conjunto dos números complexos

Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do
quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em
http://www.dimensions-math.org/
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João Cabral
~1~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição 1.1:
1. Definimos o número imaginário, , como o símbolo tal que
2. Ao conjunto
*
+
chamamos conjunto dos números complexos.
.
Nota: Podemos identificar o subconjunto de
*
+
com , passando este a ser considerado um subconjunto de .
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João Cabral
~2~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Operações algébricas com complexos: Sejam
Definimos
1. adição de
com
ao complexo
(
2. multiplicação de
por
ao complexo
(
Nota: Para complexos da forma
com as operações usuais em .
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dois números complexos.
)
)
(
);
(
).
,
João Cabral
, estas operações coincidem
~3~
Capítulo 1
Propriedades algébricas (1.2): Sejam
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
complexos quaisquer.
1.
(soma é comutativa);
2.
(multiplicação é comutativa);
(
) (
)
3.
(soma é associativa);
) (
) (multiplicação é associativa);
4. (
);
5.
é o elemento neutro da soma (
6.
é o elemento unidade da multiplicação, ou seja,
;
(
) é o elemento simétrico de , ou seja,
( )
7. –
;
)
8. (
(multiplicação é distributiva relativamente à adição);
9.
se e só se
ou
(lei do anulamento do produto);
10.
se e só se
(lei do corte para a adição).
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João Cabral
~4~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Da motivação construção dos números complexos óbvio a existência de uma bijecção canónica
entre e , , definida por
( )
onde
. A aplicação inversa de
(
(
)
é dada por
)
Tendo em conta esta aplicação, definimos naturalmente um produto em
(
)
)
( )
( )
)
(
identificado com , via
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)
e
, ou seja, para todo o
( )
( )
O mesmo se pode afirmar sobre
A
(
“respeita” as operações definidas em
A aplicação
1. (
2. (
)
dado por
.
, chamamos Plano de Argand.
João Cabral
~5~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (1.3): Seja
, um número complexo.
1. Denominamos o real
por parte real de
2. Denominamos o real
por parte imaginária de
3. Se
( )
1.
se e só se
( )
2.
se e só se
( )
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( );
e representamos este real por
( );
, dizemos que é um imaginário puro.
Nota: Dados dois números complexos
3. (linearidade)
e representamos este real por
(
( )e
ee
. Temos que
( )
( );
;
)
( )
( )e
João Cabral
(
)
( )
( ).
~6~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Interpretação geométrica da soma de complexos (regra do paralelogramo)
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João Cabral
~7~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota: Em , a relação de ordem usual
todo o real
,
respeita a adição e a multiplicação, ou seja, para
;
e
.
Ao contrário de não existe qualquer relação de ordem canónica em . Isto deve-se ao
facto de se provar que não existe uma relação de ordem que respeite a multiplicação de
números complexos.
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João Cabral
~8~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (1.4): Dado um complexo , definimos o conjugado de
( ̅)
( ̅)
( )e
( ).
Propriedades do conjugado (1.5): Sejam
1.
( )
̅
( )
( )
( )
2. ̅
3. ̅̅̅̅̅̅̅̅
̅ ̅;
4. ̅̅̅̅̅
̅ ̅;
5. ̅
;
( )
6. ̅
( )
7. ̅
.
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como o complexo ̅ tal que
̅
complexos quaisquer.
;
̅
‖(
( )
( ))‖ ;
;
João Cabral
~9~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição de inverso de um complexo: Seja
representamos por
um complexo. O elemento inverso de , que
ou por , é o complexo tal que
( ̅)
̅
Definição do quociente de complexos: Sejam
Definimos quociente de por como o complexo
( ̅)
̅
. Como tal
( ̅)
̅
complexos quaisquer, com
.
( ̅)
̅
Nota: Como, para as operações de soma e multiplicação definidas, os números complexos
verificam as propriedades 1. a 8. de 1.2 e além disso todo o complexo não nulo admite
inverso, algebricamente o conjunto dos números complexos tem a estrutura de corpo.
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João Cabral
~ 10 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Propriedades da divisão (1.6): Sejam
1. Se
,
2. Se
,
3. Se
4. Se
,
complexos quaisquer.
;
se e só se
(lei do corte para a multiplicação);
,
̅̅̅̅̅
. /
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João Cabral
̅
̅
~ 11 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
A propriedade 2. De 1.5 motiva a seguinte definição.
Definição (1.7): Seja um complexo qualquer. Definimos módulo de
| |
Nota: Sejam e
1. Se
2. |
e
√
( )
como
( )
complexos quaisquer.
( )
, então o módulo de é igual ao módulo real de ;
| ‖( ( )
( )) ( ( )
| mede a distância entre
( ))‖, ou seja, |
enquanto pontos no plano de Argand.
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João Cabral
~ 12 ~
Capítulo 1
Propriedades do módulo (1.8): Sejam
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
complexos quaisquer.
