N - Páginas Pessoais

UTFPR
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
Coordenação do Curso Análise e Desenvolvimento de Sistemas UTFPR 4 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE BÁSICA E DE PROBABILIDADE DISCRETA
5 A DISTRIBUIÇAO NORMAL E AS DISTRIBUIÇOES DE AMOSTRAGEM
6 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA
UTFPR
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
Coordenação do Curso Análise e Desenvolvimento de Sistemas UTFPR Sumário
CAPITULO 4 .............................................................................................................................4
4 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE BÁSICA E DE PROBABILIDADE
DISCRETA.................................................................................................................................4
4.1 Conceitos Básicos de Probabilidade................................................................................4
4.1.1Exercicios..................................................................................................................6
4.2 TABELA DE CONTINGENCIA....................................................................................9
4.3 Regra de Adição para Eventos Mutuamente Excludentes ou Exclusivos.....................12
4.4 Probabilidade Condicional.............................................................................................14
4.5 Teorema de Bayes...........................................................................................................21
4.5.1 Exercicios...............................................................................................................23
4.6 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE PARA CADA UMA VARIÁVEL
ALEATÓRIA DISCRETA...................................................................................................25
4.6.1 Distribuições de probabilidades discretas...............................................................25
4.6.1.2 Distribuição de poisson...................................................................................33
4.6.1.3 Exercicios........................................................................................................34
4.6.1.4 Distribuição hipergeométrica..........................................................................35
4. 6.1.4 Exercicios.......................................................................................................36
4.6.1.5 Exercicios........................................................................................................37
5 A DISTRIBUIÇAO NORMAL E AS DISTRIBUIÇOES DE AMOSTRAGEM..................37
5.1 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL......................................................................................37
PADRONIZAR.....................................................................................................................38
5.1.1 Exercicios...............................................................................................................39
5.2 AVALIANDO A PREMISSA DA NORMALIDADE....................................................42
5.3 Exercicios.......................................................................................................................44
5.4 A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL...........................................................................47
5.5 Exercicios.......................................................................................................................47
5.5 INTRODUÇÃO ÀS DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGEM.....................................48
5.6 DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM DA MEDIA ARITMÉTICA..........................48
5.8 EXERCICIOS................................................................................................................52
5.9 DISTRIBUIÇAO DE AMOSTRAGEM DA PROPORÇÃO.........................................53
5.10 EXERCICIOS..............................................................................................................53
6 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA............................................................55
6. 1 INTRODUÇAO.............................................................................................................55
6.2 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA DA MEDIA ARITMETICA.......55
( conhecido-desvio padrão).................................................................................................55
6.3 EXERCICIOS................................................................................................................56
6.4 estimativa do intervalo de confiança da média aritmética ...........................................57
(σ desconhecido)..................................................................................................................57
6. 5 EXERCICIOS...............................................................................................................58
6.6 estimativa do intervalo de confiança para a proporção..................................................60
6.7 EXERCICIOS................................................................................................................60
6.8 DETERMINANDO O TAMANHO DE UMA AMOSTRA..........................................61
6.9 EXERCICIOS................................................................................................................62
6.10 EXERCICIOS..............................................................................................................62
6.11 APLICAÇÕES DA ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA EM
AUDITORIA........................................................................................................................63
6.12 EXERCICIOS..............................................................................................................64
6.2 ATIVIDADES PRÁTICAS PEDAGÓGICAS..............................................................65
Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 02:19 PM
ESTATÍSTICA- ANÁLISE DE DADOS – AD34S
ii
UTFPR
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
Coordenação do Curso Análise e Desenvolvimento de Sistemas UTFPR REFERENCIAS .......................................................................................................................70
Prof. Jorge Roberto Grobe 11 de set de 14 02:19 PM
ESTATÍSTICA- ANÁLISE DE DADOS – AD34S
iii
CAPITULO 4
4 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE BÁSICA E DE PROBABILIDADE DISCRETA
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
4.1 CONCEITOS Básicos de Probabilidade
◦
FARBER(2009, p.105) exemplo simples do uso de termo experimento de probabilidade,
espaço amostral, evento e resultado:
◦
Experimento de probabilidade: lançamento de um dado de 6 lados
◦
Espaço amostral: {1,2,3,4,5,6}
◦
Evento : sair um numero par {2,4,6}
◦
Resultado : rolar um numero 2 : {2}
◦
Em WITTE(2005), probabilidade refere-se a proporção, ou fração, de vezes que um
determinado resultado é passível de ocorrer.
•
Segundo LEVINE (2005), probabilidade é a chance ou possibilidade de que um
determinado evento venha ocorrer.
•
Valores entre 0 e 1
•
Evento impossível – não tem chance de ocorrer é igual a zero
•
Evento certo igual a 1
•
FARBER (2009,p.109), Probabilidade clássica ou teórica é usada quando cada resultado
em um espaço amostral é igualmente possível de ocorrer.
•
•
A probabilidade clássica para um evento E é dada por:
P  E =
numero resultados no evento E
numero total de resultados no espaço amostral
•
Jogando um dado de 6 lados :
•
Evento A: lançar um 3 R:1/6
•
Evento B: lançar um 7 R:0
•
Evento C: lançar um numero menor que 5. R:4/6=2/3
PROBABILIDADE EMPÍRICA ( ou estatistica) FARBER (2009, p.110), basea-se em observações
obtidas de experimentos de probabilidades.
A probabilidade empírica de um evento E é a frequência relativa do evento E.
P  E =
frequencia do evento E
frequencia total
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
4
•
1)Exemplo:
uma empresa esta conduzindo uma pesquisa on-line com indivíduos
selecionados aleatoriamente para determinar se o congestionamento no transito é um
problema em sua comunidade. A distribuição de frequência mostra os resultados . Qual é a
probabilidade de que a próxima pessoa que responda a essa pesquisa diga que o
congestionamento é um problema sério em sua comunidade?
resposta
Numero de vezes f
É um problema sério
123
É um problema moderado
115
Não é um problema
82
320
Resposta:
123
=0,3844=38,44 %
320
EVENTOS E ESPAÇOS AMOSTRAIS
•
Para MONTGOMERY(2003), um experimento é a medição de uma corrente em um fio de
cobre.
•
Com repetições diárias de medidas, os resultados podem diferir levemente, devido a
pequenas variações nas temperaturas ambientes, nos medidores, química do fio, etc.
Evento Simples FARBER(2009, p.106): consiste um único resultado
2) Exemplo: determine o numero de resultados em cada evento. Escreva se cada evento é simples
ou não.
•
Para um controle de qualidade, selecionar aleatoriamente uma peça de maquina de um lote
que foi fabricado naquele dia.O evento A é selecionar uma peça de maquina com um defeito
específico. R: evento simples
•
Lançar um dado de 6 lados. O evento B é rolar pelo menos um numero 4. R:nao é simples.
3) exemplo: TEMPERATURA DE UM PROCESSADOR
•
Cada componente é uma variável aleatória.
•
Experimento aleatório –fornece diferentes resultados, embora seja repetido toda vez da
mesma maneira.
4)exemplo :DOMENICO (pag. 127),
•
lançamento de uma moeda
•
a aposta em um jogo qualquer da loteria esportiva.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
5
Espaço amostral- é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
5)exemplo : DOMENICO ( pag.127) , no lançamento de um dado, o espaço amostral dos números
voltados para cima é o conjunto: S={1,2,3,4,5,6}, o numero de elementos de S é n(S)=6.
Evento- é um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
6) exemplo: DOMENICO ( pag.127), seja o experimento aleatório jogar um dado e verificar se a
face voltada para cima é impar.
O espaço amostral é: S={1,2,3,4,5,6} O evento A é : {1,3,5}
EVENTOS
Evento certo: é um evento igual ao espaço amostral. S={1,2,3,4,5,6}
Evento impossível: {}
Evento elemento : {5}
4. 2EVENTOS UNIÃO , INTERSECÇÃO E COMPLEMENTAR
União- são os resultados que estão contidos nos dois eventos. E1∪E2
Intersecção- são os resultados que estão contidos em ambos os eventos. E1∩ E2 Complemento
– são os resultados que não estão no evento E. E’=S-E MONTGOMERY(2003).
4.1.1Exercicios
DECIDA SE O EVENTO É SIMPLES OU NÃO NOS EXERCICIOS 1 E 2.
1)FARBER(2009,p.115) Um computador é usado para selecionar aleatoriamente um numero entre 1
e 2000. O evento A é selecionar 359.
RESPOSTA: EVENTO SIMPLES
2)FARBER(2009,p.115) um computador é usado para selecionar aleatoriamente um numero entre 1
e 2000. O evento B é selecionar um numero menor que 200.
R: não é um evento simples , pois tem mais de um resultado.
3) Jogar
uma moeda e selecionar aleatoriamente um numero de 0 a 9. Qual a probabilidade de
obter coroa e selecionar um 3? R:1/2* 1/10= 0,05
4) (DOMENICO, pag.128) Seja o lançamento de um dado; forneça os eventos ao encontrar na face
voltada para cima:
a) números pares
b) números ímpares
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
c) números menores que 3 d) números primos
14:19:16
6
5) exemplo : DOMENICO ( pag. 128), seja o lançamento de um dado e a verificação da face
voltada para cima, o espaço amostral:S={1,2,3,4,5,6}, sejam os eventos :
a) face par : A= {2,4,6}
b) divisores de 6: B= {1,2,3,6}
c) múltiplo de 5:C={5}
i) A∪B =
A∩B =
ii)
{1,2,3,4,6}
{2,6}
A∩C = { } * A e C são mutuamente exclusivos, pois não ocorrem ao mesmo tempo.
iii)
•
se todos os elementos de S tem a mesma possibilidade de ocorrência, o espaço amostral
S um espaço equiprovável ou uniforme.
•
Espaço não -equiprovável : onde todos os pontos amostrais de um evento tem
diferentes possibilidades de ocorrência.
•
p1+p2+...+pn=1
6) exemplo: DOMENICO ( pag. 130), na disputa de um campeonato mundial de futebol , a chance
do Brasil ser campeão é o dobro de chance da Argentina ser campeã. Qual é a probabilidade do
Brasil ser o campeão?
Solução : P(Argentina)= p
P(Brasil)=2p
P(A)+P(B)=1
P(B) =2/3
7) DOMENICO ( p.129-130) Suponha que numa caixa existem 7 bolas, sendo 2 pretas, 3 brancas e
2 vermelhas. Sendo o espaço amostral equiprovável, determine, na retirada de uma bola da caixa, a
probabilidade:
a) vermelha
b) não preta
c) preta ou branca
d) preta ou vermelha
8) Internacional, Cruzeiro , Corinthians e Flamengo vao disputar o titulo do campeonato brasileiro
de futebol. As chances do Corinthians e do Cruzeiro serem vencedores são iguais, mas a chance do
Internacional é o dobro da chance do Cruzeiro e a chance do Flamengo é o triplo da chance do
Internacional.
a) qual é a probabilidade do Corinthians ser campeão? R:1/10
b) qual é a probabilidade do Flamengo ser campeão: R:3/5
•
P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
7
9) Medidas do tempo necessário para completar uma reação química podem ser modeladas com o
espaço amostral S = 0 ;∞ . Dados os eventos : E1=[1;10) E2=(3;118).
a) E1∪ E2
c) E1∩ E2
b) E1’=S-E1
d)E1’∩ E2
10)
respostas:a) [1;118[; b) ]0;1[UNIAO [10;inf [ ;c) ]3;10[;d) [10;118[
11) FARBER (2009, p.116) Dias de sol e chuva .Uma viagem de 4 dias para Seatle, Washington ,
em outubro.
a) faça um diagrama de arvore dos dias de sol e chuva para sua viagem.
b) liste o espaço amostral
c) liste os resultados para o evento que ira chover exatamente em um dia.
Dia 1
sol
chuva
12) FARBER (2009, p.117) use a distribuição de frequencia, que mostra o numero de eleitores
americanos ( em milhoes), de acordo com a idade:
Idade dos eleitores
Frequencia ( em milhoes)
18 a 20 anos
5,8
21 a 24 anos
8,5
25 a 34 anos
21,7
35 a 44 anos
27,7
45 a 64 anos
51,7
Acima de 65 anos
26,7
Encontre a probabilidade de que um eleitor , escolhido aleatoriamente, esteja:
a) entre 21 e 24 anos
resposta:
8,5
=5,98 porcento
142,1
b) entre 35 e 44 anos
c) não esteja entre 18 e 20 anos
d) não esteja entre 25 e 34 anos.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
8
4.2 TABELA DE CONTINGENCIA
Em LEVINE (2005), o comportamento de compra com relação a aparelho de televisão com tela
grande.
efetivamente comprou
planejou em
adquirir
sim (A)
não (A')
total
sim
Não
(B)
(B')
total
200
50
250
100
650
750
300
700
1000
•
Espaço amostral: coleção de todos os eventos possíveis.
•
O espaço amostral é de 1000 famílias
•
O complemento de A inclui todos os eventos que não fazem parte de A pode ser escrito por
A’.
PROBABILIDADE SIMPLES (marginal)
Em LEVINE (2005), a probabilidade simples é chamada de probabilidade marginal, uma vez que
ela pode ser obtida através da margem apropriada
P planejou em adquirir =
 n o de familias que adquiriu  250
=
=25 %
total de familias
1000
È a chance de 25% de uma família tenha planejado em adquirir uma tv com tela grande.
13)EXEMPLO DE PROBABILIDADE SIMPLES ( MARGINAL)
P(B)=250/1000
pode-se escrever P(B e A1)+P(B e A2)=200/1000+50/1000=250/1000
14) EXEMPLO: Calculando a probabilidade de um aparelho de tv com tela grande adquirido seja
HDTV nos últimos 12 meses, dado pela tabela de contingência:
comprou DVD (B)
comprou
HDTV (A)
HDTV (sim)
HDTV (não)
total
sim
Nao
38
70
108
total
42
150
192
80
220
300
a) Encontre a probabilidade de que uma família que tenha adquirido um aparelho de tv HDTV.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
9
Resposta: 80/300, existe uma chance de 26,7% de que uma compra aleatoriamente selecionada de
um aparelho de televisão com tela grande seja de um HDTV (televisão de alta definição)
Probabilidade Combinada

