INTERAÇÕES E APRENDIZAGENS EM AULAS DE

Relato de Experiência
INTERAÇÕES E APRENDIZAGENS EM AULAS DE MATEMÁTICA
MEDIADAS POR SOFTWARES LIVRES
GT 05 – Educação Matemática: tecnologias informáticas e educação à distância
A. Patricia Splilimbergo, UNIJUI, [email protected]
Claudia Piva, UNIJUI, [email protected]
Lecir D. Dorneles, UNIJUI, [email protected]
Angéli Cervi Gabbi, UNIJUI, [email protected]
Resumo: Este trabalho tem o objetivo de apresentar algumas características e possibilidades dos
softwares Círculo Trigonométrico, Trigonometria e Winplot, para desenvolver atividades
relacionadas à trigonometria. Nosso trabalho está ancorado em práticas de sala de aula, onde
propomos o uso destes por serem livres e aparentemente simples, porém potenciais para ensinar
matemática. Neste sentido, apresentaremos roteiros de atividades que foram desenvolvidas em sala
de aula com o uso dos respectivos softwares. Esta proposta surge a partir de nossa prática docente,
como professoras de Licenciatura, onde há uma preocupação constante em formar futuros
professores de Matemática preparados para atuar em uma realidade cada vez mais informatizada.
Palavras-chave: Softwares Livres; Matemática; Atividades de Ensino.
Introdução
Atualmente, professores e pesquisadores, vivenciam intensa reflexão relacionada à
incorporação das tecnologias no processo ensino-aprendizagem. Trabalhar com recursos
tecnológicos (VALENTE, 1993) pode ser um caminho a ser seguido, para ampliar as
reflexões e solidificar o uso desses recursos que são amplamente utilizados em vários
setores da sociedade. Não podemos negar a necessidade emergente de nos apropriarmos
desta ferramenta. Nossos esforços devem focar não mais em saber usar e sim em como
usar o computador em nossas aulas. Vale destacar que já não cabe mais duvidar da
importância do professor dominar esta metodologia (BORBA; PENTEADO, 2005),
também vale salientar que o papel do professor e o conteúdo dos livros constituem uma
condição para garantir a aprendizagem, pois ela envolve um processo de assimilação e
construção de conhecimentos e habilidades, de natureza individual e intransferível.
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Concordamos com Dullius; Haetinger e Quartieri (2010), que apresentam
discussões referentes à necessidade da capacitação dos professores:
Isso ocorre porque a maioria dos professores não sabe utilizar esses
recursos como auxiliares no processo de ensino.... Não se trata de mera
instrumentalização para operarem máquinas e programas (hardwares e
softwares), mas, principalmente, para que tenham acesso ao
conhecimento e à análise de outras opções metodológicas para o processo
de ensino (DULLIUS; HAETINGER; QUARTIERI, 2010, p.146).
Já mencionamos em trabalhos anteriores, (PIVA; DORNELES; SPILIMBERGO,
2010a, PIVA; DORNELES; SPILIMBERGO, 2010b) que o ensino de matemática exige
novas estratégias metodológicas e, para isso, tornam-se necessárias pesquisas voltadas a
busca de novas experiências didáticas e da qualificação dos profissionais que atuam na
educação. Através do uso de recursos computacionais é possível que ocorram mudanças no
sistema atual de ensino.
Neste sentido, trazemos neste trabalho, recortes de ações, utilizando recursos
computacionais, para desenvolver conceitos de Trigonometria, que nos pareceram
significativos e que possivelmente trarão contribuições neste processo de análise e uso das
tecnologias no ensino. Nosso trabalho vem acontecendo a partir de nossas experiências e
no desenvolvimento de um projeto de extensão chamado “Softwares livres potenciais para
o ensino de matemática” que está vinculado ao Departamento de Física, Estatística e
Matemática, da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUÍ. Este projeto surgiu da necessidade constatada em nossas atividades de ensino, de
encontrarmos softwares bons e livres para serem usados no ensino de matemática.
Portanto, neste trabalho queremos socializar as nossas experiências como
pesquisadoras e professoras do ensino superior, pois a cada novo trabalho sentimos que a
utilização do computador em sala de aula requer discussões e trocas de experiências, no
sentido de mostrar o diferencial no uso do computador em aulas de matemática, além do
potencial que pode ser explorado em um software de acordo com as atividades propostas.
Observamos que, os softwares educacionais têm a capacidade de realçar o componente
visual da matemática atribuindo um papel importante na construção do conhecimento a
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partir da interação entre professores, alunos, recursos computacionais e conteúdos
matemáticos (LÉVY, 1993).
