Práticas Termo

1ª Série de Problemas
Termodinâmica e Estrutura da Matéria
MEBM, MEFT e LMAC
1. Uma nuvem de tempestade está a um potencial eléctrico de 107 V em
relação ao solo, e descarrega-se emitindo um relâmpago que dura 0,2 s,
com uma corrente de 103 A. Se toda a energia do relâmpago for convertida
em energia térmica, qual a quantidade de calor libertada para a atmosfera?
2. O campo gravítico da Terra atrai a atmosfera, e provoca assim uma
pressão, à superfície, suficiente para suportar uma coluna de mercúrio
de 76 cm de altura (princípio do barómetro).
2.a) A pressão correspondente a uma coluna de mercúrio, com 76 cm de
altura e 1 cm2 de base, é designada por 1 atmosfera (atm). Quantos
Pascal são 1 atm? E quantos kgf/m2?
2.b) Desprezando a variação da atracção gravítica com a altura, obtenha
uma estimativa para a massa total da atmosfera (Matmosfera).
Considere que
raio da Terra, RT = 6400 km;
densidade do mercúrio, ρHg = 13,6 g/cm3;
massa molecular do ar, ~29 g mole-1.
3. Num dia de calor em que a temperatura era de 30 °C, um condutor
verificou a pressão dos pneus antes de iniciar uma viagem e
obtém 28 psi. No fim da viagem volta a medir a pressão e obtém 32 psi.
Qual a temperatura do ar no interior dos pneus no fim da viagem? Deve
retirar ar dos pneus?
Nota: 1 psi (pound per square inch) = 6896,6 Pa.
4. Uma arca frigorífica com capacidade de 120 l tem uma porta de 0,8 m de
altura por 0,5 m de largura. Suponha que quando se abre a porta, o ar no
interior da arca atinge uma temperatura uniforme de -8ºC. Quando se fecha
a porta, o ar interior arrefece novamente até -10ºC. Se a junta da porta
fosse completamente hermética, qual seria a força necessária para voltar a
abrir a porta? (Experimente lá em casa!)
5.
5.a) Qual o volume ocupado por um mole de um gás perfeito em
condições normais de pressão e temperatura (PTN), isto é, p = 1 atm e
T = 0ºC? E à temperatura de 20ºC?
5.b) Se o gás fosse azoto (N2), qual a densidade e o volume específico a
PTN? (m(N2) = 28 uma)
5.c) Como varia a densidade com a temperatura?
6. Na figura, um contentor de volume igual a 2 m3 contém um gás ideal. A
tampa de área igual a 10-4 m2 e massa igual a 2 kg pode mover-se
verticalmente sem atrito, por acção da pressão do gás e da gravidade. O
sistema está inicialmente em equilíbrio.
6.a) Qual a pressão do gás no início?
6.b) Qual a força de restituição sobre a tampa, quando esta é deslocada
de uma distância dy?
6.c) Para pequenos deslocamentos (dy), qual a equação (diferencial) do
movimento da tampa?
6.d) Qual a frequência de movimento da tampa?
Sugestão: pense numa mola.
2ª Série de Problemas
Termodinâmica e Estrutura da Matéria
MEBM, MEFT e LMAC
1. Um balão de ar quente de 2500 m3 tem a massa total de 500 kg (balão,
barquinha, passageiros e carga). A temperatura e a pressão ambiente são,
respectivamente, 10 ºC e 1 atm.
A que temperatura deve o ar do balão ser aquecido para que ele levante?
A densidade do ar seco à temperatura de 10 ºC é 1.25 kg/m3, e a massa molar efectiva
do ar seco é 29 g/mol.
2. O comprimento da ponte sobre o Tejo é de cerca de 2 km. Se a amplitude
térmica anual média for de 40ºC (por exemplo com um valor mínimo de -1ºC
e um valor máximo de 39ºC), qual a variação de comprimento sofrida pelas
vigas de aço que sustentam as faixas de rodagem?
Nota: Coeficiente de dilatação linear do aço α = 1,27 x 10-5 K-1
3. O pêndulo de um relógio de sala é constituído por uma haste fina de aço
com um peso na extremidade. A 20ºC a haste tem 1,22 m de comprimento e
o relógio está certo.
3.a) De quanto é que o comprimento da haste varia se a temperatura subir
para 40ºC?
3.b) O relógio passa a adiantar-se ou atrasar-se?
3.c) Se o pêndulo tivesse metade do comprimento, qual a variação para o
mesmo aumento de temperatura? Atrasava-se ou adiantava-se mais ou
menos que no caso anterior?
Nota: Coeficiente de dilatação linear do aço α = 1,27 x 10-5 K-1
4. O pavimento de uma auto-estrada é composto por placas de betão com
25 m de comprimento. A estrada é construída quando a temperatura média
do ar é de 10ºC. Admitindo que a temperatura do betão num dia quente pode
atingir 50ºC, qual a folga que deve ficar entre placas adjacentes?
Coeficiente linear de expansão do betão: 1.2x10-5 ºC-1
5. Suponha que abre a porta do frigorífico e retira com a mão esquerda uma
lata de cerveja e com a mão direita uma embalagem de ovos. Qual das mãos
sente o objecto mais frio? Qual dos dois objectos está a uma temperatura
mais baixa? Será a nossa mão um bom "termómetro"?
6.
6.a) De que altura deve cair 10 g de água para que a sua temperatura
aumente de 1 grau centígrado? Admita que toda a energia potencial da
água é transformada em energia interna quando a água choca com o
chão.
6.b) E 100 g de água?
Calor específico da água: 1 cal g -1/ºC
7. Um cowboy dispara uma bala de chumbo, que fica cravada numa parede de
madeira. A velocidade da bala imediatamente antes do impacto é de 200
ms-1.
7.a) Admitindo que toda a energia é usada para aquecer a bala, calcule a
temperatura final da mesma (admita que o valor inicial é de 20ºC).
7.b) Faça o mesmo cálculo para uma bala de prata.
Calor específico do chumbo: 128J/(kg ºC);
Calor específico da prata: 234 J/(kg ºC);
8. Um colector solar com 6 m2 faz incidir radiação sobre 1 m3 de água.
Sabendo que a radiação solar tem a intensidade de 550 Wm-2, quanto tempo
é necessário para aquecer a água de 20 ºC até 60 ºC?
9. Um bloco de metal de 50 g é mantido durante algum tempo em água a
ferver. Seguidamente o bloco é mergulhado num calorímetro de cobre de
massa 100 g, e que contém 200 g de água a 20 °C. A temperatura de
equilíbrio é 22 °C. Qual o calor específico do metal?
Calor específico do cobre: cp = 0,39 Jg-1K-1
10. Um recipiente metálico com 4 kg de massa contém 14 kg de água. O
conjunto encontra-se em equilíbrio a 15ºC. Introduz-se na água um bloco do
mesmo metal, com 2 kg, inicialmente a 160ºC. Quando se re-estabelece o
equilíbrio, o conjunto está a 18ºC. Calcule o calor específico do metal.
3ª Série de Problemas
Termodinâmica e Estrutura da Matéria
MEBM, MEFT e LMAC
1. A figura representa o gráfico da temperatura de uma amostra de 1 kg de
água em função do tempo, numa experiência em que esta é aquecida
uniformemente.
A fonte de calor utilizada tem um débito constante de 3 kW. A quanto tempo
correspondem os patamares A e B?
Calor de fusão do gelo: 333 kJ kg -1
Calor de vaporização de água: 2255 kJ kg -1
2.
2.a) Qual a energia que é necessário fornecer a 18 g de gelo à
temperatura de -50 °C para atingir a temperatura de fusão (Tfusão = 0°C
a 1 atm).
2.b) Qual é a energia que é necessário fornecer a essa massa de gelo a
0°C para obter água liquida a 0°C?