Envolvem mais de dois eventos

Eles ocorrem simultaneamente
15)EXEMPLO: Uma vez que esse grupo em 200 familias , a probabilidade de escolher uma família
que tenha planejado adquirir e comprou uma tv com tela grande é :
efetivamente comprou
planejou em
adquirir
sim
não
total
sim
não
total
200
50
250
100
650
750
300
700
1000
P  A e B = P  A ∩ B 
resposta:
200
1000 =20%
16)EXEMPLO: Encontre a probabilidade de que uma família tenha comprado HDTV e um DVD.
comprou DVD (B)
comprou
HDTV (A)
HDTV
Não HDTV
total
sim
Nao
38
70
108
total
42
150
192
80
220
300
resposta: existe uma chance de 12,7 % de que uma família, aleatoriamente selecionada que tenha
adquirido um aparelho de tv com tela grande tenha adquirido um HDTV e um aparelho de DVD.
38
300 =12,7%
Calculando a probabilidade marginal
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
10
P(A)= P(A e B1 )+...+P(A e Bk)
são eventos mutuamente excludentes se ambos não ocorrem ao mesmo tempo.
17)EXEMPLO: Calcular a probabilidade marginal de planejar em adquirir um aparelho de Tv com
tela grande.
efetivamente comprou
planejou em
adquirir
sim
não
total
resposta:
sim
não
total
200
50
250
100
650
750
300
700
1000
200
50

= 25 %
1000 1000
Regra geral de Adição
P  A ∪ B = P  A  P  B − P  A∩ B 
P( AouB)  P(A )  P( B)  P(AeB)
18) EXEMPLO: DOMENICO (p.131) , seja o lançamento de um dado { 1,2,3,4.6} com eventos
equiprováveis. Qual é probabilidade de ocorrer um número par ou um número múltiplo de 3?
resposta:
P (A∪ B)=P (A)+ P (B)−P ( A∩B) =
3 2 1 4
+ − =
6 6 6 6
19) EXEMPLO: Planejou em adquirir ou efetivamente comprou, calcule esta probabilidade
referente a compra de uma tv com tela grande. Use a regra geral da adição. R: 35%
efetivamente comprou
planejou em
adquirir
sim
não
total
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
sim
não
total
200
50
250
100
650
750
300
700
1000
14:19:16
11
A=efetivamente comprou
B=planejou em adquirir
P  A ∪ B = P  A  P  B − P  A∩ B 
300 250 200

