de 40 km/h. O tempo gasto no
percurso entre as duas cidades foi de:
a) 5,50 h
b) 5,36 h
c) 3,50 h
d) 3,30 h
e) 2,30 h
49. (Mackenzie-SP) Um automóvel deslocou-se durante 1 h com velocidade constante de 60
km/h e, a seguir, por mais meia hora, com velocidade constante de 42 km/h. A velocidade
escalar média do automóvel nesse intervalo de 1 h 30 min foi de:
a) 40 m/s
b) 30 m/s
c) 25 m/s
d) 20 m/s
e) 15 m/s
50. (ITA-SP) Um automóvel faz metade de seu percurso com velocidade escalar média igual a
40 km/h e a outra metade com velocidade escalar média de 60 km/h. Determinar a velocidade
escalar média do carro no percurso total.
51. (Cesgranrio-RJ) Um automóvel passou pelo marco 24 km de uma estrada às 12 h e 7 min.
A seguir, passou pelo marco 28 km da mesma estrada às 12 h e 11 min. A velocidade escalar
média do automóvel, entre as passagens pelos dois marcos, foi de aproximadamente:
a) 12 km/h
b) 24 km/h
c) 28 km/h
d) 60 km/h
e) 80 km/h
52. (FGV-SP) Numa corrida de fórmula 1, a volta mais rápida foi feita em 1 min e 20 s, a uma
velocidade escalar média de 180 km/h. Pode-se afirmar que o comprimento da pista, em
metros, é de:
a) 180
b) 4.000
c) 1.800
d) 14.400
e) 2.160
53. (FEI-SP) Um carro faz uma viagem de 200 km a uma velocidade escalar média de 40 km/h.
Um segundo carro, partindo uma hora mais tarde, realiza a mesma viagem e chega ao ponto
de destino no mesmo instante que o primeiro. Qual é a velocidade escalar média do segundo
carro?
a) 45 km/h
b) 50 km/h
c) 55 km/h
d) 60 km/h
e) 80 km/h
54. (UFPE) Em uma corrida de 400 m, o vencedor cruza a linha de chegada 50 s depois da
largada. Sabendo-se que neste tempo o último colocado fez seu percurso com uma velocidade
escalar média 10% menor que a do primeiro, a que distância, em metros, da linha de chegada
ele estava quando o vencedor chegou?
55. (Vunesp-SP) Um motorista pretende percorrer uma distância de 200 km em 2,5 h com
velocidade escalar constante. Por dificuldades no tráfego, ele teve de percorrer 25 km à razão
de 60 km/h e 20 km à razão de 50 km/h. Que velocidade escalar média ele deve imprimir ao
veículo no trecho restante para chegar no tempo previsto?
a) 92 km/h
b) 105 km/h
c) 112 km/h
d) 88 km/h
e) 96 km/h
56. (Unicoc-SP) Um carro passou pelo marco 64 km de uma estrada às 15 h e 20 min. A
seguir, atingiu o marco 70 km da mesma estrada às 15 h e 24 min. A velocidade escalar média
do carro, entre os dois marcos quilométricos, foi de aproximadamente:
a) 90 km/h
b) 80 km/h
c) 60 km/h
d) 30 m/s
e) 15 m/s
57. (Fatec-SP) Um carro faz uma viagem de São Paulo ao Rio. Os primeiros 250 km são
percorridos com uma velocidade escalar média de 100 km/h. Após uma parada de 30 minutos
para um lanche, a viagem é retomada, e os 150 km restantes são percorridos com velocidade
escalar média de 75 km/h. A velocidade escalar média da viagem completa foi, em km/h:
a) 60
b) 70
c) 80
d) 90
e) 100
58. (PUCCamp-SP) Grandezas físicas importantes na descrição dos movimentos são o espaço
(ou posição) e o tempo. Numa estrada, as posições são definidas pelos marcos quilométricos.
Às 9 h 50 min, um carro passa pelo marco 50 km e, às 10 h 05 min, passa pelo marco
quilométrico 72. A velocidade escalar média do carro nesse percurso vale, em km/h:
a) 44
b) 64
c) 72
d) 80
e) 88
59. (UFMG) Um automóvel fez uma viagem de 100 km, sem paradas, e sua velocidade escalar
média, nesse percurso, foi de 60 km/h. Tendo em vista essas informações, pode-se concluir
que o tempo gasto pelo automóvel para percorrer os primeiros 30 km da viagem foi:
a) 0,50 h
b) 0,30 h
c) 0,60 h
d) 1,0 h
e) um valor impossível de se determinar.
60. (PUCCamp-SP) Numa corrida de F1, a velocidade média de uma Ferrari é de 240 km/h. No
mesmo circuito, um fusquinha conseguiria velocidade média de 100 km/h. Se a corrida de F1
durasse 1 h 50 min, uma hipotética corrida de fusquinhas duraria:
a) 2,4 h
b) 3,4 h
c) 4,4 h
d) 5,2 h
e) 6,0 h
61. (Ufes-ES) Em uma viagem entre duas cidades, um automóvel percorreu a metade do
caminho com velocidade escalar média V1 = 30 km/h e a outra metade com velocidade escalar
média de V2 = 70 km/h. A distância total percorrida vale D.
A velocidade escalar média na viagem toda:
a) depende do valor de D.
b) é dada pela média aritmética entre V1 e V2, isto é:
c) é dada pela média geométrica entre V1 e V2, isto é:
d) é dada pela média harmônica entre V1 e V2, isto é:
e) depende do tempo total gasto na viagem.
62. (Unicenp-PR) Segundo registros históricos, na Batalha de Maratona, certo guerreiro
percorreu a distância aproximada de 42 km. Suponha que ele tenha completado tal percurso
em 3 horas e 30 minutos e que nos 3 últimos quilômetros sua velocidade tenha sido 2/3 (dois
terços) do valor da sua velocidade inicial.
Calcule a velocidade média que o guerreiro desenvolveu no percurso total:
a) 8,00 km/h
b) 10,50 km/h
c) 12,00 km/h
d) 15,22 km/h
e) 22,15 km/h
63. (Unitau-SP) Um carro, em movimento retilíneo, percorre a distância AB = d com velocidade
constante de 60 km/h e depois continua até o ponto C, percorrendo a distância BC com
velocidade constante de 80 km/h. Sendo BC = 2d, pode-se concluir que o carro percorre a
distância AC com velocidade média igual a :
a) 70 km/h
b) 60 km/h
c) 80 km/h
d) 106,6 km/h
e) 72 km/h
64. (UFP-RS) Leia o texto abaixo, analise as afirmações I, II, III e IV, relacionadas a ele, e
marque a alternativa que contém as que estão corretas:
A viagem Pelotas-Porto Alegre (260 km) é freqüentemente realizada pelos ônibus de uma
empresa de transporte coletivo em 3 h e 15 min. Sabemos que, nos cruzamentos com as
cidades intermediárias (Turuçu, Cristal, Guaíba, etc.), a velocidade escalar máxima permitida é
de 60 km/h; ao passar pelos postos da PRF (Polícia Rodoviária Federal), a velocidade não
deverá ultrapassar 40 km/h; e, nos trechos restantes, 80 km/h.
I. Durante toda a viagem, o velocímetro de um ônibus registra sempre 80 km/h.
II. A média de todas as velocidades escalares é de 80 km/h.
III. A velocidade escalar média é de 80 km/h.
IV. Certamente, o motorista não obedece ao limite de velocidade estabelecido por lei, em
algum trecho da viagem.
a) III e IV
b) II e III
c) I e II
d) II e IV
e) II, III e IV
65. (Fuvest-SP) A figura representa, em escala, a trajetória de um caminhão de entregas que
parte de A, vai até B e retorna a A. No trajeto de A a B, o caminhão mantém velocidade escalar
média de 30 km/h; na volta, de B a A, gasta 6 min.
a) Qual o tempo gasto pelo caminhão para ir de A até B?
b) Qual a velocidade escalar média do caminhão quando vai de B até A, em km/h?
01: b
- Calculando a variação do espaço e a variação do tempo, temos:
∆s = s − s0
∆t = t − t0
∆s = 540 − 200
∆t = 13,0 − 9,0
∆s = 340 km
∆t = 4,0 h
- Então a velocidade escalar média é:
vm = ∆s/∆t
vm = 340/4,0
vm = 85 km/h
02: a
- Calculando variação do espaço e variação do tempo para OA:
∆s = s − s0
∆t = t − t0
∆s = 30 − 0
∆t = 2,0 − 0,0
∆s = 30 m
∆t = 2,0 s
- Então a velocidade escalar média, para OA, é:
vm = ∆s/∆t
vm = 30/2,0
vm = 15 m/s
- Calculando variação do espaço e variação do tempo para AB:
∆s = s − s0
∆t = t − t0
∆s = 10 − 30
∆t = 4,0 − 2,0
∆s = -20 m
∆t = 2,0 s
- Então a velocidade escalar média, para AB, é:
vm = ∆s/∆t
vm = − 20/2,0
vm = -10 m/s
- Calculando variação do espaço e variação do tempo para OAB:
∆s = s − s0
∆t = t − t0
∆s = 10 − 0
∆t = 4,0 − 0,0
∆s = 10 m
∆t = 4,0 s
- Então a velocidade escalar média, para OAB, é:
vm = ∆s/∆t
vm = 10/4,0
vm = 2,5 m/s
03: b
- Do km 200 ao km 245 a variação do espaço é:
∆s = s − s0
∆s = 245 − 200
∆s = 45 km
- E a variação do tempo é de 30 minutos, ou seja, ∆t = 0,5 h. Calculando a velocidade escalar
média para este percurso, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 45/0,5
vm = 90 km/h
04: b
- Para uma variação de espaço de 1.200 m, ou seja, ∆s = 1,2 km essa pessoa gastou um
tempo de 20 minutos, em horas, ∆t = 1/3 h. Calculando a velocidade escalar média, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 1,2/(1/3)
vm = 3,6 km/h
05:
a) A variação do espaço do avião é de ∆s = 3.000 km, e a variação do tempo é
∆t = 1 h e 40 min, onde 40 minutos é equivalente a 2/3 da hora que, quando somado com 1 h
temos ∆t = 5/3 h. Calculando a velocidade escalar média, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 3.000/(5/3)
vm = 1.800 km/h
b) Calculando a velocidade do avião em m/s, temos:
vm = 1.800/3,6
vm = 500 m/s
- Como essa velocidade é maior que a velocidade do som no ar, então o avião é
supersônico.
06: c
- A variação do espaço do ônibus é de ∆s = 25 km, e a variação do tempo é
∆t = 85 min, que transformados em horas é ∆t = (85/60) h. Calculando a velocidade escalar
média, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 25/(85/60)
vm = 17,6 km/h
- Aproximadamente 18 km/h.
07:
- Entre três marcos consecutivos temos uma variação do espaço ∆s = 4,0 km, e para este
percurso a variação de tempo é ∆t = 3 min, que transformado em horas é ∆t = (3/60) h, ou, ∆t =
(1/20) h. Calculando a velocidade escalar média, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 4,0/(1/20)
vm = 80 km/h
08:
- Para o tempo inicial t1 = 0, temos o espaço inicial, que chamaremos de s1; quando aplicamos
a equação do espaço para este tempo, temos:
2
s1 = 4 − 4t + 4t
2
s1 = 4 − 4∙0 + 4∙0
s1 = 4 − 0 + 0
s1 = 4 m
- Para o tempo final t2 = 10 s, temos o espaço final, que chamaremos de s2; quando aplicamos
a equação do espaço para este tempo, temos:
2
s2 = 4 − 4t + 4t
2
s2 = 4 − 4∙10 + 4∙10
s2 = 4 − 40 + 400
s2 = 364 m
- Calculando a variação do espaço e a variação do tempo, temos:
∆s = s2 − s1
∆t = t2 − t1
∆s = 364 − 4
∆t = 10 − 0
∆s = 360 m
∆t = 10 s
- Então a velocidade escalar média é:
vm = ∆s/∆t
vm = 360/10
vm = 36 m/s
09:
- Para o tempo inicial t0 = 2 s, temos o espaço inicial (s0), quando aplicamos a equação do
espaço para este tempo, então, temos:
s0 = 4 + 6t
s0 = 4 + 6∙2
s0 = 4 + 12
s0 = 16 m
- Para o tempo final t = 9 s, temos o espaço final (s), quando aplicamos a equação do espaço
para este tempo, então, temos:
s = 4 + 6t
s = 4 + 6∙9
s = 4 + 54
s = 58 m
- Calculando a variação do espaço e a variação do tempo, temos:
∆s = s − s0
∆t = t − t0
∆s = 58 − 16
∆t = 9 − 2
∆s = 42 m
∆t = 7 s
- Então a velocidade escalar média é:
vm = ∆s/∆t
vm = 42/7
vm = 6 m/s
10: d
- A variação do espaço total do veículo é ∆s = (40 + 60)km e a variação do tempo é ∆t = (0,5 +
1,5) h. Calculando a velocidade escalar média, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 100/2
vm = 50 km/h
11: e
- A variação do espaço total do veículo é ∆s = (12 + 20 + 4) km e a variação do tempo é ∆t =
(10 + 15 + 5) min, ou ,∆t = 0,5 h. Calculando a velocidade escalar média, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 36/0,5
vm = 72 km/h
- Transformando em m/s, temos:
vm = 72/3,6
vm = 20 m/s
12: d
- A variação do espaço é ∆s = 3.400,8 km e a variação do tempo de 2 dias e 4 h é, em horas,
∆t = 52 h. Calculando a velocidade escalar média desse ônibus entre Cuiabá e Salvador,
temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 3.400,8/52
vm = 65,4 km/h
13:
- A variação do espaço é ∆s = 4,0 km e a velocidade escalar média é 12 km/h. Calculando a
variação do tempo, temos
vm = ∆s/∆t
12 = 4,0/∆t
12∆t = 4,0
∆t = 4,0/12 (Dividindo por 4)
∆t = (1/3) h
∆t = 20 min
14:
- Calculando a variação do espaço para o carro que chegou em primeiro temos:
vm1 = ∆s1/∆t
240 = ∆s1/1,5
∆s1 = 240∙1,5
∆s1 = 360 km
- Calculando a variação do espaço para o carro que chegou em segundo lugar quando o carro
que chegou em primeiro cruzou completou a corrida:
vm2 = ∆s2/∆t
236 = ∆s2/1,5
∆s2 = 236∙1,5
∆s2 = 354 km
- Quando o primeiro lugar completou a corrida o segundo lugar estava 6 km (360 km − 354 km)
atrás, portanto, o equivalente a:
N = 6/30
N = 1/5 de volta
15:
- Com uma velocidade de 75 km/h em 2 h temos uma variação de espaço de:
vm = ∆s/∆t
75 = ∆s/2
∆s = 150 km
- Se percorrermos uma variação do espaço de 150 km com velocidade de 100 km/h gastamos:
100 = 150/∆t
∆t = 150/100
∆t = 1,5 h
16:
a) No trajeto de São Paulo à Jaboticabal, temos uma variação do espaço 350 km e a variação
do tempo:
∆t = t − t0
∆t = 11,5 − 8,0
∆t = 3,5 h
- Então a velocidade escalar média é:
vm = ∆s/∆t
vm = 350/3,5
vm = 100 km/h
b) Neste trecho ∆s = 45 km e sua velocidade foi de 90 km/h, então, temos:
vm = ∆s/∆t
90 = 45/∆t
90∆t = 45
∆t = 45/90
∆t = 0,5 h
17: d
- Para atravessar uma arquibancada de 1 km, uma escola de samba de 2 km, deve percorrer
os 3 km (2 km da escola de samba + 1 km da arquibancada), ou seja, a a variação do espaço
deve ser de 3 km. Como o tempo é de 90 min (ou 1,5 h) temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 3/1,5
vm = 2 km/h
18: d
- Vamos calcular primeiramente a variação do espaço:
∆s = s − s0
∆s = 263,5 − 115
∆s = 148,5 km
- Antes de calcularmos a variação do tempo vamos transformar os minutos do problema em
horas, como 1 h = 60 min temos que dividir os minutos por 60 e chegamos, assim, na
quantidade de minutos transformados em horas:
15 min = (15/60) h = 0,25 h
54 min = (54/60) h = 0,9 h
- Agora podemos calcular a variação do tempo:
∆t = t − t0
∆t = 20,9 − 19,25
∆t = 1,65 h
- Calculando a velocidade escalar média, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 148,5/1,65
vm = 90 km/h
- Onde os apressadinhos responderiam "e", mas como calculamos usando deslocamento
escalar em quilômetros e variação do tempo em horas nossa está em km/h. Transformando
para m/s, temos:
90 km/h = (90/3,6) m/s = 25 m/s
19:
- Dividiremos o problema em três partes:
1º parte: São Paulo à São José dos Campos com ∆s1 = 90 km e vm1 = 60 km/h.
2º parte: São José dos Campo à Cruzeiro com ∆s2 = 100 km e vm2 = 100 km/h.
3º parte: Cruzeiro ao Rio de Janeiro com ∆s3 = 210 km e vm3 = 60 km/h.
- Calcularemos o tempo gasto em cada parte:
1º parte: vm1 = ∆s1/∆t1
60 = 90/∆t1
60∆t1 = 90
∆t1 = 90/60
∆t1 = 1,5 h
2º parte: vm2 = ∆s2/∆t2
100 = 100/∆t2
100∆t2 = 100
∆t2 = 100/100
∆t2 = 1,0 h
3º parte: vm3 = ∆s3/∆t3
60 = 210/∆t3
60∆t3 = 210
∆t3 = 210/60
∆t3 = 3,5 h
- Portanto o tempo total gasto foi de:
∆t = ∆t1 + ∆t2 + ∆t3
∆t = 1,5 + 1,0 + 3,5
∆t = 6,0 h
- Calculando a variação do espaço total temos:
∆s = ∆s1 + ∆s2 + ∆s3
∆s = 90 + 100 + 210
∆s = 400 km
- Calculando a velocidade escalar média entre São Paulo e Rio, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 400/6,0
vm = 66,7 km/h
20: d
- Dividiremos o problema em duas partes:
1º parte: ∆s1 = 250 m e vm1 = 25 m/s.
2º parte: ∆s2 = 50 m e vm2 = 10 m/s.
- Calcularemos o tempo gasto em cada parte:
1º parte: vm1 = ∆s1/∆t1
25 = 250/∆t1
25∆t1 = 250
∆t1 = 250/25
∆t1 = 10 s
2º parte: vm2 = ∆s2/∆t2
10 = 50/∆t2
10∆t2 = 50
∆t2 = 50/10
∆t2 = 5 s
- Portanto o tempo total gasto foi de:
∆t = ∆t1 + ∆t2
∆t = 10 + 5
∆t = 15 s
- Calculando a variação do espaço total temos:
∆s = ∆s1 + ∆s2
∆s = 250 + 50
∆s = 300 m
- Calculando a velocidade escalar média no percurso, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 300/15
vm = 20 m/s
21:
- Dividiremos o problema em três partes:
1º parte AB: ∆s1 = 60 km e vm1 = 60 km/h.
2º parte BC: ∆s2 = 100 km e vm2 = 50 km/h.
3º parte CD: ∆s3 = 90 km e vm3 = 45 km/h.
- Calcularemos o tempo gasto em cada parte:
1º parte: vm1 = ∆s1/∆t1
60 = 60/∆t1
60∆t1 = 60
∆t1 = 60/60
∆t1 = 1,0 h
2º parte: vm2 = ∆s2/∆t2
50 = 100/∆t2
50∆t2 = 100
∆t2 = 100/50
∆t2 = 2,0 h
3º parte: vm3 = ∆s3/∆t3
45 = 90/∆t3
45∆t3 = 90
∆t3 = 90/45
∆t3 = 2,0 h
- Portanto o tempo total gasto foi de:
∆t = ∆t1 + ∆t2 + ∆t3
∆t = 1,0 + 2,0 + 2,0
∆t = 5,0 h
- Calculando a variação do espaço total temos:
∆s = ∆s1 + ∆s2 + ∆s3
∆s = 60 + 100 + 90
∆s = 250 km
- Calculando a velocidade escalar média neste percurso, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 250/5,0
vm = 50 km/h
22: e
- Dividiremos o problema em duas partes:
1º parte-1 minuto: ∆t1 = (1/60) h e vm1 = 20 km/h.
2º parte-2 minutos: ∆t2 = (2/60) h e vm2 = 30 km/h.
- Calcularemos a variação do espaço em cada parte:
1º parte: vm1 = ∆s1/∆t1
20 = ∆s1/(1/60)
20 = 60∆s1
(dividindo por 20)
1 = 3∆s1
3∆s1 = 1
∆s1 = (1/3) km
2º parte: vm2 = ∆s2/∆t2
30 = ∆s2/(2/60)
30 = 30∆s2
30∆s2 = 30
∆s2 = 1 km
- Portanto a variação do espaço total foi de:
∆s = ∆s1 + ∆s2
∆s = (1/3) + 1
∆s = (4/3) km
- Calculando a variação do tempo total temos:
∆t = ∆t1 + ∆t2
∆t = (1/60) + (2/60)
∆t = 3/60 (dividindo por 3)
∆t = (1/20)
- Calculando a velocidade escalar média entre São Paulo e Rio, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = (4/3)/(1/20)
vm = 4∙20/3∙1
vm = 80/3
vm = 27 km/h
23: a
- O ciclista deve percorrer 35 km em 1 h, mas na primeira parte do problema ele percorreu 20
km em um tempo de 40 min, portanto, o ciclista deve percorrer o restante do percurso 15 km,
que é o total (35 km) menos o que já tinha andado (20 km), e deverá gastar, também, o que
reta para 1 h, que é 20 min ou (1/3) h. Calculando a velocidade escalar média no percurso final,
temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 15/(1/3)
vm = 45 km/h
24: c
- A variação do espaço total foi de:
∆s = ∆s1 + ∆s2
∆s = 150 + 220
∆s = 370 km
- O tempo total gasto foi de:
∆t = ∆t1 + ∆t2
∆t = 90 + 150
∆t = 240 min ou ∆t = 4 h
- Calculando a velocidade escalar média neste percurso, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 370/4
vm = 92,5 km/h
25: b
- Dividiremos o problema em duas partes:
1º parte: ∆s1 = 100 m e vm1 = 25 m/s.
2º parte: ∆s2 = 300 m e vm2 = 50 m/s.
- Calcularemos o tempo gasto em cada parte:
1º parte: vm1 = ∆s1/∆t1
25 = 100/∆t1
25∆t1 = 100
∆t1 = 100/25
∆t1 = 4 s
2º parte: vm2 = ∆s2/∆t2
50 = 300/∆t2
50∆t2 = 300
∆t2 = 300/50
∆t2 = 6 s
- Portanto o tempo total gasto foi de:
∆t = ∆t1 + ∆t2
∆t = 4 + 6
∆t = 10 s
- Calculando a variação do espaço total temos:
∆s = ∆s1 + ∆s2
∆s = 100 + 300
∆s = 400 m
- Calculando a velocidade escalar média no percurso, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 400/10
vm = 40 m/s
26: b
- Dividiremos o problema em quatro partes:
1º parte: ∆s1 = 5 km e vm1 = 100 km/h.
2º parte: ∆s2 = 5 km e vm2 = 120 km/h.
3º parte: ∆s3 = 5 km e vm3 = 120 km/h.
4º parte: ∆s4 = 5 km e vm4 = 150 km/h.
- Calcularemos o tempo gasto em cada parte:
1º parte: vm1 = ∆s1/∆t1
100 = 5/∆t1
100∆t1 = 5
∆t1 = 5/100 (dividindo por 5)
∆t1 = (1/20) h
2º parte: vm2 = ∆s2/∆t2
120 = 5/∆t2
120∆t2 = 5
∆t2 = 5/120 (dividindo por 5)
∆t2 = (1/24) h
3º parte: igual a 2º parte ∆t3 = (1/24) h
4º parte: vm4 = ∆s4/∆t4
150 = 5/∆t4
150∆t4 = 5
∆t4 = 5/150 (dividindo por 5)
∆t4 = (1/30) h
- Portanto o tempo total gasto foi de:
∆t = ∆t1 + ∆t2 + ∆t3 + ∆t4
∆t = (1/20) + (1/24) + (1/24) + (1/30) (tirando o MMC(20,24,30) = 120)
∆t = (6 + 5 + 5 + 4)/120
∆t = 20/120 (dividindo por 20)
∆t = (1/6) h
- Calculando a variação do espaço total temos:
∆s = ∆s1 + ∆s2 + ∆s3 + ∆s4
∆s = 5 + 5 + 5 + 5
∆s = 20 km
- Calculando a velocidade escalar média no percurso, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 20/(1/6)
vm = 120 km/h
27: b
- A variação do espaço das águas é ∆s = 1.000 km e a sua velocidade escalar média é de 4
km/h, portanto, temos:
vm = ∆s/∆t
4 = 1.000/∆t
4∆t = 1.000
∆t = 1.000/4
∆t = 250 h (dividindo por 24, pois 1 dia = 24 h)
∆t = 10 dias aproximadamente
28: a
- Calculando a variação do espaço ou deslocamento escalar, temos:
∆s = s2 − s1
∆s = 60 − 20
∆s = 40 m
- Calculando a variação do tempo, temos:
∆t = t2 − t1
∆s = 10 − 5
∆s = 5 s
- A velocidade escalar média é:
vm = ∆s/∆t
∆t = 40/5
∆t = 8 m/s
29: c
- Do 1º ao 20º poste temos 19 intervalos de 60 m, portanto, sua variação de espaço será de:
∆s = 19∙60
∆s = 1140 m
- Como ele marcou sua variação do tempo ∆t = 45,6 s, sua velocidade escalar média será:
vm = ∆s/∆t
vm = 1140/45,6
vm = 25 m/s ou vm = 90 km/h
30: c
- As velocidades são, aproximadamente:
1) Uma corrida de 100 m, dura, aproximadamente, 10 s, ou seja, a velocidade é de 10 m/s.
2) Em uma maratona a velocidade do atleta é um pouco menor que em uma corrida de 100 m
(cerca de metade), sua velocidade média é de 5 m/s.
8
3) A velocidade da luz vale 3∙10 m/s.
4) A velocidade do som no ar é cerca de 340 m/s.
- Portanto, em ordem crescente, temos: 2, 1, 4 e 3.
31:
- Para o trem ultrapassar completamente o túnel, ele deve percorrer um
∆s = LPONTE + LTREM , onde:
LPONTE : comprimento da ponte.
LTREM : comprimento do trem.
- Calculando a variação do espaço temos:
∆s = LPONTE + LTREM
∆s = 500 + 100
∆s = 600 m
- Calculando a velocidade escalar média, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 600/30
vm = 20 m/s
32: c
- Calculando o espaço inicial, para t0 = 1 s, temos
2
x = 1 + 2t + t
2
x0 = 1 + 2∙1 + 1
x0 = 1 + 2 + 1
x0 = 4 m
- Calculando o espaço final, para t = 3 s, temos
2
x = 1 + 2t + t
2
x = 1 + 2∙3 + 3
x=1+6+9
x = 16 m
- Calculando o módulo da velocidade escalar média temos:
vm = ∆x/∆t
vm = x − x0/t − t0
vm = (16 − 4)/(3 − 1)
vm = 12/2
vm = 6 m/s
33: b
- Zero, pois ele voltou pelo mesmo caminho retornando à mesma posição inicial, e sua
variação do espaço ficou zero.
34: b
- Na escada rolante é formado um triângulo retângulo de lados 6 m e 8 m, utilizando o Teorema
de Pitágoras descobrimos que a distância entre a base da escada e o topo da escada é a
hipotenusa desse triângulo e vale 10 m, que é a distância efetivamente deslocada da pessoa,
portanto, temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 10/20
vm = 0,5 m/s
35: c
- Com a velocidade de 120 km/h (ou 120/3,6 m/s) temos:
vm = ∆s/∆t
120/3,6 = 500/∆t
∆t = 500∙3,6/120
∆t = 1.800/120
∆t = 15 s
36: d
- Para percorrer 500 m em 12 s temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 500/12 (transformando par km/h)
vm = 500∙3,6/12
vm = 500∙3,6/12
vm = 150 km/h
- Calculando a percentagem temos:
150/120 = 1,25
- Portanto o carro será multado com velocidade 25% superior à permitida.
37: d
- A variação do espaço é ∆s = 24 m e a variação do tempo é ∆t = 40 min, ou seja, ∆t = 2.400 s,
calculando a velocidade , temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 24/2.400
vm = 0,01
-2
-2
vm = 1x10 m/s ou vm = 10 m/s
38: c
- Com uma velocidade de vm = 1,5 m/s e durante um tempo ∆t = 40 min, ou seja, ∆t = 2.400 s,
uma pessoa consegue caminha uma distância de:
vm = ∆s/∆t
1,5 = ∆s/2.400
1,5∙2.400 = ∆s
∆s = 3.600 m
- Como cada volta tem 300 m, basta dividirmos o 3.600 m por 300 m para sabermos quantos
300 m contém em 3.600 m:
número de voltas = 3.600/300
número de voltas = 12 voltas
39: d
- Vamos calcular a velocidade escalar média do brasileiro:
vm = ∆s/∆t
vm = 100/10,12
vm = 9,881 m/s
- Aplicando esta velocidade para o tempo de chegada do campeão teremos o deslocamento
escalar do brasileiro no tempo em que o campeão chegou:
vm = ∆s/∆t
9,881= ∆s/9,86
∆s = 97,43 m
- Este resultado é o deslocamento escalar sofrido pelo brasileiro no momento em que o
campeão cruza a linha de chegada dos 100 m, portanto a distância que os separa é de:
d = 100 − 97,43
d = 2,57 m ou d = 257 cm
40: b
- Como o problema não especificou o deslocamento escalar, mas disse que o ponto P é médio
entre A e B, podemos concluir que a distância entre A e P é igual a distância entre P e B, e
chamaremos estas distâncias de x, e dividiremos o problema em duas partes:
1º parte-AP: ∆s1 = x e v1 = 4,0 m/s.
2º parte-PB: ∆s2 = x e v2 = 6,0 m/s.
- Para calcularmos a velocidade escalar média entre A e B é necessário obtermos a variação
do espaço total (∆s) e a variação do tempo total (∆t). A variação do espaço entre A e B é ∆s =
2x. Para obtermos os tempos vamos calcular em cada parte:
1º parte-AP:
2º parte-AP:
v1 = ∆s1/∆t1
v2 = ∆s2/∆t2
4 = x/∆t1
6 = x/∆t2
4∆t1 = x
6∆t2 = x
∆t1 = x/4
∆t2 = x/6
- Para o cálculo da variação do tempo total temos:
∆t = ∆t1 + ∆t2
∆t = (x/4) + (x/6) (obtendo o MMC(4,6) = 12)
∆t = (3x + 2x)/12
∆t = 5x/12
- Não nos falta mais nada, temos ∆s = 2x e ∆t = 5x/12, Calculando a velocidade escalar média
temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 2x/(5x/12)
vm = 2x∙12/5x
vm = 24x/5x
vm = 24x/5x
vm = 4,8 m/s
41: c
- Podemos dividir o problema em duas parte (ver exercício nº40), mas simplificaremos a
resolução, pois sempre que um móvel percorrer metade de um percurso com certa velocidade
escalar média v1 e a outra metade com velocidade escalar média v2 podemos calcular a
velocidade escalar média total utilizando:
vm = 2∙v1∙v2/v1 + v2
- Calculando a velocidade escalar média desse corpo com a equação acima temos:
vm = 2∙30∙70/30 + 70
vm = 4.200/100
vm = 42 km/h
42: d
- Como o problema não especificou o deslocamento escalar, mas disse o trecho NP é o triplo
do trecho MP, se chamarmos o trecho MN de x, o trecho NP será 3x.Dividindo o problema em
duas partes:
1º parte-MN: ∆s1 = x e v1 = 20 hm/h.
2º parte-NP: ∆s2 = 3x e v2 = 60 km/h.
- Para calcularmos a velocidade escalar média entre M e P é necessário obtermos a variação
do espaço total (∆s) e a variação do tempo total (∆t). A variação do espaço entre M e P é ∆s =
4x. Para obtermos os tempos vamos calcular em cada parte:
1º parte-MN:
2º parte-NP:
v1 = ∆s1/∆t1
v2 = ∆s2/∆t2
20 = x/∆t1
60 = 3x/∆t2
20∆t1 = x
60∆t2 = 3x (dividindo por 3)
∆t1 = x/20
20∆t2 = x
∆t2 = x/20
- Para o cálculo da variação do tempo total temos:
∆t = ∆t1 + ∆t2
∆t = (x/20) + (x/20)
∆t = 2x/20 (dividindo por 2)
∆t = x/10
- Não nos falta mais nada, temos ∆s = 4x e ∆t = x/10, Calculando a velocidade escalar média
temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 4x/(x/10)
vm = 4x∙10/x
vm = 40x/x
vm = 40 km/h
43: c
- Aplicando a equação da velocidade escalar média para trechos iguais (ver exercício nº41)
temos:
vm = 2∙v1∙v2/v1 + v2
vm = 2∙3∙6/3 + 6
vm = 36/9
vm = 4 m/s
44: a
- A definição de velocidade escalar média é a divisão da variação do espaço pela variação do
tempo, para este caso em que o corpo RETORNA para a mesma posição (cidade A), o móvel
possui espaço final igual ao espaço inicial, onde obtemos um ∆s = 0, e conseqüentemente,
uma velocidade escalar média, também, igual a ZERO.
45:
- Aplicando a equação da velocidade escalar média para trechos iguais (ver exercício nº41)
temos:
vm = 2∙v1∙v2/v1 + v2
80 = 2∙140∙v2/140 + v2
80 = 280v2/140 + v2
80(140 + v2) = 280v2
11.200 + 80v2 = 280v2
11.200 = 280v2 - 80v2
11.200 = 200v2
200v2 = 11.200
v2 = 11.200/200
v2 = 56 km/h
46:
a) Podemos pensar que os caixas recebam três pessoas juntas, no mesmo momento, então
neste caso a fila anda 3 m, mas eles irão demorar 3 min para atendê-los, só depois deste
tempo é que a fila andaria mais 3 m, portanto, a velocidade média das pessoas na fila será de
3 metros a cada três minutos, ou seja, 1 m/min.
b) Como a fila tem um comprimento média de 50 m e a velocidade média dos clientes é de 1
m/min, temos:
vm = ∆s/∆t
1 = 50/∆t
∆t = 50 min
c) Considerando que com os três caixas a fila se mantêm com um tamanho médio constante e
a distância entre cada pessoa é de um metro e a velocidade da fila é de 1 m/min, isso nos
indica que para a fila não perder o seu tamanho 1 pessoa por minuto deve entra nela.Quando
um caixa se retirar, ocorrerá que a cada três minutos não mais três pessoas irão sair da fila e
sim somente duas pessoas a cada três minutos, ou seja, como estão entrando uma pessoa por
minuto na fila, ou três pessoas por três minuto e saindo duas pessoas por três minutos, o que
faz com que a fila aumente de 1 pessoa a cada três minutos, em 30 min teremos 10 pessoas a
mais na fila, ou seja, a fila aumentará de 10 m.
47: d
- Dividiremos o problema em duas partes:
1º parte: v1 = 80 km/h e ∆t1 = 45 min ou ∆t1 = (3/4) h.
2º parte: v2 = 60 km/h e ∆t2 = 15 min ou ∆t2 = (1/4) h.
- O tempo total da viagem é ∆t = 1 h, calcularemos o deslocamento escalar em cada parte:
1º parte
v1 = ∆s1/∆t1
80 = ∆s1/(3/4)
80∙3/4 = ∆s1
∆s1 = 240/4
∆s1 = 60 km
2º parte
v2 = ∆s2/∆t2
60 = ∆s2/(1/4)
60∙1/4 = ∆s2
∆s2 = 60/4
∆s2 = 15 km
- O deslocamento total vale:
∆s = ∆s1 + ∆s2
∆s = 60 + 15
∆s = 75 km
- Calculando a velocidade escalar média temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 75/1
vm = 75 km/h
48: a
- Dividimos o problema em duas partes:
1º parte: ∆s1 = 300 km e v1 = 100 km/h.
2º parte: ∆s2 = 100 km e v2 = 40 km/h.
- Calculando o tempo em cada parte temos:
1º parte:
v1 = ∆s1/∆t1
100 = 300/∆t1
100∆t1 = 300
∆t1 = 300/100
∆t1 = 3 h
2º parte:
v2 = ∆s2/∆t2
40 = 100/∆t2
40∆t2 = 100
∆t2 = 100/40
∆t2 = 2,5 h
- O tempo total gasto foi de:
∆t = ∆t1 + ∆t2
∆t = 3 + 2,5
∆t = 5,5 h
49: e
- Um automóvel com velocidade de 60 km/h percorre em 1 h, a distância de 60 km e, com
velocidade de 42 km/h em 0,5 h, percorre 21 km, portanto:
vm = ∆s/∆t
vm = (60 + 21)/(1 + 0,5)
vm = (81)/(1,5)
vm = 54 km/h ou vm = 15 m/s
50:
- Aplicando a equação da velocidade escalar média para trechos iguais (ver exercício nº41)
temos:
vm = 2∙v1∙v1/v1 + v2
vm = 2∙40∙60/40 + 60
vm = 4.800/100
vm = 48 km/h
51: d
- Calculando variação do espaço e variação do tempo temos:
∆s = s − s0
∆t = t − t0
∆s = 28 − 24
∆t = 12 h 11 min − 12 h 7 min
∆s = 4 km
∆t = 4 min
∆t = (4/60) h
- Então a velocidade escalar média é:
vm = ∆s/∆t
vm = 4/(4/60)
vm = 60 km/h
52: b
- Transformando para m/s temos:
v = 180/3,6
v = 50 m/s
- O tempo em segundos é:
∆t = 1 min + 20 s
∆t = 60 s + 20 s
∆t = 80 s
- Aplicando a velocidade média temos:
vm = ∆s/∆t
50 = ∆s/80
∆s = 4.000 m
53: b
- Para o primeiro carro foi gasto um tempo de:
vm = ∆s/∆t
40 = 200/∆t
∆t = 200/40
∆t = 5 h
- Como o segundo carro partiu 1 hora depois, ele gastou 4 h, então, sua velocidade média foi:
vm = ∆s/∆t
vm = 200/4
vm = 50 km/h
54:
- A velocidade escalar média do vencedor é:
vm = ∆s/∆t
vm = 400/50
vm = 8 m/s
- Como o último colocado teve uma velocidade escalar média de 10% menor que o vencedor,
ou seja, 90% da velocidade do vencedor, então sua velocidade é:
vm = 8∙0,90
vm = 7,2 m/s
- Com esta velocidade ele corre em 50 s:
vm = ∆s/∆t
7,2 = ∆s/50
∆s = 360 m
- Quando o vencedor cruzou a linha de chegada o último colocado estava a 400 − 360 = 40 m
da linha de chegada.
