CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES E NÃO LINEARES

APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
14
127
CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES E
NÃO LINEARES
Os circuitos magnéticos são empregados com o intuito de concentrar o efeito magnético em uma
dada região do espaço. Em outras palavras, este circuito direciona o fluxo magnético para onde for
desejado, sendo dotado de materiais com certas propriedades magnéticas e dimensões, a partir de
uma variedade de seções e diferentes comprimentos. Cumpre salientar aqui que as características
magnetizantes dos materiais são de natureza não linear, o que deve ser levado em conta nos
projetos de dispositivos eletromagnéticos. A título de exemplos poderíamos citar a determinação da
corrente elétrica requerida em um enrolamento para produzir uma dada densidade de fluxo no
entreferro de um pequeno atuador, de um relé ou de um eletromagneto.
14.1 - CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES
São considerados magneticamente lineares os circuitos magnéticos onde a permeabilidade relativa é
baixa. Circuitos magneticamente lineares podem ser obtidos quando o núcleo é de ar, ou constituído
por um material não ferromagnético.
Analogia com Circuitos Elétricos
Consideremos o dispositivo da fig. 14.1, onde o núcleo é formado por um material de permeabilidade
magnética .

i
V
N
Figura 14.1 - Um circuito magnético simples
Pela aplicação da lei de Ampère a este circuito teremos:


L H  dL  N I
(14.1)

Considerando que H possui módulo constante ao longo do caminho médio L percorrido pelo fluxo
magnético , mostrado na figura teremos:
N IH L
H
NI
( A.esp / m)
L
(14.2)
(14.3)
O produto N I é o responsável pela condução do fluxo no circuito magnético, desempenhando o papel
de uma fonte. Daí ele ser conhecido por força magneto motriz (Fmm).
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I

128

De B  µH , vem que:
B
µNI
L
(14.4)
O fluxo magnético  que passa através da secção reta ao longo do circuito será:
φ B S
(14.5)
Onde pela eq. (14.4)
φ
µN I
µFmm
S
S
L
L
(14.6)
Fmm

(14.7)
L
µS
(14.8)
ou ainda:
φ
O termo do denominador

é chamado de relutância do circuito magnético. Ele representa a dificuldade imposta à circulação do
fluxo magnético, tendo como unidade A.esp/Wb no Sistema Internacional.
Considere agora o circuito elétrico da fig. 14.2 formado por um único laço ou malha de corrente.
i
V
R
Figura 14.2 - Circuito elétrico análogo
Para esse circuito elétrico temos a resistência oposta à corrente elétrica dada por:
R
L
σS
(14.9)
I
V
R
(14.10)
onde
Portanto, para a corrente elétrica, sendo V a Fem (força eletro motriz) responsável pela corrente I:
I
Fem Fem

R L
(σS)
(14.11)
Podemos então montar um circuito elétrico análogo ao circuito magnético, conforme as
correspondências entre as grandezas magnéticas e elétricas a seguir:
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
Circuito Magnético
Fmm = N.I
Fluxo Magnético =  m
Relutância = 
Permeabilidade = 
Permeância = 1 
129
Circuito Elétrico
Fem = V
Corrente elétrica = I
Resistência Elétrica = R
Condutividade = 
Condutância = G1 R
Exemplo 14.1
Para o dispositivo da fig. 14.1, tem-se uma corrente I = 5 A, através de N = 100 espiras, fazendo
circular um fluxo magnético por um retângulo cujos comprimentos médios da base e da altura são
respectivamente 10 cm e 8 cm e secção reta 2 cm2, feito de um material de permeabilidade relativa
 r = 1000. Calcular:
a) - A relutância do circuito magnético
b) - A permeância do circuito magnético
c) - A intensidade de campo magnético no núcleo
d) - A densidade de fluxo magnético no núcleo
e) - O fluxo magnético no núcleo
Solução:

lm
2.(10  8).10 2

   1, 43x10 6 A.esp / Wb
µ r µ 0S 1000.4 π.10 7.2.10 4
P  1 /   7 x10 7 Wb /(A.esp)
H
NI
100x5

