ELECTROMAGNETISMO PROBLEMAS A. Cálculo Vectorial A1

ELECTROMAGNETISMO
PROBLEMAS
A. Cálculo Vectorial
A1. Dada uma função f(x,y,z) calcular
a) o seu gradiente
b) o rot(grad f(x,y,z))
c) a div(grad f)
A2. Dado o vector A=Ax i + Ay j + Az k, calcular
a) o seu rotacional
b) a div(rot A)
A3. Dado o vector A mostre que rot(rot A) = grad(div A) - ∇2 A .
A4. Dados os vectores A e B mostre que
rot (A x B) = A div B - B div A + (B.grad) A - (A.grad) B.
A5. Desenhar linhas de força de um campo vectorial tal que:
a) o seu rotacional seja nulo
b) a sua divergência seja nula.
A6. Dado o vector de posição r=x i + y j + z k, mostre que o teorema da divergência se
verifica, considerando para isso uma superfície esférica centrada na origem e de raio
R.
A7. Considere o vector A =10/3 x3 i. Verifique o teorema da divergência, aplicando-o a
um cubo de volume a3, arestas paralelas aos eixos e centrado na origem.
A8. Dado o vector A = k r ur, verificar o teorema da divergência no volume definido por
duas superfícies esféricas concêntricas, raios R1 e R2 (R2 > R1).
A9. Num redemoinho colocamos um pouco de cortiça. Esta andará à roda em torno do
centro do redemoinho. Fazendo as hipóteses simplificadoras que entender, derivar a
relação entre a velocidade angular ω e o rot v. Mostrar que se obtém a mesma relação
aplicando o teorema de Stokes. Calcular div v.
A10. Seja o campo A=x j. Representar A graficamente e calcular o respectivo
rotacional. Estará rot A ligado a algum movimento de rotação?
A11. Considerar o vector A = xy i - 2x j. Verificar o teorema de Stokes sobre o quarto
de círculo, de raio r=3, situado no primeiro quadrante do plano (x,y)
A12.Calcular a circulação do vector A = (2x + y) i + y j + xz k em torno do rectângulo
indicado na figura. Verificar depois o teorema de Stokes.
B. Electrostática
B1. Calcular o campo eléctrico E criado por uma linha rectilínea infinita, carregada
uniformemente, densidade linear de carga λ (C/m), num ponto P à distância r da linha.
B2. Considere agora que o fio anterior é finito e de comprimento L. Calcular o campo
num ponto P, à distância d do fio, e equidistante dos seus extremos. Calcule ainda a
lei de variação de E(P) nos dois casos seguintes: d/L « 1 e d/L »1.
R: E(P)=(λ/2πε 0d).sinθ1
d«L: E ≈ λ/2πε 0d (V/m)
d»L: E≈Q/4πε 0d2. (V/m)
B3. Temos uma barra estreita, comprimento L, carregada com carga Q uniformemente
distribuída. Qual a força que esta barra exerce sobre uma carga também igual Q
(suposta pontual), situada à distância a de uma das extremidades da barra, no
prolongamento desta?
____________
2
R: F=(1/4πε0).(Q /a(a+L) )
.Q
(N)
B4. Em relação ao problema anterior, calcular a posição do ponto (sobre a linha que
une a barra à carga pontual) onde se anula o campo eléctrico.
R: d=a2/(2a+L)
(m)
B5. Partindo da expressão para o potencial do dipolo, calcule as componentes do
campo eléctrico Ex , Ey , Ez. Mostre que estas podem ser obtidas por projecção sobre os
eixos coordenados do vector
E= (3 (p.r) r - p r2 )/ ( 4π ε o r5 )
(V/m).
B6. Seja uma espira circular de raio R, carregada uniformemente com carga total +Q.
A espira está situada no plano (x y). No seu centro está colocada uma carga -Q.
Calcular o campo eléctrico e o potencial num ponto P situado sobre o eixo da espira, à
distância z da mesma. Determinar ainda a lei de variação do potencial para distâncias
tais que z » R.
