distribuição dos números primos

DISTRIBUIÇÃO DOS NÚMEROS PRIMOS
Rosimara Flores Nodário 1
Ana Maria Beltrame2
Resumo
Primus é a palavra latina que significa primeiro e único. Ela foi escolhida para
denominar o grupo dos números inteiros divisíveis apenas por si mesmo e pelo 1. Se for
inteiro e não primo, trata-se de um composto. Isso se aprendeu na escola. O que
provavelmente não se sabia é que os primos são utilíssimos na produção de códigos secretos
para computadores. Criam-se fórmulas com produto entre dois primos gigantes, gerando um
monumental número composto. O segredo só será desvendado por quem descobrir os dois
primos usados. Como são números astronômicos, com mais de 100 dígitos, a operação é muito
difícil. Outra impressão que se tem é que não há nenhuma ordem entre os números primos; às
vezes eles aparecem próximos uns dos outros; às vezes afastados. Analisando-os
individualmente ou em grupos, não se observa qualquer regularidade em sua distribuição.
Palavra-Chave: Números Primos
Introdução
O conceito de números surge naturalmente tão logo começamos a lidar com a
multiplicação, no início do estudo da aritmética. Percebe-se que alguns números são produtos
de outros, como 15 = 3x5 ou 24 = 2x3x4. Este tipo de número é chamado número composto.
Os demais números, ou seja, aqueles que não admitem outros fatores além deles mesmos e da
unidade, recebem o nome de números primos. Então “número primo é todo número natural
maior do que 1, que é divisível por si mesmo e pela unidade”.
Os números primos ostentam uma longa história, desde gregos antigos até o presente.
Sabe-se que, quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores
primos, tais como 12 = 2x2x3 ou 935 = 5x11x17. Este fato, na verdade, é conhecido como o
Teorema Fundamental da Aritmética e nos diz que os números primos são por assim dizer
“átomos” ou “tijolos” da construção a partir dos quais os outros inteiros são formados
multiplicativamente. Por conseguinte, os números primos foram muito estudados e se fizeram
esforços consideráveis no sentido de determinar a natureza de sua distribuição na seqüência
dos inteiros positivos. Os principais resultados obtidos na Antiguidade foram a prova da
infinitude dos primos e o crivo de Eratóstenes para determinar os primos inferiores a um
1
2
Aluna do curso de Matemática – UNIFRA
Professora do curso de Matemática - UNIFRA
1
2
inteiro dado n. .
Não há, porém, nenhum procedimento prático para testar se um número grande é primo
ou não e o esforço feito na verificação de alguns números particulares foi enorme. Em 1952, o
computador EDSAC, em Cambridge, Inglaterra, mostrou que é primo o número
180(2127 − 1) 2 + 1 ( que tem setenta e nove algarismos ).
Um sonho dos especialistas em teoria dos números é encontrar uma função f(n) que,
para inteiros positivos n, forneça uma infinidade de números primos. Assim f(n) = n2- n + 41
fornece primos para todo n < 41, mas f(41) = 412 , portanto, composto. Podem-se encontrar
funções polinomiais que forneçam sucessivamente tantos primos quanto se deseje, mas
nenhuma delas fornecerá sempre números primos.
Há muitas conjecturas em aberto com relação aos números primos, por exemplo:
existem infinitos pares de primos gêmeos? Isto é, primos da forma p e p + 2 como 3 e 5, 11 e
13, 29 e 31. Outra é a conjectura feita por Cristian Goldbach ( Boyer- História da
Matemática), em 1742, numa carta a Euler. Goldbach observou que todo inteiro par, exceto o
número 2, parecia ser exprimível como soma de dois primos, por exemplo, 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8
= 5+3, ..., e assim por diante.
Desenvolvimento
Definição: Um número P∈ N se diz primo se
i) P ≠ 0 e P ≠ 1
ii) Os únicos divisores de P são 1 e P.
Um número, a ∈ N a ≠ 0 e a ≠ 1 , é chamado composto se a não é primo. Assim, um
número composto sempre pode ser fatorado num produto, a = bc, onde b ≠ 1 e c ≠ 1 .
Os números 2, 3, 5, 7, 11,...... são primos e os números 4, 6, 8, 10, 12022,...... são
compostos .
O número 1 não é primo nem composto; então, se a é um inteiro positivo qualquer
temos: a é primo ou a é composto ou a = 1.
O número 2 é primo pois, se a 2 , então 0< a ≤ 2 e portanto a = 1 ou a = 2. O número 2 é
o único primo par.