55: a
- Dividimos o problema em três partes:
1º Parte: 25 km com velocidade de 60 km/h
- Nesta primeira parte foi gasto um tempo de:
vm = ∆s/∆t1
60 = 25/∆t1
∆t1 = 25/60
∆t1 = (5/12) h
2º Parte: 20 km com velocidade de 50 km/h
Nesta segunda parte foi gasto um tempo de:
vm = ∆s/∆t2
50 = 20/∆t2
∆t2 = 20/50
∆t2 = (2/5) h
- Como era necessário percorrer 200 km e foi percorrido 45 km (25 km da 1º parte + 20 km da
2º parte), ainda faltam 155 km (200 km − 45 km) e o tempo total a ser gasto é de 2,5 h, então,
vamos somar os tempos acima e tirar de 2,5 h para saber quanto resta para ser gasto:
∆t = ∆t1 + ∆t2 + ∆t3
2,5 = (5/12) + (2/5) + ∆t3
(5/2) = (5/12) + (2/5) + ∆t3
∆t3 = (5/2) − (5/12) − (2/5)
∆t3 = (150 − 25 − 24)/60
∆t3 = (101/60) h
3º parte: percorrer 155 km em (101/60) h.
vm = ∆s/∆t3
vm = 155/(101/60)
vm = 92 km/h
56: a
- Calculando variação do espaço e variação do tempo temos:
∆s = s − s0
∆t = t − t0
∆s = 70 − 64
∆t = 15 h 24 min − 15 h 20 min
∆s = 6 km
∆t = 4 min
∆t = (4/60) h
- Então a velocidade escalar média é:
vm = ∆s/∆t
vm = 6/(4/60)
vm = 360/4
vm = 90 km/h
57: c
- Calculando o tempo gasto antes da parada temos:
vm = ∆s/∆t1
100 = 250/∆t1
100 = 250/∆t1
∆t1 = 250/100
∆t1 = 2,5 h
- Calculando o tempo gasto depois da parada:
vm = ∆s/∆t2
75 = 150/∆t2
75 = 150/∆t2
∆t2 = 150/75
∆t2 = 2,0 h
- Na velocidade escalar média não desconta a parada, é a distância total no percurso (250 km
+ 150 km)) e o tempo total (2,5 h + 0,5 h + 2,0 h):
vm = ∆s/∆t
vm = 400/5
vm = 80 km/h
58: e
- Calculando variação do espaço e variação do tempo temos:
∆s = s − s0
∆t = t − t0
∆s = 72 − 50
∆t = 10 h 05 min − 9 h 50 min
∆s = 22 km
∆t = 15 min
∆t = 0,25 h
- Então a velocidade escalar média é:
vm = ∆s/∆t
vm = 22/0,25
vm = 88 km/h
59: e
- Nada podemos dizer a respeito dos primeiros 30 km, pois a velocidade calculada de 60 km/h
e velocidade média e, no início ele poderia ter corrido muito ou não, portanto, é um valor
impossível de se determinar.
60: c
- Calculando a deslocamento escalar da Ferrari em toda a corrida temos:
vm = ∆s/∆t
240 = ∆s/(11/6)
(1 h 50 min = (11/6) h)
∆s = 240∙11/6
∆s = 440 km
- Com este deslocamento e a velocidade de 100 km/h, temos que o fusquinha gastou:
vm = ∆s/∆t
100 = 440/∆t
∆t = 440/100
∆t = 4,4 h
61: d
- Quando um móvel percorre metade de uma distância com uma certa velocidade e a outra
metade com outra velocidade a velocidade escalar média é dada por:
62: c
- A velocidade média é a variação do espaço pelo tempo:
vm = ∆s/∆t
vm = 42/3,5
vm = 12,00 km/h
63: e
- Para a parte AB foi gasto um tempo de:
vm = ∆s/∆tAB
60 = d/∆tAB
∆tAB = d/60
- Para a parte BC foi gasto um tempo de:
vm = ∆s/∆tBC
80 = 2d/∆tBC
∆tBC = 2d/80
O tempo total gasto é:
∆t = ∆tAB + ∆tBC
∆t = d/60 + 2d/80
∆t = (4d + 6d)/240
∆t = 10d/240
∆t = d/24
- Calculando a velocidade média temos:
vm = ∆s/∆t
vm = 3d/(d/24)
vm = 3d∙24/d
vm = 72 km/h
64: a
I) Errado, pois ele terá que reduzir para passar pelo postos da polícia e pelas cidades.
II) Errado, pois se a máxima velocidade escalar é de 80 km/h, nunca a média das velocidades
dará 80 km/h.
III) Correto, pois 260 km em 3,25 h vale 80 km/h.
IV) Correto, pois para ter uma velocidade escalar média de 80 km/h reduzindo em alguns
trecho, como em frente as polícias e nas cidades, ele deve ultrapassar os 80 km/h para ter
essa velocidade média.
65:
a) Calculando a variação do espaço de A até B, podemos perceber que a reta que está na
diagonal é uma hipotenusa de catetos 4 km e 3 km, portanto, de 5 km; quando somamos com
mais 1 km na vertical subindo, mais 1 km na horizontal para a direita e, mais 3 km na vertical
para baixo, temos um total da variação do espaço de 10 km, então:
vm = ∆s/∆t
30 = 10/∆t
∆t = 10/30
∆t = 1/3 h
b) Contando os quadrados de 1 km de B para A podemos observar que a variação do espaço é
de 6 km e, com 6 min vale 1/10 da hora:
vm = 6/(1/10)
vm = 60 km/h
Velocidade escalar instantânea
2
01. Um móvel varia seu espaço de acordo com a função horária dos espaços: s = t + 2t − 6
(SI) Determine a velocidade escalar no instante t = 2 s.
02. Determine a velocidade escalar de um móvel no instante t = 4 s, sabendo que este
descreve um movimento de acordo com a função horária do espaço:
3
2
s = t + 2t – t + 5 (SI).
2
03. Os espaços de um móvel variam com o tempo de acordo com a equação: s = t – 4t + 5
(SI). Determine:
a) a função horária da velocidade;
b) a velocidade escalar no instante t = 5 s;
c) o instante em que a velocidade escalar se nula.
2
04. (UFPA) É dado um movimento que obedece à lei s = 8 – 4t + t (SI). Neste movimento, a
equação da velocidade escalar em função do tempo é:
a) v = 8 – 4t
b) v = – 4 + 2t
2
c) v = – 4t + 2t
2
d) v = 8 + t
2
3
e) v = 8t – 4t + t
05. (Cefet-PR) O movimento retilíneo de uma partícula tem coordenada de posição x variando
com o tempo segundo a relação:
2
x = 20 + 4,0t – 2,0t
(SI)
A expressão temporal que governa a velocidade escalar da partícula, em unidades do SI, é:
a) v = – 20 + 2,0t
b) v = 4,0 + 2,0t
c) v = 4,0 – 4,0t
2
d) v = 24t – 4,0t
e) v = 24 – 4,0t
06. (Fuvest-SP) Um corpo se movimenta sobre o eixo x, tendo sua posição dada pela seguinte
2
função horária: x = 2 + 2t – 2t , com t em segundos e x em metros.
a) Qual a velocidade escalar média entre os instantes t = 0 e t = 2 s?
b) Qual a velocidade escalar no instante t = 2 s?
2
07. (USF-SP) A equação horária de um movimento é s = − 2 + 4t − 2t , onde s é dado em
metros e t em segundos; então a velocidade escalar se anula quando:
a) t = 2 s
b) t = 0
c) t = 1 s
d) t = 4 s
e) t = 3 s
2
08. (F.M.ABC-SP) A função horária do movimento de uma partícula é expressa por s = t − 10t
+ 24 (s em metros e t em segundos). O espaço do móvel ao mudar de sentido é:
a) 24 m
b) − 25 m
c) 25 m
d) 1 m
e) −1 m
09. (UFRJ) Uma partícula se movimenta com função horária do espaço dada por:
s = 200 − 40t + 2,0t
2
(SI)
a) Qual a trajetória da partícula?
b) A partir de que instante a partícula inverte o sentido de seu movimento?
c) Qual a posição do ponto de inversão de sentido de seu movimento?
10. (FMU-SP) Uma partícula em movimento tem função horária do espaço dada por:
x = 10 − 6,0t + 3,0t
2
(SI)
No instante t1, em que a velocidade escalar da partícula vale 6,0 m/s, seu espaço é dado por:
a) x1 = 2,0 m
b) x1 = 6,0 m
c) x1 = 10 m
d) x1 = 82 m
2
e) x1 = 1,0∙10 m
11. (OBF) As equações horárias das posições de dois móveis que se deslocam
simultaneamente em uma mesma trajetória retilínea são dadas, em unidades do Sistema
2
Internacional (SI), por sA = 25t e sB = 30 + 1,0t + 1,0t . Eles possuem a mesma velocidade
escalar no instante:
a) 12 s
b) 13 s
c) 24 s
d) 25 s
e) 30 s
01:
- Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea:
v = 2t + 2
- Calculando para o tempo t = 2 s, temos:
v = 2∙2 + 2
v = 6 m/s
02:
- Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea:
2
v = 3t + 4t − 1
- Calculando para o tempo t = 4 s, temos:
2
v = 3∙4 + 4∙4 − 1
v = 3∙16 + 16 − 1
v = 48 + 15
v = 63 m/s
03:
a) Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea:
v = 2t − 4
b) Calculando para o tempo t = 5 s, temos:
v = 2∙5 − 4
v = 10 − 4
v = 6 m/s
c) Calculando o tempo para que a velocidade escalar seja zero, temos:
0 = 2t − 4
4 = 2t
2t = 4
t = 4/2
t=2s
04: b
- Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea:
v = − 4 + 2t
05: c
- Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea:
v = 4,0 − 4,0t
06:
a) Para o tempo inicial t0 = 0, temos o espaço inicial (x0) quando aplicamos a equação do
espaço para este tempo, então, temos:
2
x0 = 2 + 2t − 2t
2
x0 = 2 + 2∙0 − 2∙0
x0 = 2 + 0 − 0
x0 = 2 m
- Para o tempo final t = 2 s, temos o espaço final (s) quando aplicamos a equação do espaço
para este tempo, então, temos:
2
x = 2 + 2t − 2t
2
x = 2 + 2∙2 − 2∙2
x=2+4−8
x=−2m
- Calculando a variação do espaço e a variação do tempo, temos:
∆x = x − x0
∆t = t − t0
∆x = − 2 − 2
∆t = 2 − 0
∆x = − 4 m
∆t = 2 s
- Então a velocidade escalar média é:
vm = ∆x/∆t
vm = − 4/2
vm = − 2 m/s
b) Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea:
v = 2 − 4t
- Calculando para o tempo t = 2 s, temos:
v = 2 − 4∙2
v=2−8
v = − 6 m/s
07: c
- Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea:
v = 4 − 4t
- Calculando o tempo para que a velocidade escalar seja zero, temos:
0 = 4 − 4t
4t = 4
t = 4/4
t=1s
08: e
- Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea:
v = 2t − 10
- Calculando o tempo para que a velocidade escalar seja zero, ou seja, muda de sentido,
temos:
0 = 2t − 10
10 = 2t
2t = 10
t = 10/2
t=5s
- Sabendo que o móvel muda de sentido no instante t = 5 s, voltamos à função horária do
espaço e calculamos sua posição no instante da inversão do sentido do movimento:
2
s = t − 10t + 24
2
s = 5 − 10∙5 + 24
s = 25 − 50 + 24
s=−1m
09:
a) Nada podemos dizer a respeito da partícula somente com a função horária do espaço.
b) Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea:
v = − 40 + 4,0t
- Calculando o tempo para que a velocidade escalar seja zero, ou seja, inverte seu sentido,
temos:
0 = − 40 + 4,0t
40 = 4,0t
4,0t = 40
t = 40/4,0
t = 10 s
c) Sabendo que o móvel muda de sentido no instante t = 10 s, voltamos à função horária do
espaço e calculamos sua posição no instante da inversão do sentido do movimento:
2
s = 200 − 40t + 2,0t
2
s = 200 − 40∙10 + 2,0∙10
s = 200 − 400 + 200
s=0
10: c
- Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea:
v = − 6,0 + 6,0t
- Calculando o tempo para que a velocidade escalar seja 6 m/s, temos:
6,0 = − 6,0 + 6,0t
6,0 + 6,0 = 6,0t
12 = 6,0t
6,0t = 12
t = 12/6,0
t = 2,0 s
- Sabendo que o móvel possui velocidade de 6,0 m/s no tempo t1 = 2,0 s, voltamos à função
horária do espaço e calculamos sua posição nesse instante:
2
x1 = 10 − 6,0t + 3,0t
2
x1 = 10 − 6,0∙2,0 + 3,0∙(2,0)
x1 = 10 − 12 + 12
x1 = 10 m
11: a
- Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea de A e B:
vA = 25 m/s
e
vB = 0 + 1,0 + 2,0t
vB = 1,0 + 2,0t
- Eles possuem a mesma velocidade quando elas forem iguais:
vB = vA
1,0 + 2,0t = 25
2,0t = 25 − 1,0
2,0t = 24
t = 24/2,0
t = 12 s
Movimento progressivo e retrógrado
01. (UNISA-SP) Um ponto material move-se em trajetória retilínea obedecendo à equação
horária do espaço:
s = 6,0 + 2,0t − 1,0t
2
para s em metros e t em segundos.
Assinale a opção correta:
a) O movimento é sempre progressivo.
b) O movimento é sempre retrógrado.
c) O movimento é retrógrado até o instante t = 6,0 s e progressivo a partir desse instante.
d) O movimento é retrógrado até o instante t = 1,0 s e progressivo a partir desse instante.
e) O movimento é progressivo até o instante t = 1,0 s e retrógrado a partir desse instante.
01: e
- Aplicamos a derivada de polinômios à função horária do espaço para acharmos a expressão
da velocidade instantânea:
v = 2,0 − 2,0t
- O movimento é progressivo quando v > 0, e retrógrado quando v < 0, então temos:
MOVIMENTO PROGRESSIVO
v>0
2,0 - 2,0t > 0
− 2,0t > − 2,0 (multiplicando por −1)
2,0t > 2,0
t > 2,0/2,0
t > 1,0 s
MOVIMENTO RETRÓGRADO
v<0
2,0 - 2,0t < 0
− 2,0t < − 2,0 (multiplicando por −1)
2,0t < 2,0
t < 2,0/2,0
t < 1,0 s
- Este móvel tem movimento progressivo até 1,0 s, parando neste tempo, e retornando a
partir daí com movimento retrógrado.
Aceleração escalar média
01. (PUC-RS) Dizer que um movimento se realiza com uma aceleração escalar constante de 5
2
m/s significa que:
a) em cada segundo o móvel se desloca 5 m.
b) em cada segundo a velocidade do móvel aumenta de 5 m/s.
c) em cada segundo a aceleração do móvel aumenta de 5 m/s.
d) em cada 5 s a velocidade aumenta de 1 m/s.
e) a velocidade é constante e igual a 5 m/s.
2
02. (Fatec-SP) Aceleração escalar constante de 5 m/s significa que:
a) em cada 5 m a velocidade escalar varia de 5 m/s.
b) em cada segundo são percorridos 5 m.
c) em cada segundo a velocidade escalar varia de 5 m/s.
d) em cada 5 m a velocidade escalar varia de 1 m/s.
e) a velocidade escalar permanece sempre igual a 5 m/s.
03. (UFPA) A cada minuto uma menina anotou a velocidade escalar indicada pelo velocímetro
no carro do pai. O resultado foi 15 km/h; 23 km/h; 31 km/h; 39 km/h. Pode-se afirmar
corretamente que a aceleração escalar média do carro é:
a) 8 km/h por segundo.
2
b) 8 km/h por segundo.
c) 8 km/h por minuto.
d) 19 km/h por minuto.
e) 27 km/h por minuto.
04. (FCC-SP) Uma partícula desloca-se ao longo de uma reta com aceleração escalar nula.
Nessas condições, podemos afirmar corretamente que sua velocidade escalar é
a) nula.
b) constante e diferente de zero.
c) inversamente proporcional ao tempo.
d) diretamente proporcional ao tempo.
e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo.
05. (Vunesp-SP) A tabela contém valores da velocidade de uma partícula, deslocando-se em
linha reta, em função do tempo.
t(s)
0
2,0
4,0
6,0
8,0
v(m/s)
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
A aceleração da partícula no intervalo de tempo considerado é, em m/s2, igual a
a) 0,5
b) 1,0
c) 1,5
d) 2,0
e) 2,5
06. (UFSC) Um automóvel parte do repouso e atinge 12 m/s em 4 s. Determine a
aceleração escalar média do automóvel, em m/s2, nesse intervalo de tempo.
07. (E.E. Santos-SP) A velocidade escalar de um automóvel aumenta de 36 km/h para 108
km/h em 10 s. A aceleração escalar média é:
2
a) 7,2 m/s
2
b) 2,0 m/s
c) 72 km/h
d) 72 (km/h)/s
08. (Cesgranrio-RJ) “A Mercedes-Benz está lançando no mercado (restrito) um carro que custa
a bagatela de 2 milhões de dólares (ou R$ 3.000.000,00, de acordo com a reportagem).
Trata-se de um carro que atinge a velocidade de 100 km/h em 3,8 segundos, com um consumo
de 3 quilômetros por litro de gasolina. Segundo a reportagem, “na arrancada, o corpo do
motorista é pressionado para trás com uma força espantosa, algo como um peso de 60 quilos
empurrando o tórax contra o banco. Em 10 segundos, o ponteiro passa dos 200. É um monstro
capaz de atingir 320 km/h. Se algum brasileiro decidisse adquirir o carro mais caro do mundo,
pagaria, todos os anos, R$ 150.000,00 de IPVA, mais R$ 300.000,00 de Seguro”.
Revista Veja (agosto/1999)
Considere que a aceleração do automóvel durante os 3,8 segundos seja constante. A
2
aceleração do Mercedes-Benz, em m/s , durante os 3,8 segundos, foi de, aproximadamente:
a)2,3
b)3,1
c)4,2
d)5,7
e)7,3
09. (Unisinos-RS) Quando um motorista aumenta a velocidade escalar de seu automóvel
de 60 km/h para 78 km/h em 10 s, ele está comunicando ao carro uma aceleração escalar
2
média, em m/s , de
a) 18
b) 0,2
c) 5,0
d) 1,8
e) 0,5
10. (UFSCar-SP) Um carro movendo-se no sentido positivo do eixo x, com velocidade de 100
km/h, freia de modo que após 1 minuto sua velocidade passa a ser de 40 km/h. A aceleração
escalar média do carro será:
2
a) – 1,0 km/min
2
b) 1,0 km/min
2
c) – 1,0 m/s
2
d) – 0,66 km/min
2
e) 0,66 km/s
11. (UFPE-PE) Um caminhão com velocidade escalar inicial de 36 km/h é freado e pára em 10
s. A aceleração escalar do caminhão, durante a freada, tem módulo igual a :
2
a) 0,5 m/s
2
b) 1,0 m/s
2
c) 1,5 m/s
2
d) 3,6 m/s
2
e) 7,2 m/s
12. (ETF-SP) Um trem desloca-se com velocidade de 72 km/h, quando o maquinista vê um
obstáculo à sua frente. Aciona os freios e pára em 4 s. A aceleração média imprimida ao trem
pelos freios, foi, em módulo, igual a:
2
a) 18 m/s
2
b) 10 m/s
2
c) 5 m/s
2
d) 4 m/s
e) zero
13. (UEL-PR) A velocidade escalar de um corpo está representada em função do tempo na
figura a seguir. Podemos concluir que a aceleração escalar média entre t = 0 e t = 10 s é:
a) nula
2
b) 1,0 m/s
2
c) 1,5 m/s
2
d) 2,0 m/s
2
e) 3,0 m/s
14. (FMTM-MG) Um cientista, estudando a aceleração escalar média de três diferentes carros,
obteve os seguintes resultados:
- o carro I variou sua velocidade de v para 2v num intervalo de tempo igual a t;
- o carro II variou sua velocidade de v para 3v num intervalo de tempo igual 2t;
- o carro III variou sua velocidade de v para 5v num intervalo de tempo igual 5t;
Sendo a1, a2 e a3 as acelerações médias dos carros I, II e III, pode-se afirmar que:
a) a1 = a2 = a3
b) a1 > a2 > a3
c) a1 < a2 < a3
d) a1 = a2 > a3
e) a1 = a2 < a3
01: b
2
- Aceleração é quanto o corpo muda sua velocidade com o passar do tempo, então, 5 m/s ,
que é 5 m/s/s, indica que o móvel muda sua velocidade de 5 m/s em cada segundo.
02: c
2
- Aceleração é quanto o corpo muda sua velocidade com o passar do tempo, então, 5 m/s ,
que é 5 m/s/s, indica que o móvel muda sua velocidade de 5 m/s em cada segundo.
03: c
- Estes valores indicam que a velocidade do carro está aumentando de 8 km/h em cada
minuto.
04: b
- Aceleração escalar nula é quando a velocidade não muda.
05: b
- Calculando a aceleração escalar média entre os instantes 0 e 8,0 s, temos:
∆t = t − t0
∆v = v − v0
am = ∆v/∆t
∆t = 8,0 − 0
∆v = 10,0 − 2,0
am = 8,0/8,0
∆t = 8,0 s
∆v = 8,0 m/s
am = 1,0 m/s
2
06:
- Como o automóvel parte do repouso (v0 = 0), temos:
∆t = 4 s
∆v = v − v0
am = ∆v/∆t
∆v = 12 - 0
am = 12/4
2
∆v = 12 m/s
am = 3 m/s
07: b
- Transformando a velocidade inicial de 36 km/h e a final de 108 km/h, temos:
v0 = 36 km/h = (36/3,6) m/s = 10 m/s
v = 108 km/h = (108/3,6) m/s = 30 m/s
- Calculando a aceleração escalar média temos:
∆t = 10 s
∆v = v - v0
am = ∆v/∆t
∆v = 30 - 10
am = 20/10
2
∆v = 20 m/s
am = 2 m/s
08: e
- A variação da velocidade do carro é ∆v = 100 km/h, pois se a reportagem disse que ele atinge
está velocidade é que iniciou em ZERO, e gastou um tempo de ∆t = 3,8 s. Primeiro
transformaremos a velocidade em m/s:
∆v = 100 km/h = (100/3,6) m/s = 27,8 m/s
- Calculando a aceleração escalar média temos:
am = ∆v/∆t
am = 27,8/3,8
2
am = 7,3 m/s
09: e
- Calculando a variação da velocidade temos:
∆v = v − v0
∆v = 78 − 60
∆v = 18 km/h
- Transformando essa velocidade para m/s:
∆v = 18 km/h = (18/3,6) m/s = 5 m/s
- Calculando a aceleração escalar média:
am = ∆v/∆t
am = 5/10
2
am = 0,5 m/s
10: a
- Calculando a variação da velocidade temos:
∆v = v − v0
∆v = 40 − 100
∆v = − 60 km/h
- Transformando essa velocidade para km/min:
∆v = − 60 km/1 h = − 60 km/60 min = − 1,0 km/min
- Calculando a aceleração escalar média:
am = ∆v/∆t
am = − 1,0/1
2
am = − 1,0 km/min
11: b
- Calculando a variação da velocidade temos:
∆v = v − v0
∆v = 0 − 36
∆v = − 36 km/h
- Transformando essa velocidade para m/s:
∆v = − 36 km/h = (− 36/3,6) m/s = − 10 m/s
- Calculando a aceleração escalar média:
am = ∆v/∆t
am = − 10/10
2
am = − 1,0 m/s
- Em módulo:
2
am = 1,0 m/s
12: c
- Calculando a variação da velocidade temos:
∆v = v − v0
∆v = 0 − 72
∆v = − 72 km/h
- Transformando essa velocidade para m/s:
∆v = − 72 km/h = (− 72/3,6) m/s = − 20 m/s
- Calculando a aceleração escalar média:
am = ∆v/∆t
am = − 20/4
2
am = − 5 m/s
Em módulo:
2
am = 5 m/s
13: d
- Calculando a aceleração escalar média temos:
am = ∆v/∆t
am = (30 − 10/(10 − 0)
am = 20/10
2
am = 2 m/s
14: d
- Calculando as acelerações escalares médias temos:
Carro I:
a1 = ∆v/∆t
a1 = (2v − v)/t
a1 = v/t
Carro II:
a2 = ∆v/∆t
a2 = (3v − v)/2t
a2 = 2v/2t
a2 = v/t
Carro III:
a3 = ∆v/∆t
a3 = (5v − v)/5t
a3 = 4v/5t
a3 = 0,8v/t
- Como v/t > 0,8v/t, temos que a1 = a2 > a3.
Aceleração escalar instantânea
01. Um corpo realiza um movimento onde sua aceleração é dada pela equação a = 2t – 6
(unidades no SI). Qual a aceleração escalar no instante 4 s.
02. Um móvel se movimenta de acordo com a função horária das velocidades
2
v = 2t – 6
(SI)
Determine a aceleração escalar no instante t = 3 s.
03. Determine a aceleração e a velocidade escalar de um móvel no instante t = 4 s, sabendo
que este descreve um movimento de acordo com a função horária do espaço:
2
s = t + 2t – 5
(SI)
04. (FEI-SP) Um móvel realiza um movimento retilíneo com velocidade escalar dada, em
unidades do SI, pela equação
v = 1,0 – 0,1t
Calcule:
a) a aceleração escalar do movimento;
b) o instante t em que o móvel pára.
05. Um móvel descreve um movimento de acordo com a função horária:
3
2
s = 2t + t – 5t + 8
(SI)
Determine a aceleração e a velocidade no instante t = 2 s.
06. (PUCCamp-SP) Um móvel se desloca numa certa trajetória retilínea, obedecendo à função
horária de velocidades escalares v = 20 − 4t, com unidades do Sistema Internacional. Pode-se
afirmar que no instante t = 5 s, a velocidade escalar instantânea, em m/s, e a aceleração
2
escalar instantânea, em m/s , do móvel são, respectivamente:
a) zero e zero
b) zero e − 4
c) 5 e 4
d) 8 e − 2
e) 10 e − 4
01:
- Para t = 4 s temos:
a = 2t − 6
a = 2∙4 − 6
a=8−6
2
a = 2 m/s
02:
- Aplicando a derivada na função horária da velocidade temos:
a = 2∙2t − 6
a = 4t − 6
- Calculando para t = 3 s:
a = 4∙3 − 6
a = 12 − 6
2
a = 6 m/s
03:
- Aplicando a derivada na função horária do espaço temos:
v = 2t + 2
- Para o instante t = 4 s temos:
v = 2∙4 + 2
v=8+2
v = 10 m/s
- Aplicando a derivada na função horária da velocidade (v = 2t + 2) temos:
2
a = 2 m/s
2
- A velocidade e a aceleração no instante t = 4 s são: v = 10 m/s e a = 2 m/s .
04:
a) Aplicando a derivada na função horária da velocidade temos:
2
a = − 0,1 m/s
b) O instante em que o móvel pára e v = 0:
v = 1,0 − 0,1t
0 = 1,0 − 0,1t
0,1t = 1,0
t = 1,0/0,1
t = 10 s
05:
- Aplicando a derivada na função horária do espaço temos:
2
v = 3∙2t + 2t − 5
2
v = 6t + 2t − 5
- Para o instante t = 2 s temos:
2
v = 6∙2 + 2∙2 − 5
v = 6∙4 + 4 − 5
v = 24 − 1
v = 23 m/s
2
- Aplicando a derivada na função horária da velocidade (v = 6t + 2t − 5) temos:
a = 2∙6t + 2
a = 12t + 2
- Para o instante t = 2 s temos:
a = 12∙2 + 2
a = 24 + 2
2
a = 26 m/s
2
- A velocidade e a aceleração no instante t = 2 s são: v = 23 m/s e a = 26 m/s .
06: b
- Calculando a velocidade escalar instantânea temos:
v = 20 − 4t
v = 20 − 4∙5
v = 20 − 20
v=0
- Derivando a função horária da velocidade temos a aceleração escalar instantânea:
a=0−4
2
a = − 4 m/s
Movimento acelerado e retardado
01. (PUC-RS) O sinal positivo ou negativo associado à velocidade de um móvel indica o
sentido de deslocamento desse móvel. O sinal negativo associado à aceleração indica que o
móvel:
a) está necessariamente parando.
b) está se deslocando no sentido negativo.
c) pode estar com velocidade constante.
d) pode estar se deslocando cada vez mais depressa.
e) certamente está andando cada vez mais depressa.
02. Dada a função horária da velocidade:
v = 5t – 10
(SI)
Classifique o movimento nos instantes t1 = 1 s e t2 = 3 s.
03. Classifique o movimento de um móvel, nos instantes t = 3 s e t = 10 s, que descreve um
movimento de acordo com a função horária do espaço:
2
s = – t + 10t + 2
(SI)
04. (Fatec-SP) Uma partícula tem seu espaço s variando com o tempo t segundo a função:
s = 28 – 15t + 0,5t
2
com s em metros e t em segundos. Pode-se afirmar que:
2
a) a aceleração é 1,0 m/s , e o movimento é acelerado no intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s.
2
b) a aceleração é 0,5 m/s , e o movimento é acelerado no intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s.
2
c) a aceleração é 0,5 m/s , e o movimento é retardado no intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s.
d) a partícula inverte o sentido de movimento no instante t = 15 s.
e) o movimento se torna uniforme a partir do instante t = 15 s.
05. (Unisa-SP) Um ponto material move-se em trajetória retilínea obedecendo à equação
2
horária do espaço: s = 6,0 – 2,0t + 1,0t , onde s e t são medidos em metros e segundos,
respectivamente. Pode-se afirmar que:
a) o movimento é sempre progressivo e acelerado.
b) o movimento é sempre retrógrado e retardado.
c) o movimento é retardado até o instante t = 1,0 s e acelerado a partir desse instante.
d) o movimento é acelerado até o instante t = 1,0 s e retardado a partir desse instante.
e) o movimento é retrógrado até o instante t = 6,0 s e progressivo a partir desse instante,
porém sempre acelerado.
06. (UCG-GO) Se o movimento de uma partícula é retrógrado e retardado, então a aceleração
escalar da partícula é
a) nula.
b) constante.
c) variável.
d) positiva.
e) negativa
07. (UFRJ-RJ) Um móvel, em movimento retilíneo, tem velocidade escalar v variando com o
tempo t de acordo com o gráfico. Podemos afirmar que entre os instantes:
a) 0 e t1 o movimento é retrógrado acelerado.
b) t1 e t2 o movimento é progressivo acelerado.
c) t2 e t3 o movimento é retrógrado acelerado.
d) t3 e t4 o móvel está parado.
e) t4 e t5 o movimento é progressivo retardado.
08. (UEL-PR) A seguir está representado o gráfico da velocidade escalar (v) de um ponto
material em função do tempo (t).
Sobre esse movimento, é correto afirmar que:
a) é sempre acelerado.
b) é sempre retardado.
c) não muda de sentido.
d) no início é retardado e após t1 é acelerado.
e) no início é acelerado e após t1 é retardado.
01: d
- Um móvel com velocidade positiva e aceleração negativa possui movimento retardado, ou
seja, está parando, mas um móvel com velocidade negativa e aceleração negativa possui
movimento acelerado, ou seja, está aumentando sua velocidade, portanto, podemos concluir
que este móvel pode estar se deslocando cada vez mais depressa.
02:
- Aplicando a derivada para a função horária da velocidade temos:
2
a = 5 m/s
- Classificando para t = 1 s temos:
2
v = 5t − 10
a = 5 m/s
v = 5∙1 − 10
v = 5 − 10
v = − 5 m/s
2
- Como v = − 5 m/s (negativo) e a = 5 m/s (positivo) temos:
v < 0: movimento retrógrado.
v < 0 e a > 0 ou v∙a < 0: movimento retardado.
- Portanto, para t = 1 s, este é um movimento retrógrado retardado.
- Classificando para t = 3 s temos:
2
v = 5t − 10
a = 5 m/s
v = 5∙3 − 10
v = 15 − 10
v = 5 m/s
2
- Como v = 5 m/s (positivo) e a = 5 m/s (positivo) temos:
v > 0: movimento progressivo.
v > 0 e a > 0 ou v∙a > 0: movimento acelerado.
- Portanto, para t = 3 s, este é um movimento progressivo acelerado.
03:
- Aplicando a derivada para a função horária do espaço temos:
v = − 2t + 10
- Aplicando a derivada para a função horária da velocidade (v = − 2t + 10) temos:
2
a = − 2 m/s
- Classificando para t = 3 s temos:
2
v = − 2t + 10
a = − 2 m/s
v = − 2∙3 + 10
v = − 6 + 10
v = 4 m/s
2
- Como v = 4 m/s (positivo) e a = − 2 m/s (negativo) temos:
v > 0: movimento progressivo.
v > 0 e a < 0 ou v∙a < 0: movimento retardado.
- Portanto, para t = 3 s, este é um movimento progressivo retardado.
- Classificando para t = 10 s temos:
2
v = − 2t + 10
a = − 2 m/s
v = − 2∙10 + 10
v = − 20 + 10
v = − 10 m/s
2
- Como v = − 10 m/s (negativo) e a = − 2 m/s (negativo) temos:
v < 0: movimento retrógrado.
v < 0 e a < 0 ou v∙a > 0: movimento acelerado.
- Portanto, para t = 10 s, este é um movimento retrógrado acelerado.
04: d
- Aplicando a derivada para a função horária do espaço temos:
v = − 15 + t
- Aplicando a derivada para a função horária da velocidade (v = − 15 + t) temos:
2
a = 1 m/s
- Como a > 0, para v > 0 temos um movimento progressivo acelerado:
− 15 + t > 0
t > 15 s
- E para v < 0 temos um movimento retrógrado retardado:
− 15 + t < 0
t < 15 s
- E para v = 0 temos o momento em que o móvel pára e inverte o sentido do seu movimento:
− 15 + t = 0
t = 15 s
- Podemos concluir que a partícula inverte o sentido de movimento no instante t = 15 s.
05: c
- Aplicando a derivada para a função horária do espaço temos:
v = − 2,0 + 2,0t
- Aplicando a derivada para a função horária da velocidade (v = − 2,0 + 2,0t) temos:
2
a = 2,0 m/s
- Como a > 0, para v > 0 temos um movimento progressivo acelerado:
− 2,0 + 2,0t > 0
2,0t > 2,0
t > 2,0/2,0
t > 1,0 s
- E para v < 0 temos um movimento retrógrado retardado:
− 2,0 + 2,0t < 0
2,0t < 2,0
t < 2,0/2,0
t < 1,0 s
- E para v = 0 temos o momento em que o móvel pára e inverte o sentido do seu movimento:
− 2,0 + 2,0t = 0
2,0t = 2,0
t = 2,0/2,0
t=1s
- Podemos concluir que o movimento é retardado até o instante t = 1,0 s e acelerado a
partir desse instante.
06: d
- Para um movimento retrógrado a velocidade deve ser negativa e para ser retardado a
aceleração deve ter sinal contrário ao da velocidade, portanto, positiva.
07: c
- Neste trecho a velocidade é negativa, portanto o movimento é retrógrado e, como o gráfico é
decrescente a aceleração também é negativa (a velocidade diminui com o tempo), ou seja,
como a aceleração e a velocidade possuem o mesmo sinal o movimento é acelerado.
08: d
- como o gráfico é crescente (a velocidade sempre aumenta com o tempo) a aceleração é
sempre positiva; do início a t1 a velocidade é negativa, contrária ao sinal da aceleração,
portanto o movimento é retardado e, de t1 em diante a velocidade é positiva, o mesmo
sinal da aceleração, portanto, o movimento a partir daí é acelerado.
Movimento uniforme
01. (PUC-RS) A velocidade escalar no movimento uniforme é:
a) constante
b) variável.
c) constante em módulo, mas de sinal variável.
d) sempre positiva.
e) sempre negativa.
02. (F.Bras Cubas-SP) Um móvel tem por equação horária s = 40 + 20t, com s em metros e t
em segundos. O movimento é:
a) retilíneo e uniforme.
b) uniforme.
c) uniformemente acelerado.
d) uniformemente retardado.
e) retrógrado.
03. Dada a função horária do espaço de um corpo em movimento uniforme:
s = 8 – 2t
Determine:
a)
o
espaço
inicial
b)
o
espaço
do
c)
o
instante
em
que
(SI)
e
a
velocidade
escalar
do
movimento.
móvel
no
instante
t
=
2
s.
o
móvel
passa
pela
origem
dos
espaços.
04. Um móvel que descreve uma trajetória retilínea com movimento uniforme e o seu espaço
no instante t = 0 vale 15 m. Qual a função horária dos espaços se o movimento é:
a) progressivo com o módulo da velocidade de 5 m/s.
b) retrógrado com o módulo da velocidade de 10 m/s.
05. Qual a função horária do espaço do móvel descrito abaixo?
06. (FEI-SP) A posição de um ponto varia no tempo conforme a tabela:
s(m)
25
21
17
13
9
5
t(s)
0
1
2
3
4
5
A equação horária desse movimento é
a) s = 4 – 25 t
b) s = 25 – 4t
c) s = 25 – 4t
d) s = – 4 + 25t
e) s = – 25 – 4t
07. Dada a função horária do espaço de um corpo em movimento uniforme:
s = 20 + 5t
Determine:
a)
o
b)
o
espaço
espaço
inicial
do
e
a
móvel
(SI)
velocidade
escalar
no
instante
t
do
=
movimento.
2
s.
08. Um móvel descreve uma trajetória em movimento uniforme de acordo com a função horária
do espaço:
s = 20 – 5t
Determine:
a)
o
instante
b)
o
instante
em
em
que
que
o
o
móvel
móvel
(SI)
passa
pela
origem
dos
passa
pelo
espaço
s
=
espaços.
10
m.
09. (Mackenzie-SP) Na fotografia estroboscópica de um movimento retilíneo uniforme, descrito
por uma partícula, foram destacadas três posições, nos instantes t1, t2 e t3.
Se t1 é 8 s e t3 é 28 s, então t2 é:
a) 4 s
b) 10 s
c) 12 s
d) 20 s
e) 24 s
10. (UFAC-SP) Um automóvel se desloca em uma estrada retilínea com velocidade constante.
A figura mostra as suas posições, anotadas com intervalos de 1 h, contados a partir do
quilômetro 20, onde se adotou o instante t = 0.
Com o espaço s em quilômetros e o tempo t em horas, escreva a função horária do espaço
para esse movimento.
11. (UFGO) A figura abaixo representa a posição de um móvel, em movimento uniforme, no
instante t = 0.
Sendo 5,0 m/s o módulo de sua velocidade escalar, pede-se:
a) a equação horária dos espaços do móvel;
b) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços.
12. (ESPM-SP) Um ponto material possui velocidade escalar constante de valor absoluto 70
km/h e se movimenta em sentido oposto ao da orientação positiva da trajetória. No instante
inicial, esse ponto passa pelo marco 560 km na trajetória. Determine o instante em que o móvel
passa pela origem dos espaços.
6
13. (PUC-SP) A distância da Terra ao Sol é de, aproximadamente 144∙10 km, e a velocidade
de propagação da luz no vácuo, 300.000 km/s. Um astrônomo observa com o seu telescópio
uma explosão solar. No momento em que a observação é feita, o fenômeno no Sol
a) está ocorrendo no mesmo instante.
b) já ocorreu há 16 segundos.
c) já ocorreu há 8 segundos.
d) já ocorreu há 16 minutos.
e) já ocorreu há 8 minutos.
14. (F.E. Edson Queiroz-CE) Sendo a distância entre Fortaleza e Maranguape igual a 24 km e
considerando a velocidade máxima permitida de 80 km/h, o tempo mínimo que se deve gastar
na viagem, em trânsito completamente livre, é:
a) 15 min
b) 18 min
c) 24 min
d) 12 min
15. (UEL-PR) Um automóvel mantém uma velocidade escalar constante de 72,0 km/h. Em 1 h
10 min ele percorre, em quilômetros, uma distância de:
a) 79,2
b) 80,0
c) 82,4
d) 84,0
e) 90,0
16. (UFAC) Um carro com uma velocidade de 80 km/h passa pelo km 240 de uma rodovia às 7
h 30 min. A que horas este carro chegará à próxima cidade, sabendo-se que a mesma está
situada no km 300 dessa rodovia?