O que iremos mostrar são atividades desenvolvidas em laboratório de informática,
utilizando softwares livres (CAMPOS, 2009), relacionadas à construção de conceitos da
trigonometria e a análise da variação de parâmetros em funções trigonométricas. Estas
atividades foram desenvolvidas utilizando os aplicativos Trigonometria, Círculo
Trigonométrico
e
Winplot,
que
se
encontram
disponíveis
em
http://www.ensinoematematica.com.br.
Construindo conceitos de Trigonometria
O estudo da trigonometria, muitas vezes é considerado difícil por parte dos alunos
e, normalmente, quando aplicado em disciplinas, não é lembrado pelos mesmos. Em aulas,
como por exemplo, de Cálculo, onde certamente surge à necessidade de aplicarmos algum
conceito de trigonometria, freqüentemente este assunto não é lembrado por grande parte
dos alunos. Entendemos que uma forma de desenvolver este conteúdo e possibilitar que o
aluno construa o seu conhecimento de uma maneira mais fundamentada e duradoura, possa
ser através do uso de aplicativos. Nesta proposta procuramos selecionar o que pode ser
desenvolvido do assunto trigonometria, através do uso de softwares. Nosso trabalho enfoca
desde a construção das razões trigonométricas no triângulo retângulo, até o entendimento e
análise das funções trigonométricas.
Percebemos que de fato, não é possível abrangermos todos os conceitos de
trigonometria com um único software, cada um pode dar “conta” de alguma parte dos
conceitos e que no conjunto eles podem ser complementares. Isso nos dá o indicativo que a
tarefa de usar o computador em sala de aula, não é tarefa fácil, exige que o professor
domine a máquina, os aplicativos e ainda seja capaz de selecionar o que cada um deles
pode desenvolver, de forma mais eficiente no processo de ensino aprendizagem. Diante
desta complexidade, nossa intenção é apresentar algumas possibilidades de uso dos
softwares selecionados para este trabalho.
Podemos marcar que o software Círculo Trigonométrico - Circ é complementar ao
Trigonometria – Trigonom em atividades de construção das razões trigonométricas. Com
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o primeiro podemos desenvolver as razões de seno, cosseno, tangente e cotangente,
relacionando o círculo trigonométrico à função trigonométrica, enquanto que o segundo
constrói as anteriores incluindo secante e cossecante, porém de forma mais detalhada.
Neste caso sugerimos elaborar atividades iniciando com o Trigonom e após, incluindo o,
conforme as sequências que apresentaremos a seguir.
Num primeiro momento, propõem-se aos alunos que explorem livremente os
softwares, para verificar quais são as possibilidades apresentadas e desenvolvidas neles.
Após a exploração dos softwares, propomos a atividade 1, “Reconhecendo o
triângulo retângulo”. Esta deve ser desenvolvida através do Trigonom e possibilita
observar passo a passo a construção das razões trigonométricas. Usando o software e
clicando no ícone apontado na janela mostrada na Fig. 1, um triângulo retângulo é gerado.
Seja [OAB] um triângulo retângulo em B (várias imagens)
Figura 1. Janela para visualização do triângulo retângulo.
Na construção das razões trigonométricas ficam evidentes as definições dos
elementos do triângulo retângulo: cateto oposto ao ângulo O, cateto adjacente ao ângulo O
e hipotenusa.
A atividade 2, “Reconhecendo o círculo trigonométrico”, permite que os alunos
observem a construção do círculo trigonométrico a partir do triângulo retângulo com centro
na origem de um sistema cartesiano. O procedimento indica para clicar nos ícones
mostrados na Fig. 2. Além disso, para sistematizar esta atividade, propomos uma ação de
construção, onde o aluno registra em papel o círculo trigonométrico, utilizando régua,
compasso e transferidor. Esta atividade (Traçado do círculo trigonométrico) está
disponível no endereço: http://www.ensinoematematica.com.br.
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Desenhemos um círculo com centro em O e raio igual à hipotenusa (ver observações)
Figura 2. Janela para visualização do círculo trigonométrico.
A atividade 3, “Entendendo as razões trigonométricas”, indica que o aluno deve
explorar as razões trigonométricas (seno, cosseno, tangente e cotangente), seguindo as
orientações descritas no software (Fig. 3). Clicando um a um os ícones das razões
trigonométricas, o aluno irá obter subsídios para responder questões referentes a cada razão
trigonométrica, que são propostas no final da atividade.
Chama-se tangente do ângulo O o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo
Figura 3. Janela para visualização das razões trigonométricas.