R:
E=Q/4πε 0 . [z/(R2+z2)3/2 - 1/z 2]
φ=Q/4πε 0 . [1/(R2+z2)1/2 - 1/z]
z»R : φ=(Q/4πε 0) . (-R2/2z 3)
(V/m)
(V)
(V)
B7. Na figura temos três cargas pontuais, q1, q2 e q3. Qual o trabalho que temos que
realizar para trocar as posições das cargas q1 e q2?
R: W=(1/4πεo) (q1.q3/r23 - q1.q3/ r13 + q2.q3/r13 - q2.q3/r23)
B8. Temos um disco de raio a, uniformemente carregado. Calcular E(P), P situado à
distância z do disco, sobre a linha perpendicular passando pelo centro do mesmo.
Mostrar que quando z → 0, E→ σ/2ε o, tal como num plano infinito.
B9. Em vez do disco anterior temos agora uma coroa circular definida por dois círculos
concêntricos de raios R1 e R2, preenchida por uma carga uniforme de densidade σ
(C/m2). Calcular o campo eléctrico no centro do sistema e num ponto situado sobre o
eixo do mesmo e à distância d do plano em que se encontram os círculos.
B10. Duas cargas esféricas q1=4 µC e q2=-2 µC, massas m1=m2=10g, estão à
distância de 15cm uma da outra. Partindo do repouso, qual a sua velocidade relativa
quando estiverem à distância de 5 cm?
B11. Uma semiesfera de raio R encontra-se uniformemente electrizada em superfície,
com uma densidade de carga dada por σ (C/m2). Calcular o campo eléctrico no centro
da esfera.
R: E = σ/ 4ε o e apontando para fora da semiesfera se a carga for positiva.
B12. Temos uma esfera uniformemente carregada em superfície, com σ (C/m2), e um
ponto P situado no seu interior. Mostrar que o campo eléctrico em P, E (P), é nulo,
qualquer que seja a posição de P.
B13. O espaço compreendido entre os dois planos infinitos e paralelos z=+a/2 e z=-a/2
está preenchido uniformemente com uma carga de densidade ρ (C/m3). Calcular o
campo electrostático num ponto P qualquer exterior à distribuição. Repetir para um
ponto P’ interior à mesma.
R: z>a/2, E = (ρ.a/2ε o) k; z< - a/2, E = -(ρ.a/2ε o) k; -a/2 < z < a/2, E= ρ.z/ε o k
B14. Na figura representa-se esquematicamente um osciloscópio de raios catódicos.
Os electrões saem do cátodo com uma velocidade vo (paralela ao eixo dos x),
sofrendo depois uma deflexão pela acção do campo eléctrico Ed (paralelo ao eixo dos
z e apontando para baixo), campo que actua ao longo do comprimento l das placas de
deflexão. Calcular a deflexão total sofrida pelos electrões ao embaterem no alvo
situado em x=L.
R: d = (e/m) Ed l.(L-l/2)/vo2 .
B15. Duas esferas condutoras de raios R1 e R2, apresentam uma distância r entre os
respectivos centros; r >> R1, R2, de forma que podemos desprezar a influência
eléctrica entre as esferas. Uma delas tem uma carga q e a outra não tem carga.
Liguemos as esferas por um fio condutor. Calcular a distribuição final das cargas, q1 e
q2, e os potenciais φ1 e φ2.
B16. Dois condutores esféricos, concêntricos, encontram-se aos potenciais φ1 e φ2.
Calcular: a) a carga q1 e a carga na superfície interna do condutor exterior, q2 int ; b) o
campo eléctrico e o potencial escalar no espaço entre os condutores; c) o campo
eléctrico e o potencial no exterior do sistema.
B17. Temos dois condutores cilíndricos, coaxiais, de comprimento L muito grande e
raios R1 < R2. O condutor interior está ligado à terra e o exterior foi colocado a um
potencial V. Calcular a densidade de carga λ (C/m) no condutor interior.
B18. Uma esfera de raio R está carregada uniformemente. A carga total da esfera é Q.
