CAPÍTULO 9

Escola Federal de
Engenharia de Itajubá
EME-35
CAPÍTULO 9
ANÁLISE DIMESIONAL E SEMELHANÇA DINÂMICA
Dimesões e Unidades
As dimensões fundamentais são massa, comprimento, , tempo e as vezes
força. Estas são relacionadas pela segunda lei de Newton
Força = massa  aceleração
ou F = m . a
na forma dimesional é
F  MLT 2
a 
V LT

 LT  2
t
T
F é a dimesão de força, M a massa, L a de comprimento e T a de tempo.
Tabela 1 Dimensões das grandezas físicas usadas em mecânica dos fluidos
Grandeza
Símbolo
Sistema (FLT)
Dimensões (MLT)
Massa, Kg
m
FL1T 2
M
Comprimento, m
l
L
L
Tempo, s
t
T
T
Força ou Peso, Kgf
F ou W
F
MLT 2
Velocidade, m/s
V
LT 1
LT 1
Aceleração, m/s2
a ou g
LT 2
LT 2
Área, m2
A
L2
L2
Vazão volumétrica, m3/s
Q
L3T 1
L3T 1
Pressão ou queda de
Pressão, Kgf/m2
P ou P
FL2
ML1T 2
FL4T 2
ML3
Massa específica, Kg/m3 


FL3
FL2T
ML2T 2
ML1T 1
Viscosidade cinematica, v
m2/s
L2T 1
L2T 1
Peso específico, N/m3
Viscosidade dinâmica,
Ns/m2
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Tensão de cisalhamento, 
N/m2
FL2
ML1T 2
Tensão superficial, N/m

FL1
MT 2
Módulo de elasticidade
Volumétrica, N/m2
kv
FL2
ML1T 2
Velocidade do som, m/s
C
LT 1
LT 1
Temperatura absoluta, k
 ou t
 ou t

Vazão em massa, Kg/s
m
FL1T
Trabalho, Nm
W
FL
T
FL
2
ML T
MT 1
2
Torque, Kgfm
ML2T 2
Análise dos Parâmetros adimensionais
1. Número de Reynolds (Re)
É a relação entre a força de inércia e a força de viscosidade (atrito)




 VD  VL VL V L2
 V2 L
 
Definição: Re  



 V L2
 V L2
  

ML L T  L 
3
2
2
V
 L1
L

RE 


MLT 2
MLT 2 M.a Fi



.L2
.A Fv
 V  1 3
  L L
L
Fi
Fv
2. Número de Freude (Fr)
É a relação entre a força de inércia (Fi) e a força de gravidade (Fg)


Fi M.a L3. L T 2 L4 V 2 L2
L2 V 2 V 2





Fg M.g
L3.g
L3.g
L3.g
Lg
ou
F
V2
 Fr  i
Dg
Fg
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3. Número de Weber (We)
É a relação ente a força de inérecia (Fi) e a força de tensão superficial (FTS)
Fi
M.a L3 . L T 2 L4 V 2 L2  L2 V 2 LV 2





FTS .L
.L
.L
.L


We 
LV 2 Fi


F

NOTA:  = Tensão superficial 
V 2
L
Força
MLT 2

 MT  2
compriment o
L
4. Número de Euler (Eu)
É a relação entre a força de pressão (Fp) e a força de inércia (Fi)
Fp
Fi


P.A
PL2
PL2
PL2
P
 3



2
4
2
2
2 2
M.a L . L T
L V L
L V
V 2

Eu 

F
P
 p
2
V
Fi
5. Número de Mach (Ma)
É a relação entre a força de inércia (Fi) e a força de elasticidade (Fel)


Fi
M.a
L3 . L T L4 V 2 L2
L2 V 2 V 2





Fel K v .A
K v .L2
K v .L2
K v .L2
Kv
onde kv = módulo de Bulk ou módulo de elasticidade volumétrica
A raiz quadrada desta relação,
V 2

Kv
V2

Kv 
V
e conhecida como o
Kv 
número de Mach.
A velocidade do som num líquido ou gás é dado por,
C  K v   KRT
Então, o número de Mach,
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Ma 
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V
V F
  i
K v  C Fel
Semelhança – Estudos em modelos
Modelos reas ou verdadeiros possuem todas as características importantes do
protótipo, reduzidas à escala (geométricamente semelhante) e satisfazer as restrições
do projeto (semelhança cinemática e dinâmica)
Semelhança geométrica
As relações podem ser escritas:
L mod elo
 L razão
L protótipo
Ar 
ou
Lm
 Lr
Lp
A mod elo
L2 mod elo
 2
 L2 razão  L2 r
A protótipo L protótipo
(1)
(2)
Semelhança cinemática
Algumas relações úteis são:
Velocidade:
Aceleração:
Vazão:
Vm L m Tm L m Tm L r




