O Problema dos 4 Quatros

MATEMÁTICA - LÚDICO
LENZI, Orlando
OS QUATRO QUATROS
INTRODUÇÃO
O PROBLEMA DOS QUATRO QUATROS, tem sua história, sua evolução e generalizações citadas na página REFERÊNCIA da
MATEMÁTICA. Entre as referências destaca-se o livro "O Homem que Calculava", de Malba Tahan, pseudônimo do professor
Júlio César de Mello e Sousa, que trata do assunto no seu capítulo 7, cujo título é: Nossa visita ao suque dos mercadores.
Beremiz e o turbante azul. O caso dos quatro quatros. O problema dos cinquenta dinares. Beremiz resolve o problema e
recebe um belíssimo presente."
ENUNCIADO
No capítulo acima encontramos o seguinte enunciado para o PROBLEMA DOS QUATRO QUATROS:
"Escrever com quatro quatros e sinais aritméticos, uma expressão que seja igual a um
número inteiro dado. Na expressão não pode figurar (além dos quatro quatros) nenhum
algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letra, tais como: log, lim, etc."
O Homem que Calculava (Capítulo 7). Malba Tahan
NÚMEROS, SINAIS E OPERADORES USADOS
1) ALGARISMO 4:
Do nome do problema deduzimos que a expressão que calculará o número inteiro desejado deverá ter sempre 4 algarismos 4.
As expressões poderão conter: 4444 , 444 , 44 ou 4 .
Já resolvemos o PRIMEIRO número: 4444. Agora só faltam:
números.
2) SINAL PONTO (.):
Na notação científica podemos representar a metade ou meio na forma 0.5 ou .5, um quarto por 0.25 ou .25, etc.
As expressões poderão conter: .4444 , .444 , .44 ou .4 .
Aqui não resolvemos nenhum número. Continua faltando:
números.
3) SINAL UNÁRIO ( ):
Quanto representamos números negativos fazemos: -3
As expressões poderão conter: -4444 , -444 , -44 , -4 , -.4444 , -.444 , -.44 ou -.4 .
Dobramos o número de soluções, pois resolvemos o SEGUNDO número: -4444. Agora só faltam:
4) SINAIS DE OPERAÇÕES ARITMÉTICAS (
Por convenção, representamos as somas por (
traço de fração, mas pode-se usar / ou
— ou / ou
números.
):
), as subtrações por (
), as multiplicações por (
) e as divisões por ( —
).
As expressões poderão conter:
a)
b)
c)
d)
Agora já resolvemos vários números e alguns com mais de uma solução, mas continua faltando
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números.
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OS QUATRO QUATROS
5) NÍVEL DE PRIORIDADE DAS OPERAÇÕES: ( ( ..... ) ):
Usaremos o conjunto ( ... ) abre e fecha parênteses de conformidade com a convenção.
As expressões poderão conter:
a)
(
)
b) (
(
)
)
(
(
)
(
)
(
)
)
√
6) POTÊNCIA E RAIZ (
):
As potências terão a BASE ou o EXPOENTE formado pelos números e operadores. A raiz quadrada pode ser utilizada uma vez
que, por convenção, o índice 2 não precisa ser escrito. O radicando será formado pelos números e operadores.
As expressões poderão conter:
(
a)
b)
√
√
√
√
7) FATORIAL E SOMATÓRIO ( ! e ∑
√
)
√
(
)
√
):
Não são operadores básicos e devemos evitá-los, mas ao usá-los o que estamos fazendo são totalizações dos resultados de
multiplicações ou somas, que são operações todas elementares. Podemos usá-los para criar uma outra expressão para
√
representar um mesmo número inteiro. Por exemplo:
√
O fatorial, representado por "! ponto de exclamação" é o produto de todos os valores inteiros do número até 1. Por exemplo:
fatorial de 4: 4! = 4x3x2x1 = 24
O somatório, representado por "∑" é a soma de todos os valores de um vetor ou de números com os limites especificados.
Normalmente escrevemos o somatório: exemplo: ∑
qualquer, temos: ∑
( ). Se desejamos a soma de números inteiros, em um intervalo
. Assim como no fatorial, podemos eliminar os limites, que neste caso serão, por convenção: o maior
limite igual ao número e o menor limite igual a 1. Para calcular o somatório de 4: ∑
∑
As expressões poderão conter:
√
√
∑
(
= 4+3+2+1 = 10.
√ )
.
VALORES QUE AJUDAM A FORMAR EXPRESSÕES:
Agora que já lemos algumas das referências sabemos que podemos calcular, usando logaritmos, TODOS os números inteiros,
vamos particularizar o PROBLEMA DOS QUATRO QUATROS aos números naturais de 0 a 100 usando as regras e limitações
especificadas no enunciado.
Nos exemplos acima, temos expressões que calculam números fora do intervalo de 0 a 100 e outras que calculam o mesmo
número no intervalo. Um exemplo é o 34, que foi calculado somente com operações simples, com fatorial e com somatório.
