Matemática

Resolução das atividades complementares
Matemática
M6 — Probabilidade
p. 24
1 Numa urna há seis bolas numeradas de 0 a 5.
a) Dê o espaço amostral nesta situação: retirar uma bola da urna.
b) Descreva o evento A: a bola retirada é um número par.
c) Descreva o evento B: a bola retirada é um número primo.
d) Descreva o evento C: a bola retirada é maior que 2.
Resolução:
a) U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5}
b) A 5 {0, 2, 4}
c) B 5 {2, 3, 5}
d) C 5 {3, 4, 5}
2 Um casal quer três filhos, não ao mesmo tempo. Determine:
a) o espaço amostral: sexo dos filhos;
b) o evento A: o casal tem dois filhos e uma filha;
c) o evento B: o casal não tem três filhos do sexo masculino.
Resolução:
a) U 5 {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}
b) A 5 {HHM, HMH, MHH}
c) B 5 U 2 {HHH}
p. 25
3 Seja a roleta a seguir, dividida em seis partes iguais e numeradas de 1 a 6.
6
5
1
4
2
Girando a roleta e considerando-se o experimento, determine:
a) o espaço amostral;
b) o evento A: ocorrência dos números 2 ou 5;
c) o evento B: ocorrência dos números 6 e 3;
d) o evento C: ocorrência de um número menor ou igual a 6.
3
Resolução:
a) U 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) A 5 {2, 5}
c) B 5 { }
d) C 5 U 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3
4 No lançamento simultâneo de dois dados, descreva os eventos e determine o número de seus elementos:
a) A: a soma dos pontos é 7;
b) B: os dois números são pares;
c) C: a soma dos dois números é menor que 4.
Resolução:
a) A 5 {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}; n 5 6
b) B 5 {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2),
(6, 4), (6, 6)}; n 5 9
c) C 5 {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}; n 5 3
5 Uma emissora de rádio oferece aos seus ouvintes sete tipos de música: blues, clássica, new age, pop, rock,
trilha sonora e jazz, sendo 490 músicas no total, distribuídas igualmente entre os tipos. Descreva os eventos:
a) A: ligar o rádio e ouvir uma música clássica;
b) B: ligar o rádio e ouvir rock ou trilha sonora.
Resolução:
a) A 5 {c1, c2, c3, ..., c70}
b) B 5 {r1, r2, ..., r70, t1, t2, ..., t70}
6 Num jogo de dominó, as peças podem ser representadas por: (0, 0), (0, 1) ou (1, 0), (1, 2) ou (1, 1),
(2, 1), e assim sucessivamente até (6, 6). Considere o experimento: retirar da caixa uma peça e verificar os
pontos de cada uma das metades. Determine:
a) o espaço amostral;
b) o evento A: aparecer uma peça cuja soma dos pontos das metades é 10;
c) o evento B: aparecer uma peça cuja diferença dos pontos é 1.
Resolução:
a) U 5 {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6),
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 5), (5, 6),
(6, 6)}
b) B 5 {(4, 6), (5, 5)}
c) C 5 {(1, 0), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
p. 27
7 A roleta a seguir apresenta divisões numeradas de 1 a 12. Após girar a roleta, deve-se observar o
número que a flecha indica. Qual a probabilidade de a flecha indicar um número menor que 10? 75%
Resolução:
U 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
P(A) 5 9 5 0,75 5 75%
12
8 Num baralho de 52 cartas, tira-se ao acaso uma carta. Qual a probabilidade de que a carta retirada
seja uma carta de paus? 1 5 25%
4
Resolução:
Num baralho de 52 cartas temos 13 cartas de paus.
P(A) 5 13 5 0,25 5 25%
52
9 Num grupo de 50 pessoas, 16 têm o grupo sangüíneo A; 21, o grupo B; 11, o grupo AB; e o restante, o
grupo O1. Calcule a probabilidade de que uma pessoa selecionada ao acaso tenha grupo sangüíneo O1. 1 5 4%
25
Resolução:
O1 5 50 2 16 2 21 2 11 5 2
P(O1) 5 2 5 0,04 5 4%
50
10 (FGV-SP) A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km2. Um satélite artificial
dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade de ele cair numa cidade cuja superfície tem área
igual a 102 km2?
c) 2 ? 1027
e) 2 ? 1025
a) 2 ? 1029
28
26
b) 2 ? 10 d) 2 ? 10
Resolução:
P(A) 5
102
5 102 7 5 2 ? 1027
510 000 000
51 ? 10
p. 28
11 (Unicamp-SP) O sistema de numeração na base 10 utiliza normalmente os dígitos de 0 a 9 para
representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda.