Vp
L p Tp
L p Tp
Tr
(3)
a m Lm T 2 m Lm T 2 m
L


 2  2r
2
ap
Lp T p
Lp T p T r
(4)
Vr 
ar 
Qr 
Qm L3m Tm L3m Tm L3r
 3
 3 

Qp
L p Tp
L p Tp
Tr
(5)
Semelhança dinâmica
A semelhança dinâmica existe entre sistemas geométrica e cinemáticamente
semelhantes, se as relações entre todas as forças homólogas no modelo e protótipo
forem as mesmas.
As condições necessárias para uma completa semelhança foram
desenvolvidas a partir da 2º lei de Newton,
F
x
 M .ax Desenvolve-se a seguinte relação entre as forças atuantes no modelo e
no protótipo:
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 Forças(vis cos idade  gravidade  Pr essão  tensão sup erficial  elasticida de)
 Forças(vis cos idade  gravidade  Pr essão  tensão sup erficial  elasticida de)

m
p
M m .a m
M p .a p
A relação de forças de inércia é expressa pela seguinte fórmula:
 M L  3 .L 3  a
Fm
força modelo
M .a
 Fr 
 m m   m m  3 m3   m
Fp
força protótipo M p .a p  M p L p L p  a p
 m L m 3  L r


  L 3  T2
 p p  r
a equação (4), semelhança cinemática
L
2 L 
 r L r .L r  r2  r L r  r 
Tr
 Tr 
2
2

Fr  r L r Vr  r A r Vr
2
2
a equação (3)
2
(6)
A lei geral de semelhança dinâmica
a equação (2), semelhança geométrica
Esta equação expressa a lei geral de semelhança dinâmica entre modelo e protótipo e
é conhecida como a equação de Newton
Para haver semelhança dinâmica completa, os números de REYNOLDS, MACH,
FROUDE, WEBER e EULER devem assumir os mesmos valores tanto no modelo
como no protótipo.
Problemas Resolvidos
Problema 1
Desenvolver a lei de Reynolds para modelos e protótipos com fluidos
incompressíveis e reais
Solução
Para um escoamento governado pelas forças de inércia e viscosidade (outros
efeitos são desprezados), devem ser determinadas estas forças para modelo e
protótipo.
Para inercia:
Fm
L
3
 r L r  r2
Fp
Tr
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(1)
a lei geral
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L
1  2
.L m
 m  m 
Tm L m 
Fm m A m  m dV dy m .A m
 r L2 r

Para viscosidade:




Fp
p A p
 p dV dy p .A p
 r L2 r
 Lp 1  2


p

.L
T L  p
p 
 p
(2)
Igualando-se as duas relações de forças (pois todas as razões das forças são
iguais entre modelo e protótipo), tem-se:
A eq. (1) = eq. (2)
  r L3 r 
Lr
 r L2 r

Tr
T2r



 r  r

r
Mas
ou
Tr 
r L2 r
r
(3)
Substituindo na equação (3) tem-se
Tr 
L2 r
r
(4)
ou
L r r

Tr L r
Mas a relação de velocidades:
Vr 
L r r

Tr L r
(5)

Vm m p m Lp



Vp Lm Lp p Lm
ou
Vm Lm Vp Lp

m
p
ou seja
Re m  Re p
c.q.d.
Problema 2
Água escoa a 32º F através de um tubo liso horizontal de 3 polegadas de
diâmetro com uma velocidade média de 10 pés/s. A queda de pressão em 30 pés
deste tubo é 2,0 lbf/po2.
A que velocidade deve escoar Benzina (68 º F) em um tubo (geometricamente
similar) de 1 pol. de diâmetro para que o escoamento seja dinâmicamente similar e
qual será a queda de pressão em 10 pés deste tubo de 1 pol. de diâmetro.
Dados:
H20 a 32 º F = 3,746×10-5 lgf.s/pé2;
H20 a 32 º F = 1,939 slug / pé3 ;
Benzina a 68 º F = 1,37×10-5 lbf.s/pé2 ;
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Densidade de Benzina a 68 º F = 0,88
Solução: Sabemos que em um escoamento interno as forças de inércia, de
pressão e de viscosidade são mais importantes. Portanto, para o modelo e o protótipo:
Rem = Rep
Vm  Vagua  10 pés/s,
 VD 
 VD 
  

ou 
  m   p
D m  3/12 pé ,  m   H20 a 32 º F (dado)
 m   H20 a 32 º F (dado)
3
1
10   1,939 Vp   1,939  0,88
12
12


3,746  105
1,37  105
ou seja Vp  12,468 pés/s
1
pé ,
12
 p   Benzina a 68 º F (dado)
Vp  VBenzina  ? , D p 
A velocidad e da benzina,

