Funções Limite e Derivadas de duas variáveis

GOVERNO FEDERAL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO
CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA
PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA
CÁLCULO II – 2015.2
Funções de várias variáveis
1. Ilustração




A área de um retângulo depende de duas quantidades - comprimento e largura.
Se um objeto está localizado no espaço, a temperatura em um ponto P do objeto
depende de três coordenadas retangulares
de P.
Se a temperatura de um objeto no espaço varia com o tempo , então depende de
quatro variáveis
e .
O número de indivíduos de uma certa colônia de fungos depende essencialmente da
quantidade de nutrientes ( ), da quantidade
de água (
), da temperatura
( ) e da presença de uma certa proteína ( ). Experimentalmente foi obtida a
seguinte tabela:
possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é uma função
bem definida por
Definições
Suponha que seja um conjunto de -uplas de números reais
a valores reais em é uma regra que associa um único número real
. Uma função
a cada elemento em . O conjunto é o domínio da função. O conjunto de valores de
assumidos por é a imagem da função. O símbolo
é a variável dependente de , e
dizemos que é uma função de variáveis independentes
a . Também chamamos os
de variáveis de entrada da função, e denominamos a variável de saída da função.
Se é uma função de duas variáveis independentes, normalmente denominamos essas
variáveis independentes por e , e a variável dependente , e representamos o domínio de
como a região no plano
(Figura 1). Se é uma função de três variáveis independentes,
denominamos as variáveis independentes
e , e a variável dependente w, e representamos
o domínio como uma região no espaço (figura 2).
2. Curvas de Nível
Gráficos gerados por computador e curvas de nível de funções de duas variáveis típicas.
Exemplo 1 Seja
a) Esboce o domínio de .
b) Represente os números
,
e
em um eixo
.
Exemplo 2 Seja
uma função com domínio dado por
e
Esboce o gráfico de f e exiba os traços nos planos
Exemplo 3 Esboce algumas curvas de nível da função
Exemplo 4 Se
e
.
do Exemplo 2.
, esboce algumas curvas de nível de .
Exemplo 5 Determine o domínio D e a imagem e a imagem w para cada função dada abaixo.
a)
d)
;
b)
e)
c)
;
f)
;
3. Limites e continuidade
Se os valores de
estão arbitrariamente próximo de um número real fixado
para todos os pontos
suficientemente próximo de um ponto
. Para se estimar o
limite de uma função de duas variáveis no ponto
é necessário calcular esse valor
por todas as trajetórias que passem por
. Se em todos os casos o resultado for sempre
o mesmo, ou seja, , diz-se que o limite existe e seu valor é . Caso o limite não exista em
alguma trajetória ou dê um valor diferente para trajetórias diferentes, dizemos que o limite
não existe.
Definição Dizemos que uma função
aproxima de
se aproxima do limite
á medida que
e escrevemos
Se, para todo número
existe um número
no domínio de (Figura 3)
sempre que
Propriedades dos Limites
correspondente tal que, para todo
se
Exemplo 1 Calcule os limites:
a)
;
d)
;
b)
;
e)
c)
;
f)
Teste dos dois caminhos para a não existência de um limite
Se uma função
tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes no
domínio de
quando
se aproxima de
, então
não existe.
4. Continuidade
Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de
limites.
Definição Uma função
é contínua no ponto
1. F for definida em
2.
existe;
se:
3.
Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio.
Exemplo 01 Mostre que
é contínua em todo ponto, exceto
na origem.
5. Derivadas parciais
Se
for um ponto do domínio de uma função
, o plano vertical
cortará a superfície
na curva
(Figura 4). Essa curva é o gráfico da
função
no plano
. A coordenada horizontal nesse plano é ; a coordenada
vertical é . O valor de se mantém constante em , portanto não é uma variável.
Definimos a derivada parcial de em relação à no ponto
como a derivada
ordinária de
em relação à no ponto
. Para distinguir as derivadas parciais
das derivadas ordinárias, utilizamos o símbolo no lugar da letra empregada anteriormente.
Na definição, representa um número real, positivo ou negativo.
Definição A derivada parcial de
Dede que o limite exista.
O coeficiente angular da curva
é o valor da derivada parcial de
coeficiente angular negativo.
em relação a
no ponto
no ponto
em relação a em
é
no plano
. Na (Figura 4) temos o
Definição A derivada parcial de
Dede que o limite exista.
O coeficiente angular da curva
é o valor da derivada parcial de
coeficiente angular negativo.
em relação a
no ponto
no ponto
em relação a em
é
no plano
. Na (Figura 5) temos o
Notações para derivadas parciais
,
,
,
,
,
,
,
Figura 5
Figura 4
Interseção do plano x = x0 com a superfície
Interseção do plano y = y0 com a superfície
z = ƒ(x, y) vista de um ponto acima do z = ƒ(x, y), vista de cima do primeiro
quadrante no plano xy.
primeiro quadrante do plano xy.