 H  1,4x10 3 A.esp / m

2
l m 2.(10  8).10
B  µ r µ 0 H  1000.4 π.10 7.1,4.10 3  B  1,76 Wb / m 2
φ  BS  1,76.2.10 4  3,5.10 4 Wb
Exemplo 14.2
Calcular o valor do fluxo magnético em cada braço da estrutura magnética da fig. 14.3, dados: N =
500 espiras, I = 1,0 A, material 1 com r1 = 200 e material 2 com r2 = 100.
material 1
material 2
2
N
5
medidas em cm
espessura: 2 cm
cm
2
5
2
2
5
2
Figura 14.3 - Estrutura ferromagnética do exemplo 14.2
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
130
Solução:
Pelo circuito elétrico análogo abaixo
H2l2
H1l1
1
NI
2
Para o lado do material 1:
Indução magnética no braço esquerdo:
B1 r10H1  200  4    10 7  1785,71  0,45T
NI H1l1
Para o lado do material 2:
Fluxo magnético no braço esquerdo:
NI H 2 l 2
φ1  B1S1  0,45  4 10 4 1,8 10 4 Wb
No caso l1 = l2 = lm
Indução magnética no braço direito:
l m  (5  5  5  5 111 11 11 1) cm  28cm
H1 
Figura 14.4 - circuito elétrico análogo
do exemplo 14.2
NI 500  1

1785,71A.esp / m
l1
0,28
NI 500  1
H2  
1785,71A.esp / m
l2
0,28
B 2 r 2 0H2 100  4    10 7  1785,71  0,23 T
Fluxo magnético no braço direito:
φ 2  B 2S2  0,23  4 10 4  0,92 10 4 Wb
Fluxo magnético (total) no braço central:
φ c  φ1  φ 2  2,72  10 4 Wb
14.2 - CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO-LINEARES
São considerados não lineares todos os circuitos magnéticos que utilizem materiais ferromagnéticos,
dotados de permeabilidade magnética alta, tais como o ferro fundido, o aço silício, o aço fundido, a
ferrite etc. A maioria dos circuitos magnéticos de aplicação prática são não lineares e a
permeabilidade dos materiais ferromagnéticos torna-se variável em função da indução ou densidade

de fluxo magnético B no núcleo.
Exemplo 14.3
As dimensões da estrutura magnética na fig. 14.5 estão indicadas na tabela em seguida. O
enrolamento de excitação possui 100 espiras. Determine a corrente neste enrolamento para
estabelecer um fluxo de 1.5x10-4 (Wb). Despreze a dispersão do fluxo magnético, considerando-o
todo confinado ao núcleo. Utilize as curvas de magnetização mostradas no final deste capítulo.
2
1
H2l2
NI
Figura 14.5 - Estrutura ferromagnética
H1l1
Figura 14.6 - Circuito elétrico análogo
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
Mat. 1 - Ferro Fundido
0.2 m
15x10-4 m2
lm
S
131
Mat. 2 - Aço-Silício
0.4 m
15x10-4 m2
Solução:
Fmm  N.I  H1.l1  H 2 .l 2
Para o ferro fundido:
A estrutura mostra um circuito com os dois
materiais em série. Assim:
φ1φ 2 φ1,5x104 ( Wb)
B1  0.1( Wb / m 2 )  H1  225(A.esp / m )
Para o aço-silício:
B 2  0.1( Wb / m 2 ) H 2  35( A.esp / m)
φ B.S
Portanto:
φ  B1.S1  B2 .S 2
φ 1.5x10 4
B1  B 2  
 0,1( Wb / m 2 )
S 15x10 4
I
I
Das curvas de magnetização temos:
H1.l1  H 2 .l 2
N
225x 0.2  35x 0,4
 0,59 A
100
Imagine que tivéssemos que escolher apenas um tipo de material, entre os materiais 1 e 2, para
manter o mesmo fluxo magnético. Qual seria o escolhido?
Se o material escolhido fosse o 2 teríamos:
I' 
H1.l1  H 2 .l 2 35x 0,2  35x 0,4