Definir as razões trigonométricas a partir da sequência de passos realizados no
software conduz o aluno a elaborar suas próprias conclusões, pois as razões são mostradas
com diferentes cores, indicando os elementos do triângulo envolvidos em cada razão. Por
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exemplo, destaca em azul o seno do ângulo O que é determinado pelo quociente da medida
do segmento AB (cateto oposto ao ângulo O) pela medida do segmento AO (hipotenusa) e
assim sucessivamente.
Após o desenvolvimento das atividades anteriores, utilizando o software Circ,
propomos a atividade 4, “Construindo seno, coseno, tangente e cotangente para ângulos
entre 0 e 90 graus”. Mantendo a seleção das razões no ícone Funções e clicando em
Ângulo, é possível digitar o valor desejado para o ângulo, e, visualizar os valores e os
gráficos das funções selecionadas, como está mostrado na Fig. 4.
Altere o ângulo aqui!
Figura 4. Razões trigonométricas de 0 a 90º.
É importante notar que, este software também trabalha com diferentes cores a cada
razão mostrada (Fig. 4). Percebemos que esta visualização auxilia no entendimento destas
razões, principalmente por estarem construídas no círculo trigonométrico. Esta atividade
encaminha para a ampliação das razões trigonométricas para ângulos maiores de 90 graus.
É necessário que os alunos tenham clareza de que as medidas das razões no primeiro
quadrante são projetadas sobre os eixos. Para que se atinja esta compreensão, as questões
sugeridas devem conduzir os alunos a observar a forma em que aparecem as respectivas
razões no círculo trigonométrico.
Ainda com auxílio do software Circ, passamos a atividade 5, “Construindo seno,
coseno, tangente e cotangente para ângulos maiores que 90 graus”. Seguindo as
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orientações da atividade anterior, esta sugere que os alunos determinem as medidas das
razões de seno, cosseno, tangente e cotangente para alguns ângulos maiores que 90 graus.
É fundamental neste momento a percepção dos alunos da projeção sobre os eixos no
primeiro quadrante, o que possibilita observar as medidas das razões trigonométricas nos
demais quadrantes.
Figura 5. Razões trigonométricas para ângulos maiores que 90º.
Figura 6. Círculo trigonométrico e gráfico da função seno.
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Para sistematizar a sequência, propomos a atividade 6, “Construindo seno, coseno,
tangente e cotangente para ângulos quaisquer”. Com auxílio do software Circ, escolhendo
um ângulo do 1º quadrante, clicando em “Ângulo”, e em seguida clicamos em diferentes
pontos sobre o círculo, mostrados na Fig. 5. Vale observar que o software relaciona ângulo
com radianos.
No trabalho de construção das funções trigonométricas, o software Trigonom pode
ser utilizado, no sentido de relacionar o deslocamento de um ponto sobre o círculo
trigonométrico e o gráfico da função, podendo o usuário fazer pausas durante a construção
do gráfico, conforme mostrado na Fig. 6. Para esta construção propomos a observação de
todas as funções que o software apresenta, fazendo pausas em tempos para relacionar o
ângulo com o respectivo ponto sobre a curva.
Variando parâmetros
Para a atividade de análise da variação de parâmetros de funções trigonométricas, o
uso de aplicativos, permite realizar simulações, no sentido de representar graficamente
diferentes funções de um mesmo tipo e comparar as alterações gráficas. Para esta tarefa,
sugerimos a utilização do software Winplot, que possibilita a realização da simulação,
complementando o Trigonom, que apresenta as possibilidades para alguns parâmetros já
definidos e não sobrepõem os gráficos das diferentes funções. Neste aspecto, a análise das
alterações gráficas fica limitada.
Os comandos do Winplot são simples, semelhantes à maioria daqueles utilizados no
meio acadêmico. Para representar graficamente funções no plano, basta abrir a janela “2dim” e em seu menu escolher “equação” e selecionar a opção “explícita”, por exemplo.
Além disso, ele permite ao usuário digitar mais de uma função e visualizá-las em um único
plano, podendo escolher a cor, a espessura e o intervalo de cada curva, podendo também
apresentar junto aos gráficos, as equações na respectiva cor. Esta possibilidade se torna
importante no momento em que o aluno irá relacionar cada gráfico com a respectiva
função e realizar as comparações. Estes aspectos são mostrados na Fig. 7.
Esta atividade é simples e desenvolvida com base na simulação e análise de cada
parâmetro alterado. Para esta análise, propomos uma sequência de procedimentos, que
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conduzirá o aluno a conclusões generalizadas das variações gráficas. Iremos apresentar
questões relacionadas à função seno e que se estende as demais funções trigonométricas.
Figura 7. Gráficos das funções y = sen(x) e y = 2sen(x).