Há 168 números primos entre 1 e 1000, 135 entre 1000 e 2000 e 127 entre 2000 e 3000.
Os dados de que se dispõem hoje a respeito vão muito além, mas, mesmo com os
computadores eletrônicos, há limitações para pesquisas nesse sentido. Contudo, já nos
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Elementos de Euclides apareceu uma demonstração, garantindo que o conjunto dos números
primos é infinito. A prova de Euclides (o número de números primos é infinito) é considerada
universalmente pelos matemáticos como um modelo de elegância matemática.
Ao contemplar uma tabela de números primos, como abaixo,
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
Etc..
a primeira impressão que se tem é a de que não há nenhuma ordem entre os números primos;
às vezes, eles aparecem próximos uns dos outros, às vezes afastados; analisando-os
individualmente, ou em pequenos grupos, não se divisa qualquer regularidade em sua
distribuição. Legendre (1752-1833) ocupou-se dessa questão e, por volta de 1800, formulou
uma conjectura que revela certa ordem no que parecia ser um caos completo.
Para explicar a conjectura de Legendre, introduzimos o símbolo π(x) como sendo a
função que determina o número de números primos, até certo valor x.
Assim, π(8) = 4, ou seja, o número de números primos até 8 é 4; e são 2, 3, 5 e 7.
π (11) = 5, pois há cinco números primos até 11 e assim sucessivamente.
Portanto, o que “LEGENDRE” conjeturou empiricamente, analisando tabelas de
números primos (em 1791 uma dessas tabelas foi publicada contendo todos os números
primos até 400031) é que π(x) podia ser aproximada pela função
x
e que seria uma
ln x
aproximação tanto melhor quanto maior fosse o número x.
Conseqüentemente, essa função deverá ser entendida, em termos relativos, isto é, o erro
que se comete tomando
de x, relativamente a
x
em lugar de π(x) torna-se tanto menor quanto maior for o valor
ln x
x
.
ln x
4
Em outras palavras, seja: E ( x ) = π ( x ) −
x
, o erro que se comete ao tomar x ln x em lugar
ln x
de π ( x).
Pois bem, o que se torna pequeno com o crescer de x é o erro relativo
E ( x)
x
ln x
(1)
Este erro pode ser feito, em valor absoluto, tão pequeno quanto se queira, desde que se
faça x suficientemente grande. Ou seja, lim
x →∞
E ( x)
= 0.
x
ln x
Alguns matemáticos notaram, então, que a seqüência dos números primos tinha algo em
comum com a função logarítmica, que é uma função que surge, por exemplo, no estudo do
crescimento de populações.
Assim, os matemáticos detiveram-se em mostrar como se comportaria o crescimento de
uma população de bactérias, quando duplicada a cada uma hora. Sendo n o número de
bactérias, então
ln x
é precisamente o número de horas necessárias para que a população
ln 2
fique multiplicada pelo fator x.
A hipótese mais simples sobre a variação da população é que a taxa de variação de p é
proporcional ao valor atual de p, isto é,
dp
= Kp
dt
(2)
onde a constante de proporcionalidade K é chamada taxa de crescimento ou declínio,
dependendo se é positiva ou negativa. Supondo-se aqui que, K > 0, de modo que a população
está crescendo e resolvendo a equação (2) sujeita à condição inicial,
p (0) = p 0
(3)
Obtém-se um crescimento exponencial,
p (t ) = po e kt
(4)
Logo, o modelo matemático que consiste no problema de valor inicial, com K > 0 prevê
que a população crescerá exponencialmente sempre.Também se pode observar que a equação
(4) é razoavelmente precisa para muitas populações, pelo menos por períodos limitados de
tempo.
5
Voltando na equação (4), colocando x =
p (t )
, teremos,
po
p (t )
= e kt ⇒ x = e kt
po
(5)
Com a população duplicada a cada hora, x = 2 quando t = 1, substituindo em (5) tem-se
2 = ek ⋅1 ⇒ ln 2 = ln e k
e
ln 2 = k ln
{e
1
K ≅ ln2 = 0,693147
Então
Nota-se que, alguma hora, as limitações sobre o espaço, o suprimento, comida ou outros
recursos reduzirá a taxa de crescimento e acabará inibindo o crescimento exponencial.
Observa-se, então, que dois fenômenos tão diferentes na aparência, como a distribuição
dos números primos e o crescimento populacional, tenham algo em comum.
