estatística aplicada

ESTATÍSTICA APLICADA
À METODOLOGIA DA PESQUISA CIENTÍFICA,
PARA TEMAS MILITARES.
EsAO
ESTATÍSTICA APLICADA
À METODOLOGIA DA PESQUISA CIENTÍFICA,
PARA TEMAS MILITARES.
Volume 1
por
Clayton Amaral Domingues - Cap Art
1ª Edição
RIO DE JANEIRO
EDITORA EsAO --2004
© 2004 by Domingues, Clayton Amaral.
Diagramação:
Clayton Amaral Domingues – Cap Art
Revisão:
José Fernando Chagas Madeira – Maj Com
Luiz Eduardo Possídio Santos – Cap MB
Clayton Amaral Domingues – Cap Art
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
D 671
Domingues, Clayton Amaral.
Estatística aplicada: à metodologia da pesquisa científica para
temas militares/ Clayton Amaral Domingues. - Rio de janeiro: EsAO,
2004.
85 p. ; il. ; 21 cm.
Inclui Bibliografia
1. Estatística – metodologia. 2 Pesquisa – metodologia. I Título.
CDD 310
Escola de Aperfeiçoamento de Oficiais
Avenida Duque de Caxias, 2071.
Rio de Janeiro/ RJ - CEP 21615-220
SUMÁRIO
1
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO À CIÊNCIA ESTATÍSTICA.........................
1
2
CAPÍTULO 2 - ESTATÍSTICA DESCRITIVA..................................................
4
2.1
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA DESCRITIVA.............................................
4
2.1.1
VARIÁVEIS QUALITATIVAS............................................................................
5
2.1.2
VARIÁVEIS QUANTITATIVAS.........................................................................
5
2.2
TÉCNICAS DE DESCRIÇÃO GRÁFICA..........................................................
6
2.2.1
DESCRIÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS QUALITATIVAS......................
7
2.2.2
DESCRIÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
DISCRETAS...........................................................................................................
9
2.2.3
DESCRIÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
CONTÍNUAS.......................................................................................................... 13
2.3
CARACTERÍSTICAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS......
19
2.3.1
MEDIDAS DE POSIÇÃO.....................................................................................
19
2.3.1.1 MÉDIA....................................................................................................................
19
2.3.1.2 MEDIANA..............................................................................................................
21
2.3.1.3 MODA.....................................................................................................................
23
2.3.1.4 QUARTIS E PERCENTIS....................................................................................
24
2.3.2
MEDIDAS DE DISPERSÃO................................................................................
25
2.3.2.1 A AMPLITUDE TOTAL......................................................................................
25
2.3.2.2 A VARIÂNCIA.......................................................................................................
25
2.3.2.3 O DESVIO-PADRÃO............................................................................................
27
2.3.2.4 O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO....................................................................
28
2.3.3
MEDIDAS DE ASSIMETRIA..............................................................................
28
2.3.4
MEDIDAS DE ACHATAMENTO OU CURTOSE............................................
30
2.3.5
CONSIDERAÇÕES SOBRE MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE....
31
3
CAPÍTULO 3 - AMOSTRAGEM......................................................................... 32
3.1
INTRODUÇÃO....................................................................................................... 32
3.2
AMOSTRAGEM....................................................................................................
33
3.2.1
AMOSTRAGEM NÃO ALEATÓRIA.................................................................
33
3.2.1.1 AMOSTRAGEM INTENCIONAL......................................................................
33
3.2.1.2 AMOSTRAGEM VOLUNTÁRIA.......................................................................
33
3.2.2
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA...........................................................................
33
3.2.2.1 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES........................................................
33
3.2.2.2 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA.......................................................................
34
3.2.2.3 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA..................................................................
34
3.2.2.4 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS.................................................... 35
4
CAPÍTULO 4 - PROBABILIDADE.....................................................................
38
4.1
EXPERIMENTO ALEATÓRIO........................................................................... 38
4.1.1
ESPAÇO AMOSTRAL .........................................................................................
38
4.1.2
EVENTOS...............................................................................................................
39
4.2
PROBABILIDADE................................................................................................. 39
4.2.1
EVENTOS COMPLEMENTARES......................................................................
40
4.2.2
EVENTOS INDEPENDENTES............................................................................
41
4.2.3
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS.....................................................
41
4.3
EMPREGO DA PROBABILIDADE PARA COMPROVAÇÃO DE
HIPÓTESES............................................................................................................ 43
4.3.1
ALFA (ERRO TIPO I) .......................................................................................... 44
4.3.2
BETA (ERRO TIPO II) ........................................................................................
45
4.3.3
SIGNIFICADO.......................................................................................................
46
4.3.4
PODER....................................................................................................................
46
5
CAPÍTULO 5 – DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E NORMAL...........................
49
5.1
VARIÁVEL ALEATÓRIA...................................................................................
49
5.2
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE...........................................................
49
5.3
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL..............................................................................
51
5.4
DISTRIBUIÇÃO NORMAL - CURVA NORMAL............................................
55
6
CAPÍTULO 6 – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO............................................
57
6.1
INTRODUÇÃO......................................................................................................
57
6.2
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON.......................................
57
6.3
CORRELAÇÃO E CAUSA...................................................................................
60
6.4
INTERPRETAÇÃO DE “r” ................................................................................. 60
6.5
TRANSFORMAÇÃO “Z” DO “r” ......................................................................
61
6.6
REGRESSÃO LINEAR.........................................................................................
63
6.7
LINHA DE MELHOR AJUSTAMENTO E ERRO DE PREDIÇÃO............... 64
6.8
CORRELAÇÃO PARCIAL..................................................................................
65
6.9
REGRESSÃO MÚLTIPLA...................................................................................
66
ANEXO I - ESTATÍSTICA DESCRITIVA.........................................................
69
ANEXO II - COMPARAÇÕES ENTRE AMOSTRAS......................................
70
ANEXO III - RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS................................................. 71
ANEXO IV - TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS...................................
72
ANEXO V - ÁREA SUBTENDIDA PELA CURVA NORMAL REDUZIDA
DE 0 A Z.................................................................................................................. 73
ANEXO VI - VALORES CRÍTICOS DOS COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO 74
ANEXO VII TABELA PARA TRANSFORMAÇÃO DE r PARA Z................. 75
Capítulo 1
A Ciência Estatística
1. INTRODUÇÃO À CIÊNCIA ESTATÍSTICA
Podemos considerar a Estatística como a ciência que se preocupa com a organização,
descrição, análise e interpretação dos dados experimentais, visando à tomada de decisões.
A razão pela qual consideramos a Estatística uma ferramenta importante para a tomada de
decisões está no fato de que ela não deve ser considerada como um fim em si própria, mas
como um instrumento (ferramenta) fornecedor de informações que subsidiarão a tomada de
melhores decisões, baseadas em fatos e dados. A Estatística é, portanto, uma ciência meio que
tem utilidade em outros variados campos do conhecimento.
Evidentemente, tanto a parte de organização e descrição dos dados como aquela que diz
respeito a sua análise e interpretação são importantes. É razoável também que, para realizar-se
a análise e interpretação dos dados observados, procede-se primeiramente a sua organização e
descrição.
Neste contexto, podemos considerar a Ciência Estatística como dividida basicamente em
duas partes: a Estatística Descritiva que se preocupa com a organização e descrição dos dados
experimentais, e a Estatística Indutiva*(são também utilizados as termos Estatística
Inferencial ou Inferência Estatística, ou, ainda, Indução Estatística), que cuida da análise e
interpretação dos dados.
A Estatística Descritiva na sua função de organização e descrição dos dados tem as
seguintes atribuições:
A obtenção dos dados estatísticos é feita normalmente através de questionário ou de
observação direta de uma população ou amostra.
A organização dos dados consiste na ordenação e crítica quanto à correção dos valores
observados, falhas humanas, omissões, abandono de dados duvidosos etc.
A redução dos dados - O entendimento e a compreensão de grande quantidade de dados
através da simples leitura de seus valores individuais é uma tarefa extremamente árdua e
difícil mesmo para o mais experimentado pesquisador. A Estatística Descritiva apresenta duas
formas básicas para a redução do número de dados com os quais devemos trabalhar,
chamadas variável discreta e variável contínua.
A representação dos dados – Os dados estatísticos podem ser mais facilmente
compreendidos quando apresentados por meio de uma representação gráfica, o que permite a
visualização instantânea dos mesmos.
2
CIÊNCIA ESTATÍSTICA
A obtenção de algumas informações que auxiliam a descrição do fenômeno
observado (médias, proporções, tendências, índices, taxas, coeficientes) que facilitam a
descrição dos fenômenos observados.
Para darmos prosseguimento a apresentação da Estatística Descritiva, tratada mais
detalhadamente no capítulo 2, é interessante que se entenda dois conceitos:
Dados brutos - é uma seqüência de valores numéricos não organizados, obtidos
diretamente da observação de um fenômeno coletivo;
Rol - é uma seqüência ordenada de dados brutos.
Uma vez que o conceito usual do que seja a Estatística se relaciona, em geral, com o que
chamaremos de Estatística Descritiva, queremos deixar bem claro desde já qual a finalidade
da Estatística Indutiva, que será tratada no volume 2. Para tanto, dois conceitos fundamentais
devem ser apresentados: o de população ou universo e o de amostra.
Uma população ou universo, no sentido geral, é um conjunto de elementos com pelo
menos uma característica comum. Essa característica comum deve delimitar inequivocamente
quais os elementos que pertencem à população e quais os que não pertencem.
Assim, por exemplo, podemos estar interessados em realizar uma pesquisa sobre a idade
dos militares do Comando Militar do Leste. Logo, a população física que nos interessa
examinar é aquela constituída pela totalidade dos militares existentes no Comando Militar do
Leste. Isso parece extremamente simples, mas na verdade ainda não temos exatamente
caracterizada a população que nos interessa. Será ela constituída apenas por aqueles que, no
momento atual, estão na ativa? Ou deveremos incluir também os que já estão na reserva?
Além de tudo, temos também o problema de definir a característica comum que distingue
perfeitamente cada um dos elementos da população que realmente nos interessa pesquisar (do
Efetivo Profissional ou também deveríamos incluir os do Efetivo Variável?).
Uma vez perfeitamente caracterizada a população, o passo seguinte é o levantamento de
dados acerca da característica (ou características) de interesse no estudo em questão. Grande
parte das vezes, porém, não é conveniente, ou mesmo nem é possível, realizar o levantamento
dos dados referentes a todos os elementos da população. Devemos então limitar nossas
observações a uma parte da população, isto é, a uma amostra proveniente dessa população.
Uma amostra é, pois, um subconjunto necessariamente finito de uma população, pois
todos os seus elementos serão examinados para efeito da realização do estudo estatístico
desejado.
O objetivo da Estatística Indutiva é tirar conclusões sobre populações com base nos
resultados observados em amostras extraídas dessas populações. O próprio termo "indutiva"
decorre da existência de um processo de indução, isto é, um processo de raciocínio em que,
partindo-se do conhecimento de uma parte, procura-se tirar conclusões sobre a realidade, no
todo (o oposto ocorre nos processos de dedução, em que, partindo-se do conhecimento do
todo, concluímos exatamente sobre o que deve ocorrer em uma parte) .
3
CIÊNCIA ESTATÍSTICA
É fácil perceber que um processo de indução não pode ser exato. Ao induzir, portanto,
estamos sempre sujeitos a erro. A Estatística Indutiva, entretanto, irá nos dizer até que ponto
poderemos estar errando em nossas induções e com que probabilidade. Esse fato é
fundamental para que uma indução (ou inferência) possa ser considerada estatística, e faz
parte dos objetivos da Estatística Indutiva.
É intuitivo que, quanto maior a amostra, mais precisas e mais confiáveis deverão ser as
induções realizadas sobre a população. Levando esse raciocínio ao extremo, concluiríamos
que os resultados mais perfeitos seriam obtidos pelo exame completo de toda a população, ao
qual se denomina censo ou recenseamento.
Ocorre, em realidade, que diversas razões levam, em geral, à necessidade de recorrer-se
apenas aos elementos de uma amostra. Entre elas, podemos citar o custo do levantamento de
dados e o tempo necessário para realizá-lo, especialmente se a população for muito grande,
ou, então, podemos não ter acesso fácil ou possível a todos os elementos da população, etc.
Um outro problema que surge paralelamente é o de amostragem. É claro que, se nossas
conclusões referentes à população irão basear-se no resultado de amostras, certos cuidados
básicos devem ser tomados no processo de obtenção dessas amostras, ou seja, no processo de
amostragem. Muitas vezes, erros grosseiros e conclusões falsas ocorrem devido a falhas na
amostragem. Esse problema será tratado com maior destaque no Cap. 3.
Em resumo, um estudo estatístico completo, que recorra às técnicas da Estatística
Indutiva, irá envolver também, direta ou indiretamente, tópicos de Estatística Descritiva,
Cálculo de Probabilidades e Amostragem. Assim, para se desenvolver um curso razoável de
Estatística, todos esses assuntos devem ser abordados em maior ou menor grau, dentro de uma
seqüência, conforme indicado no diagrama da Fig. 1.
Amostragem
Estatística
Descritiva
Cálculo de
Probabilidades
Estatística
Indutiva
Figura 1 - Esquema geral de um curso de Estatística.
As três ferramentas necessárias para a Inferência Estatística serão abordadas neste
volume, para que no Volume 2 possamos abordar os aspectos da inferência e dos testes de
hipóteses com mais profundidade.
Os ANEXOS I, II e III, indicam as análises inferenciais adequadas para as diversas situações
de pesquisa, porém, não descrevem os procedimentos a serem adotados em cada situação
particular. Isso ocorre devido ao fato de que a decisão final depende não somente das
restrições matemáticas, mas também dos objetivos do estudo e da própria natureza dos
achados que serão produzidos. Contudo, é importante ter em mente que as tabulações
apresentadas constituem um mapa de referência para auxiliar o pesquisador na escolha do
procedimento mais adequado para cada situação de pesquisa.
Capítulo 2
Estatística Descritiva
2.1
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Vimos, no Cap. 1, que a Estatística trabalha com informações referentes ao conjuntos de
elementos observados. Nos problemas de Estatística Indutiva, esses elementos constituem
uma amostra retirada da população que se deseja estudar. Em muitos casos, entretanto, o
conjunto observado pode constituir a população inteira.
Para iniciarmos o tratamento dos dados é preciso antes que se tenha(m) bem definida(s)
qual(is) a(s) característica(s) de interesse que deverá(ão) ser verificada(s). Ou seja, não iremos
trabalhar estatisticamente com os elementos existentes, mas com alguma(s) característica(s)
desses elementos que seja(m) fundamental(is) ao nosso estudo.
Por exemplo, o conjunto de elementos a ser estudado pode ser a população de uma
Brigada. Este é o conjunto dos elementos, fisicamente definido e considerado. É claro que não
iremos nem poderemos fazer qualquer tratamento matemático com os militares que formam
esse conjunto. É preciso definir qual(is) característica(s) desses militares nos interessa(m)
averiguar. Essa característica poderá ser, digamos, a idade dos militares. A idade é uma
variável cujos valores (dados numericamente organizados em alguma escala de unidade),
dependerão dos elementos considerados. Ou seja, se houver n elementos fisicamente
considerados no estudo, esses elementos fornecerão n valores da variável idade, os quais
serão então tratados convenientemente pela Estatística Descritiva.
No presente capítulo, vamos apenas tratar do caso de variáveis unidimensionais, ou seja,
quando apenas uma característica de interesse está associada a cada elemento do conjunto
examinado. Esta característica poderá ser qualitativa ou quantitativa. Teremos, portanto,
variáveis qualitativas ou quantitativas, como nos exemplos que seguem no Quadro 1.
TIPO
NOMINAL
CARACTERÍSTICA
VARIÁVEL
DADO
Sexo
M,F.
(QUALITATIVA)
grupo sangüíneo
A, B, AB,O
Categorias
ordenadas
grau de dor,
I, F, FR, S, A.
ORDINAL
(QUALITATIVA)
escores em geral
E, MB, B, R, I.
Espectro
ordenado
com
Flexões de braço
0a+
INTERVALAR
intervalos quantificáveis
(QUANTITATIVA)
Peso
0a+
Espectro ordenado com Força
- <0< +
RAZÃO
intervalos quantificáveis
(QUANTITATIVA)
Aceleração
- <0< +
(2) Duas categorias: dicotômica ou binária; Três ou mais categorias: polinomial.
(3) Podem ser contínuas ou discretas. Diferença entre intervalar e razão está na presença
do zero absoluto (razão), mas o tratamento estatístico é o mesmo.
Categorias não ordenadas
Quadro 1 - Variáveis e seus níveis de medidas.
5
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2.1.1 VARIÁVEIS QUALITATIVAS
A variável será qualitativa quando resultar de uma classificação por tipos ou atributos,
como nos exemplos que seguem:
a) População:
Variável:
b) População:
Variável:
c) População:
Variável:
d) População:
Variável:
militares de uma Brigada.
cor dos olhos (pretos, castanhos, azuis, verdes).
peças produzidas por uma máquina.
qualidade (perfeita ou defeituosa).
óbitos em um Hospital de Guarnição, nos últimos cinco anos.
causa mortis (moléstias cardiovasculares, cânceres, moléstias do
aparelho digestivo, etc).
candidatos a um exame para o Quadro Complementar de Oficiais.
sexo (masculino ou feminino).
2.1.2 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
A variável será quantitativa quando seus valores puderem ser expressos em números. As
variáveis quantitativas podem ser subdividas em quantitativas discretas e quantitativas
contínuas. Essa classificação corresponde aos conceitos matemáticos de discreto e contínuo.
Assim, uma variável contínua será aquela que, teoricamente, pode assumir qualquer valor
num certo intervalo razoável de variação. A variável discreta, ao contrário, pode assumir
apenas valores pertencentes a um conjunto enumerável.
Apresentamos a seguir exemplos de variáveis quantitativas discretas:
a) População:
Variável:
b) População:
Variável:
c) População:
Variável:
casais residentes na Vila Militar.
número de filhos (1,2,3,...).
as jogadas possíveis com um dado.
o ponto obtido em cada jogada (1,2,3,4,5,6).
munições produzidas em uma linha de montagem.
número de defeitos por unidade (1,2,3,...).
Essas variáveis são todas discretas, pois seus possíveis valores são apenas números
inteiros não-negativos, havendo, ainda, no caso (b), a restrição de estarem compreendidos
entre 1 e 6.
Como variáveis quantitativas contínuas, temos os exemplos que seguem:
a)
b)
c)
d)
População:
Variável:
População:
Variável:
População:
Variável:
População:
Variável:
militares residentes na Vila Militar.
idade (18, 18,5, 19,3333, ...).
carga transportada por uma viatura.
peso líquido (3/4ton, 1ton, 1,5ton, 5ton,....).
peças produzidas por uma máquina.
diâmetro externo (5mm, 3cm, 1,5m, ...).
salários dos militares.
descontos em contracheque (R$ 333,33, R$ 1.005,39, R$ 1234,56, ...).
6
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Pelos exemplos apresentados, podemos perceber que os valores das variáveis discretas
são obtidos mediante alguma forma de contagem, ao passo que os valores das variáveis
contínuas resultam, em geral, de uma medição, sendo freqüentemente dados em alguma
unidade de medida.
Outra diferença entre os dois tipos de variáveis quantitativas está na interpretação de seus
valores. Assim, a interpretação de um valor de uma variável discreta é dada exatamente por
esse mesmo valor. Quando dizemos que um casal tem dois filhos, isso significa que o casal
tem exatamente dois filhos.
A interpretação de um valor de uma variável contínua, ao contrário, é a de que se trata de
um valor aproximado. Isso decorre do fato de não existirem instrumentos de medida capazes
de oferecer precisão absoluta, e, mesmo que existissem, não haveria interesse nem sentido em
se querer determinar uma grandeza contínua com todas as suas casas decimais. Assim, ao
executarmos a medição de algum valor de uma variável contínua, estamos sempre fazendo
uma aproximação, resulta que qualquer valor apresentado de uma variável contínua deverá ser
interpretado como uma aproximação compatível com o nível de precisão e com o critério
utilizado ao medir.
Por exemplo, se o diâmetro externo de uma munição, medido em milímetros, for dado por
7,62 mm, deveremos considerar que o valor exato desse diâmetro será algum valor entre
12,615 e 12,625 mm, que foi aproximado para 7,62 mm devido ao fato de a precisão adotada
na medida ser apenas de centésimos de milímetros.
Uma convenção útil adotada no presente texto é a de ser a precisão da medida
automaticamente indicada pelo número de casas decimais com que se escrevem os valores da
variável. Assim, um valor 7,60 indica que a variável em questão foi medida com a precisão de
centésimos, não sendo exatamente o mesmo que 7,6, valor correspondente a uma precisão de
décimos.