Em primeiro lugar o aluno deve usar a função y = sen x (função mãe) como pano de
fundo e a partir desta analisar as demais possibilidades, considerando:
- o parâmetro multiplicativo a lei da função, isto é, a função y = a⋅sen x, onde “a” é um
número real diferente de zero. Neste caso, é importante que o aluno perceba a alteração
gráfica no sentido vertical provocando contrações ou expansões e consequentemente
alterando a imagem para o intervalo [-a, a];
- o parâmetro aditivo a lei da função, tomando a função y = b + sen x, onde “b” é um
número real, é importante que o aluno perceba que esta alteração provoca, no gráfico,
translações no sentido vertical e consequentemente alterações na imagem para o intervalo
[b-1, b+1];
- o parâmetro aditivo ao arco da função, analisando a função y = sen (x + c), onde “c” é um
número real. Nestas situações o aluno deverá perceber translações no sentido horizontal e
consequentemente deslocamentos no ponto de início da curva para (0, sen(c));
- o parâmetro multiplicativo ao arco da função y = sen (dx), onde “d” é um número real
diferente de zero. Assim, é importante que o aluno perceba que este parâmetro provoca
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contrações ou expansões no sentido horizontal e consequentemente alterações no período
da função.
Para sistematizar a atividade de análise da variação dos parâmetros, foi proposto
aos alunos simulações com funções do tipo: y = b + a⋅sen (dx + c), onde “a”, “b”, “c” e “d”
são números reais diferentes de zero. O objetivo desta foi possibilitar ao aluno perceber e
concluir de forma genérica as alterações provocadas pela variação de todos os parâmetros.
Por exemplo, é importante que o aluno conclua que a imagem desta função passa a ser [b|a|, b+|a|], exemplificado conforme mostra a Fig. 8.
Figura 8. Gráficos das funções y = sen(x) e y = 1+2sen(2x+1).
Entendemos que propor atividades como estas, que exploram o estudo da variação
de parâmetros de funções, é fundamental para que o aluno desenvolva a capacidade de
ampliar os conhecimentos referentes à sua representação gráfica. Desta forma, permitindo
a ele construir o gráfico de uma função qualquer, fazendo o uso do entendimento da
implicação de parâmetros aditivos e multiplicativos nas leis destas funções.
Considerações
Considerando que este assunto é estudado no ensino médio, percebemos que muitos
conceitos ficam à margem do conhecimento, sendo apresentado aos alunos de forma
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simplificada, normalmente através do recurso quadro e giz, o que pode tornar o trabalho
mais lento e pouco atraente.
Propor atividades computacionais poderá não ser eficiente para uma aprendizagem
efetiva, se estas não forem conduzidas com clareza dos objetivos a serem atingidos. Além
disso, muitas vezes são necessárias mediações durante a aplicação destas atividades, para
conduzir o aluno ao que a atividade se propõe, ou seja, para que a aprendizagem de fato
ocorra.
Neste sentido, defendemos a utilização de ambientes informatizados, pois em
primeiro lugar, a participação dos alunos é efetiva, o que consideramos fundamental em
um processo de ensino aprendizagem. Em segundo lugar, a utilização de softwares,
permite a realização de diversas simulações, conduzindo os alunos a análises e conclusões,
implicando em uma maior autonomia na aprendizagem.
Referências
BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação matemática. Belo Horizonte:
Autêntica, 2005. 104p.
CAMPOS, A. O que é um software livre. Disponível em: <http://br-linux.org/faqsoftwarelivre/>. Acesso em 10. dez. 2009.
DULLIUS, M. M.; HAETINGER, C.; QUARTIERI, M. T. Problematizando o uso de
recursos computacionais com um grupo de professores de matemática. In: JAHN, A. P.;
ALLEVATO, N. S. Gomes (Orgs.). Tecnologias e educação matemática: ensino,
aprendizagem e formação de professores. Recife: SBEM, 2010, v. 7, p. 145-162.
LÉVY, P. As Tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática.
São Paulo: Editora 34, 1993.
PIVA, C.; DORNELES, L. D.; SPILIMBERGO, A. P. G. Utilizando softwares livres para
explorar conceitos de trigonometria. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA – ENEM, 10, 2010a, Salvador. Anais... Ilhéus - BA: Via Litterarum,
2010a. 1 CD-ROM.
PIVA, C.; DORNELES, L. D.; SPILIMBERGO, A. P. G. Implicações gráficas da variação
de parâmetros em funções utilizando o software Winplot.. In: CONGRESSO
INTERNACIONAL DE ENSINO DA MATEMÁTICA – CIEM, 5, 2010b, Canoas.
Anais... Canoas: [s.n.], 2010b. 1 CD-ROM.
Relato de Experiência
VALENTE, J. A. Computadores e conhecimento repensando a educação. Campinas:
Gráfica da UNICAMP, 1993.