1.
̅ | | ;
2. | |
;
3. | ̅| | |;
| | | | |;
4. |
5. Se
,
| |
| |
| |
6. ( ) | ( )| | | e ( ) | ( )| | |;
| | | | | (desigualdade triangular);
7.|
|.
8. || | | || |
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João Cabral
~ 13 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição de potenciação: Seja
recorrência,
Nota: Dado
um complexo não nulo e
como o complexo (
natural, definimos
Propriedades da potenciação (1.9): Sejam
1. Se
2. Se
3. Se
4.
5.(
6.(
7.(
,
,(
um natural. Definimos, por
) .
complexos quaisquer e
inteiros.
;
)
,(
;
)
;
)
)
)(
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)
;
;
.
João Cabral
~ 14 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema fundamental da álgebra (1.10): Todo o polinómio de variável complexa e coeficientes
complexos,
,
com
constantes complexas e
(
onde
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) (
são constantes complexas e
João Cabral
, admite uma factorização da forma
)
(
)
são naturais tais que
~ 15 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Como as funções seno e co-seno são periódicas de período
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João Cabral
, a escolha de
não é única.
~ 16 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (1.11): Definimos grupo unitário como o conjunto
*
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João Cabral
| |
+
~ 17 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota: O produto de dois elementos de é um elemento de . Além disso a multiplicação de
complexos restrita a elementos de ainda verifica é associativa, comutativa, admite elemento
unidade e todo o inverso de um elemento de ainda é um elemento de . Nesta situação é dito
que tem estrutura algébrica de grupo comutativo.
Propriedade (1.12): Dado um complexo
elemento de tal que
.
Definição de forma polar: Seja
( ))
não nulo, existe um único real positivo
um complexo não nulo e
um real tal que
e um único
| |(
A esta representação chamamos forma polar ou forma trigonométrica. Chamamos a
argumento de .
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João Cabral
( )
um
~ 18 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota: Seja um complexo não nulo.
1. Se
e
são dois argumentos de , como as funções seno e co-seno são periódicas de
período , existe
tal que
;
2. Se é um argumento de , é uma solução do sistema
( )
( )
| |
( )
( )
{
| |
+.
e o conjunto solução deste sistema é *
3. Se
e é um argumento de , temos que
( )
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João Cabral
~ 19 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Igualdade entre complexos na forma polar
| |( ( )
Sejam
nulos quaisquer. Temos que
( )) e
| |(
{
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| |
João Cabral
( )
( )) dois complexos não
| |
~ 20 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Quando necessário, para remover a ambiguidade na escolha do argumento de um complexo,
- ou do tipo ,
,,
fixamos um intervalo do tipo .
Definição (1.13): À restrição do argumento de um complexo não nulo ao intervalo chamamos argumento principal e representamos por
( ). Representamos o conjunto de
todos os argumentos de por
( ), ou seja,
( )
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*
( )
João Cabral
+
~ 21 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Cálculo do argumento de um complexo
A alínea 2 da nota da página 19 fornece um método para calcular o argumento de um complexo,
caso este esteja restrito ou não a um intervalo.
Da alínea 3 da nota da página 19, e tendo em conta que a função
o intervalo 1
1.
( )
2.
( )
3.
( )
4.
( )
5.
( )
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0 e que a função
. /
tem período , obtemos
, se
, se
e
;
e
;
. /
, se
e
;
e
.
;
. /, se
, se
tem por contra-domínio
João Cabral
~ 22 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (1.14): Definimos a aplicação
de
em
como
( )
Propriedades (1.15): Sejam
e
1.
é periódica de período
2. ̅̅̅̅
;
3. (
)
(
, ou seja,
(
)
;
(
)
);
;
6.(igualdade de Moivre) (
7. |
.
;
4.
5.
( )
|
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)
;
.
João Cabral
~ 23 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Temos assim que
{
}
Na representação em forma polar, usaremos a notação exponencial, ou seja, dado
complexo não nulo, escrevemos a sua forma polar como
| |
um
( )
Nota: Da propriedade 1. de (1.5), vem que
( )
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( )
João Cabral
~ 24 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Propriedades (1.16): Sejam
1.
( ̅)
( )
2.
. /
( );
3.
(
4.
. /
5.
(
)
)
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complexos não nulos e
*
( )
( )
( )+;
( )
( )
( )
*
um inteiro.
*
( )
*
( )
( )+;
( )+;
( )+.
João Cabral
~ 25 ~
Capítulo 1
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João Cabral
~ 26 ~
Capítulo 1
Definição (1.17): Sejam
ordem de se
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
complexos não nulos e
Teorema (1.18): A equação
conjunto destas dado por
,
um inteiro. Dizemos que
, admite exactamente
{
soluções distintas, sendo o
}
Nota: As
raízes de são os vértices de um polígono regular de
circunferência de centro na origem e raio .