Calcular a expressão do campo eléctrico no interior e no exterior da esfera.
R: Eint = (Q/4πε0R3).r (V/m)
B19. Repetir o problema anterior no caso em que a densidade de carga na esfera
obedece a ρ= A.r (C/m 3), A uma constante. Exprimir os resultados em função da carga
total Q e de R.
R: Eint = (Q/4πε0R4).r2 (V/m)
B20. Temos um condensador plano ligado a uma bateria de 12V. A área das placas é
A, sendo a distância entre elas de d. Descrever o que acontece à diferença de
potencial entre as placas, ao campo eléctrico, à capacidade e à carga das placas,
quando:
a) afasto as placas para 2d, mantendo o condensador ligado à bateria; b) afasto as
placas para 2d, com o condensador desligado da bateria.
B21. Considere dois cilindros coaxiais, de comprimento L e raios R1 e R2, com R2 > R1.
Calcule a capacidade deste sistema.
R: C=2πε 0L / Ln(R2/R1) (F)
B22. Calcular a capacidade do condensador indicado na figura. Mostrar que a
capacidade C é igual à de dois condensadores em paralelo.
B23. Condensador plano, placas de área A, distância entre placas d, dieléctrico ε r=ε/ε 0.
Devido a um acidente o dieléctrico partiu-se pelo meio, e as placas estão agora a uma
distância > d. Sabemos que a capacidade do condensador diminuiu para metade:
C’=C/2. Qual o valor de b? (d=2 mm, ε r=10).
R: b=0.2 (mm)
B24. Dois condensadores planos com a mesma capacidade C=ε oA/d estão ligados em
paralelo a uma bateria de V Volts. Considerar a sequência: (i) desligo os
condensadores da bateria; (ii) introduzo num dos condensadores um dieléctrico ε=ε r εo.
a) Qual o valor final de Q1 e Q2? b) Qual o valor final da difernça de potencial?
B25. Uma carga positiva +Q é colocada no centro de uma camada condutora esférica
delimitada por superfícies de raios R1 e R2 (R2>R1). Determinar E e φ como funções
da distância radial r. Fazer o respectivo gráfico.
B26. Consideremos dois dieléctricos com ε 1 e ε 1, separados por uma superfície plana
(ρ=σ=0). Mostrar que as linhas de força do campo eléctrico sofrem uma refracção
através da superfície e derive a relação entre os ângulos.
B27. Lentes dieléctricas podem ser usadas para colimar campos eléctricos. Na figura
temos uma lente, cuja superfície da esquerda é cilíndrica, de eixo coincidente com o
eixo dos z, e cuja superfície da direita é plana. Se E1, no ponto indicado P(ro, 45º, z),
na região 1, for dado por E1=5 ur - 3 u ϕ (V/m), qual o valor que deverá ter a constante
dieléctrica, do dieléctrico 2, para que o campo E3, na região 3, seja paralelo ao eixo
dos x?
B28. Uma carga +Q foi colocada no centro de uma camada dieléctrica esférica, raios
R1 e R2 com R2>R1. A constante dieléctrica do dieléctrico é ε. Determinar E, φ, D e P
como funções de r e fazer os respectivos gráficos.
B29. Um cabo coaxial é constituído por dois condutores cilíndricos concêntricos, de
raios R0=5mm e R1=15mm. O condutor exterior está a um potencial de +400 V e o
interior encontra-se ligado à terra. Calcule:
a) o campo eléctrico e o potencial entre os condutores;
b) a densidade de carga por unidade de comprimento λ do condutor interior;
c) a energia electrostática por unidade de comprimento.
R: λ= - 2πεo400/Ln(R1/R0) (C/m)
B30. Duas placas condutoras paralelas, de área A cada uma e distância d, estão
ligadas a uma fonte que as mantém a uma diferença de potencial V. As placas são
então lentamente aproximadas até ficarem a uma distância de d/3. A fonte é desligada
e as placas gradualmente levadas à sua separação inicial d. Qual a diferença entre as
energias electrostática final e inicial do sistema?
b) Chamemos x à distância entre as placas num determinado instante, sendo V a
diferença de potencial entre elas. Calcular a variação da energia electrostática quando
as placas são afastadas de uma distância dx (i) mantendo a bateria ligada, (ii) com a
bateria desligada. Qual a força que é necessário aplicar nos dois casos?