Após observar as diferenças mencionadas entre as variáveis quantitativas discretas e
contínuas, o leitor poderá ficar surpreso ao verificar que as técnicas da Estatística Descritiva
serão praticamente idênticas em ambos os casos. Isso se deve, no entanto, ao fato de,
formalmente, os dados referentes a variáveis discretas ou contínuas serem análogos, pois os
valores da variável contínua serão sempre apresentados dentro de um certo grau de
aproximação. Assim, apenas na interpretação e descrição gráfica dos resultados é que haverá
diferenças a serem consideradas, conforme veremos,
A Estatística Descritiva pode descrever os dados através de gráficos, distribuições de
freqüência ou medidas associadas a essas distribuições, conforme veremos a seguir.
2.2 TÉCNICAS DE DESCRIÇÃO GRÁFICA
O primeiro passo para se descrever graficamente um conjunto de dados observados é
verificar as freqüências (quantas vezes o valor aparece na série) dos diversos valores
existentes da variável.
7
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Definimos a freqüência de um dado valor de uma variável (qualitativa ou quantitativa)
como o número de vezes que esse valor foi observado. Denotaremos a freqüência do i-ésimo
valor observado por fi, sendo n o número total de elementos observados, verifica-se
imediatamente que o somatório de todas as freqüências individuais é igual ao número de
observações:
fi = n
A associação das respectivas freqüências a todos os diferentes valores observados define
a distribuição de freqüências. Alternativamente, poderemos usar as freqüências relativas.
Definimos a freqüência relativa (ou proporção) de um dado valor de uma variável
(qualitativa ou quantitativa), como o quociente de sua freqüência pelo número total de
elementos observados. Ou seja, denotando por fri a freqüência relativa ou proporção do iésimo elemento observado, temos:
fri = fi
n
sendo
fri = 1 = 100/100 = 100%
Se de 50 alunos (n) de um curso de pós-graduação 20 (fi) alunos terminarem o curso com
menção MB, poderemos dizer que: fri=20/50 = .40 (freqüência relativa) ou 40,00%
(percentagem), ou seja, 40,00% dos alunos terminaram o curso com menção MB
2.2.1 DESCRIÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS QUALITATIVAS
No caso de variáveis qualitativas, a descrição gráfica é muito simples, bastando
computar as freqüências ou freqüências relativas das diversas classificações existentes,
elaborando, a seguir, um gráfico conveniente. Esse gráfico poderá ser um diagrama de barras,
um diagrama circular ou outro qualquer tipo de diagrama equivalente.
Tomemos, como exemplo, um grupo de 135 candidatos a vagas em um curso de pósgraduação do Centro de Estudos de Pessoal, classificados segundo sua formação específica de
graduação (arma/quadro/serviço), conforme a Tab. 1 As duas colunas referentes ao número
de militares contêm, respectivamente as freqüências, e as freqüências relativas dadas em
porcentagens, em que a formação acadêmica se distribui entre esses candidatos. A variável qualitativa
considerada no presente exemplo é dada por essa formação, e as freqüências relativas observadas
definem a distribuição de freqüências que essa variável apresentou.
Tabela 1 - Formação específica de militares por graduação.
Número de militares
fi
fri*
Infantaria
38
.2815
Cavalaria
30
.2222
Artilharia
35
.2593
Engenharia
15
.1111
Outros
17
.1259
Total
135
1.000
* Para fins didáticos, “fri” = freqüência relativa e “%” = porcentagem
Formação
%*
28,15
22,22
25,93
11,11
12,59
100,0%
8
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
CANDIDATOS POR GRADUAÇÃO A UM CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO CEP
FORMAÇÃO ACADÊMICA
Infantaria
38
Cavalaria
30
Artilharia
35
Engenharia
15
Outros
17
0
5
10
15
20
25
30
35
40
CANDIDATOS
Figura 2 - Diagrama de barras da formação específica de militares por graduação.
Esses dados podem ser graficamente representados de diversas formas.Na Fig. 2 eles
estão representados por meio de um diagrama de barras e, na Fig. 3 por um diagrama circular.
A vantagem da representação gráfica está em possibilitar uma rápida impressão visual de
como se distribuem as freqüências ou as freqüências relativas no conjunto de elementos
examinados.
CANDIDATOS POR GRADUAÇÃO A UM CURSO
DE PÓS-GRADUAÇÀO DO CEP
Outros
12,6%
Engenharia
11,1%
Cavalaria
22,2%
Infantaria
28,1%
Artilharia
25,9%
Figura 3 - Diagrama circular da formação específica de militares por graduação.
9
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Entretanto deve-se mencionar ainda a possibilidade de se considerarem distribuições
segundo outros critérios que não propriamente a freqüência ou a freqüência relativa das
observações. Como exemplo, tomemos as superfícies das cinco regiões geográficas que
compõem o Brasil, apresentadas na Tab. 2, conforme dados do IBGE (Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística). Calculando-se as porcentagens correspondentes, pode-se construir o
diagrama circular dado na Fig. 4.
Tabela 2 - Regiões geográficas do Brasil.
Superfície (km2)
%
Norte
3.869.637,9
45,30
Centro-oeste
1.612.077,2
18,90
Nordeste
1.561.177,8
18,30
Sudeste
927.286,2
10,80
Sul
577.214,0
6,70
Região
Total
8.547.393,1
100,00
ÁREA TERRITORIAL NACIONAL CORRESPONDENTE A CADA REGIÃO DO BRASIL
10,80%
6,70%
45,30%
Norte
Centro-oeste
Nordeste
Sudeste
18,30%
Sul
18,90%
Figura 4 - Diagrama circular das regiões geográficas do Brasil.
2.2.2 DESCRIÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS DISCRETAS
No caso das variáveis quantitativas discretas, a representação gráfica será também,
normalmente, feita por meio de um diagrama de barras. A diferença em relação ao caso
anterior está em que, sendo a variável quantitativa, seus valores numéricos podem ser
representados num eixo de abscissas, o que facilita a representação. Note-se que, aqui, existe
uma enumeração natural dos valores da variável, o que não havia no caso das variáveis
qualitativas.
A construção do diagrama de barras é feita, desde que se disponha da tabela de
freqüências. Esta, por sua vez, pode ser facilmente construída se conhecemos todos os valores
da variável no conjunto de dados. As barras do diagrama podem ser verticais ou horizontais
conforme a disposição das variáveis nos eixos cartesianos.
10
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Vamos, a titulo de exemplo, representar graficamente o conjunto dado a seguir,
constituído hipoteticamente por vinte valores da variável “número de erros de decriptografia”
obtidos a partir de mensagens recebidas em um centro de mensagens. Sejam os seguintes os
valores obtidos:
2
4
2
1
2
3
1
0
5
1
0
1
1
2
0
1
3
0
1
2
Usando a letra x para designar os diferentes valores da variável, podemos construir a
distribuição de freqüências dada na Tab. 3, a partir da qual elaboramos o diagrama de barras
correspondente, dado pela Fig. 5.
Tabela 3 - Distribuição de freqüências de erros de decriptografia por mensagem.
ERROS DE DECRIPTOGRAFIA POR MENSAGEM
xi
fi
0
4
1
7
2
5
3
2
4
1
5
1
fi=
20
ERROS DE DECRIPTOGRAFIA AVALIADAS 20 MENSAGENS
No
8
7
7
6
5
4
5
4
3
2
2
1
1
1
4
5
0
0
1
2
3
NÚMERO DE ERROS
Figura 5 - Diagrama de barras para freqüências de erros de decriptografia por mensagem.
11
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Caso o interesse fosse pela representação gráfica das freqüências relativas da Tab. 3
poderíamos representá-la conforme a Tab. 4, a partir da qual elaboraríamos o diagrama de
barras correspondente, dado pela Fig. 6.
Tabela 4 - Distribuição fri dos erros de decriptografia por mensagem.
ERROS DE DECRIPTOGRAFIA POR MENSAGEM
xi
fi
fri
0
4
.200
1
7
.350
2
5
.250
3
2
.100
4
1
.050
5
1
.050
fi= 20
fri= 1
ERROS DE CRIPTOGRAFIA POR MENSAGEM
40,0%
35,0%
30,0%
25,0%
20,0%
15,0%
10,0%
5,0%
0,0%
0
1
2
3
4
5
NÚMERO DE ERROS
Figura 6 - Diagrama de barras para freqüências relativas de decriptografia por mensagem.
O diagrama de barras, conforme já mencionamos, mostra a distribuição das freqüências no
conjunto de dados, Tratando-se de variáveis quantitativas, uma outra forma de representação
gráfica é também possível, tendo, às vezes, interesse, com base nas freqüências acumuladas,
as quais denotaremos por Fi. A freqüência acumulada, em qualquer ponto do eixo das
abscissas, é definida como a soma das freqüências de todos os valores menores ou iguais ao
valor correspondente a esse ponto. Analogamente, teríamos as freqüências relativas
acumuladas.
Fi= fi
e
Fri= fri
12
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Voltando ao exemplo, podemos facilmente verificar que as freqüências acumuladas (Fi) e
as freqüências relativas acumuladas (Fri), correspondentes aos valores notáveis da variável,
são as dadas na Tab. 5.
Tabela 5 - Distribuição Fi e Fri dos erros de decriptografia por mensagem.
Erros de decriptografia por mensagem
xi
fi
Fi
fri
Fri
0
4
4
.200
.200
1
7
11
.350
.550
2
5
16
.250
.800
3
2
18
.100
.900
4
1
19
.500
.950
5
1
20
.500
1.000
20
-
1
-
A partir da Tab. 5 pode-se construir o gráfico das freqüências acumuladas apresentado
na Fig. 7, e o gráfico das freqüências relativas acumuladas, dado na Fig. 8..
ERROS DE CRIPTOGRAFIA POR MENSAGEM
ERROS DE CRIPTOGRAFIA POR MENSAGEM
Fi 25
Fri 120,0%
20
100,0%
80,0%
15
60,0%
10
40,0%
5
20,0%
0
0,0%
0
1
2
3
4
5
Nº DE ERROS
Figura 7 - Freqüências acumuladas dos erros
de decriptografia em 20 mensagens.
0
1
2
3
4
5
Nº DE ERROS
Figura 8 - Freqüências relativas acumuladas dos
erros de decriptografia em 20 mensagens.
De acordo com a Fig. 7 pode-se identificar que 4 mensagens não contêm erro de
decriptografia, 11 mensagens contêm até um erro de decriptografia, 16 mensagens contêm até
2 erros de decriptografia, e assim por diante.
Da mesma forma, de acordo com a Fig. 8 pode-se identificar que apenas 20,00% das
mensagens não contêm erro de decriptografia, 55,00% das mensagens contêm até um erro de
decriptografia, 90,00% das mensagens contêm até 3 erros de decriptografia, e assim por
diante.
13
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2.2.3 DESCRIÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS CONTÍNUAS
No caso das variáveis quantitativas contínuas, o procedimento até a obtenção da tabela de
freqüências pode ser análogo ao visto no caso anterior. Entretanto o diagrama de barras não
mais se presta à correta representação da distribuição de freqüências, devido à natureza
contínua da variável. Examinemos um exemplo: tomemos a amostra a seguir, constituída por
25 valores da variável diâmetro de peças produzidas por uma máquina, dados em milímetros,
conforme a tabela primitiva abaixo:
21,5
21,7
21,3
21,5
21,4
21,4
21,6
21,5
21,9
21,5
21,8
21,4
21,7
21,6
21,6
21,5
21,2
21,4
21,3
21,9
21,6
21,7
21,4
21,5
21,5
Na Tab. 6 temos esses mesmos dados organizados em termos de freqüências e de
freqüências relativas, simples e acumuladas.
Tabela 6 - Distribuições fi, fri, Fi e Fri do diâmetro de peças
produzidas por uma máquina.
Diâmetro de peças produzidas por uma máquina
Classe
Medida
fi
Fi
fr
(i)
(xi)
21,15 21,25
21,2
.040
10
10
.040
21,25
21,35
21,3
23
33
.092
.132
21,35
21,45
21,4
47
80
.188
.320
21,45
21,55
21,5
70
150
.280
.600
21,55
21,65
21,6
38
188
.152
.752
21,65
21,75
21,7
32
220
.128
.880
21,75
21,85
21,8
12
232
.048
.928
21,85
21,95
21,9
18
250
250
-
.072
1.000
1,00
-
=
-
Fri
Ao passarmos à representação gráfica, porém, devemos lembrar a correta interpretação
dos valores das variáveis contínuas. Assim, por exemplo, sabemos que a freqüência 5
associada ao valor 21,4 significa, na verdade, que temos cinco valores compreendidos entre os
limites 21,35 e 21,45, que foram aproximados, no processo de medição, para 21,4. Logo, uma
representação gráfica correta deverá associar a freqüência 5 ao intervalo 21 ,35 2 1,45.
Isso se faz por meio de uma figura formada com retângulos cujas áreas representam as
freqüências dos diversos intervalos existentes. Tal figura chama-se histograma e é
apresentada na Fig. 9.
14
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
DIÂMETRO DE PEÇAS PRODUZIDAS POR UMA MÁQUINA
fi 80
70
60
50
40
30
20
10
0
21,15
21,25
21,35
21,45
21,55
21,65
21,65
21,85
21,95
mm
Figura 9 - Histograma das medidas do diâmetro de peças produzidas por uma máquina
(representação pelas classes).
Vemos que, no caso das variáveis contínuas, as freqüências serão, na verdade, associadas
a intervalos de variação da variável e não a valores individuais. A tais intervalos chamaremos
classes de freqüências. As classes de freqüências são comumente representadas pelos seus
pontos médios, conforme a Fig. 10.
DIÂMETRO DE PEÇAS PRODUZIDAS POR UMA MÁQUINA
fi 80
70
60
50
40
30
20
10
0
21,2
21,3
21,4
21,5
21,6
21,7
21,8
21,9
mm
Figura 10 - Histograma das medidas do diâmetro de peças produzidas por uma máquina
(representação pelos pontos médios das classes).
Uma outra representação gráfica que, como o histograma, pode ser feita no caso de
variáveis contínuas é dada pelo polígono de freqüências, que se obtêm unindo-se os pontos
médios dos patamares. Para completar a figura, consideram-se duas classes laterais com
freqüência nula.
15
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Uma exceção bastante comum a essa regra aparece no caso de variáveis essencialmente
positivas cujo histograma se inicia no valor zero, pois não haveria sentido em se considerar
um intervalo com valores negativos. Na Fig. 11 temos o polígono de freqüências
correspondente ao histograma da Fig. 10.
DIÂMETRO DE PEÇAS PRODUZIDAS POR UMA MÁQUINA
fi 80
70
60
50
40
30
20
10
0
21,2
21,3
21,4
21,5
21,6
21,7
21,8
21,9
mm
Figura 11 - Polígono de freqüências das medidas do diâmetro de peças produzidas por uma máquina.
Podemos ainda construir o polígono de freqüências acumuladas. Este é traçado
simplesmente verificando-se as freqüências acumuladas (Fi ou Fri) ao final de cada uma das
classes. Pode ser construído em termos das freqüências acumuladas (Fig.12a) ou das
freqüências acumuladas relativas (Fig. 12b), conforme os dados da Tab. 6.
DIÂMETRO DE PEÇAS PRODUZIDAS POR UMA MÁQUINA
DIÂMETRO DE PEÇAS PRODUZIDAS POR UMA MÁQUINA
Fi
Fri
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
21,15 21,25 21,35 21,45 21,55 21,65 21,75 21,85 21,95
mm
Figura 12.a - Ogiva de Galton (Fi) dos diâmetros de
peças produzidas por uma máquina.
21,15 21,25 21,35 21,45 21,55 21,65 21,75 21,85 21,95
mm
Figura 12.b - Ogiva de Galton (Fri) dos diâmetros
de peças produzidas por uma máquina.
Caso uma peça, para ser aprovada, não pudesse medir menos que 21,65mm, por meio da
Ogiva de Galton Fi (Fig. 12a) podemos notar que 188 peças estariam fora das
especificações.Se as peças produzidas não pudessem medir 21,55mm ou mais, por meio da
Ogiva de Galton Fri (Fig. 12b) é possível notar que 60,00% das peças estariam aprovadas.
16
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
No exemplo anterior vimos que, no caso das variáveis contínuas, a consideração de
classes de freqüências é fundamental para a correta representação gráfica. Naquele exemplo
as classes consideradas tinham por pontos médios os próprios valores originais do conjunto de
dados disponíveis, o que foi suficiente para a obtenção de uma representação gráfica
satisfatória.
Muitas vezes, entretanto, uma representação satisfatória dos dados somente é conseguida
pelo seu agrupamento em classes de freqüências que englobam diversos valores da variável.
A freqüência de cada classe será, nesse caso, igual à soma das freqüências de todos os valores
existentes dentro da classe (esse procedimento também pode ser aplicado no caso de variáveis
discretas, a fim de se obter uma representação mais conveniente).
O procedimento descrito corresponde a uma diminuição proposital da precisão com que
os dados foram computados. Ou seja, propositalmente deixamos de lado uma parcela da
informação contida nos dados originais, tendo em vista obter uma representação mais
adequada.
O problema prático a resolver, em tais casos, é o de determinar qual o número de classes
a constituir, qual o tamanho ou amplitude dessas classes e quais os seus limites. É claro que,
por simplificação, recomenda-se, em muitos casos, a construção de classes de mesma
amplitude. Usaremos a seguinte notação:
n:
k:
AT:
Lmax:
lmin:
h:
Li:
li:
número total de dados disponíveis;
número de classes;
amplitude total da distribuição de freqüência (Lmax – lmin);
maior valor da distribuição de freqüências;
menor valor da distribuição de freqüências;
amplitude do intervalo de classes, diferença entre os limites (Li-li)
limite máximo da classe (normalmente aparente);
limite mínimo da classe (valor real);
A questão do número de classes é teoricamente controvertida. Diversos autores
apresentam soluções diferentes. Entretanto, com um pouco de bom-senso e experiência,
chega-se sem grande dificuldade a valores satisfatórios para h, k e para os limites das classes.
A obtenção de soluções simples é, em geral, desejável.
Para fins de orientação adotaremos a fórmula proposta por Sturges:
k= 1+3,3 . log n
Vamos definir a amplitude do conjunto de dados como sendo a diferença entre o maior e
o menor dos valores observados. Vamos designá-la por AT. É claro que, uma vez fixado k:
h=AT
k
Entretanto é importante notar que a amplitude das classes não deverá ser fracionária em
relação à precisão com que os dados são apresentados, pois isso impossibilitaria uma correta
subdivisão em classes.
Notemos também que os limites das classes são, muitas vezes, apresentados sob formas
que não correspondem ao significado real dos valores contidos na classe.
17
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Dizemos, então, que temos limites aparentes. Em tais casos, pode ser conveniente a
determinação dos limites reais das classes. Tomemos como exemplo o conjunto de valores a
seguir, que suporemos sejam as observações do número de repetições do exercício remador
executado por n = 50 soldados organizados no ROL (dados brutos obtidos, organizados em
ordem crescente ou decrescente) abaixo:
ROL do número de repetições do exercício remador
41
50
53
55
61
43
50
53
55
62
44
50
54
55
62
46
51
54
56
63
46
51
54
56
64
48
51
54
57
64
48
51
54
57
65
48
53
54
58
67
49
53
55
59
68
49
53
55
61
71
É fácil verificar que a distribuição de freqüências diretamente obtida a partir desses dados
seria dada por uma tabela razoavelmente extensa. A representação gráfica dessa distribuição,
apresentada na Fig. 13 deixa de ser conveniente para esses dados.
RESULTADO OBTIDO POR 50 SOLDADOS NO
EXERCÍCIO REMADOR
Nr
7
6
5
4
3
2
1
0
41 43 44 46 48 49 50 51 53 54 55 56 57 58 59 61 62 63 64 65 67 68 71
Nr de repetições
Figura 13 - Gráfico de colunas do resultado obtido por 50 soldados no exercício remador
Vamos determinar o número de classes:
Dado que: k= 1+3,3 . log n
Onde:
n = 50
log 50= 1,69897
Logo:
k= 1+3,3 . 1,69897
k= 1+ 5,606601
k= 6,606601 (6 ou 7?)
Quadro 2 – Cálculo do número de classes de uma distribuição de freqüências.
Notemos que o valor de k pode ser adequado de acordo com AT para que se acomodem
os dados de acordo com o intervalo de classe mais conveniente:
Dado que: h=AT/k
Onde:
AT = 71-41= 30
k=6
k=7
Logo:
h =30/6 = 5 *
h =30/7 = 4,28571
*Adotaremos k = 6, pois h será inteiro (5)
Quadro 3 – Cálculo da amplitude de classe de uma distribuição de freqüências.
18
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Na Tab 7 são dados os limites das classes e as freqüências respectivas. Nessa tabela,
apresentamos os limites das classes dados de três maneiras equivalentes. As duas primeiras
são formas usualmente empregadas e correspondem a limites aparentes. A terceira indica os
limites reais dessas classes. Note-se que não há possibilidade de dúvida quanto a que classe
cada elemento pertence.