 0, 21(A )
N
100
Se o material 1 fosse o escolhido teríamos:
I' ' 
225x 0, 2  225x 0, 4
1,35(A )
100
Neste caso, o escolhido seria o material 2, por requerer uma corrente de 210 mA (conseqüentemente
uma força magnetomotriz) menor do que a exigida no caso de se utilizar o material 1.
Exemplo 14.4
Considere a estrutura magnética em aço fundido mostrada na fig. 14.7. Para um fluxo magnético de
-4
2
2
1,5 x 10 Wb, qual é o valor de B nos pontos 1 e 2, dados que S1 = 16 cm , S2 = 20 cm , l1 = 15 cm,
l2 = 30 cm. Determine também a corrente na bobina sabendo-se que ela possui 200 espiras.
1
2
N
Figura 14.7 – estrutura ferromagnética do
exemplo 14.4
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
132
Solução:
O fluxo magnético é o mesmo em qualquer Da curva para o aço fundido:
seção. Logo
B1  0,094 T  H1 85 Ae / m
φ  φ1  φ 2
B 2  0,075T  H 2  65 Ae / m
A indução magnética na seção 1 é:
Aplicando a lei de Ampère:
φ 1,5  10 4
B1  
 0,094 T
S1 16  10 4
NI H1l1  H 2 l 2
A indução magnética na seção 2 é:
B2 
I
φ 1,5  10 4

 0,075T
S 2 20  10  4
85  0,15  65  0,3
0,16 A
200
14.3 - FATOR DE EMPACOTAMENTO (OU FATOR DE LAMINAÇÃO)
Quando um material ferromagnético é colocado na presença de um campo magnético variável no
tempo, correntes parasitas (ou correntes de Foucault) serão induzidas em seu interior, provocando
perdas de energia com o aquecimento do material. A redução deste fenômeno é obtida com o núcleo
de dispositivos eletromagnéticos construído com chapas ou lâminas de material ferromagnético,
isoladas entre si (por exemplo, com verniz), conforme pode ser ilustrado na fig. 14.8.
Assim, devido ao processo de empilhamento das chapas para montagem do núcleo, a área efetiva do
material ferromagnético, Smag atravessada pelo fluxo torna-se menor que a área geométrica, Sgeom
ocupada pelo núcleo. Pode-se então definir um fator de empacotamento ke como sendo a relação:
ke 
S mag
S geom
(14.12)
Outra razão de natureza prática para a laminação do circuito magnético é a de facilitar a colocação das
bobinas no dispositivo visando à construção e a manutenção.
Fig. 14.8 – Núcleo Laminado
A tabela a seguir fornece alguns valores para o fator de empacotamento em função da espessura da
chapa ou lâmina utilizada.
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
Espessura da chapa (mm)
ke
0.0127
0.0258
0.0508
0.10 a 0.25
0.27 a 0.36
0,50
0,75
0,85
0,90
0,95
133
Exemplo 14.5
Uma estrutura magnética é feita de um pacote em aço-silício com chapas de 0,15 mm, como pode ser
mostrada na fig. 14.9. Determine a corrente que deve circular no enrolamento com 500 espiras para
estabelecer um fluxo de 9x10-4 Wb no braço direito da estrutura. Dados: l1 = l3 = 50 cm, l2 = 15 cm,
2
espessura comum S = 25 cm .
l1
N = 500
l3
l2
Figura 14.9 - Estrutura magnética do exemplo 14.5
Solução:
malha 1: Fmm  H1.l1  H 2 .l 2
malha 2: 0  H 3 .l 3  H 2 .l 2
nó 1:
φ1 φ 2  φ 3
(I)
Da curva de magnetização para o aço silício:
B3  0,4  H 3  60 A.esp / m
(II)
( III)
A partir da equação (II) na malha 2:
H2 
1
H 3 .l3 60x50 x10 2