VBenzina  12,468 pés/s
Resp.
 Fp 
 teremos,
 Fi 
Da igualdade do Número de EULER 
 P 
 P 
 2   EU m  EU p   2 
 V m
 V p
ou
Pp
2

2
1,939  10
1,939  0,88  12,4682

Pp  2,74 lbf/pol 2
Resp.
Problema 3
Um modelo 1:10 de um avião é testado num túnel aerodinâmico (túnel de
vento) que tem a pressão de 20 atm.
O avião vai voar a velocidade de 500 Km/h. A que velocidade o túnel de vento
(modelo) deve ser operado para dar a similitude dinâmica entre modelo e protótipo.
Arrasto (força de arrasto) medido sobre o modelo é 337,5 N. Qual a potência será
necessária a propulsar o avião à velocidade de 500 Km/h ?
Solução:
Mas
Sabemos que FA  V 2l2f Re 
Re m  Re p (1)
 F 
 F 
  A2 2    A2 2 
 V l  m  V l  p
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Semelhança dinâmica
(2)
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De (1)
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m Vmlm p Vplp

m
p
p  m l p

  Vp
m  p l m
 Vm 
(3)

dV 
 de um fluido é apenas uma função de
dy


temperatura. Além disso se considerarmos a condição isotérmica, então  p  m  1 ou
A viscosidade diâmica    
seja  m   p
Da equação de estado, P  RT (T  cte. considerad o)
ou P   . CTE. pois RT  CTE. 
ou P  
a pressão diminui com a redução da massa específica.
Dado, Pm = 20 atm. É claro que Pp = 1 atm. Pode-se escrever, então, Pm = 20 . Pp
 Devido à compressibilidade do ar,  m  20 .  p
Substituindo esses valores em (3), tem-se,
Vm 
p
20m
ou Vm 
1
 500 Km/h
2


Vm  250 Km/s
lm
1

lp 10
Resp.
 FA 
 F 
 2 2    A2 2 
 V l m  V l p
Da equação (2),
ou
 1  10  Vp  o modelo 1 : 10, ou seja,
FA p
337,5 N

2
2
2
20p  250  lp 10
p  500  l2 p
FA p  6750 N
A potência, P 
ou P  500  103
Energia
m

 Velocidade  Força  . N  W
tempo
s

m
h
Nm
.
 6750 N  937500
 937500 W
h 3600 s
s
 A potência necessária será, P  937,5 KW
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Resp.
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Problema 4
Um navio cujo comprimento de casco é de 138 m deve navegar a 7,5 m/s (a)
Determinar o número de FROUDE. (b) Para que haja semelhança dinâmica qual será
a velocidade de um modelo 1:30, arrastado através d’água ?
Dado: g = 9,81 m/s2
Solução
2
 V2 

7,5
 
(a ) Frp  
 0,042
 Lg  p 138  9,81

Frp  0,042
Resp.
(b) Quando dois escoamentos com contornos geometricamente semelhantes,
são influenciados pelas forças de inércia e da gravidade, o número de FREUDE é a
relação marcante no estudo de modelos.
Portanto,
Frp = Frm
 V2
 gL

ou 
  V2
 
  gL
p 



m
Uma vez que gm = gp, practicamente em todos os casos, pode-se escrever,
V2p V2m
L
1
L
1
2