Tabela 7 - Agrupamento em classes de freqüências do resultado
obtido por 50 soldados no exercício remador.
Classes
Limites aparentes
Primeira notação
40
45
50
55
60
65
70
45
50
55
60
65
70
75
Limites reais
Segunda notação
40
45
50
55
60
65
70
44
49
54
59
64
69
74
39,5
44,5
49,5
54,5
59,5
64,5
69,5
44,5
49,5
54,5
59,5
64,5
69,5
74,5
Ponto
médio
(xi)
42.5
47.5
52.5
57.5
62.5
67.5
70.5
=
fi
3
8
16
12
7
3
1
50
O histograma e o polígono de freqüências, correspondentes ao agrupamento feito, são
dados na Fig. 14 Vemos que essa representação gráfica é muito mais apropriada do que a
anteriormente obtida.
RESULTADOS DO EXERCÍCIO REMADOR
Nr
20
15
10
5
0
42.5
47.5
52.5
57.5
62.5
67.5
70.5
Repetições
Figura 14 - Representação gráfica dos dados agrupados.
Muitas vezes, o polígono de freqüências obtido sugere o traçado de uma curva
contínua.Em outras palavras, se os dados provém de uma amostra, eles estão sugerindo qual
seria, aproximadamente, a distribuição da população, para a qual poderíamos adotar algum
modelo ideal de distribuição. Um modelo freqüentemente usado é o da distribuição normal,
estudada pelo Cálculo de Probabilidades.
19
ESTATÍSTICA DESCRITIVA – MÉDIA
2.3 CARACTERÍSTICAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
Além da descrição gráfica, muitas vezes é necessário sumariar certas características das
distribuições de freqüências por meio de certas quantidades, que iremos estudar a seguir. Tais
quantidades são usualmente denominadas de medidas da distribuição de freqüências, por
procurarem quantificar alguns de seus aspectos de interesse. Temos assim, as chamadas
medidas de posição, de dispersão, de assimetria e de curtose.
As medidas de posição e de dispersão são as mais importantes, servindo para localizar as
distribuições e caracterizar sua variabilidade, tendo grande aplicação em problemas de
Estatística Indutiva. As medidas de assimetria e de achatamento ajudam a caracterizar a forma
das distribuições.
2.3.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO
As medidas de posição servem para localizar a distribuição de freqüências sobre o eixo
de variação da variável em questão. Estudaremos cinco dos principais tipos de medidas de
posição: a média, a mediana, a moda, os quartis e os percentis.
A média e a mediana indicam, por critérios diferentes, o centro da distribuição de
freqüências. Por essa razão, costuma-se dizer também que são medidas de tendência central.
A moda indica a região de maior concentração de freqüências na distribuição. Os quartis
(Q1, Q2, Q3) dividem o conjunto ordenado de valores em quatro subconjuntos com igual
número de elementos (25% dos elementos da seqüência). Pode haver o interesse em dividir a
seqüência de dados em dez partes iguais, para tanto utilizamos os decis (não abordados neste
manual por tratarem-se de um tipo particular de percentis). Os percentis por sua vez dividem
a distribuição de freqüência em cem partes iguais (note que: D1 = P10, D2 = P20, D3 = P30, D4
= P40, D5 = P50, D6 = P60, D7 = P70, D8 = P80, e D9 = P90).
2.3.1.1 MÉDIA ( X )
A média de uma distribuição de freqüências é o valor obtido quando todos os dados
observados são somados e divididos pelo número de observações. Normalmente utiliza-se a
média aritmética (quando os resultados dispostos em tabela primitiva ou ROL), ou a média
ponderada (quando os resultados estão categorizados em uma tabela de freqüências)
Sendo xi (i = 1,2,...,n) os valores da variável, e fi a média aritmética pode ser calculada pela
seguinte fórmula:
X= xi / n
Por exemplo, utilizaremos os dados do Rol apresentado na Pág.17. (x1=41, x2=43, x3=46,
x4=46, x5=,..., x50=71).
Onde:
xi= 27311
n = 50
Dado que: X= xi / n
Logo:
X= 2731 / 50
X= 54,62 ~= 55
Poderíamos dizer que "em média", os
soldados executaram 55 abdominais.
Notemos que X.n = total de abdominais
executadas pelos 50 soldados, ou seja, 2731.
Quadro 4 – Cálculo da média aritmética.
20
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Para o cálculo da média ponderada tomemos, por exemplo, os dados da Tab. 6.
apresentados na Tab 8.
Tabela 8. Cálculo da média ponderada.
Diâmetro de peças produzidas por uma máquina
Classe
(i)
21,15 21,25
(xi)
fi
fixi
21,2
1
21,2
21,25
21,35
21,3
2
42,6
21,35
21,45
21,4
5
107
21,45
21,55
21,5
7
150,5
21,55
21,65
21,6
4
21,65
21,75
21,7
3
86,4
65,1
21,75
21,85
21,8
1
21,8
21,85
21,95
21,9
2
43,8
-
25
538,4
=
Fórmula da média ponderada:
X= fixi
Considerando:
n
xi= ponto médio da classe
fi= freqüência de cada classe
n= número de observações
Onde:
Logo:
n = 25
fixi= 538,4
X= 538,4 / 25
X= 21, 54
Poderíamos dizer que as peças produzidas pela
máquina possuem um diâmetro médio de
21,54mm.
Quadro 5 – Cálculo da média ponderada.
Considerando uma distribuição por classes de freqüências, podemos definir sua média
como o valor obtido, substituindo os xi pelos pontos médios das classes e considerando as fi
corno as respectivas freqüências (ou freqüências relativas se for o caso). A média assim
calculada para os dados agrupados em classes deverá ser aproximadamente igual à média
aritmética exata dos n dados originais.
Dentre as propriedades da média, podemos destacar as seguintes:
a. multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a média do
conjunto fica multiplicada por essa constante;
b. somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma variável, a
média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa constante.
Utilizando as propriedades citadas, podemos introduzir simplificações no cálculo da
média, o que será particularmente útil se os valores xi forem elevados e o cálculo precisar ser
feito manualmente. Como hoje é muito comum dispor-se de calculadoras eletrônicas ou
softwares que realizam esses cálculos, não nos preocuparemos com essa questão.
21
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2.3.1.2 MEDIANA (Md)
A mediana é uma quantidade calculada com base na ordem dos valores que formam o
conjunto de dados.
Definimos a mediana de um conjunto de n valores ordenados como o valor ou dado que
divide a série estatística ao meio (50%dos valores serão menores e 50%dos valores serão
maiores que o valor da mediana). A mediana é geometricamente interpretada como ponto tal
que uma vertical por ele traçada divide a área sob o histograma em duas partes iguais.
Nas variáveis discretas:
Sendo n impar, a Md é igual ao valor de ordem (n + 1)/2 desse conjunto.
Dados os valores:
35
36
37
38
40
40
41
Logo:
46
Md = 40
Dado que: Md= (n + 1)/2
Onde:
n=9
43
Md= (9 + 1)/2
Md= 5º elemento
Isto quer dizer que ela possui o valor de x5.
Notemos que o x5 (40), é o valor que divide a
série estatística ao meio, 50% dos valores são
menores ou iguais a 40 e 50%dos valores serão
maiores ou iguais a 40.
Quadro 6 – Cálculo da mediana com n impar.
Se n for par, a Md poderia ser definida como valor médio entre o de ordem n/2 e o de
ordem (n/2) + 1.
Dados os valores:
12
14
14
15
Dado que: n/ 2< Md < (n/ 2) +1
8/ 2< Md < (8/ 2) +1
4º< Md < 5º
Md =(15+16)/2
Md =15,5
Isto quer dizer que ela possui o valor médio
entre o 4° e o 5° elemento da série
(x4+x5)/2 que é (15+16)/2 = 15,5.
Onde:
n=8
16
16
17
20
15 < Md < 16
Logo:
Notemos que o valor 15,5, embora por vezes
não tenha um significado real para a variável, é
o valor que divide a série Estatística ao meio,
50%dos valores são menores ou iguais a 15,5 e
50%dos valores serão maiores ou iguais a 15,5.
Quadro 7 – Cálculo da mediana com n par.
22
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Considerando, agora, uma distribuição em classes de freqüências, podemos calcular um
valor para sua mediana pela expressão:
Md = l + ( p` - Fant) . h
f
Onde:
l:
p`:
fi:
Fant:
h:
f:
tal que:
p`= fi
2
limite inferior da classe que contém a Md
número que define a posição em que se encontra a Md (classe que contém a Md)
número de elementos do conjunto de dados
freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém a Md
amplitude da classe que contém a Md
freqüência da classe que contêm a Md
Quadro 8 – Fórmula da mediana para variáveis contínuas.
Tomemos, por exemplo, os dados da Tab. 6 apresentados na Tab. 9.
Tabela 9. Cálculo da mediana.
Diâmetro de peças produzidas
por uma máquina
Classe
Medida
fi
Fi
(i)
(xi)
21,15 21,25
21,2
1
1
3
21,25 21,35
21,3
2
21,35
21,45
21,45
21,55
21,4
21,55
8
21,5
5
7
15
21,65
21,6
4
19
21,65
21,75
21,7
3
22
21,75
21,85
21,8
1
23
21,85
21,95
21,9
2
25
-
25
=
Onde:
fi=25
n = 25
Dado que: p`= fi
2
Logo:
p`= 25/2 = 12,5
Dado que: Md = l + (p` - Fant).h
f
Logo:
Md = 21,45+ (12,5-8).0,1
Onde:
l=21,45
Fant= 8
7
f=7
Md =21,51
h=21,55-21,45=0,1
Escolhemos a 4ª classe, pois ela contém p`.
Notemos que o valor 21,51mm é o valor que
divide a série estatística ao meio.
Quadro 9 – Cálculo da mediana.
A mediana pode ser usada como alternativa, em relação à média, para caracterizar o
centro do conjunto de dados. Em certos casos, efetivamente, seu uso é mais conveniente, Por
exemplo, no caso de distribuições de rendas, a mediana é, em geral, melhor indicador central
que a média, pois não sobre a influência de valores extremos. Como ilustração, imaginemos
um conjunto de doze pessoas com as seguintes rendas mensais (R$):
2.500
4,800
2.700
5.000
3,000
5.500
3.200
6.000
3.300
7.000
4.200
80.000
A média desses doze valores é 10.600, ao passo que sua mediana é 4.500, não tendo sido
influenciada pelo valor extremo 80.000, muito maior que os demais valores. Vemos, nesse
caso, que a mediana fornece uma melhor idéia do centro da distribuição.
23
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2.3.1.3 MODA (Mo)
A moda é uma medida de posição, pois indica a região das máximas freqüências.
Definimos a moda (ou modas) de um conjunto de valores, como o valor (ou valores) de
máxima freqüência. Assim, no exemplo da Fig.13, a moda é 54 pois é o valor que mais se
repete, no caso da Tab. 7, a classe modal (kMo) é a 50
55.
No caso de distribuições de freqüências em classes de mesma amplitude, é comum
definir-se também a moda como um ponto pertencente á classe modal, dado por
Mo = l +
Onde:
l:
f*:
fant:
fpost:
h:
1 .h
1+ 2
tal que:
1 = f* - fant
2 = f* - fpost
limite inferior da classe que contém a Mo;
freqüência da classe que contêm a Mo;
freqüência da classe anterior à classe que contêm a Mo;
freqüência da classe posterior à classe que contêm a Mo;
amplitude da classe que contém a Mo.
Quadro 10 – Fórmula da moda.
Para o cálculo da moda tomemos, por exemplo, os dados da Tab. 7 apresentados na
Tab. 10.
Tabela 10. Cálculo da moda.
Diâmetro de peças produzidas
por uma máquina
Classe
Medida
fi
Fi
(i)
(xi)
21,15 21,25
21,2
1
1
21,25
21,35
21,35
21,45
21,3
2
3
21,4
5
8
21,45
21,55
21,5
7
15
21,55
21,65
21,6
4
19
21,65
21,75
21,7
3
22
21,75
21,85
21,8
1
23
21,85
21,95
21,9
2
25
-
25
=
Dado que:
Onde:
kMo= 4ªclasse
f*=7
fant= 5
fpost= 4
1 = f*-fant
2 = f*-fpost
Logo:
1=7–5=2
2=7–4=3
Dado que: Mo = l +
1 .h
1+ 2
Onde:
Logo:
1= 2
Mo = 21,45 + 2 . 0,1
2= 3
2+3
l= 21,45
Mo = 21,49
h= 21,55-21,45=0,1
Quadro 11 – Cálculo da moda.
Relação empírica entre média, mediana e moda
A seguinte relação empírica em geral subsiste aproximadamente para os conjuntos de
dados observados:
X - Mo = 3( X – Md)
24
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Essa expressão pode ser apresentada sob diversas formas e indica geometricamente que a
mediana situa-se entre a média e a moda, sendo sua distância à moda o dobro de sua distância
à média. Sua verificação na prática tende a ser mais perfeita para conjuntos maiores de dados
e sendo a moda calculada com base em dados agrupados em classes de freqüências.
2.3.1.4 QUARTIS (Q) E PERCENTIS (P)
A idéia de mediana, como vimos, é a de dividir o conjunto ordenado de dados em dois
subconjuntos com igual número de elementos. Essa idéia pode ser generalizada.
Como dito anteriormente, os quartis (Q1, Q2, Q3), dividem um conjunto ordenado de
valores em quatro subconjuntos com igual número de elementos. Sua determinação seria feita
de modo semelhante á da mediana. O segundo quartil (Q2), obviamente, é a própria mediana.
Se a mediana divide a distribuição de freqüências ao meio, os quartis dividem a dividem
em ¼ e 3/4 , ou seja:
25% dos valores < Q1 < 75% dos valores
75% dos valores < Q3 < 25% dos valores
12
14
14
Q1 =14
15
16
Md =15,5
16
17
20
Q3 =16,5
Os valores dos quartis também podem ser obtidos em distribuições contínuas, de acordo
com a fórmula dos percentis (fórmula genérica este tipo de medida de posição), de acordo
com o quadro 12.
P = l + ( p`- Fant) .h
f
Onde:
l:
p`:
fi:
Fant:
h:
f:
c:
tal que:
p`= c fi
100
limite inferior da classe que contém a posição desejada
posição em que se encontra o percentil (classe que contém a P)
número de elementos do conjunto de dados
freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém a P
amplitude da classe que contém a P
freqüência da classe que contêm a P
porcentagem que se deseja obter
Quadro 12 – Fórmula geral para quartis e percentis.
Para obtermos o valor que divide uma distribuição de freqüências, sendo que 15% dos
valores sejam menores ou iguais a este valor, então deveríamos calcular P15, logo c=15
Sabemos que Q1 é o valor que divide a distribuição de freqüências em 25% e 75%, então
podemos concluir que o valor de Q1 = P25, logo c=25
Sabemos que Q3 é o valor que divide a distribuição de freqüências em 75% e 25%, então
podemos concluir que o valor de Q3 = P75, logo c=25
25
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2.3.2 MEDIDAS DE DISPERSÃO
As informações fornecidas pelas medidas de posição podem ser insuficientes para
compararmos e classificarmos as séries estatísticas quanto a sua homogeneidade, dispersão ou
afastamento dos dados.
As medidas de dispersão surgem como maneira de indicar o quanto os dados se
apresentam dispersos em torno da região central (medida de posição). Caracterizam, portanto,
o grau de variação existente no conjunto de valores. As principais medidas de dispersão são: a
amplitude total, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação.
2.3.2.1 A AMPLITUDE TOTAL (AT)
A amplitude total, já mencionada no item 2.2.3, é definida como a diferença entre o maior e o
menor valores do conjunto de dados:
AT = Lmax – lmin.
É claro que o valor de AT está relacionado com a dispersão dos dados. Entretanto, por
depender de apenas dois valores do conjunto de dados, a amplitude total contém relativamente
pouca informação quanto à dispersão. Salvo aplicações no controle da qualidade, a amplitude
total não é muito utilizada como medida de dispersão.
2.3.2.2 A VARIÂNCIA (s2)
A variância é a média dos quadrados das diferenças dos valores em relação à sua própria
média, e para dados ordenados em tabelas primitivas ou ROL é dada por:
s2 = (xi – X) 2
n-1
Notemos que xi – X corresponde ao desvio que cada elemento possui em relação à
média, e que utilizamos o artifício matemático de elevarmos esta diferença ao quadrado [(xi –
X)² ] , pois caso contrário o somatório teria o valor zero [ (xi – X)=0], tornando sem sentido a
fórmula matemática.
Analogamente ao cálculo da média, se os dados constituírem uma distribuição por
classes de freqüências, poderemos calcular sua variância pela expressão abaixo, onde xi são
os pontos médios das classes e fi as respectivas freqüências.
s2 = (xi – X ) 2fi
n-1
Como exemplo, vamos executar o cálculo da variância de um conjunto pequeno de dados,
formado pelos 20 valores seguintes:
10
12
10
12
10
12
11
13
11
13
A Tab. 11 mostra o cálculo de X de s2.
11
13
11
13
12
14
12
14
12
14
26
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Tabela 11. Cálculo da variância (s2)
xi
fi
fixi
xi-X ( xi-X )²
10
3
30
-2
4
12
11
4
44
-1
1
4
12
6
72
0
0
0
13
4
52
1
1
4
14
3
42
2
4
12
= 20
240
0
10
32
( xi-X )²fi
O somatório dos desvios em relação à
média é igual a zero.
Pelo artifício matemático podemos
observar o quadrado dos desvios.
Dado que: s2 = (xi – X) 2fi
n-1
Onde:
Logo: s2 =32/20
(xi – X) 2fi= 32
n=5
s2 = 1,68
X= 240/20=12
Quadro 13 – Cálculo da variância.
Utilizamos o exemplo da Tab.11. para demonstrarmos que a variância é oriunda dos
desvios de cada elemento (ou ponto médio de classe), em relação à média da série estatística.
No entanto esta fórmula refere-se ao fato de se estar calculando a variância de uma amostra,
incluindo-se n-1 como fator de correção, caso se deseje calcular a variância populacional,
conhecido N e a média populacional µ deve-se utilizar a fórmula abaixo:
2
= (xi – µ) 2
N
A variância tem, entre outras, as seguintes propriedades:
a. multiplicando se todos os valores de uma variável por uma constante, a variância do
conjunto fica multiplicada pelo quadrado dessa constante;
b. somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma variável a
variância não se altera.
A importância de estudarmos a variância dos dados está no fato da possibilidade de
compararmos distribuições amostrais e populacionais. Neste sentido, quanto maior a
variância, menor será a concentração dos dados em torno da média. Por outro lado, quanto
menor a variância, mais homogênia será a distribuição de freqüências.
A variância é uma medida de dispersão extremamente importante na teoria estatística. Do
ponto de vista prático, ela tem o inconveniente de se expressar uma unidade quadrática em
relação à da variável em questão, o que nem sempre faz sentido. Esse inconveniente é sanado
com a definição do desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância .
27
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2.3.2.3 O DESVIO-PADRÃO (s)
Definiremos o desvio-padrão como a raiz quadrada positiva da variância. Sendo expresso
na mesma unidade da variável, ele é mais realístico para efeito da comparação de dispersões e
juntamente com a média possibilita uma visão mais consistente a respeito da homogeneidade
da série estatística.
O desvio-padrão é notado da seguinte forma:
(xi – X ) 2fi
n-1
s=
Tabela 12. Cálculo do desvio-padrão (s)
Classe
21,15
21,25
21,35
21,45
21,55
21,65
21,75
21,85
21,25
21,35
21,45
21,55
21,65
21,75
21,85
21,95
=
(xi)
fi
fixi
(xi – X ) 2fi
21,2
21,3
21,4
21,5
21,6
21,7
21,8
21,9
-
1
2
5
7
4
3
1
2
25
21,2
42,6
107
150,5
86,4
65,1
21,8
43,8
538,4
.11560
.11520
.00980
.00112
.00144
.07680
.06760
.25920
.64676
X= 538,4/25=21,54
Dado que:
s=
Logo:
s=
s=
(xi – X ) 2fi
n-1
64676
24
0,06948333
s = 0,16416
Quadro 14 – Cálculo do desvio padrão.
Interpretação do desvio-padrão
O desvio-padrão é sem dúvida a medida de dispersão mais importante. Quando uma
curva de freqüência é simétrica como a curva abaixo, podemos afirmar que:
X + s contém 68,26% dos dados da série
X + 2s contém 95,44% dos dados da série
X + 3s contém 99,74% dos dados da série
Caso a Tab 2.12 possuísse distribuição
normal poderíamos dizer que:
Aproximadamente 68% das peças produzidas
possuem diâmetro que varia entre 21,37 e
21,71mm, 95% entre 21,20 e 21,88mm, e
99% entre 21,13 e 22,05mm
Quadro 15 – Interpretação do desvio padrão.