17. (Osec-SP) Um trem de carga de 240 m de comprimento, que tem a velocidade constante
de 72 km/h, gasta 0,5 min para atravessar completamente um túnel. O comprimento do túnel é
de:
a) 200 m
b) 250 m
c) 300 m
d) 360 m
e) 485 m
18. (UEL-PR) Um trem de 200 m de comprimento, com velocidade escalar constante de 60
km/h, gasta 36 s para atravessar completamente uma ponte. A extensão da ponte, em metros,
é de:
a) 200
b) 400
c) 500
d) 600
e) 800
19. (Fuvest-SP) Uma composição ferroviária (19 vagões e uma locomotiva) desloca-se a 20
m/s. Sendo o comprimento de cada elemento da composição 10 m, qual é o tempo que o trem
gasta para ultrapassar:
a) Um sinaleiro?
b) Uma ponte de 100 m de comprimento?
20. (Cesgranrio-RJ) Um processador e a memória de um computador consistem de
componentes eletrônicos montados sobre uma placa de acetato. Esses elementos são
interconectados eletricamente e os sinais elétricos propagam-se entre eles com a velocidade
da luz. Para que o tempo gasto na transmissão elétrica de uma informação entre o processador
-9
e a memória não seja superior a um nanosegundo (1x10 s), a distância entre esses elementos
deve ser, no máximo, da ordem de:
-1
a) 10 m
-2
b) 10 m
-3
c) 10 m
-6
d) 10 m
-9
e) 10 m
21. (Vunesp-SP) Num caminhão tanque em movimento, uma torneira mal fechada goteja à
razão de 2 gotas por segundo. Determine a velocidade do caminhão, sabendo que a distância
entre marcas sucessivas deixadas pelas gotas no asfalto é de 2,5 metros.
22. (Fuvest-SP) Um automóvel e um ônibus trafegam em uma estrada plana, mantendo
velocidades constantes em torno de 100 km/h e 75 km/h, respectivamente. Os dois veículos
passam lado a lado em um posto de pedágio. Quarenta minutos (2/3 de hora) depois, nessa
mesma estrada, o motorista do ônibus vê o automóvel ultrapassá-lo. Ele supõe, então, que o
automóvel deve ter realizado, nesse período, uma parada com duração aproximada de
a) 4 min
b) 7 min
c) 10 min
d) 15 min
e) 25 min
23. (Fuvest-SP) Os pontos A, B, C e D representam pontos médios dos dois lados de uma
mesa quadrada de bilhar. Uma bola é lançada a partir de A, atingindo os pontos B, C e D,
sucessivamente, e retornando a A, sempre com velocidade de módulo constante v1. Num outro
ensaio a bola é lançada de A para C e retorna a A, com velocidade de módulo constante v 2 e
levando o mesmo tempo que o do lançamento anterior.
Podemos afirmar que a relação v1/v2 vale:
a) 1/2
b) 1
c)
d) 2
e) 2
24. (Mackenzie-SP) A figura mostra, em determinado instante, dois carros, A e B, em
movimento retilíneo uniforme. O carro A, com velocidade escalar 20 m/s, colide com o B no
cruzamento C. Desprezando-se as dimensões dos automóveis, a velocidade escalar de B é:
a) 12 m/s
b) 10 m/s
c) 8 m/s
d) 6 m/s
e) 4m/s
25. (Unicamp-SP) A velocidade linear de leitura de um CD é 1,2 m/s (constante).
a) Um CD de música toca durante 70 minutos; qual é o comprimento da trilha gravada?
b) Um CD também pode ser usado para gravar dados. Nesse caso, as marcações que
representam um caracter ( , número ou espaço em branco) têm 8 m de comprimento. Se essa
prova de física fosse gravada em um CD, quanto tempo seria necessário para ler o item a)
-6
desta questão? Dado: 1 m = 10 m.
26. (FEI-SP) Em 1946, a distância entre a Terra e a Lua foi determinada pelo radar, cujo sinal
8
viaja a 3,00∙10 m/s. Se o intervalo de tempo entre a emissão do sinal de radar e a recepção do
eco foi de 2,56 s, qual a distância entre a Terra e a Lua?
27. (Unicamp-SP) Os carros de uma cidade grande desenvolvem uma velocidade média de 18
km/h, em horários de pico, enquanto a velocidade média do metrô é de 36 km/h. O mapa
abaixo representa os quarteirões de uma cidade e a linha subterrânea do metrô.
a) Qual a menor distância que um carro pode percorrer entre as duas estações?
b) Qual o tempo gasto pelo metrô (Tm) para ir de uma estação à outra, de acordo com o
mapa?
c) Qual a razão entre os tempos gastos pelo carro (Tc) e pelo metrô para ir de uma estação à
outra, Tm/Tc? Considere o menor trajeto para o carro.
28. (UFPE) Um funil tem uma área de entrada quatro vezes maior que a área de saída, como
indica a figura. Um fluido em seu interior escoa de modo que seu nível abaixa com velocidade
constante. Se este nível diminui de uma altura h = 9,0 cm, num intervalo de tempo de 3,0 s, a
velocidade com que o fluido abandona o funil na saída tem módulo igual a:
a) 3,0 cm/s
b) 6,0 cm/s
c) 9,0 cm/s
d) 12,0 cm/s
e) 15,0 cm/s
29. (FGV-SP) Um atleta em treinamento percorre uma distância de 4.000 m em 20 minutos,
procurando manter a velocidade constante e o ritmo cardíaco em 100 batidas por minuto. A
distância que ele percorre entre duas batidas sucessivas de seu coração é, em metros, de:
a) 2
b) 4
c) 10
d) 20
e) 40
30. (UFRGS-RS) Um míssil, com velocidade constante de 300 m/s, é disparado em direção ao
centro de um navio que se move com velocidade constante de 10 m/s, em direção
perpendicular à trajetória do míssil. Se o impacto ocorrer a 20 m do centro do navio, a que
distância deste foi feito o disparo?
a) 150 m
b) 300 m
c) 600 m
d) 3.000 m
e) 6.000 m
31. (Unicamp-SP) Uma caixa-d’água com volume de 150 litros coleta água de chuva à razão
constante de 10 litros por hora.
a) Por quanto tempo deverá chover para encher completamente está caixa-d’água?
2
b) Admitindo que a área da base da caixa é 0,5 m , com que velocidade subirá o nível de água
da caixa, enquanto durar a chuva?
32. (UFV-MG) Suponha que as órbitas dos planetas Terra e Marte em torno do Sol sejam
coplanares, circulares e concêntricas, de raios iguais a 150.000.000 km e 231.000.000 km,
respectivamente. Quando houver uma base terrestre em Marte, o tempo mínimo de espera
para uma em uma conversação telefônica, por meio de microondas que se transmitem a
300.000 km/s, será de:
a) 21 min
b) 25 min
c) 18 min
d) 13 min
e) 9 min
33. (UFMG) Uma martelada é dada na extremidade de um trilho. Na outra extremidade
encontra-se um indivíduo que ouve dois sons, com uma diferença de 0,18 s. O primeiro se
propaga através do trilho, com velocidade de 3.400 m/s, e o segundo através do ar, com
velocidade de 340 m/s. O comprimento desse trilho vale:
a) 18 m
b) 34 m
c) 36 m
d) 56 m
e) 68 m
34. (ITA-SP) Um avião voando horizontalmente a 4.000 m de altura, em movimento retilíneo
uniforme, passou por um ponto A e depois por um ponto B, situado a 3.000 m do primeiro. Um
observador no solo, parado no ponto verticalmente abaixo de B, começou a ouvir o som do
avião, emitido em A, 4,00 s antes de ouvir o som proveniente de B. Se a velocidade do som no
ar era de 320 m/s, a velocidade do avião era de:
a) 960 m/s
b) 750 m/s
c) 390 m/s
d) 421 m/s
e) 292 m/s
35. (UFPE) Um atleta caminha com uma velocidade escalar constante dando 150 passos por
minuto. O atleta percorre 7,2 km em 1 h com passos do mesmo tamanho. O comprimento de
cada passo vale:
a) 40 cm
b) 60 cm
c) 80 cm
d) 100 cm
e) 120 cm
36. (PUC-SP) Dois barcos partem simultaneamente de um mesmo ponto, seguindo rumos
perpendiculares entre si. Sendo de 30 km/h e 40 km/h suas velocidades constantes, a distância
entre os barcos após 6 min vale:
a) 7 km
b) 1 km
c) 300 km
d) 5 km
e) 420 km
37. (ITA-SP) A figura representa uma vista aérea de um trecho retilíneo de ferrovia. Duas
locomotivas a vapor, A e B, deslocam-se em sentidos contrários com velocidades constantes
de módulos 50,4 km/h e 72 km/h, respectivamente. Uma vez que AC corresponde ao rastro da
fumaça do trem A, BC ao rastro da fumaça do trem B e AC = BC, determine a intensidade da
velocidade do vento. Despreze a distância entre os trilhos de A e B.
a) 5,00 m/s
b) 4,00 m/s
c) 17,5 m/s
d) 18,0 m/s
e) 14,4 m/s
38. (UMC-SP) Em uma viagem de São Paulo a Botucatu, um helicóptero levou 1 h 18 min
viajando a 160 km/h. Portanto, a distância entre essas cidades, em quilômetros, é de
aproximadamente:
a) 228
b) 178
c) 218
d) 188
e) 208
39. (UTESC-SC) A distância entre duas cidades é igual a 24 km. A velocidade máxima
permitida é de 80 km/h. O tempo mínimo que se deve gastar numa viagem entre essas duas
cidades é de:
a) 12 min
b) 15 min
c) 18 min
d) 24 min
e) 30 min
40. (Unifor-CE) Um automóvel mantém, numa estrada retilínea, a velocidade constante de 90
km/h. Num intervalo de tempo de 12 minutos e 24 segundos, a distância percorrida pelo
automóvel é de:
a) 32,4 km
b) 18,6 km
c) 324 m
d) 186 m
e) 158 m
41. (Unimar-SP) Um caminhão, desenvolvendo uma velocidade constante de 36 km/h, entra
em uma ponte sobre um rio e leva 3,5 minutos desde o início dessa ponte até o final da
mesma. Sabendo que o comprimento desse caminhão é de 13 m, aproximadamente, o
comprimento dessa ponte é:
a) 2,39 km
b) 2,09 km
c) 1,29 km
d) 2,58 km
e) 1,76 km
01: a
- No movimento uniforme o móvel percorre distâncias iguais em tempos iguais, ou seja,
velocidade constante.
02: b
- No movimento uniforme a função horária do espaço é sempre do 1º grau.
03:
a) O espaço inicial é o termo que está sozinho: s0 = 8 m; e a velocidade escalar é o valor que
acompanha o t: v = – 2 m/s.
b) Para o tempo t = 2 s, temos:
s = 8 – 2t
s = 8 – 2∙2
s=8–4
s=4m
c) A origem dos espaços é s = 0, portanto, temos:
s = 8 – 2t
0 = 8 – 2t
2t = 8
t = 8/2
t=4s
04:
- No tempo t = 0 s o espaço é o espaço inicial s0 = 15 m.
a) No movimento progressivo a velocidade é positiva:
s = s0 + vt
s = 15 + 5t
b) No movimento retrógrado a velocidade é negativa:
s = s0 + vt
s = 15 – 10t
05:
- O espaço inicial no tempo t = 0 é s0 = 20 m e sua velocidade é o quanto o espaço está
mudando com o passar do tempo (de 20 para 60, de 60 para 100) v = 40 m/s:
s = s0 + vt
s = 20 + 40t
06: c
- O espaço inicial no tempo t = 0 é s0 = 25 m e sua velocidade é o quanto o espaço está
mudando com o passar do tempo(de 25 para 21, de 21 para 17, e assim por diante) v = – 4
m/s:
s = s0 + vt
s = 25 – 4t
07:
a) O espaço inicial é o termo que está sozinho: s0 = 20 m; e a velocidade escalar é o valor que
acompanha o t: v = 5 m/s.
b) Para o tempo t = 2 s, temos:
s = 20 + 5t
s = 20 + 5∙2
s = 20 + 10
s = 30 m
08:
a) A origem dos espaços é s = 0:
s = 20 – 5t
0 = 20 – 5t
5t = 20
t = 20/5
t=4s
b) Pelo espaço s = 10 m, temos:
s = 20 – 5t
10 = 20 – 5t
5t = 20 – 10
5t = 10
t = 10/5
t=2s
09: c
- Como o movimento é uniforme podemos calcular a velocidade entre os instantes t1 e t3 que
será a mesma em todo o percurso:
v = ∆s/∆t
v = s − s0/t − t0
v = (60 − 10)/28 − 8
v = 50/20
v = 2,5 m/s
- Aplicando à função horária do espaço do MU para um tempo conhecido, por exemplo, t 1 = 8 s
temos:
s = s0 + vt
10 = s0 + 2,5∙8
10 = s0 + 20
10 − 20 = s0
s0 = − 10 m
- Como sabemos o espaço inicial e a velocidade do movimento, aplicamos novamente a função
horária do espaço para o tempo t2 :
s = s0 + vt
20 = − 10 + 2,5∙t2
20 + 10 = 2,5∙t2
30 = 2,5∙t2
2,5∙t2 = 30
t2 = 30/2,5
t2 = 12 s
10:
- O espaço inicial no tempo t = 0 é s0 = 20 km e sua velocidade é o quanto o espaço está
mudando com o passar do tempo(de 20 para 50, de 50 para 80, e assim por diante) v = 30
km/h:
s = s0 + vt
s = 20 + 30t
11:
a) O espaço inicial é s0 = 30 m e sua velocidade, por estar no sentido contrário ao positivo, é v
= − 5 m/s:
s = s0 + vt
s = 30 − 5t
b) Na origem dos espaços temos s = 0:
0 = 30 − 5t
5t = 30
t = 30/5
t=6s
12:
- O espaço inicial é s0 = 560 km e sua velocidade, por estar no sentido contrário ao positivo, é v
= − 70 km/h. Construindo a função horária do espaço temos:
s = s0 + vt
s = 560 − 70t
- Na origem dos espaços temos s = 0:
0 = 560 − 70t
70t = 560
t = 560/70
t=8h
13: e
- Calculando quanto tempo demora para a luz do Sol chegar à Terra temos:
v = ∆s/∆t
6
300.000 = 144∙10 /∆t
6
∆t = 144∙10 /300.000
∆t = 480 s ou ∆t = 8 min
14: b
- A variação do espaço é ∆s = 24 km e a velocidade máxima permitida é 80 km/h. Mantendo
sempre constante esta velocidade e calculando a variação do tempo, temos
v = ∆s/∆t
80 = 24/∆t
80∆t = 24
∆t = 24/80 (Dividindo por 8)
∆t = (3/10) h
∆t = (3/10)∙60 min
∆t = 180/10
∆t = 18 min
15: d
- Temos automóvel com velocidade de 72,0 km/h (ou 20 m/s) que, com uma variação de tempo
∆t = 1 h 10 min (ou ∆t = 4.200 s) percorre:
v = ∆s/∆t
20 = ∆s/4.200
20∙4.200 = ∆s
∆s = 84.000 m
ou
∆s = 84,0 km
16:
- A variação do espaço ou deslocamento escalar dessa carro é:
∆s = s − s0
∆s = 300 − 240
∆s = 60 km
- Como sua velocidade é de 80 km/h, então, temos:
v = ∆s/∆t
80 = 60/∆t
80∆t = 60
∆t = 60/80 (dividindo por 20)
∆t = (3/4) h ou ∆t = 0,75 h ou ∆t = 45 min
- Portanto o carro gastará 45 min para chegar na próxima cidade, então para saber a que horas
este carro chegará na próxima cidade, somamos 45 min à 7 h e 30 min ou aplicamos ∆t:
∆t = t − t0
0,75 = t − 7,5
0,75 + 7,5 = t
8,25 = t
t = 8,25 h ou t = 8 h 15 min
- O carro terá um tempo final de 8 h 15 min, ou seja, chegará às 8 h 15 min.
17: d
- Para o trem ultrapassar completamente o túnel, ele deve percorrer um
∆s = LTREM + LTÚNEL , onde:
LTREM : comprimento do trem.
LTÚNEL : comprimento do túnel.
- A velocidade escalar média: v = 72 km/h ou v = 20 m/s.
- A variação do tempo: ∆t = 0,5 min ou ∆t = 30 s.
- Aplicando a equação da velocidade escalar média para os valores acima, temos:
v = ∆s/∆t
20 = ∆s/30
∆s = 600 m
- O trem deve deslocar 600 m para passar toda a ponte completamente, mas como o
comprimento do trem é de 240 m, temos:
∆s = LTREM + LTÚNEL
600 = 240 + LTÚNEL
600 − 240 = LTÚNEL
LTÚNEL = 360 m
18: b
- Para o trem ultrapassar completamente o túnel, ele deve percorrer um
∆s = LPONTE + LTREM , onde:
LPONTE : comprimento da ponte.
LTREM : comprimento do trem.
- A velocidade escalar média: v = 60 km/h ou v = (60/3,6) m/s.
- A variação do tempo: ∆t = 36 s.
- Aplicando a equação da velocidade escalar média para os valores acima, temos:
v = ∆s/∆t
(60/3,6) = ∆s/36
(60∙36)/3,6 = ∆s
60∙10 = ∆s
600 = ∆s
∆s = 600 m
- O trem deve deslocar 600 m para passar toda a ponte completamente, mas como o
comprimento do trem é de 200 m, temos:
∆s = LPONTE + LTREM
600 = LPONTE + 200
600 − 200 = LPONTE
LPONTE = 400 m
19:
a) Para ultrapassar um sinaleiro o trem deve ter uma variação de espaço igual ao seu
comprimento ∆s = 200 m (20 composições de 10 m), como sua velocidade escalar é de 20 m/s,
temos:
v = ∆s/∆t
20 = 200/∆t
20∆t = 200
∆t = 200/20
∆t = 10 s
b) Para ultrapassar uma ponte o trem deverá andar o seu comprimento e o da ponte ∆s = 300
m, então, temos:
v = ∆s/∆t
20 = 300/∆t
20∆t = 300
∆t = 300/20
∆t = 15 s
20: a
8
- Sabemos que a velocidade da luz no vácuo é de 3x10 m, calculando temos:
v = ∆s/∆t
8
-9
3x10 = ∆s/1x10
8
-9
3x10 ∙1x10 = ∆s
-1
∆s = 3x10 m
-1
- A distância deve ser aproximadamente 3x10 m, mas como o enunciado pede a ordem de
-1
grandeza, ou seja, um valor aproximado em potência de base dez, a ordem de grandeza é 10
m.
21:
- Para entendermos este problema temos que imaginar a marcação temporal iniciando ao cair
da primeira gota, neste ponto se inicia o segundo número 1, ou 1 s, depois cai a outra gota, e
quando vai cair a terceira gota inicia-se o segundo número 2, ou 2 s; imaginamos isto para
sabermos que o outro segundo só começa na terceira gota, mas entre a 1º gota e a 2º gota tem
2,5 m, e entre a 2º gota e a 3º gota tem mais 2,5 m e tudo isso em apenas 1 s, pois o primeiro
segundo vai até antes de começar o próximo segundo.
- Podemos concluir que goteja 5 metros a cada segundo, portanto a velocidade do caminhão é
5 m/s.
22: c
- Calculamos, primeiramente, o deslocamento escalar do ônibus:
v = ∆s/∆t
75 = ∆s/(2/3)
75∙2/3 = ∆s
∆s = 150/3
∆s = 50 km
- O ônibus percorreu 50 km em 40 min e o carro também, então vamos calcular quanto tempo o
automóvel levou para percorrer estes 50 km:
v = ∆s/∆t
100 = 50/∆t
100∆t = 50
∆t = 50/100
∆t = 0,5 h ou ∆t = 30 min
- O carro levou 30 min para percorrer esses 50 km (se não tivesse parado), mas como demorou
40 min para chegar a esta posição, podemos concluir que ele parou por 10 min.
23: c
- Dividiremos o problema em duas partes, a primeira, trajetória azul abaixo e a segunda, a
trajetória vermelha.
- Chamando o lado do quadrado de L, temos que cada parte da trajetória azul corresponde à
metade da diagonal do quadrado, como temos 4 partes, o deslocamento corresponde a duas
diagonais do quadrado, ou seja, para a trajetória azul ∆s 1 = 2L
o deslocamento vale ∆s2 = 2L.
- Calculando v1/v2 temos:
v1/v2 = (∆s1/∆t)/(∆s2/∆t)
v1/v2 = (2L
v1/v2 = 2L
v1/v2 =
/∆t)/(2L/∆t)
/2L
e, para a trajetória vermelha
24: a
- Com uma variação do espaço de 50 m e com velocidade de 20 m/s o carro A demora para
colidir de:
v = ∆s/∆t
20 = 50/∆t
∆t = 50/20
∆t = 2,5 s
- O carro B leva os mesmos 2,5 s para colidir com o carro A e a variação do seu espaço é de
30 m, portanto, a velocidade do carro B será:
v = ∆s/∆t
v = 30/2,5
v = 12 m/s
25:
a) Como 70 min = 4.200 s, temos:
v = ∆s/∆t
1,2 = ∆s/4.200
∆s = 4.200∙1,2
∆s = 5.040 m
b) Como o item a) desta questão possui 83 caracteres seu comprimento será de:
-6
∆s = 83∙8∙10
-6
∆s = 664∙10 m
- Aplicando a velocidade de leitura temos:
v = ∆s/∆t
-6
1,2 = 664∙10 /∆t
-6
∆t = 664∙10 /1,2
-6
∆t = 553∙10
∆t = 553 s
26:
- Como foi gasto 2,56 s para o sinal ir até à Lua e voltar, então o tempo gasto só para ir é
metade, 1,28 s; aplicando na velocidade temos a distância da Terra à Lua:
v = ∆s/∆t
8
3,00∙10 = ∆s/1,28
8
∆s = 1,28∙3,00∙10
8
∆s = 3,84∙10 m
27:
a) O menor caminho a ser tomado por um carro deve percorrer 4 quarteirões na horizontal e
três na vertical, ou seja, 700 m.
b) O caminho a ser percorrido pelo metrô faz parte de uma hipotenusa que fecha um triângulo,
onde os catetos possuem medidas 4 quarteirões (400 m) na horizontal e 3 quarteirões (300 m)
na vertical; sendo assim, o caminho a ser percorrido pelo trem é de 500 m, então temos:
v = ∆s/∆t
10 = 500/Tm (36 km/h = 10 m/s)
Tm = 500/10
Tm = 50 s
c) Calculando o tempo para o carro temos:
v = ∆s/∆t
5 = 700/Tc (18 km/h = 5 m/s)
Tc = 700/5
Tc = 140 s
- Portanto:
Tm/Tc = 50/140
(Tm/Tc) = 5/14
28: d
- O volume que sairá do funil pelo tempo (V'/∆t) é igual ao volume que será baixado dentro do
funil (V/∆t) pelo tempo:
(V'/∆t) = (V/∆t)
(A'b∙h'/∆t) = (Ab∙h/∆t)
A∙v = 4A∙9/3
v = 36/3
v = 12 cm/s
29: a
- Com 4.000 m em 20 min temos:
4.000 m/20 min = 200 m/min
- O atleta leva 1min para percorrer 200 m, e como ele tem 100 batidas em cada minuto, então,
teremos, 200 m em cada 100 batidas:
200 m/100 batidas = 2 m/batida.
- O coração bate agora e daqui dois metros bate de novo, ou seja, entre duas batidas temos 2
m.
30: c
- O navio deslocou de 20 m e estava com ma velocidade de 10 m/s, portanto ele gastou um
tempo de:
v = ∆s/∆t
10 = 20/∆t
∆t = 20/10
∆t = 2 s
- Como o míssil foi disparado com velocidade de 300 m/s, ele percorreu uma distância
(distância que foi feito o disparo) de:
v = ∆s/∆t
300 = ∆s/2
∆s = 600 m
31:
a) Com uma velocidade de 10 L/h, temos:
v = ∆L/∆t
10 = 150/∆t
∆t = 150/10
∆t = 15 h
3
3
b) 1 L = 1 dm , então, 10 L = 10 dm , ou melhor:
3
-1
3
-3
3
-2
3
10 dm = 10∙(10 m) = 10∙10 m = 10 m
-2
3
- Temos que a velocidade de enchimento das caixas é 10 m /h. Como a área da base é
constante:
(V/∆t) = (Ab∙h/∆t)
-2
10 = 0,5∙v
-2
v = 2∙10 m/h
v = 2 cm/h
32: e
- A menor distância entre Terra e Marte é quando estiverem alinhados com o Sol e do mesmo
lado:
∆s = 231.000.000 − 150.000.000
∆s = 81.000.000 km
- Como em uma conversação o sinal deve ir e voltar, a distância a ser percorrida pelo sinal é o
bobro (162.000.000 km):
v = ∆s/∆t
300.000 = 162.000.000/∆t
∆t = 162.000.000/300.000
∆t = 1.620/3
∆t = 540 s ou ∆t = 9 min
33: e
- Calculando o tempo para o som se propagar pelo trilho temos:
v = ∆s/∆t
3.400 = ∆s/∆tT
∆tT = ∆s/3.400
- Calculando o tempo para o som se propagar pelo ar temos:
v = ∆s/∆t
340 = ∆s/∆tAR
∆tAR = ∆s/340
- Como a velocidade do som no trilho é maior que no ar, pois o trilho é sólido, temos:
∆tAR − ∆tT = 0,18
(∆s/340) − (∆s/3.400) = 0,18
(10∆s − ∆s)/3.400 = 0,18
9∆s = 612
∆s = 68 m
34: d
- Os pontos A , B e o observador O formam um triângulo retângulo e, como a distância entre A
e B é de 3.000 m e a distância entre B e O é de 4.000 m (catetos), aplicando o Teorema de
Pitágoras temos que a distância entre A e O vale 5.000 m.
- Calculando o tempo tAO que o som leva para ir de A até O temos:
v = ∆s/∆t
320 = 5.000/tAO
tAO = 5.000/320
tAO = 15,625 s
- Calculando o tempo tBO que o som leva para ir de B até O temos:
v = ∆s/∆t
320 = 4.000/tBO
tBO = 4.000/320
tBO = 12,5 s
- Chamando de ∆t o tempo que o avião demora para ir de A até B temos:
tAO + 4,00 = ∆t + tBO
15,625 + 4,00 = ∆t + 12,5
∆t = 19,625 − 12,5
∆t = 7,125 s
- Calculando a velocidade do avião:
v = ∆s/∆t
v = 3.000/7,125
v = 421 m/s
35: c
- 7,2 km = 7.200 m, ou seja, o atleta caminha por minuto:
7.200/60 = 120 m/min
- O atleta caminha 120 m por minuto e, como ele dá 150 passos por minuto, então:
120 m/150 passos = 0,80 m/passo = 80 cm/passo
36: d
- 6 min = 0,1 h, então, o barco com velocidade de 30 km/h percorrerá:
v = ∆s/∆t
30 = ∆s/0,1
∆s = 3 km
- O barco com velocidade de 40 km/h percorrerá:
v = ∆s/∆t
40 = ∆s/0,1
∆s = 4 km
- Aplicando o Teorema de Pitágoras concluímos que a distância que separa os barcos é 5 km.
37: a
- O ponto C está à metade da distância na horizontal dos pontos A e B, ou seja, a 680 m de A e
de B (na horizontal).
- Como 50,4 km/h = 14 ms e 72 km/h = 20 m/s, então as locomotivas se afastam com uma
velocidade relativa de 34 m/s. Calculando o tempo gasto pelas locomotiva para chegarem à
posição da figura temos:
vR = ∆s/∆t
34 = 1.360/∆t
∆t = 1.360/34
∆t = 40 s
- Calculando a distância percorrida pela locomotiva a, que tem a menor velocidade, temos:
v = ∆s/∆t
14 = ∆s/40
∆s = 14∙40
∆s = 560 m
- Se o vento não estivesse soprando horizontalmente o ponto C estaria a 560 m de A, como ele
está no ponto médio a 680 (horizontalmente), isso nos indica que o vento o deslocou na
horizontal em uma distância de (680 m − 560 m) 120 m e, ao mesmo tempo deslocou, também,
160 m na vertical. Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
2
2
2
d = 120 + 160
2
d = 14.400 + 25.600
2
d = 40.000
d = 200 m
- O deslocamento provocado pelo vento foi de 200 m na diagonal, elevando o ponto C de 160
m e deslocando-0 de 120 m na horizontal. Como tudo isso ocorreu em 40 s, então a velocidade
do vento é:
v = ∆s/∆t
v = 200/40
v = 5,00 m/s
38: e
- Como 18 min = 0,3 h, temos:
v = ∆s/∆t
160 = ∆s/1,3
∆s = 160∙1,3
∆s = 208 km
39: c
- O tempo mínimo ocorre quanto estamos na máxima velocidade:
v = ∆s/∆t
80 = 24/∆t
∆t = 24/80
∆t = 0,3 h ou ∆t = 18 min
40: b
- 90 km/h = 25 m/s e 12 min 24 s = 744 s, então:
v = ∆s/∆t
25 = ∆s/744
∆s = 18.600 m ou ∆s = 18,6 km
41: b
- 36 km/h = 10 m/s e 3,5 min = 210 s, então:
v = ∆s/∆t
10 = (L + 13)/210
L + 13 = 2.100
L = 2.100 − 13
L = 2.087 m
L = 2,09 km
MU - encontro e velocidade relativa
01. (PUC-RS) Dois móveis, A e B, percorrem uma mesma trajetória retilínea, conforme as
funções horárias: sA = 30 + 20t e sB = 90 − 10t, sendo a posição s em metros e t em
segundos. No instante t = 0, a distância, em metros, entre os móveis era de:
a) 30
b) 50
c) 60
d) 80
e) 120
02. (PUC-RS) O instante de encontro, em segundos, entre os móveis A e B do exercício
anterior foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
03. (UEL-PR) Duas cidades A e B distam entre si 400 km. Da cidade A parte um móvel P
dirigindo-se à cidade B e, no mesmo instante, parte de B outro móvel Q dirigindo-se a A. Os
pontos P e Q executam movimentos uniformes e suas velocidades escalares são, em módulo,
30 km/h e 50 km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao ponto de encontro dos móveis
P e Q, em km, vale:
a) 120
b) 150
c) 200
d) 240
e) 250
04. (FGV-SP) Um batalhão de infantaria sai do quartel para uma marcha de exercícios às 5
horas da manhã, ao passo de 5 km/h. Depois de uma hora e meia, uma ordenança sai do
quartel de jipe para levar uma informação ao comandante da marcha, ao longo da mesma
estrada e a 80 km/h. Quantos minutos a ordenança levará para alcançar o batalhão?
a) 11 min
b) 1 min
c) 5,625 min
d) 3,5 min
e) 6 min
05. (UNIP-SP) Uma rua EF é reta e tem 4,0 km de comprimento. Um carro A, com velocidade
constante de módulo 20 m/s, parte da extremidade E indo para a extremidade F e outro carro
B, com velocidade constante de módulo 25 m/s, parte de F indo para E, 20 s depois da partida
de A. Com relação a este enunciado podemos afirmar que os carros A e B se cruzam:
a) 44 s após a partida de A num ponto mais próximo da extremidade E.
b) 80 s após a partida de B no ponto médio da rua EF.
c) 100 s após a partida de B num ponto mais próximo da extremidade E.
d) 100 s após a partida de A num ponto mais próximo da extremidade F.
e) 89 s após a partida de A.
06. (Vunesp-SP) Um trem e um automóvel caminham paralelamente e no mesmo sentido, num
trecho retilíneo. Seus movimentos são uniformes e a velocidade do automóvel é o dobro da
velocidade do trem. Desprezando-se o comprimento do automóvel e sabendo-se que o trem
tem 100 m de comprimento, determine a distância que o automóvel percorre desde que
alcança o trem até o instante que o ultrapassa.
07. (Fuvest-SP) Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido, em uma estrada reta, com
velocidades escalares constantes vA = 100 km/h e vB = 80 km/h, respectivamente.
a) Qual é, em módulo , a velocidade do carro B em relação a um observador no carro A?
b) Em um dado instante, o carro B está 600 m à frente do carro A. Quanto tempo, em horas,
decorre até que A alcance B?
08. (AFA) Considere dois veículos deslocando-se em sentidos opostos, numa mesma rodovia.
Um tem velocidade escalar de 60 km/h e o outro de 90 km/h, em valor absoluto. Um
passageiro, viajando no veículo mais lento, resolve cronometrar o tempo decorrido até que os
veículos se cruzem e encontra o intervalo de 30 segundos. A distância, em km, de separação
dos veículos, no início da cronometragem, era de:
a) 0,25
b) 1,25
c) 2,0
d) 2,5
09. (ITE-PR) Dois móveis partem simultaneamente de dois pontos, A e B, e deslocam-se em
movimento uniforme sobre a mesma reta, de A para B, com velocidades escalares de 20 m/s e
15 m/s. Se o encontro ocorre 50 s após a partida, podemos afirmar que a distância inicial entre
os mesmos era de:
a) 250 m
b) 500 m
c) 750 m
d) 900 m
10. (FCC-SP) Dois trens (A e B) movem-se em trilhos paralelos, deslocando-se em sentidos
opostos. As velocidades escalares dos trens são constantes e de módulos iguais a 30 km/h.
Cada trem mede 100 m de comprimento. Quando os trens se cruzam, durante quanto tempo
um observador no trem B vê passar o trem A?
11. (PUCCAMP-SP) Dois carros se deslocam numa pista retilínea, ambos no mesmo sentido e
com velocidades constantes. O carro que está na frente desenvolve 20 m/s e o que está atrás
desenvolve 35 m/s. Num certo instante, a distância entre eles é de 225 m. A partir desse
instante, que distância o carro que está atrás deve percorrer para alcançar o que está na
frente?
a) 100 m
b) 205 m
c) 225 m
d) 300 m
e) 525 m
12. (PUC-PR) Dois trens A e B, de 200 m e 250 m de comprimento, respectivamente, correm
em linhas paralelas com velocidades escalares constantes e de módulos 18 km/h e 27 km/h, e
em sentidos opostos. O tempo que decorre desde o instante em que começam a se cruzar até
o instante em que terminam o cruzamento é de:
a) 10 s
b) 25 s
c) 36 s
d) 40 s
e) 50 s
13. (Fuvest-SP) Dois corredores A e B partem do mesmo ponto de uma pista circular de 120 m
de comprimento com velocidades escalares constantes e de módulos: |vA| = 8 m/s e |vB| = 6
m/s.
a) Se partirem em sentidos opostos, qual será a menor distância entre eles, medida ao longo
da pista, após 20 s ?
b) Se partirem no mesmo sentido, após quanto tempo o corredor A estará com uma volta de
vantagem sobre B?
14. (Unitau-SP) Uma motocicleta com velocidade escalar constante de 20 m/s, andando
paralelamente à uma ferrovia, ultrapassa um trem de comprimento 100 m que “caminha”, no
mesmo sentido, com velocidade escalar constante de 15 m/s. Desconsiderando o tamanho da
moto, a duração da ultrapassagem é:
a) 5 s
b) 15 s
c) 20 s
d) 25 s
e) 30 s
15. (ESALQ-Piracicaba-SP) Dois navios, N1 e N2, partem de um mesmo ponto e se deslocam
sobre uma mesma reta com velocidades 35 km/h e 25 km/h. A comunicação entre dois navios
é possível, pelo rádio, enquanto a distância entre eles não ultrapassar 600 km. Determine o
tempo durante o qual os dois navios podem se comunicar, admitindo que:
a) os dois navios partem ao mesmo tempo e movem-se no mesmo sentido;
b) o navio mais lento parte duas horas antes do outro e movem-se no mesmo sentido;
c) os dois navios partem ao mesmo tempo e movem-se em sentidos opostos.
16. (UECE) Dois trens de comprimento 60 m e 90 m correm em trilhos paralelos e em sentidos
opostos. O trem menor move-se com o dobro da velocidade do maior, para um referencial fixo
na Terra.. Uma pessoa no trem menor observa que o trem maior gasta 2 s para passar por sua
janela. Determine a velocidade, em m/s, do trem menor.
17. (UFBA) Três veículos, A, B e C, trafegam num mesmo sentido, sobre uma pista retilínea,
com velocidades constantes. Num determinado instante, C vem à frente, a 80 m de B, e este,
60 m à frente de A. O veículo A leva 6,0 s para ultrapassar o veículo B e, 1,0 s após, encontrase ultrapassando o veículo C. Determine, em m/s, a velocidade de B em relação a C.
Enunciado dos exercícios 18 e 19.
A distância entre São Paulo e Porto Alegre é de aproximadamente 1.100 km. Um automóvel
parte de São Paulo com velocidade constante de 100 km/h. Duas horas depois, parte de Porto
Alegre para São Paulo outro automóvel com a mesma velocidade.
18. (FEI-SP) Após quanto tempo eles se encontrarão após a partida do automóvel de São
Paulo?
a) 4,5 h
b) 5,0 h
c) 5,5 h
d) 6,0 h
e) 6,5 h
19. (FEI-SP) Quantos quilômetros percorrerá o automóvel que partiu de Porto Alegre até
encontrar o de São Paulo?
a) 450 km
b) 500 km
c) 550 km
d) 600 km
e) 650 km
20. (PUC-SP) Dois automóveis partem, no mesmo instante, das cidades A e B, percorrendo
uma estrada retilínea AB com velocidades de 50 km/h e 80 km/h, um em direção ao outro. Ao
fim de 2 h eles estão a uma distância de 40 km um do outro. A distância AB vale:
a) 200 km
b) 300 km
c) 400 km
d) 160 km
e) 240 km
21. (UECE) Dois móveis percorrem a mesma trajetória, sendo suas posições medidas a partir
de uma origem comum. As equações horárias dos dois movimentos são, respectivamente:
s1 = 30 − 80t
s2 = 10 + 20t
Considerando que s1 e s2 são expressos em metros e t em segundos, o encontro ocorrerá no
instante:
a) t = 0,1 s
b) t = 0,2 s
c) t = 0,3 s
d) t = 0,4 s
22. (UFMG-MG) Duas esferas se movem em linha reta e com velocidades constantes ao longo
de uma régua centimetrada. Na figura, estão indicadas as velocidades das esferas e as
posições que ocupavam num certo instante.
Desprezando-se suas dimensões, as esferas irão colidir na posição correspondente a:
a) 15 cm
b) 17 cm
c) 18 cm
d) 20 cm
e) 22 cm
23. (FMTM-SP) São dadas as funções horárias dos espaços de 4 móveis, definidas sobre a
mesma trajetória retilínea, com valores medidos no SI (Sistema Internacional):
sA = − 5 + 2t
sC = 5t
sB = − 7 − 3t
sD = − 1 − t
Os dois móveis que deverão se encontrar em um tempo futuro são:
a) A e C.
b) A e D.
c) B e C.
d) B e D.
e) C e D.
24. (FEI-SP) Um trem com 450 m de comprimento e velocidade escalar de 36 km/h descreve
uma trajetória retilínea. Um atleta corre paralelamente em sentido contrário com velocidade
escalar de módulo igual a 5 m/s. Quanto tempo o atleta leva para percorrer a distância
compreendida entre a locomotiva e o último vagão?
25. (Fuvest-SP) Numa estrada, andando de caminhão com velocidade constante, você leva 4,0
s para ultrapassar completamente um outro caminhão cuja velocidade também é constante.
