Primos Gêmeos Série Rádio Cangália

Primos Gêmeos
Série Rádio Cangália
Objetivos
1. Apresentar o conceito de números primos
gêmeos.
2. Revisar a demonstração de que há infinitos
números primos.
Primos Gêmeos
Série
Rádio Cangália
Conteúdos
Números primos.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Apresentar o conceito de
números primos gêmeos.
2. Revisar a demonstração de
que há infinitos números
primos.
Sinopse
O programa apresenta a
curiosidade dos números primos
gêmeos e o fato de que ninguém
sabe com certeza se há um
número finito deles ou não.
Material relacionado
Vídeos: Surpresa para os
calouros;
Áudios: O que é número primo, A
diferença dos primos, Números
primos, 21 divisores naturais;
Experimento: Morto ou vivo,
Torre de Hanói;
Software: Embaralhando
imagens.
ÁUDIO
Primos Gêmeos 2/12
Introdução
Sobre a série
A série Rádio Cangália apresenta programas descontraídos de
variedades que usualmente abordam uma informação ou notícia de
conhecimentos gerais, com comentários de um professor de
matemática. Os temas não são tratados em profundidade, mas
oferecem oportunidade de o professor trabalhar assuntos
interdisciplinares em sala de aula ou em atividades extraclasse. O
programa pode trazer também uma piada ou uma frase célebre, sem
preocupações maiores além de oferecer motivos de discussão em
torno de um conteúdo e reforçar a descontração.
Sobre o programa
Um número primo só pode ser dividido, com resultado inteiro, por UM
e por ele próprio. Os números primos são os blocos mais
fundamentais da aritmética e são úteis para a criptografia moderna.
O número 2 é o primeiro primo e o único que é par. Todos os demais
são ímpares. Assim, o único par de primos consecutivos são 2 e 3.
No entanto existem duplas de primos em que a diferença entre o
maior e o menor é 2. Isto é, na sequência dos números naturais, esses
números primos gêmeos tem apenas outro número (que é par) entre
eles. Esses duetos de números primos são chamados de primos
gêmeos. Por exemplo: (3,5); (5,7); (11,13); (17,19); (29,31);
(1997,1999) etc.
Os matemáticos não sabem se existem infinitos primos gêmeos.
Já sabemos, desde Euclides, que há infinitos números primos, mas até
hoje ninguém conseguiu provar se há uma quantidade finita ou infinita
de primos gêmeos. Tudo indica, com a ajuda de computadores, que a
quantidade de primos gêmeos não tem limite.
ÁUDIO
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Em 2002 foi descoberta uma dupla de primos gêmeos com mais de
cinqüenta mil dígitos. Isto não é suficiente para resolver o problema
dos primos gêmeos.
O programa foi desenvolvido a partir das seguintes falas, que são
reproduzidas abaixo sem as devidas correções gramaticais ou
ortográficas de um texto escrito – servem apenas para acompanhar o
programa:
• Olá alunos!
• E olá professor! Começa aqui mais uma Rádio Cangalha! Eu sou a
Ivone...
• ... Eu sou o Henrique e estamos aqui com o nosso eterno
convidado, o Professor Leumas! Olá professor!
• Oi, Ivone, oi Henrique. Poxa, vocês não vão acreditar no que eu
descobri hoje, muito bacana!
• [como crianças] O quê? O quê?
• Descobri que você e o Henrique são primos!
• Ãh...
• [animado] Ué, não estão felizes?
• Ah, e não só vocês são primos, como também são primos gêmeos!
• Ãhn!?!
• É que eu estou falando do conceito matemático de números primos
gêmeos, claro. Porque a Ivone tem vinte e nove anos, e você tem
trinta e um Henrique! Números primos gêmeos!
• Nossa professor, que susto. Poxa, com assunto de parentesco não
se brinca né. Existem consequências morais, pessoais e legais por
trás disso, sabe?
• [assertiva] Isso, isso. Morais e pessoais. [pausa] Não que eu não
goste do Henrique, é que...hm...