28
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2.3.2.4 O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (Cv)
O coeficiente de variação é definido como o quociente entre o desvio-padrão e a média,
sendo freqüentemente expresso em porcentagem:
Cv = s / X
Sua vantagem é caracterizar a dispersão dos dados em termos relativos a seu valor médio,
permitindo-se comparar séries estatísticas. No exemplo visto, o Cv = 0,16416/
21,54=0,007621=0,76%
Supondo-se que outra máquina avaliada, produzisse peças com diâmetro médio X=21,65mm,
e desvio-padrão s=0,2003mm, obteríamos um Cv2 =0,009252=0,93%, como Cv1 =0,76%,
poderíamos afirmar que a segunda máquina é menos precisa que a primeira, tendo em vista
que Cv2> Cv1, ou seja, quanto maior o coeficiente de variação mais dispersos estarão os
dados em relação à média, e menos homogênia será a série estatística.
2.3.3 MEDIDAS DE ASSIMETRIA
Essas medidas procuram caracterizar como e quanto a distribuição de freqüências se
afasta da condição de simetria. As distribuições alongadas à direita são ditas positivamente
assimétricas, e as alongadas à esquerda, negativamente assimétricas. As medidas de
assimetria, conforme sejam positivas, negativas ou aproximadamente nulas, procuram indicar
o tipo de distribuição quanto a esse aspecto. Nas Fig. 16a e Fig.16b são mostrados dois tipos
de assimetria.
RESULTADO DO 1º TESTE DE APTIDÃO FÍSICA DE
RECRUTAS DE UM BATALHÃO DE INFANTARIA
RESULTADO DO 1º TESTE DE APTIDÃO DE TIRO DE
RECRUTAS DE UM BATALHÃO DE INFANTARIA
Nr
Nr
140
140
120
100
80
60
40
20
0
120
100
80
60
40
20
0
I
R
B
MB
E
I
R
B
MB
E
Conceitos
Figura 16a - Assimetria positiva
Conceito
Figura 16b - Assimetria negativa
Para a caracterização do poder da assimetria utiliza-se o coeficiente de assimetria de
Pearson, definido como segue:
A= 3(X – Md)
S
Relação
A < 0,15
0, 15 < A < 1
A > 1.
Classificação
Praticamente simétrica
Moderadamente assimétrica
Fortemente assimétrica
Quadro 16 - Classificação da distribuição de freqüência em relação a sua assimetria.
29
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Considerações a respeito da assimetria
Nos exemplos abaixo poderemos verificar o formato e as características de séries
estatísticas com um mesmo número de elementos. Consideremos que os conceitos de uma
pista Tiro de Ação Reflexa obedeçam a seguinte ordenação de valores (sendo o número de
tiros executado por cada militar igual a 22):
DISTRIBUIÇÃO A
classe
xi
fi
02
06
4
6
06
10
8
12
10
14
12
24
14
18
18
22
16
20
30
6
=
78
RESULTADO DO TIRO DE AÇÃO REFLEXA DE
SOLDADOS DE UMA BATERIA DE OBUSES
A= 3(X – Md)
S
Onde:
X= 12,92
Md= 13,5
S= 5,0087
Nr
35
30
25
20
15
10
5
0
I
R
B
MB
E
Conceitos
A= -.347
Ass. Negativa
moderada
Figura 17a – Assimetria negativa moderada.
DISTRIBUIÇÃO B
classe
02
06
xi
fi
5
21
06
10
4
8
10
14
12
26
14
18
18
22
16
20
21
5
=
78
RESULTADO DO TIRO DE AÇÃO REFLEXA DE
SOLDADOS DE UMA BATERIA DE OBUSES
A= 3(X – Md)
S
Nr
Onde:
X= 12
Md= 12
S= 4,1478
30
25
20
15
10
5
0
I
R
B
MB
E
Conceitos
A= 0
Simétrica
Figura 17b – Assimetria nula.
DISTRIBUIÇÃO C
classe
xi
fi
6
30
02
06
06
10
4
8
10
14
12
24
14
18
18
22
16
20
12
6
=
78
RESULTADO DO TIRO DE AÇÃO REFLEXA DE
SOLDADOS DE UMA BATERIA DE OBUSES
A= 3(X – Md)
S
Nr
Onde:
X= 11,08
Md= 10,5
S= 3,6039
35
30
25
20
15
10
5
0
I
R
B
MB
E
Conceitos
Figura 17c – Assimetria positiva moderada.
A= +.483
Ass.Positiva
moderada
30
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2.3.4 MEDIDAS DE ACHATAMENTO OU CURTOSE
As medidas de curtose caracterizam a forma da distribuição quanto a seu achatamento. A
comparação é feita em relação à distribuição normal, modelo teórico de distribuição estudado
pelo Cálculo de Probabilidades (veja o capítulo 4). As Fig. 18a, Fig. 18b, e Fig. 18c,
apresentam os três tipos característicos de distribuição:
classe
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
105
110
115
=
xi
4
7
9
11
12
13
13
13
12
11
9
7
4
125
classe
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
105
110
115
=
xi
4
7
9
11
12
13
13
13
12
11
9
7
4
125
classe
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
105
110
115
=
xi
0
0
1
2
6
24
59
24
6
2
1
0
0
125
FLEXÕES DE BRAÇO REALIZADAS POR SOLDADOS
DA 1ª COMPANIA DE FUZILEIROS
Nr
70
60
50
40
30
20
10
0
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
105
110
115
Repetições
Figura 18a – Distribuição Platicúrtica.
FLEXÕES DE BRAÇO REALIZADAS POR SOLDADOS
DA 2ª COMPANIA DE FUZILEIROS
Nr
70
60
50
40
30
20
10
0
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
105
110
115
Repetições
Figura 18b – Distribuição Mesocúrtica.
FLEXÕES DE BRAÇO REALIZADAS POR SOLDADOS
DA 3ª COMPANIA DE FUZILEIROS
Nr
70
60
50
40
30
20
10
0
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
105
110
115
Repetições
Figura 18c – Distribuição Leptocúrtica.
31
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Como dito anteriormente, a classificação quanto à curtose dá-se em função do
achatamento da distribuição de freqüências. Deste modo, uma distribuição normal tem um
achatamento mediano, o que chamamos distribuição mesocúrtica (forma de boca de sino). As
distribuições mais achatadas que a normal são denominadas platicúrticas (forma de prato) e
as menos achatadas são denominadas leptocúrticas (forma de chapéu mexicano).
A caracterização do achatamento de uma distribuição só tem sentido, em termos práticos,
se a distribuição for pelo menos aproximadamente simétrica. Desta forma é possível verificar
que:
a. distribuições platicúrticas apresentam os dados bem dispersos em relação à média, o
que caracteriza uma forma de distribuição heterogênia.
b. distribuições mesocúrticas apresentam os dados normalmente dispersos em relação à
média, o que caracteriza uma forma de distribuição normal.
c. distribuições leptocúrticas apresentam os dados muito próximos da média, o que
caracteriza uma forma de distribuição homogênia
Entre as possíveis medidas de achatamento, mencionaremos apenas o coeficiente
percentílico de curtose, dado pela fórmula abaixo:
C=
Q3 - Q1
2(P90 - P10)
Onde: Q1 = 1º quartil; Q3 = 3º quartil;
P10 = Percentil 10 e P90 = percentil 90
Classificação quanto à curtose
C = 0,263 curva mesocúrtica
C < 0,263 curva leptocúrtica
C > 0,263 curva platicúrtica
Quadro 17 - Classificação da distribuição de freqüência em relação a sua curtose.
2.3.5 CONSIDERAÇÕES SOBRE MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE
No volume 2 trataremos sobre a Estatística Inferencial, onde veremos duas categorias de
testes estatísticos: os paramétricos e os não-paramétricos.
Neste momento é importante que se diga que a primeira categoria, testes paramétricos,
possuem três pressupostos básicos sobre a distribuição dos dados:
a. a população estudada deve possuir uma distribuição normal;
b. a amostra extraída deve ter as mesmas variações na variável estudada; e
c. as observações devem ser independentes.
Sempre que estes pressupostos são alcançados, os testes paramétricos aumentam as
chances de se rejeitar a hipótese nula, o que denominamos poder do teste (trataremos este
conceito no item 4.3 do capítulo 4), desta forma os testes de assimetria e curtose tratados no
presente capítulo crescem em importância no sentido de que, para comprovarmos o
pressuposto a., deveremos verificar se a amostra, com a qual estamos trabalhando, é simétrica
e mesocúrtica, características da distribuição normal.
Capítulo 3
Amostragem
3.1 INTRODUÇÃO
A busca de informações a respeito de um fenômeno qualquer é necessária para lastrear a
tomada de decisões que envolvem este fenômeno. Em particular quando este fenômeno é
aleatório, a busca de informações é direcionada para estabelecer a forma da distribuição da
variável que descreve o fenômeno e os parâmetros desta distribuição.
Existem dois processos de abordagem para a solução deste problema. O primeiro
processo consiste em aplicar um Censo, o que identifica diretamente a forma da distribuição
da variável e seus parâmetros.O segundo processo consiste em obter estas informações
indiretamente, através da Estimação (por meio de amostras).
Quando é razoável a aplicação de um censo, o problema está resolvido.Vamos
desenvolver o segundo processo, com o objetivo de estimar os parâmetros da distribuição.
A estimação é um processo que consiste em avaliar os parâmetros de uma distribuição
através de estimadores obtidos em uma amostra, com base no cálculo de probabilidades
(instrumental que viabiliza avaliar parâmetros da distribuição a partir dos estimadores)..
A qualidade de uma estimação depende basicamente da representatividade da amostra
que consiste na capacidade de a amostra reproduzir as características importantes da
população.
Vamos examinar a seguinte situação. A nutricionista de uma escola militar foi
encarregada de avaliar a qualidade nutritiva de uma sopa preparada por um fornecedor
(contratado), que será servida a seus alunos.
Algumas reclamações de alunos sugerem que a sopa não está satisfazendo o padrão de
qualidade nutricional exigido pela escola. Se, de fato, a sopa não atender o padrão de
qualidade contratado, a escola devolve a sopa e exige o pagamento da multa contratual.
O procedimento viável nesta situação é fazer esta avaliação através de uma amostra.
Note que se a nutricionista tiver o cuidado de mexer suficientemente a sopa, conseguirá
um bom grau de homogeneidade no produto e uma pequena amostra retirada nestas condições
irá conter os ingredientes aproximadamente na mesma proporção em que figuram na sopa.
Neste caso, a amostra é bem representativa da população, o que permitirá à nutricionista
fazer a avaliação com alto grau de precisão. No entanto, se a nutricionista não tiver o cuidado
de mexer a sopa, pode ocorrer que a amostra selecionada não seja representativa da
população, o que conduzirá a um erro de avaliação e a suas conseqüências.
33
AMOSTRAGEM
Se a nutricionista, mesmo mexendo a sopa, desconfia do grau de homogeneidade da sopa,
a maneira de conseguir boa representatividade consiste em aumentar o tamanho da amostra.
A análise desta situação leva-nos a concluir que populações com pequeno grau de
variabilidade de seus elementos podem ser estudadas a partir de pequenas amostras.
À medida que esta variabilidade aumenta, é necessário aumentar o tamanho da amostra
aleatória para manter sua representatividade.
3.2 AMOSTRAGEM
É o conjunto de técnicas utilizadas para a seleção de uma amostra.
Este conjunto de técnicas pode ser subdividido em dois grupos básicos: a amostragem
aleatória e a amostragem não aleatória.
3.2.1 AMOSTRAGEM NÃO ALEATÓRIA:
3.2.1.1 AMOSTRAGEM INTENCIONAL
Ocorre quando o pesquisador seleciona intencionalmente os componentes da amostra.
3.2.1.2 AMOSTRAGEM VOLUNTÁRIA
Ocorre quando o componente da população se oferece voluntariamente para participar da
amostra independentemente do julgamento do pesquisador. Estas amostras não permitem o
controle da variabilidade amostral, o que inviabiliza o controle da qualidade da estimação.
3.2.2 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA:
3.2.2.1 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
É aquela em que se atribui aos grupos de mesma quantidade de elementos a mesma
probabilidade de participar da amostra. Em particular, cada elemento da população tem a
mesma probabilidade de participar da amostra.
Para se obter uma amostra aleatória simples, caso a população seja finita, podemos
atribuir a cada elemento um número. Fichas com esses números podem ser misturadas em
uma urna. O sorteio das fichas identifica os elementos que deverão participar da amostra,
garantindo a mesma chance para cada um deles.
Uma maneira equivalente de sortear os elementos da amostra consiste no uso de uma
Tabela de Números Aleatórios (TNA) (ANEXO IV). Esta tabela contém números
previamente sorteados, de forma que, se iniciarmos em um ponto qualquer dessa tabela e
anotarmos os números na seqüência das linhas ou colunas a partir deste ponto inicial.
Por exemplo, dada uma população finita de 500 sargentos da Vila Militar dos quais nos
interessa uma característica comum (possuidores do Curso de Aperfeiçoamento de Sargentos),
pelo Almanaque podemos colocá-los em ordem de antiguidade, e escolhida uma amostra de
30 sargentos, procede-se da seguinte forma:
34
AMOSTRAGEM
Primeiramente adotaremos um critério para a leitura da TNA: começaremos lendo os
números da direita para a esquerda, de cima para baixo, tomados 3 a 3 (a população tem
n=500) ; e o ponto inicial será o número contido na 5ª linha e 3ª coluna.
Notemos que o número correspondente ao ponto inicial é igual a 8.
Logo passaremos a ler os números com 3 dígitos tomando o cuidado de observar que os
números formados devem iniciar por 0, 1, 2, 3, 4 e 5(caso o número seja 500) .
116; 9; 467; 586; 082; 066; 69; 047; 56; 184; 6; 451; 112; 353; 245; 5;
041; 134; 322; 017; 031; 329; 69; 192; 75; 401; 65; 429; 7; 274; 99; 009;
5976; 100; 98; 243; 007; 56; 241; 004; 302; 046; 299; 053.
Ordenados os números obtidos da TNA poderemos selecionar os sargentos baseados na
antiguidade.
004; 007; 009; 017; 031; 041; 046; 047; 053; 066; 082; 100; 112; 116;
134; 184; 192; 241; 243; 245; 274; 299; 302; 322; 329; 353; 401; 429; 451;
467.
3.2.2.2 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Quando se conhece uma listagem dos elementos da população pode-se obter uma amostra
aleatória de n elementos dividindo-se o número de elementos da população pelo tamanho da
amostra. Usando o número inteiro mais próximo anterior a esse resultado, selecionamos os
elementos da lista que ocorrem com esta periodicidade.
Por exemplo, dada uma população finita de 1000 oficiais do CML dos quais nos interessa
uma característica comum (possuidores do Curso de Aperfeiçoamento de Oficiais), pelo
Almanaque podemos colocá-los em ordem de antiguidade e escolhida uma amostra de 30
oficiais, procede-se da seguinte forma:
1. Dividimos o N da população (1000) pelo valor de n da amostra (30)
y = 1000 / 30 = 33,33 que é aproximadamente 33.
2. Sorteia-se um número ao acaso entre 1 e 33, através de uma urna ou pela Tabela de
Números Aleatórios. Digamos que o resultado foi 12;
3. O primeiro elemento a ser relacionado na amostra seria o oficial que ocupasse a 12ª
posição na lista; o segundo seria o 45°; o terceiro seria o 78°; e assim somaríamos o número
33 até obtermos os 30 elementos da amostra.
3.2.2.3 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
Pode ocorrer que a população seja formada por subgrupos diferentes, mas cada um deles
homogêneo (por Pelotões, SU, U, por faixa etária, etc...). Neste caso, vamos selecionar
aleatoriamente uma quantidade de cada grupo para formar a amostra, proporcional ao
tamanho desse grupo.
35
AMOSTRAGEM
Por exemplo, dada uma população finita de 10000 soldado do efetivo variável
incorporados no CML dos quais nos interessa uma característica comum (resultado no 1°
TAF) sabendo-se que estão dispostos em pelotões em suas respectivas Unidades podemos
colocá-los em ordem de antiguidade e escolhida uma amostra de 600 soldados, procede-se da
seguinte forma:
1. Inicialmente precisamos saber quantos Pelotões existem no CML, suporemos 33
homens por Pelotão, o que nos dará um valor aproximado de 303 pelotões.
2. Dividiremos então o n amostral (600) pelo número de Pelotões para sabermos quantos
soldados de cada pelotão deveremos avaliar.
y = 500 / 33 = 1,98 que é aproximadamente 2.
3. O próximo passo será determinarmos randomicamente de que posições no pelotão
serão retirados os 2 elementos, o que pode ser feito por sorteio de 1 a 33 ou pela Tabela de
números Aleatórios (suporemos que foram sorteados os números 7 e 32).
4. O primeiro elemento a ser relacionado de cada pelotão será o 7° militar da listagem do
pelotão; e o segundo será o 32°.
5. Notemos, porém, que se tomarmos 2 soldados por Pelotão ao final da seleção teremos
606 soldados, sendo que a amostra necessária é de 600 soldados. Uma opção seria um sorteio
de descarte de 6 soldados relacionados, no entanto, julgamos que um n amostral maior do que
o previsto implicará em uma maior precisão na estimação, recomendamos portanto que se
mantenham os 606 soldados na amostra.
3.2.2.4 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS
Em algumas situações, podemos identificar um grupo de elementos que tenha
aproximadamente a mesma composição de população. Neste caso, pode ser interessante
realizar a amostragem usando somente os elementos desse grupo.
Considerando-se que existe uma formação comum aos soldados do Efetivo Variável (EV)
durante o Período Básico de Instrução, e ainda que os Objetivos de Instrução são comuns às
Armas, Quadro e Serviço, possivelmente não seria necessária uma amostragem âmbito
nacional para se verificar o estado da tropa, no tocante a estes objetivos comuns de instrução,
bastaria verificar o estado atual dos soldados de um determinado Comando Militar de Área
para que se obter inferências sobre todos Soldados EV do Exército.
3.3 FÓRMULAS PARA A DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA
Ao iniciarmos um estudo normalmente nos deparamos com a dúvida de qual o tamanho
amostral necessário para que possamos generalizar os resultados de nossa pesquisa, ou mesmo
para termos a certeza de que a amostra selecionada irá bem representar a população interesse.
Para iniciarmos a amostragem propriamente dita devemos:
a. nos certificar se a população de interesse é finita ou infinita (podemos considerar que
uma população é infinita se N > 10000);
b. estipular uma margem de erro para rejeição da hipótese nula, normalmente = 0, 05
(trataremos deste tipo de erro no Cap. 4); e
c. estipular a margem de erro admitida entre a média amostra X e a média populacional µ
36
AMOSTRAGEM
Para um melhor ajuste do tamanho amostral deve-se ainda levar em consideração a
proporção esperada de sucesso do evento estudado (p) em relação ao seu insucesso (q), sendo
p = 1 –q .
O Quadro 18 apresenta 2 fórmulas para o cálculo do n amostral levando em
consideração se a população é finita ou infinita.
POPULAÇÃO INFINITA
n = z²( /2) . p.q.N
e²
Onde:
n=
z²( /2)=
p=
q=
N=
e² =
POPULAÇÃO FINITA
n=
z²( /2) . p.q.N
e² ( N-1) + z²( /2) . p.q.N
Número de elementos da amostra;
Probabilidade aceita para o erro tipo I
Proporção esperada de sucesso do evento;
Proporção esperada de insucesso do evento;
Número de elementos da população;
Erro padrão de estimativa ao quadrado, onde e= X - µ;
Quadro 18 – Fórmulas para o cálculo do tamanho amostral.
Quando não se dispõe de informações sobre o valor de p deve-se realizar uma préamostragem com n1 elementos. Se o valor de n calculado nestas condições, for menor que n1,
a pré-amostra já conterá um número suficiente de elementos para garantir a precisão
determinada. Caso valor de n for maior que n1, completa-se a pré-amostra selecionando-se (nn1) elementos.
Em algumas situações, o problema pode conter uma informação a respeito de p. Neste
caso, esta informação poderá ser utilizada no cálculo de n.
Se não houver informações a respeito de p e não pudermos realizar uma a préamostragem, o cálculo de n com p=0,5, levará a um tamanho da amostra com o conseqüente
problema de custo de amostragem associado (a amostra será muito grande).
Exemplo 1. Um pesquisador pretende avaliar a proporção de militares que responderão
sim a uma determinada pergunta, com 95% de confiança de que não errará por mais de 3%.
Para isto, selecionou ao acaso uma pré-amostra (n1 = 100 militares), e a proporção de
respostas sim foi de 20% (20 dos 100). O cálculo do n amostral que bem representará a
população de estudo, para a margem de erro adotada está descrito no Quadro 19.