Calor específico do gelo a pressão constante: cp= 0,5 cal /(gº C);
Calor latente de fusão do gelo: λfusão = 80 cal/g.
3. Para aquecer 0.2 kg de água de 20ºC para 50ºC junta-se vapor de água
inicialmente a 130ºC. A água está contida num recipiente de vidro com 0.10
kg de massa e calor especifico cp=837 J/ (kg ºC). Que massa de vapor de
água é necessária?
4. Dois cubos de gelo com 0.040 kg cada são colocados dentro de um copo
com 0.150 kg de água, inicialmente a 20ºC. O gelo foi retirado de um
congelador regulado para -3º C.
4.a) Qual a temperatura final, quando se atinge o equilíbrio?
4.b) Calcule a temperatura final se em vez de gelo misturar igual massa
de água a 1ºC.
Tenha em conta que o calor específico da água é 4186 J/(kg ºC), o do
gelo é 2093 J/(kg ºC), e que o calor latente de fusão do gelo é de 0.335
J/kg
5. Um laser de CO2 é usado para cortar chapas de alumínio numa fábrica. O
laser emite luz com o comprimento de onda de 10,4 μm e a potência de 10
kW, tendo a secção do feixe um diâmetro de 0,1 mm ao incidir sobre a
chapa.
Sabe-se que a massa específica do alumínio é igual a 2,7 g cm-3, o calor
específico do alumínio é 900 J kg-1 K-1, o calor de fusão do alumínio é 9x104
J kg-1 e a temperatura de fusão do alumínio é 660ºC.
5.a) Quantos fotões incidem, por segundo, na superfície da chapa
metálica?
5.b) Qual a quantidade de calor necessária para fazer fundir uma
pequena tira de 1 cm de comprimento com a mesma largura do feixe de
laser (0,1 mm)? A chapa tem 1 mm de espessura e está inicialmente à
temperatura de 20ºC.
5.c) Qual a velocidade máxima com que se poderá deslocar o feixe de
laser para cortar a chapa de alumínio da alínea b) ?
6. Qual é a relação entre o calor específico molar, a volume constante e o
calor específico molar a pressão constante, para um gás ideal?
7.
7.a) Qual a energia libertada por um mole de vapor de água, quando a
sua temperatura baixa de 180 °C para 100 °C? O arrefecimento verificase a pressão constante.
7.b) Qual a energia libertada por essa mesma quantidade de água se se
condensar totalmente, mantendo-a à temperatura de 100 °C e à
pressão atmosférica normal?
7.c) Qual a quantidade de energia que se liberta se a temperatura da
água baixar de 100 °C para 30 °C?
7.d) Com base nos cálculos que efectuou (30 °C é a temperatura
aproximada da superfície da pele), qual espera que tenha maior
gravidade: uma queimadura com vapor de água a 100 °C ou uma
queimadura com água fervendo a 100 °C.
Calor latente de vaporização da água: λvap = = 2,25 x 103 Jg-1;
Calor específico do vapor de água: Cv = 3R (admitindo que se comporta
como um gás perfeito).
8. Pretende-se aquecer 3.0 moles de Hélio de 300 K a 500 K, gastando o
mínimo de combustível. Investigue se é mais adequado aquecer o gás
dentro de um contentor rígido, ou se pelo contrário se poupa energia
aquecendo o gás dentro de um balão expansível mantendo a sua pressão
constante. Discuta a origem da diferença.
9. O ar seco é uma mistura de gases que se comporta como um gás perfeito
diatómico. Numa mole de ar existem 0,78 mole de azoto (N2), 0,21 mole de
oxigénio (O2), 0,009 mole de árgon (Ar), 0,0004 mole de dióxido de carbono
(CO2) e vestígios de outros gases (hélio, etc). A pressão atmosférica é a
soma das pressões parciais dos vários gases.
m(N2) = 28 u.m.a. ; m(O2) = 32 u.m.a.; m(Ar) = 39,9 u.m.a.
9.a) Calcule à temperatura ambiente o calor específico molar do ar a volume constante CV(basta considerar os gases mais abundantes). E a
pressão constante Cp?
9.b) Calcule a massa molar e a densidade do ar seco em condições
PTN.
9.c) Calcule o calor específico a volume constante por unidade de massa
do ar seco, cV.
10. Num recipiente fechado de volume V=22,4 L encontra-se um gás que
queremos identificar. Para tal, sabemos que:
• o gás se encontra cm condições normais de pressão e temperatura;
• se fornecermos 41,6 J a temperatura do gás eleva-se 2°C.
10.a) Trata-se de um gás monoatómico ou diatómico? Justifique com
cálculos.
10.b) Sabendo que o calor específico (por unidade massa) do gás é cV =
10,39 Jg-1K-1, diga de que gás se trata.
11. Considere um gás num recipiente fechado e à temperatura de 25 °C. A
temperatura do gás eleva-se de 1 °C quando lhe é fornecida uma
quantidade de calor de 41,57 J. No entanto, se o gás estiver à temperatura
de 3000 °C, são necessários 58,20 J para obter a mesma elevação de
temperatura, nas mesmas condições. Sabendo que se trata de um gás puro
e não de uma mistura, calcule:
11.a) Quantos mole de gás se encontram no recipiente?
11.b) Quantos átomos tem cada molécula do gás?
12. Misturam-se 2 g de hélio com 4 g de oxigénio.
12.a) Que quantidade de calor é preciso fornecer para elevar a
temperatura da mistura de 1 grau centígrado, a volume constante?
12.b) Se o aquecimento for feito a pressão constante, qual a quantidade
de calor necessária para obter a mesma elevação de temperatura?
12.c) Se a mistura estiver a uma temperatura suficientemente elevada
para que os átomos de oxigénio possam vibrar em torno das suas
posições de equilíbrio em cada molécula, o calor específico da mistura
aumenta ou diminui?
12.d) Quanto passa a ser a quantidade de calor referida em a)?
m(He) = 4uma, m(O2) = 32 uma
4ª Série de Problemas
Termodinâmica e Estrutura da Matéria
MEBM, MEFT e LMAC
1. Um êmbolo de 100 kg de massa encerra um cilindro de 0.2 m de raio a
1m da base. A base está em contacto com um reservatório (ou fonte) de
calor à temperatura constante de t = 331º C. Dentro do cilindro de paredes
isolantes (como o pistão), estão 3 moles de um gás ideal à temperatura da
fonte. Suponha que a pressão exterior inicial é suficiente para equilibrar o
movimento do êmbolo, isto é, que inicialmente a soma da pressão exterior
com o peso do êmbolo por unidade de área é igual à pressão interior.
A dado momento, a pressão exterior baixa subitamente até à pressão
atmosférica. Considere que o pistão se move lentamente e sem atrito.
1.a)
1.b)
1.c)
Qual a altura final a que sobe o pistão?
Qual o trabalho realizado pelo gás?
Qual o calor cedido ao gás pela fonte?
2. Uma mole de gás ideal sofre uma expansão reversível desde um volume
inicial de 3.0 litros até um volume final de 10.0 litros, enquanto é mantida à
temperatura constante de 0ºC.
2.a) Explique como tentaria efectuar experimentalmente a expansão de
forma reversível.
2.b) Calcule o trabalho realizado pelo gás sobre o exterior.
2.c) Calcule o calor transferido entre o gás e o exterior.
2.d) O gás regressa ao volume inicial mantendo-se a pressão constante.
Calcule o trabalho.
3. A figura representa um diagrama de fase para a água. Que transições de
fase se observam se fizermos o sistema evoluir segundo os percursos A e
B indicados com setas na figura?