ÁUDIO
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• Bem, acho melhor eu descontrair um pouco e explicar o conceito
por trás dos números primos.
• [comentando para Ivone] Uau, é a primeira vez que a matemática
me deixa mais confortável com alguma coisa!
• Os números primos são aqueles números que só são divisíveis, ou
seja, só geram coeficientes inteiros, se divididos por si mesmos ou
por um.
• Ué, mas todos os números são divisíveis por eles mesmos, e um.
• Quando dividimos por UM, o resultado é o mesmo, e quando
dividimos por eles próprios, o resultado dá um. Que sem graça.
• Mas Henrique, eu disse que os números primos só são divisíveis
por eles mesmos, e um.
• Hm, então devem ser poucos os números que são assim.
• Na verdade, tem bastante. Entre zero e cem, temos vinte e cinco
números primos! Um quarto!
• Um quarto de primos! Parece a pior festa surpresa do mundo!
• Mas e aí, professor, o que faz um par de números primos serem
gêmeos?
• É a existência de um número par entre eles. Por exemplo, no
sistema decimal, temos apenas dois números primos...
• ... imediatamente consecutivos, que são o dois e o três.
• Sendo que o dois é o único número primo par!
• Exato. Mas o mais perto de números consecutivos que temos,
numa lista de números primos, são aqueles que estão distantes por
apenas um número.
• Hm, a diferença entre eles dá dois, como a minha idade e a da
Ivone, trinta e um e vinta e nove!
• [desconfortável] Isso, isso...Vinte e nove. He.
• Mas qual a importância disso tudo, professor? Os números primos
têm alguma outra propriedade interessante?
ÁUDIO
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• Isso mesmo. Para isso, ele partiu da afirmação de que é possível
decompor todo número inteiro em números primos.
• Ou seja, todo número inteiro ou é primo, ou é múltiplo de primos!
E essa decomposição se chama fatoração!
• Isso mesmo. E também sabemos que, na fatoração de qualquer
número xis, os números primos que usamos são totalmente
diferentes dos que usamos para fatorar o número seguinte, xis
mais um.
• Acho que é um bom assunto para o próximo bloco!
• Bacana, voltamos já já com mais Rádio Cangalha!
• Olá professor e alunos, estamos de volta com a Rádio Cangalha,
para conversar sobre algumas propriedades dos números primos.
Vamos lá professor Leumas?
• Bem antes de tudo, vou comentar como Euclides nos demonstrou
que os números primos são infinitos! E ele fez isso de um jeito
interessante, pois quis provar a tese contrária, de que os números
primos são finitos e chegou a um absurdo!
• Ah, o famoso “reductio ad absurdum”!
• A fatoração de um número é totalmente diferente da fatoração do
número que o segue! Interessante.
• Foi com isso em mente que Euclides pensou no seguinte: se os
números primos fossem finitos, ou seja, não continuassem ao
infinito, então existiria um número zê que, se fatorado, seria
composto pela multiplicação de todos esses números..
• Faz sentido, se multiplicássemos todos os primos, teríamos outro
número inteiro. Nada de novo aí.
• Mas é aí que está a sacada: como o número seguinte a outro é
fatorado por números primos diferentes, um número zê mais um,
teria que possuir, em sua fatoração, um número primo que não
ÁUDIO
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estava na série finita de primos, que imaginamos no começo da
idéia. Ou ele mesmo é outro número primo!
• Hm, e por aí vai. O número seguinte a zê mais um mostraria outro
número primo, e outro, Ad infinitum – até o infinito!
• Então temos um reductio ad absurdum ad infinitum! Quem diria
que a resposta ia estar toda na Grécia e Roma antiga...
• Ai, ai, pirações do Henrique...Mas, professor, se os números
primos são infinitos, os primos gêmeos também?
• Essa pergunta gera muita discussão, pois os matemáticos ainda
não conseguem achar a resposta!
• [pasmos] Como assim!?