−
=35 %
1000 1000 1000
20) EXEMPLO: Encontre a probabilidade de que uma família tenha comprado HDTV ou
DVD.R:50%
comprou DVD (B)
comprou
HDTV (A)
HDTV
Não HDTV
total
sim
não
38
70
108
total
42
150
192
80
220
300
4.3 Regra de Adição para Eventos Mutuamente Excludentes ou Exclusivos
Os eventos são mutuamente excludentes se ambos os eventos não puderem ocorrer ao mesmo
tempo.
P(A ou B)= P(A) +P(B) ou P  A ∪ B = P  A  P  B 
Em WITTE (2005), resultados mutuamente excludentes não podem ocorrer conjuntamente.
Regra da Adição- some conjuntamente as probabilidades em separado de vários resultados
mutuamente excludentes para encontrar a probabilidade de que qualquer um desses resultados
venha ocorrer.
21) EXEMPLO: DOMENICO (p.131), seja o lançamento de um dado com eventos equiprováveis.
Qual é a probabilidade de ocorrer um número par ou um número multiplo de 5? resposta: 4/6
•
se todos os elementos de S tem a mesma possibilidade de ocorrência, o espaço amostral
S um espaço equiprovável ou uniforme.
22)EXEMPLO: Assumindo que todas as pessoas seja igualmente possiveis de nascer durante
qualquer um dos 12 meses do ano, qual é a probabilidade de que Jack tenha nascido:
a) em junho? resposta:
1
12
b) em qualquer mês que não seja junho?
c)em maio ou junho?
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
12
23)EXEMPLO: Qual é a probabilidade de que uma família, tenha adquirido uma tv com tela
grande tenha feito através da net ou do correio?
tipo de numero de
compra entrevistados
loja
183
net
87
correio
30
87
30
MAIS
= 39%
300
300
24) EXEMPLO: Ao longo dos últimos anos, empresas de cartão de credito realizaram um esforço
intensivo a fim de obter novas contas de alunos de faculdades. Suponha que um amostra de 200
alunos em sua faculdade tenha indicado as seguintes informações em relação ao fato de os alunos
possuírem um cartão de credito bancário e/ou cartão para turismo e lazer:
cartão de credito para turismo e lazer
cartão de crédito
bancario
sim
não
sim
60
60
não
15
65
a) forneça um evento simples
resposta : possuir cartão de crédito bancário =0,60
b)evento combinado
resposta: possuir os dois cartões
c)qual o complemento de possuir um cartão de credito bancário?
resposta: não possuir um cartão de credito bancário
d) por que possuir um cartão de credito bancário e possuir um cartão de credito para turismo e lazer
é um evento combinado?
Se um aluno for selecionado qual é a probabilidade de que:
e) o aluno possua cartão de credito bancário?
f)o aluno possua cartão de credito para turismo e lazer?
g)o aluno possua um cartão de credito bancário e um cartão de credito para turismo e lazer?
resposta:
h)o aluno não possua nenhum cartão?
resposta:
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
13
i) a aluno possua cartão de credito bancário ou para turismo e lazer?
resposta:
j)o aluno não possua um cartão de credito bancário ou possua um cartão de credito para turismo e
lazer? Respostas:e)0,6 f)0,375 g)0,3 h)0,325 i)0,675 j)0,7
4.4 Probabilidade Condicional
Em LEVINE (2005), ao calcular a probabilidade de um determinado evento, A, sendo conhecida
informações sobre a ocorrência de um outro evento B,
P(A / B)= probabilidade de A dado que ocorreu B.
P A/ B=
P  A e B
P  B
ou
P A∩B
P  B
P(B/A)= probabilidade de B dado que ocorreu A
P B / A=
P  B e A
P  A
ou
P B∩A
P  A
P(A e B)= probabilidade combinada de A e B
P(A) e P(B) = probabilidades marginais de A e B
•
Para DOMENICO (p.133), sendo S o espaço amostral de um conjunto de torcedores de
futebol, A o evento constituído por torcedores do Palmeiras e B o evento constituídos por
torcedores do Flamengo.
•
Sendo P(A) é a probabilidade de um torcedor que, escolhido aleatoriamente em S, seja
palmeirense, enquanto que P(A/B) é a probabilidade de um torcedor
flamenguista,
escolhido ao acaso, ser também palmeirense.
25) EXEMPLO: DOMENICO ( p.133), sejam 100 torcedores n(S)=100, 20 torcedores do
Palmeiras,
30 torcedores do Flamengo e 10 torcedores do Palmeiras e Flamengo. Qual é a
probabilidade de que um flamenguista escolhido seja palmeirense P(A/B):
solução: * fazer o diagrama de Venn
P A/ B=
n A∩B 10 1
= =
nB
30 3
S=100
P=20
F=30
F e P=10
Prof jorge roberto grobe AD34S
10
10
100
11/09/2014
14:19:16
20
14
26) EXEMPLO: Suponha que fosse informado de que uma família planejava adquirir um aparelho
de televisão com tela grande.
efetivamente comprou (B)
planejou em
adquirir (A)
sim A
não A'
total
Não
sim B B'
total
200
50
250
100
650
750
300
700
1000
a)Qual é a probabilidade de que uma família tenha efetivamente comprado o aparelho de Tv com
tela grande, sabendo –se que essa família tenha planejado em adquiri-lo?
P( B/ A)=
P( A∩B) 200
=
=0,8
P( A)
250
B= efetivamente comprou
A = planejou em adquirir
resposta :0,8
27) EXEMPLO: Qual a probabilidade de que uma família adquiriu um DVD (A) dado que
comprou um HDTV (B):
Comprou DVD
Comprou HDTV Sim
não
HDTV
Não HDTV
38
70
total
42
150
80
220
P(A)= adquiriu um aparelho de DVD P(B)= adquiriu um HDTV
SOLUÇÃO:
38
P A∩B 300
P A /B=
=
= 0,475= 47,5%
PB
80
300
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
15
ARVORES DE DECISÃO
28) EXEMPLO: Arvore de decisão da empresa de produtos eletrônicos.
efetivamente comprou (B)
planejou em
sim
adquirir (A)
não
total
sim
não
200
100
50
650
250
750
Total
300
700
1000
conjunto inteiro das famílias
A'=750/1000
A =250/1000
B'
B
P(A'e B')=650/100
P(A' e B)=100/1000
B
P(A e B)=200/1000
B'
P( A e B')=50/1000
Calculo da probabilidade de P(B).
P(B/A)= probabilidade de B dado que ocorreu A
200
P B∩ A 1000
P B/ A=
=
=80%
P  A
250
1000
entao a P(B)=80%=200/250
A P(A e B)= P(A)*P(B)=200/1000 resulta o valor da tabela
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
16
29) EXEMPLO: MOTGOMERY( 2003, p.40), uma historia de 266 amostras de ar foi classificada
com base na presença de duas moléculas raras. Faça A denotar o evento que consiste em todas as
amostras de ar em que a molécula rara 1 esteja presente. Faça B denotar o evento que consiste em
todas as amostras de ar em que a molécula rara 2 esteja presente. Conforme tabela :
Tabela 1: Moléculas em Amostra de Ar
MOLECULA 1 PRESENTE (A)
MOLECULA 2 PRESENTE
(B)
nao
sim
nao
212
24
236
sim
18
12
30
230
36
266
12
P( B∩ A) 266 12
=
=
Solução: P( B/ A)=
P( A)
36
36
266
Molecula 1 presente
230/266 ( nao)
36/266 ( sim)
Molecula 2 esta presente
212/230 nao
18/230 sim
Prof jorge roberto grobe AD34S
24/36 nao 12/36 sim
11/09/2014
14:19:16
17
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA
Em WITTE (2005), a ocorrência de um resultado não possui nenhum efeito sobre a
•
probabilidade de que o outro resultado venha ocorrer.
Regra da multiplicação para resultados independentes
P(A e B)= P(A) *P(B)
Multiplicar as probabilidades em separado de vários resultados independentes para encontrar
•
a probabilidade de que esses resultados venham ocorrer conjuntamente.
Para LEVINE (20005), a independência estatística pode ser determinada utilizando-se a
•
equação:
P(A / B)=P(A) ou P(B/A)=P(B)
•
MILONE (2004, p.120), independentes são aqueles em que a ocorrencia de um não altera a
chance de os outros acontecerem;
•
•
cada um comporta-se a sua própria maneira , sem afetar nem ser influenciado pelos demais.
No lançamento de uma moeda , o fato de ter saido cara em uma jogada não modifica a
probabilidade de sair cara na seguinte;
•
a chance de um jogador receber um ás permanece igual se a carta retirada é reposta no
baralho antes da próxima extração;
•
o fato de ter caido cara no lançamento de uma moeda não afeta a possibilidade de sair par no
lançamento de um dado;
•
lançados dois dados, sair face tres em um deles não modifica a chance de sair face 4 no
outro.
•
Exemplo: MILONE ( 2004,p.138) qual a probabilidade de se obter, no lançamento de duas
moedas: a) só coroas
•
b) uma coroa e uma cara Como os eventos são independentes.
Soluçaõ : P(Ke K)= p(k) * p(k)=0,25
P(Ke C)= p(k)*p(c) =0,25
•
30) EXEMPLO: DOMENICO ( p.134), a probabilidade de quem um casal o marido esteja vivo
aos 70 anos é 1/8 e que a mulher esteja viva aos 70 anos é 1/10. Qual é a probabilidade do casal
estar vivo aos 70 anos?
Solução :
1 1
1
P A∩B= ∗ =
8 10 80
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
18
31)EXEMPLO: DOMENICO (p. 134), seja uma moeda, sendo A={cara, coroa} e um dado , com
B={1,2,3,4,5,6}. Qual é a probabilidade de ser obtido o evento coroa na moeda e número impar no
dado? Resposta:
1 3 1
∗ =
2 6 4
32) FARBER( 2009, p.126) Computadores e acesso a internet. Um estudo descobriu que 62% das
residencias nos EUA tem computador. Desses 62%, 88% tem acesso a internet. Encontre a
probabilidade de que uma residencia americana selecionada aleatoriamente tenha computador e
acesso a internet. Resposta:0,62*0,88=0,546 * diagrama da arvore.
33) FARBER( 2009, p.125) A tabela mostra os resultados de uma pesquisa na qual 146 famílias
foram questionadas se tem computado e se vao tirar férias de verão este ano.
Férias de verão este ano
Tem computador
sim
nao
sim
46
11
nao
55
34
total
total
a) encontre a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma família que não vá tirar férias de
verao este ano. R:0,3082
b) encontre a probabilidade de que uma família selecionada aleatoriamente tenha computador.
R:0,3904
c) encontre a probabilidade de que uma família selecionada aleatoriamente tire férias de verao este
ano, dado que tem computador. R:0,807
P ( B / A)=
P ( Ae B) 46/146 46
=
=
P( A)
57/146 57
d) encontre a probabilidade de que uma família selecionada aleatoriamente tire férias de verão este
ano e tenha computador. R:0,315
e) os eventos de ter um computador e tirar férias de verão são eventos dependentes ou
independentes?
solução :
P (B / A)= P( B) para ser independentes.
P ( B / A)=
46
e
57
P (B)=
101
146
como as duas probabilidades P(B/A) é diferente de P(B) os eventos são dependentes.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
19
34) FARBER (2009, p.135) A tabela mostra o numero de homens e mulheres matriculados em
enfermagem no centro de saude da Universidade de Oklahoma em um semestre recente. Um
estudante é selecionado aleatoriamente. Encontre a probabilidade de cada evento.
Estudantes de enfermagem Estudantes de outros total
cursos
homens
95
1015
mulheres
700
1727
total
a) o estudante é homem ou estuda enfermagem. R:0,512
b) o estudante é mulher ou não estuda enfermagem. R: 0,762
c) o estudante não é mulher ou estudante de enfermagem. R:0,589
d) os eventos ser homem e ser estudante de enfermagem são mutuamente exclusivos? Explique.
R: não são mutuamente exclusivos, por que um homem pode estudar enfermagem.
MILONE (2004, p.139) Probabilidade de ocorrencia disjunta dos eventos A e B.
Mutuamente excludentes
Mutuamente não excludentes
P(A ou B)=P(A) + P(B)
P(A ou B)=P(A) + P(B)- P(Ae B)
Exemplo : Qual a probabilidade de se retirar , de um baralho, em uma única tentativa:
a) um ás ou valete
solução : a)
b) um ás ou uma carta de espadas
13 4
4∗13
4
4
4
2
+ =
+ −
=
b)
52 52 13
52 52 52∗52 13
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
20
4.5 Teorema de Bayes
•
Segundo LEVINE (2005), a probabilidade condicional leva em consideração informações
sobre a ocorrência de um evento para encontrar a probabilidade de um outro evento.
•
Determina a probabilidade de que um determinado efeito tenha ocorrido em função de uma
causa específica.
P Bi / A=
P  A/ Bi  P  Bi 
P  A/ B1  P  B1P  A /B 2 P B 2...P A/ BK  P  B K 
35)EXEMPLO: LEVINE( 2005, p.162 )
A empresa está avaliando a comercialização de um novo modelo de aparelho de televisão. No
passado, 40% dos televisores introduzidos pela empresa obtiveram sucesso e 60% não.
Antes de introduzir o aparelho de televisão no mercado, o departamento de pesquisas de mercado
realiza um amplo estudo e divulga um relatório favorável ou desfavorável.
Anteriormente, 80% dos aparelhos de televisão haviam recebido um relatório favorável da pesquisa
de mercado, e 30% dos aparelhos de televisão que não obtiveram sucesso haviam recebido um
relatório favorável.
Qual é a probabilidade de que o televisor obterá sucesso?
Solução:
Sejam os eventos
S= tv bem sucedida
S’=tv mal sucedido
F = relatório favorável
F’=relatório nao favorável
Dados as probabilidades:
P(S)=0,4 P(S’)=0,6 P(F/S)=0,8 P(F/S’)=0,3
P ( S / F )=
P (S / F ) P (S )
P ( F / S) P ( S)+ P (F / S ' ) P (S ' )
Qual é a probabilidade de que o televisor obterá sucesso? P(S/F)?
P( S /F )=
0,40∗0,80
0,40∗0,80+ 0,60∗0,30
Resposta: a probabilidade de um modelo de TV ser bem sucedido , sendo conhecido que foi
recebido um relatório favorável , é igual a P(S /F) =0,64
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
21
ARVORE DA DECISÃO
S
S'
0,4
F
0,6
F'
0,8
0,8*0,4
F
F'
0,2
0,3
0,7
0,4*0,2 0,6*0,3 0,6*0,7
Cálculos do Teorema de Bayes
Probabilidades
Event
Condicion Combina
o
A Priori
al
da
Revisada
S
0,4
0,8
0,32
0,64
S'
0,6
0,3
0,18
0,36
Total:
0,5
 digitar os dados conforme está pedindo no problema.

No CAL PARA RESOLVER
1 Cálculos do Teorema de Bayes
2
3
Probabilidades
A
Eve Prio Condici Combin Revisad
4 nto
ri
onal
ada
a
=D5/$D7
5 S
X
Z
=B5*C5
$
=D6/$D7
6 S'
Y
T
=B6*C6
$
=D5+D
7
Total:
6
*X e Y a soma é 100% (Verdadeiro e Falso)
*Z e T é a condicional é dado no problema.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
22
4.5.1 Exercicios
36) A probabilidade de que uma pessoa seja portadora de uma certa enfermidade é 0,03. Testes
diagnósticos médicos encontram-se disponíveis para determinar se a pessoa efetivamente é
portadora de uma enfermidade. Se a enfermidade estiver realmente presente, a probabilidade de que
o teste diagnóstico médico apresente um resultado positivo(indicando) que a enfermidade está
presente) é 0,9. Se a enfermidade não estiver efetivamente presente , a probabilidade de um
resultado positivo para o teste (indicando que a enfermidade está presente) é 0,02.Suponha que o
teste
para diagnóstico médico tenha apresentado um resultado positivo( indicando que a
enfermidade está presente). Qual é a probabilidade de que a enfermidade esteja efetivamente
presente? Qual é a probabilidade de um resultado positivo para o teste?
Solução :evento D=é portador
D’=não é portador
T=o teste é positivo
T’= o teste não é positivo

fazer a arvore de decisão
P(D e T )=P( T / D)*P(D)=probabilidade de T dado que saiu D vezes a probabilidade de D.