A
B
4. O hélio e a água são correctamente descritos, na transição líquido-vapor,
pela equação de van der Waals (VDW):
Para o hélio tem-se
a = 0,03415x106 atm cm6 mole-2
b = 23,71 cm3 mole-1
e para a água:
a' = 5,468x106 atm cm6 mole-2
b' = 30,52 cm3 mole-1
4.a) Indique, justificando, qual das duas substâncias tem forças de
interacção molecular mais intensas. Calcule a relação de ordem de
grandeza entre as suas intensidades.
4.b) Indique, justificando, qual das duas substâncias tem um ponto de
ebulição mais baixo, à pressão atmosférica.
4.c) Indique qual das duas substâncias tem moléculas maiores. Estime o
valor do raio dum átomo de hélio
5. Pretende-se obter algumas propriedades do amoníaco (NH3) no ponto
triplo. A pressão de vapor do amoníaco sólido é dada por
3754
T
e a pressão de vapor do amoníaco líquido por
ln p = 23.03 −
ln p = 19 .49 −
3063
T
onde a pressão p está em Torr e a temperatura T em K.
5.a) Calcule a temperatura T0 e a pressão p0 do ponto triplo do
amoníaco.
5.b) Verifique qual é o estado físico do amoníaco a PTN.
6. Calcule o trabalho realizado por uma transformação reversível entre um
estado inicial i e um estado final f para um gás ideal, no caso de ser
submetido a uma transformação isotérmica, isobárica, isométrica ou
adiabática. Qual o trabalho realizado por um sólido ou líquido submetido a
aquecimento reversível?
7. Calcule o acréscimo de entropia de um cubo de gelo de 1 cm de aresta,
ao fundir-se à temperatura ambiente num dia de calor (30 °C)? Há alguma
diferença se for num dia frio? E se o cubo for fundido fornecendo-lhe
apenas trabalho? Justifique.
Calor de fusão do gelo = 80 cal/g.
Volume específico do gelo a 0°C=1,0907 cm3/g.
8. Calcule o acréscimo de entropia ocasionado pe la vaporização de 1 cm3
de água à temperatura de 100°C.
Calor de vaporização da água = 540 cal/g.
9. A seguir a nevar faz menos frio (porquê?). Use dados dos problemas
anteriores para calcular a quantidade de calor libertada, ao congelar 1 kg de
água a 0°C. E ao condensar 1 kg de vapor a 100 °C? Em cada um dos
casos, a entropia da água aumenta ou diminui? E a do ambiente?
10. Um meteoro à temperatura de 3000 K enterra-se num icebergue que
andava a flutuar no mar à temperatura de 0°C. O meteoro tem uma massa
de 10 kg e embate com uma velocidade de 10 km/s. Sabendo que Cpmeteoro=
800 Jkg-1K-1calcule:
10.a) a quantidade de gelo que derrete;
10.b) a variação de entropia do icebergue;
5ª Série de Problemas
Termodinâmica e Estrutura da Matéria
MEBM, MEFT e LMAC
1. Considere uma mole de N2 que se encontra dentro de um recipiente
isolado, confinado ao volume A tal como é mostrado na figura. Os
compartimentos A e B estão separados por uma divisória móvel de massa
m que está a uma altura h relativamente à base do recipiente. Em B existe
vácuo.
Considere o azoto como um gás ideal. Sejam ainda: VA= 1 m3; VB = VA; TA =
200 K; m = 2,5 kg; h = 8,3 m
1.a) Num primeiro processo de transformação a divisória é removida
horizontalmente. Para este caso:
1.a.i)
Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema.
1.a.ii)
Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema, após
a expansão, para repor a pressão inicial.
1.b) Num segundo processo de transformação solta-se a divisória para
que ela suba até ficar encostada à parte superior do recipiente.
Considera-se que toda a energia cinética da divisória é transformada
em energia interna após a barra encostar na parte superior do
recipiente. Para este caso:
1.b.i)
Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema.
1.b.ii)
Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema após
a expansão para repor a pressão inicial. Compare com o valor da
alínea a.ii) e comente.
1.c) Calcule a variação de entropia do Sistema e do Universo durante os
dois processos de expansão anteriormente descritos (sem se fornecer
calor). Comente a diferença entre os valores calculados.
2. No interior de um motor a gasolina, 0.016 moles de mistura de gasolina
vaporizada e ar inicialmente a 27 ºC são comprimidas adiabaticamente,
passando a pressão de 1.0 atm para 2.0 atm.
2.a) Qual a variação relativa de volume?
2.b) Qual a variação relativa da temperatura absoluta?
2.c) Qual o calor cedido à mistura, o trabalho realizado e a variação da
energia interna?
Nota: pode tratar a mistura como um gás diatómico.
3. Mostre que o rendimento de uma máquina térmica a funcionar de acordo
com o ciclo de Carnot e que usa como fluido de trabalho um gás ideal é
dado por η = 1 – TFF/TFQ, sendo TFQ a temperatura da fonte quente e TFF a
temperatura da fonte fria.
4. Numa máquina térmica, um gás ideal absorve 6.0x104 cal à temperatura
de 227 ºC. Posteriormente, o gás cede calor a uma fonte fria, à temperatura
de 127 ºC. Admitindo que o funcionamento corresponde ao ciclo de Carnot,
calcule:
4.a) o rendimento da máquina;
4.b) o trabalho que a máquina pode realizar em cada ciclo.
5. Uma central nuclear produz 500 MW com um rendimento de 34%. A fonte
fria é um rio com um caudal médio de 3 x104 kg/s.
5.a) De quanto se eleva a temperatura da água?
5.b) Se se tratasse de uma central térmica (a carvão ou fuel), com um
rendimento de cerca de 40%, de quanto se elevaria a temperatura da
água?
5.c) O rendimento ideal de uma central térmica seria 52% e o de uma
central nuclear 44% (se funcionassem exactamente como
ciclos de Carnot). Qual a temperatura da fonte quente num e noutro
caso., supondo que a fonte fria é, em ambos os casos, um rio a 17°C?
6. É possível construir centrais eléctricas aproveitando a diferença de
temperatura entre a superfície e o fundo do mar. O calor das águas
superficiais é usado para evaporar um fluido muito volátil, como a amónia,
que faz mover uma turbina até ser de novo condensado pelo contacto com
as águas profundas. Em 1979 foi construído uni protótipo no Havai, onde a
temperatura à superfície é de 30 °C e a do fundo 18 °C.
6.a) Se a central funcionasse como um ciclo de Carnot, qual seria o
rendimento?
6.b) Qual seria a quantidade de calor extraída por segundo das águas
superficiais, para produzir 500 MW de potência eléctrica?
6.c) Para a máquina térmica poder funcionar com amónia esta tem de
coexistir no estado líquido e de vapor, o que, a 30 °C,
se dá a uma pressão de cerca de 11 atm. Como estaria a amónia a
esta temperatura e à pressão atmosférica? Sendo o calor de
vaporização da amónia, nessas condições 1143,7 kJ/kg, que
quantidade de amónia seria vaporizada por unidade de tempo?
6.d) Qual seria, nesse caso, a quantidade de calor libertada por segundo
para as águas profundas?
6.e) Calcule a variação de entropia por unidade de tempo das águas
superficiais, das águas profundas, nesse caso ideal.
6ª Série de Problemas
Termodinâmica e Estrutura da Matéria
MEBM, MEFT e LMAC
1. Um icebergue com uma massa de 1010 kg encontra-se à deriva na
corrente do Golfo, que tem uma temperatura de 22 °C.
1.a) Qual a quantidade máxima de trabalho que poderá gerar uma
máquina térmica enquanto o icebergue funde?
1.b) Quantos dias seriam necessários para produzir esse trabalho numa
central térmica de 1000 MW?
Calor de fusão do gelo - 80 cal/g
2. Num motor Diesel, ao invés de se causar a deflagração da mistura
combustível - ar com uma vela, é a própria compressão adiabática da
mistura que causa a inflamação. Durante a combustão, mantém-se
constante a pressão no interior do cilindro.