ou V 2 m  m . V 2 p 
 7,5  m 
Lp
Lm
Lp
30
Lp 30

Vm  1,36 m/s
Resp.
Problemas Propostos
Problema 1
Ar a 20 º C (68 º F) escoa através de um tubo de 610 mm (24”) a uma
velocidade média de 1,8 m/s (6 pés/s). Para que haja semelhança dinâmica, qual é o
diâmetro de tubo que carrega água a 16º C (60 º F) e 1,1 m/s (3,65 pés/s) poderia ser
usado ?
Dados: AR(20ºC) = 16×10-5 pés2/s , AR(16ºC) = 1,217×10-5 pés2/s
Resposta: d  0,076 m (3”)
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Problema 2
Um modelo de 1:15 de um sbmarino deve ser testado em um tanque de
provas contendo água salgada. Se o submarino se move a 12 mph (milhas por hora),
a que velocidade deverá o modelo ser testado para haver semelhança dinâmica ?
Resposta: V = 180 mph
Problema 3
Água a 16 º C escoa a 3,6 m/s (12 pés/s) em um tubo de 152 mm (6”). A que
velocidade deverá escoar um óleo médio a 32 º C en um tuvo de 76 mm (3”) para que
os escoamentos sejam dinâmicamente semelhantes ?
Dados: AR(16ºC) = 1,217×10-5 pés2/s,
óleo(32ºC) = 3,9×10-5 pés2/s
Resposta:
V = 63 pés/s = 19,0 m/s
Problema 4
Uma bomba centrífuga bombeia um óleo lubricante médio a 16 º C e a 1200
rpm. Um modelo de bomba; usando ar a 20 º C deve ser testado. Se o diâmetro do
modelo é 3 vezes maior que o diâmetro do protótipo, a que velocidade deverá o
modelo operar ?
Dados: óleo(16ºC) = 188×10-5 pés2/s,
AR(20ºC) = 16,0×10-5 pés2/s, 1 pé/s = 0,093 m2/s
Velocidade periférica = o raio × a velocidade angular em rad/s
Resposta:
m  11,3 rpm
Problema 5
Uma asa de avião de 0,9m de corda deverá deslocar-se a 145 Km/h no ar.
Um modelo de 76 mm de corda deve ser testado em um túnel de vento com a
velocidade do ar a 173,5 Km/h. Para a temperatura de 20 º C em cada caso, qual
deverá ser a pressão no túnel aerodinâmico (de vento) ?
Dado: AR(20ºC) = 16×10-5 pés2/s, pé/s = 0,093 m2/s
Resposta: Ptúnel = 10 atm
Problema 6
Um modelo 1:80 de um avião é testado a 20 º C no ar, o qual tem a
velocidade de 45 m/s. (a) A que velocidade seria o modelo impelido quando
completamente submerso em água a 27 º C ? (b) Qual seria a força resistente de um
protótipo no ar, cujo modelo na água representa uma resistência de 0,57 Kgf ?
Dados: AR(20ºC) = 16×10-5 pés2/s, H2O(27ºC) = 0,93×10-5 pés2/s
Resposta:
Luis David González Cáceres
(a) V  2,62 m/s na água
(b) Fp  200 gf
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Problema 7
Um modelo de um torpedo é testado em um tanque de provas a uma
velocidade de 24 m/s. Espera-se que o protótipo atinja a velocidade de 6m/s em água
a 16 º C.
(a) Quál a escala a ser utilizada para o modelo ?
(b) Quál deverá ser a velocidade do modelo se for testado em um túnel aerodinâmico
(túnel de vento) à pressão de 20 atm é temperatura constante de 27 º C ?
Dados: H20(16ºC) = 1,217×10-5 pés2/s, AR(27ºC) = 3,85×4,88×10-7 Kgf.s/m2
RAR = 29,3 Kgf.m/Kg.K , 1 atm  1Kgf/cm2 = 104 Kgf/m2
Resposta:
Vm  17,1 m/s
A escala do modelo é 1:14
Problema 8
É admitido que o Arrasto (a força de arrasto) de um barco em água depende
somente do número de Rynolds e do número de Froude de maneira que
CA 
 VD V 2 

 f 
,
1

gD
2


V A
2
FA
É necessário que o modelo 1:10 do barco protótipo seja testado em água e os
resultados sejam utilizados a fim de prever o desempenho do barco protótipo. Será
que é possível ?
Resposta:a semelhança dinâmica entre o modelo e protótipo não será possível
Problema 9
Em escoamentos de superfície livre, a semelhança dinâmica completa
depende das forças de atrito e de gravidade. Mostre que:
L r  r 
23
Problema 10
A equação adimensional de Newton (força de inércia) é Fr  r L2 r V 2 r . Esta
equação vale para haver a semelhança dinâmica entre modelos e protótipos. A
semelhança dinâmica é determinada pela igualdade dos números de Reynolds.
Mostre que:
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Pr 
Fr
F
2r
 2r 
A r L r r L2 r
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O teorema  de Buckinghum
Sob aspecto matemático: Se existirem n grandezas físicas q (tais como
velocidade, massa específica, viscosidade, pressão, área, etc.) e k unidades
fundamentais (tais como força ou massa, comprimento, tempo), podemos escrever:
f q1, q 2 , q3 ,.........., q n   0
(1)
Esta equação pode ser substituída pela equação
 1 , 2 , 3 ,.........., n - k   0
(2)
onde qualquer termo  depende não mais do que (k-1) grandezas físicas q, e cada um
dos termos  é independente, adimesional e função monômia das grandezas q.
Relações úteis
1) Se uma grandeza é adimensional, ela já é um termo  sem seguir o processo
matemático.
2) Se duas grandezas físicas quaisquer tiverem as mesmas dimensões, sua
relação será um dos termos . Por exemplo: L/L é adimesional e é um termo 
3) Qualquer termo  pode ser substituído por qualquer potência deste termo,
incluindo -1. Por exemplo: 3 pode ser substituído por -23 ou 2 por 1/2
4) Qualquer termo  pode ser multiplicado por uma constante numérica. Por
exemplo, 1 pode ser substituído por 31
5) Qualquer termo  pode ser expresso como uma função de outros termos . Por
exemplo, se existirem 2 termos , 1 =  (2)
PROBLEMAS RESOLVIDOS
Ex1. Um certo escoamento depende da velocidade V, da massa específica , das
várias dimensões lineares l, l1, l2, da queda de pressão P, da aceleração da
gravidade g, da viscosidade , da tensão superficial , e do módulo de elasticidade
volumétrica kv. Aplicar a análise dimesional para determinar uma equação de
escoamento.
Solução: Matemáticamente, f V, , l, l1 , l2 , P, g, , , k v   0
Dimensões:
(1)
 n  10
V  LT 1 ,   ML-3 , l  L, l1  L, l2  L, P  ML-1T-2 , g  LT -2 ,   ML-1T-1,
  MT -2 , k v  ML1T 2  k  3
 s  n - k   (10  3)  7 a determinar
Escolhendo V,, l como base:
1  V x1  y1 lz1 P; 2  V x 2  y 2 l z 2 g; 3  V x 3  y 3 lz 3 ;
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4  V x 4  y 4 l z 4 ; 5  V x 5  y 5 l z 5 k v ; 6 
l
l
; 7 
l1
l2
 1  M0 L0T0  LT 1  ML3  Lz1 .ML1T  2
x1
y1
 0  y1  1
x1  2
0  x1 - 3y1  z1 - 1
y1  1
donde
0  -x1 - 2