Sendo de 10 m o comprimento de cada caminhão, a diferença entre a sua velocidade e a do
caminhão que você ultrapassa é de:
a) 0,2 m/s
b) 0,4 m/s
c) 2,5 m/s
d) 5,0 m/s
e) 10 m/s
26. (UFRGS-RS) Um automóvel que trafega em uma auto-estrada reta e horizontal, com
velocidade constante, está sendo observado de um helicóptero. Relativamente ao solo, o
helicóptero voa com velocidade constante de 100 km/h, na mesma direção e no mesmo sentido
do movimento do automóvel. Para o observador situado no helicóptero, o automóvel avança a
20 km/h. Qual é, então, a velocidade do automóvel relativamente ao solo?
a) 120 km/h
b) 100 km/h
c) 80 km/h
d) 60 km/h
e) 20 km/h
27. (Fuvest-SP) João está parado em um posto de gasolina quando vê o carro de seu amigo,
passando por um ponto P, na estrada, a 60 km/h. Pretendendo alcançá-lo, João parte com seu
carro e passa pelo mesmo ponto P, depois de 4 minutos, já a 80 km/h.
Considere que ambos dirigem com velocidades constantes. Medindo o tempo, a partir de sua
passagem pelo ponto P, João deverá alcançar seu amigo, aproximadamente, em:
a) 4 minutos
b) 10 minutos
c) 12 minutos
d) 15 minutos
e) 20 minutos
28. (Vunesp-SP) Dois amigos, correndo sobre uma mesma pista retilínea e em sentidos
opostos, avistam-se quando a distância que os separa é de 150 metros. Um está correndo com
velocidade escalar constante de 5,0 m/s e o outro com velocidade escalar constante de − 7,5
m/s. Que distância cada um percorrerá na pista, desde que se avistam até o instante em que
um passa pelo outro?
29. (ESPM-SP) Dois carros, A e B, de dimensões desprezíveis movem-se em movimento
uniforme e no mesmo sentido. No instante t = 0, os carros encontram-se nas posições
indicadas na figura.
Determine depois de quanto tempo A alcança B.
30. (Fuvest-SP) Dois carros percorrem uma pista circular, de raio R, no mesmo sentido, com
velocidades de módulos constantes e iguais a v e 3v. O tempo decorrido entre dois encontros
sucessivos vale:
a) R/3v
b) 2R/3v
c) R/v
d) 2R/v
e) 3R/v
31. (PUCCamp-SP) Dois corredores percorrem uma pista circular de comprimento 600 m,
partindo do mesmo ponto e no mesmo instante. Se a percorrerem no mesmo sentido, o
primeiro encontro entre eles acontece depois de 5,0 minutos. Se a percorrerem em sentidos
opostos, o primeiro encontro ocorrerá 1,0 minuto após a partida. Admitindo constantes as
velocidades escalares dos corredores, em módulo e em m/s , seus valores serão,
respectivamente:
a) 5,0 e 5,0
b) 6,0 e 4,0
c) 8,0 e 6,0
d) 10 e 5,0
e) 12 e 6,0
32. (UTESC-SC) A distância entre dois trens é de 225 km. Se eles andam um ao encontro do
outro com 60 km/h e 90 km/h, ao fim de quanto tempo deverão se encontrar?
a) Uma hora.
b) Uma hora e quinze minutos.
c) Duas horas.
d) Uma hora e meia.
e) Uma hora e cinqüenta minutos.
Enunciado dos exercícios 33 e 34
A distância entre São Paulo e Porto alegre é de aproximadamente 1.100 km. Um automóvel
parte de São Paulo com velocidade constante de 100 km/h. Duas horas depois, parte de Porto
Alegre para São Paulo outro automóvel com a mesma velocidade.
33. (FEI-SP) Após quanto tempo eles se encontrarão após a partida do automóvel de São
Paulo?
a) 4,5 h
b) 5,0 h
c) 5,5 h
d) 6,0 h
e) 6,5 h
34. (FEI-SP) Quantos quilômetros percorrerá o automóvel que partiu de Porto Alegre até
encontrar o de São Paulo?
a) 450 km
b) 500 km
c) 550 km
d) 600 km
e) 650 km
35. (PUC-SP) Alberto saiu de casa para o trabalho exatamente às 7 h, desenvolvendo, com
seu carro, uma velocidade constante de 54 km/h. Pedro, seu filho, percebe imediatamente que
o pai esqueceu sua pasta com documentos e, após 1 min de hesitação, sai para encontrá-lo,
movendo-se também com velocidade constante. Excelente aluno de Física, calcula que, como
saiu 1 min após o pai, demorará exatamente 3 min para alcançá-lo.
Para que isso seja possível, qual a velocidade escalar do carro de Pedro?
a) 60 km/h
b) 66 km/h
c) 72 km/h
d) 80 km/h
e) 90 km/h
36. (Fuvest-SP) Um homem correndo ultrapassa uma composição ferroviária, com 100 metros
de comprimento, que se move vagarosamente no mesmo sentido. A velocidade do homem é o
dobro da velocidade do trem. Em relação à Terra, qual o espaço percorrido pelo homem, desde
o instante em que alcança a composição até o instante em que a ultrapassa?
a) 100 m
b) 200 m
c) 50 m
d) 300 m
e) 150 m
37. (COC-SP) Dois atletas percorrem uma pista circular de 120 m de comprimento, em sentidos
opostos, com velocidades de módulos constantes e iguais a 5,0 m/s e 3,0 m/s. O tempo
decorrido entre dois encontros sucessivos destes atletas vale:
a) 60 s
b) 30 s
c) 25 s
d) 15 s
e) 10 s
01: c
- No tempo t = 0 temos:
sA = 30 + 20t
sB = 90 − 10t
sA = 30 + 20∙0
sB = 90 − 10∙0
sA = 30 m
sB = 90 m
- Portanto a distância entre os móveis é:
d = sB − sA
d = 90 − 30
d = 60 m
02: b
- No encontro temos:
sA = sB
30 + 20t = 90 − 10t
20t + 10t = 90 − 30
30t = 60
t = 60/30
t=2s
03: b
- Como nada foi dito a respeito de suas reais posições podemos adotar para a cidade A o
espaço zero (pois a pede a distância em relação a cidade A) e para a cidade B o espaço 400
km (conforme figura abaixo) e como o móvel P está se movendo na direção positiva do eixo
sua velocidade é positiva e como o móvel Q está se movendo na direção negativa do eixo sua
velocidade é negativa.
- Utilizando o esquema montado acima construímos as equações para o movimento:
CORPO P:
CORPO Q:
sP = s0 + vt
sQ = s0 + vt
sP = 0 + 30t
sQ = 400 − 50t
sP = 30t
- O instante do encontro é:
sP = sQ
30t = 400 − 50t
30t + 50t = 400
80t = 400
t = 400/80
t=5h
- A posição do encontro é
sP = 30t
sP = 30∙5
sP = 150 km
04: e
- Como a saída se deu em tempos diferentes, podemos pensar de modo a simplificar o
problema da seguinte maneira, após 1 h e 30 min o batalhão da infantaria, que tem uma
velocidade de 5 km/h, está na posição 7,5 km de nossa trajetória adotando o quartel como
referência (zero).
- Chamando o batalhão de A e a ordenança de B, podemos construir as equações para o
movimento:
CORPO A:
CORPO B:
sA = s0 + vt
sB = s0 + vt
sA = 7,5 + 5t
sB = 0 + 80t
- O instante do encontro é:
sA = sB
7,5 + 5t = 0 + 80t
7,5 = 80t − 5t
7,5 = 75t
75t = 7,5
t = 7,5/75
t = 0,1 h
t = 0,1∙60 min
t = 6 min
05: b
- Como a saída se deu em tempos diferentes, podemos pensar de modo a simplificar o
problema da seguinte maneira, após 20 s o carro A, que tem uma velocidade de 20 m/s, está
na posição 400 m de nossa trajetória adotando a ponta E como referência (zero). Desta forma
a velocidade do carro A é positiva (sentido positivo) e a velocidade do carro B é negativa
(sentido negativo, conforme figura abaixo).
- Utilizando o esquema montado acima construímos as equações para o movimento:
CORPO A:
CORPO B:
sA = s0 + vt
sB = s0 + vt
sA = 400 + 20t
sB = 4000 − 25t
- O instante do encontro é:
sA = sB
400 + 20t = 4000 − 25t
20t + 25t = 4000 − 400
45t = 3600
t = 3600/45
t = 80 s
- A posição do encontro é:
sA = 400 + 20t
sA = 400 + 20∙80
sA = 400 + 1600
sA = 2000 m
- Conclusões:
1º) Como montamos o problema com o carro A saindo da posição 400 m, devemos acrescentar
20 s ao tempo achado, pois esse tempo é para a saída de A da posição 400 m ou da saída de
B, portanto os carros se encontram 100 s após a partida do carro A e 80 segundos após a
partida do carro B.
2º) A posição do encontro é ponto médio, ou o meio da rua.
06:
- Utilizando a relatividade do movimento temos que a velocidade relativa do automóvel em
relação ao trem é:
vAT = vA − vT
vAT = 2v − v
vAT = v
- A distância relativa, ou em relação ao trem, que o automóvel tem que andar para ultrapassar
o trem é de ∆sAT = 100 m, calculando o tempo gasto para esse evento temos:
vAT = ∆sAT/∆t
v = 100/∆t
v∆t = 100
∆t = 100/v (o tempo depende da velocidade v)
- Aplicando a equação da velocidade para o automóvel temos:
v = ∆s/∆t
2v = ∆s/(100/v)
2v∙100/v = ∆s
200v/v = ∆s
∆s = 200 m
07:
a) Utilizando a relatividade do movimento temos que a velocidade relativa do carro B em
relação ao carro A é dada pela expressão:
vBA = vB − vA
vBA = 80 − 100
vBA = − 20 km/h
- Em módulo: |vBA| = 20 km/h
b) A velocidade relativa é a variação do espaço relativo pelo tempo:
vR = ∆sR/∆t
20 = 0,6/∆t
20∆t = 0,6
∆t = 0,6/20
∆t = 0,03 h ou ∆t = 108 s
08: b
- Adotando positivo no sentido do que tem menor velocidade temos a velocidade do menor v 1 =
60 km/h e a velocidade do maior v2 = − 90 km/h. A velocidade relativa vale:
v12 = v1 − v2
v12 = 60 − (− 90)
v12 = 150 km/h
- Utilizando a velocidade relativa acima temos:
v12 = ∆s/∆t
150 = ∆s/(1/120) 30 s = (1/120) h
150/120 = ∆s
∆s = 1,25 km ou ∆s = 1.250 m
09: a
- Calculando a velocidade relativa temos:
vAB = vA − vB
vAB = 20 − (15)
vAB = 5 m/s
- Utilizando a velocidade relativa acima temos:
vAB = ∆s/∆t
5 = ∆s/50
250 = ∆s
∆s = 250 m
10:
- Calculando a velocidade relativa temos:
vAB = vA − vB
vAB = 30 − (− 30)
vAB = 60 km/h ou vAB = 60/3,6 m/s
- Utilizando a velocidade relativa acima temos:
vAB = ∆s/∆t
60/3,6 = 100/∆t
60∆t = 360
∆t = 360/60
∆t = 6 s
11: e
- Calculando a velocidade relativa temos:
vR = vA − vB
vR = 35 − (20)
vR = 15 m/s
- Utilizando a velocidade relativa acima temos:
vR = ∆s/∆t
15 = 225/∆t
15∆t = 225
∆t = 225/15
∆t = 15 s
- Os dois carros demoram 15 s para se encontrarem. Aplicando a equação da velocidade para
o carro que está atrás temos:
v = ∆s/∆t
35 = ∆s/15
∆s = 35∙15
∆s = 525 m
12: c
- Calculando a velocidade relativa temos:
vAB = vA − vB
vAB = 18 − (− 27)
vAB = 45 km/h ou vAB = 12,5 m/s
- Utilizando a velocidade relativa acima temos:
vAB = ∆s/∆t
12,5 = 450/∆t
12,5∆t = 450
∆t = 450/12,5
∆t = 36 s
13:
a) Calculando a velocidade relativa temos:
vAB = vA − vB
vAB = 8 − (− 6)
vAB = 14 m/s
- Utilizando a velocidade relativa acima temos:
vAB = ∆s/∆t
14 = ∆s/20
∆s = 280 m
- Como estão correndo um para um lado e o outro para o outro lado, a cada 120 m eles se
encontram, como 280 m = 120 m + 120 m + 40 m, eles se cruzam 2 vezes e passam um do
outro de 40 m, então, estão a menor distância entre eles é 40 m.
b) Para o mesmo lado temos a velocidade relativa:
vAB = vA − vB
vAB = 8 − (6)
vAB = 2 m/s
- O carro A afasta-se do carro B de 2 metros a cada segundo, para que ele esteja uma vota à
frente deve andar 120 m (1 volta) a mais que B:
vAB = ∆s/∆t
2 = 120/∆t
∆t = 120/2
∆t = 60 s
14: c
- Calculando a velocidade relativa temos:
vMT = vM − vT
vMT = 20 − (15)
vMT = 5 m/s
- Utilizando a velocidade relativa acima temos:
vMT = ∆s/∆t
5 = 100/∆t
∆t = 100/5
∆t = 20 s
15:
a) Calculando a velocidade relativa temos:
v12 = v1 − v2
v12 = 35 − (25)
v12 = 10 km/h
- Utilizando a velocidade relativa acima temos:
v12 = ∆s/∆t
10 = 600/∆t
∆t = 600/10
∆t = 60 h
b) O navio mais lento com velocidade de 25 km/h, percorre 50 km em 2 h, ou seja, o navio mais
rápido deve alcançá-lo e depois ultrapassá-lo de mais 600 km, num total de distância relativa
de 650 km:
- Utilizando a velocidade relativa acima temos:
v12 = ∆s/∆t
10 = 650/∆t
∆t = 650/10
∆t = 65 h
- Esse tempo é medido a partir de quando o navio mais rápido saiu em direção ao mais lento,
mas temos ainda as 2 h anteriores enquanto o navio mais lento se afastava do mais rápido,
dando um total de 67 horas.
c) Calculando a velocidade relativa temos:
v12 = v1 − v2
v12 = 35 − (−25)
v12 = 60 km/h
- Utilizando a velocidade relativa acima temos:
v12 = ∆s/∆t
60 = 600/∆t
∆t = 600/60
∆t = 10 h
16:
- Calculando a velocidade relativa temos:
v12 = v1 − v2
v12 = 2v − (− v)
v12 = 3v
- Utilizando a velocidade relativa acima temos:
v12 = ∆s/∆t
3v = 90/2
3v = 45
v = 45/3
v = 15 m/s (velocidade do trem maior)
- Portanto a velocidade do trem menor é:
v1 = 2v
v1 = 30 m/s
17:
- O início do problema está descrito no esquema abaixo:
- Calculando a velocidade relativa do veículo A em relação ao veículo B temos:
vAB = ∆s/∆t
vAB = 60/6
vAB = 10 m/s
- Calculando a velocidade relativa do veículo A em relação ao veículo C temos:
vAC = ∆s/∆t
vAC = 140/7
vAC =20 m/s
- Como vAB = vA − vB e vAC = vA − vC temos:
vAB = vA − vB
vAC = vA − vC
10 = vA − vB
20 = vA − vC
vB = vA − 10
vC = vA − 20
- Calculando velocidade relativa do veículo B em relação ao veículo C temos:
vBC = vB − vC
vBC = (vA − 10) − (vA − 20)
vBC = vA − 10 − vA + 20
vBC = 10 m/s
18:
- Adotando São Paulo como referencial (zero), Porto Alegre está no espaço 1.100 km (figura
abaixo).
- Adotando relógios diferentes:
t: relógio do automóvel que partiu de São Paulo.
t': relógio do automóvel que partiu de Porto Alegre.
- A relação entre esses relógios é, quando o relógio do automóvel de São Paulo já marcava 2
h, pois saiu antes, o relógio do automóvel de Porto Alegre estava iniciando, marcava zero,
então temos:
t = t' + 2 ou t' = t − 2
- Montando a função horária do espaço para os automóveis temos:
SÃO PAULO:
PORTO ALEGRE:
sSP = s0 + vt
sPA = s0 + vt'
sSP = 0 + 100t
sPA = 1100 − 100t'
- Calculando instante do encontro temos:
sSP = sPA
100t = 1100 − 100t'
- Como os tempos são diferentes, utilizamos a equação acima dos temos:
100t = 1100 − 100(t − 2)
100t = 1100 − 100t + 200
100t + 100t = 1100 + 200
200t = 1300
t = 1300/200
t = 6,5 h
19: a
- Utilizando os dados obtidos no exercício anterior temos:
t' = t − 2
t' = 6,5 − 2
t' = 4,5 h
- Utilizando a função horária do espaço do automóvel de Porto Alegre temos:
sPA = 1100 − 100t'
sPA = 1100 − 100∙4,5
sPA = 1100 − 450
sPA = 650 km
- O automóvel estará na posição 650 km de nossa trajetória, portanto ele percorreu:
d = 1100 − 650
d = 450 km
20: b
- Calculando a velocidade relativa temos:
vAB = vA − vB
vAB = 50 −(− 80)
vAB = 50 + 80
vAB = 130 km/h
- Aplicando a velocidade relativa temos:
vAB = ∆s/∆t
130 = ∆s/2
∆s = 2∙130
∆s = 260 km
- Os dois se aproximaram relativamente de 260 km, mas com ainda estão a 40 km um do outro
a distância AB vale 260 + 40 = 300 km.
21: b
- A condição de encontro é:
s1 = s2
30 − 80t = 10 + 20t
30 − 10 = 20t + 80t
20 = 100t
100t = 20
t = 20/100
t = 0,2 s
22: d
- Construindo as equações do movimento para cada móvel temos:
Móvel A (na posição 10 cm)
sA = s0A + vAt
sA = 10 + 5t
Móvel B (na posição 14 cm)
sB = s0B + vBt
sB = 14 + 3t
- A condição de encontro é:
sA = sB
10 + 5t = 14 + 3t
5t − 3t = 14 − 10
2t = 4
t = 4/2
t=2s
- Calculando a posição de encontro:
sA = 10 + 5t
sA = 10 + 5∙2
sA = 10 + 10
sA = 20 cm
23: b
- B e C estão inicialmente em posições extremas, B na posição − 7 m e C em zero, enquanto
que A e D estão no meio deles, nas posições − 5 e −1 respectivamente. Como B e C possuem
velocidade maiores e B negativa e C positiva, eles afastarão cada vez mais dos outros e, os
únicos móveis que podem se encontrar é A e D.
24:
- 36 km/h = 10 m/s e como o atleta corre em sentido contrário ao trem a velocidade relativa é a
soma das velocidades, então:
vR = ∆s/∆t
15 = 450/∆t
∆t = 450/15
∆t = 30 s
25: d
- A diferença entre as velocidades, nesse caso, é a velocidade relativa:
vR = ∆s/∆t
vR = 20/4,0
vR = 5,0 m/s
26: a
- Calculando a velocidade relativa:
vR = vA − vH
20 = vA − 100
vA = 20 + 100
vA = 120 km/h
27: c
- Quando João chegou ao ponto P, seu amigo já tinha saído a 4 min (1/15 h); podemos calcular
a distância que seu amigo já estava do ponto P:
v = ∆s/∆t
60 = ∆s/(1/15)
∆s = 60/15
∆s = 4 km
- Podemos então começar o problema a partir daí e construir as equações do movimento:
SEU AMIGO
sA = 4 + 60t
JOÃO
sB = 0 + 80t
- A condição do encontro é:
sA = sB
4 + 60t = 80t
4 = 80t − 60t
4 = 20t
20t = 4
t = 4/20
t = 0,2 h ou t = 12 min
28:
- Como estão em sentidos contrários a velocidade relativa é vR = 12,5 m/s, então:
vR = ∆s/∆t
12,5 = 150/∆t
∆t = 150/12,5
∆t = 12 s
- Como demoram 12 s para se encontrarem, um percorrerá:
v = ∆s/∆t
5 = ∆s1/12
∆s1 = 60 m
- E o outro:
∆s2 = 150 − ∆s1
∆s2 = 150 − 60
∆s2 = 90 m
29:
- Podemos calcular a velocidade relativa de A em relação a B:
vAB = vA − vB
vAB = 20 − 15
vAB = 5,0 m/s
- Aplicando a velocidade relativa temos:
vAB = ∆s/∆t
5,0 = 1.000/∆t
∆t = 1.000/5,0
∆t = 200 s
30: c
- A velocidade relativa entre eles é:
vR = 3v − v
vR = 2v
- O comprimento que o mais veloz tem que percorrer para alcançar o mais lento é de uma volta
2R:
vR = ∆s/∆t
2v = 2R/∆t
∆t = 2R/2v
∆t = R/v
31: b
- Podemos considera dois corpos A e B com velocidades vA e vB, respectivamente, onde vA >
vB. Para o caso onde eles estão no mesmo sentido a velocidade relativa é a subtração das
velocidades e, para o caso onde eles estão em sentidos contrários a velocidade relativa é a
adição das velocidades:
MESMO SENTIDO
vR = ∆s/∆t
vA − vB = 600/300 (5,0 min = 300 s)
vA − vB = 2 (I)
SENTIDO CONTRÁRIO
vR = ∆s/∆t
vA + vB = 600/60 (1,0 min = 60 s)
vA + vB = 10 (II)
- Resolvendo o sistema de equações acima; isolando vA em (I) e substituindo em (II), temos:
vA = 2 + vB (I)
vA + vB = 10 (II)
(2 + vB) + vB = 10
2vB = 10 − 2
vB = 8/2
vB = 4 m/s
- Substituindo vB em (I) temos:
vA − vB = 2
vA − 4 = 2
vA = 2 + 4
vA = 6 m/s
32: d
- A velocidade relativa é a soma das velocidades:
vR = ∆s/∆t
150 = 225/∆t
∆t = 225/150
∆t = 1,5 h
33: e
- Podemos escrever as funções horárias do espaço para os automóveis, mas como os tempos
são diferentes chamaremos tP para o carro que partiu de Porto Alegre e tS para o carro que
partiu de São Paulo. Considerando ainda o início de nossa trajetória em Porto Alegre temos:
PORTO ALEGRE
sP = s0P + vPtP
sP = 0 + 100tP
sP = 100tP (I)
SÃO PAULO
sS = s0S + vStS
sS = 1.100 − 100tS
(II)
- Além dessas equações a relação dos tempos, se tivéssemos colocado um cronômetro em
cada carro simbolizando os tempos dos carros (tP e tS), quando o carro que partiu de Porto
Alegre iniciou, ou seja, tP = 0, o relógio do carro de São Paulo já marcava tS = 2 h, e quando tP
= 1 h o relógio tS = 3 h e assim por diante; então, temos:
tP + 2 = tS
tP = tS − 2 (III)
- Igualando as equações (I) e (II), condição de encontro, temos:
sP = sS
100tP = 1.100 − 100tS
- Substituindo na equação acima a equação (III) temos:
100(tS − 2) = 1.110 − 100tS
100tS − 200 = 1.100 − 100tS
100tS + 100tS = 1.100 + 200
200tS = 1.300
tS = 1.300/200
tS = 6,5 h
34: a
- Continuando o exercício anterior, podemos calcular o tempo gasto pelo carro de Porto Alegre
utilizando a equação (III):
tP = tS − 2
tP = 6,5 − 2
tP = 4,5 h
- Substituindo este tempo na equação (I) temos o espaço do carro que partiu de Porto Alegre,
ou seja, quanto ele percorreu até encontrar o de São Paulo:
sP = 100tP
sP = 100∙4,5
sP = 450 km
35: c
- Como Pedro demorou 1 min para sair e alcançou em 3 min seu pai, então, Alberto, seu pai,
gastou um tempo de 4 min até ser encontrado, onde podemos calcular a distância percorrida
por Alberto:
v = ∆s/∆t
15 = ∆s/240 (54 km/h = 15 m/s e 4 min = 240 s)
∆s = 15∙240
∆s = 3.600 m
- Como Pedro gastou 3 min = 180 s, sua velocidade foi de:
v = ∆s/∆t
v = 3.600/180
v = 20 m/s ou v = 72 km/h
36: b
- Chamaremos de vH a velocidade do homem e de vT a velocidade do trem, então temos:
vH = 2v
vT = v
- Com estão se movendo no mesmo sentido a velocidade relativa vale:
vR = vH − vT
vR = 2v − v
vR = v
- Aplicando está velocidade na equação temos:
vR = ∆sR/∆t
v = 100/∆t
- Voltando à equação do homem:
vH = ∆sH/∆t
2v = ∆sH/∆t
2(100/∆t) = ∆sH/∆t
200 = ∆sH
∆sH = 200 m
37: d
- A velocidade relativa é soma das velocidade, então:
vR = ∆s/∆t
8,0 = 120/∆t
∆t = 120/8,0
∆t = 15 s
MU - gráfico de s x t
01. (UFSM-RS) No gráfico a seguir, representam-se as posições ocupadas por um corpo que
se desloca numa trajetória retilínea, em função do tempo.
Pode-se, então, afirmar que o módulo da velocidade do corpo:
a) aumenta no intervalo de 0 s a 10 s.
b) diminui no intervalo de 20 s a 40 s.
c) tem o mesmo valor em todos os diferentes intervalos de tempo.
d) é constante e diferente de zero no intervalo de 10 s a 20 s.
e) é maior no intervalo de 0 s a 10 s.
02. (EESC-SP) O gráfico representa a posição de um homem, ao longo de sua trajetória, em
função do tempo.
Calcule o valor da velocidade do homem quando:
a) t = 5,0 s
b) t = 20 s
03. (Vunesp-SP) Os gráficos na figura representam as posições de dois veículos, A e B,
deslocando-se sobre uma estrada retilínea, em função do tempo.
A partir desses gráficos, é possível concluir que, no intervalo de 0 a t:
a) a velocidade do veículo A é maior que a do veículo B.
b) a aceleração do veículo A é maior que a do veículo B.
c) o veículo A está se deslocando à frente do veículo B.
d) os veículos A e B estão se deslocando um ao lado do outro.
e) a distância percorrida pelo veículo A é maior que a percorrida pelo veículo B.
04. (UnB-DF) Considere o gráfico da posição x em função do tempo t para um móvel que se
desloca ao longo de uma estrada (eixo Ox), onde a velocidade máxima permitida é de 80 km/h.
Verifique quais as proposições corretas.
01. O móvel partiu da origem (x = 0).
02. O móvel nunca se afastou mais do que 100 km do seu ponto de partida.
04. O móvel excedeu o limite de velocidade entre a 2ª. e a 3ª. hora.
08. O móvel deslocou-se sempre afastando-se da origem.
16. O móvel esteve sempre em movimento entre t = 0 e t = 7 horas.
05. (Fuvest-SP) O gráfico representa a posição de uma partícula, em movimento retilíneo,
como função do tempo.
Assinale a alternativa correta.
2
a) Entre 0 e 10 s, a aceleração vale 0,1 m/s .
b) Entre 10 s e 20 s, a velocidade é 0,3 m/s.
c) No instante t = 15 s, a velocidade é 0,2 m/s
d) Entre 0 e 20 s, a velocidade média é 0,05 m/s.
e) Entre 0 e 30 s, a velocidade média é 0,1 m/s.
06. (UFPE) Um terremoto normalmente dá origem a dois tipos de onda, s e p, que se
propagam pelo solo com velocidades distintas. No gráfico anexo, está representada a variação
no tempo da distância percorrida por cada uma das ondas a partir do epicentro do terremoto.
Com quantos minutos de diferença essas ondas atingirão uma cidade situada a 1.500 km de
distância do ponto 0?
07. (UFPE) O gráfico abaixo mostra a posição, em função do tempo, de três carros que se
movem no mesmo sentido e na mesma estrada retilínea. O intervalo de tempo que o carro Z
leva entre ultrapassar o carro X e depois ultrapassar o carro Y é de:
a) 10 s
b) 15 s
c) 20 s
d) 25 s
e) 30 s
08. (PUCCamp-SP) O movimento dos corpos A e B, que trafegam numa mesma trajetória
retilínea, é representado através do gráfico posição x tempo anexo. Supondo que os móveis
permaneçam em seus estados de movimento, pode-se afirmar que os corpos se encontram no
instante:
a) 40 s
b) 30 s
c) 25 s
d) 20 s
e) 10 s
09. (ESPM-SP) Dois móveis, A e B, descrevem movimentos uniformes numa mesma trajetória
retilínea e suas posições são representadas a seguir:
O encontro entre os móveis ocorrerá no instante:
a) 4,0 s
b) 6,0 s
c) 8,0 s
d) 10 s
e) 12 s
10. (Mackenzie-SP) Um móvel se desloca sobre uma reta conforme o diagrama a seguir. O
instante em que a posição do móvel é definida por x = 20 m é:
a) 6,0 s
b) 8,0 s
c) 10 s
d) 12 s
e) 14 s
11. (Mackenzie-SP) Correndo com uma bicicleta, ao longo de um trecho retilíneo de uma
ciclovia, uma criança mantém a velocidade constante de módulo igual a 2,5 m/s. O diagrama
horário da posição para esse movimento está ilustrado adiante.
Segundo o referencial adotado, no instante t = 15,0 s, a posição x da criança é igual a:
a) − 37,5 m
b) − 12,5 m
c) 12,5 m
d) 37,5 m
e) 62,5 m
12. (UEMA) Dois móveis, A e B, percorrem a mesma trajetória retilínea. A figura representa as
posições (s), em função do tempo (t), desses dois móveis. Qual a distância, em metros, entre A
e B, no instante t = 3 s?
13. (UFLA-MG) Duas partículas, A e B, movimentam-se sobre uma mesma trajetória retilínea
segundo as funções: sA = 4 + 2t e sB = 9 − 0,5t (SI). Assinale a alternativa que representa
graficamente as funções.
a)
b)
c)
d)
e)
14. (PUC-MG) O gráfico abaixo representa as posições de um corpo, em função do tempo,
numa trajetória retilínea.
Em relação ao movimento do corpo, é correto afirmar que:
a) no trecho AB, o móvel se desloca com movimento retardado.
b) de B até C, o móvel se desloca com velocidade escalar constante.
c) de C até D, o móvel se afasta da origem com velocidade escalar constante.
d) de D até E, o móvel se desloca com aceleração escalar constante.
e) a área sob a reta no trecho AB representa a velocidade escalar do corpo.
01: e
- Calculando as velocidades temos:
0 a 10 s:
v = tg 
v = 50/10
v = 5,0 m/s
10 s a 20 s:
v = tg 
v=0
20 s a 40 s:
v = − tg 
v = − 50/20
v = − 2,5 m/s
- Em módulo (sem sinal) temos que a velocidade é maior no intervalo de 0 s a 10 s.
02:
a) De 0 a 10 s a velocidade é sempre a mesma:
v = tg 
v = 40/10
v = 4,0 m/s
b) Como em t = 20 s o gráfico é uma reta horizontal, ou seja, o móvel não sai daquela posição:
v=0
03: c
- Como os dois gráficos possuem a mesma inclinação, as velocidades de A e B são iguais e
constantes (aceleração igual a zero) e, a distância que vão percorrer será igual em um mesmo
tempo t, mas de acordo com o gráfico, no início, o veículo A estava em uma posição à frente do
veículo B..
04: 06 (02 + 04)
01) Errado
- De acordo com o gráfico o móvel partiu de x = 50 km.
02) Correto
- Como ele partiu da posição 50 km e chegou no máximo na posição x = 150 m, então , ele
nunca se afastou mais do que 100 km do seu ponto de partida.
04) Correto
- A velocidade neste trecho foi de:
v = tg 
v = 150/1
v = 150 km/h
08) Errado
- Entre os instantes 0 e 1 h ele aproximou da origem, e também, entre 5 h e 7 h.
16) Errado
- Ele parou entre 1h e 2 h e entre 3 h e 5 h.
05: d
- A aceleração em todo este movimento é zero e a velocidade vale:
0 a 10 s:
v = tg 
v = 1/10
v = 0,1 m/s
10 s a 20 s:
v = 0 (reta horizontal)
20 s a 0 s:
v = − tg 
v = − 3/10
v = − 0,3 m/s
- Temos ainda a velocidade média entre entre 0 e 20 s:
vm = ∆s/∆t
vm = (3 − 2)/20
vm = 1/20
vm = 0,05 m/s
- E a velocidade média entre 0 e 30 s:
vm = ∆s/∆t
vm = (0 − 2)/20
vm = − 2/30
vm = − 0,07 m/s
06:
- Olhando no gráfico de s para x = 1.500 km tem um tempo de 3,0 min e no de p um tempo de
5,0 min, portanto, a diferença é de 2,0 min.
07: c
- Olhando no gráfico Z cruza com X no tempo 10 s e com Y no tempo 30 s, a diferença é de 20
s.
08: b
- Calculando as velocidades para os corpos A e B, temos:
CORPO A:
vA = − tg 
vA = − 10/10
vA = − 1 m/s
CORPO B:
vB = tg 
vB = 5/10
vB = 0,5 m/s
- Construindo a função horária dos espaços para os corpos temos:
CORPO A:
sA = s0A + vAt
sA = 45 − 1t
CORPO B:
sB = s0B + vBt
sB = 0 + 0,5t
sB = 0,5 t
- O instante de encontro será:
sA = sB
45 − 1t = 0,5 t
45 = 0,5t + 1t
45 = 1,5t
1,5t = 45
t = 45/1,5
t = 30 s
09: c
- Calculando as velocidades para os corpos A e B, temos:
CORPO A:
vA = tg 
vA = 2,0/4,0
vA = 0,5 m/s
CORPO B:
vB = − tg 
vB = − 4,0/4,0
vB = − 1,0 m/s
- Construindo a função horária dos espaços para os corpos temos:
CORPO A:
sA = s0A + vAt
sA = 0 + 0,5t
sA = 0,5t
CORPO B:
sB = s0B + vBt
sB = 12 − 1,0t
- O instante de encontro será:
sA = sB
0,5t = 12 − 1,0t
0,5t + 1,0t = 12
1,5t = 12
t = 12/1,5
t = 8,0 s
10: c
- Calculando a velocidade temos:
v = tg 
v = 10/2,0
v = 5,0 m/s
- A função horária do espaço é:
x = x0 + vt
x = − 30 + 5,0t
- Para x = 20 m temos:
x = − 30 + 5,0t
20 = − 30 + 5,0t
20 + 30 = 5,0t
50 = 5,0t
5,0t = 50
t = 50/5,0
t = 10 s
11: e
- Utilizando a função horária do espaço e os dados do gráfico podemos calcular o espaço
inicial:
x = x0 + vt
25,0 = x0 − 2,5∙30,0
25,0 = x0 − 75,0
25,0 + 75,0 = x0
x0 = 100 m
- Utilizando, novamente, a função horária do espaço temos:
x = x0 + vt
x = 100 − 2,5∙15,0
x = 100 − 37,5
x = 62,5 m
12:
- Calculando as velocidades temos:
MÓVEL A:
vA = tg 
vA = 4/2
vA = 2 m/s
MÓVEL B:
vB = tg 
vB = 2/4
vB = 0,5 m/s
- A função horária do espaço para cada móvel é:
MÓVEL A:
sA = s0A + vAt
sA = 0 + 2t
sA = 2t
MÓVEL B:
sB = s0B + vBt
sB = 2 + 0,5t
- Para t = 3 s:
sA = 2t
sA = 2∙3
sA = 6 m
sB = 2 + 0,5t
sB = 2 + 0,5∙3
sB = 2 + 1,5
sB = 3,5 m
- A distância entre os móveis no tempo t = 3 s é:
d = 6 − 3,5
d = 2,5 m
13: a
- Vamos por eliminação s0A = 4 m e s0B = 9 m, portanto não pode ser a e.
- A velocidade de A é positiva o gráfico de A deve ser crescente, portanto não pode ser a b.
- A velocidade de B é negativa o gráfico de B deve ser decrescente, portanto não pode ser a
c.
- Para o tempo t = 3 s, o espaço de A é sA = 10 m, portanto não pode ser a d.
- a.
14: c
a) Errado, o movimento é uniforme.
b) Errado, de B até o móvel está parado.
c) correto.
d) Errado, o móvel está parado.
e) Errado, a área, veste caso, não tem significado físico.
MU - gráfico de v x t
01. (Fuvest-SP) Um automóvel faz uma viagem em 6 horas e sua velocidade escalar varia em
função do tempo, aproximadamente, como mostra o gráfico. A velocidade escalar média do
automóvel na viagem foi de:
a) 38 km/h
b) 40 km/h
c) 45 km/h
d) 48 km/h
e) 50 km/h
02. (ESPM-SP) Considere um automóvel que faz uma viagem em 4 horas e a sua velocidade
escalar varia, aproximadamente, segundo o gráfico seguinte:
A velocidade escalar média, em km/h, da viagem foi de:
a) 35
b) 40
c) 45
d) 55
e) 60
03. (UFPI) A figura mostra como varia o módulo da velocidade de uma partícula que percorre
vários caminhos retilíneos, sucessivos e todos de mesmo comprimento ℓ. Se a distância total
percorrida pela partícula é L = Nℓ, sendo N um número inteiro maior ou igual a 2, é correto
afirmar que o valor da velocidade escalar média no percurso total é:
a) 25,0 m/s, se N é par.
b) 22,5 m/s, se N é impar.
c) 20,0 m/s, se N é par.
d) 22,5 m/s, se N é par.
e) 25,0 m/s, se N é impar.
01: b
- Calculando a variação do espaço através da área:
∆s = A1 + A2
∆s = 2∙30 + 3∙60
∆s = 60 + 180
∆s = 240 km
- A velocidade escalar média é:
v = ∆s/∆t
v = 240/6
v = 40 km/h
02: b
- Calculando a variação do espaço através da área:
∆s = A1 + A2
∆s = 2∙50 + 1∙60
∆s = 100 + 60
∆s = 160 km
- A velocidade escalar média é:
v = ∆s/∆t
v = 160/4
v = 40 km/h
03: c
- Podemos calcular o tempo para cada espaço ℓ; para a velocidade de 15,0 m/s temos:
v = ∆s/∆t
15,0 = ℓ/∆t1
∆t1 = ℓ/15,0
- Para a velocidade de 30,0 m/s temos:
v = ∆s/∆t
30,0 = ℓ/∆t2
∆t2 = ℓ/30,0
- Para N par a variação do espaço vale:
∆s = Nℓ
- E ainda, para N par, a variação do tempo sempre tem números iguais de comprimentos ℓ
percorridos pela velocidade 15,0 m/s e 30,0 m/s, divididos em quantidades iguais, metade para
cada um:
∆t = (N/2)∆t1 + (N/2)∆t2
∆t = (N/2)(∆t1 + ∆t2)
- Calculando a velocidade escalar média para N par temos:
vm = ∆s/∆t
vm = (Nℓ)/[(N/2)(∆t1 + ∆t2)]
vm = 2ℓ/(∆t1 + ∆t2)
vm = 2ℓ/(ℓ/15,0 + ℓ/30)
vm = 2ℓ/(2ℓ + ℓ/30)
vm = 2ℓ/(3ℓ/30)
vm = 60ℓ/3ℓ
vm = 20 m/s
- A é o resultado acima, mas par os curiosos quando fazemos para N ímpar a velocidade
escalar média fica:
vm = 60N/(3N + 1)
OBS: sempre dará um valor que depende de N, portanto, terá um valor diferente a cada
distância percorrida.
OBS2: eu fiz essa conta pra chegar a este resultado, fica o desafio, faça você também.
MUV - função horária do espaço e da velocidade
01.(Unimar-SP) Um automóvel, com uma velocidade escalar inicial de 10 m/s, acelera sua
marcha a uma razão constante de 1,0 m/s a cada segundo.
A distância percorrida nos seis primeiros segundos é igual a :
a) 18 m
b) 42 m
c) 60 m
d) 63 m
e) 78 m
02. (UFAL) A velocidade escalar de uma automóvel aumenta, de maneira uniforme, 2,4 m/s a
cada 3,0 s. Em certo instante, a velocidade escalar do móvel é de 12 m/s. A partir desse
instante, nos próximos 5,0 s, a distância percorrida pelo móvel será igual a:
a) 10 m
b) 30 m
c) 60 m
d) 70 m
e) 90 m
03. (Unicamp-SP) As faixas de aceleração das auto-estradas devem ser longas o suficiente
para permitir que um carro, partindo do repouso, atinja a velocidade escalar de 108 km/h em
uma estrada horizontal. Uma carro popular é capaz de acelerar de 0 a 108 km/h em 15 s.
