Circuitos Lógicos e Álgebra de Boole

ESTADO DE MATO GROSSO
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
PRÓ-REITORIA DE ADMINISTRAÇÃO
CAMPUS DE SINOP
BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
DISCIPLINA: Lógica
CONTEÚDO: Circuitos Lógicos
PROFESSORA Dr.ª Donizete Ritter
Álgebra de Boole
(Álgebra Booleana)
A Álgebra de Boole trabalha apenas com duas grandezas: falso e verdadeiro.
Assim sendo, podemos definir:
Variável Boolena, Lógica ou Binária como a variável que apenas pode assumir
dois valores: sim/não, verdade/falso, 1/0.
Proposição: quando apenas podemos afirmar que é verdadeiro ou falso (ou
sim ou não!). Assim sendo:
- "Amanhã vai chover?" : não constitui uma proposição pois as respostas
possíveis são, por exemplo: "Sim", "Não", "Talvez...", "Não sei..."
A = "Lisboa é a capital de Portugal"
B = ”Nova Iorque é um estado Brasileiro"
- A e B são, neste contexto variáveis booleanas. Aqui, podemos associar a A o
valor lógico verdade e a B o valor lógico falso e, como tal, são proposições.
- “Porto Alegre é a capital do RS e Bélgica não é um país da América
Latina" é também uma proposição à qual podemos associar o valor lógico
verdade para ambos.
Álgebra de Boole
(Álgebra Booleana)
Resumindo, a álgebra booleana:
“Fornece uma base matemática para estudo de sistemas
digitais binários”
• George Boole lançou os fundamentos
• Álgebra Binária: valores possíveis são apenas 2 (0 ou 1)
T (verdadeiro) ou F (falso)
False
True
Álgebra de Boole
(Álgebra Booleana)
George Boole estabeleceu dois princípios
fundamentais em que assenta a lógica
booleana, e que são:
• princípio da não contradição: "Uma proposição não pode ser,
simultaneamente, verdadeira e falsa"
• princípio do terceiro excluído: "Uma proposição só pode tomar um
dos dois valores possíveis - ou é verdadeira ou é falsa - não sendo
possível terceira hipótese"
Aplicação da Álgebra Booleana aos
computadores digitais
Os primeiros computadores fabricados, como o ENIAC,
trabalhavam na base decimal. No entanto, a utilização de circuitos
eletrônicos que operassem com 10 diferentes níveis de tensão (para
possibilitar a detecção das 10 diferentes grandezas representadas
no sistema decimal), acarretava uma grande complexidade ao projeto
e construção dos computadores, tendo por conseqüência um custo
muito elevado.
Surgiu então a idéia de aplicar a Álgebra de Boole, simplificando
extremamente o projeto e construção dos computadores.
Aplicação da Álgebra Booleana aos
computadores digitais
Como já foi referido, Boole desenvolveu a sua álgebra a partir
de duas grandezas: falso e verdadeiro. Também os computadores
digitais fazem uso de sinais binários (0 e 1). Estes sinais pretendem
representar os níveis de tensão, isto é, o 0 significa que não há
passagem (ou há uma baixa tensão) de corrente elétrica e 1 significa
passagem de corrente elétrica (ou passagem de alta tensão). Daqui,
podemos fazer a analogia entre a linguagem dos computadores e a
álgebra de boole da seguinte forma:
0/Falso/Baixa corrente elétrica,
1/Verdadeiro/Alta corrente elétrica
Operações Lógicas
A CONJUNÇÃO - AND : A proposição resultante da conjunção de
duas proposições é verdadeira quando, e só quando, ambas o forem. A
conjunção é representada pela conectiva "." (ponto, como se fosse a
multiplicação pois também é designada por produto lógico).
Considerando todos os "arranjos" possíveis dos valores lógicos de duas
proposições, A e B, podemos estabelecer a "tabela de verdade" que
apresenta os resultados possíveis da conjunção lógica.
A
B
A.B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Analogia:
Operações Lógicas
A DISJUNÇÃO (Inclusiva) - OR: A proposição resultante da disjunção
de duas proposições é falsa quando, e só quando, ambas o forem. A
disjunção inclusiva é representada pela conectiva "+" (sinal de soma,
pois representa a adição lógica).
A tabela de verdade desta operação lógica é:
A
B
A+B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Analogia:
Operações Lógicas
A NEGAÇÃO - NOT: A proposição resultante da negação de uma outra
proposição é verdadeira se a outra for falsa e é falsa se a outra for
verdadeira. A negação é representada pela conectiva "~".