z1  0
p/2  M0 L0T0  LT 1
 ML 
x2
3 y 2
Lz 2 .LT  2
 0  y2
x 2  2
0   x 2 - 3y 2  z 2  1
y2  0
donde
0  -x2 - 2

p/3  M0 L0T0  LT 1
z2  1
 ML 
x3
3 y 3
Lz 3 .ML1T 2
 0  y3  1
x 3  1
0  x 3 - 3y3  z 3  1
y 3  1
donde
0  -x3 - 1

p/4  M0 L0T0  LT 1
z 3  1
 ML 
x4
3 y 4
Lz 4 .MT 2
 0  y4  1
x 4  2
0  x 4 - 3y 4  z 4
y 4  1
donde
0  -x4 - 2

p/5  M0 L0T0  LT 1
z 4  1
 ML 
x5
3 y 5
Lz 5 .ML1T 2
 0  y5  1
x 5  2
0  x 5 - 3y 5  z 5  1
donde
0  -x5 - 2
Finalmente, 1  V  21l0 P 
Luis David González Cáceres
y5  1
z5  0
P
V 2
ou
1 
10276
P
 EULER
V 2
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2  V  20l1g 
gl
V2
 3  V 1 1l 1 
EME-35
2 
ou

Vl
ou
V2
 FROUDE
gl
3 
Vl
 REYNOLDS


4  V  l   2
V l
ou
V 2 l
4 
 WEBER

kv
V 2
ou
5 
2
1 1
 5  V  2  1l 0 k v 
V
 MACH
kv 
Então , f1 1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6 ,  7   0
 P V 2 Vl V 2 l
V
l l 
,
,
,
,
, , 0
2
 V gl 

k v  l1 l 2 

ou f1 

l l
 f1  EU, FR, RE, WE, MA, ,
l1 l 2


por tanto EU  f 2  FR, RE, WE, MA,


  0

l l 
,   0 (2)
l1 l 2 
onde f2 deve ser determinado experimentalmente
Existem casos onde os parâmetros FR, WE, MA são desprezados por não terem
influência sobre o fenômeno escoamento (fluido incompressível em escoamento
interno, por exemplo), l é o diâmetro do conduto D, l1 é o comprimento do conduto L e
l2 é uma dimensão que caracteriza a altura efetiva da rugosidade superficial da parede
interna do conduto, sendo representada por
Então,
EU 
P
L 

 f 3  RE, , 
2
V
D D

(3)
Sabemos que a queda de pressão ao longo de um conduto varia linearmente com seu
comprimento,

EU 
P
L
 f 4 RE,  D 
2
V
D
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ou
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P
 f 4 RE,  D 
V L D 
(4)
2
O diagrama de MOODY
O primeiro membro geralmente é representado
por f (fator de atrito). Quando RE 2000, f é
independente de /D. Portanto:
f  f5 RE  p / LAMINAR
(5)
Problema 2
Faça análise dimensional da bomba centrífuga.
f H, Q, N, D, g, , k v ,,   0
(1)
Dado:
onde H = carga (altura) desenvolvida pela bomba, L
Q = vazão volumétrica, L3T-1
N = rotação da bomba, T-1
D = diâmetro do rotor, L
g = aceleração da gravidade, LT-2
 = viscosidade de fluido, ML-1T-1
 = massa específica de fluido, ML-3
kv= módulo de elasticidade volumétrica, ML-1T-2
 = rugosidade absoluta, L
 = rendimento de bomba, adimensional
Solução:
Existem 10 variáveis (n) e 3 dimesões (k) independentes, de modo que
devemos ter n – k = 10 – 3 = 7 termos . Esolhendo a massa específica, , o diâmetro,
D, e a rotação da bomba, N, como as 3 variáveis repetitivas com expoentes
desonhecidos, podemos estabelecer os temos .
Então,
1  a Db Nc