200 A.esp / m
l2
15x10 2
Da curva de magnetização:
H 2  200  B 2 1,07 Wb / m 2
Figura 14.10 - Circuito análogo do exemplo 14.5
φ 3  9 x10
Dado:
4
φ 2  B 2 .S 2 1,07 x ( 25x10 4 x 0,9)  24,08x10 4 Wb
Wb
Da equação (III):
φ 3  B3 .S3
φ1  24,08x10 4  9 x10 4  33,08x10 4 Wb
Considerando um fator de empacotamento
ke = 0,90
B1
B3 
9x10 4
25x10
4
x 0,90
 0,4 Wb / m 2
φ1 33,08x10 4

1,47Wb / m 2
S1 22,5x10 4
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
Da curva de magnetização:
Fmm  2050x 50x10 2  200x15x10 2 1055A.esp
B1 1,47  H1  2050 A.esp / m
I
Da equação (I):
134
1055
 2,11A
500
14.4 – CIRCUITOS MAGNÉTICOS COM ENTREFERROS
Alguns dispositivos eletromagnéticos, tais como instrumentos de medidas, motores, relés etc, por
serem constituídos de uma parte fixa e outra móvel, possuem um espaço de ar lg na sua estrutura
magnética. Este espaçamento ou interstício promove o acoplamento entre as partes sob o ponto de
vista magnético para que o fluxo se estabeleça por um caminho fechado. A este espaço é dado o
nome de “entreferro" (ou "air gap" em inglês).
lg
Figura 14.11 - Estrutura magnética com entreferro
Ao cruzar o entreferro, o fluxo magnético sofre um fenômeno chamado de espraiamento
(frangeamento, espalhamento, efeito de bordas), conforme pode ser visto da fig. 14.12. Isto faz com
que a área efetiva por onde passa o fluxo se torne maior que a área S geométrica do entreferro.
Fig. 14.12 - Campo magnético em um entreferro
Seja uma área de secção reta S = a x b retangular e o entreferro de comprimento lg. Então, de uma
forma prática, podemos calcular a área aparente ou efetiva do entreferro Sg através da relação:
Sg  (a  l g ).(b  l g ) ( m 2 )
(14.13)
Observe-se aqui que quando o entreferro for muito reduzido, o efeito do espraiamento pode ser
desprezado.
Exemplo 14.6
Vamos investigar a influência de um entreferro sobre um circuito magnético. Imagine uma estrutura
retangular em aço silício, com secção reta de 5 cm x 2 cm, comprimento médio de 50 cm, excitada por
uma bobina de 100 espiras. Determinar os valores de corrente necessários para que sejam
estabelecidos fluxos magnéticos de 3x10-4 Wb, 6x10-4 Wb e 9x10-4 Wb. Em seguida, admita um
entreferro de 1 mm na estrutura e refaça os cálculos para encontrar os mesmos valores de fluxo.
Analise os resultados.
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
135
Solução:
Sem entreferro:
Área efetiva do entreferro:
Para φ  B.S  3x10 4 Wb
Sg  (5  0,1).(2  0,1) 10,71cm 2
φ 3x10 4
B 
 0,3T
S 10x10 4
Para φ  3x10 4 Wb
Bg 
Da curva de magnetização do aço-silício:
φg

3x10 4
S g 10,71x10 4
 0, 28T
B 0,3T  H  55A.esp / m
Hg 
o valor da corrente será:
H.l 55x 0,5