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é uma raiz de
João Cabral
lados inscrito na
~ 27 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Na seguinte página de internet encontra-se um gif animado que apresenta algumas iteração das
raízes da unidade, ou seja, as soluções de
.
http://www.suitcaseofdreams.net/Roots_complex.htm
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João Cabral
~ 28 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
,
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João Cabral
~ 29 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
O conjunto *
|
|
+ descreve a circunferência de centro em
O conjunto *
|
|
+ descreve o círculo de centro em
e raio .
|
|
+ chamamos disco aberto de centro em
Ao conjunto *
( ).
representamos, respectivamente, por
|
|
+ chamamos disco fechado de centro em
Ao conjunto *
representamos, respectivamente, por ̅ ( ).
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João Cabral
e raio .
e raio , e
e raio , e
~ 30 ~
Capítulo 1
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João Cabral
~ 31 ~
Capítulo 1
|
| |
O conjunto *
plano complexo pelos pontos e
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|+ descreve a mediatriz do segmento de recta definido no
.
|
| |
|+ descreve o semi-plano fechado que contem o ponto
O conjunto *
e definido pela mediatriz do segmento de recta definido no plano complexo pelos pontos
e
.
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João Cabral
~ 32 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
-
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João Cabral
-
~ 33 ~
Capítulo 1
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Tendo em conta a propriedade 2. de (1.5) e a definição (1.7), resulta que a aplicação
( )
é uma isometria entre
,
e
|
(
, ou seja, é uma bijecção tal que, para quaisquer dois complexos
|
‖(
( )
( ))
(
Como tal, facilmente adaptamos as noções topológicas de
basicamente equivalentes também a nível topológico.
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( ))
( )
João Cabral
( )
( ))‖
para , sendo estes conjunto
~ 34 ~
Capítulo 1
Definição (1.19): Seja
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
e
.
é ponto interior de se existe
tal que ( )
. Ao conjunto de todos os pontos
interiores de
chamamos interior de
e representamos por
ou ̇ . Se ̇
,
dizemos que é aberto.
( )
2. é ponto exterior de se existe
tal que
. Ao conjunto de todos os
pontos exteriores de chamamos exterior de e representamos por
.
( )
( )
3. é ponto fronteiro de se, para todo o
,
e
. Ao
conjunto de todos os pontos fronteiros de chamamos fronteira de e representamos por
ou .
4. é ponto de acumulação de se, para todo o
, ( ( ) * +)
. Ao conjunto
de todos os pontos de acumulação de chamamos derivado de e representamos por .
5. Ao conjunto
chamamos aderência de
e representamos por ̅ . Se ̅
dizemos que é fechado.
6. Dizemos que é limitado se existir
tal que, para todo o
,| |
.
7. Dizemos que é conexo se dados dois quaisquer pontos deste, existe uma curva que une
estes pontos contida em . A um conjunto aberto conexo chamamos domínio.
1.
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João Cabral
~ 35 ~
Capítulo 4
Para
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
, a transformação
(
( )
( ))
(
( )
( ))
define a translação de .
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João Cabral
~1~
Capítulo 4
Seja
, com
de ângulo .
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AM IIID – 11/12- 1º Sem.
e
. A transformação
João Cabral
define a rotação centrada em
~2~
e
Capítulo 4
Para
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
, a transformação
̅
define a reflexão de eixo
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.
João Cabral
~3~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Reflexão de eixo
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João Cabral
{
}
~4~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição de isometria do plano de Argand: Dada uma aplicação bijectiva
se uma isometria do plano se, para quaisquer complexos
, temos
| ( )
( )|
|
, esta diz-
|
As transformações apresentadas no início deste capítulo são exemplo de isometrias no plano.
O seguinte teorema classifica todas as isometrias do plano que preservam a origem.
Nota: Facilmente se prova que a composição de isometrias do plano é uma isometria do
plano. (Prove-o!)
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João Cabral
~5~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (2.1): Seja uma isometria do plano tal que ( )
uma das seguintes condições é verificada:
1. é uma rotação centrada em e ângulo , ou seja, ( )
2. é uma reflexão de eixo
, ou seja, ( )
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
tal que
;
̅.
Corolário (2.2): Seja uma isometria do plano e ( )
das seguintes condições é verificada:
1. é uma isometria directa , ou seja, ( )
2. é uma isometria indirecta, ou seja, ( )
. Então existe
. Então existe
tal que uma
;
̅.
~6~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Classificação de isometrias directas
Seja, ( )
,
.
1. Se
, ( )
é uma translacção;
2. Se
, seja
. O ponto
é o único ponto fixo de . Podemos reescrever a
transformação como
( )
(
Como tal é uma rotação de centro em .
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João Cabral
)
~7~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
( )
Slides de apoio ao turno T2
(
João Cabral
)
~8~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Classificação de isometrias indirectas
Seja, ( )
̅,
1. Se ( )
, seja
.