Para
(2)
M0 L0T0  ML-3  (L)b (T 1 )c .ML1T 1
M : 0  a 1
a
L : 0  3a  b  1
T : 0  c  1
donde tiramos
a  1
b  2
c  1
Substituindo em (2) vem que,
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1  1D 2 N 1 
2  a D b N c k v

Para
EME-35

ND2
1 
ou
ND2
 RE

(3)
M 0 L0 T 0  ML-3  (L) b (T 1 ) c .ML1T 2
a
M : 0  a 1
L : 0  3a  b  1
donde tiramos
T : 0  c  2
a  1
b  2
c  2
Substituindo em (3) vem que,
 2   1D 2 N 2 k v 
3  a D b N c Q

Para
kv
N 2 D 2
ou
2 
N2D2
ND

 MA
kv /
kv /
(4)
M 0 L0 T 0  ML-3  (L) b (T 1 ) c .L3 T 1
a
M:0  a
L : 0  3a  b  3
donde tiramos
T : 0  c  1
a0
b  3
c  1
Substituindo em (4) vem que,
 3   0 D 3 N 1Q 

3 
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Q
ND3
Q
 Coeficient e de capacidade , C Q
ND3
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4  a D b N c H

Para
EME-35
(5)
M 0 L0 T 0  ML-3  (L) b (T 1 ) c .L
a
M:0  a
L : 0  3a  b  1
donde tiramos
T : 0  c
a0
b  1
c0
Substituindo em (5) tem-se,
 4   0 D 1 N 0 H
ou
5  a D b N c g
(6)

Para
4 
H
D
M 0 L0 T 0  ML-3  (L) b (T 1 ) c .LT 2
a
M:0  a
L : 0  3a  b  1
donde tiramos
T : 0  c  2
a0
b  1
c  2
Substituindo em (6) tem-se,
5 
g
N2D
ou
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5 
N2D N2D2

 FR
g
Dg
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6  a D b N c 

Para
EME-35
(7)
M 0 L0 T 0  ML-3  (L) b (T 1 ) c .L
a
M:0  a
L : 0  3a  b  1
donde tiramos
T : 0  c
a0
b  1
c0
Substituindo em (7) tem-se,
 6   0 D 1 N 0 

e evidentemente,
7  
6 

 rugosidade relativa
D
pois já é um parâmetro adimensional
 f 1 ,  2 , 3 ,  4 , 5 ,  6 ,  7   0
 ND2 N 2 D 2 Q H N 2 D  
ou f 
,
,
, ,
, ,   0
kv  ND3 D g d 
 
Resolvendo para H D , tem-se,
 ND2 N 2 D 2 Q N 2 D  
H
 f1 
,
,
,
, , 
D
k v  ND3 g D 
 
N 2 D  ND2 N 2 D 2 Q  

f1 
,
,
, ,  
3
g

k

D 
ND
v


 ND2 N 2 D 2 Q  
Hg


f
,
,
, ,   a resposta parcial !
1 
k v  ND3 D 
N2D2
 
NOTA: É claro que a eficiência hidráulica de uma bomba, , é uma função de
, D, N, Q, 
ou seja
  f2 , D, N, Q,
Portanto, um termo  pode se formar como
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 ND2 Q 

8    f3 
,
3

ND


Evidentemente, da equação da resposta parcial pode-se escrever,
 ND2 N 2 D2 Q  
Hg
 f1 
,
,
, 
N 2D2
k v  ND3 D 
 
A resposta final e é a
equação completa de
bomba centrífuga
Hg


 f1  RE, MA, CQ , 
2 2
ND
D

ou
Parâmetro de
uma bomba
tipo FR
Problema 3
Faça análise dimesional en transferência de calor com convecção forçada.
D
Escoamento
Entrada
Saida
v
h
Propriedades de fluido
, , Cp, K
qcalor


Dado: f v, D, , , Cp , K, h  0
onde :
(1)
v = velocidade do fluido, LT-1
D = diâmetro do tubo, L
 = massa específica do fluido, ML-3
 = viscosidade do fluido, ML-1T-1
Cp = calor específico à pressão cte., L2T-2t-1
K = condutibilidade térmica, MLT-3t-1
h = coeficiente de transferência de calor, MT-3t-1
Solução: São quatro dimensõers fundamentais tomadas neste caso. Massa M,
Comprimento L, Tempo T, Temperatura t.  k = 4 e n = 7
(2)
 os termos  = 3  f 1 , 2 , 3   0
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Escolhendo D, , , K como base teremos,
1  Dabc Kd v
(3)
Dimensionalmente,
M0 L0T0 t 0  La ML3  ML1T 1  MLT 3t 1  .LT 1
b
Para
c
d
M:0  bcd
L : 0  a  3b  c  d  1
T : 0  c  3d  1
t : 0  d
donde tira-se,
a 1
b 1
c  1
d0
Substituindo em (3) tem-se,
1  D11 1K 0 v 