Os estudiosos estão trabalhando até hoje, e descobriram que existem constantes
positivas.
c e C
c⋅
( c ≅ 0.92, C ≅ 1.106 )
x
≤π
ln x
(x ) ≤
C⋅
tais que:
x
ln x
Para bem entender os significados da aproximação
π ( x) ≅
x
ln x
(6)
vamos comparar os gráficos das funções y = x e y = lnx.
6
Eles nos revelam que ambas as funções crescem com o crescer de x, tendendo a infinito.
Analisando a primeira função, cresce mais depressa que a segunda, distanciando-se mais e
mais desta última, à medida que x cresce acima de qualquer número dado.
Isto quer dizer que o quociente no segundo membro de (6) também cresce, tendendo a
infinito com o crescer de x, o que está de acordo com o fato de que existem infinitos números
primos, isto é, π ( x ) cresce acima de qualquer número, desde que façamos x suficientemente
grande.
Fazendo o raciocínio que
x
1
1
significa dizer x vezes
, sendo
a densidade
ln x
ln x
ln x
média, onde o intervalo vai de 1 até x, nota-se que a densidade média decresce com o crescer
do x. Isto significa dizer que os números primos vão ficando cada vez mais raros, à medida
que se avança na seqüência dos números naturais.
O que acabamos de dizer deve ser entendido em média, isto é, poderá haver
concentrações de números primos em certos lugares ou a ausência deles em outros lugares de
sua seqüência. Essa ausência pode ser facilmente estabelecida, pelo simples expediente de
exibir intervalos arbitrariamente longos de números naturais nos quais todos os números são
compostos, nenhum é primo. Tais intervalos são, às vezes, chamados desertos de números
primos.
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Para ver isto, observe que, dado qualquer número natural n, seu fatorial é divisível por todos
os números 2, 3,...., n-1, n, pois é simplesmente o produto desses números. E n!+n é
divisível por n.
Em outras palavras, todos os números n!+2, n!+3, n!+4,...,n!+n, são compostos. Nesse
intervalo existe n-1 números. Como n é arbitrário, pode-se escolhê-lo de forma a se ter uma
seqüência ininterrupta de números compostos, ou seja, um deserto de números primos, tão
longo quanto se queira!
Em face da propriedade que acabamos de demonstrar, e tendo em conta que a
densidade média dos números primos tende a zero, de sorte que esses números vão ficando,
em média, cada vez mais raros quanto maiores forem, é razoável suspeitar que o intervalo
entre números primos consecutivos também cresça com o crescer desses números.
Pode-se observar que há também razões para suspeitar que existem infinitos pares de
números primos gêmeos, isto é, pares de números primos do tipo p e p + 2.
Por exemplo, são primos gêmeos os pares.
3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31, 41 e 43.
Não se sabe até hoje se há um número infinito de pares de primos gêmeos, mas são
conhecidos primos gêmeos muito grandes, tais como:
140.737.488.353.507 e
140.737.488.353.509
140.737.488.353.699 e
140.737.488.353.701
Um fato interessante é a existência de apenas um terno de inteiros positivos ímpares e
consecutivos que são todos primos: 3, 5 e 7.
Conclusão
A seqüência dos números primos é infinita. A partir de 1951, através de computadores,
vêm se procurando determinar números primos cada vez maiores. Como curiosidade, em lº de
junho de 1999, foi calculado um número primo que possui mais de 2 milhões de algarismos.
Multiplicando-se dois números primos muito grandes obtém-se um número composto que
também será tão grande, sendo praticamente impossível descobrir seus fatores primos; mesmo
os computadores mais rápidos levariam milhões de anos para encontrá-los. Estes números são
usados hoje em dia na codificação de mensagens, seja para fins militares, diplomáticas ou
comerciais, tornando-se um recurso criptográfico muito eficaz, pois só quem conhece os
fatores primos do número composto consegue interpretar as mensagens.
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Referências Bibliográficas
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Bibliografia
ÁVILA, G. 1991.Revista do Professor de Matemática.n 19.São Paulo:Ed. Alcilia Augusto.
BOYCE, W. E. & Diprima, R. C.2002.Equações Diferencias Elementares e Problemas de
Valores de Contorno. Rio de Janeiro: Editora Livros Técnicos e Científicos,
COUTINHO, S. C.1997. Números Inteiros e Criptografia RSA. Rio de Janeiro: IMPA,
SBM,
DOMINGOS, H. H.1997. Fundamentos da Aritmética. São Paulo: Atual.
EVES, H.1995. Introdução á História da Matemática. Campinas, SP: Ed da UNICAMP.