Pergunta-se:
a) Quantos são os números de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes? 27 216
b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item (a), qual a probabilidade de que seus cinco
algarismos estejam em ordem crescente? 1
216
Resolução:
a) O primeiro algarismo não pode ser 0, logo:
9
9
8
7
6
n 5 9 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 5 27 216; 27 216 números.
b) A possibilidade dos cinco algarismos estarem em ordem crescente é C9, 5, pois não permite a troca
de ordem.
9!
9 ? 8 ?7 ?6
C9, 5 5
5
5 126
4! ? 5!
4 ? 3 ? 2?1
P(A) 5
C9, 5
5 126 5 1
277 216
27 216
216
12 (Unifesp-SP) Os alunos quartanistas do curso diurno e do curso noturno de uma faculdade se
submeteram a uma prova de seleção, visando à participação numa olimpíada internacional. Dentre os que
tiraram nota 9,5 ou 10,0 será escolhido um aluno, por sorteio.
Nota
Curso
Diurno
Noturno
9,5
6
7
10,0
5
8
Com base na tabela, a probabilidade de que o aluno sorteado tenha tirado nota 10,0 e seja do curso noturno é:
4
1
a) 12 c)
e)
13
6
26
6
12
b)
d)
14
52
Resolução:
Total de alunos escolhidos: 6 1 7 1 5 1 8 5 26.
Número de alunos do curso noturno com nota 10,0: 8.
P(A) 5 8 5 4
26
13
13 (Mackenzie-SP) No lançamento simultâneo de dois dados não viciados, a probabilidade de obter-se
soma 7 é:
a) 1
3
b) 7
36
c) 1
6
d) 2
3
e) 1
12
Resolução:
O espaço amostral deste experimento é:
U 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.
Logo, n(U) 5 36.
Soma 7 → A 5 {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} → n(A) 5 6
P(A) 5 6 5 1
36
6
14 (Mackenzie-SP) Em um número de dois algarismos, sabe-se que um deles é ímpar. A probabilidade
de ambos serem ímpares é:
a) 1
2
b) 1
3
c) 5
14
d) 3
14
e) 2
3
Resolução:
Espaço amostral: se o primeiro algarismo for ímpar, e o segundo for par ou ímpar, teremos 25
possibilidades:
I P
 ou  I I

 5 5 5 ? 5 5 25 
 5 5 5 ? 5 5 25 
Se o primeiro algarismo for par, teremos 20 possibilidades:
P I

 4 5 4 ? 5 5 20 
n(U) 5 25 1 25 1 20 5 70
A 5 ambos números serem ímpares: 5 ? 5 5 25
P(A) 5 25 5 5
70
14
15 (Unipac-MG) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra BARBACENA. A probabilidade de que
seja vogal é:
a) 1
4
b) 2
9
c) 1
2
d) 1
3
e) 4
9
Resolução:
Espaço amostral: escolher uma letra da palavra BARBACENA → n(U) 5 9
A 5 vogais AAEA → n(A) 5 4
P(A) 5 4
9
16 (UFAL) Considere que três vértices de um hexágono regular são escolhidos ao acaso. Qual a
probabilidade de que os vértices escolhidos formem um triângulo retângulo? 3 5 60%
5
C
B
D
A
O
F
E
Resolução:
6!
6 ? 5 ? 4
5
5 20
3! ? 3!
3 ? 2?1
Para que o triângulo seja retângulo, um dos lados deve ser a diagonal. Para cada diagonal, podemos
obter 4 triângulos retângulos. Como temos três diagonais traçadas, temos 4 ? 3 5 12 triângulos
retângulos.
P(A) 5 12 5 0,6 5 60%
20
Espaço amostral: todas as possibilidades de escolher três vértices → C6, 3 5
17 Um baralho é formado por 52 cartas. Retira-se uma carta e obtém-se um 4 de ouros. Qual é a
probabilidade de retirar uma segunda carta e obter-se outro 4 de qualquer naipe?
Resolução:
n(U) 5 52
Se foi retirado um 4 de ouros, sobraram 3 cartas 4 e 51 cartas no total.
P(A) 5 3 5 1
51
17
A probabilidade de retirar uma segunda carta 4 é 1 .
17
1
17
18 (UFPE) Um saco contém 12 bolas verdes e 8 bolas amarelas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas
no saco, de modo que a probabilidade de retirarmos dele, aleatoriamente, uma bola azul, seja 2 ?