Resolver na planilha eletrônica do libreOffice
EVENTOS
EVENTOS
F1
Ai
F2 F3
0,0270
REVISADA
P(A/Ai)
0,5819
0,0000
0,0000
0,0194
0,4181
P(B')
0,0000
0,0000
P(C)
0,0000
0,0000
P(C')
0,0000
0,0000
CONDICIONAL
COMBINADA
P(A/Ai)
P(A e Ai)*P(A)
P(A)
P(F1)
0,9000
0,0300
P(A')
P(F2)
0,9700
P(F3)
P(B)
0,0200
1
probabilidade
total
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
0,0464
23
Resposta: P(T/D) = 0,5819 ( é a probabilidade de que o teste seja positivo e a pessoa seja
portadora da enfermidade)
37) Conforme exercício anterior, suponha que a probabilidade de um teste para diagnóstico médico
ofereça um resultado positivo, sem que haja presença da enfermidade, seja reduzida de 0,02 para
0,01. Sendo conhecida esta informação:
a) se o teste para diagnóstico médico tiver apresentado um resultado positivo (indicando que
enfermidade está presente), qual é a probabilidade de que a enfermidade esteja efetivamente
presente?
R:0,736
Cálculos do Teorema de Bayes
Evento
S
S'
A Priori
0,03
0,97
Probabilidades
Condicional Combinada
0,9
0,03
0,01
0,01
Total:
0,04
Revisada
0,7357
0,26
b)se o teste para diagnóstico médico tiver apresentando um resultado negativo (indicando que a
enfermidade não está presente), qual é a probabilidade de que a enfermidade não está efetivamente
presente? R: 0,997
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
24
EVENTOS
EVENTOS
F1
F2 F3
Ai
0,0000
REVISADA
P(A/Ai)
0,0000
0,0030
0,0031
0,0000
0,0000
0,9506
0,9969
P(C)
0,0000
#DIV/0!
P(C')
0,0000
0,0000
CONDICIONAL
COMBINADA
P(A/Ai)
P(A e Ai)*P(A)
P(A)
P(F1)
0,0300
P(A')
P(F2)
0,9700
0,1000
P(B)
P(B')
P(F3)
0,9800
1
probabilidade
total
0,9536
38)MILONE( 2006, p.146) o medicamento M cura 65% das ocorrências da doença D. Se
ministrado as dois pacientes, qual a probabilidade de:
a) curar os dois? R: 0,65*0,65=0,4225
b) não curar nenhum? R:0,35*0,35=0,1225
c) curar só um deles? R: 0,65*0,35 + 0,35*0,65 =0,455
* use o diagrama da arvore
39) MILONE( 2006, p.145) A pé na Tábua LTDA verificou que 2 em 15 de seus veículos pifam por
defeito mecânico e 3 em 15 por falha elétrica . Seu departamento de manutenção também levantou
que , por viagem 18% dos veículos apresentam defeito mecânico e 29% falha elétrica. Qual a
chance de um defeito mecânico impedir um dos veículos de chegar ao destino? R:29,27%
•
teorema de Bayes
•
calculo da probabilidade:
•
evento D:defeito mecanico
•
evento D': defeito elétrico
2/15∗0,18
=0,2927
2/ 15∗0,18+ 3/15∗0,29
Cálculos do Teorema de Bayes
Evento
D
D'
C
A Priori
0,1333
0,2000
Prof jorge roberto grobe AD34S
Probabilidades
Condicional Combinada
0,18
0,0240
0,29
0,0580
0
0,0000
Total:
0,0820
11/09/2014
14:19:16
Revisada
0,2927
0,7073
0,0000
1
25
40) MILONE( 2006, p.145) Se 89% dos indivíduos atendidos por um ambulatório são RH- , qual a
chance de 5 pacientes aleatoriamente escolhidos serem RH+?
solução: 0,11*0,11*0,11*0,11*0,11=0,0000161051
41) MILONE( 2006, p.145) Se as probabilidades de Romeu e Julieta estarem vivos daqui a 25 anos
são, respectivamente , 63% e 66%, e se o casamento deles tem 10% de probabilidade de acabar em
divórcio antes, qual a chance de :
a) eles estiverem bodas de prata? R:0,3742 =0,63*0,66*0,9
b) ela estar viuva naquela ocasião? R: 0,2442=0,37*0,66
c) pelo menos um deles estar vivo? R: 0,8742=0,63*0,34+0,37*0,66+0,63*0,66
d) ele estar vivo naquela ocasião? R:0,2142=0,63*0,34
•
fazer o diagrama da arvore
4.6 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE PARA CADA UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
DISCRETA
◦
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA MONTGOMERY E MEYER
◦
FARBER(2009, p. 155) , o resultados de um experimento de probabilidade é uma
contagem ou medida, este resultado é chamado de variavel aleatoria.
◦
Variavel aleatoria x representa um valor numerico associado a cada resultado de um
experimento de probabilidade.
◦
Aleatoria significa que x é determinando por acaso.
◦
Discreta: numero finito ou contavel de possíveis resultados.
◦
Contínua : numero incontavel de possíveis resultados, representados por um intervalo na
reta numerica.
◦
Discreta:Numero de ligações que um vendedor faz em um único dia. {0,1,2,3,4,...},
pode ser listada os valores possíveis
◦
contínua: tempo gasto em horas que um vendedor faz ligações em um dia :[0;24]
◦
incluindo frações e decimais, não pode ser listadas os valores possíveis.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
26
4.6.1 Distribuições de probabilidades discretas
•
FARBER (2009, p.156) , a distribuição de probabilidade discreta lista cada valor possível
que a variavel aleatoria pode assumir, junto com sua probabilidade.
•
Uma distribuição de probabilidade tem as seguintes condições:
•
0≤P  x ≤1
•
∑ P  x=1
VALOR ESPERADO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
•
LEVINE (2005) , é a média ponderada de todos os possíveis resultados X - sendo os pesos
as probabilidades P(X) associadas a cada um dos resultados.
u =E  x = n X i P  X i 
i=1
•
FARBER( 2009, p.161), a média de uma variavel aleatoria representa o que ira acontecer em
milhares de testes.
Variância e Desvio padrão de uma variável aleatória discreta
VARIÂNCIA
 2 = N [ X i−E  X ]2 P X i 
i=1
DESVIO PADRÃO