B31. Um condensador plano é carregado por uma bateria com uma carga Q. A bateria
é então desligada. Vamos seguidamente introduzir entre as placas um dieléctrico de
constante dieléctrica ε. Mostre que uma força aparece puxando o dieléctrico para
dentro do condensador. Qual a sua expressão? A que é devida esta força?
B32. Consideremos uma esfera condutora de raio R, ligada à terra. A esfera está
sujeita a um campo exterior uniforme que, muito longe da esfera, toma o valor E.
Mostre que φ = (ar + b/r2 ) cos θ é solução da equação de Laplace, determine as
constantes a e b e calcule a distribuição σ(θ) das cargas eléctricas à superfície da
esfera.
B33. Uma esfera dieléctrica ε é colocada no interior de um campo eléctrico uniforme
Eo. Determinar a solução para o potencial φ que satisfaz as condições exigidas: φ
deverá dar o valor correcto para o campo, Eo, a uma distância muito grande da esfera.
(Uma vez que o campo inicial é uniforme, tente uma solução em que o campo no
interior da esfera é também uniforme, mas de valor E1). Considere a solução da
equação de Laplace dada por φ = (ar + b/r2) cos θ.
B34. Uma esfera condutora de raio R, isolada e com carga Q, dilata-se lentamente sob
a acção das forças electrostáticas, até atingir o raio R’. Calcule a variação da energia
electrostática e, partindo desta expressão, calcule a expressão da força electrostática
originando aquela expansão.
C. Magnetostática
C1. Temos um fio rectilíneo muito comprido (supô-lo infinito), percorrido por uma
corrente estacionária i. Aplicando a lei de Biot-Savart, calcular B(P), P à distância r do
fio.
C2. Usando o resultado anterior, mostrar que dele resulta que div B=0.
C3. Repetir C1, mas aplicando o teorema de Ampère.
C4. Calcule o valor da indução magnética no centro de um quadrado de lado l, cujos
lados condutores são percorridos por uma corrente i.
R: B=2√2 µo i/ (π l) .
C5. Sejam dados dois condutores rectilíneos e paralelos, percorridos por correntes i.
Qual a natureza da força entre eles (repulsiva ou atractiva), nos casos em que as
correntes são paralelas ou antiparaplelas?
C6. Numa fábrica de plástico, devido à fricção do plástico nos rolos cilíndricos ao longo
dos quais o plástico é arrastado, gerou-se no plástico uma carga superficial de +σ
(C/m2). Calcular o valor aproximado de B, próximo da superfície do plástico.
R: B ≈ µo σ v/2 (T).
C7. Consideremos uma folha muito comprida (tomá-la como infinita), de largura l,
uniformemente carregada com σ (C/m2). A folha desloca-se com velocidade v na
direcção longitudinal, originando assim uma corrente superficia. Calcular a indução
magnética num ponto P, á distância d da folha e equidistante dos lados desta.
Verifique se recupera o resultado do problema C.6, para distâncias d muito pequenas.
C8. Temos um cilindro cuja superfície está carregada uniformemente com uma carga
de σ (C/m2). O cilindro gira em torno do eixo com uma velocidade angular ω. Calcular
o valor de B assim criado.
R: Bint =µo σ ω R
Bext=0.
C9. Um disco de raio R, carregado uniformemente com uma carga total Q, gira em
torno do seu eixo com uma velocidade angular ω (rad/s). Qual o valor de B no seu
centro?
C10. Um condutor cilíndrico, de raio a, é percorrido por uma corrente i uniformemente
distribuída no seu interior (densidade de corrente J=i/πa2 ). Calcular Bint (r<a) e
Bext(r>a).