3
a) 5
c) 20
e) 40
b) 10
d) 30
Resolução:
12V 1 8A 1 xZ
x
P(Z) 5
5 2 → 3x 5 40 1 2x → x 5 40
20 1 x
3
Devem ser colocadas 40 bolas azuis no saco.
p. 31
19 Se A e B são eventos mutuamente exclusivos e P(A) 5 0,20 e P(B) 5 0,65, determine:
a) P(A  B) 0
0,85
b) P(A  B)
c) P(A  B) 0,15
Resolução:
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, A  B 5 .
a) P(A  B) 5 0
b) P(A  B) 5 P(A) 1 P(B) 5 0,20 1 0,65 5 0,85
c) P(A  B) 5 1 2 P(A  B) 5 1 2 0,85 5 0,15
20 Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual é a probabilidade de a carta retirada
não ser dama? 12
13
Resolução:
Num baralho de 52 cartas temos 4 damas.
A probabilidade de ser dama é: P(D) 5 4 5 1 .
52
13
A probabilidade de não ser dama é: 1 2 P(D) 5 1 2 1 5 12 .
13
13
21 Escolhendo ao acaso uma letra da palavra RESPONSABILIDADE, qual a probabilidade de aparecer:
1
a) uma letra S?
8
b) as letras A ou E? 1
4
Resolução:
a) A probabilidade de escolher uma letra S é: 2 5 1 .
16
8
b) Como são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de escolher um A ou E é:
P(A) 1 P(E) 5 2 1 2 5 1 .
16
16
4
22 No lançamento simultâneo de dois dados, qual a probabilidade de não sair soma igual a 6? 31
36
Resolução:
Soma 6 5 {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} → n 5 5
A probabilidade de sair soma igual a 6: P(6) 5 5 .
36
A probabilidade de não sair soma igual a 6: P(6) 5 1 2 P(6) 5 1 2 5 5 31 .
36
36
23 (FGV-SP) Uma pesquisa com três marcas concorrentes de refrigerantes, A, B e C, mostrou que 60%
das pessoas entrevistadas gostam de A, 50% gostam de B, 57% gostam de C, 35% gostam de A e C, 18%
gostam de A e B, 24% gostam de B e C, 2% gostam das três marcas e, o restante das pessoas, não gosta de
nenhuma das três. Sorteando-se aleatoriamente uma dessas pessoas entrevistadas, a probabilidade de que ela
goste de uma única marca de refrigerante ou não goste de marca alguma é de:
a) 16%
c) 20%
e) 27%
b) 17%
d) 25%
Resolução:
De acordo com o enunciado, temos o seguinte esquema de conjuntos, considerando-se 100 pessoas:
A
9
B
16
33
10
2
22
0
8
C
A probabilidade de uma pessoa gostar de uma única marca ou não gostar de marca nenhuma é
9 1 10 1 0 1 8
P 5
5 27 5 27%
100
100
p. 32
24 Uma emissora de rádio realizou uma pesquisa sobre a preferência dos ouvintes nas opções música
clássica (C), música popular brasileira (MPB) ou rock (R) e obteve os resultados:
Votos
Opções
29
C
33
R
40
MPB
13
C e MPB
10
MPB e R
14
CeR
5
C, MPB e R
6
não gosta de nenhuma
Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de ela preferir música clássica ou MPB?
Resolução:
Fazendo o diagrama de Venn, temos:
C
7
MPB
8
9
22
5
5
14
6
R
Total de votos 5 7 1 8 1 5 1 9 1 22 1 5 1 14 1 6 5 76
P(C  MPB) 5 29 1 40 2 13 5 56 5 14
76
76
76
76
19
14
19
25 Num supermercado foram entrevistadas pessoas para saber sobre suas preferências em relação aos
produtos A, B e C. Os resultados indicaram que:
 210 pessoas compram o produto A;
 210 pessoas compram o produto B;
 250 pessoas compram o produto C;
 20 pessoas compram os três produtos;
 100 pessoas não compram nenhum dos três produtos;
 60 pessoas compram os produtos A e B;
 70 pessoas compram os produtos A e C;
 50 pessoas compram os produtos B e C.
Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que ela compre só o produto A, ou só o produto B,
ou só o produto C? 37
61
Resolução:
Fazendo o diagrama de Venn, temos:
A
100
B
40
50
120
20
30
150
100
C
Total de pessoas entrevistadas 5 100 1 50 1 20 1 40 1 150 1 30 1 120 1 100 5 610
100 1 120 1 150
P(só A  só B  só C) 5
5 37
610
61
1
26 Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de obter soma dos pontos 3 ou 5? 6
Resolução:
U 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.
Logo, n(U) 5 36.
A 5 {(1, 2), (2, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} → n(A) 5 6
P(A) 5 6 5 1
36
6
10
27 (Sesi-Senai) As músicas transmitidas por uma estação de rádio são distribuídas, ao longo da
programação diária, de acordo com a tabela a seguir.