=  N [ X i −E  X ]2 P  X i
i=1
42) EXEMPLO:Calcule a média ( o valor esperado) , desvio padrão e a variância.
Hipotecas de imóveis aprovadas por semana
0
1
2
3
4
5
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
probabilidade
0,1
0,1
0,2
0,3
0,15
0,1
27
6
0,05
R:
44) FARBER( 2009, p.163) Um sociológo pesquisou as famílias em uma cidade pequena. A
variavel aleatoria x representa o numero de criancas na família.
x
0
1
2
3
4
P(x)
0,07
0,2
0,38
?
0,13
R :0,22
45) FARBER (2009, p.163) o numero de computadores por casa, em uma cidade pequena.
computadores 0
1
2
3
casas
300
280
95
20
a) use distribuição de frequência para construir a distribuição de probabilidade.
b) calcule a média R:0,8
c)variancia R:0,6
d) desvio padrão R:0,8
e) interprete os resultados no contexto da vida real.
46) FARBER (2009, p163) Os alunos de um sala de aula fazem um teste com 8 perguntas. O
numero x de perguntas respondidas corretamente pode ser aproximado pela seguinte distribuição de
probabilidade.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
P(x)
0,02
0,02
0,06
0,06
0,08
0,22
0,3
0,16
0,08
a) faça um histograma ou grafico em barras.
b) calcule a média
c) variancia
d) desvio padrao
e) valor esperado da distribuição de probabilidade.
f) interprete os resultados.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
28
47)Utilizando os registros da empresa para os últimos 500 dias úteis, o gerente da Koing Motors,
uma agencia de automóveis do subúrbio, fez uma relação do numero de carros vendidos por dia, na
tabela a seguir apresentada:
Numero de carros Freqüência
vendidos
De
Ocorrência
Por
dia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Total: 500
40
100
142
66
36
30
26
20
16
14
8
2
a) forme a distribuição de probabilidade para o numero de carros vendidos por dia.
b) calcule a média aritmética ou o numero esperado de carros vendidos por dia
R:
c)calcule o desvio padrão
R:
Qual é a probabilidade de que um determinado dia
d) menos de 4 carros sejam vendidos ?
RESPOSTA: 69,60%
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:16
29
e)no máximo 4 carros sejam vendidos?
RESPOSTA:76,80%
f) pelo menos 4 carros sejam vendidos?
RESPOSTA:30,40%
g) exatamente 4 carros sejam vendidos?
RESPOSTA:7,20%
h) mais de 4 carros sejam vendidos?
RESPOSTA: 23,20%
4.6.1.1 Distribuição binomial
•
FARBER(2009, p.165), um experimento binomial tem os seguintes critérios:
1. o experimento é repetido por um numero fixo de tentativas, onde cada tentativa é
independente das outras.
2. Tem apenas dois resultados possíveis sucesso (S) ou fracasso(F).
3. A probabilidade de um sucesso P(S) é a mesma para cada tentativa.
4. A variavel aleatoria x contabiliza o numero de tentativas com sucesso.
Exemplo : FARBER (2009, p.166) Decida se o experimento é binomial ou não.
i)Um dado procedimento cirurgico tem 85% de chances de sucesso. Um médico realiza o
procedimento em 8 pacientes. A variável aleatória representa o numero de cirurgias com
sucesso.
•
Está de acordo com as 4 condições.
•
Cada cirurgia representa uma tentativa e há 8 cirurgias e cada uma é independente da
outra.
•
Tem dois resultados possíveis sucesso ou fracasso.
•
p=sucesso e q=fracasso
•
(p+q)8= p 8+ 8∗ p7∗q+...
•
probabilidade de 8 pacientes obtiverem sucesso na cirurgia é 0,858=27,24%
•
probabilidade de 7 pacientes obtiverem sucesso e 1 fracasso é: 8* 0,857*0,15=38,47%
DIAGRAMA DE ARVORE
DOIS PACIENTES n=2
SUCESSO
p
Prof jorge roberto grobe AD34S
FRACASSO q
p
0,85
q
0,15
14:19:16
p
0,85
q
0,15
0,85
11/09/2014
0,15
30
aplicando o binomio de Newton : ( p +q)2 = p 2 +2∗p∗q+ q2=0,852 +2∗0,85∗0,15+ 0,152
•
ii) Um jarra contem 5 bolinhas de gude vermelhas , 9 azuis e 6 verdes. Escolha 3 bolinhas
aleatoriamente , sem trocas. A variavel aleatoria representa o numero de bolinhas vermelhas.
•
O experimento não é binomial porque ele não esta de acordo com as 4 condições de um
experimento binomial.
•
Cada seleção de bolinha de gude representa uma tentativa e selecionar uma bolinha
vermelha é um sucesso.
•
Quando a primeira bolinha é selecionada, a probabilidade de sucesso é 5/20.
•
Como a bolinha de gude não é colocada de volta a jarra, probabilidade de sucesso por
tentativas subsequentes não é mais 5/20.
•
As tentativas não são independentes e a probabilidade de sucesso não é mais a mesma para
uma cada das tentativas.
•
Primeira tentativa é: 5/20 =0,25 ( bolinhas vermelhas)
•
segunda tentativa: 4/19=0,21
•
terceira tentativa :3/18=0,16
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ( LEVINE, 2005)
X
n− X
P ( X )= n p (1− p)
X
( )
P(X)= probabilidade de X sucessos
n= tamanho da amostra
p= probabilidade de sucesso
1-p=probabilidade de insucesso ou fracasso
X= numero de sucessos na amostra (X=0,1,2,...n)
Formato
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:17
31
-pode ser simétrica ou assimétrica
–
se p=0,5 é simétrica
–
Para n =13 e p=0,50=50%
Título principal
0,2500
0,2000
0,1500
Coluna C
0,1000
0,0500
0,0000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
MÉDIA ARITMÉTICA
μ= E(x)=np
DESVIO PADRÃO
σ = √ np(1− p )
Sintaxe
DISTRBINOM(X;tentativas;PS;A)
X é o número de sucessos em uma série de tentativas.
Tentativas é o número de tentativas independentes ( valor de n)
PS é a probabilidade de sucesso em cada tentativa( probabilidade)
Quando o parâmetro A for igual a 0, será calculada a probabilidade individual e quando o parâmetro
A for igual a 1, será calculada a probabilidade cumulativa.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:17
32
48) FARBER(2009, p.173)ENCONTRANDO E INTERPRETANDO A MÉDIA, A VARIANCIA
E O DESVIO PADRÃO.
Em Pittsburg , Pensilvania , cerca de 56% dos dias são nublados. Encontre a média , a variancia e o
desvio padrão para o numero de dias nublados durante o mês de junho. Interprete os resultados e
determine quaisquer valores incomuns.
MÉDIA ARITMÉTICA μ= E(x)=np
DESVIO PADRÃO σ =  np 1− p
Solução : n=30 p=0,56 q =0,44
média: 16,8
desvio padrão: 2,7
variancia:7,4
INTERPRETAÇÃO
•
Em média há 16,8 dias (17 dias) que são nublados no mês de junho.
•
O desvio padrão é aproximadamente 2,7 dias.
•
Valores que são mais do que 2 desvios padrões da média são considerados incomuns.
•
[16,8-2*2,7=11,4 ; 16,8 +2*2,7=22,2], o mês de junho com 11 dias nublados seria incomum,
sendo que no mês de junho com 23 dias nublado também seria considerado incomum.
49)FARBER(2009, p.174) Em São Francisco , California , 44% dos dias em 1 ano apresentam
tempo limpo. Encontre a média, a variancia e o desvio padrão para o numero de dias limpos durante
o mês de maio ( 31 dias). Interprete os resultados e determine quaisquer valores incomuns.
a) identifique um sucesso e os valores n , p, q.
n=31 p=0,44
q=0,56
b) encontre o produto de n e p para calcular a média
media :13,6
c) encontre o produto de n , p, q para a variancia
variancia: 7,6
d) encontre a raiz quadrada das variancias para o desvio padrão.
Desvio padrão: 2,8
e) interprete os resultados.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:17
33
Em média, há 14 dias claros durante o mês de maio. Um mês de maio com menos de 8 dias de sol
ou mais do que 19 dias de sol pode ser incomum. ( duplicando os desvio padrão)
Probabilidades Binomiais
Dados
Tamanho da Amostra (n)
Probabilidade de sucesso (p)
31
0,4400
Estatísticas
Média
Variância
Desvio Padrão
13,6400
7,6384
2,7638
EXERCICIOS
50)LEVINE (2005, p.182) Determine o seguinte:
a) Se n=4 e p=0,12 , então qual é a P(X=0)? R:0,5997
b) Se n=10 e p=0,9 , então qual é a P(X)=9? R: 0,38742
51) Se a probabilidade de um formulário de encomendas assinalado for 0,1, qual é a probabilidade
de 3 ou mais ( ou seja pelo menos 3) formulários de encomendas assinaladas sejam encontrados, na
amostra de 4 formulários de encomendas?
Solução :
P ( X  3 )  P ( X  0 )  P ( X  1 )  P ( X  2 )  0 ,9 9 6 3
para obter
P ( X  3 )  1  0 ,9 9 6 3  0 ,0 0 3 7  0 ,3 7 %
ou
Probabilidades
Binomiais
Dados
Tamanho da Amostra
Probabilidade de sucesso
Estatísticas
Média
Variância
Desvio Padrão
Prof jorge roberto grobe AD34S
4
0,1
0,4
0,36
0,6
11/09/2014
14:19:17
34
52) Registros de certificados de garantia mostram que a probabilidade de que um carro novo
necessite de um reparo inerente a garantia, nos primeiros 90 dias , é de 0,05. Se uma amostra de 3
carros novos for selecionada:
solução n=3 p=0.05
a) qual é probabilidade de nenhum deles necessite de reparo inerente a garantia?
Resposta:0,8574
b) qual é probabilidade de que pelo menos um deles necessite de reparo inerente a garantia?
Resposta: P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,14
c) qual é probabilidade de que mais de um deles necessite de reparo inerente a garantia?
Resposta:P(X=2)+P(X+3)=0,01
d) que premissas são necessárias em (a) até (c)?
e) qual é a media aritmética e o desvio padrão?
Resposta: média: 0,15
desvio padrão: 0,3775
f)quais seriam as respostas para a até c , se a probabilidade de vir necessitar de um reparo inerente á
garantia fosse 0,1?
Estatísticas
Média
Variância
Desvio Padrão
resposta:
0,3000
0,2700
0,5196
4.6.1.2 Distribuição de Poisson (lê-se : poassom)
•
Observação de eventos discretos em um área de oportunidades-intervalo continuo
( de tempo, extensão, área de superficie) de maneira tal que, se a área de oportunidade ou intervalo
for suficientemente reduzida.
1. Probabilidade de observar exatamente um sucesso no intervalo é estável.
2. A probabilidade de observar mais de um sucesso no intervalo é zero.
3. A ocorrência de um sucesso em qualquer intervalo é estatisticamente independente da
ocorrência em qualquer outro intervalo
−λ
P ( X )=
e λ
X!
X
P(X)=probabilidade de X sucessos, dado o conhecimento de λ
λ= numero esperado de sucessos
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:17
35
e= constante matemática aproximada por 2,71828
X= numero de sucessos por unidade.
Sintaxe
POISSON(Número; MV; K)
Número representa o valor que serve de base para o cálculo da distribuição de Poisson.
MV representa o valor do meio da distribuição de Poisson.
K = 0 calcula a função de densidade; K = 1 calcula a distribuição.
53) LEVINE (2005, p.183-184) Suponha que seja examinado o numero de clientes que chegam na
hora do almoço, entre 12 h e 13h em uma agencia bancária localizada no centro de uma grande
cidade. Qualquer chegada de cliente é um evento discreto, em um determinado ponto do tempo ao
longo do intervalo continuo de 1 hora. Durante este intervalo de tempo pode haver uma média de
180 chegadas. Seja o intervalo de 1 hora desmembrando em 3600 intervalos consecutivos de 1
segundo.
•
O numero esperado ( média) do numero de clientes que chegam em qualquer intervalo de 1
segundo seria de 0,05.
•
a probabilidade de ter mais de um cliente chegando, em qualquer intervalo de 1 segundo,
aproxima-se de zero.
•
A chegada de um cliente em qualquer intervalo de 1 segundo , não possui nenhum efeito
( ou seja estatisticamente independente) em relação a chegada de qualquer outro cliente, em
qualquer outro intervalo de 1 segundo.
4.6.1.3 Exercicios
54)LEVINE (2005, p.186) Suponha uma distribuição de Poisson:
a) Se λ=2,5 , então qual é P(X=2)?
b) Se λ=8 , então qual é P(X=8)?
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:17
36
55) LEVINE (2005, p.187)Admita que o numero de erros de sistemas de rede ocorridos em um dia
em um sistema de rede local (LAN- local de área network) seja distribuído na forma de uma
variável aleatória de Poisson. O numero médio de erros de sistemas de rede ocorridos em um dia é
2,4. Qual é a probabilidade de que em um determinado dia:
a)zero erro de sistemas de rede irá ocorrer?
b) exatamente 1 erro de rede de servidor irá ocorrer?
c) dois ou mais erros de sistemas de rede irão ocorrer?
Solução :1- [P(X=1)+P(X=0)]=0,691559
d)menos de três erros de sistemas de rede irão ocorrer?
Solução :1- [P(X=2 )+P(X=1)+P(X=0)]
X
0
1
2
3
P(X)
0,090718
0,217723
0,261268
0,209014
56) FARBER (2009, p.181) A média do numero de acidentes por mês em certa intersecção é 3. Qual
é probabilidade de que, em qualquer mês dado, 4 acidentes ocorram nessa intersecção? R:0,168.
57) FARBER (2009, p.182) 2000 mil trutas são colocadas em um pequeno lago. O lago tem um
volume de 20000 metros cúbicos. Calcule a probabilidade de 3 das trutas sejam encontradas em um
mesmo metro cubico do lago.SOLUÇÃO: média: 2000/20000=1/10 R: 0,0002
4.6.1.4 Distribuição hipergeométrica
•
A distribuição binomial e a hipergeométrica estão relacionadas.
•
O numero de sucessos em uma amostra contendo n observações.
•
Modelo binomial-dados são extraídos com reposição a partir de uma população finita.
•
Sem reposição de uma população infinita.
•
Modelo hipergeométrico- os dados são extraídos sem reposição a partir de uma população
finita.
•
Experimento binomial-a probabilidade de sucesso é p (constante) para todas as observações.
•
O resultado não depende de outras observações.
•
Experimento hipergeométrico- o resultado de uma observação é afetado pelos resultados das
observações anteriores
•
binomial – extraída de uma população infinita
•
hipergeométrica- extraída de uma população finita
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:17
37
  
 
P X  =
A
X
N −A
n−X
N
n
P(X)= probabilidade de sucessos
n= tamanho da amostra
N= tamanho da população
N-A=numero de insucessos na população
X= numero de sucessos na amostra
A= numero de sucessos na população
MEDIA ARITMÉTICA
u=E  X =
nA
N
DESVIO PADRÃO
=


nA N − A N −n
 N−1
 N2
fator de correção de população finita que resulta da amostragem sem reposição.

 N −n 
 N−1
DIST.HIPERGEOM
Retorna a distribuição hipergeométrica.
Sintaxe
DIST.HIPERGEOM(X; n; A; N)
DIST.HIPERGEOM(X; NAmostra=n; Sucessos=A; NPopulação=N)
X é o número de resultados alcançados na amostra aleatória.
NAmostra é o tamanho da amostra aleatória.
Sucessos é o número de resultados possíveis na população total.
NPopulação é o tamanho da população total.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:17
38
4. 6.1.4 Exercicios
58)LEVINE (2005, p.190) Determine o seguinte:
a) Se n=4, N=10 e A=5 , então encontre P(X=3)
b) Se n=5, N=12 e A=3 , então encontre P(X=0)
c) calcular a media aritmética e o desvio padrão dos itens a e b
EXEMPLO
59) Em uma remessa de 15 discos rígidos, 5 são defeituosos. Se 4 dos discos forem inspecionados:
a) qual é a probabilidade de que exatamente 1 seja defeituoso?
  
 
P X  =
A
X
N −A
n−X
N
n
Solução 1: N=15( população) A=5 (sucesso) n=4 (tamanho da amostra)
R:0,43956
solução 2 : D ( defeituoso) B ( não é defeituoso)
DBBB
então :
5∗10∗9∗8
C 5∗C 10
1∗3∗2∗1
600
1
3
=
=
=0,43956
15∗14∗13∗12
1365
C 15
4
4∗3∗2∗1
b) de que pelo menos 1 seja defeituoso?
R:0,8462
c)qual é a probabilidade de que não mais do que 2 sejam defeituosos?
R:0,9231
d)qual é o numero médio de discos rígidos defeituosos que você esperaria encontrar na amostra de 4
drives de disco rígido?
R:1,33
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:17
39
4.6.1.5 Exercicios
60) O reitor de um escola de negócios deseja formar um comitê executivo de 5 entre 40 professores
titulares da faculdade. A seleção deve ser realizada ao acaso, e na escola existem 8 professores
titulares em contabilidade.
Qual é a probabilidade de o comitê:
a) não conter nenhum desses professores?
Resposta: 0,3060
b)conter pelo menos 1 desses professores?
Resposta: 1-P(X=0)=1-0,3060=0,6940
c)não mais do que 1 desses professores?
Resposta:0,7432
d)qual seria a sua resposta para (a) , se o comitê fosse composto de 7 membros?
  
 
P X  =
A
X
N −A
n−X
N
n
N=40 A=8 professores de contabilidade
X
0
1
2
3
4
5
6
7
n=7 membros
P(X)
0,1805
0,3888
0,3024
0,1080
0,0186
0,0015
0,0000
0,0000
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:17
40
CAPITULO 5
5 A DISTRIBUIÇAO NORMAL E AS DISTRIBUIÇOES DE AMOSTRAGEM
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA |( MEYER E MONTGOMERY)
5.1 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Segundo LEVINE (2005, p.206), a distribuição normal envolve uma variável contínua, pode
ser chamada de Distribuição de Gauss. Dentre varias distribuições e conhecidas como funções de
densidade de probabilidade contínua.
Dois tipos de variáveis:

Variáveis contínuas (são medidas)

peso, altura, mudanças diárias no preço de fechamento de ações, tempo de atendimento ao
cliente, tempo de buscas em site da Web...