2.a) Represente o ciclo de Diesel num diagrama pV.
2.b) Calcule o rendimento do ciclo de Diesel, em função da razão de
compressão (razão entre o volume máximo e o volume após a
combustão). Admita que a mistura é um gás diatómico.
3. Uma
mole
de
um
gás
ideal
passa
pelo
processo cíclico:
− Expansão isotérmica de VA para VB,.
− Expansão a pressão constante de VB para VC.
− Compressão isotérmica de VC para VD..
− Compressão a pressão constante de VD para VA.
Sendo VB = 2VA e VC= 3VA:
3.a) Desenhe o processo num diagrama (p,V).
3.b) Determine TC e VD em termos das propriedades iniciais.
3.c) Em que fases do ciclo o sistema absorve calor?
3.d) De que tipo de máquina se trata? Justifique.
seguinte
4. A eficiência de uma máquina frigorífica é a razão entre a quantidade de
calor retirada da fonte fria (congelador) e o trabalho necessário para o ciclo
funcionar. Considere uma máquina frigorífica que opera entre as
temperaturas de -10°C e +25 °C. Durante 2 horas o fluido recebe 1,0 x 103 J
do congelador.
4.a) Calcule a eficiência da máquina, supondo que esta funcionava
reversivelmente.
4.b) Nas condições da alínea anterior, qual seria o valor da energia
mecânica fornecida à máquina e da energia térmica cedida à fonte
quente durante esse intervalo de tempo?
5. Considere um ciclo de Otto—motor do automóvel a gasolina — em que
um mole de gás ideal, com CV =3R, é adiabaticarnente comprimido de 1
atm e 300 K para 1/8 do seu volume inicial, sofrendo depois uma
transformação a volume constante, que resulta num aumento de
temperatura de 1600 K. Em seguida, é expandido adiabaticamente até ao
seu volume original, e, finalmente arrefecido até a temperatura inicial.
5.a) Esboce o ciclo no plano (p,V) e no plano (S,T).
5.b) Determine as trocas de calor e a variação de entropia em cada fase
do ciclo.
5.c) Se a fonte quente estiver a 3000 K e a fonte fria a 300 K, qual a
variação de entropia no universo em cada ciclo do motor?
6. Considere uma máquina frigorífica que opera entre as temperaturas de
-10 °C e 25 °C. Durante 1/2 hora o fluído recebe 106J do congelador.
Admita que a máquina funciona reversivelmente.
6.a) Calcule a eficiência da máquina.
6.b) Calcule o valor da energia mecânica fornecida à máquina e da
energia térmica cedida à fonte quente, durante essa 1/2 hora.
6.c) Calcule o valor da potência indicada pelo fabricante para a máquina.
6.d) Calcule (em g/s) o caudal do fluido que circula na máquina, supondo
que se trata do R134A (λvaporização (R134A) =200 kJ / kg).
7ª Série de Problemas
Termodinâmica e Estrutura da Matéria
MEBM, MEFT e LMAC
1. Uma vidraça tem 3.00 m2 de superfície e 0.060 de espessura. Se a
diferença de temperatura entre as duas faces for de 25 ºC, calcule a taxa de
transferência de energia através da vidraça. Considere que a condutividade
térmica do vidro é 0.8 Wm-1 ºC-1.
2. Uma parede é formada por duas camadas. Uma é de betão e tem a
espessura de 0.1 m. A outra é de madeira e tem a espessura de 0.05 m. A
temperatura interior é de 22 ºC e a temperatura exterior é de 2 ºC.
2.a) Calcule a potência transferida para o exterior por unidade de área.
2.b) Calcule a temperatura na superfície de contacto entre o betão e a
madeira.
Condutividades térmicas em Wm-1 ºC-1: 0.8 (betão) e 0.08 (madeira).
3. Considere uma parede plana vertical com uma espessura de 0,4m,
condutibilidade térmica de 2,3W/mK e área superficial de 20m2. O lado
esquerdo da parede, é mantido a uma temperatura constante de 80ºC,
enquanto o lado direito perde calor por convecção para o ar vizinho, que se
encontra a uma temperatura de 15ºC e é caracterizado por um coeficiente
de transferência de calor por convecção de 24W/m2K. Assuma regime
permanente e condutibilidade térmica constante.
3.a) Determine o perfil de temperaturas na parede;
3.b) Determine a taxa de transferência de calor através da parede.
4. Considere um ferro de passar a roupa com 800W de potência. A base do
ferro tem uma espessura L=0,6cm, área superficial A=160cm2 e
condutibilidade térmica k=20W/mK. A superfície interior da base do ferro é
sujeita a um fluxo uniforme de calor, gerado pelas resistências eléctricas
que se encontram no interior do ferro. Quando as condições de regime
permanente são atingidas, verifica-se que a temperatura da superfície
exterior da base do ferro é igual a 85ºC. Despreze quaisquer perdas pela
superfície do ferro.
4.a) Determine o perfil de temperaturas na base do ferro;
4.b) Determine a temperatura da superfície interior da base do ferro.
5. Uma sala é aquecida de forma a ter uma temperatura constante e igual a
22 °C. No exterior, a temperatura ambiente é 12°C. A janela da sala, com
uma área de 1 m2, é composta de dois vidros separados por uma caixa de
ar de 1 cm (janela de vidro duplo). Os vidros da janela têm uma espessura
de 4 mm. A condutividade térmica do vidro é igual a 0,8 W/(m °C), o
coeficiente de transmissão de calor por convecção na face interior da janela
é 8 W/(m2 ºC), na face exterior da janela é 25 W/(m2 ºC) (há vento! —
convecção forçada) e na caixa de ar é 7 W/(m2 ºC).
5.a) Calcule o fluxo de calor por unidade de tempo que sai da sala pela
janela.
5.b) Esboce graficamente como varia a temperatura, desde o interior até
ao exterior através da janela.
5.c) Vamos agora ter em conta a caixilharia da janela. A caixilharia
ocupa 10% da área total da janela, tem uma espessura de 2,5 cm e é
de alumínio, tendo uma condutividade equivalente (tendo em conta que
não é maciço!) de 5 W/(m °C). Calcule o fluxo de calor por unidade de
tempo, tendo em conta o efeito da caixilharia.
5.d) Esboce graficamente a variação da temperatura como em b), mas
ao longo da caixilharia, e compare. O que acha que pode acontecer na
superfície interior da caixilharia?
5.e) Faça um gráfico do fluxo de calor que sai pela janela por unidade de
tempo, em função da diferença de temperatura entre o exterior e o
interior (sugestão: calcule a resistência térmica total da janela, tendo
em atenção que pode considerar o caixilho em paralelo com o vidro
duplo e tendo atenção às respectivas áreas). Sugira uma forma de
medir experimentalmente o coeficiente de transmissão térmica de um
elemento construtivo não homogéneo (porta, janela, parede, etc).
6. Um vaso esférico oco de raio interior a e raio exterior b tem uma parede
com condutividade térmica k. Se o seu interior estiver à temperatura Ta e o
seu exterior à temperatura Tb, calcule o calor por unidade de tempo que é
trocado entre o interior e o exterior.
7. Um tubo de aquecimento com 3 cm de diâmetro onde circula água a 75 ºC
está envolvido por um isolante elastomérico com condutividade térmica
0.034 Wm-1 ºC-1 e com 15 mm de espessura. Se a temperatura exterior for
de 5 ºC qual é a potência transferida para o exterior por unidade de
comprimento do tubo?