1 
Dv

DV
 RE

2  Da b  c K d Cp
(4)
(5)
Dimensionalmente,
M 0 L0 T 0 t 0  La ML3  ML1T 1  MLT 3 t 1  .L2 T 2 t 1
b
Para
c
M:0  bcd
L : 0  a  3b  c  d  2
T : 0  c  3d  2
t : 0  d  1
d
donde tira-se,
a0
b0
c 1
d  1
Substituindo em (5) tem-se,
 2  D 0  0 1 K 1C p ou  2 
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C p
K
 PRANDTL (PR )
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3  D a  b  c K d h
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(7)
Dimensionalmente,
M 0 L0 T 0 t 0  La ML3  ML1T 1  MLT 3 t 1  .MT 3 t 1
b
Para
c
d
M : 0  b  c  d 1
L : 0  a  3b  c  d
T : 0  c  3d  3
t : 0  d  1
donde tira-se,
a 1
b0
c0
d  1
Substituindo em (7) tem-se,
 3  D1 0  0 K 1 h ou seja  3 
hD
 NUSSELT ( NU)
K
(8)
Da equação (2) f 1 ,  2 , 3   0 ou 3  f1 1 ,  2 
ou
 Dv C p
hD
 f1 
,
K
K
 
ou
NU  f1 RE, PR 




NU  C RE  PR 
n
n'
onde C, n e n’ são coeficientes (ctes.) devem ser determinados experimentalmente.
Problema 4
Análise dimensional (o método de RAYLEIGH)
Supondo-se que a força resistente ao deslocamento (Força de Arrasto ou
Força de sustentação) é uma função de massa específica, de viscosidade, de
elasticidade, de velocidade do fluido, e de uma área característica, mostre que a força
resistente é uma função dos números de MACH e de REYNOLDS
Solução:
FA  f1 , , k v , V, A 
ou FA  k' ab k v Vd Ae  k' ab k v Vd L2e
c
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c
(1)
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onde k’ = constante (coeficiente) adimensional determinada experimentalmente.
Dimensinoalmente (sistema F,L,T),
F1L0T0  FL 4T 2  FL 2T  FL 2  LT 1  L2 
a
 Para
b
c
d
e
F : 1  a  b  c (2)
L : 0  -4a - 2b - 2c - d  2e (3)
T : 0  2a  b - d (4)
De (2)
a  1 b  c
De (4)
d  2a  b e substituin do (2a),
d  2 1 - b - c   b  2  2b  2c  b  2 - 2c - b  d
(2a)
(3a)
De (3) 2e  4a  2b  2c  d e substituin do as equações (2a) e (3a) em (3)
2e  4  4b  4c  2b  2c  2  2c  b  2  b
 e  1- b 2
(4a)
Substituindo os valores em (1) tem-se,
c
FA  k ' 1 b  c b k v V 2  b  2 L2  b
c
2
b
.- b 1
c V .V
 k' c .  b .k v .
.L2 .L b
2c
 
V
c
1 k
 k' . - b.  b . c v 2 c .V 2 .V  b .L2 .L b
 V

 VL 

 k' 
  
b
 kv 
 2  .L2 V 2
 V 
 VL 

 k' 
  
b
 V 2 

 .L2 V 2
k
 v 
c
c
FA  A  V2 f1 RE, MA 
(5) A equação de RAYLEIGH
Esta equação indica que o coeficiente de arrasto, CA 
FA
de objetos dependerá
AV 2
únicamente de seus números de REYNOLDS e de MACH
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Para fluidos incompressíveis o número de REYNOLDS é predominante e o efeito do
número de MACH é muito pequeno e desprezível.
Portanto para o fluído incompressível,
FA  AV2 f 2 RE 
ou
FA 
AV 2
V2
.2 f 2 RE   A .CA
2
2
onde CA = coeficiente de arrasto que depende do nº de RE  2 f 2 RE  
FA
A V 2 2
Analogamente, pode-se mostrar que
FS  A
onde
V2
.CS
2
FS = Força de sustentação
CS = Coeficiente de sustentação
Se for M1,
FA
 f3 MA  somente
AV 2
PROBLEMAS PROPOSTOS
Problema 1
O conjugado T disponível no eixo de uma turbna hidráulica depende da vazão
volmétrica Q, da carga manométrica H, do peso específico , da velocidade angular 
e do rendimento .
Determinar a forma da equação do conjugado utilizando o teorema 
Resposta:
 H3 
T  H 4 f1 
,  
Q


onde f1 deve ser determinado experimentalmente
Problema 2
Considerando-se que a força de arrasto exercida por um fluido em escoamento
sobre um objeto é uma função da massa específica, da viscosidade, da velocidade do
fluido e de um comprimento característico do corpo, desenvolver uma equação geral
para a força utilizando o teorema  do Buckinghum.
Resposta:
 LV  L2 V 2
 