Alguns valores nos ajudam a formar as expressões:
(
)
√
∑
( )
*
∑
*
√√√
+
*
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+
∑√
√
+
(
*
√
∑
∑*
∑(
)
+
*
∑
)
+
+
*
∑
+
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√
*
+
*
√
+
*
+
*
+
*
+
EXPRESSÕES COM FALSO 4:
Todas as expressões, que satisfaçam as regras, são válidas, mas deve-se evitar aquelas que somam ZERO (4-4) ou multiplicam
por UM (4/4) apenas para satisfazer a presença de quatro algarismos 4.
(
São exemplos:
(
)
)
∑
∑
( )
Também devemos evitar expressões que durante o cálculo (ordem convencional) obtenham o resultado antes de utilizar todos os 4
quatros.
Por exemplo:
GERAÇÃO DAS EXPRESSÕES POR NÚMERO
Apresentamos pelo menos uma expressão para cada número de 0 a 100. Sempre que possível mostramos todos os tipos de
equações: só com operações simples, com fatorial, com somatório e mesmo aquelas do tipo falso 4.
A tabela está em constante correção e desenvolvimento, mas está muito longe de ser completa e nem tem este objetivo.
Caso encontre alguma expressão cujo resultado gere dúvida ou não esteja correto, por favor, comunique pelo endereço de correio
eletrônico informado no rodapé de cada página. Agradecimentos antecipados.
Embora as expressões já estejam prontas, elas devem servir de estímulo para o desenvolvimento de outras para os números de 0 a
100 ou de expressões para números maiores que 100. Mostramos, no máximo, 5 expressões por número, embora para alguns
números exitam muito mais equações.
QUADRO DE ALGUMAS EXPRESSÕES POR NÚMERO
√
0
√
√
1
√
√
2
√
√
3
4
5
6
7
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√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
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√
√
√
9
√
√
)
√
10
√
√
√
11
√
12
(
)
13
√
√
14
√
√
√
√
√
√
√
(
√
√
√ )
√
15
16
(
√
√
√
√
(
√
√
√
√
17
18
√
√
√
20
√
(
)
√
√
22
√
)
√
)
√
√
21
(√
(√
√
19
√
)
√
√
√
(
√
(√
√ )
√
√
)
√
√
√
√
23
√
√
√
(
24
√
25
(
)
√
)
26
√
27
√
√
√
28
29
30
31
32
33
(
√
√
√
√
)
(
√
√ )
(√
√
√
)
√
√ √√
√
√
√
(√ )
√
√
√ √√
√
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(
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√
√
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√
)
√
√
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(
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√
√
35
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( )
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√
37
(
√
38
√
)
√
√
(
√
√
39
40
√
(
√
42
(√√
√√ )
43
(
√
√
√
46
√
)
)
√
√
(√√
48
√
√
√
49
50
(
√√ )
)
(
( √ )
√ )
√
√√√
√
√
√
√
√
(
√
√√√
√
√
√
√
√
√√√(√
)
√
√
√
√
√
√
56
√
√
√
(
52
55
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√√√
√
53
)
)
)
√
51
(
(
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√√√
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57
)
( √ )
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54
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68
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72
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√
74
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√
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√
√ √√
√
√
65
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)
√
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(
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63
73
√
√√√
60
64
√
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(
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83
84
(√
√
)
( ((
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√
( (
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)
( ((
√
√
)
( √ )))
)
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√
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86
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85
87
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√√√
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( ((
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√
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)
(
( (
)
√
(
)
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√
88
√
89
(
90
√ )
92
√
( (
))
√
√
(
)
√
( (
√
√
√
(
√ )
√
√
97
98
99
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)
)
(
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(
(
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(
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(
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(
√
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)
(
)
√
(
√
)
√
(
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( √ )
(
( √ )
)
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95
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94
96
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√
√
91
93
)
( ((
√
√
√
(
√
)
(
(
)
)
( (√
(
√
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)
( ((
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)
√
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√
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√
√
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(
)
( √ )
√
( √ )))
√
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DESAFIO
A tabela acima não é definitiva. As atualizações terão por objetivo simplificar as expressões atuais, substibuindo sempre que
possível os somatórios e os fatoriais. Este DESAFIO inclui também, para o futuro mais distante, a geração de expressões para os
números entre 101 e 1000.
Alguns números maiores que 1000 e as vezes bem maiores já foram citados.
São exemplos:
RESUMO DO QUADRO DE EXPRESSÕES
TOTAIS
NÚMEROS EXPRESSÕES
3 expressões:
101
303
2 expressões:
0
0
1 expressões:
0
0
Acumulado...:
101
303
OBSERVAÇÃO:
Apesar das constantes revisões, é possível que existam valores 2 no lugar de √
ou alguma expressão com total de
algarismos 4 diferente de quatro ou expressões com resultado diferente da linha onde está localizada. Tais erros serão
corrigidos tão logo sejam localizados ou comunicados por pessoas que tenham consultado a página. Nesta condição,
agradecimentos antecipados.
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