Suponha que a aceleração escalar seja constante.
a) Qual o valor da aceleração escalar?
b) Qual a distância percorrida em 10 s?
c) Qual deve ser o comprimento mínimo da faixa de aceleração?
04. (EFEI-MG) Em uma estrada de pista única um carro de 4,0 m de comprimento, cuja
velocidade tem módulo igual a 22,0 m/s, quer ultrapassar um caminhão longo, de 28,0 m, que
está com velocidade constante de módulo igual a 10,0 m/s. O motorista do carro inicia a
ultrapassagem quando a frente do caminhão encontra-se a 50 m de uma ponte.
Supondo-se que o carro faça a ultrapassagem com uma aceleração máxima de módulo igual
2
4,0 m/s , calcule:
a) o tempo que ele leva para ultrapassar o caminhão;
b) a distância percorrida durante a ultrapassagem. O carro consegue fazer a ultrapassagem
antes de entrar na ponte?
05. (AEU-DF) Se um automóvel passar por um ponto situado a 10 m da origem dos espaços,
no semi-eixo positivo, no instante t = 0, com velocidade escalar de 5 m/s e aceleração escalar
2
constante de 4 m/s , a equação horária de seu espaço, no SI, será:
2
a) s = 10 + 5t + 2t
2
b) s = 10 − 5t + 2t
2
c) s = 10 + 5t − 2t
2
d) s = 10 − 5t − 2t
2
e) s = −10 + 5t − 2t
06. (AFA) A tabela abaixo fixa os valores da velocidade escalar instantânea de um móvel em
função do tempo:
t(s)
1
2
3
4
v(m/s)
5
8
11
14
A partir dos dados disponíveis pode-se afirmar que o movimento:
a) é uniforme;
b) tem aceleração escalar variável;
c) é uniformemente acelerado com velocidade escalar inicial nula;
d) é uniformemente variado com velocidade escalar inicial positiva;
e) é uniforme e partiu da posição inicial de 2,0 m.
2
07. (Fuvest-SP) Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera a 2 m/s . Podese dizer que sua velocidade e a distância percorrida, após 3 segundos, valem,
respectivamente:
a) 6 m/s e 9 m
b) 6 m/s e 18 m
c) 3 m/s e 12 m
d) 12 m/s e 36 m
e) 2 m/s e 12 m
08. (Cesgranrio-RJ) Um automóvel, partindo do repouso, leva 5,0 s para percorrer 25 m em
movimento uniformemente variado. A velocidade final do automóvel é de:
a) 5,0 m/s
b) 10 m/s
c) 15 m/s
d) 20 m/s
e) 25 m/s
09. (Unimep-SP) Uma partícula com velocidade escalar igual a 10 m/s é acelerada na razão
2
constante de 2 m/s . Para atingir uma velocidade escalar igual a 30 m/s, será necessário
percorrer:
a) 40 m
b) 200 m
c) 300 m
d) 400 m
e) 500 m
10. (UDESC-SC) Um carro está parado em um semáforo, aguardando abrir o sinal. No instante
em que acende a luz verde, ele parte com uma aceleração constante.Um caminhão que vinha
com velocidade constante de 10 m/s, trafegando em sentido contrário ao do carro, passa por
ele no exato momento da partida. Após 5 s, a distância entre o caminhão e o carro é de 75 m.
A aceleração do carro é de:
2
a) 4,0 m/s
2
b) 6,0 m/s
2
c) 10,0 m/s
d) 15,0 m/s
2
e) 2,0 m/s
2
11. (ACAFE-SC) A velocidade escalar inicial (t = 0) de uma partícula é 20 m/s e, 10s depois, o
seu módulo é de 30 m/s, porém em sentido oposto. Admitindo que o movimento tenha sido
uniformemente variado, podemos concluir que sua aceleração escalar e o instante em que
houve a inversão de sentido valem, respectivamente:
2
a) − 5m/s e 4,0 s
2
b) + 5 m/s e 2,0 s
2
c) − 2,0 m/s e 4,0 s
2
d) − 1,0 m/s e 20 s
2
e) + 1,0 m/s e 10 s
12. (EsPCEx-SP) No instante em que a luz verde do semáforo acende, uma carro ali parado
2
parte com aceleração de 2,0 m/s . Um caminhão, que circula na mesma direção e no mesmo
sentido, com velocidade constante de 10 m/s, passa por ele no exato momento da partida.
Podemos, considerando os dados numéricos fornecido, afirmar que (Considere o carro e o
caminhão como dois pontos materiais):
a) o carro ultrapassa o caminhão a 200 m do semáforo.
b) o carro não alcança o caminhão.
c) o carro ultrapassa o caminhão a 40 m do semáforo.
d) o carro ultrapassa o caminhão a 100 m do semáforo.
e) os dois prosseguirão lado a lado.
13. (FCC-SP) Dois pontos materiais M e N podem mover-se ao longo de um eixo orientado Ox.
No instante t = 0, observa-se que:
(1) M está na origem de Ox.
(2) A coordenada da posição de N é xN = 100 m.
(3) As velocidades escalares de M e N são nulas.
2
(4) As acelerações escalares de M e N valem valem, respectivamente, M = 6,0 m/s e N =
2
4,0 m/s .
Considerando que as acelerações escalares de M e de N, não se alteram, as coordenadas das
posições dos dois pontos materiais serão iguais no instante t igual a:
a) 5,0 s
b) 10 s
c) 15 s
d) 20 s
14. (Vunesp-SP) A tabela abaixo contém valores da velocidade escalar de uma partícula,
deslocando-se em linha reta, em função do tempo.
v (m/s) 2,0
4,0
6,0
8,0
10
t (s)
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
A aceleração escalar constante da partícula no intervalo de tempo considerado é, em m/s, igual
a:
a) 0,5
b) 1,0
c) 1,5
d) 2,0
e) 2,5
15. (PUC-SP) Um carro, partindo do repouso, assume movimento com aceleração escalar
2
constante de 1 m/s durante 5 s. Desliga-se então o motor e, devido ao atrito, o carro volta ao
2
repouso com retardamento constante de – 0,5 m/s . A duração total do movimento do carro foi
de:
a) 5 s
b) 10 s
c) 15 s
d) 20 s
e) 25 s
16. (UFPR) Um corpo é lançado ao longo de um plano inclinado, para cima, atingindo, após 1,2
s, a velocidade escalar de 4,0 m/s. Sabendo-se que o corpo pára 2,0 s após ter iniciado seu
movimento, calcule:
a) a sua aceleração escalar;
b) a sua velocidade escalar inicial.
17. (UFU-MG) Um móvel animado de movimento retilíneo uniformemente variado percorre, no
primeiro segundo, 9 metros e no segundo segundo, 7 metros. Qual a distância percorrida no
sexto segundo?
a) 5 m
b) 4 m
c) 3 m
d) 2 m
e) 1 m
18. (UFPE) Um carro está viajando numa estrada retilínea com a velocidade de 72 km/h.
Vendo adiante um congestionamento no trânsito, o motorista aplica os freios durante 2,5 s e
reduz a velocidade para 54 km/h. Supondo que a aceleração é constante durante o período de
2
aplicação dos freios, calcule o seu módulo, em m/s
a) 1,0
b) 1,5
c) 2,0
d) 2,5
e) 3,0
19. (Fuvest-SP) Partindo do repouso, um avião percorre a pista, com aceleração escalar
constante, e atinge a velocidade escalar de 360 km/h, em 25 segundos. Qual o valor da sua
2
aceleração, em m/s ?
a) 9,8
b) 7,2
c) 6,0
d) 4,0
e) 2,0
20. (UFPR) Um corpo tem, num ponto A de sua trajetória retilínea, a velocidade de 36 km/h e,
em um ponto B, a 100 m de A, a velocidade de 54 km/h. O movimento é uniformemente
variado.
a) Qual o tempo gasto em percorrer a distância AB?
b) A que distância se encontrará de A decorridos 10 s da passagem por B?
c) Qual a sua velocidade nesse instante?
21. (Mauá-SP) Um móvel parte do repouso de um ponto A executando um movimento retilíneo,
uniformemente acelerado, sobre uma reta AB. No mesmo instante parte do ponto B, rumo a A,
um outro móvel, que percorre a reta AB com velocidade constante. A distância entre os pontos
A e B é ℓ = 50 m. Depois de 10 s da partida os móveis se cruzam exatamente no meio da
distância entre A e B. Determine:
a) a velocidade do móvel que partiu de B;
b) a velocidade com que o móvel que partiu de A irá chegar em B.
2
22. (Fuvest-SP) Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acelerando 0,50 m/s .
Nesse instante, passa por ele um outro ciclista B, com velocidade constante de 5,0 m/s e
mesmo sentido que o ciclista A.
a) Depois de quanto tempo após a largada o ciclista A alcança o ciclista B?
b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B?
23. (Unip-SP) Dois ciclistas A e B se movimentam em um plano inclinado, em uma mesma
trajetória retilínea, indo um de encontro ao outro. O ciclista A tem velocidade inicial de módulo
5,4 km/h e está descendo o plano com movimento acelerado e o ciclista B tem velocidade
inicial de módulo 18 km/h subindo o plano com movimento retardado. Sabe-se que os dois
2
ciclistas têm acelerações de módulos iguais a 0,20 m/s cada um e que, no instante t0 = 0, a
distância entre os ciclistas é de 195 m. Determine o instante em que os dois ciclistas se
cruzam.
24. (Fesp) Um corpo tem movimento retilíneo uniformemente variado e é tal que, nos instante
5,0 s e 15 s, ele tem velocidade de 10 m/s e 30 m/s. Que velocidade ele terá no instante 20 s?
a) 30 m/s
b) 40 m/s
c) 50 m/s
d) 60 m/s
e) 80 m/s
25. (UFRJ) Um ponto material descreve uma trajetória retilínea em relação a um sistema de
2
referência e sua função horária é dada por s = 3 + 5t + t (s em metros, t em segundos).
Podemos afirmar que a velocidade inicial e a aceleração escalar são respectivamente:
2
a) 3 m/s e 5 m/s
2
b) 5 m/s e 2 m/s
2
c) 5 m/s e 1 m/s
2
d) 3 m/s e 10 m/s
2
e) 5 m/s e 0,5 m/s
26. (UFAC) Um veículo parte de um ponto A para um ponto B e gasta nesse percurso 40 s,
2
com uma aceleração de 3 m/s e velocidade inicial de 4 m/s. Podemos afirmar que a distância
entre os dois pontos e de:
a) 960 m
b) 1.280 m
c) 1.840 m
d) 2.560 m
e) 3.880 m
27. Um veículo penetra em um túnel com velocidade de 54 km/h, deslocando-se com
movimento uniformemente variado. Passados 10 s, o veículo sai do túnel com velocidade de 72
km/h. Qual, em metros, o comprimento do túnel?
a) 172
b) 175
c) 178
d) 184
e) 196
28. (F.M. Volta redonda-RJ) A equação horária do movimento de um móvel é dada por s = 12 −
2
2t + 4t . A equação da velocidade escalar desse móvel será:
a) v = 12 − 2t
b) v = 8t − 2
c) v = 2 + 4t
d) v = −2 + 2t
e) v = 12 − 4t
29. (UEL-PR) Um móvel efetua um movimento retilíneo uniformemente variado obedecendo a
2
função horária s = 10 + 10t − 5,0t , onde o espaço s é medido em metros e o instante t em
segundos. A velocidade do móvel no instante t = 4,0 s, em m/s, vale:
a) 50
b) 20
c) 0
d) − 20
e) − 30
2
30. (Unitau-SP) A equação horária do movimento de um ponto material P é: s = 400 − 20t − 4t ,
onde o espaço s é dado em metros e o tempo t em segundo. A velocidade média de P no
intervalo de 0 a 5 s é, em metros por segundo:
a) − 40
b) − 25
c) 120
d) 60
e) − 30
31. (Fatec-SP) A velocidade de um móvel é dada pela função v = 3,0 − 0,60t (v em metros por
segundo e t em segundos). No instante t = 0 o móvel encontra-se na origem dos espaços. O
espaço da posição de retorno, em metros, é:
a) 5,0
b) 13,5
c) 10
d) 7,5
e) 15
32. (UFRS) Um automóvel que anda com velocidade escalar de 72 km/h é freado de tal forma
que, 6,0 s após o início da freada, sua velocidade escalar é de 8,0 m/s. O tempo gasto pelo
móvel até parar e a distância percorrida até então valem, respectivamente:
a) 10 s e 100 m
b) 10 s e 200 m
c) 20 s e 100 m
d) 20 s e 200 m
e) 5 s e 150 m
33. (ITA-SP) De uma estação parte um trem A com velocidade constante vA = 80 km/h. Depois
de certo tempo, parte dessa mesma estação um outro trem B, com velocidade constante vB =
100 km/h. Depois de um tempo de percurso, o maquinista de B verifica que o seu trem se
encontra a 3 km de A; a partir desse instante ele aciona os freios indefinidamente,
2
comunicando ao trem uma aceleração a = − 50 km/h .
O trem A continua no seu movimento anterior. Nessas condições:
a) não houve encontro dos trens.
b) depois de duas horas o trem B pára e a distância que o separa de A é de 64 km.
c) houve encontro dos trens depois de 12 min.
d) houve encontro dos trens depois de 36 min.
e) não houve encontro dos trens; continuam caminhando e a distância que os separa agora é
de 2 km.
34. (PUCCamp-SP) No instante em que a luz verde do semáforo acende, um carro ali parado,
2
parte com aceleração constante de 2,0 m/s . Um caminhão, que circula na mesma direção e no
mesmo sentido, com velocidade constante de 10 m/s, passa por ele no exato momento da
partida. Podemos, considerando os dados numéricos fornecidos, afirmar que:
a) o carro ultrapassa o caminhão a 200 m do semáforo.
b) o carro não alcança o caminhão.
c) os dois veículos seguem juntos.
d) o carro ultrapassa o caminhão a 40 m do semáforo.
e) o carro ultrapassa o caminhão a 100 m do semáforo.
35. (PUC-SP) Dois móveis, A e B, deslocam-se numa mesma estrada reta de acordo com as
funções, tomadas em relação a um mesmo referencial, em unidades do Sistema Internacional:
2
sA = 50 + 20t e sB = 3t .
O móvel B estará 50 m à frente de A no instante
a) 50 s.
b) 40 s.
c) 30 s.
d) 20 s.
e) 10 s.
36. (ITA-SP) Dois móveis, que correm em estradas retas e paralelas, têm posições a partir de
3
uma origem comum, dadas no Sistema Internacional de unidades por: x 1 = 30t e x2 = 1,0∙10 +
2
0,2t . Calcule os instantes t e t' em que os dois automóveis devem estar lado a lado. Na
resposta você deverá fazer um esboço dos gráficos x1(t) e x2(t).
37. (FFUSP-SP) Dois pontos materiais P1 e P2 movem-se sobre a mesma reta, obedecendo às
2
2
seguintes expressões: s1 = − 10t + 5t e s2 = 30 + 5t − 10t . Os símbolos s1 e s2 representam os
espaços em centímetros a partir da origem comum; o tempo é medido em segundos (t ≥ 0).
Calcule:
a) o instante e a posição em que os dois móveis se encontram;
b) as velocidades e acelerações escalares de ambos no instante de encontro;
c) quando são iguais as velocidades escalares de P1 e P2;
d) os instantes em que os móveis mudam de sentido.
38. (PUC-SP) Duas partículas, A e B, movem-se numa mesma trajetória retilínea, de modo que
suas posições obedecem às equações:
2
sA = 10 + 4t e sB = 2t
em que sA e sB são medidos em metros e t em segundos. Pode-se afirmar que:
a) o movimento de A é acelerado.
b) o movimento de B é uniforme.
2
c) a aceleração de A é de 4 m/s .
2
d) a aceleração de B é de 4 m/s .
e) os móveis estarão juntos no instante t = 2 s.
39. (ITA-SP) Um passageiro atrasado está correndo com velocidade escalar constante de 8,0
m/s, 30 m atrás do último vagão de um trem, no instante em que este começa a se movimentar
2
com uma aceleração escalar constante de 1,0 m/s . Pode-se afirmar que:
a) a velocidade do passageiro é insuficiente para alcançar o trem.
b) o passageiro alcança o trem após 4,3 s.
c) o passageiro alcança o trem após 6,0 s.
d) o passageiro alcança o trem após 4,0 s.
e) o passageiro alcança o trem após 5,0 s.
40. (Fuvest-SP) Um móvel percorre uma trajetória retilínea, segundo a função horária:
2
s = 3t + 8t
Sua posição s medida em metros e o tempo t em segundos.
a) Qual o tipo de movimento?
b) Calcule a velocidade escalar do móvel no instante t.
41. (FEI-SP) Um móvel parte de um certo ponto com movimento que obedece à lei horária: s =
2
4t , em que s é a posição do móvel, em metros, e t é o tempo, em segundos. Um segundo
depois parte um outro móvel do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme e
seguindo a mesma trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a
fim de encontrar o primeiro?
42. (ITA-SP) Uma partícula, partindo do repouso, percorre o intervalo de tempo t, uma distância
D. Nos intervalos de tempo seguintes, todos iguais a t, as respectivas distância percorridas são
iguais a 3D, 5D, 7D, etc. A respeito desse movimento pode-se afirmar que:
a) a distância percorrida pela partícula desde o ponto em que inicia seu movimento cresce
exponencialmente com o tempo.
b) a velocidade escalar da partícula cresce exponencialmente com o tempo.
c) a distância percorrida pela partícula desde o ponto que inicia seu movimento é diretamente
proporcional ao tempo de movimento elevado ao quadrado.
d) a velocidade escalar da partícula é diretamente proporcional ao tempo de movimento
elevado ao quadrado.
e) nenhuma das opções acima está correta.
43. (FCC-SP) Dois móveis , A e B, movimentam-se ao longo do eixo x obedecendo às
seguintes funções horárias:
2
xA = 100 + 5t e xB = 5t
em que xA e xB são medidos em metros e t em segundos.
Pode-se afirmar que:
a) A e B possuem a mesma velocidade.
b) A e B possuem a mesma aceleração.
c) o movimento de B é uniforme e o de A é acelerado.
d) entre t = 0 e t = 2 s ambos percorrem a mesma distância.
2
e) a aceleração de A é nula e a de B tem intensidade igual a 10 m/s .
44. (UFRO) O movimento de uma partícula se faz segundo a equação horária do espaço:
2
s = 2t − 5t + 10 (SI)
Assinale a alternativa correta.
2
a) A aceleração escalar da partícula é 2 m/s .
b) A velocidade escalar inicial da partícula é 5 m/s.
c) A posição inicial da partícula é 10 m.
d) A velocidade escalar inicial da partícula é − 10 m/s.
e) A posição inicial da partícula é 2 m.
01: e
- Calculando temos:
2
∆s = v0t + at /2
2
∆s = 10∙6 + 1∙6 /2
∆s = 60 + 18
∆s = 78 m
02: d
- Calculando a aceleração temos:
a = ∆v/∆t
a = 2,4/3
2
a = 0,8 m/s
- Calculando temos
2
∆s = v0t + at /2
2
∆s = 12∙5 + 0,8∙5 /2
∆s = 60 + 0,4∙25
∆s = 70 m
03:
a) Calculando a velocidade escalar temos:
a = ∆v/∆t
a = 30/15
(108 km/h = 30 m/s)
2
a = 2 m/s
b) Calculando a distância temos:
2
∆s = v0t + at /2
2
∆s = 0∙10 + 2∙10 /2
∆s = 100 m
c) O tempo que um carro popular gasta para atingir a velocidade necessária é 15 s, portanto,
calculando par esse tempo temos:
2
∆s = v0t + at /2
2
∆s = 0∙15 + 2∙15 /2
∆s = 225 m
04:
a) Escrevemos a função horária do espaço para o movimento da traseira do carro:
2
sA = s0 + v0t + at /2
2
sA = 0 + 22t + 4∙t /2
(referencial na traseira do carro:s0 = 0)
2
sA = 22t + 2t
- Escrevemos a função horária do espaço para o movimento da frente do caminhão:
sB = s0 + v0t
sB = 32 + 10t
(frente do caminhão:s0 = 28 + 4)
- O encontro se dá quando a traseira do carro encontra a frente do caminhão:
sA = sB
2
22t + 2t = 32 + 10t
2
2t + 22t − 10t − 32 = 0
2
2t + 12t − 32 = 0 (simplificando por 2)
2
t + 6t − 16 = 0
2
∆ = b − 4ac
2
∆ = 6 − 4∙1∙(−16)
∆ = 36 + 64
∆ = 100
t' = (− 6 + 10)/2
t' = 2 s
t'' = (− 6 −10)/2
t'' = − 8 s (não temos tempo negativo)
b) Calculando a distância temos:
2
sA = 22t + 2t
2
sA = 22∙2 + 2∙2
sA = 44 + 8
sA = 52 m
- O carro andará 52 m para ultrapassar o caminhão, mas no início do problema a frente
do caminhão estava 32 m à frente dele, ou seja, a ponte estava a 82 m do carro, portanto,
o carro ultrapassará o caminhão antes de chegar à ponte.
05: a
2
- Aplicando a função horária do espaço para o MUV quando s 0 = 10 m, v0 = 5 m/s e a = 4 m/s ,
temos:
2
s = s0 + v0t + at /2
2
s = 10 + 5t + 4t /2
2
s = 10 + 5t + 2t
06: d
- Como a velocidade varia uniformemente de 3 em 3 m/s a cada segundo é um movimento
2
uniformemente variado com aceleração 3 m/s e diminuindo 3 m/s no valor da velocidade de 5
m/s (no tempo 1 s) temos que sua velocidade inicial vale 2m/s.
07: a
- Como o veículo parte do repouso (v0 = 0) temos:
v = v0 + at
v = 0 + 2∙3
v = 6 m/s
2
∆s = v0t + at /2
2
∆s = 0∙3 + 2∙3 /2
∆s = 9 m
08: b
- Calculando a aceleração temos:
2
∆s = v0t + at /2
2
25 = 0∙5,0 + a∙(5,0) /2
2
a = 2,0 m/s
- Calculando a velocidade final temos:
v = v0 + at
v = 0 + 2,0∙5,0
v = 10 m/s
09: b
- Calculando o tempo gasto temos:
v = v0 + at
30 = 10 + 2t
2t = 20
t = 10 s
- Calculando a distância percorrida:
2
∆s = v0t + at /2
2
d = 10∙10 + 2∙10 /2
d = 100 + 100
d = 200 m
10: e
- Como o caminhão possui velocidade uniforme de 10 m/s, ele percorrerá 50 m nos 5 s citados.
Como a distância entre o caminhão e o carro é de 75 m, o carro está na posição 25 m à frente
do semáforo, então, temos:
2
∆s = v0t + at /2
2
25 = 0∙5 + a∙5 /2
a = 50/25
2
a = 2 m/s
11: a
- Temos que v0 = 20 m/s e sua velocidade final, em sentido oposto, vale v = − 30 m/s.
Calculando a aceleração temos:
a = ∆v/∆t
a = (v − v0)/10
a = (− 30 − 20)/10
a = − 50/10
2
a = − 5 m/s
- Calculando o tempo para o corpo parar (inversão do movimento) temos:
v = v0 + at
0 = 20 − 5t
5t = 20
t = 20/5
t=4s
12: d
- Escrevemos a função horária do espaço para o movimento do carro:
2
sA = s0 + v0t + at /2
2
sA = 0 + 0∙t + 2∙t /2
2
sA = t
- Escrevemos a função horária do espaço para o movimento do caminhão:
sB = s0 + v0t
sB = 10t
- O encontro se dá quando o carro encontra o caminhão:
sA = sB
2
t = 10t
2
t − 10t = 0
t(t −10) = 0
t = 0 ou t = 10 s
- A posição do encontro será:
2
sA = t
2
sA = 10
sA = 100 m
13: b
- Escrevemos a função horária do espaço para o movimento de M:
2
sM = s0 + v0t + at /2
2
sM = 0 + 0∙t + 6∙t /2
2
sM = 3t
- Escrevemos a função horária do espaço para o movimento de N:
2
sN = s0 + v0t + at /2
2
sN = 100 + 0∙t + 4∙t /2
2
sN = 100 + 2t
- O encontro se dá quando o espaço de M é igual ao espaço de N:
sM = sN
2
2
3t = 100 + 2t
2
t = 100
t = 10 s
14: b
- Calculando temos:
v = v0 + at
10 = 2,0 + a∙8,0
10 − 2,0 = 8,0a
8,0a = 8,0
2
a = 1,0 m/s
15: c
- Calculando a velocidade máxima atingida por este veículo nos 5 s iniciais de movimento
temos:
v = v0 + at
v = 0 + 1∙5
v = 5 m/s
- A velocidade máxima atingida pelo veículo na primeira parte do problema será a velocidade
inicial da outra parte:
v = v0 + at
0 = 5 + (−0,5)t
0,5t = 5
t = 5/0,5
t = 10 s
- Como foi de 5 s a duração da primeira parte e 10 s a duração da segunda parte,
portanto, gastou 15 s.
16:
a) Calculando a aceleração entre os instantes 1,2 e 2,0 s, temos:
v = v0 + at
0 = 4,0 + a∙0,8
− 4,0 = 0,8∙a
0,8∙a = − 4,0
a = − 4,0/0,8
2
a = − 5,0 m/s
b) Para todo o tempo temos:
v = v0 + at
0 = v0 + (−5,0∙2,0)
v0 = 10 m/s
17: e
- Tomando o espaço inicial como zero, no tempo t1 = 1 s o espaço do corpo era s1 = 9 m e no
tempo t2 = 2 s o espaço do corpo era s2 = 16 m, a soma de 9 + 7 = 16 m. montando um sistema
utilizando a função horária do espaço para os tempos t1 t2 temos:
PARA t1:
2
s1 = s0 + v0t1 + at1 /2
2
9 = 0 + v0∙1 + a∙1 /2 (multiplicando por 2)
18 = 2v0 + a
2v0 + a = 18 (I)
PARA t2:
2
s2 = s0 + v0t2 + at2 /2
2
16 = 0 + v0∙2 + a∙2 /2
16 = 2v0 + 2a
2v0 + 2a = 16
2(v0 + a) = 16
(v0 + a) = 16/2
v0 + a = 8 (II)
- Resolvendo o sistema de equações isolando a aceleração na equação (II) e substituindo na
(I) temos:
a = 8 − v0 (II)
2v0 + a = 18 (II)
2v0 + 8 − v0 = 18
v0 = 18 − 8
v0 = 10 m/s
- Voltando e substituindo este resultado na equação (II):
a = 8 − 10
2
a = − 2 m/s
- Para calcularmos a distância percorrida no sexto segundo, devemos calcular a distância entre
os tempos t5 = 5 s e t6 = 6 s, para isto vamos calcular o espaço para estes tempos:
2
s5 = s0 + v0t5 + at5 /2
2
s5 = 0 + 10∙5 + (− 2)∙5 /2
s5 = 50 − 25
s5 = 25 m
2
s6 = s0 + v0t6 + at6 /2
2
s6 = 0 + 10∙6 + (− 2)∙6 /2
s6 = 60 − 36
s6 = 24 m
- A distância percorrida pelo corpo no sexto segundo é:
d = s6 − s5
d = 24 − 25
d=1m
18: c
- Como 72 km/h = 20 m/s e 54 km/h = 15 m/s, temos:
v = v0 + at
15 = 20 + a∙2,5
15 − 20 = 2,5a
− 5,0 = 2,5a
2,5a = − 5,0
a = − 5,0/2,5
2
a = −2,0 m/s
19: d
- Como 360 km/h = 100 m/s, temos:
v = v0 + at
100 = 0 + a∙25
25a = 100
a = 100/25
2
a = 4,0 m/s
20:
a) Como 36 km/h = 10 m/s e 54 km/h = 15 m/s, temos:
v = v0 + at
15 = 10 + at (1º equação)
- Temos também:
2
∆s = v0t + at /2
2
100 = 10t + at /2 (2º equação)
- Isolando a aceleração na 1º equação, temos:
15 − 10 = at
5 = at
a = 5/t
- Substituindo na 2º equação:
2
100 = 10t + at /2
2
100 = 10t + (5/t)t /2
100 = 10t + 5t/2
100 = 25t/2
200 = 25t
25t = 200
t = 200/25
t=8s
b) Calculando a aceleração:
a = 5/t
2
a = (5/8) m/s
- Com a função horária do espaço com referencial em A e o tempo igual a 18 s ( 8 s para ir de
A para B mais os 10 s seguintes) temos:
2
s = s0 + v0t + at /2
2
s = 0 + 10∙18 + (5/8)∙18 /2
s = 180 + 0,625∙162
s = 180 + 101,25
s = 281,25 m
c) Calculando:
v = v0 + at
v = 10 + 0,625∙18
v = 21,25 m/s
21:
a) Como o móvel que partiu de B possui velocidade constante e demorou 10 s para chegar no
ponto médio de AB, ou seja, percorreu 25 m, temos:
vB = ∆s/∆t
vB = 25/10
vB = 2,5 m/s
b) Calculando a aceleração nos 10 s iniciais, temos:
2
∆s = v0t +at /2
2
25 = 0∙10 + a∙10 /2
a = 50/100
2
a = 0,5 m/s
- Aplicando para uma distância de 50 m, para que o corpo atinja o ponto B:
2
∆s = v0t +at /2
2
50 = 0∙t + 0,5t /2
2
200 = t
t = 10
s
- Calculando a velocidade final neste temo temos:
v = v0 + at
v = 0 + 0,5∙10
v=5
m/s
OBS: fica mais fácil resolver com a equação de Torricelli.
22:
- Construindo as equações do movimento para cada móvel temos:
MÓVEL A (MUV):
2
sA = s0A + v0At + at /2
2
sA = 0 + 0 + 0,50t /2
2
sA = 0,25t
MÓVEL B (MU):
sB = s0B + vt
sB = 0 + 5,0t
sB = 5,0t
a) A condição do encontro é:
sA = sB
2
0,25t = 5,0t (multiplicando por 4)
2
t − 20t = 0
- Resolvendo a equação incompleta do segundo grau temos:
t' = 0 (início do problema)
ou
t − 20 = 0
t = 20 s
b) Aplicando a derivada à função horária do espaço do ciclista temos:
vA = 0,5t
vA = 0,5∙20
vA = 10 m/s
23:
- Colocando o referencial no ciclista A (zero) o ciclista B terá espaço inicial 195 m e,
construindo a função horária para o movimento dos ciclistas temos:
CICLISTA A:
2
sA = s0A + v0At + aAt /2
2
sA = 0 + 1,5∙t + 0,20∙t /2
(5,4 km/h = 1,5 m/s)
2
sA = 1,5t + 0,10t
CICLISTA B:
2
sB = s0B + v0Bt + aBt /2
2
sB = 195 − 5,0∙t + 0,20∙t /2
2
sB = 195 − 5,0t + 0,10t
(18 km/h = 5,0 m/s)
- A condição para o encontro é:
sA = sB
2
2
1,5t + 0,10t = 195 − 5,0t + 0,10t
2
2
1,5t + 0,10t − 195 + 5,0t − 0,10t = 0
6,5t − 195 = 0
6,5t = 195
t = 195/6,5
t = 30 s
24: b
- Calculando a aceleração escalar temos:
a = ∆v/∆t
a = (30 - 10)/(15 - 5,0)
a = 20/10
2
a = 2 m/s
- Calculando a velocidade inicial temos:
v = v0 + at
30 = v0 + 2∙15
v0 = 0
- Calculando a velocidade para t = 20 s:
v = v0 + at
v = 0 + 2∙20
v = 40 m/s
25: b
- Comparando com a função horária do espaço:
2
s = s0 + v0t + (a/2)t
2
s = 3 + 5t + 1t
v0 = 5 m/s
e
(a/2) = 1
2
a = 2 m/s
26: d
- Calculado temos:
2
∆sAB = v0t + at /2
2
∆sAB = 4∙40 + 3∙40 /2
∆sAB = 160 + 3∙1.600/2
∆sAB = 160 + 3∙800
∆sAB = 160 + 2.400
∆sAB = 2.560 m
27: b
- Como 54 km/h = 15 m/s e 72 km/h = 20 m/s, calculamos a aceleração:
a = ∆v/∆t
a = (20 − 15)/10
a = 5/10
2
a = 0,5 m/s
- Calculando o comprimento temos:
2
∆s = v0t + at /2
2
∆s = 15∙10 + 0,5∙10 /2
∆s = 150 + 25
∆s = 175 m
28: b
- Comparando com a função horária do espaço:
2
s = s0 + v0t + (a/2)t
2
s = 12 − 2t + 4t
- Temos:
v0 = − 2 m/s
e
a/2 = 4
2
a = 8 m/s
- Construindo a função horária da velocidade para o movimento do móvel:
v = v0 + at
v = − 2 + 8t
v = 8t − 2
29: e
- Comparando com a função horária do espaço:
2
s = s0 + v0t + (a/2)t
2
s = 10 + 10t − 5,0t
- Temos:
v0 = 10 m/s
e
a/2 = − 5,0
2
a = − 10 m/s
- Construindo a função horária da velocidade para o movimento do móvel:
v = v0 + at
v = 10 − 10t
- Para t = 4,0 s temos:
v = 10 − 10∙4,0
v = 10 − 40
v = − 30 m/s
30: a
- Calculando os espaços para os tempos:
t1 = 0:
2
s1 = 400 − 20∙0 − 4∙0
s1 = 400 m
t2 = 5 s:
2
s2 = 400 − 20∙5 − 4∙5
s2 = 400 − 100 − 100
s2 = 200 m
- Calculando a velocidade média:
v = ∆s/∆t
v = (s2 − s1)/(t2 − t1)
v = (200 − 400)/(5 − 0)
v = − 200/5
v = − 40 m/s
31: d
- A condição para o retorno é v = 0:
v = 3,0 − 0,60t
0 = 3,0 − 0,60t
0,60t = 3,0
t = 3,0/0,60
t = 5,0 s
- O retorno se dá em 5,0 s; calculando o espaço temos:
2
s = s0 + v0t + at /2
2
s = 0 + 3,0∙5,0 + (− 0,60)∙5,0 /2
s = 15 − 7,5
s = 7,5 m
32: a
- Calculando a aceleração temos:
a = ∆v/∆t
a = (8,0 − 20)/6,0
a = − 12/6,0
2
a = − 2,0 m/s
- Calculando o tempo para parar:
v = v0 + at
v = 20 − 2,0t
0 = 20 − 2,0t
2,0t = 20
t = 20/2,0
t = 10 s
- Calculando a distância percorrida até parar:
2
∆s = v0t + at /2
2
d = 20∙10 + (− 2,0)∙10 /2
d = 200 − 100
d = 100 m
33: c
- Construindo a função horária do espaço para os trens a partir do momento em que o trem B
começa a frear:
TREM A (MU):
sA = s0A + vAt
sA = 3 + 80t
TREM B (MUV):
2
sB = s0B + v0Bt + aBt /2
2
sB = 0 + 100t − 50t /2
2
sB = 100t − 25t
- A condição do encontro é:
sA = sB
2
3 + 80t = 100t − 25t
2
25t + 80t − 100t + 3 = 0
2
25t − 20t + 3 = 0
2
∆ = b − 4ac
2
∆ = (− 20) − 4∙25∙3
∆ = 400 − 300
∆ = 100
t = [−(− 20) ± 10]/50
t = (20 ± 10)/50
t' = 30/50
t' = 0,6 h
t'' = 10/50
t'' = 0,2 h
- O tempo para os trens colidirem é o menor dos tempos acima 0,2 h, ou 12 min.
34: e
- Construindo a função horária do espaço para os trens a partir do momento em que o trem B
começa a frear:
CAMINHÃO (MU):
sA = s0A + vAt
sA = 0 + 10t
sA = 10t
CARRO (MUV):
2
sB = s0B + v0Bt + aBt /2
2
sB = 0 + 0∙t + 2,0t /2
2
sB = t
- A condição do encontro é:
sA = sB
2
10t = t
2
0 = t − 10t
2
t − 10t = 0
t(t − 10) = 0
t = 0 (início do problema)
ou
t − 10 = 0
t = 10 s (instante em que o carro alcança o caminhão)
- Calculando a posição do encontro:
sA = 10t
sA = 10∙10
sA = 100 m
35: e
- Quando o móvel B estiver 50 m à frente do móvel A, temos:
sA + 50 = sB
2
50 + 20t + 50 = 3t
2
0 = 3t − 20t − 100
2
3t − 20t − 100 = 0
2
∆ = b − 4ac
2
∆ = (− 20) − 4∙3∙(− 100)
∆ = 400 + 1.200
∆ = 1.600
t = [−(− 20) ± 40]/6
t = (20 ± 40)/6
t' = 10 s
t" = − 20/6
t" = − 3,3 s (não existe tempo negativo)
36:
- A condição para o encontro é:
x1 = x2
3
2
30t = 1,0∙10 + 0,2t (multiplicando por 5)
2
150t = 5.000 + 1,0t
2
0 = 1,0t − 150t + 5.000
2
1,0t − 150t + 5.000 = 0
2
∆ = b − 4ac
2
∆ = (− 150) − 4∙1,0∙5.000
∆ = 22.500 − 20.000
∆ = 2.500
t = [−(− 150) ± 50]/2,0
t = (150 ± 50)/2,0
- Calculando t e t':
t = (150 + 50)/2,0
t = 200/2,0
t = 100 s
t' = (150 − 50)/2,0
t' = 100/2,0
t' = 50 s
- Elaborando uma tabela temos:
t(s)
x1(m)
0
0
25
750
50
1.500
75
2.250
100
3.000
x2(m)
1.000
1.125
1.500
2.125
3.000
- Construindo o gráfico com os dados acima:
37:
a) O instante de encontro será:
s1 = s2
2
2
− 10t + 5t = 30 + 5t − 10t
2
2
5t + 10t − 5t −10t − 30 = 0
2
15t − 15t − 30 = 0 (dividindo por 15)
2
t −t−2=0
o
- Calculando a equação do 2 grau, temos:
2
∆ = b − 4ac
2
∆ = (−1) − 4∙1(−2)
∆ = 1+ 8
∆=9
t = [−(−1) ± 3]/2∙1
t = (1 ± 3)/2
t' = (1 + 3)/2
t' = 2 s
t" = (1 − 3)/2
t" = −1 s (não existe tempo negativo)
- A posição de encontro será:
2
s1 = − 10t + 5t
2
s1 = − 10∙2 + 5∙(2)
s1 = − 20 + 20
s1 = 0
b) Aplicando a derivada para acharmos as velocidades temos:
MÓVEL 1:
v1 = − 10 + 10t (para t = 2 s)
v1 = − 10 + 10∙2
v1 = 10 m/s
MÓVEL 2:
v2 = 5 − 20t (para t = 2 s)
v2 = 5 − 20∙2
v2 = − 35 m/s
- Aplicando a derivada nas funções horárias da velocidade acima encontramos as acelerações:
MÓVEL 1:
2
a1 = 10 m/s
MÓVEL 2:
2
a2 = − 20 m/s
c) A igualdade se dá quando:
v1 = v2
− 10 + 10t = 5 − 20t
10t + 20t = 5 + 10
30t = 15
t = 15/30
t = 0,5 s
d) A mudança de sentido ocorre quando a velocidade vale zero:
MÓVEL 1:
v1 = − 10 + 10t
0 = − 10 + 10t
10 = 10t
10t = 10
t = 10/10
t=1s
MÓVEL 2:
v2 = 5 − 20t
0 = 5 − 20t
20t = 5
t = 5/20
t = 0,25 s
38: d
- O movimento de A é uniforme com espaço inicial de 10 m e velocidade escalar 4 m/s e, o
movimento de B é uniformemente variado com espaço inicial zero, velocidade inicial zero e
2
aceleração 4 m/s .