As figuras 4 e 5 combinadas. As retas tangentes no ponto (x0, y0, ƒ(x0, y0)) determinam um
plano que, nesta figura, pelo menos, parece ser tangente à superfície.
Teorema Sejam
o gráfico de
e
existem. Sejam
e
os traços de nos planos
e as tangentes a e e (Ver Figura 6).
(i) O coeficiente angular de no plano
(ii) O coeficiente angular de no plano
é
é
e
um ponto de onde
e
, respectivamente, e sejam
.
Teorema Seja uma função de duas variáveis e . Se
uma região aberta , então
e
são contínuas em
em .
Exemplo ache as derivadas parciais de se
Incrementos e diferenciais
Se é uma função de duas variáveis e , então os símbolos
e . Em termos desta notação, podemos escrever
Define-se como segue o incremento a variável dependente
e
denotam incremento de
Definição Seja
incremento
, e sejam
é
de
e
incrementos de
e , respectivamente. O
Vide Figura 7
Exercícios
Funções
Problema 01 De acordo com uma das leis de Poiseuille, a velocidade
uma distância
(
(em cm) do eixo de um vaso sanguíneo de raio
) é dado por
. Onde
vaso. Suponha que um certo vaso tem
(
do sangue (
(em cm) e comprimento
) é a pressão no interior do
de raio e
de comprimento.
a) Com que velocidade o sangue está circulando a uma distância de
pressão no vaso é
)a
do vaso se a
?
b) Com que velocidade o sangue está circulando no eixo do vaso sanguíneo se a pressão no
vaso é
?
Problema 02 Dada a função
função
e
, ache a
e seu domínio.
Problema 03 Descreva o domínio da função
. Represente
num gráfico a região espacial que contém todos os pontos do domínio de
. Calcule os
valores de
a)
indicados abaixo, se possível.
b)
c)
Problema 04 Em cada parte descreva o gráfico da função num sistema de coordenadas
a)
b)
.
c)
Problema 05 Encontre o domínio e a imagem da função
.
Limite
Nos Problemas 06 – 17. Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor.
Coordenadas Esféricas
e
06.
12.
07.
13.
08.
14.
09.
15.
10.
16.
17.
11.
Nos Problemas 18 – 27. Determine as derivadas parciais das funções a seguir.
18.
23.
19.
24.
20.
25.
21.
26.
22.
27.
Problema 28 Mostre que
Uma função
dada por
satisfaz a Equação do Calor
é dita harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace. Para duas dimensões é
. Para três dimensões é dada por
Nos Problemas 29 – 36. Verifique que as funções dadas são harmônicas.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Se ficarmos em uma praia e tiramos uma fotografia das ondas, essa foto mostrará um padrão
regular de picos e depressões em dado instantes. Veremos o movimento vertical periódico no
espaço em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da
água com o passar das ondas. Veremos movimentos periódicos no tempo. Na física, essa bela
simetria é expressa pela Equação de Onda Unidimensional.
Nos Problemas 37 – 40 verifique que as funções são solução da equação da onda.
37.
38.
39.
40.
Regra da Cadeia de Duas Variáveis
Teorema se
e
forem diferenciáveis em
no ponto
, então
e se
for diferençável
é diferencial em e
Onde as derivadas comuns são calculadas em
e as derivadas parciais são calculadas em
.
Problema 41 Sendo
, encontre
Problema 42 Sendo
quando
.
, use a regra da cadeia para encontrar
.
Problema 43 Encontre
para
Regra da Cadeia de Três Variáveis
Teorema se
diferençável
e
no
forem diferenciáveis em
ponto
,
então
e se
for
é
diferencial em e
Onde as derivadas comuns são calculadas em
e as derivadas parciais são calculadas em
.
http://www.univasf.edu.br/~pedro.macario/
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Prof. Pedro Macário de Moura
Problema 44 Sendo
. Encontre
.
Regra da Cadeia de Duas Variáveis
Teorema se
e
e
tiverem derivadas parciais de primeira ordem no ponto
se
for
diferençável
no
ponto
tem derivadas parciais de primeira ordem no ponto
Problema 44 Encontre
e
,
então
dadas por
se
Regra da Cadeia de Duas Variáveis
Teorema se
ordem no ponto
e
e se
tiverem derivadas parciais de primeira
for diferençável no ponto
então
,
tem derivadas parciais de primeira ordem em
dadas por
Nos Problemas 45 – 46 encontre
e
.
45.
.
46.
e
Problema 47 Encontre
Uma função
e
.
para
é denominada homogênea de grau
se
para todo
.
Nos Problemas 48 – 50 mostre que a função é homogênea e determine seu grau
48.
49.
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50.
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