Onde:
n1=
z²( /2)=
p=
q=
N=
e² =
Dado que:
100
(1,96) ² pois (1- =95%)
0,2
0,8
INFINITA
(0,03)²
Logo:
. p.q.N
e²
n= (1,96) ² . 0,2 . 0,8 .
(0,03) ²
n = z²(
/2)
n= 683 militares
Portanto necessitaríamos entrevistar mais 583
militares (683 - 100)
Quadro 19 – Cálculo do tamanho amostral para população infinita.
37
AMOSTRAGEM
Exemplo 2. Um pesquisador está interessado em estimar a proporção de militares que faz
uso do protweb em suas OM. Para isto, amostrou 80 militares de um cadastro de N = 400,
cujas funções poderiam ser otimizadas pelo uso da ferramenta, consultando-os por telefone, e
verificando que 30 faziam uso diário do protweb. Caso desejasse determine o tamanho da
amostra necessária para estimar esta proporção com 90% de confiança, e com erro um
máximo de 4% em relação à proporção populacional deveria executar os cálculos conforme o
Quadro 20.
Onde:
n1 =
z²( /2)=
p=
q=
N=
e² =
Dado que: n =
30
(1,64) ² pois (1- =90%)
30/80=0,375
0,625
400
(0,04)²
z²( /2) . p.q.N
e² ( N-1) + z²( /2) . p.q.N
Logo n=
(1,64) ² . 0,375. 0,625 . 400
(0,04) ² . 399 +(1,64) ² . 0,375. 0,625.400
n= 199 militares
Portanto necessitaria entrevistar mais 119 militares
(199-80)
Quadro 20 – Cálculo do tamanho amostral para população finita
(pré-amostra menor que a amostra necessária)
Exemplo 3. Um pesquisador está interessado em estimar a proporção de militares que faz
uso do protweb nas OM da Vila Militar do Rio de Janeiro (N= 400 militares). Não sendo
possível realizar uma pré-amostragem, e não existindo estudo anterior que lhe permitisse
estimar o valor de p, foi obrigado a considerar p=0,5 (ou seja, 50% dos militares faz uso e
50% não faz uso do protweb). Caso desejasse determine o tamanho da amostra necessária
para estimar esta proporção com 90% de confiança, e com erro um máximo de 4% em relação
à proporção populacional deveria executar os cálculos conforme o Quadro 21.
Onde:
n1 =
z²( /2)=
p=
q=
N=
e² =
Dado que: n =
---(1,64) ² pois (1- =90%)
0,5
0,5
400
(0,04)²
z²( /2) . p.q.N
e² ( N-1) + z²( /2) . p.q.N
Logo n=
(1,64) ² . 0,5. 0,5 . 400
(0,04) ² . 399 +(1,64) ² . 0,5. 0,5.400
n= 352,78 = 353 militares
Portanto necessitaria entrevistar mais 353 militares
Notemos a diferença em relação ao estudo que foi
realizado com pré-amostragem. (353-199=154)
Quadro 21 – Cálculo do tamanho amostral para população finita
(sem possibilidade de pré-amostragem)
Capítulo 4
Probabilidade
Embora o cálculo das probabilidades pertença ao campo da Matemática, sua inclusão
neste manual se justifica pelo fato de a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística ser de
natureza aleatória ou probabilística. Conseqüentemente, o conhecimento dos aspectos
fundamentais do cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da
Estatística Indutiva ou Inferencial.
Procuramos resumir aqui os conhecimentos que julgamos necessários para termos um
ponto de apoio em nossos primeiros passos no caminho da Estatística Inferencial. Esses
passos serão apresentados no capítulo seguinte, que trata da conceituação de variável aleatória
e das duas principais distribuições de probabilidades de variáveis discretas e contínuas.
4.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação “ é
provável que o meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar:
a) que, apesar do favoritismo, ele perca;
b) que, como pensamos, ele ganhe;
c) que empate.
Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esse são chamados
fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios, que são aqueles que, mesmo repetidos
várias, vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
4.1.1 ESPAÇO AMOSTRAL (S)
A cada experimento correspondem, em geral, um conjunto de vários resultados possíveis
que recebe o nome de espaço amostral, notado por S..Assim, ao lançarmos uma moeda, há
dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis
resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Os dois experimentos citados anteriormente têm os seguintes espaços amostrais:
a) Lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}
b) Lançamento de um dado:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Do mesmo modo, como em dois lançamentos sucessivos de uma moeda podemos obter
cara nos dois lançamentos, ou cara no primeiro e coroa no segundo, ou coroa no primeiro e
cara no segundo, ou coroa nos dois lançamentos, o espaço amostral é:
S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}.
Cada um dos elementos de S recebe o nome de ponto amostral.
2 é um ponto amostral de S.
2 S
39
PROBABILIDADE
4.1.2 EVENTOS
Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento
aleatório (os eventos são denotados por letras arábicas maiúsculas).
Assim, qualquer que seja E, se E
S (E está contido em S), então E é um evento de S.
Se E = S, E é chamado evento certo (com probabilidade 1 ou 100%).
Se E S e E é um conjunto unitário, E é chamado evento elementar.
Se E = ø, E é chamado evento impossível.
Exemplo:
No lançamento de um dado, onde S = {l, 2, 3, 4, 5, 6}, temos:
A = {2, 4, 6} S; logo; A é um evento de S.
B = {l, 2, 3, 4, 5, 6} S; logo, B é um evento certo de S (B = S).
C = {4} S; logo, C é um evento elementar de S.
D = ø S; logo, D é um evento impossível de S.
Um evento é sempre definido por uma sentença. Assim, os eventos acima podem ser
definidos pelas sentenças:
“ Obter um número par na face superior.”
“ Obter um número menor ou igual a 6 na face superior.”
“ Obter o número 4 na face superior.”
“ Obter um número maior que 6 na face superior.”
4.2 PROBABILIDADE
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos
os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto
equiprovável.
Chamamos de probabilidade de um evento A (A
P(A) = n(A)
n(S)
S) o número real P(A), tal que:
onde:
n(A) é o número de elementos de A;
n(S) é o número de elementos de S.
Exemplos:
a. Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “ obter cara” , temos:
Dado que: P(A) = n(A)
n(S)
Onde :
Logo :
P(A) = n(A) = 1 = 50,00%
S = {Ca, Co} n(S) = 2
n(A) = 1
A = {Ca}
n(S) 2
Ou seja, a probabilidade de se obter cara no lançamento de uma moeda é de ½ ou 50,00%.
40
PROBABILIDADE
b. Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular a probabilidade do evento A
“ obter um número par na face superior” :
Dado que: P(A) = n(A)
n(S)
Onde :
Logo :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
P(A) = n(A) = 3 = 1 = 50,00%
A = {2, 4, 6}
n(S) 6 2
n(A) = 3
Ou seja, a probabilidade de se obter um número par na face superior de um dado lançado é
de ½ ou 50,00%
c. Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular a probabilidade do evento B
“ obter um número menor ou igual a 6 na face superior” :
Dado que: P(A) = n(A)
n(S)
Onde :
Logo :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
P(A) = n(A) = 6 = 1 = 100,00%
B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n{B) = 6
n(S) 6
Ou seja, a probabilidade de se obter um número menor ou igual a 6 na face superior de um
dado lançado é de 1 ou 100,00% (a probabilidade do evento certo é igual a 1).
d. Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular a probabilidade do evento C
“ obter um número maior que 6 na face superior” :
Dado que: P(A) = n(A)
n(S)
Onde :
Logo :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6
P(A) = n(A) = 0 = 0 = 0,00%
n(S) 6
C=ø
n(D) = 0
Ou seja, a probabilidade de se obter um número maior que 6 na face superior de um dado
lançado é de 0 ou 0,00% (a probabilidade do evento impossível é igual a zero).
4.2.1 EVENTOS COMPLEMENTARES
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra
(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe
sempre a relação:
p+q=1
q=1-p
Assim, se a probabilidade de se realizar um evento e p = 1/5, a probabilidade de que ele
não ocorra é:
q = 1 –p
q = 1- 1/5
q = 4/5
Sabemos que a probabilidade de tirar o valor 4 no lançamento de um dado é: p = 1/6
Logo, a probabilidade de não tirar o valor 4 no lançamento de um dado é:
q = 5/6
41
PROBABILIDADE
4.2.2 EVENTOS INDEPENDENTES
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de
um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do
resultado obtido no outro.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem
simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. Assim,
sendo p1 a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade de realização
do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada
por:
P(1;2) = p1 . p2
Exemplo:
Considerando o lançamento de dois dados, vamos calcular a probabilidade do evento D
“ obter o número 1 no primeiro dado e o número 3 no segundo dado” :
Dado que: P(1;2) = p1 . p2
Onde :
Logo :
p1 = 1/ 6
P(1;2) = 1 . 1 = 1
p2 = 1/ 6
6 6 36
Ou seja, a probabilidade de se obter o número 1 no primeiro dado e o número 3 no segundo
dado, lançados ao mesmo tempo é de 1/36 ou 2,78%.
4.2.3 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de
um exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “ tirar
cara” e o evento “ tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o
outro não se realiza.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se
realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:
P(1;2) = p1
+
p2
a. Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular a probabilidade do evento E
“ obter o número 2 ou o número 3” :
Dado que: P(1;2) = p1 + p2
Onde :
Logo :
p1 = 1/ 6
P(1;2) = 1 + 1 = 1
p2 = 1/ 6
6 6 3
Ou seja, a probabilidade de se obter o número 2 ou o número 3 no lançamento de um dado é
de 1/3 ou 33,33%.
42
PROBABILIDADE
b. Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular a probabilidade do evento E
“ obter o número 1 ou o número 6” :
Dado que: P(1;2) = p1 + p2
Onde :
Logo :
p1 = 1/ 6
P(1;2) = 1 + 1 = 1
p2 = 1/ 6
6 6 3
Ou seja, a probabilidade de se obter o número 2 ou o número 3 no lançamento de um dado é
de 1/3 ou 33,33%.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho
de 52 cartas?
Como só há um ás de ouros, o número de elementos do evento é 1, logo:
p = 1/52
2) Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52
cartas?
Como há 4 reis, o número de elementos do evento é 4; logo:
p = 4/52 = 1/13
3) Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:
a. a probabilidade de essa peça ser defeituosa, temos:
p = 4/12 = 1/3
b. a probabilidade de essa peça não ser defeituosa.
Sendo este evento e o anterior complementares, temos:
p =1 - 4/12 = 2/3
4) No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.
O evento é formado pelos elementos (1, 4), (2, 3), (3, 2) e (4, 1). Como o número de
elementos de S é 36, temos:
Sendo: n(A)=4
n(S)=36
logo p = 4/36 = 1/9
5) De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro
baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um
rei e a do segundo ser o 5 de paus?
Temos:
Dado que: P(R;5) = pR . p5
Onde :
Logo :
pR = 4/ 52 = 1/ 13
P(R;5)= 1 . 1 =
1
p5 = 1/52
13 52
676
43
PROBABILIDADE
6) Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas
brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola
é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda
e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
Temos:
p1 = 3/9 = 1/ 3 ; p2= 2/8 = 1/4 ; p3 = 4/9
Como os três eventos são independentes e simultâneos, vem:
P(1;2;3) = p1 . p2 . p3
P(1;2;3) =1/3 . 1/4 .4/9 = 1/27
7) De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a
probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?
A probabilidade de sair o ás de paus na primeira carta é:
pA = 1/52
Após a retirada da primeira carta, restam 51 cartas no baralho, já que a carta retirada não
foi reposta. Assim, a probabilidade de a segunda carta ser o rei de paus é:
PR = 1/51
Como esses eventos são independentes, temos:
P(A;R) = pA . pR
P(A;R) =1/52 . 1/51 = 1/2652
4.3 EMPREGO DA PROBABILIDADE PARA COMPROVAÇÃO DE HIPÓTESES
Normalmente se pergunta quais as chances de que certas coisas aconteçam. Usamos a
probabilidade nos eventos diários. Quais são as chances de que chova? Ouvimos um
meteorologista dizer que a probabilidade de chuva é de 90/o. Queremos saber se isto significa
que irá chover em 90% dos lugares ou, melhor, que as chances são de 90% de que irá chover
onde estamos. Os termos probabilidade subjetiva ou probabilidade personalística são usados
para descrever esse conceito.
Um segundo conceito de probabilidade é chamado de eventos igualmente prováveis. Por
exemplo, ao jogarmos um dado, as chances dos números de 1 a 6 ocorrerem são igualmente
prováveis.
A terceira abordagem da probabilidade envolve o limite da freqüência relativa. Para
ilustrar, suponha que joguemos uma moeda 100 vezes esperaríamos 50 caras, mas se
obtivermos 45, então fr= 0,45. Jogando 1000 vezes, esperaríamos 500 caras, entretanto,
podemos obter 490 caras, fr= 0,490. Se jogarmos 100000, e obtivéssemos 49995 caras,
fr=0,49995, note que, quanto maior o valor de n, o limite da freqüência relativa tende a
probabilidade real do evento ocorrer, ou seja, 0,5. Em um teste estatístico, extraímos uma
amostra de uma população de sujeitos e eventos. Usamos afirmativas de probabilidade para
descrever a confiança que depositamos nos achados estatísticos.
44
PROBABILIDADE
Freqüentemente, encontraremos um teste estatístico seguido pelo enunciado da
probabilidade tal como p < 0,05. Esta interpretação seria que uma diferença ou relação deste
tamanho seria esperada menos do que 5 vezes em 100, como um resultado de chance.
4.3.1 ALFA ( )
Em pesquisa, o teste estatístico é comparado a uma tabela de probabilidade para aquela
estatística, a qual lhe dirá qual a chance de ocorrência. O experimentador pode estabelecer um
nível aceitável de chance de ocorrência ( ) antes do estudo. Este nível de chance de
ocorrência pode variar de baixo a alto, mas nunca ser eliminado.
Em pesquisa comportamental, alfa (a probabilidade de ocorrência de chance) é
freqüentemente de 0,05 ou 0,01 (as possibilidades de que os achados são devidos à chance são
ou de 5 em 100 ou de 1 em 100).
Em um estudo o experimentador pode cometer 2 tipos de erro:
O erro tipo I é rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é verdadeira. Por exemplo,
um pesquisador conclui que existe diferença entre dois métodos de treinamento, mas na
verdade não existe.
O erro tipo II é não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é falsa. No exemplo
anterior um pesquisador poderá concluir que não existe diferença entre os dois métodos de
treinamento, mas na verdade existe.
A Tab.13 é chamada de tabela da verdade, a qual demonstra erros tipo I e II. Como você
pode ver, aceitar uma hipótese nula verdadeira, ou rejeitar uma falsa é a decisão correta.
Controlamos os erros tipo I estabelecendo alfa.
Por exemplo, se alfa é estabelecido em 0,05, então, se 100 experimentos são realizados,
uma hipótese nula verdadeira de não-diferença ou de não relação entre as variáveis, seria
rejeitada somente em 5 ocasiões. Embora as chances do erro ainda existam, o experimentador
especificou-as exatamente pelo estabelecimento de alfa antes do estudo.
Tabela 13 - Tabela da verdade
Aceitação
Rejeição
Ho verdadeira
Decisão
correta
Erro tipoII
( )
Ho falsa
Erro tipoI
( )
Decisão
correta
Deve-se de estipular o “ tamanho” do erro tipo I que se está disposto a cometer, antes do
inicio de um experimento. Por exemplo, é mais importante que evitemos concluir que um
método de treinamento é melhor do que o outro, quando ele realmente não é (Tipo I), do que
concluirmos que um método não é melhor do que outro quando ele realmente é (Tipo II)?
45
PROBABILIDADE
Por exemplo, em um estudo do efeito de um remédio para o câncer, o experimentador pode
não querer aceitar a hipótese nula de “ nenhum efeito” , se existe alguma chance da droga fazer
efeito. Assim, o experimentador pode estabelecer um alfa de 0,30 sempre, embora as chances
de acontecer um erro tipo I possam ser aumentadas. O experimentador está garantindo que a
droga tem todas as oportunidades de mostrar sua efetividade. Por outro lado, estabelecer um
alfa de 0,001 diminui enormemente as chances do erro tipo I ocorrer.
Não podemos dizer onde estabelecer o alfa; entretanto, podemos dizer que os níveis 0,05
ou 0,01 são amplamente utilizados na comunidade científica. Se o alfa for movido para cima
ou para baixo, certifique-se de justificar a razão.
Mesmo quando os experimentadores estabelecem o alfa em um nível específico (p. ex.,
0,05) antes da pesquisa, eles freqüentemente relatam o alfa para os efeitos específicos do
estudo no nível que ocorreu (p. ex., p 0,012). Não há nada de errado com este procedimento,
na medida em que estão somente demonstrando em que grau o nível de probabilidade excedeu
o nível especificado.
Uma abordagem mais adequada pode ser a de relatar o nível exato de probabilidade (p.
ex., p 0,024) associado com o teste estatístico (p. ex., r; t). Então avaliaremos o significado da
diferença ou relação. Usando a informação estatística (significância e significado), o
pesquisador deve interpretar os resultados dentro da teoria e hipóteses que foram formuladas.
Em vez de tomar uma decisão somente estatística, esta abordagem coloca a responsabilidade
da tomada de decisão onde ela deve estar no pesquisador que colocou o estudo em um modelo
teórico, e que considerou pesquisas relacionadas.
4.3.2 BETA ( )
Embora a magnitude do erro tipo I seja especificada pelo alfa, podemos também conter o
erro tipo II, cuja magnitude é determinada por beta ( ). Observando a Fig. 19 , podemos
notar a sobreposição da distribuição de escores na variável dependente para X (a distribuição
da amostragem se a hipótese nula é verdadeira) e Y (a distribuição da amostragem se a
hipótese nula é falsa).
Distribuição
da amostragem
sob Ho
Distribuição
da amostragem
se Ho é falsa
1-
Y
X
Figura 17. Áreas de distribuição do erro tipo II
46
PROBABILIDADE
Pela especificação do alfa, indicamos que a média de Y (dado uma certa distribuição)
deve ser em uma distância especificada da média de X antes da hipótese nula ser rejeitada.
Entretanto, se a média de Y localiza-se em algum lugar entre a média de X e o Y
especificado, você poderá estar cometendo um erro tipo II ( ); isto é, você não rejeita a
hipótese nula quando, de fato, existe uma diferença verdadeira. Como podemos ver, existe
uma relação entre alfa e beta; por exemplo, à medida que alfa é diminuído, beta torna-se
maior.
4.3.3 SIGNIFICADO (tamanho do efeito)
Além de reportar a significância dos resultados, estudiosos precisam se preocupar com o
significado dos resultados em suas pesquisas. O significado da diferença entre duas médias
pede ser estimado de várias formas, mas uma forma que tem ganhado muita atenção
recentemente é o tamanho do efeito (sugerido por Cohen,1969).
A fórmula do Tamanho do Efeito (TE) é:
TE = (M1 - M2 )/ s
Esta fórmula subtrai a média de um grupo (M1) da média do segundo grupo (M2 ), e
divide a diferença pelo desvio-padrão. Isto coloca a diferença entre as médias na métrica
comum chamada de “ unidades de desvio-padrão” , a qual pode ser comparada às orientações
para a pesquisa comportamental sugeridas por Cohen (1969):
0,2 ou menos é um TE pequeno;
0,5 aproximadamente é um TE moderado;
0,8 ou maior é um TE grande.
4.3.4 PODER
Poder é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando esta é falsa (p. ex., detectando
uma diferença real), ou a probabilidade de tomar a decisão correta. Ter poder na análise
estatística é importante porque isto aumenta as chances de rejeitar a hipótese nula falsa. É
claro que, até certo ponto, na pesquisa comportamental, a hipótese nula é sempre falsa!
O que este enunciado reflete é que em pesquisa comportamental as médias dos dois
grupos nunca são as mesmas. Assim, se suficientes sujeitos são obtidos (uma forma de obter
poder), quaisquer duas médias podem ser declaradas significativamente diferentes.
As questões mais interessantes em pesquisa comportamental são:
1. O quanto uma diferença é importante na teoria e/ou na prática?
2. Quantos sujeitos são necessários para declarar uma diferença importante como
significante?
Entendendo o conceito de poder pode-se responder às duas questões anteriores. Se um
pesquisador pode identificar o tamanho de um importante efeito por meio de pesquisas
prévias ou simplesmente estimar um tamanho do efeito (p. ex., 0,5 é um TE moderado,
também chamado delta, ), estabelecer quanto de poder é aceitável (p. ex., uma estimativa
comum em ciência comportamental é 0,8), então o tamanho da amostra necessário para o
estudo pode ser estimado.