Quantidade de música
tocada no dia
Tipo de música
rock
26
funk
8
dance
30
pagode
16
flash black
4
total
84
Ligando-se o rádio ao acaso, durante o dia, a probabilidade de ouvir rock ou pagode é:
a) 2
c) 1
e) 1
3
3
5
1
1
b)
d)
2
4
Resolução:
26 1 16
P(R  P) 5
5 1
84
2
28 (Vunesp-SP) Uma empresa que fabrica o refrigerante Refridagalera fez uma pesquisa para saber
a preferência dos consumidores em relação ao seu produto e àquele de um de seus concorrentes, o
Refridamoçada. Foram ouvidas 1 000 pessoas, das quais 600 consumiam somente o Refridagalera, 200
consumiam os dois, 500 consumiam somente o Refridamoçada e 100, nenhum deles. Um dos entrevistados
foi escolhido ao acaso. Calcule a probabilidade de que ele seja consumidor de:
a) Refridagalera e Refridamoçada; 20%
b) Refridagalera ou Refridamoçada. 90%
Resolução:
Fazendo o diagrama de Venn, temos:
G
400
M
200
300
100
G 5 total de pessoas que consome Refridagalera
M 5 total de pessoas que consome Refridamoçada
pessoas ouvidas 5 1 000
a) consumidores de G e M 5 200
P(G  M) 5 200 5 20%
1 000
b) P(G  M) 5 600 1 500 2 200 5 900 5 90%
1 000
1 000
1 000
1 000
11
29 (Unicamp-SP) Uma empresa tem 5 000 funcionários. Desses, 48% têm mais de 30 anos, 36% são
especializados e 1 400 têm mais de 30 anos e são especializados. Com base nesses dados, pergunta-se:
a) Quantos funcionários têm até 30 anos e não são especializados? 2 200
b) Escolhendo um funcionário ao acaso, qual a probabilidade de ele ter até 30 anos e ser especializado?
Resolução:
Funcionários com mais de 30 anos 5 48% de 5 000 5 2 400
Funcionários especializados 5 36% de 5 000 5 1 800
Funcionários especializados com mais de 30 anos 5 1 400
Fazendo o diagrama de Venn, temos:
E
�30
1 000
1 400
400
x
a) Seja x o número de funcionários que têm até 30 anos e não são especializados:
x 5 5 000 2 1 000 2 1 400 2 400 5 2 200; 2 200 funcionários.
b) Pelo diagrama, o número de funcionários especializados que têm até 30 anos é 400; então,
P (130  E) 5 400 5 2 .
5 000
25
p. 34
30 Se A e B são eventos com P (A) 5 0,6, P (B) 5 0,3 e P (A  B) 5 0,2, calcule:
2
a) P (A/B)
3
b) P (B/A) 1
3
Resolução:
P(A) 5 0,6, P(B) 5 0,3 e P(A  B) 5 0,2
P(A  B)
0,2
a) P(A/B) 5
5
5 2
P(B)
0,3
3
P(A  B)
0,2
b) P(B/A) 5
5
5 1
P(A)
0,6
3
31 Um dado é lançado e o número de cima é observado. Se o resultado obtido for ímpar, qual a
probabilidade de ele ser menor ou igual a 3? 2
3
Resolução:
U 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} e I 5 {1, 3, 5}
P(I) 5 3 5 1
6
2
P(I   3) 5 2 5 1
6
3
1
P(I   3)
P( 3) 5
5 3 5 2
P(I)
1
3
2
12
2
25
32 Lança-se um tetraedro como se fosse um dado. Cada face possui um número, de 1 a 4, e considerase o número da face cujo tetraedro se apóia. Determine a probabilidade de obter o número 1, dado que o
número é menor que 3. 1
2
Resolução:
U 5 {1, 2, 3, 4}
A 5 {1, 2} → P(A) 5 2 5 1
4
2
B 5 {1}
A  B 5 {1} → P(A  B) 5 1
4
1
P(A  B)
P(B/A) 5
5 4 5 1
P(A)
1
2
2
33 Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de que a soma dos pontos seja igual
2
15
a 5, sabendo-se que os números obtidos são distintos?
Resolução:
U 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.
Logo, n(U) 5 36.
Soma dos pontos 5 5 → B 5 {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} → P(B) 5 4 5 1
36
9
Os números são distintos:
A 5 {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5),
(3, 6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3),
(5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} → P(A) 5 30 .