. Podemos reescrever a transformação como
( )
Como tal
é uma reflexão de eixo
2. Se ( )
, seja
( )
Temos que ̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
.
( ). Podemos reescrever a transformação como
( ) ( ̅
( ). Como tal, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
a composição da reflexão de eixo
)
e tendo em conta 1.,
com a translacção de . Como é da forma
a translacção é paralela ao eixo da reflexão e
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)
(
João Cabral
é dita uma reflexão deslizante.
~9~
é
Capítulo 4
( )
Slides de apoio ao turno T2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
João Cabral
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
~ 10 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
( )
Slides de apoio ao turno T2
(
̅
João Cabral
)
~ 11 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (2.3): Dada uma isometria do plano, esta é ou uma translacção ou uma rotação ou
uma reflexão ou uma reflexão deslizante.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 12 ~
Capítulo 4
Seja
razão
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
, com
. A transformação
define a homotetia centrada em
e de
.
Seja ( )
uma homotetia centrada na origem e de razão . Temos que:
| |;
1. | ( )|
( ( ))
2.
( );
3. Para quaisquer complexos
Logo
4. Se
5. Se
,
| ( )
( )|
é uma isometria do plano se e só se
, diz-se uma ampliação;
, diz-se uma redução.
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João Cabral
|
|
, ou seja, se for a identidade.
~ 13 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Ampliação
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João Cabral
~ 14 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Redução
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João Cabral
~ 15 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
A transformação
A transformação
age sobre da seguinte forma:
| |
Sejam
e
| |
. Esta transformação age sobre um conjunto do tipo
{| |
| |
}
transformando-o em
{| |
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| |
João Cabral
}
~ 16 ~
Capítulo 4
Slides de apoio ao turno T2
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
João Cabral
~ 17 ~
Capítulo 4
Slides de apoio ao turno T2
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
João Cabral
~ 18 ~
Capítulo 4
A aplicação
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
*
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( )
+
, ( )
João Cabral
é uma bijecção.
~ 19 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (3.1): Sejam
. Dizemos que uma correspondência
é uma função complexa de variável complexa se para todo o elemento de fazemos
corresponder um e um só elemento
de . Denominamos o conjunto por domínio de
definição.
Nota: O conjunto
não é obrigatoriamente o maior conjunto onde a função
“faz sentido”.
Por exemplo, podemos considerar a função definida num qualquer subconjunto de
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
{ }.
~1~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (3.2): Seja
conjunto imagem de por ,
uma função de variável complexa e
, como
{
Definição (3.3): Seja
1. Dizemos que
2. Dizemos que
3. Dizemos que
(Prove que
Slides de apoio ao turno T2
. Definimos o
}
uma função complexa de variável complexa.
é injectiva se, para todo o
,
é sobrejectiva se
.
é bijectiva se é injectiva e sobrejectiva.
.
̅ é bijectiva)
João Cabral
~2~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (3.4): Sejam
definimos a função composição
e
funções de variável complexa. Se
como
.
,
Definição (3.5): Seja
uma função complexa de variável complexa bijectiva.
Definimos função inversa de , e representamos por
, à única função tal
tal
que
(Prove que se
Slides de apoio ao turno T2
̅ então
̅)
João Cabral
~3~
Capítulo 3
Seja
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
uma função complexa de variável complexa. Através da identificação
podemos considerar como uma função definida num subconjunto de
domínio contido em , construída da seguinte forma: Seja
,
(
Slides de apoio ao turno T2
(
)
João Cabral
(
e de contra-
))
~4~
Capítulo 3
Definição (3.6): Seja
o subconjunto de
complexos)
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
(
uma função de variável complexa. Definimos gráfico de como
é o conjunto de pares ordenados cujas entradas são números
{(
)
}
Nota: O gráfico de função complexa de variável complexa é um subconjunto de
o gráfico de
quer o gráfico de
são subconjuntos de .
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
. Mas quer
~5~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
̅
| |
√
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João Cabral
~6~
Capítulo 3
Slides de apoio ao turno T2
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
João Cabral
~7~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
̅
| |
√
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João Cabral
~8~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
√
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~9~
Capítulo 3
Definição (3.7): Seja
Dizemos que o limite de
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
uma função de variável complexa e um ponto aderente de .
quando tende para é , e representamos por
se
|
Slides de apoio ao turno T2
|
João Cabral
|
|
~ 10 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (3.8): Seja
uma função de variável complexa e
O limite de quando tende para , caso exista, é único.
um ponto aderente de .
Teorema (3.9): Seja
uma função de variável complexa e
As seguintes condições são equivalentes:
um ponto aderente de .
1.
2.
.
(
e
)
(
)
.
Nota:
existe se e só se existem os limites
(
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)
(
)
e
.
João Cabral
~ 11 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (3.10): Sejam
e
aderente de . Suponhamos que existe
1.