Variáveis discretas (são contadas)

Exemplo: tempo – medido e não contado.
Importância da distribuição normal:
–
Inúmeras variáveis continuas parecem segui­las, ou podem ser aproximadas através dela.
–
a distribuição normal pode ser utilizada para aproximar várias distribuições de probabilidades
–
a distribuição normal oferece base para a inferência estatística clássica a sua relação com o
teorema do limite central.
LARSON & FARBER ( 2009, p.193) Propriedades da distribuição normal
•
a média , moda e a mediana são iguais.
•
Tem a forma de sino e é simétrica em torno da média.
•
A medida que a curva normal se distancia cada vez mais da média , ela se aproxima do
eixo x, mas nunca o toca.
•
LEVINE (2005, p.206)Sua dispersão média(amplitude interquartil Q=Q3­Q1) é igual a 1,33
desvio padrão. Significa que a amplitude interquartil está contida dentro de um intervalo de
2/3 de um desvio padrão abaixo da media, até dois terços de um desvio padrão acima da
media aritmética.
•
Sua variável possui amplitude entre ( −∞< x <∞ )
LEVINE ( 2005, p.208­209) o modelo ou expressão matemática que representa a função
densidade de probabilidade é representada por f(X).
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:17
41
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL
f  X =
e
−1 X − 2
2
σ
[
]
σ 2 
e = neperiano 2,71828
π = 3,14159
μ =media aritmética da população
σ = desvio padrão
X= qualquer valor entre ( −∞< x <∞ )
FORMULA DE TRANSFORMAÇÃO
Z=
 X −

PADRONIZAR
Converte uma variável aleatória em um valor normalizado.
Sintaxe
PADRONIZAR(Número; MÉDIA; STD)
Número é o valor que deverá ser padronizado.
MÉDIA é a média aritmética da distribuição.
STD é o desvio padrão da distribuição.
A FUNÇÃO DE DENSIDADE DA PROBABILIDADE NORMAL PADRONIZADA
−1
1
f  Z =
e2
2


Z2
essa função f(Z) calcula os valores pontuais e não area abaixo da curva.
Comando
•
DIST.NORM(B9;B4;B6;falso())
•
DIST.NORM(B9;B4;B6;VERDADEIRO()) calcula area abaixo da curva
•
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:17
42
•
dist.normp ( não pode ser utilizada para fazer o grafico por que
calcula a função da distribuição acumulada)
EXEMPLO: Faça um vetor aleatorio com 25 numeros ou mais , padronizando esses dados e
plotando em um grafico de dispersão ( linhas)
5.1.1 Exercicios
61) WITTE (2005), expresse cada um dos seguintes valores como um valor de z.
a) o Qi de Margaret é 135, considerando uma média aritmética igual a 100 e um desvio padrão
igual a 15.
Z=
135−100
X −
Z =
=2,33
s
15
X=135 µ=100 σ=15 (desvio padrão) b) um resultado de 470 no teste oral SAT I, considerando uma media aritmética igual a 500 e um
desvio padrão igual a 100.
Z=
470−500
X −
=−0,3
Z =
100
s
Ou
=PADRONIZAR(470;500;100)=­0,30
c) uma produção diária de 2100 unidades, considerando uma media aritmética igual a 2180
unidades e um desvio padrão igual a 50 unidades.
Solução: z =
2100−2180
=−1,6
50
d) a estatura de Sam, correspondente a 68 , considerando uma media aritmética igual a 68 e um
desvio padrão igual a 3.
e)um erro de leitura de medição correspondente a ­3 graus, considerando uma media aritmética
igual a zero grau e um desvio padrão igual a 2 graus.
respostas: a)2,33 b)­0,30 c)­1,60 d)0 e)­1,50
62) Reproduza na planilha de calculo alguns numeros aleáorios a) Encontre os valores padronizados b) analisar a sua simetria
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:18
43
63) LEVINE (2005, p.221), dada uma distribuição normal padronizada ( μ=0 e σ =1),calcule as
probabilidades:
a) P(Z <1,57)
Dados Comuns
Média
Desvio Padrão
0,0000
1,0000
Probabilidade de X <=
Valor de X
Valor de Z
P(X<=1,57)
1,57
1,57
0,9418
b)P(Z >1,84)
A probabilidade para Z>1,84 é 0,0329 ou 3,29%
Probabilidade para X >
Valor de X
1,84
Valor de Z
1,84
P(X>1,84)
0,0329
c) P(1,57<Z<1,84)=
P(1,57<=X<=1,84)
0,0253
d) P(1,08<Z<1,96) qual o valor de Z se:
P(1,08<=X<=1,96)
0,1151
e)50% de todos os valores possíveis de Z menores do que ele próprio?
Sintaxe: Inv.normp( 0,50)= zero ( valor de z)
f)somente 15,87% de todos os valores possíveis de Z forem menores do que ele próprio ?
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:18
44
g)somente 15,87% de todos os valores possíveis de Z forem maiores do que ele próprio ?
respostas: a)0,9417 b)0,0328 c)0,0253 d)0,1151 e) 0 f) Z=­1 g) Z=1
64) Dada uma distribuição normal com μ=50 e σ=40, qual é a probabilidade de que:
a) X>43?
b)X<42
c)42<X<48
f)5% dos valores sejam menores do que qual valor de X?
Comando :INV.NORMP( )
g)60% dos valores estejam entre que dois valores de X (simetricamente distribuídos em torno da
media aritmética)
h) 85% dos valores estejam acima de qual valor de X?
Respostas: a) 0,9533 b)0,0228 c)0,2857 d) 0,0301 e)0,118 f)43,42 g)[16,3352; 83,6648] h)54,1457
65) Muitos problemas industriais envolvem a precisão nas junções de peças dos equipamentos, tais
como hastes dentro de orifícios de válvulas. Um determinado projeto exige um haste com diâmetro
de 22 mm; entretanto, hastes com diâmetro entre 21,9mm e 22,010 mm são aceitáveis. Suponha que
o processo de fabricação produza hastes com diâmetros normalmente distribuídos, com média
aritmética igual a 22,002 mm e desvio padrão igual a 0,005 mm.
a) para este processo, qual a proporção de hastes com um diâmetro entre 21,9 mm e 22 mm? R: 0,344578
b) qual é a probabilidade de uma haste aceitável com diametro de até 22,010 mm?
R: 0,945201
c)qual é o diâmetro que será excedido por somente 2% das hastes? R: 21,99173
d)quais seriam as respostas em (a) – (c) se o desvio padrão dos diâmetros das hastes fosse igual a
0,004? Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:18
45
respostas: a) 0,344578 b) 0,945201 c) 21,99173 d) 0,308538 ; 0,97725 ; 21,99379
66) Dada uma distribuição normal padronizada, determine as seguintes probabilidades:
a) P(Z>1,34) b) P(Z <1,17) c) P(0 <Z<1,17) d)P(Z<­1,17) e)P(­1,17 < Z <1,34) f) P(­1,17 <Z <­0,50)
respostas: a) 0,0901 b) 0,8790 c)0,3790 d)0,1210 e)0,7889 f)0,1875
5.2 AVALIANDO A PREMISSA DA NORMALIDADE
•
Para LEVINE (2005),nem todas as variáveis aleatórias continuas são normalmente
distribuídas. •
Portanto a analise descritiva de qualquer conjunto de dados a questão pratica permanece. •
Como e possível determinar se os dados estão aproximadamente distribuídos de forma
normal possa ser utilizada?
•
Duas abordagens descritivas exploratórias serão adotadas, para avaliar se o conjunto de
dados parece ser aproximado da distribuição normal:
•
Comparação entre as características relativas ao conjunto de dados e as propriedades de uma
distribuição normal subjacente.
•
A construção de um gráfico de probabilidade.
Verificando a Normalidade

construa gráficos e observe sua aparência.

Para conjuntos de dados de tamanho pequeno ou moderado, construa uma disposição de
ramos e folhas e um Box­plot.

Para um conjunto de dados grande, construa a distribuição de freqüência e elabore um
histograma.

calcule as medidas descritivas resumidas e compare com as características dos dados com as
propriedades teóricas e práticas da distribuição normal.

obtenha a média aritmética e a mediana, e observe as semelhanças ou diferenças entre essas
medidas de tendência central.

obtenha a amplitude interquartil e o desvio padrão

observe o quanto o intervalo interquartil pode se aproximar de 1,33 vezes o desvio padrão.

obtenha a amplitude e observe o quanto ela pode se aproximar de 6 vezes o desvio padrão.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:18
46