R: Bint =µoi/(2π). r/a2.
C11. Dada uma espira quadrada de lado L, percorrida por uma corrente i, e um campo
magnético de indução B, uniforme, calcular o momento mecânico sobre a espira.
C12. Na figura temos um rectângulo percorrido por uma corrente i. No plano por ele
definido encontra-se um fio rectilíneo muito comprido, percorrido por uma corrente io .
Calcular a força exercida pelo fio sobre os lados do rectângulo.
C13. Dois condutores muito longos e paralelos estão ligados por uma semicircunferência de raio R. Calcular a indução magnética B no ponto P, situado no plano
deste conjunto.
R: B = µoi/2R.(1/π + 1/2)
C14. Na superfície de separação entre dois meios magnéticos, caracterizados por
permeabilidades µ1 e µ2 , passa uma corrente cuja densidade superficial é dada por JS
(A/m). Calcular as relações entre os valores do campo magnético de um lado e do
outro da superfície de separação.
C15. Num cabo coaxial muito longo, uma corrente i circula num sentido no condutor
interior e regressa via condutor exterior. O raio do condutor interior é igual a R1, e o
condutor exterior é definido pelos raios R2 e R3, com R3 > R2 > R1. Calcular B em
todas as regiões e fazer o respectivo gráfico.
R: R2 ≤ r ≤ R3
B=Bϕ = µo i/2π. (R32 - r2)/(R32 - R22). 1/r
C16. Considere o cabo coaxial do problema C.15, mas supondo agora que a
espessura do condutor exterior é desprezável (R2≡R3). Calcule a energia armazenada
por unidade de comprimento. A partir da expressão W=1/2 L i2 , extraia o valor do
coeficiente de auto-indução L do cabo.
C17. Partindo da lei de Faraday, da hipótese de quase-estacionaridade, da relação
entre as grandezas B e A, e ainda da solução para o potencial vector em função da
corrente eléctrica i, mostre que o coeficiente de indução mútua M entre dois circuitos
se pode exprimir como
M1 2 = M21 = ∫ ∫ (dl 1.dl2 )/r1 2 .
C18. Considere o circuito indicado ao lado. A barra metálica AB desliza sem atrito
sobre os carris condutores e tem uma massa m=3 g. A corrente i é mantida a um valor
constante i=20 A. a) Calcule o valor médio de B ao longo de AB. Suponha para isso
que a barra está a uma distância muito grande das extremidades O e O’ ; b) utilize
este valor médio para achar a força que se exerce sobre a barra AB e calcule a
respectiva aceleração; c) calcule a velocidade atingida ao fim de 2 m. Este sistema
constitui o que se designa por canhão magnético.
C19. A figura representa um electroíman, cujo enrolamento possui 500 espiras e é
percorrido por uma corrente i=10 A. Seja S a secção recta do núcleo. O fluxo
magnético Φ é suposto ser uniforme e não ter perdas. Calcular a força de
levantamento Fmagn . Dados: S=10-2 m2, µnúcleo =3000 µ0, lo = 2 mm, l1 = 200cm.
C20. Mostre que num condutor a densidade de carga eléctrica ρ obedece à equação
dρ/dt + (σ/ε)ρ = 0.
Mostre ainda que qualquer acumulação de carga desparece num tempo caracterizado
por τ=ε/σ segundos.
D. Indução electromagnética. Força de Lorentz.
Equações de Maxwell
D1. Temos um fio rectilínio percorrido por uma corrente estacionária i. Ao lado,
desloca-se paralelamente uma barra metálica com velocidade v. Calcular a diferença
de potencial que aparece entre as extremidades da barra. Em que extremidade se
acumulam as cargas positivas?
R: V=µo i v/2π Ln(b/a).
D2. O disco metálico da figura (disco de Faraday) gira com um velocidade angular ω
(rad/s). Calcular a diferença de potencial que aparece entre o centro e a periferia do
disco, na presença de um campo magnético uniforme e constante, de indução B
perpendicular ao disco.