2.
3.
4. Se
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funções de variável complexa. Seja
e
.
, onde
(
um ponto
;
é uma constante complexa;
)(
João Cabral
);
~ 12 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (3.11): Seja
conjugada, ̅
, como
uma função de variável complexa, definimos função
̅̅̅̅̅̅
̅
Teorema (3.12): Seja
Seja
1.
2.
3.
̅
|
Slides de apoio ao turno T2
uma função de variável complexa e
um ponto aderente de .
.
̅̅̅̅;
| | |;
se e só se
|
João Cabral
|
.
~ 13 ~
Capítulo 3
Teorema (3.13): Sejam
ponto aderente de . Suponhamos
Teorema (3.14): Sejam
e
aderente de . Suponhamos que
todo o
. Então
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AM IIID – 11/12- 1º Sem.
e
funções de variável complexa. Seja
e que
, então
funções de variável complexa. Seja
e que existe
tal que |
João Cabral
um
um ponto
|
para
~ 14 ~
Capítulo 3
Definição (3.15): Seja
contínua em se
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
uma função de variável complexa e
. Dizemos que
é
ou seja,
|
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|
João Cabral
|
|
~ 15 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Do teorema (3.9) resulta logo o seguinte teorema.
Teorema (3.16): Seja
condições são equivalentes:
1. é contínua em
2.
e
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uma função de variável complexa e
. As seguintes
.
são contínuas em
João Cabral
.
~ 16 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Do teorema (3.10) resulta imediatamente o seguinte teorema.
Teorema (3.17): Sejam
e
Suponhamos que e são contínuas em
1.
2.
3.
é contínua em ;
é contínua em , onde
é contínua em ;
4. Se
funções de variável complexa. Seja
.
.
é uma constante complexa;
é contínua em
.
Do teorema (3.10) resulta imediatamente o seguinte teorema.
Teorema (3.18): Sejam
Suponhamos que é contínua em
.
Slides de apoio ao turno T2
e
e que
funções de variável complexa. Seja
.
é contínua em
. Então
é contínua em
João Cabral
~ 17 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (3.19): Seja
uma função de variável complexa e um ponto aderente de
. Seja
. Definimos prolongamento por continuidade de a à função ̃
{ } de expressão
de domínio de definição
̃
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{
João Cabral
~ 18 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Exponencial Complexa
Definimos a função exponencial complexa como a função
[
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
(
)
(
)]
~ 19 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Propriedades (3.20):
1.
2. |
e
|
e
3. Para qualquer
4. Para qualquer
;
;
,
e
;
5.
é periódica de período
, ou seja,
6. Por 1., a exponencial é uma função contínua em ;
7. O conjunto imagem de pela exponencial é
da exponencial;
{
8. Dado
, a restrição exponencial
bijecção.
9. Para quaisquer complexos
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;
João Cabral
.
{ }, ou seja,
]
é o contra-domínio
]}
é uma
~ 20 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Funções Trigonométricas Complexas
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João Cabral
~ 21 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Propriedades (3.21):
1.
e
2.
e
|
|
3. |
e|
4. Quer
quer
são funções periódicas de período
e
;
5. Por 1. e 2., as funções seno e co-seno são contínuas em ;
6. Para
qualquer,
, ou seja,
7.
;
e
;
;
;
8. As funções seno e co-seno não são limitadas.
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João Cabral
~ 22 ~
Capítulo 3
Para
Slides de apoio ao turno T2
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
definimos a função tangente como
João Cabral
~ 23 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Funções Hiperbólicas Complexas
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 24 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Propriedades (3.22):
1.
2.
3. |
4. Quer
e
e
;
;
|
|
e|
quer
são funções periódicas de período
, ou seja,
e
;
5. Por 1. e 2., as funções seno hiperbólico e co-seno hiperbólico são contínuas em ;
6. Para
qualquer,
7.
Slides de apoio ao turno T2
e
;
.
João Cabral
~ 25 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Logaritmo Complexo
Definição de logaritmo: Dado
, dizemos que o complexo
Representamos o conjunto de todos os logaritmos de por
{
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
é um logaritmo de se
, ou seja,
}
~ 26 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Propriedade (3.23): Dado
,
se e só se
| |
ou seja, se e só se existe
tal que
| |
Propriedade (3.24): Dados
,
1.
2.
( )
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João Cabral
~ 27 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (3.25): Seja
. Dado
, seja
]. Definimos logaritmo de base
intervalo ]
o argumento de pertencente ao
como a função
{ }
| |
Propriedade (3.26): A restrição do logaritmo de base
{
}
{
}
é uma bijecção. Além disso é a função inversa da restrição da exponencial
{
Slides de apoio ao turno T2
}
João Cabral
{
}
~ 28 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição de ramo principal: Definimos ramo principal do logaritmo ao logaritmo de base –
e representamos este por
, ou seja, para
| |
–
Nota: No caso do ramo principal do logaritmo,
{
Slides de apoio ao turno T2
}
{
João Cabral
}
~ 29 ~
Capítulo 3
Slides de apoio ao turno T2
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
João Cabral
~ 30 ~
Capítulo 3
Slides de apoio ao turno T2
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
João Cabral
~ 31 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Propriedades (3.27):
1.