• Bem, as contas com computadores parecem indicar que os primos
gêmeos são mesmo infinitos– o maior par descoberto até hoje tem
mais de cinqüenta mil dígitos! Mas prova matemática que é bom,
nada.
• Mas poxa, se os números primos dão tanto trabalho, porque os
matemáticos ficam perdendo tempo com eles?
• Como vimos, todos os números naturais são primos ou são
compostos por números primos
• [cético] Ainda não me surpreendeu muito.
• Ah é? E quanto à conjectura de que todo número par maior do que
quatro é composto pela soma de dois números primos?
• [desafiadora] Mas e isso, já foi provado?
• ...Não. Mas também não foi desprovado, é essa a questão.
•
[ameaçadora] E o número mil novecentos e noventa e nove, é
primo?
• É, uhm...Deixe me ver uma coisinha na minha calculadora...
•
[surpreso] Como assim professor? Uma calculadora?
• [pasma] Achei que o senhor era um matemático!
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• Qual o problema de um matemático usar uma calculadora? Um
matemático sem calculadora é como um poeta sem, hm [perde-se]
um dicionário de rimas... Não foi um bom exemplo. Algumas
coisas só na calculadora mesmo.
• Mas você não tinha dito que computadores conseguem descobrir
primos de até cinquenta mil dígitos?
• E computadores funcionam via algoritmos...
• Vocês estão certos, mas o fato é que, se um programa de
computador vai checar se um número é primo, ele simplesmente
tenta dividí-lo por todos os números menores que ele.
• É, números primos parecem ser complicados mesmo.
• Falando nisso, se não me engano, mil novecentos e noventa e nove
é um número primo. E mil novecentos e noventa e sete também.
• Primos gêmeos. Que bonitinho! Que tal encerrar o programa com
esse momento de ternura numérico?
• Peraí Henrique, falta a frase célebre de hoje!
• A frase célebre de hoje vêm do matemático Paul Erdös, que disse
“Deus pode não brincar de dados com o Universo, mas tem algo de
estranho com esses números primos...”
• [contente] Ahá! Não sou só eu, viram? E olha que o Erdös ganhou
uma medalha de Fields, a mais disputada pelos matemáticos.
• Ok, ok, professor acreditamos em você.
• E a frase Erdös é uma réplica a Einstein, que disse que Deus joga
dados com o Universo.
• Então o que você acha que significa o fato de eu e você sermos
primos gêmeos, Ivone?
• Ai, não acredito, Henrique. Erdös estava falando de números e
Einstein da física quântica.
• Como assim?
• Ele queria que eu falasse que juntos formaríamos um par.
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• Mas bem que divididos nós daríamos um quadrado perfeito, vinte e
cinco!
• [levemente desapontada] Agora eu não sei se isso foi um elogio,
uma piada ou nerdice sua mesmo.
• Talvez os três, primos. Entenderam? Três? ...Tem todo um contexto
envolvido.
• Ih, se as piadas estão ficando ruins é porque é hora de encerrar o
programa. Até mais gente!
Sugestões de atividades
Antes da execução
O professor pode passar uma lista de números primos entre 1 e 1000
para os alunos e solicitá-los que contabilizem o seguinte:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Quantos números primos existem entre 1 e 3?
Idem entre 1 e 9?
Idem entre 1 e 27?
Idem entre 1 e 81?
Idem entre 1 e 35=243?
Idem entre 1 e 36=729?
A lista pode ser distribuída em uma folha para dois alunos ou se
possível apenas projetada em tela:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139,
149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211,
223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367,
373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443,
449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523,
541, 547, 557, 563 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613,
617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691,
701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787,
ÁUDIO
Primos Gêmeos 9/12
797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877,
881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971,
977, 983, 991, 997.
Resposta
A quantidade de números primos menores ou iguais a um dado
número x é uma função denominada pi(x). Assim as respostas às
perguntas acima são:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
pi(3)=2
pi(32)=4
pi(33)=9
pi(34)=22
pi(35)=53
pi(36)=129
Aproveitamos a lista e já temos que pi(1.000)=168.