8. Um avião a jacto comercial tem uma forma aproximadamente cilíndrica
com 35 m de comprimento e cerca de 2.5 m de raio interior. As paredes são
revestidas com um material isolante de 6 cm de espessura e condutibilidade
térmica k=4x10-5 cal/(s cm ºC). A temperatura no interior deve ser mantida
a 25 ºC enquanto a temperatura exterior é cerca de -40 ºC. Qual é a taxa de
aquecimento necessária para manter a temperatura interior da cabine?
9. Uma garrafa termo é aproximadamente cilíndrica com cerca de 30 cm de
altura, 4 cm de raio interior e 4.5 cm de raio exterior. O revestimento
termicamente isolante caracteriza-se por uma condutibilidade térmica
k=2x10-5 cal/(s cm ºC). Se um litro de café a 90 ºC for colocado no seu
interior e se a temperatura exterior for de 20 ºC, quanto tempo é necessário
para o café arrefecer até 50 ºC?
Nota: Despreze as trocas de calor pelo fundo e tampa do termo e admita
que o café tem propriedades semelhantes à água.
10. Uma conduta de aço (k=48W/mK), com 5 cm de diâmetro exterior e
2,6mm de espessura é coberta com uma camada de isolamento de amianto
(k=0,149W/mK e 6,4 mm de espessura), seguida de uma camada de fibra
de vidro (k=0,028 W/mK e 2,5mm de espessura). A temperatura da parede
interior da conduta é de 315 ºC e a da exterior do isolamento é de 38 ºC.
Calcule a temperatura na interface entre o amianto e a fibra de vidro.
8ª Série de Problemas
Termodinâmica e Estrutura da Matéria
MEBM, MEFT e LMAC
1. Estime a temperatura da superfície do Sol sabendo que se encontra a
uma distância de 1.496x1011 m e que o seu raio é de 6.96x108 m. O raio da
Terra é 6.378x106 m.
Sugestão: Despreze o efeito da atmosfera terrestre…
2. Um copo de água está colocado debaixo de uma lâmpada acesa, cujo
filamento se encontra à temperatura T=3200ºC. A distância à lâmpada é 50
cm. A área do filamento é 10 mm2. O copo é cilíndrico e tem de base 50
cm2.
2.a) Determine a potência emitida pelo filamento da lâmpada (considere
o filamento como um corpo negro).
2.b) Qual o comprimento de onda correspondente à intensidade máxima
de luz emitida?
2.c) Ao fim de quanto tempo a água começa a ferver se a temperatura
inicial for Tágua=40ºC e o volume de água no copo Vágua=100 ml?
Considere que a água absorve toda a radiação que sobre ela incide e
despreze as perdas de energia da água.
3. Em 1964, Penzias e Wilson, ao medirem os sinais de rádio emitidos por
uma galáxia, descobriram uma radiação de fundo correspondente a um
corpo negro a 3K. Esta radiação encontra-se por todo o universo conhecido
e é um dos factos que sugere a ocorrência de uma grande explosão inicial
(o big bang).
3.a) Calcule o comprimento de onda correspondente à intensidade
máxima.
3.b) Calcule o fluxo de radiação do espaço estrelar (W/m2).
4. A radiação de fundo de micro-ondas presente no Universo identifica-se
com a radiação emitida por um corpo negro com temperaturaT0=2.7 K. A
teoria Cosmológica Padrão estima para o raio actual do Universo o valor
R@1015m.
4.a) Considerando o Universo como um corpo negro esférico calcule a
potência por ele emitida.
4.b) Qual é o comprimento de onda da radiação de fundo com
intensidade máxima?
4.c) Admitindo que todos os fotões da radiação de fundo têm o
comprimento de onda obtido na alínea anterior, estime o número de
fotões emitidos pelo universo por unidade de tempo.
5.
5.a) O espectro da radiação solar tem um máximo para o comprimento
de onda de 483 nm. Admitindo que a radiação do Sol tem as mesmas
características da emitida por um corpo negro, qual a temperatura da
superfície do Sol?
5.b) Num dia de bom tempo, em que a temperatura da superfície da
Terra seja de 300 K, qual o comprimento de onda da radiação mais
intensa emitida, na aproximação de que a superfície terrestre se
comporta como um corpo negro?
5.c) Durante a noite, a temperatura que corresponde à radiação mais
intensa emitida pelas estrelas, na nossa região da galáxia onde a Terra
se encontra, é muito baixa, embora superior a 3 K. Porque é que a
superfície da Terra, não iluminada pelo Sol durante a noite, não tende a
ficar a essa temperatura?
6. O pirómetro óptico é um aparelho que se destina a medir as temperaturas
à distância, através da análise da radiação emitida pelos corpos.
6.a) Sabendo que os comprimentos de onda da radiação de intensidade
máxima emitida por 2 estrelas são, respectivamente, λ1=45 x 10-8 m
(cor azul) e λ2=61 x 10-8 m (cor vermelha), diga a que temperatura se
encontram. Assuma que a radiação emitida é a de um corpo negro.
6.b) Em qual das estrelas a potência emitida por unidade de superfície é
maior? Quantas vezes maior?
7. Num quarto a cerca de 29°C, a temperatura da superfície da pele de uma
pessoa (cerca de 1,5 m2), sem roupa e em repouso, é de 33 °C. A
emissividade para as frequências na região do espectro visível varia com a
cor da pele. No entanto, para a radiação emitida de maior intensidade
(infravermelhos de grande comprimento de onda — faça as contas!) tem-se
e @ 1 (corpo negro).
7.a) Calcule a potência perdida por radiação. Note que a pessoa emite
calor por radiação à temperatura do corpo, mas absorve radiação
ambiente à temperatura do quarto.
7.b) Sabendo que a perda de calor por condução é desprezável, e que a
perda por convecção, nestas condições, é de cerca de 50% do total,
quantas calorias tem a pessoa de ingerir por dia só para assegurar o
seu metabolismo nessas condições? (Suponha que a pessoa está todo
o dia em repouso e não quer engordar...)
8. Um campista possui uma tenda que tem o tecto interior em plástico
transparente. Numa noite de Verão, num vale da Serra da Estrela, decidiu
não montar o tecto exterior e adormeceu a ver as estrelas (o tecto interior é
transparente!). Além disso, como estava uma temperatura agradável de
22ºC, deitou-se em calções. A sua área de pele voltada para cima é 0,9 m2
e a emissividade da pele é 0,9.
8.a) Sabendo que a superfície da pele do campista estava a uma
temperatura de 35ºC, calcule o comprimento de onda a que
corresponde a intensidade máxima de radiação emitida pelo campista.
8.b) Calcule a energia perdida pelo campista por unidade de tempo
devido às trocas de calor por radiação entre este e o céu. Suponha que
o efeito do céu se traduz por uma fonte a -5ºC (se não houvesse
atmosfera era ~ 3K), que actua na superfície da pele do campista.
8.c) O metabolismo de uma pessoa deitada fornece ao corpo uma
potência de 50W. Calcule a temperatura de equilíbrio da pele do
campista, se se desprezarem as trocas de calor com o ar ambiente e
com o solo.
8.d) O campista acorda a meio da noite (enregelado!) e puxa um
cobertor que tem a mesma emissividade da pele e uma espessura de 2
cm. Que valor de condutividade térmica, k, tem de ter o cobertor para
que o campista não sinta frio?
Sugestão: lembre-se que o metabolismo fornece 50 W e que a
temperatura da superfície do cobertor tem que ser igual ao resultado da
alinea c); se não respondeu considere 10ºC.
9ª Série de Problemas
Termodinâmica e Estrutura da Matéria
MEBM, MEFT e LMAC
1. Considere um sistema de N =3 partículas distinguíveis que se podem
distribuir por três estados i = 1,2,3.
1.a.i)
Qual é número total de microestados acessíveis ao sistema.
1.a.ii)
Indique qual(ais) é(são) o(s) estado(s) que corresponde(m) ao
máximo e ao mínimo de entropia.