39: c
- Construindo a função horária do espaço para o momento da pessoa (A) e do trem (B):
PESSOA (MU):
sA = s0A + vAt
sA = 0 + 8,0t
sA = 8,0t
TREM (MUV):
2
sB = s0B + v0Bt + aBt /2
2
sB = 30 + 0∙t + 1,0t /2
2
sB = 30 + 0,5t
- A condição do encontro é:
sA = sB
2
8,0t = 30 + 0,5t
2
0 = 0,5t − 8,0t + 30 (multiplicando por 2)
2
0 = 1,0t − 16t + 60
2
1,0t − 16t + 60 = 0
2
∆ = b − 4ac
2
∆ = (− 16) − 4∙1,0∙60
∆ = 256 − 240
∆ = 16
t = [−(− 16) ± 4]/2,0
t = (16 ± 4)/2,0
t' = (16 + 4)/2,0
t' = 20/2,0
t' = 10 s
t" = (16 − 4)/2,0
t" = 12/2,0
t" = 6,0 s
- O passageiro alcança o trem no menor tempo acima: 6,0 s.
40:
a) Como a equação é do segundo grau o movimento é uniformemente variado.
b) Comparando com a função horária do espaço:
2
s = s0 + v0t + (a/2)t
2
s=
+ 3t + 8t
- Temos:
v0 = 3 m/s
e
a/2 = 8
2
a = 16 m/s
- A velocidade no tempo t é:
v = v0 + at
v = 3 + 16t
41:
- Para o segundo móvel ter a menor velocidade possível que alcance o primeiro, na hora em
que o segundo alcançar o primeiro, este avança e deixa o segundo para trás novamente, isto
só ocorre quando, no momento do encontro, os dois possuírem a mesma velocidade.
Calculando a função horária dos espaços para os móveis:
PRIMEIRO (MUV):
2
s1 = 4t
v1 = 8t (derivando)
SEGUNDO (MU):
s2 = s0 + v2t' (onde t' = t − 1, começou 1 s depois)
s2 = 0 + v2t'
s2 = v2(t − 1)
s2 = v2t − v2
- Para ocorrer o encontro temos:
s1 = s2
2
4t = v2t − v2
- E a condição para a menor velocidade é v2 = v1, substituindo acima temos :
2
4t = v1t − v1
- Como v1 = 8t, temos:
2
4t = 8t∙t − 8t
2
2
4t = 8t − 8t
2
2
0 = 8t − 4t − 8t
2
0 = 4t − 8t
2
4t − 8t = 0 (dividindo por 4)
2
t − 2t = 0
t(t − 2) = 0
t=0
ou
t−2=0
t=2s
- A menor velocidade será então:
v2 = v1 (no instante do encontro)
v2 = 8t
v2 = 8∙2
v2 = 16 m/s
42: c
2
- Essas distâncias são típicas de um MUV, onde D = a/2, então s = at /2, diretamente
proporcional ao tempo de movimento ao quadrado.
43: e
- O movimento de A é uniforme com aceleração nula e velocidade escalar 5 m/s e o de B é
2
MUV com aceleração 10 m/s e velocidade inicial nula.
44: c
2
- Esta partícula possui a = 4 m/s , v0 = − 5 m/s e s0 = 10 m.
MUV - equação de Torricelli
01.(Vunesp-SP) Um veículo está rodando à velocidade de 36 km/h numa estrada reta e
horizontal, quando o motorista aciona o freio. Supondo que a velocidade do veículo se reduz
uniformemente à razão de 4 m/s em cada segundo a partir do momento em que o freio foi
acionado, determine:
a) o tempo decorrido entre o instante do acionamento do freio e o instante em que o veículo
pára;
b) a distância percorrida pelo veículo nesse intervalo de tempo.
02. (Fuvest-SP) Um veículo parte do repouso, em movimento retilíneo e acelera à razão
2
constante de 2 m/s . Pode-se dizer que sua velocidade e a distância percorrida, após 3 s,
valem, respectivamente:
a) 6 m/s e 9 m
b) 6 m/s e 18 m
c) 3 m/s e 12 m
d) 12 m/s e 36 m
e) 2 m/s e 12 m
03. (UFPA-PA) Ao sair de uma curva a 72 km/h, um motorista se surpreende com uma
lombada eletrônica a sua frente. No momento em que aciona os freios, está a 100 m da
2
lombada. Considerando-se que o carro desacelera a – 1,5 m/s , a velocidade escalar indicada,
no exato momento em que o motorista cruza a lombada, em km/h, é:
a) 10
b) 24
c) 36
d) 40
e) 50
04. (Vunesp-SP) Um motorista, dirigindo seu veículo à velocidade escalar constante de 72
km/h, numa avenida retilínea, vê a luz vermelha do semáforo acender quando está a 35 m do
cruzamento. Suponha que entre o instante em que ele vê a luz vermelha e o instante em que
aciona os freios decorra um intervalo de tempo de 0,50 s. Admitindo-se que a aceleração
2
escalar produzida pelos freios seja constante, qual o módulo dessa aceleração, em m/s , para
que o carro pare exatamente no cruzamento?
a) 2,0
b) 4,0
c) 6,0
d) 8,0
e) 10
05. (Mackenzie-SP) Um trem de 120 m de comprimento se desloca com velocidade escalar de
20 m/s. Esse trem, ao iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo
completamente da mesma 10 s após com velocidade escalar de 10 m/s. O comprimento da
ponte é:
a) 150 m
b) 120 m
c) 90 m
d) 60 m
e) 30 m
06. (PUC-Campinas-SP) Um automóvel parte do repouso no instante t = 0 e acelera
2
uniformemente com 5,0 m/s , durante 10 s. A velocidade escalar média do automóvel entre os
instantes t = 6,0 s e t = 10 s, em m/s, foi de:
a) 40
b) 35
c) 30
d) 25
e) 20
07. (UFSE) Um veículo, partindo do repouso, move-se em linha reta com aceleração constante
2
a = 2 m/s . A distância percorrida pelo veículo após 10 s é de:
a) 200 m
b) 100 m
c) 50 m
d) 20 m
e) 10 m
08. (Cesgranrio-RJ) Um automóvel, partindo do repouso, leva 5,0 s para percorrer 25 m, em
movimento uniformemente variado. A velocidade final do automóvel é de:
a) 5,0 m/s
b) 10 m/s
c) 15 m/s
d) 20 m/s
e) 25 m/s
09. (FEI-SP) Uma motocicleta, com velocidade escalar de 72 km/h tem seus freios acionados
bruscamente e pára após 20 s. Admita que, durante a freada, a aceleração escalar se manteve
constante.
a) Qual o módulo da aceleração escalar que os freios proporcionaram à motocicleta?
b) Qual a distância percorrida pela motocicleta desde o instante em que foram acionados os
freios até a parada total da mesma?
10. (Mackenzie-SP) Analisando o movimento de um corpúsculo, com aceleração constante em
trajetória retilínea, um estudante verifica que, nos instantes 10 s e 30 s, contados do início do
movimento, as velocidades escalares desse corpúsculo são, respectivamente, iguais a 15 m/s
e 25 m/s. Com esses dados, o estudante deduz que a distância percorrida pelo corpúsculo
entre esses dois instantes é:
a) 200 m
b) 250 m
c) 350 m
d) 400 m
e) 450 m
11. (Vunesp-SP) Um jovem afoito parte com seu carro do repouso, numa avenida horizontal e
2
retilínea, com aceleração escalar constante de 3,0 m/s . Mas, 10 segundos depois da partida,
ele percebe a presença de fiscalização logo adiante. Nesse instante, ele freia, parando junto ao
posto onde se encontram os guardas.
a) Se a velocidade escalar máxima permitida nessa avenida é 80 km/h, ele deve ser multado?
Justifique.
b) Se a freada durou 5,0 s, com aceleração escalar constante, qual a distância total percorrida
pelo jovem, desde o ponto de partida até o posto de fiscalização?
12. (UFES) O projeto de expansão do Aeroporto de Vitória prevê a construção de uma nova
pista. Considere-se que essa pista foi projetada para que o módulo máximo da aceleração das
2
aeronaves, em qualquer aterrissagem, seja 20% da aceleração da gravidade g = 10 m/s .
Supondo-se que uma aeronave comercial típica toque o início da pista com uma velocidade
horizontal de 360 km/h, o comprimento mínimo da pista será de:
a) 1,3 km
b) 2,1 km
c) 2,5 km
d) 3,3 km
e) 5,0 km
13. (Mackenzie-SP) Um trem de 100 m de comprimento, com velocidade escalar de 30 m/s,
2
começa a frear com aceleração escalar constante de módulo 2,0 m/s , no instante em que
inicia a ultrapassagem de um túnel. Esse trem pára no momento em que seu último vagão está
saindo do túnel. O comprimento do túnel é:
a) 25 m
b) 50 m
c) 75 m
d) 100 m
e) 125 m
14. (UFRGS-RS) Um móvel, partindo do repouso, desce um plano inclinado com aceleração
constante. Sabendo-se que esse móvel percorre 2 cm nos primeiros 2 s, qual será a distância
por ele percorrida nos quatro primeiros segundos?
a) 4 cm
b) 6 cm
c) 8 cm
d) 12 cm
e) 16 cm
15. (UFSCar-SP) Uma partícula se move em uma reta com aceleração constante. Sabe-se que
no intervalo de tempo de 10 s, ela passa duas vezes pelo mesmo ponto dessa reta, com
velocidades de mesmo módulo, │v│ = 4,0 m/s, em sentidos opostos. O módulo do
deslocamento e o espaço percorrido pela partícula, nesse intervalo de tempo, são
respectivamente:
a) 0,0 m e 10 m
b) 0,0 m e 20 m
c) 10 m e 5,0 m
d) 10 m e 10 m
e) 20 m e 20 m
16. (Mackenzie-SP) Em uma pista retilínea, um atleta A com velocidade escalar constante de
4,0 m/s passa por outro B, que se encontra parado. Após 6,0 s desse instante, o atleta B parte
em perseguição ao atleta A, com aceleração constante, e o alcança em 4,0 s. A aceleração do
corredor B tem o valor de:
2
a) 5,0 m/s
2
b) 4,0 m/s
2
c) 3,5 m/s
2
d) 3,0 m/s
2
e) 2,5 m/s
17. (Vunesp-SP) Uma norma de segurança sugerida pela concessionária de uma auto-estrada
recomenda que os motoristas que nela trafegam mantenham seus veículos separados por uma
“distância” de 2,0 segundos.
a) Qual é essa distância, expressa adequadamente em metros, para veículos que percorrem a
estrada com velocidade constante de módulo 90 km/h?
b) Suponha que, nessas condições, um motorista freia bruscamente seu veículo até parar, com
2
aceleração constante de 5,0 m/s , e o motorista de trás só reaja, freando seu veículo, depois de
0,50 s. Qual deve ser o módulo da aceleração mínima do veículo de trás para não colidir com o
da frente?
18. (ITA-SP) Um automóvel com velocidade escalar de 90 km/h passa por um guarda num local
em que a velocidade escalar máxima é de 60 km/h. O guarda começa a perseguir o infrator
com a sua motocicleta, mantendo aceleração escalar constante, até que atinge 108 km/h em
10 s e continua com essa velocidade escalar até alcançá-lo, quando lhe faz sinal para parar. O
automóvel e a moto descrevem trajetórias retilíneas paralelas. Pode-se afirmar que:
a) o guarda levou 15 s para alcançar o carro.
b) o guarda levou 60 s para alcançar o carro.
c) a velocidade escalar do guarda, ao alcançar o carro, era de 25 m/s.
d) o guarda percorreu 750 m desde que saiu em perseguição até alcançar o motorista infrator.
e) o guarda não consegue alcançar o infrator.
19. (Mackenzie-SP) Um corpo é acelerado uniformemente a partir do repouso e, num dado
instante, adquire velocidade constante. A velocidade escalar média do corpo na etapa
acelerada foi de 36 km/h. O espaço percorrido na segunda etapa, num intervalo de 1,0
minutos, foi:
a) 0,30 km
b) 0,60 km
c) 1,2 km
d) 1,8 km
e) 2,4 km
20. (Fatec-SP) Em um teste para uma revista especializada, um automóvel acelera de 0 a 90
km/h em um intervalo de tempo de 10 s. Suponha que a aceleração escalar do carro, neste
teste, seja constante. Nesses 10 s, o automóvel percorreu:
a) 900 km
b) 450 km
c) 450 m
d) 250 m
e) 125 m
21. (Inatel-MG) Um veículo desloca-se com velocidade de 10 m/s quando observa que uma
criança entre na pista, 25 m à frente. Se o motorista pisa no freio, imediatamente, imprimindo
2
ao veículo uma desaceleração constante de 5 m/s , ele irá parar:
a) após atropelar a criança.
b) 2 m antes da criança.
c) 5 m antes da criança.
d) 10 m antes da criança.
e) 15 m antes da criança.
22. (Fuvest-SP) Um carro viaja com velocidade escalar de 90 km/h (ou seja, 25 m/s) num
trecho retilíneo de uma rodovia quando, subitamente, o motorista vê um animal parado na sua
pista. Entre o instante em que o motorista avista o animal e aquele em que começa a frear, o
2
carro percorre 15 m. Se o motorista frear o carro à taxa constante de 5,0 m/s , mantendo-o em
sua trajetória retilínea, ele só evitará atingir o animal, que permanece imóvel durante todo o
tempo, se o tiver percebido a uma distância de, no mínimo,
a) 15 m
b) 31,25 m
c) 52,5 m
d) 77,5 m
e) 125 m
23. (UFES) Um objeto A encontra-se parado, quando por ele passa um objeto B, com
velocidade constante de módulo igual a 8,0 m/s.
No instante da ultrapassagem imprime-se ao objeto A uma aceleração constante, na mesma
direção e sentido da velocidade de B.
Os objetos A e B descrevem uma mesma trajetória retilínea.
O módulo da velocidade do objeto A, no instante em que ele alcança o objeto B, vale:
a) 4,0 m/s
b) 8,0 m/s
c) 16 m/s
d) 32 m/s
e) 64 m/s
24. (UEL-PR) Certo trem começa a ser observado quando sua velocidade é de 30 m/s e ele
mantém essa velocidade durante 15 s; logo após, ele freia com aceleração constante de
2
módulo 0,50 m/s até para numa estação. O trem começou a ser observado quando estava
distando da estação:
a) 450 m
b) 900 m
c) 1.350 m
d) 1.850 m
e) 2.250 m
25. (AFA) Em uma decolagem, um Tucano (aeronave T-27) percorre 500 m na pista, atingindo
a velocidade escalar de 144 km/h, com aceleração escalar constante.
Quanto tempo durou a decolagem?
a) 10 s
b) 15 s
c) 20 s
d) 25 s
e) 30 s
26. (PUC-Campinas-SP) Um corpo escorrega, em movimento uniformemente variado, por um
plano inclinado perfeitamente liso, partindo do repouso de um ponto 0. Ele atinge a velocidade
escalar de 4,0 m/s após percorrer 4,0 m. Ao passar por um ponto intermediário, a 1,0 m de 0,
sua velocidade escalar é,
a) 0,50
b) 1,0
c) 1,5
d) 2,0
e) 3,0
27. (UEMA) Um trem, viajando a uma velocidade escalar de 54 km/h, pára em um intervalo de
tempo de 1,0 min após a aplicação dos freios. Considere o movimento do trem, durante a
freada, uniformemente retardado.
Calcule, durante a freada:
a) a aceleração escalar do trem;
b) a distância percorrida pelo trem durante a frenagem.
28. (Mackenzie-SP) Um carro parte do repouso de um ponto A com uma aceleração constante
2
em módulo igual a 10 m/s . Quando sua velocidade atinge o valor de 20 km/h passa a se
mover com movimento uniforme durante um intervalo de tempo igual 15 minutos. No fim desse
tempo aplicam-se os freios constantemente e o carro pára num ponto B, distante 15 m do
ponto onde foi iniciado o movimento retardado. Determine a distância entre os pontos A e B.
29. (Mackenzie-SP) Uma partícula inicialmente em repouso passa a ser acelerada
2
constantemente à razão de 3,0 m/s no sentido da trajetória. Após ter percorrido 24 m, sua
velocidade é:
a) 3,0 m/s
b) 8,0 m/s
c) 12,0 m/s
d) 72,0 m/s
e) 144 m/s
30. (UFRN) Um trem corre a uma velocidade de 20 m/s quando o maquinista vê um obstáculo
50 m à sua frente. A desaceleração mínima que deve ser dada ao trem para que não haja
choque será de:
2
a) 4 m/s
2
b) 2 m/s
2
c) 1 m/s
2
d) 0,5 m/s
e) zero
31. (Osec-SP) Um móvel percorre uma trajetória retilínea, em relação a uma dado sistema de
referência, com movimento uniformemente variado. Ao passar pelo ponto A, sua velocidade é
de 2 m/s e, no ponto B, sua velocidade é de 6 m/s. Sabendo-se que a distância BC é o dobro
de AB, a velocidade do móvel no ponto C, em m/s, é:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 16
e) não pode ser calculada
32. (PUC-SP) A velocidade de um carro é, no instante em que o motorista nota que o sinal
fechou, 72 km/h. O tempo de reação do motorista é de 0,7 s (tempo de reação, tempo
decorrido entre o instante em que o motorista vê o sinal fechar até aquele em que aplica os
2
freios) e os freios aplicam ao carro um retardamento uniforme de 5 m/s . A distância percorrida
pelo carro, do instante em que o motorista nota que o sinal fechou até parar, é:
a) 54 m
b) 20 m
c) 14 m
d) 10 m
e) 44 m
33. (Cesgranrio-RJ) A figura reproduz a fotografia estroboscópica do movimento de uma
bolinha, que desce com aceleração constante, ao longo de um plano inclinado com atrito
desprezível, a partir do repouso.
Qual era o módulo da velocidade da bolinha no instante t = 0,25 s?
34. (Mackenzie-SP) Uma partícula, a partir do repouso, descreve um movimento retilíneo
uniformemente variado e, em 10 s, percorre metade do espaço total previsto. A segunda
metade desse espaço será percorrida em, aproximadamente:
a) 2,0 s
b) 4,0 s
c) 5,8 s
d) 10 s
e) 14 s
01:
2
a) Como 36 km/h = 10 m/s e a aceleração é a = − 4 m/s (negativa, pois está freiando),
podemos calcular o tempo:
v = v0 + at
0 = 10 + (− 4)t
4t = 10
t = 10/4
t = 2,5 s
b) Utilizando a equação de Torricelli temos:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
0 = 10 + 2(− 4)∆s
0 = 100 − 8∆s
8∆s = 100
∆s = 100/8
∆s = 12,5 m
02: a
- Calculando a velocidade final temos:
v = v0 + at
v = 0 + 2∙3
v = 6 m/s
- Utilizando a equação de Torricelli temos:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
6 = 0 + 2∙2∙∆s
4∆s = 36
∆s = 36/4
∆s = 9 m
03: c
- Utilizando o Sistema Internacional de Medidas, 72km/h = 20 m/s, então, aplicando equação
de Torricelli temos:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
v = 20 + 2∙(−1,5)∙100
2
v = 400 − 300
2
v = 100
v = 10 m/s
- Transformando em km/h temos 10 m/s = 36 km/h
04: d
- Com uma velocidade de 72 km/h = 20 m/s, ele demora 0,5 s para acionar os freios
deslocando uma distância, em MU, de:
v = ∆s/∆t
20 = ∆s/0,5
∆s = 10 m
- Como estava a 35 m do semáforo, agora, está a 25 m, quando o freio começa a funcionar e o
movimento a partir daí é MUV. Aplicando a equação de Torricelli temos:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
0 = 20 + 2∙a∙25
0 = 400 + 50a
− 50a = 400
a = 400/(− 50)
2
a = − 8,0 m/s
- Em módulo temos:
2
│a│ = 8,0 m/s
05: e
- A desaceleração do trem foi:
v = v0 + at
10 = 20 + a∙10
10 − 20 = 10a
10a = − 10
a = − 10/10
2
a = − 1 m/s
- Utilizando os dados acima na equação de Torricelli temos:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
10 = 20 + 2∙(− 1)∙∆s
100 = 400 − 2∆s
2∆s = 400 − 100
2∆s = 300
∆s = 300/2
∆s = 150 m
- Como um trem para passar totalmente uma ponte ele deve deslocar o comprimento total (P)
da ponto mais o seu comprimento (T), então, temos:
P + T = ∆s
P + 120 = 150
P = 150 − 120
P = 30 m
06: a
- Calculando a velocidade no instante t = 6 s temos:
v = v0 + at
v = 0 + 5,0∙6,0
v = 30 m/s
- Calculando a velocidade no instante t = 10 s temos:
v = v0 + at
v = 0 + 5,0∙10
v = 50 m/s
- A velocidade média entre dois instantes no MUV é a média das velocidades entre estes
instantes:
vm = (30 + 50)/2
vm = 80/2
vm = 40 m/s
07: b
- Calculando temos:
2
∆s = v0t + at /2
2
∆s = 0∙10 + 2∙10 /2
∆s = 0 + 200/2
∆s = 100 m
08: b
- Calculando a aceleração temos:
2
∆s = v0t + at /2
2
25 = 0∙5,0 + a(5,0) /2
50 = 25a
a = 50/25
2
a = 2 m/s
- Aplicando a equação de Torricelli:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
v = 0 + 2∙2∙25
2
v = 100
v = 10 m/s
09:
a) Com a velocidade de 72 km/h = 20 m/s podemos calcular:
v = v0 + at
0 = 20 + a∙20
− 20∙a = 20
a = 20/(−20)
2
a = − 1 m/s
- Em módulo:
2
│a│ = − 1 m/s
b) Aplicando a equação de Torricelli:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
0 = 20 +(− 1)∆s
0 = 400 − ∆s
∆s = 400 m
10: d
- Podemos calcular a velocidade média:
vm = (v0 + v)/2
vm =(15 + 25)/2
vm = 40/2
vm = 20 m/s
- Calculando a distância percorrida entre 10 s e 30 s temos:
vm = ∆s/∆t
20 = ∆s/20
∆s = 20∙20
∆s = 400 m
11:
a) Calculando sua velocidade temos:
v = v0 + at
v = 0 + 3,0∙10
v = 30 m/s ou v = 108 km/h
- O jovem deve ser multado pois atingiu a velocidade de 108 km/h.
b) Calculando a aceleração na freada:
a = ∆v/∆t
a = (0 − 30)/5,0
2
a = − 6,0 m/s
- A distância percorrida na freada é:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
0 = 30 + 2(− 6,0)∆s
0 = 900 − 12∆s
12∆s = 900
∆s = 900/12
∆s = 75 m
- A distância percorrida do início até começar a frear:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
30 = 0 + 2∙3,0∙∆s
900 = 0 + 6,0∆s
6,0∆s = 900
∆s = 900/6,0
∆s = 150 m
- Portanto a distância total desde o início até o posto policial será:
d = 75 + 150
d = 225 m
12: c
2
- A aceleração de 20% da gravidade tem módulo a = 2,0 m/s . Como 360 km/h = 100 m/s
temos:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
0 = 100 + 2(− 2,0)∆s
0 = 10.000 − 4,0∆s
4,0∆s = 10.000
∆s = 10.000/4,0
∆s = 2.500 m ou ∆s = 2,5 km
13: e
- Calculando temos:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
0 = 30 + 2(− 2,0)(L + 100)
0 = 900 − 4,0(L + 100)
0 = 900 − 4,0L − 400
4,0L = 500
L = 500/4,0
L = 125 m
14: c
- Em um MUV, o tempo percorrido em um segundo intervalo de tempo (de 2 s a 4 s) igual ao
primeiro (de 0 a 2 s) sempre vale 3 vezes o primeiro, como foi percorrido 2 cm no primeiro
intervalo de tempo de 2 s, no segundo intervalo de tempo de 2 s será percorrido uma distância
de 6 cm, correspondendo a um deslocamento de 8 cm nos 4 primeiros segundos.
15: b
- Quando um móvel passa por uma posição e volta novamente nesta posição seu
deslocamento escalar vale zero, pois o espaço inicial é igual ao espaço final.
- Calculando a aceleração:
a = ∆v/∆t
a = (− 4 − 4)/10
2
a = − 0,8 m/s
- Para o cálculo da distância percorrida, até parar, temos:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
0 = (4) + 2(− 0,8)d
1,6d = 16
d = 16/1,6
d = 10 m
- Como a distância até parar é igual à distância para o móvel retornar à posição de velocidade
− 4m/s, a distância total percorrida pelo móvel é 20 m.
MUV - gráfico de s x t
01. (Mackenzie-SP) A figura refere-se ao diagrama horário da posição de uma partícula que
descreve um movimento retilíneo e uniformemente variado, partindo do repouso no instante t =
0. No intervalo [10 s, 15 s], o deslocamento escalar sofrido pela partícula vale:
a) 100 m
b) 125 m
c) 150 m
d) 225 m
e) 250 m
02. (UFMS) Considere o gráfico do espaço em função do tempo para uma partícula em
movimento uniformemente variado.
É correto afirmar que:
a) a trajetória da partícula foi parabólica.
b) a partícula não passou pela origem dos espaços.
c) a velocidade da partícula jamais foi nula.
d) a velocidade escalar inicial da partícula foi negativa.
e) a aceleração escalar da partícula foi inicialmente positiva, depois negativa.
03. (UEPG-PR) O gráfico abaixo representa a posição de um móvel que se desloca ao longo
de uma reta, com aceleração constante, em função do tempo. Sobre este evento, assinale o
que for correto.
01. (
02. (
04. (
08. (
16. (
) O movimento é uniformemente retardado.
) A velocidade inicial do movimento é de 10 m/s.
2
) A aceleração do móvel, em módulo, é de 2,5 m/s .
) A velocidade média do móvel entre 1,0 s e 3,0 s é de 5,0 m/s.
) A velocidade do móvel no instante t = 4 s é nula.
04. (Mackenzie-SP) O gráfico a seguir representa a coordenada de posição (espaço) em
função do tempo para o movimento de uma partícula, que tem aceleração escalar constante.
Pede-se:
a) a velocidade escalar inicial;
b) a aceleração escalar.
05. (Fuvest-SP) A posição x de um corpo, que se move ao longo de uma reta, em função do
tempo t, é mostrada no gráfico ao lado. Para cada um dos quatro intervalos (I, II, III e IV)
assinalados no gráfico indique.
a) se a velocidade escalar é positiva, negativa ou nula.
b) se a aceleração escalar é positiva, negativa ou nula.
06. (PUC-RJ) O gráfico abaixo mostra a posição, em função do tempo, de dois trens A e B que
viajam no mesmo sentido em trilhos retilíneos paralelos. O gráfico referente ao trem B é um
arco de parábola com vértice no instante t1.
Marque a alternativa correta.
a) Na origem dos tempos, ambos os trens estavam parados.
b) Os trens aceleram o tempo todo.
c) No instante t1, ambos os trens têm a mesma velocidade escalar.
d) Ambos os trens têm a mesma aceleração escalar em algum instante anterior a t1.
e) Ambos os trens têm a mesma velocidade escalar em algum instante anterior a t 1.
MUV - gráficos de v x t
01. (Unicamp-SP) A tabela abaixo mostra valores da velocidade de um atleta da São Silvestre
em função do tempo, nos segundos iniciais da corrida.
v(m/s) 0,0
1,8
3,6
5,4
7,2
9,0
t(s)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
Nesses 5,0 segundos iniciais, pede-se:
a) a aceleração escalar constante do atleta;
b) o gráfico da velocidade escalar do atleta em função do tempo.
02. (Cesgranrio-RJ) O gráfico abaixo corresponde a um movimento retilíneo uniformemente
variado, cuja equação horária de velocidade, com unidades do SI, é:
a) v = 8 + 2t
b) v = 8 − 2t
c) v = 8 + 4t
d) v = 8 − 4t
e) v = 4 + 2t
03. (Unicamp-SP) O gráfico abaixo, em função do tempo, descreve a velocidade escalar de um
carro sendo rebocado por um guincho na subida de uma rampa. Após 25 s de operação, o
cabo de aço do guincho se rompe e o carro desce rampa abaixo.
a) Qual a velocidade escalar constante com que o carro é puxado, antes de se romper o cabo
de aço?
b) Qual a aceleração escalar depois do rompimento do cabo de aço?
c) Que distância o carro percorreu na rampa até o momento em que o cabo se rompeu?
04. (PUC-MG) Dois gráficos (velocidade escalar x tempo) da figura, representa(m) um
movimento com aceleração escalar constante e diferente de zero:
a) I apenas
b) II apenas
c) III apenas
d) I e II
e) II e III
05. (UEL-PR) O gráfico abaixo representa a velocidade escalar de uma partícula, em função do
2
tempo. A aceleração escalar da partícula, em m/s , é igual a:
a) 0,50
b) 4,0
c) 8,0
d) 12
e) 16
06. (Unitau-SP) O gráfico a seguir representa a velocidade escalar, em função do tempo, para
o movimento de uma partícula. De acordo com o gráfico, a equação horária de sua velocidade
escalar é dada por:
a) v = 18 + 4,0t
b) v = 30 + 6,0t
c) v = 10 + 9,0t
d) v = 10 + 4,0t
e) v = 12 + 5,0t
07. (FEI-SP) O gráfico abaixo apresenta a variação da velocidade escalar em função do tempo,
para o movimento de uma partícula. No instante t = 10 s, podemos afirmar que o movimento é:
a) progressivo, retardado.
b) progressivo, acelerado.
c) retrógrado, acelerado.
d) retrógrado, retardado.
e) uniforme.
08. (Unifor-CE) O gráfico a seguir representa, em função do tempo, a velocidade escalar de
uma partícula que está em movimento retilíneo.
Nesse gráfico, o tempo de movimento foi subdividido nos intervalos I, II, III e IV.
De acordo com as indicações do gráfico, a aceleração escalar dessa partícula é negativa nos
intervalos:
a) I e II.
b) I e III.
c) I e IV.
d) II e III.
e) III e IV.
09. (UFPE) O gráfico da velocidade em função do tempo de um ciclista, que se move ao longo
de uma pista retilínea, é mostrado abaixo.
Considerando que ele mantém a mesma aceleração entre os instantes t = 0 e t = 7 segundos,
determine a distância percorrida neste intervalo de tempo. Expresse sua em metros.
10. (UFPR-PR) O espaço inicial para o móvel que descreve o movimento retilíneo, cujo gráfico
velocidade x tempo está representado, vale 5,0 m. Qual a equação horária do espaço, em
unidades do SI, para o movimento considerado?
2
a) s = 5,0 + 10t + 2,5t
2
b) s = 5,0 + 10t + 5,0t
2
c) s = 5,0 + 10t + 10t
2
d) s = 10t + 10t
2
e) s = 10t + 5,0t
11. (PUCCamp-SP) A figura abaixo apresenta o gráfico velocidade x tempo de um móvel que
percorre uma reta partindo da origem dos espaços no instante t = 0. O gráfico posição x tempo
que melhor representa esse movimento é:
a)
b)
c)
d)
e)
12. (FEI-SP) Na figura estão representados os gráficos das velocidades de dois móveis A e B,
em função do tempo. Esses móveis partem de um mesmo ponto, a partir do repouso, e
percorrem uma mesma trajetória retilínea. Em que instantes eles voltam a se encontrar?
13. (Vunesp-SP) Um veículo se desloca em trajetória retilínea e sua velocidade escalar em
função do tempo é representada na figura.
a) Identifique o tipo de movimento do veículo nos intervalos de 0 a 10 s, de 10 s a 30 s e de 30
s a 40 s, respectivamente.
b) Calcule a velocidade escalar média do veículo no intervalo de tempo entre 0 e 40 s.
14. (Fuvest-SP) Um trem de metrô parte de uma estação com aceleração constante até atingir,
após 10 s, a velocidade de 90 km/h (ou seja, 25 m/s), que é mantida constante durante 30 s,
para então frear uniformemente durante 10 s, parando na estação seguinte.
a) Represente graficamente a velocidade do trem em função do tempo.
b) Calcule a distância percorrida entre as duas estações.
15. (UERJ) O gráfico abaixo representa a variação da velocidade escalar v em relação ao
tempo t de dois móveis A e B, que partem da mesma origem de uma trajetória retilínea.
A distância, em metros, entre os móveis, no instante em que eles alcançam a mesma
velocidade, é igual a :
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
16. (Vunesp-SP) A figura abaixo representa o gráfico velocidade x tempo do movimento
retilíneo de um móvel.
a) Qual o deslocamento total desse móvel?
b) Esboce o gráfico posição x tempo correspondente, supondo que o móvel partiu da origem.
17. (Fatec-SP) O gráfico abaixo representa as velocidades escalares de dois móveis A e B em
função do tempo. Sabe-se que no instante t = 0 ambos estavam na mesma posição, e que A e
B descrevem uma mesma trajetória retilínea. Baseado nessas informações, assinale a
alternativa correta.
a) O móvel A executa um movimento com velocidade constante.
b) O móvel B não se encontra em movimento.
c) No instante t = 8,0 s, os dois móveis se encontram na mesma posição.
d) No instante t = 8,0 s, o móvel B se encontra 80 m à frente do móvel A.
e) Depois do instante t = 0, os dois móveis jamais poderão ocupar a mesma posição.
18. (E. Naval-RJ) Um móvel se desloca ao longo do eixo Ox, de tal maneira que sua velocidade
escalar varia com o tempo de acordo com a expressão:
v = 4,0t – 8,0 (SI)
A distância total percorrida pelo móvel entre os instantes t1 = 0 e t2 = 3,0 s vale:
a) 2,0 m
b) 4,0 m
c) 6,0 m
d) 8,0 m
e) 10 m
19. (Cefet-PR) O gráfico abaixo mostra como variam as velocidades escalares de dois móveis
A e B, em função do tempo. Baseado no mesmo, são feitas as afirmações a seguir:
I. No instante t1, os dois móveis possuem velocidades escalares iguais.
II. A área escura é numericamente igual à diferença entre os deslocamentos escalares dos dois
móveis de t = 0 a t = t1.
III. O movimento do móvel B é retrógrado e retardado.
É(são) correta(s):
a) apenas a afirmativa II.
b) apenas a afirmativa III.
c) as afirmativas I, II e III.
d) apenas as afirmativas I e III.
e) apenas as afirmativas I e II.
20. (Mackenzie-SP) Em uma estrada retilínea, um ônibus parte do repouso da cidade A,
parando na cidade B, distante 9 km. No trajeto, a velocidade máxima permitida é igual a 90
km/h e a aceleração e a desaceleração (aceleração de frenagem) máximas que o ônibus pode
2
ter são, em módulo, iguais a 2,5 m/s . O menor tempo no qual o ônibus pode fazer esse trajeto,
sem infringir o limite de velocidade permitido, é de:
a) 4 min 20 s
b) 5 min 15 s
c) 5 min 45 s
d) 6 mi 10 s
e) 7 min 20 s
21. (Fuvest-SP) Dois trens A e B manobra em uma estação ferroviária, deslocando-se
paralelamente sobre trilhos retilíneos. No instante t = 0, eles estão lado a lado. O gráfico
representa as velocidades escalares dos dois trens a partir do instante t = 0 até o instante t =
150 s, quando termina a manobra. A distância entre os dois trens no final da manobra é:
a) 0 m
b) 50 m
c) 100 m
d) 250 m
e) 500 m
22. (Unicamp-SP) Na figura, são mostrados os gráficos da velocidade de dois ciclistas C 1 e C2,
em função do tempo. Ambos partem da origem dos espaços em t = 0 e descrevem, lado a lado,
trajetórias retilíneas com movimentos no mesmo sentido.
Com base nos dados da figura, determine:
a) a aceleração do ciclista C1 no instante t = 5,0 s.
b) a distância entre os dois ciclistas no instante em que eles têm a mesma velocidade.
23. (FEI-SP) O gráfico abaixo representa a velocidade de crescimento de uma pessoa em
função de sua idade. Suponha que a pessoa nasceu com 50 cm e que a sua curva de
crescimento obedece exatamente ao gráfico abaixo.
A altura desta pessoa quando completar 16 anos será:
a) 1,44 m
b) 1,64 m
c) 1,74 m
d) 1,94 m
e) 2,00 m
24. (Fuvest-SP) Na figura, estão representadas as velocidades, em função do tempo,
desenvolvidas por um atleta, em dois treinos A e B, para uma corrida de 100 m rasos.
Com relação aos tempos gastos pelo atleta para percorrer os 100 m, podemos afirmar que,
aproximadamente:
a) no B levou 0,4 s a menos que no A.
b) no A levou 0,4 s a menos que no B.
c) no B levou 1,0 s a menos que no A.
d) no A levou 1,0 s a menos que no B.
e) no A e no B levou o mesmo tempo.
25. (ITA-SP) Três carros percorrem uma estrada plana e reta com as velocidades, em função
do tempo, representadas pelo gráfico abaixo. No instante t = 0, os três carros passam por um
semáforo. A 140 m deste semáforo há outro sinal luminoso permanentemente vermelho. Quais
os carros que ultrapassarão esse segundo farol?
a) nenhum dos três.
b) 2 e 3.
c) 1 e 3.
d) 1 e 2.
e) 1, 2 e 3.
26. (UFCE) Um objeto se move ao longo de uma reta. Sua velocidade escalar varia
linearmente com o tempo, conforme mostra o gráfico. A velocidade escalar média do objeto, no
intervalo de tempo compreendido entre t1 = 4,0 s e t2 = 8,0 s, é
a) 6,0 m/s
b) 8,0 m/s
c) 10 m/s
d) 12 m/s
e) 14 m/s
27. (UFPE) O gráfico da velocidade em função do tempo de um ciclista, que se move ao longo
de uma pista retilínea, é mostrado abaixo.
Considerando que ele mantém a mesma aceleração entre os instantes t = 0 e t = 7 segundos,
determine a distância percorrida neste intervalo de tempo. Expresse sua em metros.
28. (Med. Pouso Alegre-MG) O gráfico representa a velocidade, em função do tempo, de uma
pessoa durante uma caminhada. Analisando-se esse gráfico, afirmou-se:
I. A pessoa esteve sempre em movimento durante o tempo representado.
II. A pessoa acelerou-se durante todo o tempo da caminhada.
III. A pessoa voltou ao ponto de partida ao final da caminhada.
a) I e II estão corretas.
b) I e III estão corretas.
c) II e III estão corretas.
d) Apenas I está correta.
e) Todas estão corretas.
29. (UFSE) O gráfico ilustra a velocidade de uma partícula que se move em linha reta. No
intervalo de 0 a 5 s, a partícula percorreu, em metros:
a) 80
b) 40
c) 20
d) 10
e) 8
30. (UFRGS-RS) No instante t = 0, um ciclista, andando com velocidade constante de 10 m/s,
vê o sinal vermelho em um cruzamento. Ele leva 1,0 s para reagir e 4,0 s, aplicando os freios,
até parar. Suponha que os freios provoquem uma aceleração uniforme. Para esses 5,0 s de
movimento:
a) construa o gráfico velocidade x tempo;
b) calcule a distância total percorrida.
31. (EESC-SP) Dois carros viajam em um mesmo sentido numa estrada retilínea. No instante
em que um ultrapassa o outro (t = 0), os dois motoristas percebem um obstáculo à frente e
imediatamente iniciam a freada dos veículos. O gráfico abaixo representa a velocidade escalar
de cada carro, em função do tempo. Qual a distância entre os carros no instante em que suas
velocidades escalares se igualam?