47
PROBABILIDADE
As Figuras 20 e 21 oferecem uma visão da relação entre o tamanho da amostra, (eixo y),
o poder (eixo x), e o tamanho do efeito (curva TE), quando alfa é 0,05 ou 0,01. Considere o
seguinte exemplo:
No planejamento de um estudo, o investigador terá dois grupos que serão
randomicamente formados, mas ele não sabe quantos sujeitos são necessários para cada grupo
para detectar uma diferença significativa entre os tratamentos. Entretanto, existem vários
estudos relacionados e o investigador calculou um TE médio = 0,70 favorecendo o grupo
experimental nos resultados desses estudos.
O investigador decide estabelecer alfa = 0,05 e quer proteger beta em 4 vezes o nível de
alfa (assim, beta 0,20) porque Cohen (1988) sugeriu que em ciências comportamentais, a
seriedade do erro do tipo I para o tipo II deverá ter a razão de 1 para 4 (0,05 x 4 = 0,20). Uma
vez que o poder é 1 - beta (1,0 - 0,2 = 0,8), então o poder é estabelecido em 0,8
(freqüentemente recomendado como poder adequado em pesquisa comportamental, Green,
1991, p. 502).
500
n para
400
cada grupo
TE=0,2
300
TE=0,3
200
TE=0,4
100
TE=0,5
TE=0,6
050
TE=0,7
TE=0,8
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Poder
0,9
Figura 20 - Curva do tamanho do efeito para = 0,05, teste bicaudal.
n para
cada grupo
500
TE=0,2
400
TE=0,3
300
TE=0,4
200
TE=0,5
100
TE=0,6
TE=0,7
TE=0,8
050
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Poder
Figura 21 - Curva do tamanho do efeito para = 0,01, teste bicaudal.
48
PROBABILIDADE
Quando as informações prévias são conhecidas (alfa, TE e poder), então o número de
sujeitos necessários em cada um dos dois grupos pode ser estimado da Fig. 20 Deve-se ler a
curva TE 0,70 por onde atravessa o eixo x (poder) em 0,8, e então, ler através do eixo y
(tamanho da amostra) e observar que 30 sujeitos serão necessários para cada grupo.
Conforme o número de sujeitos em cada grupo é reduzido, o poder é reduzido (dado o
mesmo TE). Analisando a Fig. 21 (alfa = 0,01), nota-se que para o mesmo nível de poder
(0,8) e TE (0,70), o número de sujeitos necessários aumenta de 30 (como na Fig. 20, onde
alfa 0,05) para 50.
Pode-se verificar, que para um alfa mais rigoroso (p. ex., 0,05 a 0,01), um maior número
de sujeitos é requerido para detectar uma diferença significativa.
Capítulo 5
Distribuições Binomial e Normal
O que pretendemos neste capítulo, é apresentar dois modelos teóricos de distribuição de
probabilidade, aos quais um experimento aleatório estudado possa ser adaptado, o que
permitirá a solução de grande número de problemas práticos.
5.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA
Suponhamos um espaço amostral S, e que, a cada ponto amostral seja atribuído um
número. Fica, então, definida uma função chamada variável aleatória, indicada por uma letra
maiúscula, sendo seus valores indicados por letras minúsculas.
Assim, se o espaço amostral relativo ao “ lançamento simultâneo de duas moedas” é 4
{(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} e se X representa “ o número de caras” que
aparecem, a cada ponto amostral podemos associar um número para X, de acordo com a Tab.
14.
Tabela 14 - Resultados possíveis do lançamento simultâneo de 2 moedas.
Ponto amostral
(Ca, Ca)
(Ca, Co)
(Co, Ca)
(Co, Co)
total
x
2
1
1
0
4
5.2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
Consideremos a distribuição de freqüências relativa ao número de punições semanais em
uma companhia, durante o primeiro semestre do ano de instrução, de acordo com a Tab. 15.
Tabela 15 - Punições disciplinares durante o primeiro semestre do ano de instrução.
Número de
punições
0
1
2
3
4
5
6
7
8
total
fi
2
3
4
1
5
2
1
2
6
26
Probabilidade
de ocorrência
7,69%
11,53%
15,38%
3,85%
19,23%
7,69%
3,85%
7,69%
23,08%
100,00%
50
DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E NORMAL
Em suma, pode-se extrair da Tab. 15 as seguintes observações:
a. a probabilidade estimada de não ocorrer punição disciplinar é de 7,69%;
b. a probabilidade estimada de ocorrer uma punição disciplinar é de 11,53%;
c. a probabilidade estimada de ocorrerem duas punições disciplinares é de 15,38%; e
d. ocorrerem oito punições disciplinares é de 23,08%.
Da Tab. 15 poderíamos escrever a Tab. 16, denominada tabela de distribuição de
probabilidade.
Tabela 16 - Probabilidade de ocorrência de punições disciplinares
durante o primeiro semestre do ano de instrução
Número de
punições
0
1
2
3
4
5
6
7
8
total
fi
2
3
4
1
5
2
1
2
6
26
Probabilidade
de ocorrência
7,69%
11,53%
15,38%
3,85%
19,23%
7,69%
3,85%
7,69%
23,08%
100,00%
Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores x1, x2, x3,...,xn, a cada valor xi
correspondem pontos do espaço amostral. Associamos, então, a cada valor xi a probabilidade
fri de ocorrência de tais pontos no espaço amostral.
Assim, temos:
fri = 1
Os valores x1, x2, x3,...,xn, e suas correspondentes fr1, fr2, fr3,..., frn, definem uma distribuição
de probabilidade.
Assim, voltando à Tab. 16, temos a Tab. 17:
Tabela 17 - Verificação das freqüências em que aparece o resultado cara
Ponto amostral
(Ca, Ca)
(Ca, Co)
(Co, Ca)
(Co, Co)
total
x
2
1
1
0
4
P(X)=fri
1/2 .1/2=1/4
1/2 .1/2=1/4
1/2 .1/2=1/4
1/2 .1/2=1/4
Verifiquemos que os pontos amostrais (Ca, Co) e (Co, Ca) apresentam cara uma vez, de
forma que a probabilidade de sair cara uma vez é 1/4 + 1/4 = 2/4.
51
DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E NORMAL
Logo, podemos escrever a Tab. 17, conforme sua distribuição de probabilidades, de
acordo com a Tab. 18:
Tabela 18 - Verificação das freqüências em que aparece o resultado cara.
Número de caras
2
1
0
fri
fri
1/4
2/4
1/4
1
Ao definirmos a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma correspondência
unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P. Esta
correspondência define uma função; os valores x (i = 1, 2 n) formam o domínio da função e
os valores P (i = 1, 2, 3, ..., n), o seu conjunto imagem.
Essa função, assim definida, é denominada função probabilidade representada por:
f(x) = P (X = xi)
A função P (X = xi) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
Assim, ao lançarmos um dado, a variável aleatória X, definida por “ pontos de um dado” ,
pode tomar os valores 1, 2, 3, ..., 6. Como a cada um destes valores está associada uma e uma
só probabilidade de realização e P(xi) = 1, fica definida uma função de probabilidade, da
qual resulta a distribuição de probabilidade Tab. 19:
Tabela 19 - Distribuição de probabilidade do lançamento de um dado.
X
1
2
3
4
5
6
P(X)=
P(X)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
5.3 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Vamos, neste item, considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições:
(n).
a. O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes
b. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve
afetar os resultados das sucessivas.
c. Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados: sucesso e insucesso.
d. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1p) do insucesso manter-se-ão constantes.
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem k sucessos
em n tentativas. O experimento “ obtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e
independentes de uma moeda” satisfaz essas condições.
52
DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E NORMAL
Sabemos que, quando da realização de um experimento qualquer em uma única tentativa,
se a probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a probabilidade de não-realização
desse mesmo evento (insucesso) é 1 - p = q. Suponhamos, agora, que realizemos a mesma
prova n vezes sucessivas e independentes. A probabilidade de que um evento se realize k
vezes nas provas é dada pela função:
f(X) = P(X = k) =
n!
k! (n- k)!
. pk . qn-k
na qual:
P(X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas;
p é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova sucesso;
q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova
n!
é o coeficiente binomial de n sobre k.
k! (n- k)!
Essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial.
insucesso;
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de
serem obtidas 5 caras nessas 5 provas.
Pela lei binomial, podemos escrever:
Dado que: P(X = k) =
n!
. pk . qn-k
k! (n- k)!
Onde:
n=5
Logo:
k=3
P(X = 3) =
5!
. (1/2)3 . (1/2)5-2
3! (5- 3)!
p=1/2
q=1/2
P(X = 3) = 5x4x3x2x1 . 1/8 . 1/4
3x2x1x2x1
P(X = 3) = 5/16
2) Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o
time A ganhar 4 jogos.
Pela lei binomial, podemos escrever:
Dado que: P(X = k) =
Onde:
n=6
k=4
p=1/3
q=2/3
n!
. pk . qn-k
k! (n- k)!
Logo:
P(X = 4) =
6!
. (1/3)4 . (2/3)6-4
4! (6- 4)!
P(X = 4) = 6x5x4x3x2x1 . 1/81 . 4/9
4x3x2x1x2x1
P(X = 4) = 20/243
53
DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E NORMAL
5.4 DISTRIBUIÇÃO NORMAL - CURVA NORMAL
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é
a distribuição normal descrita na Fig. 22.
X
Figura 22 - Aspecto gráfico de uma distribuição normal.
Para uma perfeita compreensão da distribuição normal, observe a Fig. 22 e procure
visualizar as seguintes propriedades:
a. A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real;
b. A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino,
simétrica em torno da média (X), que recebe o nome de curva normal ou de Gauss;
c. A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área
corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real;
d. A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se
indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo; e
e. Como a curva é simétrica em torno da X, a probabilidade de ocorrer valor maior do que
a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as
probabilidades são iguais a 0,5. Escrevemos: P(X> X) = P(X < X) = 0,5.
Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal
interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um
determinado intervalo. Vejamos como proceder, por meio de um exemplo concreto.
Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos cartuchos de 9mm
produzidos por certa máquina, supondo que essa variável tenha distribuição normal com
média X = 9 mm e desvio padrão S = 0,04 mm. Pode haver interesse em conhecer a
probabilidade de um cartucho ter um diâmetro com valor entre 9 e 9,05 mm
É fácil notar que essa probabilidade, indicada pó P(9 < X < 9,05), correspondente à área
hachurada na Fig. 23.
54
DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E NORMAL
9 9,05
Figura 23 - Probabilidade de X encontrar-se entre 9mm e 9,05mm.
O cálculo direto dessa probabilidade exige um conhecimento de Matemática mais
avançado do que aquele que dispomos no curso de 2° grau. Entretanto, podemos contornar
facilmente esse problema. Basta aceitar, sem demonstração, que, se X é uma variável aleatória
com distribuição normal de média X e desvio padrão s, então a variável z tem distribuição
normal reduzida, isto é, tem distribuição normal de média o e desvio padrão 1.
z = xi – X
s
As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são encontradas em
tabelas, não havendo necessidade de serem calculadas. O Anexo V contém é uma tabela de
distribuição normal reduzida, que nos dá a probabilidade de Z tomar qualquer valor entre a
média 0 e um dado valor z, isto é:
P(0 < Z < z)
Temos, então, que se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média X e
desvio padrão s, podemos escrever:
P(X< X < x) = P(0 < Z < z), com z = xi – X
s
Voltemos, então, ao nosso problema. Queremos calcular P(9 < X < 9,05). Para obter essa
probabilidade, precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z que corresponde a
x = 9,05 (x = 9
z = 0, pois X = 9). Temos, então:
z = xi – X = 9,05 – 9 = 0,05 = 1,25
s
0,04
0,04
donde:
P(9 < X < 9,05) = P(0 < X < 1,25)
Procuremos, agora, no Anexo V o valor de z = 1,25.
Na primeira coluna encontramos o valor 1,2. Em seguida, encontramos, na primeira
linha, o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção da
linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nos permite escrever:
P(0 < Z < 1,25) = 0,3944
55
DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E NORMAL
Assim, a probabilidade de uma munição 9mm ,fabricada por essa máquina, apresentar um
diâmetro entre a média 9mm e o valor x = 9,05mm é 0,3944.
Escrevemos, então:
P(9 < X < 9,05) = P(0 < Z < 1,25) = 0,3944 ou 39,44%
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Determine as probabilidades:
1.a. P( -1,25 < Z < 0)
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:
Sabemos que:
P(0 < Z < 1,25) = 0,3944
Pela simetria da curva, temos:
P( - 1,25 < Z< 0) = P(0 <Z < 1,25) = 0,3944
- 1,25 0
1.b. P(- 0,5 < Z < 1,48)
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:
Temos que
P(- 0,5 < Z < 1,48) = P(- 0,5 < Z < 0)+ P( 0 < Z < 1,48)
Como:
- 0,5 0
1,48
P( - 0,5 < Z< 0) = P(0 <Z < 0,5) = 0,1915
P( 0 < Z< 1,48) = 0,4306
Obtemos:
P(- 0,5 < Z < 1,48) =0,1915 +0,4306 = 0,6221
1.c. P(0,8 < Z < 1,23)
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:
Temos que
P( 0,8 < Z < 1,23) = P( 0 < Z < 1,23) - P( 0 < Z < 0,8)
Como:
00,8 1,23
P( 0 < Z< 1,23 ) = 0,2881
P( 0 < Z< 0,8) = 0,1026
Obtemos:
P( 0,8 < Z < 1,23) = 0,2881 -0,1026 = 0,1855
56
DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E NORMAL
1.d. P(Z > 0,6)
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:
Temos que
P( Z > 0,6 ) = P( Z > 0) - P( 0 < Z < 0,6)
Como:
P( Z > 0) = 0,5 e P( 0 < Z < 0,6) = 0,2258
0 0,6
Obtemos:
P( Z > 0,6 ) = 0,5 – 0,2258 = 0,2742
1.e. P(Z < 0,92)
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:
Temos que
P( Z < 0,92 ) = P( Z < 0) + P( 0 < Z < 0,92)
Como:
0 0,92
P( Z < 0) = 0,5 e P( 0 < Z < 0,92) = 0,3212
Obtemos:
P( Z > 0,6 ) = 0,5 + 0,3212= 0,8212
2. Admitindo-se que 500 alunos de um curso de pós-graduação estão distribuídos
normalmente em torno de um grau final de curso 8,5 e com desvio padrão de 0,8, e em se
querendo selecionar 10% destes alunos para realizarem um curso de aperfeiçoamento, que
nota deveria ser o ponto de corte para a seleção?
Devemos inicialmente determinar os valores da variável de distribuição reduzida.
Assim:
Temos que
0
zxi
zxi deve conter todos os valores menores que o
ponto de corte que é de 10,00%, logo, devemos
encontrar o valor de z que represente 40% dos valores
maiores que a média (0,4000)
por interpolação o zxi = 1,28 . 40,00% / 39,97%
zxi = 1,2810
Se
então
zxi = xi – X
s
xi = zxi . s +X
logo: xi = 1,2810 . 0,8 + 8,5= 9,5248
Capítulo 6
Correlação e Regressão
6.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo discute brevemente vários tipos de correlação, a significância dos
coeficientes correlacionais, bem como o uso de correlações para previsões, incluindo as
correlações parciais.
A correlação é uma técnica estatística utilizada para determinar o relacionamento entre
duas ou mais variáveis. Freqüentemente um pesquisador está interessado no grau de
relacionamento entre variáveis. A correlação pode envolver duas variáveis (correlação
simples), tais como o relacionamento entre a altura e o peso, como também três ou mais
variáveis (correlação múltipla), como quando alguém investiga o relacionamento entre um
critério (variável dependente) tal como força muscular e duas ou mais variáveis determinantes
(variáveis independentes), como o peso corporal, porcentagem de gordura, resistência
muscular.
6.2 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON
O coeficiente de correlação de Pearson (r) é um valor quantitativo do relacionamento
entre duas ou mais variáveis, podendo variar entre 0,00 (correlação nula) e 1,00 (correlação
perfeita) tanto na direção positiva quanto na negativa. Portanto, - 1,00 < r < +1,00. Nesse tipo
de correlação, existe uma variável critério (ou dependente) e uma variável preditora (ou
independente).
O r pode ser calculado pela fórmula:
n XY – ( X).( Y)
r=
n X² – ( X)²
n Y² – ( Y)²
De acordo com a força da relação entre as variáveis, a correlação pode ser positiva,
negativa ou nula. Quando os escores de cada par ordenado são plotados em um gráfico de
dispersão, formam uma elipse, que quanto mais próxima de uma reta, mais perfeita será a
correlação entre as variáveis, conforme as Fig. 24a e Fig. 24c. Quando virtualmente não
existe relação entre variáveis, a correlação tende a 0,00. Isso denota independência entre os
grupos de escores, que não exibem um padrão discernível, conforme a Fig. 24b.
CORRELAÇÃO NULA
CORRELAÇÃO POSITIVA
CORRELAÇÃO NEGATIVA
Y
Y
Y
145
130
115
100
85
70
55
40
145
130
115
100
85
70
55
40
145
130
115
100
85
70
55
40
20
30
40
50
60
70
X
Figura 24a – Correlação positiva
20
30
40
50
60
70
X
Figura 24b – Correlação nula
20
30
40
50
60
70
X
Figura 24c – Correlação negativa
58
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Uma correlação positiva existe, quando uma pequena quantidade da variável X é
associada com uma pequena quantidade da variável Y , e uma grande quantidade da variável
X é associada com uma grande quantidade da variável Y. A Tab. 20 apresenta o cálculo de r
para as variáveis: peso corporal (X) e força muscular (Y).
Tabela 20 – Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
=
Peso Força
(X)
(Y)
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
720
58
68
65
78
80
76
92
90
100
98
103
104
114
112
115
120
1473
Cálculo de r
XY
X²
Y²
1740
2176
2210
2808
3040
3040
3864
3960
4600
4704
5150
5408
6156
6272
6670
7200
68998
900
1024
1156
1296
1444
1600
1764
1936
2116
2304
2500
2704
2916
3136
3364
3600
33760
3364
4624
4225
6084
6400
5776
8464
8100
10000
9604
10609
10816
12996
12544
13225
14400
141231
Sendo:
r
=
n XY – ( X).( Y)
n X² – ( X)²
n = 16
X = 720 e ( X)²= 518400
Y = 1473 e ( Y)²= 2169729
XY = 68998
X² = 33760
Y² = 141231
n Y² – ( Y)²
r=
16. 68998 – 720. 1473
16. 33760 – 518400
16. 141231 – 2169729
r=
1103968 – 1060560
540160 – 518400
2259696 – 2169729
43408
147,5127 . 299,945
r=
r = 0,98107
A Fig. 25 é uma ilustração gráfica da correlação positiva (r = 0,98107) quase perfeita.
CORRELAÇÃO ENTRE FORÇA MUSCULAR
E PESO CORPORAL
Lb
145
130
115
100 X=92,1
85
70
55
40
20
X=45
30
40
50
60
70
Kg
figura 25 – Gráfico de dispersão da relação força muscular X peso corporal.
O peso corporal e a força muscular estão correlacionados positivamente nos sujeitos
mais pesados, já que esses são geralmente mais fortes do que os mais leves. A correlação não
é perfeita porque encontramos sujeitos mais leves que são mais fortes do que sujeitos mais
pesados, como por exemplo os sujeitos: 2 e 3; 5 e 6; 7 e 8; 9 e 10; 13 e 14.
59
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Uma correlação negativa existe, quando uma pequena quantidade da variável X é
associada com uma grande quantidade da variável Y , e uma grande quantidade da variável X
é associada com uma pequena quantidade da variável Y. A Tab.21 apresenta o cálculo de r
para as variáveis: peso corporal (X) e flexão na barra (Y).
Tabela 21 – Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
=
Peso
(X)
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
1400
Flexões
(Y)
20
18
16
15
14
13
12
10
8
7
6
5
4
3
2
1
154
XY
X²
Y²
1000
990
960
975
980
975
960
850
720
665
600
525
440
345
240
125
11350
2500
3025
3600
4225
4900
5625
6400
7225
8100
9025
10000
11025
12100
13225
14400
15625
131000
400
324
256
225
196
169
144
100
64
49
36
25
16
9
4
1
2018
Cálculo de r
Sendo:
r
=
n XY – ( X).( Y)
n X² – ( X)²
n = 16
X = 1400e ( X)²= 1960000
Y = 154 e ( Y)²= 23716
XY = 11350
X² = 131000
Y² = 2018
r=
r=
n Y² – ( Y)²
16. 11350 – 1400. 154
16. 131000– 1960000
16. 2018 – 23716
181600 – 215600
2096000 – 1960000
32288 – 23716
– 34000
368,782 . 92,585
r=
r = 0,99579
A Fig. 26 é uma ilustração gráfica da correlação positiva (r = – 0,99579) quase perfeita.
CORRELAÇÃO ENTRE PESO CORPORAL
E FLEXÕES NA BARRA
Nr
21
18
15
12
X=9,6
9
6
3
0
45
55
X=45
65
75
85
95
105
115
125
Kg
figura 26 – Gráfico de dispersão da relação peso corporal X flexões na barra.