(
2. A função
contínuo em
3. Sejam
)
| |e
(
é contínua em
;
{ }e
.
)
{
;
}. No caso do ramo principal, este é
, para um certo
( )
, para um certo
, para um certo
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;
João Cabral
;
.
~ 32 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Potências Complexas
Definição (3.27): Seja
e
. Definimos o conjunto
{
Propriedades (3.28): Sejam
1.
2.
√
√
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=
,
e
}
.
√ ;
.
João Cabral
~ 33 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição de determinação principal da potência: Dado
principal da potência complexa como
, definimos determinação
Propriedades (3.29):
1. A função
2. Sejam
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é contínua em
e
.
,
João Cabral
~ 34 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota:
1. Sejam
e
verdade a igualdade
. Suponhamos que
2. Sejam
Se
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e
. Se
, nem sempre é
, nem sempre é verdade a igualdade
João Cabral
~ 35 ~
Capítulo 3
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (3.30): Definimos a função raiz quadrada como
√| |
√
Nota: Sejam
. Suponhamos que
√
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. Nem sempre é válida a igualdade
√ √
João Cabral
~ 36 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição de derivada: Seja
de
. Definimos derivada de
uma função de variável complexa e
no ponto
, que representamos por
um ponto interior
( ) ou
( ), ao
limite, caso exista,
( )
Neste caso dizemos que
é -derivável em
( )
.
Nota: O limite acima indicado é equivalente ao limite
(
)
( )
Nesta notação, chamamos acréscimo à variável complexa
acréscimo é .
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
. Uma notação usada para o
~1~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (4.1): Seja
uma função de variável complexa e um ponto interior de .
Dizemos que é -diferenciável em
se existir um número complexo e uma função
complexa definida numa bola aberta de centro em tais que
( )
( )
(
)
(
) ( )
e
( )
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João Cabral
~2~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (4.2): Seja
uma função de variável complexa e
As seguintes afirmações são equivalente:
1. A função
2. A função
admite derivada no ponto
é -diferenciável em .
um ponto interior de .
.
Teorema (4.3): Seja
uma função de variável complexa e um ponto interior de .
Se a função admite derivada no ponto então é contínua neste ponto.
Nota: Se
não é contínua em
Slides de apoio ao turno T2
então não admite derivada no ponto
João Cabral
.
~3~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição de função holomorfa: Seja
um aberto de
e
. Dizemos que
é
holomorfa em se é -derivável em todos os pontos de . Representamos o conjuntos de
( ).
todas as funções holomorfas em por
Definição (4.10): Seja
é holomorfa em .
Slides de apoio ao turno T2
uma função de variável complexa. Dizemos que
João Cabral
é inteira se
~4~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (4.4): Sejam
1.
2.
3.
4. Se
(
(
(
)( )
)( )
)( )
( )
funções -deriváveis em
( )
( );
( );
( ) ( )
( )
,( ) ( )
(
) (
(
)( )
(
( (
))
)
(
e
uma função -derivável em ( ).
( ( ))
João Cabral
.
( );
)
Teorema (4.5): Seja uma função -derivável em
Então
é diferenciável em e
Slides de apoio ao turno T2
e
)
.
( )
~5~
Capítulo 4
Teorema (4.6): Seja
que, para todo o
para todo o
,
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
,
,
( )
aberto, uma bijecção holomorfa em . Suponhamos
e que
é contínua . Então
é holomorfa em e
(
(
))
Definição (4.7): A uma bijecção
função bi-holomorfa.
tal que
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
(
(
))
( )e
( ) denominamos por
~6~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (4.8): Seja
Sejam
e
( )
( )
Slides de apoio ao turno T2
( )e
uma função de variável complexa e
um ponto interior de . Definimos
((
(
)
(
João Cabral
)
(
)
))
(
)
( ).
~7~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota:
1. Se
( ) existir então
( )
2. Se
( )
(
( )
)
(
)
( ) existir então
( )
Slides de apoio ao turno T2
( )
(
João Cabral
)
( )
(
)
~8~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (4.9): Seja
. Dizemos que
uma função de variável complexa,
satisfaz as condições de Cauchy-Riemann em
( )
( ),
( )e
se
( )
ou seja, se
( )
( )
{
Slides de apoio ao turno T2
(
(
( )
( )
( ))
( ))
João Cabral
( )
( )
(
( )
(
( )
( ))
( ))
~9~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema de Cauchy-Riemman: Seja
uma função de variável complexa,
( ) e um ponto interior de . As seguintes afirmações são equivalentes:
1. é -diferenciável em .