Desafiar os alunos para dizer quanto eles acham que seria pi(10.000).
Isto é, quantos primos existem entre 1 e 10 mil? Os alunos não têm
elementos suficientes para acertarem o valor que é de
pi(10.000)=1.229.
O objetivo da reflexão é preparar para o problema dos primos gêmeos.
Durante a execução
Escreva no quadro os nomes e os dados numéricos mencionados no
programa à medida que eles forem falados. Ao final do primeiro
bloco, solicitar aos alunos reconhecerem as duplas de primos gêmeos
da lista dos primos de 1 a 1.000.
Depois da execução
O programa afirma que os matemáticos não conseguiram demonstrar
definitivamente se há infinitos números primos gêmeos ou não, apesar
dos computadores terem encontrados MUITOS primos gêmeos.
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Problema
ConsidereCalcular o produto de cada dupla de números primos
gêmeos e somar um. Existe um fator em comum desse resultado?
Solução
Para os alunos ganharem percepção, fazer a operação, com a ajuda de
uma calculadora, para os primeiros casos:
ሺ3,5ሻ → 3 × 5 + 1 = 16
ሺ5,7ሻ → 5 × 7 + 1 = 36
ሺ11,13ሻ → 11 × 13 + 1 = 144
ሺ17,19ሻ → 17 × 19 + 1 = 326
Claramente todos os resultados são pares. Mais do que isto,
percebemos que são múltiplos de 4. Este resultado pode ser
generalizado facilmente. Estamos tratando de números p>2, tais que
p=2k-1 é um número primo, para k>1 e o seu primo gêmeo será 2k+1.
Assim a operação sugerida pelo problema é
ሺ2݇ − 1,2݇ + 1ሻ → ሺ2݇ − 1ሻ × ሺ2݇ + 1ሻ + 1 = 4݇ ଶ
Assim, de fato o resultado da operação sempre vai ser múltiplo de 4.
Observamos ainda que, exceto para o primeiro cálculo, os três demais
exemplos que calculamos são múltiplos de 36. Seria esse um resultado
em geral? De fato são. Para mostrar isso fazemos a seguinte
afirmação: todos os números naturais maiores que um podem ser
escritos como uma das seguintes formas:
6݉ − 4,
6݉ − 3,
6݉ − 2,
6݉ − 1,
6݉ e 6݉ + 1,
݉ ≥ 1.
Em outras palavras organizamos os números naturais na seguinte
tabela (infinita):
Tabela 1 Uma partição especial dos números naturais >1.
m
1
2
3
4
6m-4
2
8
14
20
6m-3
3
9
15
21
6m-2
4
10
16
22
6m-1
5
11
17
23
6m
6m+1
6
12
18
24
7
13
19
25
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Primos Gêmeos 11/12
5
6
7
8
9
10
11
12
26
32
38
44
50
56
62
68
27
33
39
45
51
57
63
69
28
34
40
46
52
58
64
70
29
35
41
47
53
59
65
71
30
36
42
48
54
60
66
72
31
37
43
49
55
61
67
73
...
Assim, podemos dizer que os números primos maiores que 3 não
podem estar nas coluna 6m-4 nem 6m-2 pois contêm números pares,
nem nas coluna 6m-3 ou 6m pois contém múltiplos de 3. Assim os
números primos gêmeos em questão só podem ser do tipo 6m-1 e
6m+1. E pare esses tipos de números a operação leva a múltiplos de
36, a saber:
ሺ6݉ − 1,6݉ + 1ሻ → ሺ6݉ − 1ሻ × ሺ6݉ + 1ሻ + 1 = 36݉ଶ
Sugestões de leitura
Weisstein, Eric W. "Prime Counting Function." From MathWorld--A
Wolfram Web Resource. Página visitada em 5/Nov/2011:
http://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html
Weisstein, Eric W. "Twin Primes." From MathWorld--A Wolfram Web
Resource. Página visitada em 5/Nov/2011:
http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html
Ficha técnica
Autor Samuel Rocha de Oliveira e Luis Ricardo Sarti
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
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