Triangulação Triangulação - DI PUC-Rio

INF2604 - GEOMETRIA COMPUTACIONAL • Prof. Hélio Lopes
9/13/12
Geometria Computacional:
Triangulação
INF2604 – Geometria Computacional
Prof. Hélio Lopes
[email protected]
sala 408 RDC
Triangulação
Considere S um conjunto de pontos no plano.
O que é uma triangulação de S?
Uma Triangulação para um conjunto de pontos S no plano é uma
subdivisão do plano determinada por um conjunto maximal de
arestas que não se interseptam e cujo conjunto de vértices é S.
A palavra maximal aqui se refere a que qualquer aresta que não
esteja na triangulação interseptaria o interior de pelo menos uma
aresta da triangulação.
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Triangulação
Perguntas:
1. 
Todos os pontos no fecho convexo estarão na
triangulação de S?
2. 
A definição de triangulação não mencionou
triângulos. Será que todas as regiões de uma
subdivisão do plano determinada por um conjunto
maximal de arestas dentro do fecho convexo tem
que ser triângulos?
Triangulação
Algoritmo para triangulação do fecho
convexo de S
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Triangulação
Triangulação
Lema 1: Seja S um conjunto de pontos no plano, que
possui k pontos no interior do seu fecho convexo e h
pontos no fecho. Se todos os pontos são nãocolineares, qualquer triangulação de S que seja obtida
pelo algoritmo de triangle-spliting tem exatamente
2k+h-2 triângulos.
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Triangulação
Algoritmo incremental para triangulação
do fecho convexo de S
Triangulação
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Triangulação
O número de triângulos na triangulação de um
polígono depende do número de vértices do polígono.
O Lema 1 mostrou que para o algoritmo trianglesplitting existe um número fixo de triângulos.
Mostraremos agora que esse resultado vale para
qualquer triangulação de S.
Triangulação
Teorema de Euler: Seja G um grafo planar com V
vértices, E arestas e F faces no plano (onde a face
externa é ilimitada). Então V-E+F=2.
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Triangulação
Teorema 2: Seja S um conjunto de pontos no plano com h vértices
no fecho e k vértices no interior. Se nem todos os pontos são
colineares, então qualquer triangulação de S tem exatamente 2k
+h-2 triângulos e 3k+2h-3 arestas.
Prova; Seja T uma triangulção de S e t o número de triângulos em
T. Sabemos que T divide o plano em t+1 faces (t triângulos em T e
uma face externa). Cada triângulo tem 3 arestas e a face externa
tem h arestas. Como cada aresta toca duas faces exatamente,
então 3t+h=2E. Aplicando a fórmula de Euler temos:
Resolvendo a equação em relação a t, obtemos:
Triangulação
Operação de Flip na aresta:
Considere a triangulação de um quadrilatero ABCD
convexo, uma operação de flip na aresta AC remove a
diagonal AC e a substitui pela diagonal BC.
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Triangulação
Grafo de Flip de umconjunto de pontos S
Para um dado conjunto de pontos S, o grafo de flip de S
é o grafo onde cada nó representa uma triangulação no
conjunto de todas as possíveis triangulações de S. Dois
nós T1 e T2 desse grafo estão ligados por um arco se ao
operar um flip numa aresta de T1 obtemos T2.
Triangulação
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Triangulação
Construa o grafo de flip do seguinte conjunto S
Triangulação
Uma triangulação de S pode ser transformada em outra
via uma seqüência de flips? Em outras palavras, o grafo
de flip de S é conexo?
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Triangulação
Teorema: O grafo de flip de qualquer conjunto de
pontos S no plano é conexo.
ISSO PODE SER USADO PARA MELHORAR A QUALIDADE
DE UMA TRIANGULAÇÃO!
Triangulação
MAS QUAL SERIA DENTRE AS TRIANGULAÇÕES A
MELHOR PARA CONSTRUIR UM TERRENO TENDO A
ALTURA DE ALGUNS PONTOS?
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Triangulação
Triangulação
Assuma que os pontos de S estão em posição geral,
que nesse caso significam que nenhum conjunto de
quatro pontos são co-circulares.
Seja T uma triangulação de S, e suponha que T tenha n
triângulos. A seqüência de ângulos
(a1,a2,…,a3n)
de T é uma lista de todos os 3n ângulos de T
ordenados do menor para o maior.
Usando essa seqüencia de ângulos, nós podemos agora
comparar duas triângulações de S.
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Triangulação
Para duas triangulações T1 e T2 de S, dizemos que T1 é
mais gorda que T2, e denotamos por T1 > T2, se
a
seqüência de ângulos de T1 é lexograficamente maior
do que a de T2. Em outras palavras, se (a1,a2,…,a3n) é a
seq. ordenada de ângulos de T1 e (b1,b2,…,b3n) é a seq.
ordenada de ângulos de T2, então existe um k, com
0<k<3n+1, onde ai = bi e ak>bk.
>
Triangulação
Definição: Seja e uma aresta de T1, e seja Q um
quadrilátero em T1 formado por dois triângulos que
possuem e como uam areta comum. Se Q é convexo,
seja T2 a triangulação obtida pela operação de flip na
aresta e em T1. Dizemos que e é uma aresta legal se T1
>= T2 e e é uma aresta ilegal se T1<T2.
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Triangulação de Delaunay
O que é a triangulação de Delaunay?
Uma Triangulação de Delaunay para um conjunto de pontos S no
plano, denotada por Del(S), é uma triangulação onde todas as
arestas são legais.
Triangulação de Delaunay
Teorema (Thales): Se P,Q e B são três pontos no círculo,
A um pontro dentro do círculo e C um ponto fora do
círculo, então o ângulo PAQ é maior do que o ângulo
PBQ, e o ângulo PBQ é maior do que o ângulo PCQ.
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Triangulação de Delaunay
Proposição: Seja e uma aresta de uma triangulação,
onde e=AC pertence a dois triângulos ABC e ACD. Então
e é uma aresta legal se D está fora do circumcírculo de
ABC e é uma aresta ilegal se D está nesse mesmo
circumcírculo.
Triangulação de Delaunay
Teorema (Propriedade do Círculo Vazio): Seja S um
conjunto de pontos em posição geral. Uma triangulação
T é uma triangulação de Delaunay se e somente se
nenhum ponto de S está no interior de qualquer
circumcírculo de um triângulo de T.
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Triangulação de Delaunay
Triangulação de Delaunay
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Triangulação de Delaunay
InCircle Test: Sejam A, B e C três vértices de um
triângulo ABC orientado no sentido anti-horário. Um
ponto D está no interior do circumcírculo de ABC se e
somente se:
dúvidas?
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