2. verifica as condições de Cauchy-Riemann em
e as funções
( )).
diferenciáveis (como funções de ) no ponto ( ( )
( ) e
( ),
( ) são
Além disso,
( )
Lembrete: Seja
, com
em , então é diferenciável em .
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( )
um aberto. Se
João Cabral
( )
admite derivadas parciais contínuas
~ 10 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
( ),
uma função de variável complexa,
̅
( )(
[
[
Slides de apoio ao turno T2
( )
(
̅
)
( )
( )
̅
̅
( )(
)
(
)]
(
( )
João Cabral
̅
[
( )
(
)
̅
)]
( )
(
)]
( ))
~ 11 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
( ),
uma função de variável complexa,
̅
̅
[
Slides de apoio ao turno T2
( )
̅
(
̅
( )(
[
)
( )
( )
̅
̅
( )(
)
(
)]
(
( )
João Cabral
̅
[
( )
(
)
̅
)]
( )
(
)]
( ))
~ 12 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota: Seja
,
aberto.
1. A função atisfaz as condições de Cauchy-Riemann em
̅
2. Se
( ) e
( )
( ) são funções de classe
({(
( )
( ))
em
e além disso
}), e se
̅
( )
em
, visto como subconjunto de
em todo os pontos de , então
( )
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se e só se
João Cabral
é holomorfa
( )
~ 13 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (derivação de funções elementares):
1. As funções exponencial, seno, co-seno, seno hiperbólico e co-seno hiperbólico são
holomorfas em e
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2. Seja
. A função
é holomorfa em {
}. No caso do ramo
principal do logaritmo, esta é holomorfa em
. Além disso
(
( ))
Nota: A expressão da derivada do logaritmo não depende da base deste.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 14 ~
Capítulo 4
Definição (4.10): Seja
que é harmónica em
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
, com
se, para todo o (
(
aberto. Suponhamos que
)
,
)
(
( ). Dizemos
)
A
chamamos Laplaciano de .
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 15 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
( ). Então as funções
Teorema (4.11): Seja
aberto e
( ) e
( ))
harmónicas em , visto como subconjunto de
({( ( )
}).
( ) são
Teorema (4.12): Seja
aberto um aberto simplesmente conexo e
uma função
( ))
harmónica em {( ( )
}. Então existe uma função
harmónica em
( ))
{( ( )
} tal que a função
( )
é holomorfa em . A função
(
)
(
)
(
)
é única a menos da soma de uma constante e denominada por
conjugada harmónica de .
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João Cabral
~ 16 ~
Capítulo 4
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
O Teorema (4.12) diz-nos que qualquer função harmónica num simplesmente conexo pode ser
encarada como parte real de uma função holomorfa. De forma análoga, qualquer função
harmónica num simplesmente conexo pode ser encarada como parte imaginária de uma
função holomorfa.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 17 ~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (5.1): A uma aplicação do tipo
denominamos por sucessão complexa.
Chamamos termo geral à expressão
e representamos por . Representamos a sucessão
por
.
Definição (5.2): Seja
uma sucessão complexa e
convergente para , e representamos tal por
. Dizemos que
é
se
|
Ao número chamamos limite de
.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
|
~1~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (5.3): O limite de uma sucessão quando existe é único.
Definição(5.4): Se uma sucessão não admite limite dizemos que esta é divergente.
Definição de sucessão limitada: Dada uma sucessão complexa
limitada se
|
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
, dizemos que esta é
|
~2~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (5.5): Toda sucessão complexa convergente é limitada.
Definição (5.6): Sejam
subsucessão de
e
se existir
sucessões complexas. Dizemos que
é uma
uma sucessão estritamente crescente tal que
(
)
Teorema (5.7): Seja
uma sucessão complexa convergente para . Toda a subsucessão
de
é convergente para .
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~3~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (5.8): Seja
uma sucessão complexa convergente para zero e
sucessão complexa limitada. Então
Teorema (5.9): Seja
1.
2. Se
3. Se
Slides de apoio ao turno T2
uma
uma sucessão complexa convergente para .
se e só se
, então
, então
|
|
;
| | | |;
̅̅̅ ̅.
João Cabral
~4~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (5.10): Sejam
1.
2.
3.
4. Se
duas sucessões complexas convergentes.
, onde
é uma constante complexa;
;
Seja
uma sucessão complexa. Via a bijecção
esta sucessão com a sucessão de
(
Slides de apoio ao turno T2
, podemos identificar
)
João Cabral
~5~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (5.11): Seja
equivalentes:
1.
2.
uma sucessão complexa e
. As seguintes afirmações são
;
e
.
Teorema (5.12): Seja
uma função de variável complexa e
. A função é
contínua em se e só se para toda a sucessão complexa
de elementos em e
convergente para , a sucessão (
)
converge para
.