36
A  B 5 B 5 {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
1
P(A  B)
P(B/A) 5
5 9 5 2
P(A)
30
15
36
34 Se A e B são eventos e P (A) . 0, determine:
1
a) P (A/A)
b) P (A/A) 0
Resolução:
P(A  A)
P(A)
5
51
P(A)
P(A)
P(A  A)
b) P(A/A) 5
→ A  A 5  → P(A/A) 5 0 5 0
P(A)
P(A)
a) P(A/A) 5
13
35 A chapa de um carro possui quatro algarismos distintos. Sabendo-se que esse número é ímpar, qual a
probabilidade de o último algarismo ser 3? 1
5
Resolução:
U: número de possibilidades de se obter um número com 4 algarismos distintos
10
9
8
7
10 ? 9 ? 8 ? 7 5 5 040
A: número de possibilidades de se obter números ímpares
1
3
5
5
5A 9, 3 5 5 ? 9 ? 8 ? 7 5 2 520
7
9
P(A) 5
2 520
5 040
B: número de possibilidades de o último algarismo ser 3
3
9
8
7
5 A 9, 3 5 9 ? 8 ? 7 5 504 → P(B) 5 504
5 040
AB5B
504
P(A  B)
5040
P(B/A) 5
5
5 1
P(A)
2 520
5
5 040
36 De um baralho de 52 cartas, uma é extraída, observando-se que seu número está entre 3 e 11. Qual a
probabilidade de que o número da carta seja 6? 1
7
Resolução:
A: o número da carta está entre 3 e 11
A 5 {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} → P(A) 5 7
52
B: {6}, o número da carta é 6; como são 4 naipes → P(B) 5 4
52
1
A  B 5 {6} → P(A  B) 5
52
1
P(A  B)
52
P(B/A) 5
5
5 1
P(A)
7
7
52
14
37 De um grupo de 500 alunos, 280 são meninos. Sabendo que 60 alunos usam óculos, 20 dos quais são
meninas, e escolhendo ao acaso um aluno, qual a probabilidade de que, em sendo menina, use óculos?
1
11
Resolução:
Fazendo uma tabela da situação, temos:
Meninos
usam óculos
não usam óculos
Meninas
40
20
240
200
20
P(O  A)
P(O/A) 5
5 500 5 1
P(A)
220
11
500
3
38 Se A e B são eventos com P (A  B) 5 1 e P (A/B) 5 1 . Determine P (B). 8
8
3
Resolução:
1
P(A  B)
1
P(A/B) 5
→
5 8 → P(B) 5 3
P(B)
3
P(B)
8
39 Um casal planeja ter três filhos. Qual a probabilidade de a família ter duas meninas, dado que a
primeira criança é menina? 1
2
Resolução:
U: possibilidades de ter 3 filhos
H
HHH
H
M
HHM
H
H
HMH
M
M
HMM
ou
H
MHH
H
M
MHM
M
H
MMH
M
M
MMM
n(U) 5 8
A: possibilidade de ter 2 meninas → {HMM, MHM, MMH} →
→ P(A) 5 3
8
B: probabilidade da primeira criança ser menina → {MHH,
MHM, MMH, MMM} → P(B) 5 4
8
A  B 5 {MHM, MMH} → P(A  B) 5 2
8
2
P(A  B)
P(A/B) 5
5 8 5 1
P(B)
4
2
8
1
A probabilidade é .
2
15
40 Uma moeda é lançada três vezes. Determine a probabilidade de obter três caras, considerando que no
primeiro lançamento apareceu cara. 1
4
Resolução:
U: possibilidades com as 3 moedas
C
CCC
C
K
CCK
C
C
CKC
K
K
CKK
ou
C
KCC
C
K
KCK
K
C
KKC
K
K
KKK
n(U) 5 8
A: possibilidades de obter três caras: {CCC} → P(A) 5 1
8
B: possibilidades do primeiro lançamento ser cara:
{CCC, CCK, CKC, CKK} → P(B) 5 4 5 1
8
2
1
A  B 5 A 5 {CCC} → P(A  B) 5
8
1
P(A  B)
P(A) 5
5 8 5 1
P(B)
1
4
2
A probabilidade é 1 .
4
41 Paulo, Renato, Carla, João, Maria e Cida podem ser escolhidos para compor uma comissão de
formatura da turma. Qual a probabilidade de Maria e Paulo ficarem na comissão, sabendo que Carla e João
não foram escolhidos? 1
2
Resolução:
n(U) 5 C6, 3 5
6 ? 5 ? 4
6!
5
5 20
3! ? 3!
3 ? 2
4
B 5 {MPR, MPC, MPJ, MPCi} → P(B) 5
20
A: Carla e João não foram escolhidos → C4, 1 5 4 → P(A) 5 4
20
2
A  B 5 {MPR, MPCi} → P(A  B) 5
20
2
P(A  B)
P(B/A) 5
5 20 5 1
P(A)
4
2
20
A probabilidade de Maria e Paulo ficarem na comissão é 1 .