F  L2 V 2 1 
 2KRE 
2
  
onde K = cte. Adimensional determinada experimentalmente.
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Problema 3
Considerando-se que o fluxo Q sobre uma barragem retangular varia
diretamente com o comprimento L e é uma função da altura H e da aceleração da
gravidade g, estabelecer a fórmula para o fluxo de barragem, utilizando o teorema 
Resposta:
Q  K.L.H3 / 2 .g1 / 2
onde K= uma cte. Determinada experimentalmente.
Problema 4
Um vertedor triangular é uma placa vertical com um entalhe de ângulo de
abertura  na sua parte superior, colocada transversalmente num canal. O líquido no
canal é retido e obrigado a escoar pelo entalhe. A vazão Q é uma certa função da cota
H, da superfície livre a montante do vertedor, medida a partir do fundo do entalhe.
Além disso a vazão depende da aceleração da gravidade e da velocidade V0 de
aproximação ao vertedor. Determinar a forma da equação que fornece a vazão pelo
teorema 
Resposta:
 V

Q  g.H 5 / 2 f1  0 ,  
 gh 
Há necessidade de resultados experimentais ou de uma análise teórica para se
obter informações adicionais sobre a função f1
Escolhendo H e V0 como base tem-se a resposta diferente.
Resposta:
 V

Q  V0 H 2 f 2  0 ,  
 gh 
A função incógnita f2 contém os mesmos parâmetros que f1, mas não pode ser
a mesma função matemática.
A última resposta obtida não é, em geral, muito útil porque freqüentemente V0
pode ser desprezado em vertedores triangulares. Isto mostra que uma variável pouco
importante não deve ser escolhida como grandeza da base.
Problema 5
A perda de carga por unidade de comprimento H L no escoameto em regime
turbulento num conduto liso depende da velocidade V, do diâmetro D, da aceleração
da gravidade g, da viscosidade dinâmica  e da massa específica . Determinar, com
o auxílio da análise dimesional, a forma geral da equação que rege o fenômeno de
transporte.
Resposta:
H
 f1 RE, V 2 gD
L


onde f1 é uma função determinada experimentalmente.
Nota: a fórmula usualmente empregada é
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H  f 2 RE 
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L V2
D 2g
onde
f2 RE   f  o fator de atrito
Problema 6
O número de REYNOLDS é uma função da massa específica, da viscosidade
absoluta, da velocidade média de um fluido e de um comprimeto característico.
Estabeleça o número de REYNOLDS pela análise dimensional de RAYLEIGH.
Resposta:
 VL 
RE  K 

  
y2
Os valores de K e y2 devem ser determinados pela análise física e/ou
experimentalmente. Mas pela definição do número de RE 
VL
, Sabe-se que aqui

K = 1 e y2 = -1
Problema 7
Estabelecer a expressão do número de WEBER, se ele é uma função da
velocidade V, da massa específica , do comprimento L e da tensão superficial . Use
o método de RAYLEIGH.
Resposta:
 V2L 
WE  k 

  
b  d
onde k e b são ctes. Determinadas experimentalmente. Sabe-se que k = 1 = b = -d
Problema 8
Estabelecer um número adimensional, sabendo-se que ele é uma função da
aceleração da gravidade g, da tensão superficial , da viscosidade absoluta  e da
massa específica . Use o método de RAYLEIGH.
Resposta:
 3 
NUMERO  K  4 
 g 
d
onde K e d são ctes. Devem ser determinadas experimentalmente.
Problema 9
Desenvolva uma expressão da vazão volumétrica em um tubo horizontal para
escoamento totalmente desenvolvido e em regime laminar pelo método de RAYLEIGH
Dado: Q  f D, L, , P
Resposta:
D
Q  K 
L
b
D3P

onde K e b são ctes. determinadas experimentalmente
Luis David González Cáceres
10276
E.C.A.
Escola Federal de
Engenharia de Itajubá
Notas: Se for –b = 1, Q  K
Sabe-se que K 
EME-35
D 4 P
L

D4P
de modo que Q 
128
128L
Esta é a equação de HAGEN-POISEULLE.
Luis David González Cáceres
10276
E.C.A.