 0, 275 A
N
100
I
Para φ  6 x10 4 Wb
B
I
Bg
µ0
0,28

4πx10 7
 222817 A.esp / m
55x (0,5  0,001)  222817 x 0.001
 2,50 A
100
Para φ  6x10 4 Wb
6x10 4
10 x10
4
 0,6 T
Bg
6x10 4
10,71x10  4
 0,56 T
0,6 T  75 A.esp / m
75x 0.5
I
 0,375 A
100
Para φ  9x10
4
Hg 
0,56
4 πx10 7
I
Wb
B
9 x10 4
10 x10  4
75x 0,499  445812x 0,001
 4,83A
100
Para φ  9 x10 4 Wb
 0,9 T
Bg 
0.9 T 135A.esp / m
I
 445812 A.esp / m
135x 0,5
 0,675 A
100
Com o entreferro:
Hg 
I
9 x10 4
10,71x10 4
0,84
4 πx10 7
 0,84 T
 668718 A.esp / m
135x 0,499  668718x 0,001
 7,36 A
100
A partir dos resultados podemos observar que:
- Para se obter os mesmos valores de fluxo, com a introdução do entreferro, é necessário um aumento
muito grande nos valores da corrente.
- Praticamente toda a Fmm é utilizada para vencer o entreferro (torna-se mais acentuado quanto maior
o entreferro)
- A introdução do entreferro tornou o circuito magnético (material magnético + entreferro) praticamente
linear.
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
136
Exemplo 14.7
Considere uma estrutura magnética construída com chapas de aço silício, com fator de
empacotamento 0,9. As dimensões da seção transversal do núcleo são 5 cm e 6 cm. O comprimento
médio do caminho do fluxo é 1 m. Determine a Fmm para estabelecer um fluxo de 25x10-4 Wb no
entreferro, cujo comprimento tem 5 mm.
Solução:
Da curva de magnetização para o aço silício
φg
25  10 4
Bg 

Sg
0,050,0050,06  0,005
Hg 
Bg
µ0
 0,7 T
Bn  0,93T  H n 130 Ae / m
Fmm  H g l g  H n l n
557042,3Ae / m
Fmm  557042,3  0,005 130  (1  0,005)  2914,6 Ae
4
Bn 
φn
25  10

 0,93T
S n 0,05  0,06  0,9
Exemplo 14.8
Considere a mesma estrutura, porém com uma bobina de 750 espiras, e uma corrente de 6 A. Qual é o
valor do fluxo no entreferro?
Solução:
N.i  H n .l n  H g .lg (I)
Fazendo-se B n  0 em (III):
φ n  φ g φ
Hn 
N.i 750x 6

 4500 ( A.esp / m )
ln
1
φ  B g .Sg  B n .S n
Bg  B n
Hg 
B
Sn
µ 0 H g
Sg
B n Sn
µ 0 Sg
Curva de
magnetização
Reta negativa de
entreferro
(II)
Substituindo (II) em (I):
H
N.i  H n l n  B n
Sn
.l g ( III)
µ 0 .S g
Figura 14.13 - A curva de magnetização e a reta
negativa de entreferro
A equação acima recebe o nome de reta negativa
de entreferro (veja fig. 14.13)
Fazendo-se H n  0 em (III):
B n  N.i.
µ 0 .S g
S n .l g
B 'n  1,33 Wb / m 2 e H 'n 550 A.esp / m
( Wb / m 2 )
Portanto:
7
B n  750x 6
4π.10 (5  0,5)(6  0,5)10
0,9x5x 6 x10
4
De acordo com a fig. 14.13 e dispondo da curva
de magnetização do aço silício, determinamos
graficamente os valores da intersecção.
x 0,5.10
2
φ  B 'n .S n 1,33x 0,9 x (5x 6x10 4  36x10 4 Wb
4
 1,5
Wm
m2
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
137
Exemplo 14.9
Um núcleo toroidal de aço fundido apresenta uma seção transversal circular de 10 cm2. O
comprimento médio do circuito magnético é 35 cm, com um gap de 1 mm. Uma bobina enrolada com
200 espiras em torno do núcleo alimenta o circuito magnético com uma corrente de 3 A. Determine o
fluxo no entreferro.
Solução:
i
V
R
Figura 14.14 - Circuito Magnético e circuito análogo do exemplo
Raio do núcleo toroidal de aço fundido:
S n  π r 2 10x10  4 m 2  r 
10x10  4
 0,0178 m
π
Raio efetivo do entreferro:
r  0,0178  0,001 0,0188 m
Área efetiva do gap (entreferro):
S g  π.0,0188 2 11,1x10 4 m 2
O circuito magnético é descrito por:
N.I  H n .l n  H g .l g
Fazendo Bn= 0 :
Hn 
N.I
200x 3