2
16
p. 37
42 Determine a probabilidade de sair o número 6 em dois lançamentos de um dado. 1
36
Resolução:
P(A  A) 5 P(A) ? P(A)
U 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(U) 5 6
A 5 {6} → n(A) 5 1
P(A) 5 1
6
P(A  A) 5 1 ? 1 5 1
6 6
36
43 (FGV-SP) Num espaço amostral, os eventos A e B não vazios são independentes. Podemos afirmar que:
a) A  B 5 [
b) P (A  B) 5 P (A) 1 P (B)
c) P (A  B) 5 P (A) ? P (B)
d) P(A) 1 P(B)  1
2
e) A é complementar de B.
Resolução:
A e B são eventos não vazios → P(A  B) 5 P(B) ? P(A/B)
A e B são eventos independentes → P(A/B) 5 P(A), então:
P(A  B) 5 P(A) ? P(B)
44 (UFF-RJ)Em uma bandeja há dez pastéis, dos quais três são de carne, três de queijo e quatro de
camarão. Se Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposição, dois pastéis dessa bandeja, a probabilidade de
os dois pastéis selecionados serem de camarão é:
a) 3
c) 2
e) 4
25
15
5
b) 4
d) 2
25
5
Resolução:
A probabilidade de retirar um pastel de camarão é 4 , e a probabilidade de retirar outro pastel de
10
3
camarão, sem a reposição do anterior, é .
9
P(2C) 5 P(C1) ? P(C2)
P(2C) 5 4 ? 3 5 2
10
9
15
45 (PUC-SP) Serão sorteados quatro prêmios iguais entre os 20 melhores alunos de um colégio, dentre
os quais estão Tales e Euler. Se cada aluno pode receber apenas um prêmio, a probabilidade de que Tales ou
Euler façam parte do grupo sorteado é:
a) 3
c) 3
e) 38
95
19
95
1
7
b)
d)
19
19
Resolução:
Determinando a probabilidade de que Tales ou Euler não façam parte do grupo dos sorteados, temos:
P(A) 5 18 ? 17 ? 16 ? 15 5 12
20 19 18 17
19
Então, a probabilidade de que eles façam parte do grupo é 1 2 P(A) 5 1 2 12 5 7 .
19
19
17
46 (Vunesp-SP) O resultado de uma pesquisa realizada pelo Ipespe sobre o perfil dos fumantes e
publicada pela revista Veja de 3 de junho de 1998 mostra que, num grupo de 1 000 pessoas, 17% fumam
e, dentre os fumantes, 44% são mulheres. Se, nesse grupo de 1 000 pessoas, uma é escolhida ao acaso, a
probabilidade de ela ser fumante e mulher é, aproximadamente:
a) 0,044
c) 0,44
e) 0,0044
b) 0,075
d) 0,0075
Resolução:
A probabilidade da pessoa ser fumante é 17% em 1 000, então: P(F) 5 17 .
100
A probabilidade da pessoa ser mulher fumante é P(MF) 5 44 .
100
17
44
P(F  M) 5 P(F) ? P(M) 5
?
5 0,0749
100 100
p. 38
47 Dentro de dez caixas há 50 maçãs em cada uma, sendo 50% de maçãs verdes. Se fizermos o sorteio
de uma das caixas e dela extrairmos uma maçã, qual será a probabilidade de que essa maçã seja verde?
1
20
Resolução:
A: probabilidade de sortear uma caixa → P(A) 5 1
10
B: probabilidade de sortear uma maçã verde → P(B) 5 25
50
1
25
1
P(A  B) 5 P(A) ? P(B) 5
?
5
10
50
20
48 A probabilidade de Clara resolver um exercício é P(C) 5 1 , a de João é P(J) 5 1 , e a de Mauro é
3
5
P(M) 5 1 . Qual a probabilidade de os três resolverem o exercício? 1
2
30
Resolução:
P(C  J  M) 5 P(C) ? P(J) ? P(M) 5 1 ? 1 ? 1 5 1
3
5
2
30
49 De um baralho de 52 cartas extraem-se quatro cartas sucessivamente, sem reposição. Qual a
probabilidade de serem obtidas duas cartas vermelhas e duas pretas, nessa ordem?
Resolução:
São 13 cartas de cada naipe, portanto:
P(2V  2P) 5 26 ? 25 ? 26 ? 25 5 325
52
51 50
49
4 998
18
325
4 998
Em questões como a 50, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
50 (UFPR) Uma loja tem um lote de dez aparelhos de rádio/CD, e sabe-se que nesse lote existem dois
aparelhos com defeito, perceptível somente após uso continuado. Um consumidor compra dois aparelhos do
lote, escolhidos aleatoriamente. Então, é correto afirmar que:
(01) a probabilidade de o consumidor comprar somente aparelhos sem defeito é 28 .