2. Imagine-se um sistema de N=4 partículas, que está isolado. Os níveis de
energia que podem ser ocupados pelas partículas são os níveis com
energia:-1, 0, 1, 2, etc. Se a energia interna do sistema for U=3, calcule o
número de microestados no caso:
2.a) Clássico (Maxwell-Boltzmann)
2.b) Quântico (Bose-Einstein)
2.c) Quântico (Fermi-Dirac)
3. Considere um sistema de N = 6x1023 partículas distinguíveis, as quais se
podem distribuir em três estados i = 1,2,3.
3.a) Suponha que o sistema se encontra isolado.
3.a.i)
Escreva a expressão do número total de microestados
acessíveis ao sistema.
3.a.ii)
Escreva a expressão geral da entropia do sistema, quando
este se encontra num macroestado genérico com
• N1 partículas no estado i=1
• N2 partículas no estado i=2
• N3 partículas no estado i=3
3.a.iii)
Apresente a(s) configuração(ões) microscópica(s) do sistema
que corresponde(m) ao seu mínimo de entropia. Calcule esse valor
mínimo.
3.a.iv)
Apresente a(s) configuração(ões) microscópica(s) do sistema
que corresponde(m) ao seu máximo de entropia. Calcule esse valor
máximo.
3.b) Suponha que os três estados do sistema correspondem de facto a
três níveis de energia, tais que u1 = 0, u2 = ε e u3 = 2ε, com ε = 10-20 J.
Nessas condições, admita que o sistema é posto em contacto com uma
fonte de calor à temperatura T, evoluindo para um macroestado de
equilíbrio correspondente a uma distribuição de Maxwell-Boltzmann.
3.b.i)
Calcule a ocupação média de cada nível de energia e a
energia interna do sistema,nos seguintes limites:
• Baixas temperaturas, T → 0.
• Altas temperaturas, T → ∞.
3.b.ii)
Esboce o gráfico de Ni (i=1,2,3) em função de T.
4. Calcule a razão entre o número de microestados acessíveis às moléculas
de água após e antes da fusão dum cubo de gelo com 100 g, a 0°C, para
uma temperatura ambiente Tamb = 30°C.
5. O recipiente da figura tem uma separação amovível entre duas partes
com 0.5m3 cada. Do lado esquerdo contém H2 à temperatura de 0ºC e à
pressão atmosférica. Do lado direito, O2 à mesma pressão e à mesma
temperatura.
5.a) Quando se retira a partição e os gases se misturam, a entropia
aumenta ou diminui? (responda sem fazer contas).
5.b) Calcule a variação de entropia quando os gases se misturam
completamente.
5.c) Este processo é reversível?
6. Um sistema é constituído por dois spins A e B. Cada spin só pode ter dois
estados (si=+1 ou si=-1) podendo tomar qualquer deles ao longo da
evolução dos sistema.
6.a) Calcule o número de microestados do sistema.
6.b) Sabendo que a energia associada a cada microestado
é E = − Js1 s 2 − H ( s1 + s 2 ) com J e H constantes, calcule a probabilidade
de cada microestado quando o sistema está em contacto térmico com
um reservatório à temperatura T.
7. Determine a partir da função de distribuição de velocidades de MaxwellBoltzmann a expressão para a velocidade mais provável de uma espécie.
8. Mostre como poderia determinar que a energia média associada a um
grau de liberdade de vibração é kBT a partir do factor de Boltzmann.
9.
9.a) Calcule o número de moléculas de ar que existem em 1 cm3, em
condições normais de pressão e temperatura.
9.b) Calcule a energia cinética média e a velocidade quadrática média
das moléculas do ar nessas condições, vqm.
Considere o ar como um gás homogéneo de massa molecular 29 u.m.a.
9.c) Calcule a probabilidade de uma molécula ter velocidade superior à
velocidade quadrática média, P(v > vqm). Use a tabela da distribuição de
Maxwell-Boltzmann.
9.d) Quantas moléculas em 1 cm3 de ar têm velocidade superior à
velocidade quadrática média?
10. O número de moléculas na alta atmosfera que atingem velocidades
superiores à velocidade de escape do campo gravítico terrestre determina a
abundância dos vários gases que compõem a atmosfera. A 500 km de
altitude, a velocidade de escape é 11 km/s e a temperatura é de cerca de
600 K. Calcule:
10.a) A energia cinética média das moléculas de H2 e O2 a essa
temperatura. É igual ou diferente para os vários gases que a
compõem?
10.b) A velocidade quadrática média para as moléculas de hidrogénio e
para as moléculas de oxigénio.
10.c) A velocidade média e a velocidade mais provável nos dois casos.
10.d) Usando a tabela da distribuição de Maxwell-Boltzmann calcule a
probalidade de se ter v > vescape nos dois casos. Que pode concluir
sobre a abundância dos dois gases na atmosfera?
11. Titã é uma das luas de Saturno e a velocidade de escape à sua superfície
é semelhante à da Lua. No entanto, o Titã tem uma atmosfera de metano
(CH4) e amoníaco (NH3), e a Lua, como se sabe, não tem atmosfera.
Sabendo que a velocidade de escape da Lua na face virada para o Sol é
2,4 km/s e a de Titã é 2,6 km/s e ainda que a temperatura à superfície da
Lua na face virada para o Sol é 100ºC e a temperatura de Titã na face
virada para o Sol é -153ºC, explique porque é que a Lua não pode ter uma
atmosfera semelhante. Justifique com cálculos: determine, por exemplo, a
probabilidade de se ter v(CH4) > vescape num e noutro caso.
Nota: De facto, a atmosfera de Titã é muito semelhante em composição à
atmosfera primordial da Terra, basicamente constituída por metano e
amoníaco, tendo evoluído para a composição actual, devido ao
aparecimento da vida.
12. A energia de ionizarão do hélio é Eionização= 22 eV. Discuta se espera que
no interior do Sol, onde a temperatura é de cerca de 2 x 107 °C, o hélio
esteja ou não ionizado ?
mHe=4 u.m.a. ; 1 eV=1,6 x 10-19J.
13. O modelo de atmosfera isotérmica admite que, dentro das variações de
altitude consideradas, o ar se comporta como um gás perfeito em equilíbrio
térmico à temperatura T, sob a acção de um campo gravítico de aceleração
constante g.
13.a) Escreva a expressão da energia de cada partícula (de massa m) do
ar.
13.b) Obtenha a expressão da densidade do ar em função da altitude z.
14. Numa centrifugadora de eixo vertical girando com velocidade angular ω
está uma solução aquosa à temperatura T com partículas de massa m. As
partículas, devido à rotação, ficam sujeitas à força centrífuga Fc = mω2r,
sendo r a distância ao eixo de rotação. Notando que esta força pode ser
considerada como derivada de uma energia potencial U = -(1/2)mω2r2:
14.a) Obtenha a expressão para a dependência da densidade d da
partícula na distância r.
14.b) Se a centrifugadora efectuar 100 rotações por minuto, sendo m =
10-16 kg e T = 300 K, qual a razão das densidades correspondentes a r1
= 3mm e r2 = 1mm?
14.c) A variação da densidade com r será mais ou menos acentuada se
aumentar T? E se aumentar ω? Justifique.
10ª Série de Problemas
Termodinâmica e Estrutura da Matéria
MEBM, MEFT e LMAC
1. Uma antena de rádio emite com uma potência de 104W, na frequência de
9,2 x 105 Hz. Quantos fotões são emitidos por segundo?
2. Quando o Sol incide perpendicularmente à superfície terrestre, a potência
incidente junto a esta é de cerca de 103 Wm-2. Sendo 550 μm o
comprimento de onda médio da radiação:
2.a) Calcule quantos fotões atingem a superfície terrestre por m2 e por
segundo.