1720 (A.esp / m)
l n 34,9x10 2
Do cruzamento da reta negativa de entreferro
com a curva de magnetização do material
magnético do núcleo obtemos:
B n  0.67 ( Wb / m 2 )
H n  350 (A.esp / m)
O fluxo no entreferro é:
φ g  B g .S g 
Sn
B n S g  10x10  4 x 0,67
Sg
φ  φ n φ g
Como o circuito é de aço fundido, ke = 1, e
S
B g Sg  B n S n  B g  n B n
Sg
φ g  6,7 x10 4 Wb
Substituindo os valores encontrados para Bn e
Hn na equação do circuito magnético teremos:
N.I  350x 0.349 
B S
N.I  H n .l n  n . n .l g
µ 0 Sg
Fazendo Hn = 0 :
Bn 
N.I.S g .µ 0
S n .l g

 0.84 ( Wb / m 2 )
200 x3x11.1x10 4 x 4πx10 7
10x10  4.10 3
0.67
4πx10 7
x 0.01 655 (A.esp)
Observamos que este resultado se aproxima do
valor correto de N.I que é 600 A.esp. Portanto,
este método gráfico permite a obtenção de
soluções com certa precisão.
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
138
EXERCÍCIOS
1) - Um circuito magnético compõe-se de duas partes de mesmo material ferromagnético com
permeabilidade magnética relativa µ r  4000 formando um caminho único para o fluxo. A parte 1
tem 50 mm de comprimento médio e 104 mm2 de seção reta. A parte 2, conectada à parte 1,
possui 30 mm de comprimento médio e 120 mm2 de área de secção. O material magnético
encontra-se na parte da curva onde a permeabilidade relativa é proporcional à densidade de fluxo.
Encontre o fluxo , para uma Fmm de 40 A.esp.
2) - A figura abaixo mostra um circuito magnético em aço fundido. A parte 1 tem um comprimento
médio l1 = 34 cm, e secção S1 = 6 cm2. A parte 2 tem l2 = 16 cm e S2 = 4 cm2. Calcule a corrente
do enrolamento com N1 espiras, supondo I2 = 0.5 A., N1 = 200 espiras, N2 = 100 espiras e o fluxo
magnético no circuito,  = 120 Wb.
2
1
F1
N1
N2
F2
Figura do problema 2
3) - A figura abaixo mostra um circuito magnético com uma Fmm de 500 Ae. A parte 1 é de aço
fundido, com l1 = 340 mm, e S1 = 400 mm2. A parte 2 é de ferro fundido, com l2 = 138 mm e S2 =
360 mm2. Calcule o fluxo magnético.
1
2
Figura do problema 3
4) - Para o circuito magnético mostrado na figura abaixo, a permeabiliade relativa é 1000. A seção
transversal é de 2 cm2, com exceção da perna central, que é de 4 cm2. Os caminhos l1 e l2 medem
24 cm, e l3 mede 8 cm. Calcular o fluxo magnético nos caminhos L1 e L2.
L1
1000 Ae
L2
L3
Figura do problema 4
500 Ae
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
139
5) - Um núcleo em aço-silício, seção retangular de 10 mm x 8 mm, comprimento médio de 150 mm.
Possui um entreferro de 0.8 mm. O fluxo é 80 x 10-6 Wb. Calcule a Fmm.
6) - O circuito magnético mostrado na figura abaixo é de aço fundido. A bobina tem 500 espiras. As
dimensões são : le = 1mm, S2 = S3 = 150 mm2 , S1 = 300 mm2 , l1 = 40 mm, l2 = 110 mm e
l3 = 109 mm. Calcule a corrente na bobina para gerar um fluxo de 125 Wb no entreferro.
Suponha que Se é 17 % maior que S3.
L3
L2
N = 500
L1
Figura do problema 6
7) - Encontre o fluxo magnético em cada um dos três braços do circuito magnético mostrado na
figura abaixo. Considere H = 200B no aço.
2 cm
Espessura 2 cm
Entreferro = 1 mm
Fmm = 500
5 cm
Fmm = 500
2 cm
2 cm
6 cm
4 cm
6 cm
Figura do problema 7
2 cm
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO DOS PRINCIPAIS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
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