45
(02) a probabilidade de o consumidor comprar pelo menos um aparelho defeituoso é 0,70.
(04) a probabilidade de o consumidor comprar os dois aparelhos defeituosos é 1 .
45
(08) a probabilidade de o primeiro aparelho escolhido ser defeituoso é 0,20.
(16) a probabilidade de o segundo aparelho escolhido ser defeituoso, sendo que o primeiro já está escolhido, é 10 . 13
45
Resolução:
Probabilidade de comprar dois aparelhos dentre os dez: C10, 2 5
10! 5 45
8! ? 2!
8! 5 28 → P(ND) 5 28
6! ? 2!
45
28
17
(02) (Falsa); P(D) 5 1 2
5
45
45
2
(04) (Verdadeira); P(D  D) 5
? 1 5 1
10 9
45
(08) (Verdadeira); P(D) 5 2
10
(01) (Verdadeira); C 8, 2 5
(16) (Falsa); se o primeiro aparelho for defeituoso → P(D  D) 5 P(D) ? P(D) 5 2 ? 1 5 1 .
10 9
45
Se o primeiro aparelho for não defeituoso → P(N  D) 5 P(N) ? P(D) 5 8 ? 2 5 8 .
10 9
45
1
8
1
total 5
1
5
45
45
5
soma: 01 1 04 1 08 5 13
51 (Mackenzie-SP) Numa caixa temos k 2 1 bolas brancas e duas bolas pretas. A probabilidade de
retirarmos da caixa uma bola branca e, em seguida, sem reposição, uma preta é 30%. Então k vale:
a) 7
c) 5
e) 3
b) 6
d) 4
Resolução:
Total de bolas: k 2 1 1 2 5 k 1 1
k 21
? 2
P(B  P) 5 P(B) ? P(P) 5
k 11 k
k 21
? 2 5 30 → 3k ? (k 1 1) 5 20 ? (k 2 1) → 3k2 2 17k 1 20 5 0 →
k 11 k
100
k 54
ou
2( 217)  289 2 240
→
6
k 5 5 (não convém)
3
19
52 (Fuvest-SP)
a) Uma urna contém três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa
urna de modo que, retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja igual a 2 ? 16
3
b) Considere agora uma outra urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma
bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retirase novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as duas bolas
1
sejam da mesma cor vale ? x 5 1 ou x 5 9
2
Resolução:
a) Total de bolas na urna é: 3 1 5 1 x 5 8 1 x
x
P(A) 5
5 2 → 16 1 2x 5 3x → x 5 16
8
1
x
3
b) Total de bolas na urna: 1 1 4 1 x 5 5 1 x
1
1
?
x 15
x 1 5
4
4
?
probabilidade de retirar duas bolas brancas 5
x 15
x 1 5
x
x
probabilidade de retirar duas bolas azuis 5
?
x 15
x 1 5
1
1
4
4
probabilidade de retirar duas bolas da mesma cor 5
?
1
?
1
x 15
x 1 5
x 15
x 1 5
x
x
1
?
5 1
x 15
x 1 5
2
2
1
4
x2
1
1
5 1
2
2
2
2
(x 1 5)
(x 1 5)
(x 1 5)
x 5 9 ou
22
( 10)  100 2 36
2
2
2
34 1 2x 5 x 1 10x 1 25 → x 2 10x 1 9 5 0 →
2
x 51
probabilidade de retirar duas bolas pretas 5
53 (ITA-SP) Uma caixa branca contém cinco bolas verdes e três azuis, e uma caixa preta contém três
bolas verdes e duas azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, dois dados são
atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos
demais casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola verde? 289
480
Resolução:
Ao atirar os dados e sair soma menor que 4, A 5 {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} → P(A) 5 3 5 1
36
12
A probabilidade de sair soma maior ou igual a 4 é: 1 2 1 5 11 .
12
12
A probabilidade de sair bola verde na caixa branca é 5 , e a de sair bola verde na caixa preta é 3 .
8
5
1
5
11
3
289
Então, P 5
?
1
?