verifique se aproximadamente 2/3 das observações se encontram entre a X±σ

verifique se aproximadamente 4/5 das observações se encontram entre a X ±1,28

verifique se aproximadamente 19 em cada 20 observações se encontram X±2σ
CONSTRUINDO O GRÁFICO DA NORMAL DE PROBABILIDADE
Um gráfico da normal de probabilidade é um gráfico bidimensional dos valores dos dados
observados no eixo vertical, com seus correspondentes valores de quantis, a partir de uma
distribuição normal padronizada no eixo horizontal.
Passos utilizados na construção de um gráfico da normal de probabilidade.
1. disposição ordenada dos dados
2. calcular os valores padronizados dos quantis
3. nos eixos vertical – dados observados e eixo horizontal –quantis padronizados
4. para normalidade dos dados­ evidencias de uma linha reta
i
Amostra
Quantis
Padronizados De dados
n=tamanho da amostra
(abscissa)
(ordenada y)
1 x1
Qi =
2 x2
i
n1
Invnormp(Qi)
xn
n
5.3 Exercicios
67) LEVINE (2005), em uma fábrica de pontas de borracha,a borracha crua é composta em uma
misturadora e então cortada em formato de finas tiras. As tiras são prensadas em modeladoras e
vulcanizadas nos formatos das pontas de borracha desejadas. Os pesos ( em gramas) de um amostra
de pontas de borracha são os seguintes:
8,63
8,59
8,63
8,67
8,64
8,65
8,61
8,67
8,65
8,64
8,57
8,6
8,54
8,69
8,52
8,57
8,66
8,62
8,66
8,69
8,54
8,65
8,65
8,62
8,66
8,69
8,5
8,58
8,63
8,66
8,63
8,61
8,65
8,59
8,61
8,64
8,61
8,67
8,65
8,55
8,57
8,53
8,59
8,66
8,54
8,64
8,51
8,61
8,65
8,62
8,63
8,72
8,58
8,68
8,66
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:18
47
8,57
8,58
8,65
8,66
8,56
8,61
8,64
8,73
8,62
8,6
8,59
8,69
8,7
8,54
8,62
8,56
8,64
8,65
8,67
8,61
8,71
8,75
8,56
8,62
8,66
a) construindo um gráfico da normal de probabilidade
8,8
8,75
8,7
8,65
8,6
8,55
8,5
8,45
8,4
8,35
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
é uma distribuição normal , por que os dados estão próximos de uma reta .
68) Problemas relacionados com uma linha telefônica, que impedem o cliente de receber ou fazer
ligações , são desagradáveis tanto para o cliente como para a companhia telefônica.Estes problemas
podem ser de dois tipos: aqueles que estão localizados dentro de uma central telefônica e o
equipamento do cliente. Os dados a seguir representam amostras de 20 problemas informados a
duas diferentes centrais telefônicas de uma companhia, e o tempo para a solução destes problemas
em minutos, a partir das linhas dos clientes:
tempo para a solução dos problemas
(em minutos) na central telefonica I
1,48
1,75
0,78
1,02
0,53
0,93
0,52
1,6
4,15
0,8
1,05
6,32
1,48
5,45
3,1
2,85
1,6
3,97
3,93
0,97
tempo para a solução dos problemas
(em minutos) na central telefonica II
7,55
1,92
0,52
3,75
1,1
4,23
3,75
0,6
3,3
0,65
0,6
0,08
0,1
1,53
2,1
1,48
0,58
1,65
4,02
0,72
a)construa um gráfico normal de probabilidade
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:18
48
grafico central telefonica 1
7
f(x) = 1,78x + 2,21
6
R² = 0,85
5
4
Coluna E
Linear (Coluna E)
3
2
1
-2,0000
0
0,0000
-1,0000
1,0000
2,0000
grafico central telefonica 2
8
7
6
5 + 2,01
f(x) = 1,94x
R² = 0,83
4
Coluna E
Linear (Coluna E)
3
2
1
-2,0000
-1,0000
Prof jorge roberto grobe AD34S
0
0,0000
11/09/2014
1,0000
14:19:19
2,0000
49
69) Disposições ordenadas de resultados hipotéticos de provas intermediarias de 19 alunos , em
cada um dos quatro períodos de I a IV, de um curso de introdução a economia e os valores
ordenados normais padronizados correspondentes.
I
II
III
IV
Qi
Dist.
Dist
Dist.
Dist. Em
=i/(n+1)
Normal
assimétrica a
Assimétri
formato
transforma em z
forma
esquerda
ca
retangular
Z=inv.normp( )
de sino
48
52
55
57
58
60
61
62
64
65
66
68
69
70
72
73
75
78
82
47
54
58
61
64
66
68
71
73
74
75
76
77
77
78
79
80
82
83
direita
47
48
50
52
53
53
54
54
55
56
57
59
62
64
66
69
72
76
83
38
41
44
47
50
53
56
59
62
65
68
71
74
77
80
83
86
89
92
0,05=­1,65
a
19/20=1,65
Construa o gráfico usando a dispersão dos dados e box­plot.
70) CRESPO (1993), um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com media 100
e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um individuo submetido ao teste ter nota:
a) maior que 120
b)maior que 80
c)entre 85 e 115
d)maior que 100
respostas:a) 0,0228 b) 0,9772 c)0,8664 d)0,5
71) CRESPO (1993), os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com media 65,3 kg
e desvio padrão 5,5 kg. Determine o numero de estudantes que pesam:
a) entre 60 e 70 kg
* a probabilidade de encontrar estudantes que pesam entre 60 e 70 kg é aproximadamente
0,6360*600=381 alunos.
b)mais que 63,2 kg
c)menos que 68 kg
respostas:a)0,6360 b)0,6487 c)0,6883
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:19
50
72) Conforme dados na tabela 1 de consumo de água ( 03/06 – 01/07) e energia elétrica (jul/06 –
ago/05).
TABELA 1­ CONSUMO DE AGUA E ENERGIA ELETRICA
Datas
Água
Datas
3
(m )
03/06
04/06
05/06
06/06
07/06
08/06
09/06
10/06
11/06
12/06
01/07
consumo
16
16
17
17
20
16
15
20
17
17
15
Energia elétrica
(kwh)
Jul/06
Jun/06
Mai/06
Mar/06
Fev/06
Jan/06
Dez/05
Nov/05
Out/05
Set/05
Ago/05
consumo
294
318
239
243
273
296
257
266
257
291
250
a)verifique se as duas amostras vem de uma distribuição normal.
5.4 A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
•
Em LEVINE (2005), e uma distribuição de probabilidade contínua, quando são avaliados
processos de produção e serviços. •
A distribuição exponencial também utilizada na teoria das filas e linhas de espera, para
medir o tempo decorrido entre chegadas de clientes em locais de prestação de serviços, tais
como caixa eletrônicos e lanchonetes, chegadas de pacientes em pronto socorro e buscas em
site da internet.
P tempo de chegada X =1−e− X
λ=media aritmética da população de números de chegadas por unidade.
X=qualquer valor da variável contínua , 0<X<∞
5.5 Exercicios
73) Suponha que clientes cheguem a uma caixa eletrônico de um banco, numa taxa de 20 por
hora.Se um cliente acabou de chegar, qual e a probabilidade de que o próximo cliente chegue dentro
de 6 minutos ( ou seja 6/60=0,1 hora)?
Dados
Média
Valor de X
Prof jorge roberto grobe AD34S
20
0,1
Resultados
P(<=X)
11/09/2014
14:19:19 0,8647
51
Resposta:a probabilidade de um cliente chegue dentro de 6 minutos e igual a 0,8647 ou 86,47%.
74) Dada uma distribuição exponencial com média de λ=10, qual é a probabilidade de que:
a) tempo de chegada menor do que X=0,1?
b) tempo de chegada maior do que X=0,1?
c)o tempo de chegada esteja entre 0,1 e 0,2?
d)o tempo de chegada seja menor do que X=0,1 ou maior do que X=0,2?
Respostas: a) 0,6321 b)0,3679 c)0,2326 d)0,7674
75) Um acidente de trabalho ocorre uma vez cada 10 dias, em média, em uma montadora de
automóveis. Qual e a probabilidade de que o próximo acidente de trabalho ira ocorrer em :
a) 10 dias ? λ=0,1
b) 5 dias? λ=0,05
c) 1 dia? λ=0,01
Respostas: a) 0,6321 b)0,3935 c)0,0952
5.5 INTRODUÇÃO ÀS DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGEM
Conforme LEVINE (2005, p.232), um dos principais objetivos da analise de dados é: 
utilizar estatísticas tais como media aritmética da amostra e a proporção da amostra, para
estimar os parâmetros das referidas populações.

Tirar conclusões sobre a população e não sobre a amostra. 
Uma pesquisa sobre intenções de votos eleitorais estaria interessada nos resultados da
amostra, somente como um meio de estimar a real proporção de votos que cada candidato
receberia, a partir de uma população de eleitores.
5.6 DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM DA MEDIA ARITMÉTICA
A medida de tendência central mais utilizada é a media aritmética. Para uma população caso seja presumido que seja uma distribuição normal e a melhor medida.
•
Média aritmetica é tida como sem viés, porque a média de todas as possíveis médias
aritmeticas da amostra ( de um determinado tamanho da amostra n) será igual a média
aritmetica da população .
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:19
52
MÉDIA ARITMÉTICA DA POPULAÇAO N
∑ Xi
=
i=1
N
DESVIO PADRÃO
σ=
N= tamanho da população

N
∑i=1  X i−μ 2
N
ERRO PADRAO DA MEDIA ARITMETICA
O erro padrão da media aritmética, σ X , e igual ao desvio padrão da população , σ , dividido pela
raiz quadrada do tamanho da amostra, n:
 X=

n
a medida que cresce o tamanho da amostra, o erro padrão da media aritmética ira decrescer em um
fator igual a raiz quadrada do tamanho da amostra. Esta equação  X=

pode ser utilizada como uma aproximação do erro padrão da media
n
aritmética, quando a amostra e selecionada sem reposição, se a amostra contiver menos de 5% de
toda a população.
AMOSTRAGEM A PARTIR DE POPULAÇÕES NORMALMENTE DISTRIBUÍDAS
Encontrando z para a distribuição de amostragem da média aritmética
Z=
X −μ x
σx
=
X −μ
σ
n
X =media da amostra
=média da população
 =desvio padrão da população
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:19
53
5.7 EXERCICIOS
76) FABER( 2010, p.225) A tabela a seguir mostra o periodo que as pessoas passam dirigindo todos
os dias. Seleciona aleatoriamente 50 motoristas com idade entre 15 e 19 anos. Qual é probabilidade
de que a média de tempo que eles passam dirigindo todos os dias seja entre 24,7 e 25,5 minutos?
Suponha que σ=1,5 minutos
tempo atras do volante
media de tempo gasto por dia, dirigindo, por faixa etaria
15-19
20-24
25-54
55-64
65 mais
25 minutos
52 minutos
64 minutos
58 minutos
39
solução 1: o tamanho da amostra é maior que 30, então pode-se usar o teorema do limite central
para concluir que a distribuição de médias das amostras é aproximadamente normal.
Solução 2: X=27,7 e X= 25,5 z1=-1,4142 e z2=2,3570
X −μ x
X −μ X −25
=
σx
σ
1,5
√n
√(50)
resposta:0,9121
Solução 3: interpretaçãoZ=
•
=
na amostra de 50 motoristas de idade entre 15 e 19 anos, 91,21% terá uma média entre 24,7
e 25,5 minutos dirigindo.
•
Supõe-se que
μ=25 esteja correto, somente 8,79% da amostra estará fora do intervalo
dado.
77) FARBER (2010, p.227) Um auditor de banco declara que as contas de cartões de credito são
normalmente distribuidas, com média de $2870 e um desvio padrão de $ 900.
a) qual é a probabilidade de que um titular de cartão de credito aleatoriamente selecionado tenha
uma conta menor que $2500? R; P(z<­0,4111)=0,3405
b) Selecionar 25 titulares de cartões de credito de forma aleatoria. Qual é a probabilidade de que a
média da conta deles seja menor que $ 2500? R:P(z<­2,06) =0,0197
c) compare as probabilidades de (a) e (b) e interprete sua resposta nos termos da declaração do
auditor.R:
•
Tem uma chance de 34% de que um indivíduo tenha uma conta menor que $2500.
•
E há somente uma chance de 2% de que a média de uma amostra de 25 pessoas tenha uma
conta menor que $ 2500.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:19
54
•
Como há somente uma chance de 2% que a média de uma amostra de 25 tenha uma conta
menor que $2500 , este é um evento incomum.
•
È possível que a declaração do auditor de que a média $2870 seja incorreta.
Amostragem a partir de populações cuja distribuição não é normal
•
Para LEVINE (2005, p.239), como regra geral, estatísticos acham que em muitas
distribuições de população quando o tamanho da amostra é pelo menos igual a 30, com isso
a distribuição de amostragem da media aritmética estará próxima da normal. •
Quando a população for normalmente distribuída a distribuição de amostragem da media
será normalmente distribuída , independentemente do tamanho da amostra. •
σ
A medida que o tamanho da amostra cresce, a variabilidade descrita σ X= √ n (erro padrão
da media) decresce. •
Portanto a ausência de viés a media de qualquer distribuição de amostragem e sempre igual
a media da população.
Teorema do limite central
•
Afirma que a medida que o tamanho da amostra ( ou seja, o numero de observações
em cada amostra) se torna suficientemente grande, a distribuição de amostragem da
media aritmética pode ser aproximada pela distribuição normal. •
Independe do formato da distribuição dos valores individuais na população.
Algumas conclusões sobre o teorema do limite central são mostradas :
A normalidade e a distribuição de amostragem da media aritmética 1. Para maior parte das distribuições de população , não dependendo do formato , a
distribuição de amostragem da media será distribuída de forma aproximadamente
normal, se forem selecionadas de pelo menos 30 observações.
2. Caso a população seja relativamente simétrica, e forem selecionadas pelo menos 15
observaçoes , também será uma aproximação da normal.
3. Se a população é normal a distribuição da media tem uma distribuição normal.
O EFEITO DO TAMANHO DE AMOSTRA (n) NO AGRUPAMENTO DE MÉDIAS
ARITMÉTICAS NA DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM
Z=
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
X −μ x
σx
14:19:19
=
X −μ
σ
√n
55
5.8 EXERCICIOS
78) Dada uma distribuição normal  =50 e  =5, se uma amostra de n =100 e selecionada:
a) qual é a probabilidade de X seja menor do que 47?
* padronizar os dados
Solução: X −μ x
Z=
σx
=
X −μ 47−50 −3
=
=
=−6
σ
5
0,5
n
 100
Z<­6 Probabilidade de X <=
Valor de X
Valor de Z
P(X<=-6)
-6
-6,0000
0,000000000987
b) qual e a probabilidade de X esteja entre 47 e 49,5?
Z=
Z=
X −μ x
=
σx
X −μ x
σx
=
X −μ 47−50 −3
=
=
=−6
σ
5
0,5
n
 100
X −μ 49,5−50 −0,5
=
=
=−1
σ
5
0,5
√n
√100
P(­6<z<­1)=0,1587
c) qual e a probabilidade de X esteja acima de 51,1?
resposta:0,0139 d) qual e a probabilidade de X esteja entre 49 e 51?
R: 0,9544
e)existe uma chance de 35% de que X esteja acima de que valor?
Solução:calcular o valor de z para area abaixo de 65% z=0,3853 , então tem ­se 35% de area acima.
0,3853=
X −50
X =50,195
0,5
f) quais seriam as respostas (a) ate (e) se n=25.
Respostas: 0,00135 ;0,30715; 0,1357; 0,6826; 50,39.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:19
56
5.9 DISTRIBUIÇAO DE AMOSTRAGEM DA PROPORÇÃO
LEVINE( 2005, p.245) Na variável categórica pode­se trabalhar como possuidor ou não possuidor
de uma determinada característica.
A proporção da amostra
p a=
X
n o de sucessos
=
n tamanho da amostra
erro padrão da proporção
p =
a
•