A flexão na barra é executada pela suspensão do peso corporal até o queixo passar acima
da barra, desta forma, o peso corporal pode fornecer uma tendência, indicando
freqüentemente que pessoas mais pesadas tendem a executar um número menor de barras do
que as pessoas mais leves.
60
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
6.3 CORRELAÇÃO E CAUSA
Uma correlação entre duas variáveis não significa, necessariamente, que uma variável
causa a outra. Por exemplo, podemos citar um estudo que pretendesse verificar a relação entre
o posto/graduação de militares e seu desempenho no tiro prático de pistola. Muito
provavelmente encontraríamos capitães com muito bons resultados e recrutas com péssimos
resultados. Pesquisadores inexperientes (ou desatentos) talvez concluíssem que quanto maior
o posto/graduação, melhor seria o resultado no teste de tiro prático de pistola. Desta forma,
bastaria que promovêssemos todos os recrutas ao posto de coronel para que só houvesse
excelentes atiradores de pistola no Exército (parece lógico?!).
Não se pretende dizer que uma variável não possa ser a causa de outra, mas que não se
pode inferir somente com o resultado de uma correlação. No exemplo ilustrativo acima,
dever-se-ia levar em consideração outras variáveis que provavelmente tenham correlação com
o resultado do tiro, tais como: experiência do atirador (quanto mais se pratica melhor tende
a ser o resultado) e o “ nervosismo” do atirador (com a prática prolongada o atirador tende a
ficar menos nervoso durante a performance, melhorando seu resultado). A única forma de
demonstrar uma causa é com um experimento no qual uma variável independente pode ser
manipulada para produzir um efeito, e as variáveis intervenientes podem ser controladas.
Além de se verificar o valor de r, e se é positivo ou negativo, deve-se entender o que
significa, em termos de ser alto ou baixo, satisfatório ou insatisfatório.
6.4 INTERPRETAÇÃO DE “ r”
Existem muitas formas de se interpretar o r, sendo um dos critérios sua significância
(confiabilidade), que representa a probabilidade de obter-se uma relação similar se o estudo
fosse repetido n vezes.
O nível significância pode ser estabelecido por meio de cálculos matemáticos ou,
simplesmente, consultando a Tabela “ r” (Anexo VI). Para tal, deve-se selecionar o nível
desejado, tais como 0,05 ou 0,01, e ler a tabela de acordo com os graus de liberdade (gl)
adequados [gl são baseados no número de sujeitos (n) corrigidos para tendências amostrais (2
variáveis)], que, para r, gl= n -2 .
Para o exemplo de correlação entre o peso corporal e as flexões na barra (r = – 0,99579),
os graus de liberdade são n - 2 = 16 - 2 = 14, (onde n refere-se ao número de pares de
escores). Ao ler-se a tabela no gl 14, vemos que é necessária uma correlação de 0,4863 para a
significância de um teste bi-caudal no nível 0,5 (e 0,5742 no nível 0,01). Logo se pode
concluir que uma correlação de r = – 0,98107 é significante. (Explicaremos teste uni-caudal
ou bi-caudal na seção sobre a interpretação de t no Volume II).
A correlação necessária para um determinado nível de significância diminui com o
aumento do número de sujeitos, logo, coeficientes de correlação muito baixos podem ser
significantes para uma amostra ampla de sujeitos. No nível 0,05, uma correlação de 0,4227 é
significante com 20 gl, r = 0,2500 é significante com 60 gl, e 0,1946 é significante com 100
gl. Por outro lado, uma maior correlação é exigida para a significância no nível 0,01 do que
no nível 0,05.
61
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
O nível 0,05 significa que se 100 experimentos fossem conduzidos, assumiria-se a
possibilidade de se rejeitar a hipótese nula (de que não existe relação), pelo acaso, somente
em 5 das 100 ocasiões. No nível 0,01, esperasse cometer este erro somente uma vez a cada
100 experimentos devido ao acaso. Logo, o teste de significância no nível 0,01 é mais preciso
do que no nível 0,05, e, portanto, uma correlação maior é exigida para a significância no nível
0,01.
A Estatística pode responder se os efeitos são confiáveis, e se eles são significantes. O
critério mais comumente usado para a interpretação de r , conforme sua significância, é o
coeficiente de determinação (r2), que indica a porção da variação total em uma medida que
pode ser explicada, ou devida à variação na outra medida.
Para uma correlação de 0,70 entre duas variáveis, apenas cerca da metade (49%) da
variação (ou influências) em um teste é associada com a outra. Se r = 0,80, então 64% da
performance em um teste são associados com, ou explicados pelos, fatores envolvidos na
performance do outro teste.
A variação não explicada (1,0 - r2) refere-se à variação em uma variável (dependente)
que não ocorre em função da manipulação da outra variável (independente). Com uma
correlação de 0,70, existe 49% de variação comum (explicada), e 51% (1,00 - 0,702) de
variação de erro (não explicada). Quando se utiliza o coeficiente de determinação para
interpretar os coeficientes de correlação, fica evidente que uma relação mais substancial é
necessária para explicar uma grande quantidade de variação comum. A Tabela 22 apresenta a
relação entre o coeficiente de correlação e as variações explicadas e não explicadas um breve
exemplo
Tabela 22 – Relação entre r e as variações explicadas e não explicadas
r
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0.300
Explicada
81%
64%
49%
36%
25%
16%
9%
Variação
Não Explicada
19%
36%
51%
64%
75%
84%
91%
O tamanho comparativo das correlações devidas ao coeficiente de determinação também
pode ser observado. Uma correlação de 0,90 não é simplesmente três vezes maior do que uma
correlação de 0,30; é nove vezes maior (0,300² = 0,09, ou 9%, e 0,900²= 0,81, ou 81%).
6.5 TRANSFORMAÇÃO “ Z” DO “ r”
Um pesquisador pode estar interessado em determinar a média de duas ou mais
correlações. É estatisticamente insuficiente tentar calcular a média dos coeficientes por eles
mesmos, porque a distribuição de amostras dos coeficientes de correlação não é normal, pois
quanto maior for a correlação mais desviada se torna a distribuição.
62
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
O método mais satisfatório de aproximação da normalidade de uma distribuição de
amostras de relações lineares é pela transformação dos r para valores Z (transformação Z de
Fisher). Tal procedimento envolve o uso de logaritmos naturais. Todavia, não necessitamos
utilizar a fórmula de Fisher para calcular as transformações, basta utilizar a Tabela para
transformação de r para z, localizando o valor Z correspondente para qualquer coeficiente de
correlação em particular.
Suponha, por exemplo, que obtivemos correlações entre a distância percorrida e a
freqüência cardíaca durante a corrida do TAF (correr-caminhar por 12 minutos) em quatro
grupos de sujeitos de diferentes de idades. Para combinarmos essas correlações de amostras a
fim de se obter uma estimativa válida e confiável da relação entre essas duas variáveis, devese proceder conforme a Tab. 23.
Tabela 23 Cálculo da média dos coeficientes de correlação (transformação Z).
Grupo etário
18-25
26-33
34-40
41-47
n
33
35
34
35
r
0,700
0,835
0,770
0,735
Z
0,867
1,204
1,020
0,929
=
n-3
30
32
31
32
125
Z com peso
26,010
38,528
31,620
29,728
125,886
Passos da utilização dos valores Z para o cálculo da correlação média.
a. converter cada correlação para um valor Z utilizando a Tabela para transformação de
r para z (Anexo VII);
b. contrapesar os valores Z multiplicando-os pelos graus de liberdade para cada amostra,
que nesse processo é n – 3;
c. somar os valores contrapesados de Z;
d. calcular a média do valor Z dividindo-se pela amostra total [ (n-3)]: 125,886/125 =
1,007.
e. converter o valor médio do Z contrapesado a uma correlação média consultando-se
novamente a Tabela para transformação de r para z, Z = 1,007 o r médio é 0,765.
A transformação Z é também utilizada para os testes estatísticos (tais como aqueles para a
significância do coeficiente de correlação) e para determinar a significância da diferença entre
dois coeficientes de correlação. Alguns autores afirmam que para calcular a média das
correlações pela transformação Z, deve-se primeiro estabelecer que não existem diferenças
significativas entre as correlações testadas. Uma comparação de diferenças poderia ser feita
utilizando um teste de qui-quadrado para os valores de Z com contrapeso (o qui-quadrado é
uma técnica não-paramétrica discutida no Volume 2).
63
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
6.6 REGRESSÃO LINEAR
Um dos propósitos da correlação pode ser a previsão. Sempre que se deseja estudar
determinada variável dependente (sobre a qual deseja-se fazer uma estimativa) , em função de
uma variável independente, utiliza-se uma equação de predição (regressão) baseada na
correlação entre X e Y. Quanto mais alta for a relação entre as duas variáveis, mais
precisamente poder-se-á prever Y a partir de X.
Geralmente utilizam-se as fórmulas abaixo descritas para o cálculo da linha de melhor
ajustamento (reta de regressão)
Y= a+bX
Sendo: a = Xy – bXx
b= r (Sy/Sx)
Onde:
Y = variável dependente (critério)
a = o ponto de intersecção
b = a inclinação da linha de regressão
X = variável independente (preditor)
Xy e Sy = média e desvio padrão de y
Xx e Sx= média e desvio padrão de x
r = correlação entre X e Y
Quadro 22 – Fórmula da regressão linear
A letra a da fórmula de regressão indica a intersecção da linha de regressão no eixo y.
Em outras palavras, a é o valor de Y quando X = 0. A inclinação da linha (b) significa a
quantidade de mudança em Y que acompanha uma mudança de 1 unidade de X.
Utilizando os dados da Tab. 20, peso corporal (X) e força muscular (Y).onde a
correlação entre o peso corporal (X) e força muscular (Y) foi r = 0,98107. As médias e os
desvios-padrão são os seguintes:
Medida
Peso
Força
X
S
r
45,00
9,522
0,98107
92,06
19,361
0,98107
Sendo: Y= a+bX
Onde:
b = r (Sy/Sx)= 0,98107 . (19,361/9,522)
b = 1,995
a = Xy – bXx = 92,06 - 1,995 . 45,00
a = 2,285
Logo : Y = 2,285 + 1,995.X
Quadro 23 – Cálculo da equação de regressão linear
Para qualquer peso corporal (X), podemos calcular o escore de força muscular (Y)
predito. Por exemplo, um sujeito pesando 100 Kg teria um escore Y (força predita):
Y = 2,285 + 1,995.X = 2,285 + 1,995.100
Y = 201,785
Quando prevemos a força muscular a partir do peso corporal a correlação (r = 0,98107) é
menor do que 1.00, ou seja a correlação não é perfeita. Deste modo é possível dizer que existe
um erro na estimativa de Y a partir de X, o qual chamaremos de erro de predição.
64
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
6.7 LINHA DE MELHOR AJUSTAMENTO E ERRO DE PREDIÇÃO
A Fig. 25 mostra que a dispersão dos escores de peso e força não forma uma linha reta,
mas sim uma elipse. Conseqüentemente, devemos calcular uma linha de melhor ajustamento
para prever Y a partir dos escores X. Para tal pode-se eleger um escore X alto (60Kg), e um
baixo (30kg) e aplicamos a fórmula de predição. Para um peso corporal de 60kg, prediz-se Y
= 2,285 + 1,995.60= 121,99. Para um peso corporal de 30Kg, predize-se Y= 2,285 + 1,995.30
= 62,14.
Deve-se então, plotar esses dois valores previstos no gráfico de dispersão e conectá-los
com uma linha reta. Essa linha passa pela intersecção das médias X e Y A Fig. 27 mostra essa
linha de melhor ajustamento. Desta forma, pode-se notar que os escores não se situam na
linha reta, mas em torno da mesma. Quanto mais próximo da perfeição estiver o nível de
correlação entre as variáveis X e Y, mais próximos da linha de melhor ajustamento estarão os
escores plotados.
CORRELAÇÃO ENTRE FORÇA MUSCULAR
E PESO CORPORAL
Lb
Kg
120
100
X=92,1
80
60
40
20
a= (0; 2,285)
X=45
0
0
20
40
60
80
100
120
Kg
Figura 27 – Regressão linear da relação força muscular X peso corporal.
Na construção dessa linha de melhor ajustamento, selecionamos um alto peso corporal
(60) e um peso corporal baixo (30) e predizemos seus valores Y Quando examinamos seus
valores Y reais, vemos que existe algum erro na predição. O escore de força previsto para o
sujeito de 60kg foi de 121,99Kg, mas ele obteve apenas 120Kg, uma diferença de -1,99Kg.
Ao mesmo tempo, esperava-se que o sujeito de 30Kg obtivesse 62,14Kg no dinamômetro, e
na verdade ele obteve 58Kg, uma diferença de – 4,14Kg. Essas diferenças entre o escore Y
previsto e o real representam erros de predição e são chamados de escores residuais. Se
computássemos todos os escores residuais, a média seria zero e o desvio-padrão seria o erro
de predição padrão, ou erro de estimativa padrão (Sy.x).
65
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Uma forma mais simples de se obter o erro de predição padrão é utilizar a fórmula
Sy.x = Sy
1-r²
Sendo:
Sy.x = erro de predição padrão
Sy = desvio padrão de Y
r = correlação entre X e Y
Quadro 24 – Fórmula do erro de predição padrão (Sy.x).
O erro de predição padrão é interpretado da mesma forma que o desvio-padrão. O valor
predito (força) de um sujeito, mais ou menos o erro de estimativa padrão, ocorrerá
aproximadamente 68 vezes em 100.
Para o exemplo utilizado até o presente momento, um sujeito de 50Kg teria uma força
predita de Y = 2,285 + 1,995.50 = 102,04 Kg mais ou menos o erro de predição.
Sendo: Sy.x = Sy
1-r²
Onde:
Sy = 19,361 e r = 0,98107
Logo:
Sy.x = 19,361 1 - 0,98107
Sy.x = 19,361 . .013759
Sy.x= 2.66
Quadro 25 – Cálculo de Sy.x para força muscular X peso corporal.
Ao medirmos a força muscular de um sujeito de 50Kg, provavelmente encontraremos
uma força muscular variando:
entre 99.38 Kg e 104,70 Kg (Y + Sy.x ) em 68,26% dos casos;
entre 96,72 Kg e 107,36 Kg (Y + 2Sy.x ) em 95,44% dos casos; e
entre 94,06 Kg e 110,02 Kg (Y + 3Sy.x ) em 99,74% dos casos.
Este intervalo é chamado de “ amplitude de predição” Quanto maior a correlação, menor
será o erro de predição. Além disso, quanto menor o desvio padrão do critério, menor será o
erro.
6.8 CORRELAÇÃO PARCIAL
Quando existe pouca ou nenhuma correlação entre duas variáveis X e Y, que não seja
causada por sua dependência comum a uma terceira variável Z, a correlação entre X e Y é
algumas vezes equivocada, e pode ser difícil de interpretar.
Por exemplo, em uma ampla faixa etária (18 a 47 anos), a correlação entre duas variáveis
como resultado no tiro prático de pistola dos sujeitos e seu posto/graduação será, quase
certamente, positiva e provavelmente alta, em função do fator experiência no esporte (anos de
prática) com o qual elas estão altamente correlacionadas.
66
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Na verdade, a correlação pode diminuir muito se a variabilidade causada pelas diferenças
de experiência for eliminada, podendo-se controlar esse fator por meio de duas formas:
selecionar apenas sujeitos da mesma idade, ou eliminar-se os efeitos da idade estatisticamente
mantendo-a constante. O símbolo para a correlação parcial é r12.3 o qual significa a
correlação entre as variáveis 1 e 2 com a variável 3 mantida constante
Lembremos novamente a correlação entre o resultado do tiro prático de pistola e o
posto/graduação do sujeito. Esse é um exemplo de correlação espúria, o que significa que a
correlação entre as duas variáveis é devida à influência comum de uma outra variável
(experiência no esporte). Quando o efeito da terceira variável (experiência) é removido, a
correlação entre o resultado do tiro prático de pistola e o posto/graduação diminui ou
desaparece completamente.
Chamaremos as três variáveis a seguir: 1 = resultado no tiro prático de pistola, 2 = posto
/graduação, e 3 = experiência (anos de prática). Logo, r12.3 é a correlação parcial entre as
variáveis 1 e 2, com 3 sendo mantida constante. Podemos ajustar alguns coeficientes de
correlação entre três variáveis: r12 = 0,765; r13 = 0,880; e r23 = 0,850.
Sendo: r12.3 =
r12. - r1.3 r2.3
1-r13²
1-r23²
Onde:
r12 = 0,765
Correlação entre 1 e 2
r13 = 0,880
Correlação entre 1 e 3
r23 = 0,850
Correlação entre 2 e 3
Logo:
r12.3 =
0,765 - 0,880 . 0,850
1 - 0,880² 1- 0,850²
r12.3 =
0,765 – 0,748
0,2256
0,2775
r12.3 =
0.017
0,47497 . 0,52678
r12.3 = 0,068
Quadro 26 – Fórmula e cálculo da correlação parcial.
Pode-se notar que a correlação entre o resultado do tiro prático de pistola e o
posto/graduação cai à cerca de zero quando a experiência do atirador é isolada. A correlação
parcial é principalmente utilizada no desenvolvimento de equações de regressão múltipla
com duas ou mais variáveis preditoras.
6.9 REGRESSÃO MÚLTIPLA
A regressão múltipla consiste em uma variável dependente (usualmente um critério de
algum tipo) e duas ou mais variáveis preditoras (variáveis independentes), tendo em vista que
o uso de mais de uma variável preditora, usualmente aumenta a precisão da predição. Caso se
desejasse predizer a capacidade de um atirador dever-se-ia analisar a correlação de várias
habilidades inerentes ao tiro para se predizer a sua performance com o decorrer dos anos de
prática, ou seja utilizando vários preditores ao invés de apenas um.
67
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
O coeficiente de correlação múltipla (R) indica a relação entre um critério e o somatório
dos pesos suas variáveis preditoras. Segue-se então que R2 representa a quantidade de
variância do critério que é explicada pela associação/combinação dos preditores (mesmo
conceito do coeficiente de determinação r2). Ao utilizarmos R, desejamos encontrar a
combinação de variáveis que fornecerá a predição mais precisa do critério, portanto é
importante saber o quanto cada um dos mecanismos de predição contribui para a variação
total explicada, encontrando as variáveis que melhor reduzirão os erros de predição. Existem
vários métodos de regressão múltipla. Neste manual abordaremos apenas as mais comumente
utilizadas, a regressão múltipla progressiva, a regressão múltipla regressiva,o método do R2
máximo e o método de regressão gradativa
O método de regressão múltipla progressiva consiste em adicionarmos,
progressivamente, uma nova variável preditora. A primeira variável selecionada deve ser
aquela com a maior correlação com o critério. As variáveis selecionadas produzem
cumulativamente a soma residual mínima de quadrados, significando que a soma residual de
quadrados constitui erro. Algumas vezes o pesquisador irá determinar um nível de
probabilidade para entrada, como 0,05 ou 0,01. Dessa forma, as variáveis são acrescentadas
até que elas não possam mais aumentar de forma significativa a predição do critério. Sempre
que duas variáveis possa estar medindo a mesma coisa, a inclusão de ambas não é melhor do
que utilizar apenas uma.
Após o primeiro passo, a seleção de variáveis adicionais é determinada pelo efeito
combinado, não apenas pelo efeito aditivo. Em outras palavras, o processo leva em
consideração as inter-relações entre as variáveis X. Após cada variável X ser introduzida, o
processo identifica qual das variáveis preditoras restantes explicará a maior quantidade de
variação inexplicada. As variáveis devem ser introduzidas conforme a sua importância e o
processo termina quando não existe mais uma contribuição significativa para a predição.
No método de regressão múltipla regressiva, as variáveis independentes são eliminadas
por sua falta de importância. Inicia-se com todas as variáveis independentes e exclui-se
aquelas que não contribuem significativamente para a predição do critério. Determina-se um
nível de probabilidade para entrada, como 0,05 ou 0,01, e as variáveis que não alcançam o
nível de significância, são excluídas.
O R2 máximo é o método no qual o chamado melhor de todos os modelos possíveis de
urna única variável é selecionado, assim como o melhor modelo de duas variáveis, o melhor
modelo de três variáveis e assim por diante, até um critério predeterminado que termina
quando o cálculo é alcançado.
O método de regressão gradativa é um procedimento de regressão similar à seleção
progressiva exceto pelo fato de que a cada passo todas as variáveis independentes são
avaliadas para se verificar se cada uma continua contribuindo para a predição. Se uma
variável independente não contribui, ela é então excluída (removida) da combinação linear.