A tabela de verdade da negação é:
A
Ã
0
1
1
0
Operações Lógicas
A DISJUNÇÃO (Exclusiva) - XOR: A operação lógica XOR, é derivada
das operações fundamentais (conjunção,disjunção inclusiva e negação)
da seguinte forma:
(Ã .B) + (A .B) . Para a representação da
disjunção exclusiva, vamos adotar a conectiva “ + ".
A
B
A +B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Lógica digital
• Computador digital
– Máquina que armazena e manipula informações
representadas por algarismos que só podem assumir 2
valores distintos (0 e 1).
Lógica digital
Circuitos digitais ou lógicos
• Circuitos eletrônicos que armazenam e realizam
operações sobre sinais binários.
Porta lógica
• Elementos que constituem os circuitos lógicos.
• Elemento de hardware que recebe um ou mais sinais
entrada e produz um ou mais sinais de saída, que
dependem de uma regra lógica.
• Elemento básico de um sistema de computação.
Álgebra booleana
• Permite que se realize o projeto de circuitos lógicos.
Portas e operações lógicas
• Uma operação lógica produz um resultado que pode
assumir somente dois valores (0 e 1).
• Na álgebra booleana 0 corresponde a FALSO e 1 a
VERDADEIRO.
• A tabela verdade de uma operação lógica é uma tabela
que mostra os possíveis resultados de uma operação
lógica de acordo com as diferentes possibilidades de
entrada.
• A álgebra booleana não é utilizada apenas para
montagem de circuitos digitais, mas também para
confecção de programas.
Portas Lógicas
Portas lógicas são dispositivos ou circuitos lógicos que operam um
ou mais sinais lógicos de entrada para produzir uma e somente
uma saída, a qual é dependente da função implementada no
circuito.
Um computador é constituído por uma infinidade de circuitos
lógicos, que executam as seguintes funções básicas:
1. Realizam operações matemáticas
2. Controlam o fluxo dos sinais
3. Armazenam dados
Operação lógica ou porta AND
• Conceito
• É a operação que produz um resultado verdade,
somente se todas a entradas forem verdade.
Exemplos
• Se, A = 1 e B = 0, então, A.B = 0.
• Se A = 0110 e B = 1101, então, A.B = 0100.
Operação lógica ou porta OR
• Conceito
• É a operação que produz um resultado verdade, se pelo
menos umas das entradas for verdade.
Exemplos
• Se, A = 1 e B = 0, então, A+.B = 1.
• Se A = 0110 e B = 1101, então, A+B = 1111.
Operação lógica ou porta NOT
• Conceito
• É a operação que produz um resultado contrário àquele
que entrou.
Exemplos
• Se, A = 0, então, Ã = 1.
• Se, A = 1, então, Ã = 0.
Operação lógica ou porta XOR
• Conceito
• É a operação que produz um resultado verdade se
somente 1 de duas entradas for verdade.
• A saída será verdade se os valores das entradas forem
diferentes.
• Conhecida como EXCLUSIVE OR.
Exemplos
• Se, A = 1 e B = 0, então, AÅB = 0 .
• Se A = 11001 e B = 11110, então, AÅB = 00111.
Expressões lógicas
• Expressão lógica
– É uma expressão algébrica formada por variáveis lógicas
(binárias), símbolos representativos de operações lógicas ,
parênteses e sinal de igualdade.
– Pode ser representada pela fórmula ou por um diagrama
interligando os símbolos correspondentes às operações.
• Prioridades
– AND tem prioridade sobre OR.
Expressões lógicas
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
• CABRAL, Tales. Circuitos Lógicos. Disponível em
www.colegiodaimaculada.com.br/~tales
• CABRAL, Tales. Álgebra Booleana e Circuitos Lógicos.
Disponível em www.colegiodaimaculada.com.br/~tales
• SOUZA, JOÃO Nunes de. Lógica para ciência da
computação. Rio de Janeiro: Elsevier, 2002.
• MENEZES, Paulo Blath. Matemática discreta para
computação e informática. Porto Alegre: Sagra Luzzatto,
2004.
• SHEINERMANN. Matemática Discreta: uma introdução.
São Paulo: Pioneira Thompsom Learning, 2003.
• GERSTING, Judith. Fundamentos Matemáticos para
ciência da computação. Rio de Janeiro: LTC, 2004.