32. (UFCE) Um veículo está parado ao lado do marco que indica "km 20" (o marco "km 0" fica
em Fortaleza no bairro Aerolândia) da rodovia BR 116 que liga Fortaleza ao sul do Brasil. No
instante t = 0, o veículo começa a se mover, afastando-se da Fortaleza, e o gráfico abaixo
mostra como varia sua velocidade escalar em função do tempo. Ao lado de que marco estará o
veículo após se mover durante 60 segundos?
33. (Uniube-MG) Considere um carro de Fórmula Indy correndo em uma pista oval,
representada na figura abaixo. No ritmo da corrida, o carro acelera na primeira metade de cada
reta, freia na segunda metade de cada reta e faz as curvas com velocidade escalar constante.
No gráfico está representada a velocidade escalar do carro em função do tempo,
considerando-se que o percurso tem início no ponto marcado com a bandeira quadriculada.
Qual o comprimento da pista?
a) 750 m
b) 2.000 m
c) 4.000 m
d) 8.000 m
34.
35.
01:
-a) Calculando temos:
v = v0 + at
9,0 = 0,0 + a∙5,0
5,0a = 9,0
a = 9,0/5,0
2
a = 1,8 m/s
MUV - gráfico de a x t
01. (PUC-PR) Um móvel parte do repouso e desloca-se em linha reta sobre um plano
horizontal. No gráfico a seguir, representa-se sua aceleração escalar (a) em função do tempo
(t). No instante t = 0, a velocidade do corpo é nula. Determine sua velocidade escalar no
instante t = 5 s
02. (Fuvest-SP) O gráfico mostra a aceleração escalar de um móvel em função do tempo. O
móvel encontra-se inicialmente em repouso e na origem de um sistema de referência.
a) Dê a velocidade escalar do móvel no instante t = 2 s
b) Construa o gráfico posição x tempo para o intervalo de 0 a 2 s.
03. (PUCCamp-SP) Considere os gráficos abaixo.
I. Espaço em função do tempo.
II. Velocidade escalar em função do tempo.
III. Aceleração escalar em função do tempo.
A respeito desses gráficos é correto afirmar que:
a) somente I e II podem representar o mesmo movimento.
b) somente I e III podem representar o mesmo movimento.
c) somente II e III podem representar o mesmo movimento.
d) os três gráficos podem representar o mesmo movimento.
e) cada gráfico representa um movimento distinto.
04. (EFEI-MG) Uma partícula se desloca em linha reta com aceleração escalar variando com o
tempo conforme o gráfico a seguir.
No instante t = 0, a partícula tem uma velocidade escalar inicial v0 = − 10 m/s.
a) Construa o gráfico da velocidade escalar em função do tempo.
b) Calcule a distância percorrida de 0 a 20 s.
Queda livre
01.(UFPR) Num experimento físico, um pequeno corpo é solto no vácuo de uma certa altura,
com velocidade inicial nula. Entre as características e grandezas físicas abaixo, quais as
necessárias para se determinar o tempo de queda do corpo?
01) Altura de queda.
02) Volume do corpo.
04) Forma geométrica do corpo.
08) Massa do corpo.
16) Aceleração gravitacional local.
02. (Unicenp-PR) Durante suas férias, um professor de Física observou, em sua chácara, duas
maçãs caindo de uma mesma altura de uma árvore. Ao medir as massas das duas frutas,
obteve valores diferentes e passou a redigir um relatório sobre o acontecimento.
Desconsiderando a resistência do ar, o relatório do professor poderia conter a seguinte
informação:
a) A maçã de maior massa chegou antes que a outra ao solo.
b) A maçã de menor massa chegou antes que a outra ao solo.
c) A maçã de maior massa fica sujeita a uma maior aceleração.
d) Ambas as maçãs chegam juntas ao solo.
e) O tempo de queda das maçãs independe do valor da aceleração gravitacional.
03. (AEU-DF) O movimento de um corpo em queda livre após ter sido abandonado de uma
determinada altura é:
a) retilíneo uniforme.
b) uniformemente acelerado.
c) circular uniforme.
d) circularmente variado.
e) parabólico uniforme.
04. (UFAM) A razão entre as distâncias percorridas por dois corpos em queda livre, a partir do
repouso, sabendo-se que a duração da queda do primeiro é o dobro da duração do segundo, é:
a) 4
b) 2
c) 8
d) 5
05. (UFMT) Galileu, na torre de Pisa, fez cair vários corpos pequenos, com o objetivo de
estudar as leis do movimento dos corpos em queda. A respeito dessa experiência, julgue os
itens, desprezando-se os efeitos do ar.
I. A aceleração do movimento era a mesma para todos os corpos.
II. Se dois corpos eram soltos juntos, o mais pesado chegava ao solo horizontal no mesmo
instante que o mais leve.
III. Se dois corpo eram soltos juntos. o mais pesado chegava ao solo horizontal com velocidade
escalar maior que a do mais leve.
06. (Cesgranrio-RJ) Considere três esferas idênticas A, B e C com as quais se fizeram os
seguintes experimentos:
Experimento 1: as esferas são soltas simultaneamente, porém de pontos diferentes sobre uma
mesma vertical, sendo que a esfera A é solta do ponto mais baixo, e a C, do ponto mais
elevado.
Experimento 2: as esferas são soltas de um mesmo ponto, porém a intervalos de tempos
iguais, sendo que a esfera A foi a primeira a ser solta,e a C foi a última.
Ambos os experimentos foram feitos de forma a se poder desprezar a influência do ar e
considerar a aceleração da gravidade constante.
Considere dAB e dBC, respectivamente, as distâncias entre A e B e entre B e C, durante a
queda. Sobre dAB e dBC é correto afirmar que:
a) se mantêm inalteradas nos dois experimentos.
b) se mantêm inalteradas no 1º experimento e aumenta igualmente no 2º experimento.
c) aumentam igualmente nos dois experimentos.
d) aumentam igualmente no 1º experimento e dAB aumenta mais que dBC no 2º.
e) dAB aumenta mais que dBC nos dois experimentos.
07. (ESPM-SP) Um corpo é abandonado do repouso de uma altura de 90 m. O tempo gasto
para atingir o solo é:
a) 10 s
b) 9 s
c) 6,5 s
d) 5 s
e) 4,2 s
08. (ESPM-SP) Um gato é maldosamente jogado do alto de um prédio. Se o bichano cai em
queda livre e demora exatamente 3 segundos para se esborrachar no chão, qual a altura do
2
prédio (adotar g = 9,8 m/s )?
a) 9,8 m
b) 14,7 m
c) 29,4 m
d) 44,1 m
e) 58,8 m
09. (Ulbra-RS) Determinado objeto é abandonado de uma altura h com velocidade inicial nula,
2
num local de aceleração da gravidade g = 10 m/s . Após 1,8 m de queda, a velocidade do
objeto, em m/s, é:
a) 2,5
b) 4,5
c) 5,0
d) 6,0
e) 8,5
10. (EFOA-MG) Um garoto caiu de um muro de 3,2 metros de altura. A velocidade com que ele
atingiu o solo foi, em m/s, de:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
2
(Adote g = 10 m/s e despreze a existência do ar).
11. (F. U. Itaúna-MG) Do alto de um edifício de 45 metros, uma pedra de 200 gramas de massa
é abandonada. Um segundo depois, uma outra pedra, de massa 400 gramas, é abandonada
2
da mesma altura. Considere g = 10 m/s e desprezando a resistência do ar, é CORRETO
afirmar que:
a) embora as massas sejam diferentes, elas atingirão o chão simultaneamente.
b) a pedra de massa 400 g atingirá o chão 1 s após a pedra de 200 g.
c) embora os pesos sejam diferentes, elas chegaram juntas ao chão.
d) a aceleração da pedra de 400 g é maior que a da pedra de 200 g.
e) a pedra de massa 200 g gastará 3,0 segundos para atingir o solo, e a de massa 400 g
gastará 1,0 segundo a menos.
12. (FEI-SP) Uma pedra é abandonada do alto de um edifício de 32 andares. Sabendo-se que
a altura de cada andar é de 2,5 m. Desprezando-se a resistência do ar, com que velocidade a
pedra chegará ao solo?
a) 20 m/s
b) 40 m/s
c) 60 m/s
d) 80 m/s
e) 100 m/s
13. (Fuvest-SP) Um corpo é solto, a partir do repouso, do topo de um edifício de 80,0 m de
altura.
2
Despreze a resistência do ar e adote g = 10,0 m/s . O tempo de queda até o solo (T) e o
módulo da velocidade com que o corpo atinge o solo (VF) são dados por:
a) 4,0 s e 72 km/h
b) 2,0 s e 72 km/h
c) 2,0 s e 144 km/h
d) 4,0 s e 144 km/h
e) 4,0 s e 40 km/h
14. (PUC-SP) O Free Fall (também conhecido por "elevador") é a atração de alguns parques de
diversões e corresponde à queda livre de uma cabine, a partir da velocidade inicial nula. A
sensação para os corajosos passageiros do Free Fall é inesquecível, apesar de o movimento
durar apenas uns poucos segundos.Determine o comprimento do trecho vertical da queda,
sabendo-se que a duração do movimento nesse trecho é de 2,0 s e que a aceleração de queda
2
tem módulo igual a 10 m/s .
a) 50 m
b) 40 m
c) 30 m
d) 20 m
e) 10 m
15. (Mackenzie-SP) Um corpo em queda livre, a partir do repouso, gasta um certo tempo para
percorrer uma distância h. Se um outro corpo, nas mesmas condições, gastasse o triplo deste
tempo, a distância percorrida seria:
a) h/9
b) h/3
c) 3h
d) 9h/2
e) 9h
16. (UFPE) Um corpo inicialmente em repouso é largado de uma altura igual a 45 m e cai
livremente. Se a resistência do ar é desprezível, qual a distância, em metros, percorrida pelo
corpo, decorrido um terço de seu tempo total de queda?(UCMG) Segundo um renomado
astrofísico, a gravidade em uma estrela de nêutrons (etapa final da vida de certas estrelas) é
tão grande que, se você deixar cair uma pequena pedra de altura 1,0 m, ela se chocará coma
superfície da estrela a uma velocidade de 7,2 milhões de quilômetros por hora.
Isso significa que a aceleração da gravidade nas proximidades da superfície desse corpo
celeste, suposta constante, tem módulo igual a:
6
2
a) 1,0x10 m/s
6
2
b) 2,0x10 m/s
8
2
c) 2,0x10 m/s
12
2
d) 2,0x10 m/s
12
2
e) 4,0x10 m/s
17. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um método interessante para conseguir degustar uma se
suas presas favoritas - o caranguejo. Consiste em suspendê-lo a uma determinada altura e aí
abandonar sua vítima para que chegue ao solo com uma velocidade de módulo igual a 30 m/s,
2
suficiente para que se quebre por inteiro. Adota-se, para o local, g = 10 m/s . Considerando-se
desprezível o efeito do ar durante a queda, a altura de elevação utilizada por essas aves é, em
metros, igual a:
a) 15
b) 30
c) 45
d) 60
e) 90
18. (UEL-PR) Considera a tabela abaixo para responder à questão.
Intensidade da
aceleração da
Astro
gravidade na
2
superfície (m/s )
Terra
9,80
Lua
1,61
Marte
3,72
Vênus
8,72
Dione (satélite de
0,22
Saturno)
Ao ser abandonado de uma altura de 5,0 m, a partir do repouso, um corpo chega ao solo com
velocidade de módulo aproximadamente igual a 4,0 m/s. Admitindo-se que durante a queda o
efeito do ar seja desprezível, pode-se concluir que a queda aconteceu na superfície
a) de Dione.
b) da Terra.
c) de Marte.
d) de Vênus.
e) da Lua.
19. (Unifenas-MG) Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre uma distância d no
primeiro segundo de movimento. Qual a distância percorrida por ele no quarto segundo de
movimento? Despreze o efeito do ar.
a) d
b) 4d
c) 5d
d) 6d
e) 7d
20. (UFSE) Uma esfera de aço cai, a partir do repouso, em queda livre de uma altura de 80 m.
2
Considerando g = 10 m/s , o tempo de queda é:
a) 8,0 s
b) 6,0 s
c) 4,0 s
d) 2,0 s
e) 1,0 s
21. (UECE) Uma pedra, partindo do repouso, cai de uma altura de 20 m. Despreza-se a
2
resistência do ar e adota-se g = 10 m/s . A velocidade da pedra ao atingir o solo e o tempo
gasto na queda, respectivamente, valem:
a) v = 20 m/s e t = 2 s
b) v = 20 m/s e t = 4 s
c) v = 10 m/s e t = 2 s
d) v = 10 m/s e t = 4 s
22. (UFRJ) Um corpo em queda livre percorre uma certa distância vertical em 2 s; logo, a
distância percorrida em 6 s será:
a) dupla.
b) tripla.
c) seis vezes maior.
d) nove vezes maior.
e) doze vezes maior.
23. (UFC) Um chuveiro situado a uma altura de 1,8 m do solo, incorretamente fechado, deixa
cair pingos de água a uma razão constante de 4 pingos por segundo. No instante de tempo em
que um dado pingo toca o solo, o número de pingos, atrás dele, que já estão a caminho é (use
2
o módulo da aceleração da gravidade, g = 10 m/s ):
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
24. (UFRN) Em um local onde o efeito do ar é desprezível, um objeto é abandonado, a partir do
repouso, de uma altura H acima do solo.
Seja H1 a distância percorrida na primeira metade do tempo de queda e H2 a distância
percorrida na segunda metade do tempo de queda.
Calcule a razão H1/H2.
25. (Unicamp-SP) Uma torneira, situada a uma altura de 1,0 m acima do sol, pinga lentamente
à razão de 3 gotas por minuto.
a) Com que velocidade uma gota atinge o solo?
b) Que intervalo de tempo separa as batidas de 2 gotas consecutivas no sol?
2
Considere, para simplificar, g = 10 m/s .
26. (Mackenzie-SP) Uma partícula em queda livre, a partir do repouso, tem velocidade 30 m/s
2
após um tempo t e no instante 2t atinge o solo. Adote g = 10 m/s . A altura da qual a partícula
foi abandonada com relação ao solo é:
a) 360 m
b) 180 m
c) 30 m
d) 10 m
e) 3 m
27. (PUC-SP) Um astronauta americano realizou, na superfície da Lua, a experiência de queda
livre de corpos diferentes no vácuo, anteriormente proposta por Galileo. Deixou cair ali uma
pena e um martelo, simultaneamente, a partir da mesma posição.
a) O que observou ao final da queda?
b) Supondo que ambos os objetos tivessem sido soltos de uma altura de 0,80 m em relação à
superfície da Lua, depois de quanto tempo o martelo alcançaria o solo? Dado: aceleração da
2
gravidade na Lua = 1,6 m/s .
28. (UFRJ) Um pára-quedista radical pretende atingir a velocidade do som. Para isto, seu plano
é saltar de um balão estacionário na alta atmosfera, equipado com roupas pressurizadas.
Como nesta altitude o ar é muito rarefeito, a força de resistência do ar é desprezível. Suponha
que a velocidade inicial do pára-quedista, em relação ao balão seja nula, e que a aceleração da
2
gravidade tenha módulo igual a 10 m/s . A velocidade do som nessa altitude tem módulo igual
a 300 m/s.
Calcule:
a) em quanto tempo ele atinge a velocidade do som;
b) a distância percorrida nesse intervalo de tempo.
29. (Fuvest-SP) O gato consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior velocidade
com a qual ele possa chegar ao solo sem se machucar seja de 8,0 m/s. Então, desprezando-se
a resistência do ar, a altura máxima de queda a partir do repouso, para que o gato nada sofra,
2
deve ser de: (use g = 10 m/s )
a) 3,2 m
b) 6,4 m
c) 4,0 m
d) 8,0 m
e) 10 m
30. (PUC-SP) De dois pontos A e B situados sobre a mesma vertical, respectivamente a 45 m e
20 m do solo, deixam-se cair duas esferas, no mesmo instante. Uma prancha desloca-se no
solo horizontalmente com movimento uniforme. Observa-se que as esferas atingem a prancha
2
em pontos que distam 2,0 m. Nestas condições, supondo g = 10 m/s e desprezando a
resistência do ar, qual a velocidade da prancha?
a) 1,0 m/s
b) 2,0 m/s
c) 3,0 m/s
d) 4,5 m/s
e) 6,5 m/s
31. (Fuvest-SP) Uma torneira mal fechada pinga a intervalos de tempos iguais. A figura mostra
a situação no instante em que uma das gotas está se soltando. Suponha que cada pingo
abandone a torneira com velocidade nula e desprezando a resistência do ar, pode-se afirmar
que a razão A/B entre as distâncias A e B mostradas na figura (fora de escala) vale:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
32. (ITA-SP) De um telhado caem gotas de chuva separadas por intervalos de tempo iguais
a
entre si. No momento em que a 5 gota se desprende, a primeira toca o solo. Qual a distância
a
a
que separa as duas últimas gotas (4 e 5 ), neste instante, se a altura do telhado é de 20 m?
a) 0,80 m
b) 1,25 m
c) 8,75 m
d) 5,0 m
e) 2,5 m
33. (UEL-PR) Uma pequena esfera, em queda livre, a partir do repouso, tem aceleração
2
escalar constante de 10 m/s e desce 105 m entre os instantes t e t + 3 s. O valor de t, em
segundos, é:
a) 1,5
b) 2,0
c) 4,5
d) 9,0
e) 10,5
34. (Mackenzie-SP) Um corpo, abandonado de uma altura H, percorre 25 m no último segundo
2
de sua queda. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s , o valor de H é:
a) 20 m
b) 30 m
c) 45 m
d) 60 m
e) 90 m
2
35. (Vunesp-SP) Num lugar onde g = 10 m/s , uma pequena esfera de chumbo é abandonada
de uma altura de 1,8 m acima da superfície da água de uma piscina e atinge seu fundo 0,80 s
após seu abandono. Sabe-se que abaixo da superfície a esfera se move de modo uniforme
com a mesma velocidade com que atingiu. Abandonando-se novamente a esfera do mesmo
lugar, com a piscina vazia, o tempo gasto para atingir seu fundo será de:
a) 0,77 s
b) 0,60 s
c) 0,49 s
d) 0,80 s
e) 0,20 s
36. (UFV-MG) Uma bola é solta de uma altura de 45,0 m e cai verticalmente. Um segundo
depois, outra bola é arremessada verticalmente para baixo. Sabendo que a aceleração da
2
gravidade no local é de 10 m/s e desprezando-se a resistência do ar, a velocidade com que a
última bola deve ser arremessada, para que as duas atinjam o solo no mesmo instante, é:
a) 12,5 m/s
b) 7,50 m/s
c) 75,0 m/s
d) 1,25 m/s
e) 0,75 m/s
37.
38.
39.
40.
01: 17 (01 + 16)
01) Quanto maior a altura da queda maior o tempo.
16) Quanto maior a aceleração da gravidade, mais rápido o corpo cai.
02: d
03: b
04: a
05: VVF
06: b
07: e
Lançamento vertical
01. (PUC-PR) Sobre os movimentos retilíneos, a única alternativa incorreta é:
a) No movimento retilíneo uniforme (MRU), uma partícula percorre distâncias iguais em
intervalos de tempos iguais.
b) O gráfico "velocidade x tempo" para o movimento retilíneo variado (MRUV) é uma linha reta.
c) No movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA), o deslocamento da partícula é
inversamente proporcional ao intervalo de tempo gasto para percorrê-lo.
d) Quando uma moeda entra em queda livre, a distância percorrida no primeiro segundo do
movimento é menor do que a distância percorrida no segundo seguinte.
e) Você joga uma bolinha para cima verticalmente com velocidade de 1,0 m/s. Desprezando a
resistência do ar, quando ela voltar para sua mão, sua velocidade terá o mesmo módulo.
02. (UFRS) Enquanto uma pedra sobe verticalmente no campo gravitacional terrestre depois
de ter sido lançada para cima:
a) o módulo da sua velocidade aumenta.
b) o módulo da força gravitacional sobre a pedra aumenta.
c) o módulo da sua aceleração aumenta.
d) o sentido da sua velocidade se inverte.
e) o sentido da sua aceleração não muda.
03. (F. Oswaldo Cruz-SP) Um corpo lançado de baixo para cima possui no ponto de altura
máxima:
a) velocidade nula.
b) aceleração nula.
c) velocidade e aceleração nulas.
d) nenhuma afirmativa é correta.
04. (Unimep-SP) Um corpo é lançado verticalmente para cima e após 3 segundos retorna à
2
posição inicial do lançamento. Assim sendo, considerando g = 10 m/s e desprezando-se a
resistência do ar, a velocidade com que o corpo foi lançado vale:
a) 30 m/s
b) 15 m/s
c) 60 m/s
d) 10 m/s
e) 45 m/s
Enunciado referente às questões de número 05 e 06.
Uma pedra é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade de 12 m/s.
Durante o movimento, é colocada uma plataforma, a 4 m do solo, sobre a qual ela cai. Sendo a
2
aceleração da gravidade igual a 10 m/s e desprezando-se a resistência do ar:
05. (PUC-SP) A velocidade da pedra, ao atingir a plataforma, será:
a) 28 m/s
b) 17,4 m/s
c) 16 m/s
d) 8 m/s
e) 4 m/s
06. (PUC-SP) O tempo que a pedra leva do lançamento até atingir a plataforma vale:
a) 4,0 s
b) 2,4 s
c) 2,0 s
d) 1,6 s
e) 0,8 s
07. (UFES) Um projétil é disparado do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial
igual a 200 m/s. Desprezando-se a resistência do ar, a altura máxima alcançada pelo projétil e
o tempo necessário para alcançá-la são, respectivamente:
a) 4.000 m - 40 s
b) 4.000 m - 20 s
c) 2.000 m - 40 s
d) 2.000 m - 20 s
e) 2.000 m - 10 s
08. (UEM-PR) Do alto de um edifício, são lançadas, simultaneamente, coma mesma
velocidade, duas bolas idênticas: uma verticalmente para cima e outra verticalmente para
baixo. Desprezando-se a resistência do ar, é correto afirmar que as duas bolas:
01) chegam juntas ao solo;
02) sofrem o mesmo deslocamento;
04) têm a mesma velocidade, quando atingem o solo;
08) têm a mesma aceleração, quando atingem o solo;
16) estão sujeitas à mesma força, durante o tempo em que estão no ar.
09. (Mackenzie-SP) Uma pedra é abandonada de uma ponte, a 80 m acima da superfície da
água. Uma outra pedra é atirada verticalmente para baixo, do mesmo local, dois segundos
após o abandono da primeira. Se as duas pedras atingem a água no mesmo instante, e
desprezando-se a resistência do ar, então o módulo da velocidade inicial da segunda pedra é:
2
Dado g = 10 m/s .
a) 10 m/s
b) 20 m/s
c) 30 m/s
d) 40 m/s
e) 50 m/s
10. (UFPI) Um jogador de basquetebol consegue dar uma grande impulso ao saltar, e seus pés
2
atingem a altura de 1,25 m. A aceleração da gravidade no local tem o valor de 10 m/s . O
tempo que o jogador fica no ar, aproximadamente, é:
a) 1 s
b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s
e) 5 s
11. (FUC-MT) Um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial v 0 = 30 m/s.
2
Sendo g = 10 m/s e desprezando a resistência do ar, qual será a velocidade do corpo 2,0 s
após o lançamento?
a) 20 m/s
b) 10 m/s
c) 30 m/s
d) 40 m/s
e) 50 m/s
12. (FUC-MT) Em relação ao exercício anterior, qual a altura máxima alcançada pelo corpo?
a) 90 m
b) 135 m
c) 270 m
d) 360 m
e) 45 m
13. (FGV-SP) Um objeto é lançado do solo verticalmente para cima. Quando sua altura é 2 m,
o objeto está com uma velocidade de 3 m/s. Admitindo-se que a aceleração gravitacional vale
2
10 m/s , pode-se afirmar que a velocidade com que esse objeto foi lançado, em m/s, é de:
a) 4,7
b) 7
c) 8,5
d) 9
e) 9,5
14. (UFPE) Atira-se em um poço uma pedra verticalmente para baixo com uma velocidade
2
inicial v0 = 10 m/s. Sendo a aceleração local da gravidade igual a 10 m/s e sabendo-se que a
pedra gasta 2 s para chegar ao fundo do poço, podemos concluir que a profundidade deste é,
em metros:
a) 30
b) 40
c) 50
d) 20
e) nenhuma das s anteriores.
15. (FEI-SP) Um ponto material, lançado verticalmente no vácuo sobre a superfície terrestre,
2
onde g = 10 m/s , admita constante, atinge a altura de 20 m. Qual a velocidade de lançamento?
16. (Esalq-SP) Um corpo é lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial de 15 m/s.
Sabendo-se que a altura inicial era de 130 m, determine o instante em que o móvel se encontra
2
a 80 m do solo.(Dado: g = 10 m/s ).
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
01: c
- O deslocamento é diretamente proporcional ao quadrado do tempo.
02: e
- A aceleração da gravidade é sempre vertical para baixo.
03: a
- No ponto mais alto a velocidade se anula e, a aceleração é a da gravidade.
04: b
- Como gastou 3 s para subir e descer, então, temos que foram gastos 1,5 s para subir, pois o
tempo de subida é igual ao tempo de queda. Aplicando a função horária do espaço do tempo
inicial zero até 1,5 s no ponto de altura máxima temos:
v = v0 + at
0 = v0 +(−10)1,5
v0 = 15 m/s
05: d
- Aplicando a equação de Torricelli temos:
2
2
v = v0 + 2a∆s
2
2
v = 12 + 2(− 10)4
2
v = 144 − 80
2
v = 64
v =  8 m/s
Obs.: Em nosso referencial adotado temos: + quando está subindo e − quando está descendo.
06: c
- Como a pedra passa duas vezes pela plataforma, uma vez subindo com velocidade + 8 m/s e
outra vez descendo com velocidade − 8 m/s, e é aí que ela para na plataforma temos:
v = v0 + at
− 8 = 12 + (−10)t
10t = 12 + 8
t = 20/10
t = 2,0 s
07: d
- Calculando o tempo primeiramente temos:
v = v0 + at
0 = 200 +(−10)t
10t = 200
t = 200/10
t = 20 s
- E agora a sua altura máxima:
2
∆s = v0t + at /2
2
∆s = 200∙20 + (−10)∙20 /2
∆s = 4000 − 10∙200
∆s = 4000 − 2000
∆s = 2000 m
Lançamento horizontal
01. (PUC-RS) Quando, de um avião que voa com velocidade constante, em trajetória reta
horizontal, é solto um objeto suficientemente pesado para que se possa desprezar a resistência
do ar, podemos observar que o objeto cai (para uma pessoa em repouso na superfície da
Terra):
a) verticalmente em trajetória retilínea.
b) em trajetória parabólica com a componente horizontal da velocidade constante.
c) em trajetória parabólica com a velocidade constante.
d) em trajetória parabólica com a componente vertical da velocidade constante.
02. (UFPR) Uma bola rola sobre uma mesa horizontal de 1,225 m de altura e vai cair num
ponto do solo situado à distância de 2,5 m, medida horizontalmente a partir da beirada da
mesa. Qual a velocidade da bola, em m/s, no instante em que ela abandonou a mesa? adote g
2
= 9,8 m/s .
03. (FEI-SP) Um bombardeiro voa a 3.920 m de altura com velocidade de 1.440 km/h. De que
2
posição ele deve soltar uma bomba para atingir um alvo no solo? Use g = 10 m/s e despreze a
resistência do ar.
04. (UCPR) De um lugar situado a 125 m acima do solo lança-se um corpo, horizontalmente,
2
com velocidade igual a 10 m/s e g = 10 m/s . Podemos afirmar que o alcance e o tempo gasto
para o corpo atingir o solo valem respectivamente:
a) 100 m e 10 s
b) 50 m e 5 s
c) 100 m e 5 s
d) 150 m e 20 s
e) 75 m e 5 s
05. (UFMG) Uma pessoa observa o movimento parabólico de uma pedra lançada
horizontalmente com velocidade v0. A pessoa poderia ver a pedra cair verticalmente se se
deslocasse:
a) com velocidade v' = 2v0, paralela a v0 e no mesmo sentido.
b) com velocidade v' = v0, paralela a v0 e no sentido oposto.
c) com velocidade v' = v0, paralela a v0 e no mesmo sentido.
d) com velocidade v' = 2v0, paralela a v0 e no sentido oposto.
e) com velocidade v' = v0, em qualquer direção e em qualquer sentido.
06. (UFGO) Uma esfera rola sobre uma mesa horizontal, abandona essa mesa com uma
velocidade horizontal v0 e toca o solo após 1 s. Sabendo-se que a distância horizontal
2
percorrida pela bola é igual à altura da mesa, a velocidade v0, considerando-se g = 10 m/s , é
de:
a) 1,25 m/s
b) 10,00 m/s
c) 20,00 m/s
d) 5,00 m/s
e) 2,50 m/s
07. (UCMG) Um atirador dispara horizontalmente um rifle, a 40 m do alvo. Sabendo-se que a
bala sai do cano com uma velocidade de 800 m/s, o desvio vertical apresentado no alvo,
devido ao efeito gravitacional, em cm, é igual a:
a) 0,250
b) 0,815
c) 1,25
d) 1,85
e) 2,45
2
(g = 10 m/s )
08. (Fuvest-SP) Dois rifles são disparados com os canos na horizontal, paralelos ao plano do
solo e ambos à mesma altura acima do solo. À saída dos canos, a velocidade da bala do rifle A
é três vezes maior que a velocidade da bala do rifle B.
Após intervalos de tempo tA e tB, as balas atingem o solo a, respectivamente, distâncias dA e dB
horizontais em relação à vertical que passa pelas saídas dos respectivos canos. Desprezandose a resistência do ar, pode-se afirmar que:
a) tA = tB , dA = dB
b) tA = tB/3 , dA = dB
c) tA = tB/3 , dA = 3dB
d) tA = tB , dA = 3dB
e) tA = 3tB , dA = 3dB
09. (Vunesp-SP) Um avião de salvamento, voando horizontalmente a uma altura de 125 metros
do solo, deve deixar cair um pacote para um grupo de pessoas que ficaram isoladas após um
acidente. Para que o pacote atinja o grupo, deve ser abandonado t segundos antes de o avião
2
passar diretamente acima do grupo. Adotando-se g = 10 m/s e desprezando-se a resistência
oferecida pelo ar, pode-se afirmar que t, em segundos, é igual a:
a) 1,0
b) 2,0
c) 3,0
d) 4,0
e) 5,0
10. (FCMSC-SP) Um avião solta uma bomba quando voa com velocidade constante e
-2
horizontal de 200 m/s, à altura de 500 m do solo plano e também horizontal. Se g = 10 m∙s e
sendo desprezível a resistência do ar, a distância em metros entre a vertical, que contém o
ponto de lançamento, e o ponto de impacto da bomba no solo será:
2
a) 5,0∙10
3
b) 1,0∙10
3
c) 2,0∙10
4
d) 1,0∙10
4
e) 2,0∙10
11. (FCC-SP) Um avião voa à altura de 2.000 m, paralelamente ao solo horizontal, com
velocidade constante. Deixa cair uma bomba, que atinge o solo à distância de 1.000 metros da
vertical de lançamento inicial da bomba. Desprezando-se resistências do ar, a velocidade do
avião é um valor mais próximo de:
a) 50 m/s
b) 150 m/s
c) 250 m/s
d) 2.000 m/s
e) 4.000 m/s
12. (PUC-SP) Um trem dotado de velocidade constante, igual a 90 km/h, corre sobre trilhos
horizontais, no instante em que uma lanterna se desprende de um ponto situado na sua
traseira, 5,0 m acima do solo. A distância percorrida pelo trem, no intervalo de tempo
2
empregado pela lanterna para atingir o solo, supondo a aceleração local da gravidade 10 m/s ,
vale:
a) 25 m
b) 20 m
c) 15 m
d) 10 m
e) 5 m
01: b
08: d
02: 5,0 m/s
09: e
10: c
03: 11.200 m
11: a
04: b
05: c
06: d 07: c
12: a
Lançamento oblíquo
01. (AFA) Um projétil é lançado com velocidade inicial de 100 m/s, formando um ângulo de 45º
2
com a horizontal. Supondo g = 10,0 m/s , qual será o valor do alcance e a altura máxima
atingidos pelo projétil? Despreze a resistência do ar.
02. (Faap-SP) Um projétil lançado para cima com ângulo de tiro 60º tem velocidade de 30 m/s
no ponto culminante de sua trajetória. Calcule a velocidade do projétil ao retornar ao solo.
(Dados: sen 60º = 0,87; cos 60º = 0,50.)
2
03. (UECE) Num lugar em que g = 10 m/s , lançamos um projétil com a velocidade inicial de
100 m/s formando com a horizontal um ângulo de elevação de 30º. A altura máxima será
atingida após:
a) 3 s
b) 4 s
c) 5 s
d) 10 s
04. (Fesp-SP) Lança-se um projétil com velocidade de 40 m/s, formando um ângulo 30º com a
horizontal.Desprezando-se a resistência do ar, ele atingirá a altura máxima após:
a) 1 s
b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s
e) 5 s
05. (EFOA-MG) Um corpo é lançado obliquamente do solo, atingindo a altura máxima igual a
10 m e realizando alcance horizontal igual a 40 m. Podemos afirmar que o ângulo de tiro é:
a) 30º
b) 45º
c) 60º
d) 65º
e) 90º
06. (Mackenzie-SP) Seja T o tempo total de vôo de um projétil disparado a 60º com a
horizontal, e seja v0y = 200 m/s o valor da componente vertical da velocidade inicial.
2
Desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s , os
valores da componente vertical da velocidade nos instantes t = T e t = T/2 são
respectivamente:
a) zero; zero
b) zero; 200 m/s
c)200 m/s; zero
d) 200 m/s; 200 m/s
e) 200 m/s; 100 m/s
07. (UERJ) Um projétil é lançado segundo um ângulo de 30º com a horizontal e com uma
2
velocidade de 200 m/s. Supondo a aceleração da gravidade igual a 10 m/s e desprezando a
resistência do ar, concluímos que o menor tempo gasto por ele para atingir a altura de 480 m
acima do ponto de lançamento será de:
a) 8 s
b) 10 s
c) 9 s
d) 14 s
e) 12 s
08. (FEI-SP) Uma bola é arremessada para um garoto, distante 60 m, a uma velocidade de 20
m/s e fazendo ângulo de 45º com a horizontal. Com que velocidade e em qual direção e
sentido o garoto deve correr para conseguir apanhar a bola na mesma altura em que foi
2
lançada? Adote g = 10 m/s e despreze os efeitos do ar. (Dado: sen 45º = cos 45º =
)
09. (UFU-MG) Uma bola é chutada em uma direção que forma um ângulo de 45º com a
horizontal. Desprezando-se os atritos com o ar, no ponto mais alto que a bola atinge, a
intensidade de:
a) sua velocidade é zero.
b) sua aceleração é zero.
c) sua velocidade é mínima, mas diferente de zero.
d) sua aceleração é mínima, mas diferente de zero.
e) sua velocidade e sua aceleração têm módulos iguais.
10. (FCMSC-SP) Um canhão dispara uma bala, com ângulo de tiro 40º, em relação ao solo,
que é plano e horizontal. Desprezando-se a resistência do ar, pode-se dizer que, durante o
movimento do projétil:
a) sua velocidade se mantém constante.
b) a componente horizontal de sua velocidade se mantém constante.
c) sua aceleração muda de sentido, pois a componente vertical da velocidade muda de sentido.
d) a componente horizontal de sua aceleração varia uniformemente.
e) a trajetória é percorrida com velocidade constante, em módulo, embora com direção
variável.
11. (UFSCar-SP) Um vagão hermeticamente fechado e à prova de som encerra em seu interior
um homem e trafega em um trecho reto de estrada. O homem lança uma moeda verticalmente
para cima (em relação a ele) deixando-a cair em seguida. A partir dessa experiência considere
as sentenças:
I - O homem não tem condições de descobrir se o trem está parado ou em movimento retilíneo
uniforme porque, em ambas as hipóteses, a moeda descreve trajetória retilínea em relação ao
vagão.
II - O sentido do movimento do vagão não pode ser determinado pelo homem, caso o vagão se
mova com velocidade constante.
III - O homem tem condições de descobrir se o trem está acelerado.
Quais são as sentenças verdadeiras?
12. (FCMSC-SP) Um canhão, em solo plano e horizontal, dispara uma bala, com ângulo de tiro
2
de 30º. A velocidade inicial da bala é 500 m/s. Sendo g = 10 m/s o valor da aceleração da
gravidade no local, a máxima altura da bala em relação ao solo será, em km, um valor mais
próximo de:
a) 3,1
b) 4,5
c) 7,5
d) 3,5
e) 6,3
13. (Cesesp-SP) Ganhou destaque no voleibol brasileiro o saque denominado "jornada nas
estrelas", no qual a bola arremessada de um lado da quadra sobe cerca de 20 m de altura
antes de chegar ao adversário do outro lado. Quanto tempo, em segundos, a bola permanece
no ar?
14. (Unisa-SP) Um projétil é lançado obliquamente para cima com velocidade de 40 m/s e
permanece no ar durante 4 segundos. O ângulo formado pelo vetor velocidade de lançamento
com a vertical é de:
a) 30º
b) 45º
c) 60º
d) 75º
e) 90º
15. (Acafe-SC) Uma pedra é arremessada com velocidade inicial de 80 m/s, formando um
ângulo de 60º com a horizontal, para cima. Desprezando-se a resistência do ar, o módulo de
sua velocidade, em m/s, 5 segundos após o lançamento é, aproximadamente:
2
(Adote g = 10 m/s .)
a) 125
b) 90
c) 60
d) 45
e) 15
16. (FEI-SP) Um projétil é lançado do solo numa direção que forma um ângulo  com a
horizontal. Sabe-se que ele atinge uma altura máxima Hmáx = 15 m e que sua velocidade no
ponto de altura máxima é v = 10 m/s. Determine a sua velocidade inicial e o ângulo  de
2
lançamento. Adote g = 10 m/s .
17. (FEI-SP) Uma pessoa na traseira de um caminhão atira uma pedra obliquamente para trás,
com velocidade que forma com a vertical presa ao carro um ângulo de 30º. Para uma pessoa
2
estacionada à beira da estrada, a pedra cai exatamente segundo a vertical (sendo g = 10 m/s ).