A equação de predição da regressão múltipla segue o modelo de regressão de duas
variáveis (Y = a + bX), diferindo apenas na existência de mais de uma variável X, conforme a
equação:
Y= a+ b1X1+ b2X2+...+biXi
68
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
A premissa básica em uma regressão múltipla é a mesma que na regressão linear simples,
ou seja, o tamanho da correlação entre as variáveis de estudo. Quanto maior a correlação,
mais precisa será a predição. Todavia, uma limitação da predição relaciona-se com a
generalização das constatações, pois as equações de regressão desenvolvidas por uma
amostra, freqüentemente perdem em precisão quando aplicadas a outras amostras, o que
chamamos de redução. O termo especificidade de população também se relaciona a esse
fenômeno, pois ao buscarmos uma maior precisão por meio de procedimentos de seleção das
variáveis preditoras (o que reforça as características específicas da amostra), tornamos mais
difícil a generalização dos achados para outras populações.
Os resultados de uma fórmula de predição para adolescentes provavelmente perderiam
muita precisão se aplicada em adultos. Assim, o pesquisador deve selecionar cuidadosamente
uma amostra em relação à população para a qual os resultados deverão ser generalizados.
Em estudos de previsão, quanto maior a amostra, mais provavelmente ela representará a
população da qual foi retirada. Um grande problema com pequenas amostras em estudos de
regressão múltipla é que a correlação pode ser espuriamente alta. Existe uma relação direta
entre a correlação, e a razão entre o número de sujeitos versus o número de variáveis. O grau
no qual o valor esperado de R2 excederá zero quando é zero na população depende de dois
fatores: o tamanho da amostra (n) e o número de variáveis (k). Ao selecionarmos o número de
sujeitos de uma amostra devemos tomar o cuidado de observar a razão R2 = k - 1 / n – 1. Por
fim, é recomendável manter-se uma razão de 10 sujeitos ou mais para cada variável.
ANEXOS
69
ANEXO I
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
O quadro abaixo indica os tipos de técnicas estatísticas que podem ser aplicadas para a
descrição de conjuntos de dados para se obter um resumo ou descrição geral deles.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL - ESTATÍSTICA DESCRITIVA E GRÁFICOS
N° de
Escala
Análises Aplicáveis
Gráficos Aplicáveis
Amostras Numérica
Média, Moda, Desvio Padrão, Coeficiente
Histograma, Box &
Ordinal,
de Variação, Intervalo de Confiança,
Uma ou
Whiskers, Gráfico de
Intervalar ou
Mínimo, Primeiro Quartil, Mediana,
Mais
Séries, Ogiva (Função
Razão
Terceiro Quartil, Máximo, Série
de Distribuição).
Temporal*.
* Quando uma das variáveis registradas for o tempo.
DISTRIBUIÇÃO NÃO-NORMAL - ESTATÍSTICA DESCRITIVA E GRÁFICOS
N° de
Escala
Análises Aplicáveis
Gráficos Aplicáveis
Amostras Numérica
Média, Moda, Desvio Padrão,
Histograma, Box &
Ordinal,
Coeficiente de Variação, Intervalo de
Uma ou
Whiskers, Gráfico de
Intervalar ou Confiança, Mínimo, Primeiro Quartil,
Mais
Séries, Ogiva (Função de
Razão
Mediana, Terceiro Quartil, Máximo,
Distribuição).
Série Temporal*.
Uma ou
Pictograma, Gráfico de
Nominal
Freqüências, Série Temporal*.
Mais
Séries.
* Quando uma das variáveis registradas for o tempo.
ANEXOS
70
ANEXO II
COMPARAÇÕES ENTRE AMOSTRAS
O quadro abaixo indica as técnicas estatísticas que podem ser aplicadas para a
comparação entre os parâmetros de dois ou mais grupos de dados.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL - ESTATÍSTICA DESCRITIVA E GRÁFICOS
Tipo de
N° de Amostras
Escala Numérica
Análises Aplicáveis
Relação
Duas Amostras
Intervalar ou Razão
Teste t de Student Pareado
Pareadas
Três ou Mais
Intervalar ou Razão ANOVA c/ Medidas Repetidas
Amostras
Duas Amostras
Intervalar ou Razão
Teste t de Student
Não-Pareadas
Três ou Mais
ANOVA c/ Grupos
Intervalar ou Razão
Amostras
Independentes
* Variável com apenas dois valores ou duas categorias (variável binária).
DISTRIBUIÇÃO NÃO-NORMAL - ESTATÍSTICA DESCRITIVA E GRÁFICOS
Tipo de
N° de Amostras
Escala Numérica
Análises Aplicáveis
Relação
Ordinal, Intervalar Teste de Friedman, Sign-Test,
Duas Amostras
ou Razão
Wilcoxon Matched-Pairs Test
Nominal
Duas Amostras
Teste de McNemar
Dicotômica*
Pareadas
Três ou Mais
Ordinal, Intervalar
ANOVA de Friedman
Amostras
ou Razão
Três ou Mais
Nominal
Teste Q de Cochran
Amostras
Teste Mann-Whitney U, WaldOrdinal, Intervalar
Wolfowitz Runs Test,
Duas Amostras
ou Razão
Kolmogorov-Smirnov TwoSample Test
Teste de Qui-Quadrado
Duas Amostras
Nominal
Não-Pareadas
(Homogeneidade)
Três ou Mais
Ordinal, Intervalar
ANOVA de Kruskal-Wallis
Amostras
ou Razão
Três ou Mais
Nominal
Teste de Qui-Quadrado
Amostras
* Variável com apenas dois valores ou duas categorias (variável binária).
ANEXOS
71
ANEXO III
RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS
O quadro a seguir mostra as técnicas analíticas e procedimentos gráficos aplicáveis
quando se quer verificar a existência e/ou caracterizar as relações entre duas ou mais
variáveis.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL - ESTATÍSTICA DESCRITIVA E GRÁFICOS
N° de
Gráficos
Escala Numérica das Variáveis
Análises Aplicáveis
Variáveis
Aplicáveis
Correlação de Pearson,
Diagrama de
Duas
Intervalar e/ou Razão
Regressão Linear
Dispersão (X,Y).
Simples.
Diagrama
Três ou
Intervalar e/ou Razão
Regressão Múltipla
Previsão vs.
Mais
Observação
Regressão Linear
Três ou
Intervalar e/ou Razão
Múltipla, Regressão
--Mais
Não-Linear
Nominal Dicotômica* (VariávelTrês ou
--Resposta) e/ou Nominal e/ou Ordinal Regressão Logística
Mais
e/ou Intervalar e/ou Razão
* Variável com apenas dois valores ou duas categorias (variável binária).
DISTRIBUIÇÃO NÃO-NORMAL - ESTATÍSTICA DESCRITIVA E GRÁFICOS
N° de
Gráficos
Escala Numérica das Variáveis
Análises Aplicáveis
Variáveis
Aplicáveis
Correlação de
Diagrama de
Duas
Ordinal e/ou Intervalar e/ou Razão
Spearman.
Dispersão (X,Y).
Duas
Nominal
Teste de Qui-Quadrado.
--Três ou
Correlação Partial Rank
Diagrama de
Ordinal e/ou Intervalar e/ou Razão
Mais
de Kendall
Dispersão (X,Y).
Três ou
Nominal
Análise Discriminante
--Mais
Regressão Linear
Três ou
Intervalar e/ou Razão
Múltipla, Regressão
--Mais
Não-Linear
Nominal Dicotômica* (VariávelTrês ou
Resposta) e/ou Nominal e/ou
Regressão Logística
--Mais
Ordinal e/ou Intervalar e/ou Razão
* Variável com apenas dois valores ou duas categorias (variável binária).
ANEXOS
72
ANEXO IV
TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS
57720039848441796771402113975649865408932968745483
28805351590993988758702771771706320278621674696517
92591852873048869748352518887403629838586586424103
90381291743019758907506415597188137495305278301175
80911694675860820666904756184645111235324550411343
22017031329691927540165429727499009597610098243007
56241004302046299053531105844121647919762951626066
79449262029686643000945669302059878735442250977819
53996645088978507753372577412762380223576201416035
18928735885505213651392850146685793019797266643145
53085896630561257022504128966266436306630132798522
03588029287689511824888946474859192987031033996712
27078188656949980028047051300147189733218582454324
05210859010622249891811755446616077307661012317858
40361327843082333639694205586461123389278952667193
54602528858820001059610536613372010119016110512091
71516340767111737352373160458892734371280498090248
61020181739260667358533442682638340327449604466593
82559313463095265506961765917239799612495280632699
89985414217413576819862860894733152628774538480808
00998484146795137758901450794273633106604340125504
62415078204805884352980319939203049725849595036331
94279069246809921186076383193299511555710927026700
44892928843628251582877418972576106326760226745328
97307695332110542695666552049936584803089363581796
39165804448015595983909554668184396085388866333569
60781103266750340961313020769366308351093383647605
03192347628957779133884760593754394877674985384391
41285267562539599665513690322239330522990339979699
77549850392537425297100356049281668670014889558210
28634161916424838137344883279638716973067750256460
74244885401233596750149814264279791352896978804471
00240337964668750532421663332897263647277365383446
05414769694536167118955197220413239658600369487983
62698497974723665156130869115275592686818043009892
ANEXOS
73
ANEXO V
ÁREA SUBTENDIDA PELA CURVA NORMAL REDUZIDA DE 0 A Z
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0398
0438
0478
0517
0557
0596
0636
0675
0714
0754
0,2 0793
0832
0871
0910
0948
0987
1026
1064
1103
1141
0,3 1179
1217
1255
1293
1331
1368
1406
1443
1480
1517
0,4 1554
1591
1628
1664
1700
1736
1772
1808
1844
1879
0,5 1915
1950
1985
2019
2054
2088
2123
2157
2190
2224
0.6 2258
2291
2324
2357
2389
2422
2454
2486
2518
2549
0,7 2580
2612
2642
2673
2704
2734
2764
2794
2823
2852
0,8 2881
2910
2939
2867
2996
3023
3051
3078
3106
3133
9,0 3159
3186
3212
3238
3264
3289
3315
3340
3365
3389
1,0 3413
3438
3461
3485
3508
3531
3554
3577
3599
3621
1,1 3643
3665
3686
3708
3729
3749
3770
3790
3810
3830
1,2 3849
3869
3888
3907
3925
3944
3962
3980
3997
4015
1,3 4032
4049,
4066
4082
4099
4115
4131
4147
4162
4177
1,4 4192
4207
4222
4236
4251
4265
4279
4292
4306
4319
1,5 4332
4345
4357
4370
4382
4394
4406
4418
4429
4441
1,6 4452
4463
4474
4484
4496
4505
4515
4525
4535
4545
1,7 4554
4564
4573
4582
4591
4599
4608
4616
4625
4633
1,8 4641
4649
4656
4664
4671
4678
4686
4693
4699
4706
1,9 4713
4719
4726
4732
4738
4744
4750
4756
4761
4767
2,0 4772
4778
4783
4788
4793
4798
4803
4808
4812
4817
2,1 4821
4826
4830
4834
4838
4842
4846
4850
4854
4857
2,2 4861
4864
4868
4871
4875
4878
4881
4884
4887
4890
2,3 4893
4896
4898
4901
4904
4906
4909
4911
4913
4916
2,4 4918
4920
4922
4925
4927
4929
4931
4932
4934
4936
2,5 4938
4940
4941
4943
4945
4946
4948
4949
4951
4952
2,6 4953
4955
4956
4957
4959
4960
4961
4962
4963
4964
2,7 4965
4966
4967
4968
4969
4970
4971
4972
4973
4974
2,8 4974
4975
4976
4977
4977
4978
4979
4979
4980
4981
2,9 4981
4982
4982
4983
4984
4984
4985
4985
4986
4986
3,0 4987
4987
4987
4988
4988
4989
4989
4989
4990
4990
3,1 4990
4991
4991
4991
4992
4992
4992
4992
4993
4993
3,2 4993
4993
4994
4994
4994
4994
4994
4995
4995
4995
3,3 4995
4995
4995
4996
4996
4996
4996
4996
4996
4997
3,4 4997
4997
4997
4997
4997
4997
4997
4997
4997
4998
3,5 4998
4998
4998
4998
4998
4998
4998
4998
4998
4998
3,6 4998
4998
4999
4999
4999
4999
4999
4999
4999
4999
3,7 4999
4999
4999
4999
4999
4999
4999
4999
4999
4999
3,8 4999
4999
4999
4999
4999
4999
4999
4999
4999
4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
ANEXOS
74
ANEXO VI
VALORES CRÍTICOS DOS COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO (TABELA r )
Nível de significância para teste caudal
0,025
0,01
0,005
0,0005
Nível de significância para teste bicaudal
0,10
0,05
0,02
0,01
0,001
0,05
df n – 2
1
2
3
4
5
0,9877
0,9000
0,8054
0,7293
0,6694
0,9969
0,9500
0,8783
0,8114
0,7545
0,9995
0,9800
0,9343
0,8822
0,8329
0,9999
0,9900
0,9587
0,9172
0,8745
1,0000
0,9990
0,9912
0,9741
0,9507
6
7
8
9
10
0,6215
0,5822
0,5494
0,5214
0,4973
0,7067
0,6664
0,6319
0,6021
0,5760
0,7887
0,7498
0,7155
0,6851
0,6581
0,8343
0,7977
0,7646
0,7348
0,7079
0,9249
0,8982
0,8721
0,8471
0,8233
11
12
13
14
15
0,4762
0,4575
0,4409
0,4259
0,4124
0,5529
0,5324
0,5139
0,4973
0,4821
0,6339
0,6120
0,5923
0,5742
0,5577
0,6835
0,6614
0,6411
0,6226
0,6055
0,8010
0,7800
0,7603
0,7420
0,7246
16
17
18
19
20
0,4000
0,3887
0,3783
0,3687
0,3598
0,4683
0,4555
0,4438
0,4329
0,4227
0,5425
0,5285
0,5155
0,5034
0,4921
0,5897
0,5751
0,5614
0,5487
0,5368
0,7084
0,6932
0,6787
0,6652
0,6524
25
30
35
40
45
0,3233
0,2960
0,2746
0,2573
0,2428
0,3809
0,3494
0,3246
0,3044
0,2875
0,4451
0,4093
0,3810
0,3578
0,3384
0,4869
0,4487
0,4182
0,3932
0,3721
0,5974
0,5541
0,5189
0,4896
0,4648
50
60
70
80
90
100
0,2306
0,2108
0,1954
0,1829
0,1726
0,1638
0,2732
0,2500
0,2319
0,2172
0,2050
0,1946
0,3218
0,2948
0,2737
0,2565
0,2422
0,2301
0,3541
0,3248
0,3017
0,2830
0,2673
0,2540
0,4433
0,4078
0,3799
0,3568
0,3375
0,3211
ANEXOS
75
ANEXO VII
TABELA PARA TRANSFORMAÇÃO DE r PARA Z
r
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,050
0,055
0,060
0,065
0,070
0,075
0,080
0,085
0,090
0,095
0,100
0,105
0,110
0,115
0,120
0,125
0,130
0,135
0,140
0,145
0,150
0,155
0,600
0,165
0,170
0,175
0,180
0,185
0,190
0,195
Z
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,050
0,055
0,060
0,065
0,070
0,075
0,080
0,085
0,090
0,095
0,100
0,105
0,110
0,116
0,121
0,126
0,131
0,136
0,141
0,146
0,151
0,156
0,161
0,167
0,172
0,177
0,182
0,187
0,192
0,198
r
0,200
0,205
0,210
0,215
0,220
0,225
0,230
0,235
0,240
0,245
0,250
0,255
0,260
0,265
0,270
0,275
0,280
0,285
0,290
0,295
0,300
0,305
0,310
0,315
0,320
0,425
0,330
0,335
0,340
0,345
0,350
0,355
0,360
0,365
0,370
0,375
0,380
0,385
0,390
0,395
Z
0,203
0,208
0,213
0,218
0,224
0,229
0,234
0,239
0,245
0,250
0,255
0,261
0,266
0,271
0,277
0,282
0,288
0,293
0,299
0,304
0,310
0,315
0,321
0,326
0,332
0,337
0,343
0,348
0,354
0,360
0,365
0,371
0,377
0,383
0,388
0,394
0,400
0,406
0,412
0,418
r
Z
r
Z
r
Z
0,400
0,405
0,410
0,415
0,420
0,425
0,430
0,435
0,440
0,445
0,450
0,455
0,460
0,465
0,470
0,475
0,480
0,485
0,490
0,495
0,500
0,505
0,510
0,515
0,520
0,525
0,530
0,535
0,540
0,545
0,550
0,555
0,560
0,565
0,570
0,575
0,580
0,585
0,590
0,595
0,424
0,430
0,436
0,442
0,448
0,454
0,460
0,466
0,472
0,478
0,485
0,491
0,497
0,504
0,510
0,517
0,523
0,530
0,536
0,543
0,549
0,556
0,563
0,570
0,576
0,583
0,590
0,597
0,604
0,611
0,618
0,626
0,633
0,640
0,648
0,655
0,662
0,670
0,678
0,685
0,600
0,605
0,610
0,615
0,620
0,625
0,630
0,635
0,640
0,645
0,650
0,655
0,660
0,665
0,670
0,675
0,680
0,685
0,690
0,695
0,700
0,705
0,710
0,715
0,720
0,725
0,730
0,735
0,740
0,745
0,750
0,755
0,760
0,765
0,770
0,775
0,780
0,785
0,790
0,795
0,693
0,701
0,709
0,717
0,725
0,733
0,741
0,750
0,758
0,767
0,775
0,784
0,793
0,802
0,811
0,720
0,829
0,838
0,848
0,858
0,867
0,877
0,887
0,897
0,908
0,918
0,929
0,940
0,950
0,962
0,973
0,984
0,996
1,008
1,020
1,033
1,045
1,058
1,071
1,085
0,800
0,805
0,810
0,815
0,820
0,825
0,830
0,835
0,840
0,845
0,850
0,855
0,860
0,865
0,870
0,875
0,880
0,885
0,890
0,895
0,900
0,905
0,910
0,915
0,920
0,925
0,930
0,935
0,940
0,945
0,950
0,955
0,960
0,965
0,970
0,975
0,980
0,985
0,990
0,995
1,099
1,113
1,127
1,142
1,157
1,172
1,188
1,204
1,221
1,238
1,256
1,274
1,293
1,313
1,333
1,354
1,376
1,398
1,422
1,447
1,472
1,499
1,528
1,557
1,589
1,623
1,658
1,697
1,738
1,783
1,832
1,886
1,946
2,014
2,092
2,185
2,298
2,443
2,647
2,994
REFERÊNCIAS
BEIGUELMAN, B. Curso prático de bioestatística. 5. ed. Ribeirão Preto: FUNPEC, 2002.
BUSSAB, W. O., MORETIN, P. A. Estatística básica. 3. ed. São Paulo: Atual, 1986.
CHACON, P. E. Curso breve de estatística. 2. ed. Universidad de Duesto, 1965.
COCHRAN, W. G. Técnicas de amostragem. Rio de Janeiro: Editora Fundo de Cultura,
1965.
CLARKE, A. B., DISNEY, R. L. Probabilidade e processos estatísticos. Rio de Janeiro:
LTC, 1979.
COSTA NETO, P.L.O. Estatística. São Paulo: Edgard Blücher, 1977.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 17. ed. São Paulo: Saraiva, 2001
EDWARDS, A. L. Statistical Methods. 2. ed. New York: Holt, Rinehart and Winston
FONSECA, J.S., MARTINS, G. A. Curso de estatística. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1984.
GATTÁS, R. R. Elementos de probabilidades e inferência. São Paulo: Atlas, 1978.
GOES, L. A. C. Estatística: uma abordagem decisorial. São Paulo: Saraiva, 1940. v. 1.
GUEDES, M.L.S.; GUEDES, J.S. Bioestatísca. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A., 1988.
GUERRA, J. G., DONAIRES, D. Estatística indutiva. 4. ed. São Paulo: LCT, 1990.
KARMEL, P. H., POLASEK, M. Estatística geral e aplicada à economia. 2. ed. São Paulo:
Atlas, 1976.
MARTINS, G. A., DONAIRES, D. Princípios de estatística. 1. ed. São Paulo: Atlas, 1979.
MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. LCT, 1969.
PEARSON, E. S., HARTLEY, H. O. Biometrika tables for statisticians. Vol. 1, 3. ed.
Londres: Cambridge University Press.
SILVA, E. M., SILVA, E. M., GONÇALVES, V., MUROLO, A. C. Estatística para os
cursos de economia, administração e ciências contábeis. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1997. v. 1.
SPIEGEL, M. R. Estatística. 2. ed. São Paulo: McGraw – Hill, 1985.
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Harbra, 1981.
RODRIGUES, P.C. Bioestatística. 2. ed. Aumentada. Niterói: EDUFF, 1993.
77
REFERÊNCIAS
THOMAS, J. R., NELSON, J. K. Métodos de pesquisa em atividade física. 3. ed. Porto
Alegre: ARTMED, 2002.
WONNACOTT, T. H., WONNACOTT, R. J. Estatística aplicada à economia e
administração. Rio de Janeiro: LCT, 1981.