2.b) Qual o momento linear de cada fotão? Qual o momento linear
transferido por cada fotão reflectido ao chocar com a superfície
terrestre? E se o fotão for absorvido?
2.c) Calcule o momento linear transferido para a superfície terrestre por
m2 e por unidade de tempo e a pressão devida ao embate dos fotões.
3. O tubo de um anúncio luminoso contém néon. O gás no interior do tubo
pode emitir comprimentos de onda que são característicos deste elemento.
Assim, de acordo com a diferença de potencial aplicada, o tubo emite luz
amarela (585,25 nm), vermelha (640,23 nm) ou verde (540.25 nm).
3.a) Se o número de fotões emitidos em cada comprimento de onda for
o mesmo, para qual das cores o consumo de energia é menor? Calcule
a frequência da radiação e a energia de cada fotão em eV para esse
caso.
3.b) O néon também emite raios X com um comprimento de onda de
1,46 um, que correspondem a transições de electrões para as as
camadas mais próximas do núcleo. Qual a energia destes fotões em
eV?
4. Quando uma radiação com a frequência de 7 x1014 Hz incide numa
superfície metálica é emitido um feixe de electrões que podem atingir
velocidades até cerca de 6 x 105 m/s. Se quisermos construir uma célula
fotoeléctrica com esse metal, qual a frequência mínima da radiação com
que deve ser iluminada?
5. A célula fotoeléctrica é construída com césio.
Sabe-se que a função de trabalho, isto é, a energia mínima necessária para
arrancar um electrão é 1,8 eV. A área da célula é 1 cm2.
5.a) Qual é o valor mínimo da frequência da radiação com que se deve
iluminar o Césio para que haja corrente eléctrica no circuito?
5.b) Suponha que dispõe de uma lâmpada incandescente cujo máximo
da energia emitida corresponde à frequência de extracção de um
electrão. Qual é a temperatura do filamento?
5.c) O filamento tem uma área total de 5 mm2 e emite isotropicamente
como um corpo negro. Calcule a potência emitida pela lâmpada que
incide na célula em função da distância à lâmpada.
5.d) Admita que apenas 3% da radiação total que atinge o detector é
que contribui para a extracção dos electrões, sendo a restante energia
perdida ou transformada em energia cinética dos electrões extraídos.
Se a corrente mínima que deve alimentar o circuito for Imin = 10 μA,
qual a distância máxima a que a lâmpada se pode encontrar do
detector?
6. Os neutrões resultantes da cisão do urânio nos reactores nucleares têm
energias muito elevadas. Para aumentar as suas probabilidades de interagir
com os átomos de urânio e provocar uma reacção em cadeia, têm de ser
termalizados, isto é, perder energia por colisões sucessivas com os átomos
de um moderador (água ou água pesada). Calcule o comprimento de onda
de um neutrão após atravessar um moderador à temperatura de 300 K.
Compare com a ordem de grandeza das distâncias interatómicas.
7. A que energia mínima deverá estar a funcionar um microscópio
electrónico para distinguir detalhes com 0,002 nm? Compare com a melhor
resolução que é possível obter com um microscópio óptico, que é de 200
nm. (De facto, o feixe tem de ser focado, o que faz que a resolução seja
inferior à aqui calculada.)
8. O átomo de oxigénio tem uma massa atómica de 16 u. Se o átomo tiver
uma energia cinética de 1 eV, qual o seu comprimento de onda de Broglie?
9. Numa experiência de efeito de Compton, os raios X incidentes têm uma
energia de 100 keV.
9.a) Qual a frequência dos fotões?
9.b) Um electrão adquiriu uma energia cinética de 4 keV ao chocar com
um fotão, que é desviado da sua trajectória inicial. Qual a frequência do
fotão desviado?
9.c) Calcule, nas condições da alínea anterior, o ângulo de desvio do
fotão.
10. Os raios X podem ser produzidos numa ampola constituída por dois
eléctrodos, entre os quais é estabelecida uma elevada diferença de
potencial. No cátodo, um filamento de tungsténio aquecido produz um feixe
de electrões, que vai ser acelerado pelo campo eléctrico existente entre os
eléctrodos. Os electrões com uma energia cinética superior a 3.2 × 10-14J
vão embater no ânodo de molibdénio produzindo raios X.
10.a) Qual o comprimento de onda associado aos electrões junto do
ânodo com uma energia cinética igual a 3.2 × 10-14J?
10.b) Os electrões provocam a excitação dos átomos de molibdénio.
Determine o comprimento de onda das radiações Kα 1 e Kα 2 do
molibdénio, sabendo que estas resultam, respectivamente, das
transições entre os níveis LII → K e LIII → K. As energias desses níveis
são: EK = -20.0 keV, ELII = -2.63 keV e ELIII = -2.52 keV.
10.c) Considere agora que a radiação Kα 1 é difundida por um bloco de
carbono. Cada fotão é difundido por um electrão livre em repouso
(efeito Compton). Determine o comprimento de onda da radiação
difundida numa direcção que faz com a de incidência um ângulo θ ,
sabendo que os electrões adquirem uma energia de 3.5 keV.
Nota: Se não respondeu à alínea anterior utilize λ (Kα 1) = 0.7 Å
11. Suponha que a velocidade de um electrão e de uma bala com 30 g de
massa eram medidos com a mesma precisão experimental, Δv =10-3 m/s.
Qual a incerteza mínima na posição do electrão? E na posição da bala?
12. Uma fonte de luz é utilizada para determinar a posição dum electrão num
átomo com a precisão de ½ Ǻ (0,05 nm). Qual é a incerteza mínima na
medida da velocidade do electrão?
13. No átomo de hidrogénio, o raio do protão mede 0,8 x 10-15 m e a distância
média do electrão ao centro do protão é 5,3x10-11 m. Se o protão for
representado por uma laranja com 6 cm de raio, a que distância está o
electrão?
14. Considere o movimento (clássico!) de um electrão em torno de um protão.
(Recorde o problema de Kepler, desempenhando neste caso a atracção
eléctrica entre as partículas o papel da interacção gravítica).
14.a) Escreva a energia do electrão em função do módulo do momento
angular no caso particular de uma órbita circular de raio r.
14.b) Suponha agora (hipótese introduzida por Bohr) que só as órbitas
que correspondem a valores do momento angulares quantificados, isto
é, da forma | | = n , com n = 1, 2, 3... ( = h/2π) são estacionárias.
Qual a energia desses estados estacionários (níveis de energia)?
14.c) Qual o comprimento de onda do electrão nesses estados
estacionários?
15. Em 1885 Johann Balmer obteve empiricamente uma fórmula que permitia
obter os valores para os comprimentos de onda das 4 riscas do espectro
visível do hidrogénio, e que era
onde n=3,4,5...; RH = 1,097 x 107m-1 - constante de Rydberg. Bohr obteve
para os níveis de energia do átomo
; n = 1, 2, 3, ...
15.a) Partindo do modelo atómico de Bohr, obtenha a fórmula de Balmer
para o átomo de hidrogénio. Determine o valor de RH previsto por Bohr.
15.b) Em 1896 verificou-se que as riscas do espectro de uma estrela
obedeciam à fórmula empírica
com base nas fórmulas de Balmer e de Bohr diga qual o elemento
encontrado na estrela. Justifique a resposta.
16. De acordo com o modelo de Bohr, o átomo é constituído por uma
partícula de carga negativa, descrevendo trajectórias circulares em torno de
uma de carga positiva.
16.a) Calcule a energia e o raio do átomo de hidrogénio no seu estado
fundamental (em eV).
16.b) Um muão μ negativo (μ−) tem uma carga igual à de um electrão (e−)
mas uma massa 207 vezes superior. Qual seria a energia do nível
fundamental e o raio de um «átomo de hidrogénio» constituído por um
protão e um muão μ− ?