D3. Considere uma molécula representada, classicamente, por um simples oscilador
harmónico de frequência própria ωo , massa m e carga q. O sistema oscila no plano
(x,y). Determinar a(s) frequência(s) de oscilação na presença de um campo magnético
uniforme e constante, paralelo ao eixo dos z. (Este modelo simples dá-nos uma
representação clássica do conhecido efeito de Zeeman, desdobramento das riscas
espectrais, na presença de um campo magnético exterior).
D4. Estimar a frequência para a qual a água do mar apresenta uma corrente de
deslocamento da mesma ordem de grandeza da corrente de condução.
Tem-se: σágua=5.10-3 (S/m)
ε água=80ε o.
R: f ≈ i.2 MHz.
D5. Temos um condutor em forma de um anel de raio r e resistência R, colocado num
plano perpendicular ao eixo dos z. Temos ainda um campo magnético, cuja indução é
dada por B=Bo sinωt k. Calcular a expressão da f.e.m. e dizer qual o sentido da
corrente induzida em t=0.
D6. Calcular o coeficiente de auto-indução de uma bobina com N espiras,
comprimento L. Desprezar os efeitos de fugas.
D7. Calcular o coeficiente de indução mútua M entre o fio condutor rectilíneo infinito e
o rectângulo, colocado paralelamente ao fio, representados na figura ao lado.
R: M=(µo/2π). l. Ln(r2/r1)
D8. Na figura temos representadas duas espiras paralelas, com o mesmo eixo,
separadas de uma distância a. Temos que r1« r2 e a. Calcular o coeficiente de
indução mútua do sistema fazendo as aproximações que considerar razoáveis
R: M=µoπ (r2. r1)2 /[2 (a2 + r12)3/2] (H)
D9. Dado o esquema da figura, calcular a f.e.m. induzida na espira rectangular l x h
quando esta se desloca com velocidade v, mantendo-se coplanar com o fio. Seja D o
valor de d(t) em t=0. Qual o sentido da corrente gerada?
R: | f.e.m.| = µoi / (2π) . l v h/((D+vt+h)(D+vt)).
D10. Uma espira quadrada, resistência R, desloca-se com uma velocidade v
constante,
através de uma região quadrada onde existe um campo uniforme B, criado por um
electroíman. Mostrar que, ao entrar e sair da região onde existe o campo magnético, a
espira fica sujeita a uma força F’ de sentido oposto ao movimento e de grandeza
proporcional a v.
R: F’ = B2 a2 v/R
D11. Suponhamos que no problema anterior a espira tem massa m e que está a cair,
sob a acção da gravidade, entre os pólos do electroíman que cria o campo B, suposto
horizontal. Qual a velocidade limite atingida?
R: vlim = mgR/(B 2a2) (m/s).
D12. Um condutor de forma rectângular, lados a e b, gira com velocidade angular ω
em torno de um eixo coincidente com o eixo coordenado Ox, na presença de um
campo magnético de indução B = Bo sin(ωt) j. Calcular a f.e.m. induzida no rectângulo,
supondo que a normal ao rectângulo fazia em t=0 um ângulo θ com o eixo dos y (ver a
figura).
D13. Considere o circuito da figura, com a barra oscilando sem atrito segundo a lei
x=0.35 cos(1 - cos ωt) (m). A indução magnética é dada por B = 5 10-2 cos(ωt) k (T) e
a resistência R=0.2 Ω. Calcular a corrente i em t=0 e ωt=π/2.
E. Ondas Electromagnéticas
E1. Dada a onda plana H=3.10-4 cos[5.10-4 t - 6.10-4 (√2 /2 x - √2 /2 y)] k (A/m) , indicar
a direcção e velocidade de propagação e calcular a constante dieléctrica do meio
(µr=1).
E2. Mostre que u(x,t) = uo sin (ω t).sin (kt) é solução da equação de ondas e que
representa a sobreposição de duas ondas de igual amplitude, propagando-se em
sentidos opostos ao longo do eixo dos x. Essa solução é uma onda estacionária,
apresentando nodos fixos ao longo de x; qual a posição desses nodos?
