101 Desafios Matemáticos COM RESPOSTAS

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EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE. QUANDO
TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. QUAIS SÃO
AS NOSSAS IDADES???
TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de
y.
Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y
(o dobro de x) , ou seja, eu TENHO 2x anos.
ENTÃO:
Tu TINHAS x e agora tem y.
Eu TINHA y e agora tenho 2x.
Portanto temos que:
y-x = 2x-y
2y=3x
x=(2/3)*y
ENTÃO, substituindo o valor de x, temos:
Tu TINHAS (2/3)*y e agora tem y.Eu TINHA y e agora tenho (4/3)*y.
Agora preste atenção na segunda frase:
QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS.
Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3)*y, deve-se somar a tua idade
y com mais (1/3)*y.
Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y.
Como somamos (1/3)*y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja:
Agora eu tenho (4/3)*y + (1/3)*y, logo eu tenho (5/3)*y.
A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos:
(4/3)*y + (5/3)*y=45
(9/3)*y=45
3y=45
y=15
No início descobrimos que x=(2/3)*y, portanto x=(2/3)*15, logo x=10.
FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES???
COMO DISSEMOS NO INÍCIO, A TUA IDADE ATUAL É y, OU SEJA, 15 ANOS.
E A MINHA IDADE É 2x, OU SEJA, 2.10, QUE É IGUAL A 20 ANOS.
PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS!!!
UM AUTOMÓVEL COMPORTA DOIS PASSAGEIROS NO BANCO DA FRENTE E TRÊS NO BANCO DE
TRÁS. CALCULE O NÚMERO DE ALTERNATIVAS DISTINTAS PARA LOTAR O AUTOMÓVEL
UTILIZANDO 7 PESSOAS, DE MODO QUE UMA DESSAS PESSOAS NUNCA OCUPE UM LUGAR NOS
BANCOS DA FRENTE.
O PROBLEMA SE RESOLVE DA SEGUINTE MANEIRA:
São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente.
Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo.
Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel SEM o
João, usando apenas as outras seis pessoas:
Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6
elementos, tomados 5 a 5:
A = 720
6,5
Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João.
Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve
estar em um dos três bancos de trás.
Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no
carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6
pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4:
A = 360
6,4
O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos
multiplicar esse resultado por 3:
3 x A = 3 x 360 = 1080
6,4
O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos
(COM João e SEM João).
Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!!!
AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA 11; AGORA
ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA ATUALMENTE?
solução é a seguinte:
Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova.
Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha.
O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5.
Então:
y/x = 4/5 (equação 1)
O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então:
(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2)
Isolando y na equação 1:
y = 4x/5
Colocando esse valor de y na equação 2 temos:
((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11
(4x/5)-8 = 8/11.(x-8)
Fazendo o mmc dos dois lados temos:
(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11
11.(4x-40) = 5.(8x-64)
44x-440 = 40x-320
44x-40x = 440-320
4x = 120
x= 30
Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!!
EXISTEM N TRIÂNGULOS DISTINTOS COM OS VÉRTICES NOS PONTOS DA FIGURA. QUAL É O
VALOR DE N ?
Podemos notar que a figura é parecida com um "A".
Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é:
C
13,3
= 286
Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que subtrair
todas as combinações que não formam triângulos, ou seja, as combinações em
que os pontos são COLINEARES. Temos 3 situações onde isso acontece:
Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser
combinados entre si, pois não formam triângulos.
Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação.
E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados entre
si.
Temos que subtrair essa 3 situações do total. Então o número de triângulos
que podem ser formados é:
C
13,3
- C
6,3
- C - C = 286 - 20 - 20 - 4 = 242
6,3
4,3
Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos!!!
UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM CADA UMA GASTOU 1
REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO ENTRAR. QUANTO O HOMEM TINHA AO
ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA?
que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o nosso
objetivo é achar o valor de N.
O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade
do que tinha ao entrar.
LOJA 1
O homem entrou com N.
LOJA 2
O homem entrou com (N2)/2
LOJA 3
O homem entrou com (N6)/4
O homem GASTOU:
O homem GASTOU:
O homem GASTOU:
(N/2)+1.
( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N2)/4 + 1 = (N+2)/4
( (N-6)/4 )/2 + 1
= (N-6)/8 + 1
= (N+2)/8
Portanto o homem FICOU
com:
N
=
=
=
- ((N/2)+1)
N-(N/2)-1
(2N-N-2) / 2
(N-2)/2
Portanto o homem FICOU
com:
(N-2)/2 - ((N+2)/4)
= (2N-4-N-2) / 4
= (N-6)/4
Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou
tudo o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele
ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO:
(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0
(2N-12-N-2) / 8 = 0
2N-12-N-2 = 0
N-14 = 0
N = 14
PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS !!!
Solução alternativa enviada por Ilydio Pereira de Sá
Vamos representar através de um fluxo, o que ocorreu desde sua entrada na 1ª
loja, até a saída na última e em, seguida, percorrer o fluxo de "trás para
frente", aplicando operações inversas. Cabe lembrar que a quantia que tinha
ao entrar em cada loja (que representarei por N1, N2 e N3) fica sempre
dividida por 2 e, em seguida, subtraída de 1 real.
(N1)/2 - 1 (saiu da loja 1 com N2)
(N2)/2 - 1 (saiu da loja 2 com N3)
(N3)/2 - 1 (saiu da loja 3 com zero, já que gastou tudo o que possuía).
Aplicando operações inversas,
(0 + 1)
(2 + 1)
(6 + 1)
teremos do fim para o início:
x 2 = 2
x 2 = 6
X 2 = 14
Logo, possuía ao entrar na 1ª loja R$14,00.
DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA:
DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1;
DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2;
DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3;
DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4;
DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5;
DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0.
Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições
exigidas pelo problema:
X dividido por 2 dá resto 1.
X dividido por 3 dá resto 2.
e assim por diante até:
X dividido por 6 dá resto 5.
Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o
divisor.
Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será
divisível por 2,3,4,5 e 6.
Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode
ser igual a 4x5x6=120.
Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que
também é divisível por 7.
CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO-SE TODAS AS
PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDO ESSES NÚMEROS EM ORDEM CRESCENTE,
QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO NÚMERO 43521?
Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente:
1xxxx
2xxxx
3xxxx
41xxx
42xxx
431xx
432xx
4351x
=> P4 = 4! = 24
=> P4 = 4! = 24
=> P4 = 4! = 24
=> P3 = 3! = 6
=> P3 = 3! = 6
=> P2 = 2! = 2
=> P2 = 2! = 2
=> P1 = 1! = 1
Somando todas elas:
24+24+24+6+6+2+2+1 = 89
Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90.
...
Arquivo da conta:
Jonas.Rodrigo.Diane.Medeiros
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