A velocidade do caminhão é:
a) metade da velocidade inicial da pedra em relação ao caminhão
b) 20 m/s
c) 30 m/s
d) 45 m/s
e) 60 m/s
18. (Mackenzie-SP) Um balão (aerostáto) sobe verticalmente, com velocidade constante de 10
-1
m∙s . Ao atingir a altura de 40 m, seu piloto lança horizontalmente (em relação ao piloto) uma
-1
2
pedra com velocidade de 30 m∙s (em relação ao piloto). Adote g = 10 m/s . A distância da
vertical que passa pelo ponto de lançamento ao ponto em que a pedra atinge o solo é:
a) 40 m
b) 80 m
c) 120 m
d) 240 m
e) 360 m
19. (Vunesp-SP) Um projétil atirado com velocidade v0 = 200 m/s, fazendo um ângulo de 60º
com a horizontal. Desprezada a resistência do ar, qual será a altura do projétil quando sua
2
velocidade fizer um ângulo de 45º com a horizontal? (Adote g = 10 m/s )
a) 500 m
b) 1.500 m
c) 1.000 m
d) 3.000 m
e) 750 m
20. (Mackenzie-SP) Um jogador de basquete, parado, lança obliquamente a bola da altura de
1,70 m com velocidade de 10 m/s, formando um ângulo  (sen  = 0,8; cos  = 0,6) acima da
2
horizontal, para outro jogador situado a 9 m dele. Adote g = 10 m/s e despreze a resistência
do ar. A altura, em relação ao solo, a que esse jogador deve colocar a mão, com o braço na
vertical, para apanhar a bola é:
a) 0,75 m
b) 1,70 m
c) 2,25 m
d) 2,45 m
e) 2,65 m
01: 1.000 m; 250 m
07: a
10: b
08: 5
02: 60 m/s
03: c
04: b
05: b
06: c
m/s, aproximando-se do local do arremesso
11: todas verdadeiras
16: v0 = 20 m/s e  = 60º 17: a
09: c
12: a 13: d 14: c 15: d
18: c
19: c
20: d
Grandezas angulares
01. (UEL-PR) Um móvel, saindo do ponto A no instante t =  s em movimento uniforme, deve
percorrer a trajetória indicada na figura, até chegar ao ponto B. Sendo a velocidade tangencial
do móvel de 2,0 m/s, ele deverá chegar ao ponto B no instante:
a) 4,5 s
b) 3,5 s
c) 6,0 s
d) 7,0 s
e) 9,0 s
02. (Vunesp-SP) Sejam 1 e 2 as velocidades angulares dos ponteiros das horas de um
relógio da torre de uma igreja e de um relógio de pulso, respectivamente, e v1 e v2 as
velocidades escalares das extremidades desses ponteiros. Se os dois relógios fornecem a hora
certa, podemos afirmar que:
a) 1 = 2 e v1 = v2
b) 1 = 2 e v1 > v2
c) 1 > 2 e v1 = v2
d) 1 > 2 e v1 > v2
e) 1 < 2 e v1 < v2
03. (Fuvest-SP) Em uma estrada, dois carros, A e B, entram simultaneamente em curvas
paralelas, com raios RA e RB. Os velocímetros de ambos os carros indicam, ao longo de todo o
trecho curvo, valores constantes vA e vB. Se os carros saem das curvas ao mesmo tempo, a
relação entre vA e vB é
a) vA = vB
b) vA/vB = RA/RB
2
c) vA/vB = (RA/RB)
d) vA/vB = RB/RA
2
e) vA/vB = (RB/RA)
04. (UFRN) A velocidade angular do movimento do ponteiro das horas vale, em rad/h:
a) /24
b) /12
c) /6
d) /4
e) /3
05. (Fuvest-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 50 cm.
a) Qual a velocidade angular do ponteiro?
b) Calcule a velocidade linear da extremidade do ponteiro.
06. (Fuvest-SP) Um automóvel percorre uma pista circular de 1,0 km de raio, com velocidade
escalar constante de 36 km/h. Em quanto tempo, em segundos, o automóvel percorre um arco
de circunferência de 30º?
07. (Fuvest-SP) O raio do cilindro de um carretel mede 2,0 cm. Uma pessoa, em 10 s,
desenrola uniformemente 50 cm de linha que está em contato com o cilindro.
a) Qual o valor da velocidade linear de um ponto da superfície do cilindro em contato com o
fio?
b) Qual a velocidade angular de um ponto P distante 4,0 cm do eixo de rotação?
Instruções para as questões de números 08 e 09:
Um móvel M parte de um ponto P percorrendo, no sentido horário, uma trajetória circular de
raio r igual a 2,0 metros, como representa a figura abaixo. A velocidade escalar do móvel é
constante e igual a 3,0 m/s.
08. (UEL-PR) Qual é o intervalo de tempo, em segundos, gasto pelo móvel M para percorrer o
trecho de P e Q?
a) 1,0
b) 2,0
c) 3,0
d) 4,0
e) 6,0
09. (UEL-PR) Qual é o valor da velocidade angular do móvel M, em radianos por segundo?
a) 0,5P
b) 1,5P
c) 2,0P
d) 3,0P
e) 4,5P
10. (FCMSC-SP) A figura é a representação da trajetória circular de duas partículas (x e y), que
se movem nos sentidos indicados pelas setas, e que partem simultaneamente dos pontos C e
F com velocidades angulares constantes. Depois da partida, x e y encontram-se pela primeira
vez no ponto A. Em qual dos seguintes pontos, as partículas x e y encontram-se pela segunda
vez?
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
11. (UFV-MG) Duas moedas giram com o prato de um toca-discos. Representando por v a
velocidade linear e por  a velocidade angular, e sendo R2 = 2R1, é correto afirmar que:
a) 1 = 2
b) v1 = v2
c) v1 = 2v2
d) 2 = 21
e) 1 = 22
12. (PUC-SP) Dois patinadores, A e B, de massas iguais empregam o mesmo tempo para
completar uma volta em torno de uma pista circular. A distância do patinador A ao centro da
pista é o dobro da do patinador B ao mesmo centro. Chamando de vA e vB, respectivamente, as
velocidades de A e B, e de A e B, as respectivas velocidades angulares, pode-se afirmar que:
a) vA = vB/2
b) vA = 2vB
c) vA = vB
d) A = B
e) A = B/2
13. (UFPE) Dois corredores disputam uma prova em uma pista circular. O corredor A usa a
pista interna cujo raio é 20 m, enquanto o corredor B usa a pista externa, cujo raio é 22 m. Se
os dois corredores dão o mesmo número de voltas por minuto, quanto, em porcentagem, a
velocidade linear do corredor B é maior do que a do corredor A?
14. (PUC-SP) Uma partícula percorre uma trajetória circular de raio 20 cm, com velocidade
constante de 40 cm/s. A velocidade e aceleração angulares da partícula valem,
respectivamente:
a) 2,0 rad/s e 0
2
b) 2,0 rad/s e 2,0 rad/s
2
c) 0 e 2,0 rad/s
2
d) 2,0 rad/s e 4,0 rad/s
2
e) 4,0 rad/s e 2,0 rad/s
15. (Fuvest-SP) Um carro de corrida parte do repouso e, com aceleração constante, atinge,
após 15 segundos, a velocidade e 270 km/h (ou seja, 75 m/s). A figura representa o
velocímetro, que indica a velocidade instantânea do carro. Despreze as perdas por atrito e
suponha que o movimento ocorra numa trajetória retilínea e horizontal.
a) Qual a velocidade angular  do ponteiro do velocímetro durante a aceleração do carro?
Indique a unidade usada.
b) Qual o valor do módulo da aceleração escalar do carro nesses 15 segundos?
16. (AEU-DF) A velocidade angular do ponteiro de segundo de um relógio é:
a) (/60) rad/s
b) (/30) rad/s
c) (/20) rad/s
d) (/15) rad/s
e) (/10) rad/s
17. (UFES) Qual é, aproximadamente, a velocidade de rotação da Terra em torno de seu
próprio eixo, em rad/s?
-1
a) 2∙10
-2
b) 2∙10
-3
c) 4∙10
-4
d) 4∙10
-5
e) 7∙10
18. (ITA-SP) Num plano horizontal sem atrito, uma partícula m 1 move-se com movimento
circular uniforme de velocidade angular . Ao passar pelo ponto P, outra partícula m 2 é lançada
do ponto O com velocidade v0. Qual o valor de v0 para que m1 e m2 colidam em Q?
a) 2R
b) 2/R
c) 2R/
d) R/
e) R
19. (UFPE) O relógio da Estação Ferroviária Central do Brasil, no Rio de Janeiro, tem ponteiros
de minutos e de horas que medem, respectivamente, 7,5 m e 5,0 m de comprimento. Qual a
razão vA/vB, entre as velocidades lineares dos pontos extremos dos ponteiros de minutos e de
horas?
a) 10
b) 12
c) 18
d) 24
e) 30
20. (Fuvest-SP) Um disco roda sobre uma superfície plana, sem deslizar. A velocidade de seu
centro O é
. Em relação ao plano responda às questões a seguir.
a) Qual a velocidade
b) Qual a velocidade
do ponto A?
do ponto B:
01: a
- Calculando a variação de espaço para o primeiro arco de circunferência temos:
∆s1 = ∆∙R1
∆s1 = (3/2)∙4
∆s1 = 6 m
- Calculando a variação de espaço para o segundo arco de circunferência temos:
∆s2 = ∆2∙R2
∆s2 = (2/2)∙1
∆s2 =  m
- A variação do espaço total será:
∆s = ∆s1 + ∆s2
∆s = 6 + 
∆s = 7
- Aplicando a equação da velocidade temos:
v = ∆s/∆t
2,0 = 7/∆t
∆t = 7/2,0
∆t = 3,5 s
- Como o móvel partiu em um tempo t0 =  s, temos:
∆t = 3,5
t − t0 = 3,5
t −  = 3,5
t = 3,5 +
t = 4,5 s
02: b
- Como os ponteiros completam uma volta com o mesmo tempo, eles possuem a mesma
velocidade angular.
- E como v = R, quem tem maior raio tem maior velocidade, portanto, v1 > v2.
03: b
- Como eles giram o mesmo ângulo, no mesmo tempo, possuem a mesma velocidade angular:
A = B
(vA/RA) = (vB/RB)
vA/vB = RA/RB
04: c
- Calculando a velocidade angular temos:
 = ∆/∆t
 = 2/12
 = /6) rad/h
05:
a) O ponteiro dos minutos gasta 1 h (3.600 s) para dar um volta completa (2  rad), calculando
a velocidade angular temos:
 = ∆/∆t
 = 2/3.600
 = (/1.800) rad/s
b) Calculando a velocidade linear temos:
v = R
v = (/1.800)∙0,5
v = (/3.600) m/s
06:
- Alguns dados:
30º = (/6) rad
36 km/h = 10 m/s
1 km = 1.000 m
- O deslocamento escalar sofrido pelo automóvel será:
∆s = ∆∙R
∆s = (/6)∙1.000
∆s = (1.000/6) m
- Aplicando a velocidade:
v = ∆s/∆t
10 = (1.000/6)/∆t
∆t = 100/6
∆t = (50/3) s
07:
a) Como foi desenrolado 50 cm (ou 0,50 m) em 10 s:
v = ∆s/∆t
v = 0,50/10
v = 0,05 m/s ou v = 5,0 cm/s
b) Como todos os pontos do carretel giram juntos com a mesma velocidade angular, utilizamos
a velocidade acima, que está a 2,0 cm de distância do eixo de rotação e calculamos a
velocidade angular:
v = R
5,0 = ∙2,0
 = 5,0/2,0
 = 2,5 rad/s
08: a
- De P até Q o móvel desloca 270º (∆ = 3/2), calculando a variação do espaço temos:
∆s = ∆∙R
∆s = (3/2)∙2,0
∆s = 3,0 m
- Calculando o tempo temos
v = ∆s/∆t
3,0 = 3,0/∆t
∆t = 1,0 s
09: b
- Calculando a velocidade angular temos:
v = R
3,0 = ∙2,0
 = 3,0/2,0
 = 1,5 rad/s
10: b
- Para o móvel x chegar ao ponto A ele deslocou 135º e o móvel y 45º, portanto, a velocidade
angular de x é três vezes maior que a de y. Eles encontrarão de novo quando a soma de seus
deslocamentos angulares for 360º ou múltiplo de 360º .
- Tomando o ponto A como início do nosso problema e:
∆x => deslocamento angular de x.
∆y => deslocamento angular de y.
- Para tempos iguais o deslocamento angular de x é três vezes o de y e a sua soma deve dar
360º para que ocorra o encontro novamente
∆x + ∆y = 360º
3∆y + ∆y = 360º
4∆y = 360º
∆y = 360º/4
∆y = 90º
e
∆x = 270º
- A partir de A ,quando o móvel x deslocar 270º e o móvel y deslocar 90º ocorrerá o segundo
encontro, portanto, no ponto B.
11: a
- Todos os pontos do prato do toca-discos completam uma volta em um mesmo tempo,
portanto, possuem mesma velocidade angular: 1 = 2.
12: b
- Como os móveis completam a volta em um mesmo tempo, possuem:
A = B
- Como v = R, isolando a velocidade angular e substituindo na relação acima, temos:
(vA/RA) = (vB/RB)
- Mas como RA = 2RB:
(vA/2RB) = (vB/RB)
(vA/2) = vB
vA = 2vB
13:
- Como os corredores completam a volta em um mesmo tempo, possuem:
A = B
- Como v = R, isolando a velocidade angular e substituindo na relação acima, temos:
(vA/RA) = (vB/RB)
(vA/20) = (vB/22)
vB = 22vA/20
vB = 1,1vA
- Portanto a velocidade de B é 0,1 maior que a do corredor B, ou seja, 10%.
14: a
- A velocidade angular será:
v = R
 = v/R
 = 40/20
 = 2,0 rad/s
- E como a velocidade é constante, o movimento uniforme não tendo aceleração, portanto a
aceleração angular será zero.
15:
a) Como podemos observar, o deslocamento angular do ponteiro será, a partir do zero, sempre
igual à metade do valor da velocidade em km/h (exemplo: para um aumento de velocidade de
zero a 180 km/h o ponteiro desloca 90º). Como o aumento de velocidade foi de 270 km/h, o
deslocamento angular do ponteiro do velocímetro é 135º. Transformando em radianos 135º =
3/4 rad.
- Calculando a velocidade angular temos:
 = ∆/∆t
 = (3/4)/15
 = 3/4∙15
 = /4∙5
 = /20
 = 0,05 rad/s
b) Calculando a aceleração do carro temos:
a = ∆v/∆t
a = 75/15
2
a = 5 m/s
16: b
- O tempo para o ponteiro dos segundos completar uma volta é 60 s. Calculando a velocidade
angular temos:
 = ∆/∆t
 = 2/60
 = (/30) rad/s
17: e
- O tempo para a Terra completar uma volta completa é de 24 h = 86.400 s, calculando a
velocidade angular temos:
 = ∆/∆t
 = 2/86.400
-5
 = 7,3∙10 rad/s
18: c
- Aplicando a equação da velocidade para a massa 1 podemos calcular o tempo gasto no
movimento:
v = ∆s/∆t
v0 = R/∆t
∆t = R/v0
- Esse tempo é o mesmo gasto pelo corpo 2 para alcançar o ponto Q, pois chegam juntos,
aplicando a velocidade angular:
 = ∆/∆t
 = (/2)/(R/v0)
 = (v0/2R)
v0 = 2R/
19: c
20:
a)
= 2∙
b)
=
Período e freqüência
01. (PUC-RS) A freqüência e o período dos minutos de um relógio são, respectivamente:
a) (1/3.600) Hz e 3.600 s
b) (1/60) Hz e 3.600 s
c) (1/60) Hz e 60 min
d) 60 Hz e 60 s
e) 60 Hz e (1/60) min
02. (PUCCamp-SP) Um disco gira com freqüência de 30 rpm. Isso quer dizer que o período do
movimento circular desenvolvido é de:
a) 0,033 s
b) 0,5 s
c) 2 s
d) 2 min
e) 30 min
03. (Vunesp-SP) Quem está na Terra vê sempre a mesma face da lua. Isto ocorre porque:
a) a Lua não efetua rotação e nem translação.
b) a Lua não efetua rotação, apenas translação.
c) os períodos de rotação e translação da Lua são iguais.
d) as oportunidades para se observar a face oculta coincidem com o período diurno da Terra.
e) enquanto a Lua dá uma volta em torno da Terra, esta dá uma volta em torno do seu eixo.
04. (UFU-MG) Relativamente aos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio comum, é
correto afirmar que:
a) possuem a mesma velocidade angular.
b) a aceleração angular do segundo ponteiro é maior.
c) possuem a mesma freqüência.
d) o período do primeiro é maior.
e) a velocidade angular do primeiro é maior.
05. (UFRS) Um corpo em movimento circular uniforme completa 20 voltas em 10 segundos. O
-1
período (em s) e a freqüência (em s ) do movimento são, respectivamente:
a) 0,50 e 2,0
b) 2,0 e 0,50
c) 0,50 e 5,0
d) 10 e 20
e) 20 e 2,0
06. (Fuvest-SP) Um disco contendo um orifício situado próximo a sua borda gira defronte a
uma fonte de luz laser, à razão de 10 voltas por segundo. Um pulso de luz passa pelo orifício,
reflete-se num espelho situado a uma distância d do sistema do disco e passa pelo mesmo
orifício após o disco ter completado uma volta. Sabendo-se que a luz se propaga nesse meio a
300.000 km/s, podemos afirmar que a distância d vale:
a) 15.000 km
b) 30.000 km
c) 150.000 km
d) 300.000 km
e) 3.000.000 km
07. (Fuvest-SP) Um disco tem seu centro fixo no ponto O do eixo fixo X da figura, e possui uma
marca no ponto A de sua periferia. O disco gira com velocidade angular constante  em
relação ao eixo. Uma pequena esfera é lançada do ponto B do eixo em direção ao centro do
disco, no momento em que o ponto A passa por B. A esfera desloca-se sem atrito, passa pelo
centro do disco, e após 6 s atinge sua periferia exatamente na marca A, no instante em que
esta passa pelo ponto C do eixo X. Se o tempo gasto pela esfera para percorrer o segmento
BC é superior ao necessário para que o disco dê uma volta, mas é inferior ao tempo necessário
para que o disco dê duas voltas, o período de rotação do disco é de:
a) 2 s
b) 3 s
c) 4 s
d) 5 s
e) 6 s
08. (U. Mogi das Cruzes-SP) Um ponto material possui movimento circular uniforme e realiza
uma volta a cada 2,0 s. O período, a freqüência e a velocidade angular desse móvel são,
respectivamente:
a) 0,50 s, 2,0 Hz e (/2) rad/s
b) 2,0 s, 0,50 Hz e  rad/s
c) 2,0 s, 1,0 Hz e 2 rad/s
d) 0,50 s, 2,0 Hz e  rad/s
e) 2,0 s, 2,0 Hz e 2 rad/s
01: a
- O ponteiro dos minutos gasta 1 hora para completar a volta no relógio, ou seja, 3.600 s,
portanto temos:
T = 3.600 s
- Como a freqüência é o inverso do período:
f = 1/T
f = 1/3.600
f = (1/3.600) Hz
02: c
- O significado de rpm é rotações por minuto, ou seja, em 60 s. Podemos transformar rpm em
Hz (que é rotações por segundo) simplesmente dividindo por 60:
f = 30/60
f = 0,5 Hz
- A pergunta foi o período:
T = 1/f
T = 1/0,5
T=2s
03: c
- Ao mesmo tempo em que a Lua translada em torno da Terra, ela também sofre a rotação em
torno de seu eixo, mantendo sempre a mesma face para a Terra.
04: d
- O ponteiro das horas tem um período de 12 h e o ponteiro dos minutos tem um período de 1
h, portanto, o período do primeiro é maior que o segundo.
05: a
- Calculando o período temos:
T = ∆t/n
T = 10/20
T = 0,50 s
- Calculando a freqüência temos:
f = 1/T
f = 1/0,50
-1
f = 2 Hz (ou s )
06: a
- A freqÜência de rotação do disco é:
f = n/∆t
f = 10/1
f = 10 Hz
- O período (tempo para dar uma volta) é:
T = 1/f
T = 1/10
T = 0,1 s
- Neste tempo, o raio de luz atravessou o orifício e foi até o espelho, percorrendo a distância d
e; refletiu no espelho voltando novamente ao orifício percorrendo, mais uma vez, a distância d.
Portanto, o raio de luz percorreu uma distância 2d neste tempo:
v = ∆s/∆t
300.000 = 2d/0,1
2d = 30.000
d = 15.000 km
07: c
- Se a esfera chega ao ponto C junto com o ponto A gastando um tempo maior que uma volta e
menor que duas voltas, só ocorre quando o disco der 1,5 voltas. Calculando o período temos:
T = ∆t/n
T = 6/1,5
T=4s
08: b
- Calculando o período temos:
T = ∆t/n
T = 2,0/1
T = 2,0 s
- Calculando a freqüência temos:
f = 1/T
f = 1/2,0
f = 0,50 Hz
- Como o corpo percorre uma volta (2 rad) em 2,0 segundos, podemos calcular a velocidade
angular:
 = ∆/∆t
 = 2/2,0
 =  rad/s
Movimento circular uniforme
01. (UERJ) A distância entre o Sol e a Terra é de cerca de 150 milhões de quilômetros.
7
Considere 1 ano igual a 3,1∙10 s, adote  = 3,1 e admita a órbita da Terra, em torno do Sol,
como circular. Assim, a velocidade de translação da Terra, em relação ao Sol, tem módulo,
aproximadamente, igual a:
a) 3,0 km/s
b) 30 km/s
2
c) 3,0∙10 km/s
3
d) 3,0∙10 km/s
4
e) 3,0∙10 km/s
02. (UFPE) A velocidade de um automóvel pode ser medida facilmente através de um
dispositivo que registra o número de rotações efetuadas por uma de suas rodas, desde que se
conheça seu diâmetro. Considere, por exemplo, um pneu cujo diâmetro é de 0,50 m. Se o pneu
executa 480 rotações por minuto, pode-se afirmar que a velocidade do automóvel, em m/s, é:
a) 4
b) 8
c) 12
d) 16
e) 20
03. (Fuvest-SP) Uma criança, montada num velocípede, desloca-se, em trajetória retilínea, com
velocidade constante em relação ao chão. A roda dianteira descreve uma volta completa em 1
segundo. O raio da roda dianteira vale 24 cm e os raios das rodas traseiras valem 16 cm.
Podemos afirmar que as rodas traseiras do velocípede completam uma volta em,
aproximadamente:
a) (1/2) s
b) (2/3) s
c) 1 s
d) (3/2) s
e) 2 s
04. (PUC-MG) A figura mostra um corte de globo terrestre, contendo o seu eixo de rotação
(ligando o pólo norte ao pólo sul). O ponto A representa uma pessoa no equador, e o ponto B
representa uma pessoa em uma latitude , ambas em repouso em relação ao planeta. Este
gira no sentido mostrado. Seja vA a velocidade linear de A, e vB a velocidade linear de B,
ambas devido à rotação do planeta. A razão vA/vB é igual a:
a) sen 
b) cos 
c) tan 
d) cossec 
05. (Fuvest-SP) Duas rodas gigantes começam a girar, num mesmo instante, com uma pessoa
na posição mais baixa em cada uma. A primeira dá uma volta a cada 30 segundos e a segunda
dá uma volta a cada 35 segundos. As duas pessoas estarão ambas novamente na posição
mais baixa após:
a) 1 minuto e 10 segundos.
b) 3 minutos.
c) 3 minutos e 30 segundos.
d) 4 minutos.
e) 4 minutos e 20 segundos.
06. (UFES) Uma pessoa está em repouso na superfície terrestre, sobre a linha do equador.
6
Considerando-se que o raio da Terra mede 6,4∙10 m e adotando-se  = 3, a velocidade linear
da pessoa, devido ao movimento da rotação da Terra, tem módulo, em km/h, igual a:
a) 24
2
b) 2,5∙10
2
c) 8,0∙10
3
d) 1,6∙10
3
e) 6,0∙10
07. (UFCE) Um automóvel se desloca em uma estrada horizontal com velocidade constante de
modo tal que os seus pneus rolam sem qualquer deslizamento na pista. Cada pneu tem
diâmetro D = 0,50 m, e um medidor colocado em um deles registra uma freqüência de 840 rpm.
A velocidade do automóvel é de:
a) 3 m/s
b) 4 m/s
c) 5 m/s
d) 6 m/s
e) 7 m/s
08. (Vunesp-SP) O comprimento da banda de rodagem (circunferência externa) do pneu de
uma bicicleta é de aproximadamente 2,0 m.
a) Determine o número N de voltas (rotações) dadas pela roda da bicicleta, quando o ciclista
percorre uma distância de 6,0 km.
b) Supondo-se que esta distância tenha sido percorrida com velocidade escalar constante de
18 km/h, determine, em hertz, a freqüência de rotação da roda durante o percurso.
09. (Vunesp-SP) Um farol marítimo projeta um facho de luz contínuo, enquanto gira em torno
de seu eixo à razão de 10 rpm. Um navio, com o costado perpendicular ao facho, está parado a
6,0 km do farol. Com que velocidade um raio luminoso varre o costado do navio?
a) 60 m/s
b) 60 km/s
c) 6,3 km/s
d) 630 m/s
e) 1,0 km/s
10. (UFSCar-SP) No site www. agespacial.gov.br, da Agência Espacial Brasileira, aparece a
seguinte informação:
O Centro de Lançamento de Alcântara (CLA) vem sendo construído desde a década de
80 e está atualmente preparado para lançar foguetes de sondagem e veículos lançadores de
satélites de pequeno porte. Localizado na costa do Nordeste brasileiro, próximo ao equador, a
posição geográfica do CLA aumenta as condições de segurança e permite menores custos de
lançamento.
Um dos fatores determinantes dessa redução de custos deve-se à inércia do movimento de
rotação da Terra. Graças a essa inércia, o veículo lançador consome menos energia para fazer
com que o satélite adquira a sua velocidade orbital. Isso ocorre porque, nas proximidades do
equador, onde se encontra o CLA:
a) a velocidade tangencial da superfície da Terra é maior do que em outras latitudes.
b) a velocidade tangencial da superfície da Terra é menor do que em outras latitudes.
c) a velocidade tangencial da superfície da Terra é igual à velocidade orbital do satélite.
d) a aceleração da gravidade na superfície da Terra é menor do que em outras latitudes.
e) a aceleração da gravidade na superfície da Terra é maior do que em outras latitudes.
11. (EEM-SP) A roda de uma máquina, de raio 20 cm, gira com velocidade constante,
executando 3.600 rotações por minuto. Calcule, em unidades do SI:
a) seu período;
b) sua velocidade angular;
c) a velocidade linear de um ponto da periferia da roda.
12. (UFRS) Determinar a velocidade de um projétil, disparado horizontalmente contra um alvo
rotativo disposto a 15 m de distância, sabendo-se que o alvo executa 300 revoluções por
minuto e o arco medido entre o ponto visado no momento do disparo e o ponto de impacto do
projétil no alvo é de 180º.
13. (Fuvest-SP) Um disco de raio r gira com velocidade angular  constante. Na borda do
disco, está presa uma placa fina de material facilmente perfurável. Um projétil é disparado com
velocidade v em direção ao eixo do disco, conforme mostra a figura, e fura a placa no ponto A.
Enquanto o projétil prossegue sua trajetória sobre o disco, a placa gira meia circunferência, de
forma que o projétil atravessa mais uma vez o mesmo orifício que havia perfurado. Considere a
velocidade do projétil constante e sua trajetória retilínea. O módulo da velocidade v do projétil
é:
a) r/
b) 2r/
c) r/2
d) r
e) /r
14. (UFPR) Um ponto em movimento circular uniforme descreve 15 voltas por segundo em uma
circunferência de 8,0 cm de raio. A sua velocidade angular, o seu período e a sua velocidade
linear são, respectivamente:
a) 20 rad/s; (1/15) s; 280 cm/s
b) 30 rad/s; (1/10) s; 160 cm/s
c) 30 rad/s; (1/15) s; 240 cm/s
d) 60 rad/s; 15 s; 240 cm/s
e) 40 rad/s; 15 s; 200 cm/s
15. (FEI-SP) Uma partícula percorre uma trajetória circular, de raio R = 5,0 m, com velocidade
escalar constante. Entre as datas t1 = 1,0 s e t2 = 4,0 s seu percurso é ∆s = 45 m. Determine:
a) o período T do movimento;
b) o módulo da aceleração centrípeta.
16. (UFGO) Uma partícula executa um movimento circular uniforme de raio 1,0 m com
2
aceleração 0,25 m/s . O período do movimento, em segundos, é:
a) 2
b) 4
c) 8
d) /2
e) /4
17. (Fatec-SP) Uma partícula percorre uma circunferência de raio R com velocidade linear
constante v. A velocidade angular , o período T e a aceleração centrípeta acp são:
18. (FEI-SP) Um automóvel, cujas rodas possuem um diâmetro d = 0,50 m, move-se com
velocidade constante, percorrendo a distância L = 56,6 km no intervalo de tempo ∆t = 30 min.
Determine:
a) sua velocidade, em m/s;
b) o número de rotações por minuto de cada roda.
Adote  = 3,14.
19. (UFRN) Duas partículas percorrem uma mesma trajetória em movimentos circulares
uniformes, uma em sentido horário e a outra em sentido anti-horário. A primeira efetua 1/3 rpm
e a segunda 1/4 rpm. Sabendo que partiram do mesmo ponto, em 1 hora encontrar-se-ão:
a) 45 vezes
b) 35 vezes
c) 25 vezes
d) 15 vezes
e) 7 vezes
20. (Mackenzie-SP) Ao observarmos um relógio convencional, vemos que pouco tempo depois
das 6,50 h o ponteiro dos minutos se encontra exatamente sobre o ponteiro das horas. O
intervalo de tempo mínimo necessário para que ocorra um novo encontro é:
a) 1,00 h
b) 1,05 h
c) 1,055 h
d) (12/11) h
e) (24/11) h
21. (ITA-SP) O ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos de um relógio estão superpostos
às 5 horas, x minutos e y segundos. Obtenha x e y.
22. (Fatec-SP) Uma formiga, encontrando-se no centro de uma roda-gigante que gira
uniformemente, caminha para um carrinho. À medida que a formiga se aproxima do carrinho:
a) seu período aumenta.
b) sua freqüência aumenta.
c) sua velocidade angular cresce.
d) sua velocidade linear aumenta.
e) sua aceleração escalar diminui.
23. (Mackenzie-SP) Devido ao movimento de rotação da Terra, uma pessoa sentada sobre a
linha do Equador tem velocidade escalar, em relação ao centro da Terra, igual a:
a) 2.250 km/h
b) 1.650 km/h
c) 1.300 km/h
d) 980 km/h
e) 460 km/h
Adote:
- Raio equatorial da Terra = 6.300 km
-  = 22/7
24. (FMTM-MG) Num aparelho para tocar CDs musicais, a leitura da informação é feita por um
dispositivo que emite um feixe de laser contra a superfície do CD e capta a luz refletida. Ao
reproduzir as faixas da primeira à última, o dispositivo movimenta-se radialmente perto da
superfície do CD, do centro para a borda ( ao contrário dos discos de vinil), enquanto o CD gira
rapidamente, para que o feixe de laser percorra as trilhas de informação, conforme a figura.
A velocidade de leitura na trilha do CD permanece constante durante toda a reprodução. Nesta
situação, considere as afirmações:
I. O CD tem movimento de rotação com velocidade angular variável.
II. Se duas faixas musicais têm a mesma duração, o CD dará o mesmo número de voltas para
reproduzir cada uma delas.
III. O período de revolução do movimento circular do CD aumenta ao longo da reprodução.
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
25. (PUC-MG) A roda de um carro tem diâmetro de 60 cm e efetua 150 rotações por minuto
(150 rpm). A distância percorrida pelo carro em 10 s será, em centímetros, de:
a) 2.000
b) 3.000
c) 1.800
d) 1.500
26. (UERJ) Um satélite encontra-se em órbita circular, cujo raio é cerca de 42.000 km, ao redor
da Terra. Sabendo-se que sua velocidade é de 10.800 km/h, o número de horas que
corresponde ao período de revolução desse satélite é, aproximadamente, igual a:
a) 6
b) 8
c) 12
d) 24
27. (Mackenzie-SP) Num relógio convencional, às 3 h pontualmente, vemos que o ângulo
formado entre o ponteiro dos minutos e o das horas mede 90º. A partir desse instante, o menor
intervalo de tempo, necessário para que esses ponteiros fiquem exatamente um sobre o outro,
é:
a) 15 minutos.
b) 16 minutos.
c) (180/11) minutos.
d) (360/21) minutos.
e) 17,5 minutos.
28. (UFSCar-SP) Exatamente a 0:00 hora, os três ponteiros de um relógio coincidem. Supondo
que seus movimentos sejam uniformes, determine:
a) Quantos minutos, após este instante, pela primeira vez o ponteiro dos minutos alcançará o
ponteiro das horas?
b) Quantos minutos, após esse instante, pela primeira vez o ponteiro dos segundos alcançará o
ponteiro dos minutos?
01: b
- Calculando temos:
v = 2R/T
6
7
v = 2∙3,1∙150∙10 /3,1∙10
v = 30 km/s
02: a
- Transformando a freqüência em rotações por segundo (Hz), temos:
f = 480/60
f = 8 Hz
- Calculando a velocidade com que gira a roda teremos a velocidade do carro:
v = 2R∙f (D = 2R)
v = D∙f
v = ∙0,5∙8
v = 4 m/s
03: b
- Como as rodas possuem a mesma velocidade linear (v1 = v2) temos:
v1 = 2R1/T1 e v2 = 2R2/T2
v1 = v2
2R1/T1 = 2R2/T2
R1/T1 = R2/T2
- Substituindo os dados temos:
24/1 = 16/T2
T2 = 16/24
T2 = (2/3) s
04: b
- O ponto A realiza o movimento com raio R e o ponto B com raio r:
- Aplicando cos ao ângulo  temo:
cos  = r/R
r = R∙cos 
- Calculando velocidade de A temos:
vA = 2r/TA
- Calculando velocidade de B temos:
vB = 2R/TB
- Como os períodos de rotação são iguais, TA = TB = T, temos:
vA/vB = (2r/T)/(2R/T)
vA/vB = r/R
vA/vB = R∙cos /R
vA/vB = cos 
05: c
- Chamaremos de roda gigante 1 a mais rápido (30 s) e de roda gigante 2 a mais lenta (35 s).
As rodas gigantes possuem velocidades angulares:
1 = 2/T1
e
2 = 2/T2
1 = 2/30 rad/s
2 = 2/35 rad/s
- Podemos escrever a função horária do espaço angular para cada roda gigante:
1 = 01 + 1t
e
2 = 02 + 2t
1 = 0 + (2/30)t
2 = 0 + (2/35)t
1 = (2/30)t
2 = (2/35)t
- Para que o mais rápido encontre o mais lento, ele tem que ter uma volta (2  rad) na frente do
outro:
1 − 2 = 2
(2/30)t − (2/35)t = 2
t/30 − t/35 = 1
(7t − 6t/210) = 1
t = 210 s
t = 3 min 30 s
06: d
- O período de rotação da Terra é de 1 dia = 24 h. A velocidade linear para uma pessoa no
equador é:
v = 2R/T
3
6
3
v = 2∙3∙6,4∙10 /24
(6,4∙10 m = 6,4∙10 km)
3
v = 38,4∙10 /24
3
v = 1,6∙10 km/h
07: e
- A velocidade com que gira o pneu é a velocidade do automóvel. Calculando a freqüência em
Hz, temos:
f = 840/60
f = 14 Hz
- Calculando a velocidade:
v = 2Rf
v = 2∙0,25∙14
v = 7m/s
08:
a) O número de voltas é:
N = 6.000/2,0
3
N = 3,0∙10 voltas
b) Sendo a velocidade 18 km/h = 5,0 m/s:
v = 2Rf
5,0 = 2,0∙f
(2R = 2,0)
f = 5,0/2,0
f = 2,5 Hz
09: c
- A freqüência de 10 rpm é:
f = 10/60
f = (1/6) Hz
- Calculando a velocidade temos:
v = 2Rf
v = 2∙3,14∙6,0∙(1/6)
v = 6,3 km/s
10: a
- Em relação ao eixo de rotação da Terra a posição que possui maior raio é no equador,
portanto, é no equador que está a maior velocidade linear da superfície terrestre, pois, v =
2Rf, quanto maior o raio maior a velocidade.
11:
- 3.600 rpm vale em Hz:
f = 3.600/60
f = 60 Hz
a) O período, então, será:
T = 1/f
T = (1/60) s
b) Calculando sua velocidade angular temos:
 = 2f
 = 2∙60
 = 120 rad/s
c) Para velocidade linear:
v = R
v = 120∙0,20
v = 24 m/s
12:
- Com 300 rpm, temos:
f = 300/60
f = 5 Hz
- Dando uma velocidade angular de:
 = 2f
 = 2∙5
 = 10 rad/s
- Como o ângulo visado foi de 180º (quanto girou o alvo rotativo) podemos calcular o tempo
gasto para isto:
 = ∆/∆t
10 = /∆t
∆t = 0,1 s
- Como o projétil estava a 15 m temos:
v = ∆s/∆t
v = 15/0,1
v = 150 m/s
13: b
- A velocidade angular é:
 = 2/T ou T = 2/
- A velocidade do projétil é:
v = ∆s/∆t
v = 2r/∆t
- O tempo gasto foi o tempo para dar meia volta, ou seja, meio período:
v = 2r/∆t
v = 2r/(/)
v = 2r/
14: c
- Calculando o período temos:
T = ∆t/n
T = (1/15) s
- Calculando a velocidade angular temos:
 = 2/T
 = 2/(1/15)
 = 30 rad/s
- Calculando a velocidade linear temos:
v = R
v = 30∙8,0
v = 240 m/s
15:
a) Calculando a variação do espaço angular temos:
∆s = ∆∙R
45 = ∆∙5,0
∆ = 45/5,0
∆ = 9,0 rad
- como foi gasto um tempo de 3,0 s temos:
 = ∆/∆t
 = 9,0/3,0
 = 3,0 rad/s
- Calculando o período:
 = 2/T
3,0 = 2/T
T = (2/3) s
b) Calculando acp temos:
2
acp =  R
2
acp = 3,0 ∙5,0
2
acp = 45 m/s
16: b
- Calculando a velocidade angular temos:
2
acp =  R
2
0,25 =  ∙1,0
2
 = 0,25
 = 0,5 rad/s
- Calculando T:
 = 2/T
0,5 = 2/T
T = 2/0,5
T = 4 s
17: a
- Como v = R, temos que:
 = v/R
- Como  = 2/T ou T = 2/, e substituindo a equação acima temos:
T = 2R/v
- A aceleração centrípeta é:
2
acp = v /R
18:
a) Como ∆s = 56,6 km ou ∆s = 56.600 m e ∆t = 30 min ou ∆t = 1.800 s, temos:
v = ∆s/∆t
v = 56.600/1.800
v = 31,4 m/s
b) Sendo o raio metade do diâmetro temos:
v = 2Rf
31,4 = 2∙3,14∙0,25∙f
f = 20 Hz
19: b
20: d
21: x = 27 e y = 16
22: d
23: b
- Calculando temos:
v = 2R/T
v = 2(22/7)6.300/24
v = 1.650 km/h
24: e
I) Correta.
- Como a velocidade v é constante, e o dispositivo de leitura aumenta seu R, a velocidade
angular ( = v/R) irá decrescendo.
II) Errada.
- com o avanço do dispositivo, O diminui, assim, sua freqüência (f = O/2P) também diminui,
levando a um menor número de voltas, para um mesmo intervalo de tempo.
III) Correta.
- Se f diminui, T aumenta.
25: d
- Calculando a freqüência, em hertz, temos:
f = 150/60
f = 2,5 Hz
- Podemos, agora, calcular a velocidade linear:
v = 2Rf
v = 2∙30∙2,5
v = 150 cm/s
- Calculando a distância temos:
d = v∙∆t
d = 150∙10
d = 1500 cm
26: d
27: c
- Os períodos dos ponteiros são:
Minutos: TM = 60 min.
Horas: TH = 720 min.
- Calculando a velocidade angular relativa temos:
R = M − H
R = (2/TM) − (2/TH)
R = (2/60) − (2/720)
R = (2/60) − (/360)
R = (12/360) − (/360)
R = (11/360) rad/min
- Como estão deslocados de 90º = (/2) rad, calculamos o tempo utilizando a velocidade
angular relativa:
R = ∆R/∆t
(11/360) = (/2)/∆t
∆t = (360/22)
∆t = 360/22 (simplificando por 2)
∆t = (180/11) s
28:
a) (720/11) min
b) (60/59) min