Os ângulos

CAPÍTULO 6: Ângulos
 Semirreta
Vamos considerar uma reta r:
O
r
O ponto O divide a reta r em duas partes:
O
r
Cada uma dessas duas partes é chamada SEMIRRETA
 O que é ângulo?

Duas semi-retas de mesma origem e não-opostas,
contidas em um mesmo plano, dividem-no em duas
regiões chamadas de ângulos.
A
O

B
O é o vértice do ângulo
As semi-retas OA e
OB são os seus lados
Ângulo AÔB = 
 Medida de ângulos
A unidade usada para medida de ângulo é o GRAU( símbolo: ° ).
A
30°
o
B
Med (AÔB) = 30°
 Congruência de ângulos
Dois ângulos são congruentes quando tem a
mesma “abertura”, ou seja, tem medidas iguais.
o
A
C
30°
30°
B
o
AÔB ≡ CÔD
D
Ângulo reto

Um ângulo é reto quando sua medida for de 90º.
O símbolo indica que o
ângulo é reto.
A
O
B
O ângulo AÔB é reto.
m(AÔB) = 90º
Ângulo raso

Um ângulo é raso quando sua medida for de 180º.
Este desenho de uma
meia lua representa um
ângulo raso.
A
O
B
O ângulo AÔB é raso.
med(AÔB) = 180º
Ângulo agudo

Todo ângulo não-nulo menor que o reto é chamado
ângulo agudo.
A
O ângulo AÔB =  é agudo.

O
B
0º <  < 90º
Ângulo obtuso

Todo ângulo maior que o reto e menor que o raso é
chamado ângulo obtuso.
O ângulo AÔB =  é obtuso.
A

O
B
90º <  < 180º
Ângulos complementares

Dois ângulos são complementares quando a soma
de suas medidas for igual a 90º.
Os ângulos  e  são complementares.

 +  = 90º

O
Exemplo:

Determine o valor de x:
3x – 5° + x + 15° = 90°
4x = 80°
X = 20º
Ângulos suplementares

Dois ângulos são suplementares quando a soma de
suas medidas for igual a 180º.
Os ângulos  e  são suplementares.
 +  = 180º


O
Exemplo

Determine o valor de X:
3x + 20° + x = 180°
4x = 160°
X = 40°
Bissetriz de um ângulo

Chama-se bissetriz de um ângulo a semi-reta
contida no ângulo, de origem no seu vértice e que o
divide em dois ângulos congruentes.
A semi-reta Ox é a bissetriz do ângulo AÔB.
A
x

O

B
AÔX = BÔX
Exemplo

Sendo OP a bissetriz, determine o valor
do ângulo BÔP:
1) Determinar o valor do x:
3x – 10° = 2x + 8°
X = 18°
2) Substituir x por 18° na
expressão 2x + 8°
2 . 18° + 8° = 44°
3) Portanto, BÔP = 44°
Para que uma pessoa precisa medir ângulos?
Um construtor de molduras vai precisar cortar cada lado do
quadro em 45 graus para que as 4 hastes se encaixem sem
folga.
Um engenheiro que precisa medir grandes terrenos usa um
equipamento especial para medição de ângulos, chamado
teodolito. Com o resultado - e com o uso de funções da
trigonometria, como seno, cosseno e tangente - ele consegue
estimar grandes distâncias.
Um militar operando um lançador de projéteis terá que calcular
o alcance da bomba com base no ângulo do disparo - ou seja, o
ângulo que a arma faz com o solo.
Um mecânico fará o alinhamento das rodas de um carro
com base no ângulo que elas devem fazer com o eixo do
automóvel.

Deus é o Geômetra Onipotente para quem o
mundo é imenso problema matemático. (Leibniz)