E3. No caso de campos variáveis continuaremos a utilizar as condições fronteira
E1t =E2t e H1t =H2t (J =0), embora os rotacionais de E e H sejam diferentes de zero.
Mostre que é correcta essa utilização.
E4. É conhecido o campo eléctrico de uma onda plana propagando-se num meio
dieléctrico (µr=1):
Ex =0
Ey = - 0.4 10-9 cos (5 105 t - 2 10-3 (√2/2 y + √2/2 z))
Ez= + 0.4 10-9 cos (5 105 t - 2 10- 3 (√2/2 y + √2/2 z))
(V/m).
a) Qual a direcção e sentido da onda?
b) Qual o índice de refracção do meio?
c) Qual o comprimento de onda?
d) Qual a polarização?
e) Determine a expressão do campo magnético H.
E5. Uma onda e.m. plana e monocromática, propagando-se no ar (ε r=1, µr=1),
apresenta um campo eléctrico definido por
E = E0 cos [ω t - k n.r ] j , E0=0.002 (V/m) e ω=2πx106 rad/s,
onda que incide sobre uma superfície plana de um dieléctrico com ε r=4, µr=1, segundo
um ângulo i=30º. a) Escreva as expressões para os campos eléctrico e magnético das
ondas incidente, reflectida e transmitida. b) Mostre ainda que a energia que incide por
segundo, por unidade de área, sobre a superfície do dieléctrico é igual à soma das
energias das ondas reflectida e transmitida. (Utilize o sistema de eixos Oxyz tal como
definido nas aulas teóricas).
E6. Derive as equações de Fresnel para o caso em que o campo eléctrico da onda
incidente é paralelo ao plano de incidência.
E7. Considere um meio condutor e a lei de Ohm J = σ E. Mostre que a equação de
ondas correspondente admite uma solução da forma u=u0 e
j ω t -∆ z
. Determinar ∆=a+jb
e interprete o resultado em termos de um índice de refracção complexo.
E8. Pegue num copo de água, junte-lhe umas (poucas) gotas de leite, e faça incidir a
luz de uma lanterna sobre a superfície do copo. Poderá verificar que as ondas
transmitidas são levemente avermelhadas e as ondas reflectidas levemente azuladas.
Tente explicar este resultado utilizando o modelo simples para um dieléctrico como
uma colecção de pequenos osciladores, com frequência própria ω0. Poderá tomar o
coeficiente de dissipação γ ≈ 0.
E9. Consideremos uma onda electromagnética atravessando três meios dieléctricos
n1, n2, n3, separados por superfícies paralelas. A incidência é normal. Mostrar que se
n2=√(n1. n3) e d=λ2/2 (d a espessura do dieléctrico intermédio), então o coeficiente de
reflexão, definido para a primeira incidência, é nulo.
E10. Mostre que uma onda plana, polarizada elipticamente, pode ser decomposta em
duas ondas planas, polarizadas circularmente e com helicidades opostas.
E11. Mostre que para uma onda plana monocromática, propagando-se num meio
dieléctrico, longe das respectivas fontes, as equações de Maxwell podem ser escritas
na forma
k xE = ωB
k xH = - ωD
k.E = 0
k.H = 0.
E12. Temos dois dipolos oscilantes, paralelos, em fase, separados por uma distância
igual a λ/2. Mostrar que: a) na direcção normal à linha que une os dois dipolos é
máxima a intensidade emitida pelo sistema e igual a 4 vezes a intensidade devida a
um dipolo; b) na direcção da linha unindo os dipolos é nula a intensidade; c) na
direcção fazendo 30º com a direcção da alínea a), essa intensidade é igual a 2 vezes
a intensidade de um dipolo.
E13. Verificar o que se passa quando os dois dipolos estão esfasados de π radianos.
E14. Considerar o caso em que a distância entre os dipolos ser igual a λ/4 e um dipolo
estar atrasado de π/2 radianos em relação ao outro. Verificar que existe um nítido
efeito direccional.