5
12 8
12 5
480
20
p. 40
54 Em um dado viciado a probabilidade de observar um número na face superior é proporcional a esse
número. Qual a probabilidade de ocorrer um número maior que 4? 11
21
Resolução:
p1 5 p
p2 5 2p
p3 5 3p
p4 5 4p
p5 5 5p
p6 5 6p
p1 1 p2 1 p3 1 p4 1 p5 1 p6 5 1 → 21p 5 1 → p 5 1
21
p2 5 2 , ..., p6 5 6
21
21
5
P(5) 1 P(6) 5
1 6 5 11
21
21
21
55 (ITA-SP) Suponha que, na região em que ocorreu a passagem do furacão Katrina, somente ocorrem
três grandes fenômenos destrutivos da natureza, dois a dois mutuamente exclusivos:
 os hidrometeorológicos (A),
 os geofísicos (B) e
 os biólogos (C).
Se a probabilidade de ocorrer A é cinco vezes a de ocorrer B, e esta corresponde a 50% da probabilidade de
ocorrência de C, então a probabilidade de ocorrer:
d) A ou B é igual a 75%.
a) A é igual a duas vezes a de ocorrer C.
e) A ou C é igual a 92,5%.
b) C é igual à metade da de ocorrer B.
c) B ou C é igual a 42,5%.
Resolução:
Seja p a probabilidade de ocorrer C.
A probabilidade de ocorrer B é 0,5C, e a probabilidade de ocorrer A é 2 ? 0,5C.
Então: p 1 0,5p 1 2,25p 5 1 → 4p 5 1 → p 5 0,25
P(A  B) 5 P(A) 1 P(B) 5 2,5p 1 0,5p 5 3p 5 3 ? 0,25 5 75%
56 Aos números inteiros de 1 a 12 são dadas probabilidades proporcionais aos seus valores. Qual é a
probabilidade do evento {10}?
5
39
Resolução:
1 → p
2 → 2p
3 → 3p
 
12 → 12p
Então: p 1 2p 1 3p 1 ... 1 12p 5 1 → 78p 5 1 → p 5 1
78
10
5
P(10) 5 10P 5
5
78
39
21
57 Um dado é lançado sete vezes. Calcule a probabilidade de ocorrer 2 ou 5 três vezes. 25%
Resolução:
P(2  5) 5 1 1 1 5 1
6
6
3
P(2  5) 5 1 2 1 5 2
3
3
3
4
4
4
 7
7 ? 6 ? 5
7!
P 5  ? 1 ? 2 5
? 13 ? 24 5
? 27 5 0,256  25%
3
3
4! ? 3! 3
3 ? 2
 3
3
3
() ()
58 Na roleta abaixo a probabilidade de a flecha indicar o número 1 é o dobro da probabilidade de indicar
os demais números. Determine a probabilidade de que a seta indique 1 ou 4. 1
2
Resolução:
1 → 2p
2→p
3→p
4→p
5→p
6p 5 1 → p 5 1
6
2
P(1  4) 5
1 1 5 1
6
6
2
59 Um casal pretende ter seis filhos não gêmeos. Qual a probabilidade de terem cinco meninos e uma
menina? 9,4%
Resolução:
P(O) 5 P(A) 5 1
2
5
 6
P 5  ? 1 ? 1
2
2
 5
() ()
1
5 6 ? 16 5 3  9,4%
32
2
22
60 Numa fábrica de lâmpadas, a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa é de 1 . Considerando
20
18 ? 197
um lote de dez lâmpadas, qual a probabilidade de que exatamente três sejam defeituosas?
209
Resolução:
Se a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa é 1 , então a probabilidade de não ser defeituosa
20
1
19
é1 2
5
.
20
20
( ) ( )
3
10
P 5  ? 1
20
 3
7
? 19
20
5
7
10 ? 9 ? 8
18 ? 197
? 1 3 ? 19 7 5
3 ? 2
20
20
209
61 A probabilidade de um atirador acertar o alvo em um único tiro é de 65%. Fazendo quatro tentativas,
qual é a probabilidade de acertar o alvo por três vezes? 38,4%
Resolução:
P(A) 5 65 5 13 → P(A) 5 1 2 13 5 7
100
20
20
20
( ) ( )
3
 4
P 5   ? 13
20
 3
?
7
20
1
3
5 4 ? 13 3 ? 7 5 38,4%
20
20
62 Numa cidade, 60% das pessoas possui sangue tipo O1. Escolhendo-se dez pessoas ao acaso, qual a
probabilidade de cinco terem sangue O1? 252(24)5
1010
Resolução:
P(O) 5 6 → e P(O) 5 1 2 6 5 4
10
10
10
( ) ( )
10
P 5  ? 6
10
 5
5
?
4
10
5
5
252 ? (24)5
1010
63 Dois times de handebol, A e B, disputam seis partidas. Qual a probabilidade de o time A ganhar
quatro partidas? 15
64
Resolução:
P(A) 5 P(B) 5 1
2
() ()
 6
P 5  ? 1
2
 4
4
? 1
2
2
5
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