17. Considere um átomo de hidrogénio no 2º estado excitado (n = 3).
17.a) Escolha a opção correcta:
A energia do electrão é ...
17.a.i)
um terço da energia do nível fundamental (E3 = E1/3);
17.a.ii) um oitavo da energia do nível fundamental (E3 = E1/23);
17.a.iii) um nono da energia do nível fundamental (E3 = E1/32).
17.b) Se um átomo de hidrogénio decair do nível n=3 para o nível
fundamental, qual será a energia (em eV) dos fotões que podem ser
emitidos? (Recorde que E1= -13,6 eV). Faça um esquema das
transições possíveis e indique em que zona de frequência se encontra
a radiação emitida.
18. Considere o modelo de Bohr para o átomo de hidrogénio.
18.a) Qual é a velocidade do electrão no estado fundamental? Compare
com a velocidade da luz (calcule v/c).
18.b) Qual é a corrente eléctrica que corresponde ao movimento do
electrão em torno do núcleo? Qual o momento magnético orbital do
electrão? (Recorde que o momento magnético é μ = IA, em que / é a
intensidade de corrente e A a área do circuito.)
18.c) Recorde que um circuito eléctrico é equivalente a um dipolo e que a
energia deste num campo magnético exterior B é U =- μΒ cos θ. Qual a
energia necessária (em eV) para inverter o dipolo equivalente, uma vez
que este esteja alinhado com um campo de 10 T? (Isto é, a energia
necessária para inverter o sentido do movimento do electrão!)
18.d) Qual a frequência do fotão emitido por um electrão, ao voltar a
alinhar o momento magnético com um campo de intensidade 10 T?
19. A analogia clássica para o spin do electrão consiste em supor que este
roda em torno de si próprio, gerando um momento magnético μs=-eħ/mms,
sendo ms =+1/2 ou -1/2 conforme o spin está, respectivamente, alinhado ou
desalinhado com o campo magnético exterior. Sabendo que a energia de
um electrão com spin sz =ms ħ num campo magnético B é U=-μs B, calcule:
19.a) A diferença de energia entre o estado em que o spin está alinhado e
aquele em que está desalinhado com um campo magnético exterior de
1 T.
19.b) A frequência do fotão emitido quando um electrão passa do estado
em que ms =-1/2 para o estado em que ms =+1/2, na presença de um
campo magnético de 1 T.
20. Na Mecânica Quântica, a energia total de um oscilador harmónico
.O
encontra-se quantizada, sendo dada por En=(n+1/2)hω , onde
sistema massa-mola representado na figura é um oscilador harmónico. O
corpo tem massa m=0.5 kg e a constante elástica da mola de massa
desprezável é k=10 N/m.
20.a) Num certo instante o corpo passou na posição de equilíbrio, x=0,
com uma velocidade igual a v=9.7×10-3 m/s. Estime a incerteza mínima
na posição do corpo caso se determine que a incerteza na sua
velocidade é Δv=10-9 m/s.
20.b) A partir dos valores de posição e velocidade referidos, e sabendo
que o sistema se encontra num estado próprio de energia, determine o
número quântico n desse estado.
20.c) O corpo pode absorver um fotão com qualquer energia? Justifique
indicando quais as energias permitidas. Deste problema, que
conclusões pode tirar sobre a necessidade de aplicar a Mecânica
Quântica a sistemas macroscópicos? Justifique
21. Os níveis de energia de um oscilador quântivo são En = (n + 1/2) hν (com
n = 0, 1, 2, ...). Na molécula de hidrogénio, os dois átomos estão "unidos"
por um potencial de oscilador harmónico U(x) = 1/2 kx2 cuja constante é k =
580 N/m.
21.a) Calcule a partir de k e da massa "reduzida" de molécula (lembre-se
que é esta massa que determina o movimento relativo!) a frequência ν
das vibrações de molécula.
Se não fizer esta alínea use ν = 0.2 x 1014 s-1 nas restantes.
21.b) Calcule a energia do estado de mais baixa energia da molécula.
21.c) Que energia mínima é necessário fornecer à molécula para a fazer
vibrar? Se pretendesse produzir essas vibrações por aquecimento, que
temperatura mínima lhe garante a existência de vibrações de molécula?
Como varia o calor específico de hidrogénio a essa temperatura?
21.d) Se a molécula se encontrasse no estado de energia correspondente
a n = 2, que frequências se poderiam observar na radiação emitida pela
molécula? Que comprimentos de onda lhes corresponderiam?
21.e) Explique, face a a) e d), como se pode determinar k, a "constante
da mola", experimentalmente, supondo que se conhece a massa
reduzida da molécula.
22. Um laser de Rubi emite num comprimento de onda λ=694.3 nm.
Considere um modelo para o laser em que os fotões são emitidos devido a
transições de electrões numa caixa de paredes infinitas entre os níveis n=3
e n=2.
22.a) Qual a diferença de energia entre os níveis referidos?
22.b) Calcule a largura da caixa que é compatível com o laser de rubi.
22.c) Qual é a energia e o momento linear de um dos electrões que se
encontre no estado fundamental?
23. Considere 4 protões (spin 1/2) confinados numa "caixa" a uma dimensão
(poço de potencial de paredes infinitas), com 10 fm de largura (1 fm = 10-15
m). Desprezando a interacção dos protões entre si, os níveis de energia são
dados por
em que a é a largura da "caixa" e m a massa de cada partícula.
23.a) Calcule a energia do nível máximo ocupado pelos protões quando T
0K. Faça um esquema representando a distribuição dos 4 protões
pelos níveis ocupados.
23.b) Calcule o comprimento de onda e o momento linear correspondente
a cada um dos níveis ocupados nessas condições.
23.c) Se cada um dos protões receber energia para "saltar" para o nível
de energia imediatamente acima, indique num esquema que transições
podem ocorrer para os protões voltarem ao estado de energia mínima.
Calcule a maior e a menor frequência dos fotões emitidos nessas
transições.
23.d) Repita a alínea a) considerando que, em vez de protões, se tratava
de deutrões. O deutrões são núcleos de Deutério, constituídos por um
protão e um neutrão ligados, tendo spin 1 (mdeutrão 2mprotão).
24. O electrão de um átomo de hidrogénio está no nível n = 2. De acordo com
os resultados da equação de Schrõdinger:
24.a) Quais são os valores possíveis para o número quântico do
momento angular orbital do electrão,l? E para o módulo do momento
angular orbital? (Dê o resultado em função de ħ.)
24.b) Que valores pode tomar para cada um desses estados a projecção
do momento angular orbital, segundo um eixo à sua escolha (eixo dos
Z)? (Dê o resultado em função de ħ.)
24.c) Pode medir experimentalmente ou calcular as outras componentes
do momento angular no mesmo instante?
24.d) Quantos electrões poderiam ser «alojados» nos diferentes estados
do nível n = 2, se contarmos com os dois valores possíveis para o spin,
± ħ/2? (É só contar! Lembre-se do princípio de exclusão de Pauli.)
25.
25.a) Na coluna VIIIA da tabela periódica dos elementos encontra, por
exemplo, o hélio (1s2), o néon (1s2 2s2 2p6) e o árgon ([igual ao néon]
3s2 3p6). Quantos electrões têm cada um destes elementos na orbital
«mais exterior» («última camada» de electrões)? Que há de comum
entre eles?
25.b) Na coluna IA encontra o hidrogénio (1s1), o lítio (1s2 2s1) e o sódio
([igual ao néon] 3s1).Que há de comum entre estes elementos?
26. A estrutura electrónica do hidrogénio é 1s1 e a do oxigénio é 1s2 2s2 2p4.
Com base nisto, explique porque é que o oxigénio «se dá tão bem» com
dois átomos de hidrogénio, formando um composto muito estável (adivinhe
qual!).