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João Cabral
~6~
Capítulo 5
Definição (5.13): Seja
definida por
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
uma sucessão complexa. Consideremos a sucessão
∑
Denominamos esta por sucessão das somas parciais. Representamos o limite da sucessão das
somas parciais por
∑
Se este limite existir, dizemos que a série de termo geral
é convergente e o seu valor
denominamos por soma da série. Caso contrário dizemos que a série é divergente.
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João Cabral
~7~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (5.14): Se ∑
é convergente, então
, dizemos que ∑
No caso de
Teorema (5.15): Sejam ∑
.
1. A série ∑
2. A série ∑
Teorema (5.16): Se ∑
Slides de apoio ao turno T2
e ∑
tem por soma
tem por soma
.
|
.
é grosseiramente divergente.
duas séries de soma, respectivamente, e . Seja
;
| é convergente, então ∑
João Cabral
é convergente.
~8~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (5.17): Dizemos que a série ∑
é absolutamente convergente se a série
∑ | | é convergente. Se a série ∑
é convergente e ∑ | | é divergente, dizemos
que ∑
é semi-convergente ou simplesmente convergente.
Do Teorema (5.11) resulta imediatamente o seguinte teorema.
Teorema (5.18): Seja
equivalentes.
uma sucessão complexa e
1. A série ∑
é convergente de soma ;
2. As séries reais ∑
e ∑
respectivamente,
e
.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
. As seguintes afirmações são
são ambas convergentes de soma,
~9~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
| e
Teorema (5.19): Seja
uma sucessão complexa. Se as séries ∑ |
∑ |
| são ambas convergentes, então a série ∑
é absolutamente convergente.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 10 ~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (5.20): Seja
{ } uma sucessão complexa e
potências ou série inteira, centrada em , à função definida por
. Definimos série de
∑
Nota: O domínio de definição de uma série de potências é o conjunto dos pontos onde “faz
sentido calcular a série”, ou seja, onde esta é convergente.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 11 ~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (5.21): Se a série de potências ∑
converge para
, então esta
série converge absolutamente para todo o pertencente ao disco aberto de centro em
e
|.
raio |
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João Cabral
~ 12 ~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (5.22): Seja ∑
uma série de potências. Existe
denominado por raio de convergência, tal que:
[
] único,
1. A série converge absolutamente em todos os pontos do disco de convergência
{
|
|
}
2. A série diverge no exterior do disco aberto de centro em e raio ;
Nota:
1. O teorema nada conclui sobre a convergência da série de potências em pontos sobre a
circunferência de centro em e raio ;
2. Se
, a série converge absolutamente em .
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~ 13 ~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (5.23): Dada uma série de potências ∑
temos que:
√|
1.
com raio de convergência ,
|;
2. Se o limite
|
existe (permitimos que este limite seja
3. Se o limite
|
|
), então este é igual a ;
√|
existe (permitimos que este limite seja
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|
|
), então este é igual a .
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~ 14 ~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
∑
Teorema (5.24): Seja
convergência positivo. Então é holomorfa em
uma série de potências com raio de
e
∑
ou seja, a série é derivável termo a termo e a sua derivada é a série das derivadas.
∑
Teorema (5.25): Sejam
e
potências. Se
em algum disco aberto de centro
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∑
então
séries de
~ 15 ~
Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (5.26): Seja
,
ponto interior de . Dizemos que
∑
tal que
aberto, uma função de variável complexa e
um
é analítica em se existe
e uma série de potências
e
∑
Dizemos que
Nota: Se
em .
é analítica em
é analítica em
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se f é analítica em todos os ponto de .
, pelo teorema (5.24), resulta imediatamente que
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é holomorfa
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Capítulo 5
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema de Taylor: Seja
]
] tal que
e
uma função de variável complexa holomorfa em
, temos que
. Dado
∑
À série de potência ∑
em torno de
chamamos desenvolvimento em série de Taylor de
.
Nota:
1. Se
é o maior disco aberto centrado em
convergência de ∑
, então
contido em
e
o raio de
;
2. Do teorema de Taylor resulta imediatamente que toda a função holomorfa em
é
analítica em ;
3. Pelo teorema (5.25), o desenvolvimento em série de Taylor de em torno de é único;
4. O teorema de Taylor não é válido para funções reais de variável real.
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Capítulo 5
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Corolário: Uma função complexa de variável complexa é holomorfa em
em .
Nota: Uma função holomorfa em
de .
se e só se é analítica
admite derivada de qualquer ordem em qualquer ponto
Reflexão: Tendo em conta o Teorema de Cauchy-Riemann, o que se pode afirmar quanto à
classe das funções parte real e parte imaginária de uma função holomorfa?
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Capítulo 5
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Alguns desenvolvimentos em série de Taylor em torno de zero
∑
| |
∑
∑
∑
∑
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