Pelo método de Newton se é um valor próximo de uma raiz de p, a

UFPI – Departamento de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática – PROFMAT
Disciplina: MA11 – Conjuntos, números e funções
Professores: Newton/Humberto
Aluna: Ethiamara da Silva Sousa Vênus
U12 – QUESTÃO 9 – (cap. 7 do livro - pág. 170)
a)Usando o método de Newton, estabeleça um processo iterativo para calcular √=.
>
Pelo método de Newton se ?@ é um valor próximo de uma raiz de p, a sequência
?@ , ?E , ?F , … , ?H de números reais obtido pela fórmula iterativa ?HI@ J ?H K
tem como limite uma raiz de p.
L(MN )
,
LO (MN )
Para calcular Q√P, tomemos x J Q√P, ou seja, x - Q√P J 0. Considere então um
polinômio p(x) J 0, tal que p(x) J x3- a, onde p’(x) J 3x2.
Portanto, pelo método de Newton, ?HI@ J ?H K
MN Q V W
FMN X
Y ?HI@ J
E
?
F H
Z
b) ApliqueAplique-o afim de obter um valor aproximado de √[.
=
FMN X
.
>
Considerando aJ2 e utilizando a relação de recorrência obtida no item a, temos:
?HI@ J
E
?
F H
Z
[
FMN X
E
J F \?H Z M X ^.
]
N
Observemos que para a J 2, p(x) J x3- 2. Calculando p(1) e p(2) obtemos -1 e 6.
Podemos concluir então que existe uma raiz de p entre 1 e 2.
Tomando x0 J 1:
?@ J
E
F
]
E
\1 Z @X ^ J FJ1,333...
]
E
dF Z eX f J
\?` Z M X ^ J
E
a
?E J F \?@ Z M X ^ J
?F J1,2599...
c
F
F
]
b
]
Q
b
g@
J,12639....
hE
?b J1,2599...
?j J1,2599...
Como 1,25993<2<1,26003, a aproximação com 4 casas decimais para √2 é 1,2599.
Q