p  1−p 
n
A média aritmética da amostra é um estimador , sem viés , da média aritmética da
populaçaõ μ .
•
A estatística pa é um estimador, sem viés, da proporção da população p é a media da
amostra e um estimador sem viés da media da população (u).
•
Ao realizar a amostragem com reposição , a partir de uma população finita , a distribuição
de amostragem da proporção segue uma distribuição binomial.
•
LEVINE(2005, p.246) a distribuição normal pode ser utilizada para aproximar a
distribuição binomial , quando μ=E ( x )=np ( media aritmetica da binomial) e n(1­p)
são pelo menos 5.
DIFERENÇA ENTRE A PROPORÇÃO DA AMOSTRA E A PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO EM UNIDADES NORMAIS PADRONIZADAS
Z=
pa −p
√
p( 1−p )
n
5.10 EXERCICIOS
79) LEVINE(2005, p.246) Distribuição de amostragem da proporção. Suponha que um gerente de banco
afirme que 40% de todos os depositantes possuem contas multiplas no banco. Se for selecionado
uma amostra aleatoria composta de 200 depositantes, a probabilidade de que a proporção da
amostra de depositantes com contas multiplas não seja maior do que 0,30.
solução 1: μ=E ( x )=np =200*0,40=80 n(1­p)=200(1­0,40)=120 , como 80≥5 e 120≥5 a
distribuição de amostragem da proporção é distribuida de forma aproximadamente normal.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:19
57
Solução 2 :
Z=
p a−p

p  1−p  p=0,40 pa=0,30 z=­2,89 P(z<­2,89) =0,0019 n
A probabilidade de ser obtida uma proporção de amostras que não seja maior do que 0,30
•
( 60 pessoas) igual 0,0019 – um evento improvável. Isto significa que se a verdadeira proporção de sucessos na população fosse igual a 0,40,
•
então menos do que 1/5 de 1% das amostras (1/5*0,01=0,002) , de tamanho 200, seria
previsto como tendo proporções de amostras menores do que 0,30.
80) De acordo com um artigo de American Demographics , 19% da população total dos EUA
ouvem radio pela internet. Se a amostra aleatórias de tamanho 200 fossem selecionadas:
a) que proporção terá entre 14% e 24% de ouvintes de radio pela Internet. Resposta:a) 0,9282 Z=
p a−p

p  1−p 
n
resultado 1
p=0,19 pa=0,14 Z1= ­1,80
DISTRIBUICAO DE AMOSTRAGEM DA PROPORÇAO
tamanho da amostra
proporçao da populacao
proporcao da amostra 1
proporcao da amostra 2
n
p
pa
pa
200
0,19
0,14
0,24
Z
Z
-1,8025
1,8025
RESULTADO
0,9285
resultado 2:
p=0,19 pa=0,24 Z2=1,80
c)que proporção terá entre 9% e 29% de ouvintes pela internet?
tamanho da amostra
proporçao da populacao
proporcao da amostra 1
proporcao da amostra 2
n
p
pa
pa
200
0,19
0,09
0,29
Z
Z
-3,6049
3,6049
RESULTADO
Prof jorge roberto grobe AD34S
0,9997
11/09/2014
14:19:19
58
d)que proporção terá mais do que 30% de ouvintes de radio pela internet+
e)se amostras aleatórias de tamanho 100 fossem selecionadas como isso modificaria suas respostas
em (a) ate (c)?
CAPITULO 6
6 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA
6. 1 INTRODUÇAO
Para LEVINE (2005, 260), a inferência estatística visa tirar conclusões sobre características de uma
população através de uma amostra. Existem dois tipos de estimativas:

Estimativa de ponto ­estimar o verdadeiro valor de um parâmetro de uma população. 
Exemplo: X é uma estimativa do ponto da media aritmética da população 

Estimativa de intervalo – é relacionado com a verdadeira media aritmética da população, é
desenvolvida, e é relacionada com a distribuição de amostragem da media aritmética.
Segundo WITTE (2005), o intervalo de confiança é a amplitude entre valores que, com um grau
conhecido de certeza, inclui uma característica desconhecida da população , tal como a média
aritmética da população.
6.2 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA DA MEDIA ARITMETICA
(  conhecido­desvio padrão)
•
Em LEVINE (2005), a estimativa do intervalo de confiança de 95% é interpretada da
seguinte forma: •
Se todas as possíveis amostras de igual tamanho n forem extraídas e suas médias aritméticas
de amostra forem calculadas, •
significa que 95% dos intervalos incluem a verdadeira média da população, em algum lugar
dentro dos limites do intervalo em torno de suas médias aritméticas de amostra, •
X ±Z
e somente 5% não estão na verdadeira média aritmética da população.

n 
Onde
Z =1−
Prof jorge roberto grobe AD34S

2
11/09/2014
14:19:19
59
O nível de confiança é através de (1-α) e a proporção das caudas é de α/2. Então 95% de intervalo
de confiança estão incluídos e 5% não estão incluídos no intervalo, portanto o valor de Z=10,05/2=97,5% =1,96 e Z=0,025=-1,96
Para 95% Z=[-1,96;1,96] e para 99% Z=[-2,58;2,58]
Retorna o inverso da distribuição cumulativa normal padrão.
Sintaxe
INV.NORMP(Número)
Número é a probabilidade para o qual a distribuição normal padrão inversa será calculada.
Exemplo
INV.NORMP(0,908789) retornará 1,3333.
NOTA: OS VALORES SÃO SIMETRICOS [-1,96 E 1,96]
LEVINE( 2005, p.263) Na figura 1 o nivel de confiança de 95% de confiança acarreta um valor de z
igual a ±1,96 .
FIGURA 1: CURVA NORMAL PARA DETERMINAR O VALOR DE Z NECESSÁRIO PARA
95% DE CONFIANÇA
fonte:http://www.apis2.com.br/wp-content/uploads/2011/12/Graphic57-b.jpg
6.3 EXERCICIOS
80) Se
X =85 (média), σ=8 e n=64, construa uma estimativa para o intervalo de confiança de
95% da media aritmética da população.
R:[83,04:86,96]
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:19
60
81) O gerente de uma loja de tintas deseja estimar a verdadeira quantidade de tinta, contida em latas
de 1 galão, adquiridas de um fabricante nacionalmente conhecido. Sabe-se, através das
especificações do fabricante, que o desvio padrão da quantidade de tinta é igual a 0,02 galão. Uma
amostra aleatória de 50 latas é selecionada, e a média aritmética da amostra de tinta, por lata é de 1
galão, é igual a 0,995 galão.
a) construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 99% da verdadeira média aritmética da
população relativa à quantidade de tinta contida em latas de 1 galão.
b)com base em seus resultados, você acredita que o gerente tem o direito de reclamar com o
fabricante? por que?
c) a média aritmética da população da quantidade de tinta, por lata, precisa ser distribuída de forma
normal neste caso? Explique.
Sim, para que a media da amostra reflita a verdadeira media da população.
d) explique por que um valor observado de 0,98 galão, para uma lata individual, não é incomum,
embora esteja fora do intervalo de confiança que você calculou.
Resposta:A pretensão da industria é produzir 1 galão(3,6 litros) de tinta por lata, portanto pode-se
encontrar latas de tintas com a capacidade máxima ou fora do intervalo de confiança.
e) suponha que você tenha utilizado uma estimativa de intervalo de confiança de 95%. Quais seriam
suas respostas para (a) e (b)?
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:20
61
6.4 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA DA MÉDIA ARITMÉTICA
(σ DESCONHECIDO)
Para LEVINE (2005), a media aritmética da população
padrão da população

, é geralmente desconhecida e desvio
 , também.
DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT
4. Seculo XX
5. Estatistico William S. Gosset
6. Funcionário Guinness Breveries –Irlanda
7. Interessado em realizar inferencias sobre a média aritmética, quando σ desconhecido
8. Não era autorizado para publicar
9. Adotou o nick de Student
Propriedades
1. É bastante similar a distribuição normal padronizada
2. n>120 pode-se usar a distribuição normal
3. O CONCEITO DE GRAUS DE LIBERDADE
4. n-1 valores da amostra estão livre para variar, significa n-1 graus de liberdade.
σ desconhecido da população
VERIFICANDO PREMISSAS
•
Supõe que a variável aleatória Xi na distribuição t seja distribuída de forma normal.
•
Quando a amostra for grande o suficiente e a população não for muito assimétrica, a
distribuição t pode ser utilizada para estimar a media aritmética da população quando sigma
(desvio padrão) for desconhecido.
•
A premissa da normalidade na população pode ser analisada através da avaliação do
formato dos dados da amostra, utilizando um histograma, uma disposição ramo e folha,
um box plot ou gráfico da normal de probabilidade.
A declaração do intervalo de confiança
X  t n1
S
n
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:20
62
tn-1 é o valor critico da distribuição t, com n-1 graus de liberdade, para uma área correspondente a
α/2 na cauda superior.
S= desvio padrão da amostra
* os valores de t são simétricos
INVT Retorna o inverso da distribuição t.
Sintaxe
INVT(Número: alfa ; graus de liberdade)
Número é a probabilidade associada à distribuição t bicaudal.
Graus de liberdade (n-1) :representa o número de graus de liberdade para a distribuição t.
Exemplo
=INVT(0,1; 6) retorna 1,94
6. 5 EXERCICIOS
82)Determine o valor critico de t para cada uma das circunstâncias a seguir:
A) 1­α=0,95 n=10
alfa= 1­0,95=0,05 sintaxe : INVT( 0,05; 9)
Resposta:2,2622
B) 1­α=0,90 n=16
Resposta:1,7531
83) Se X =75, S=15(desvio padrão da amostra) , n=16, e admitindo que a população seja
normalmente distribuída, construa uma estimativa do intervalo de confiança de 99%,
correspondente à media aritmética do população u. R:[63,95;86,05]
84) Construa uma estimativa do intervalo de confiança de 95% da média aritmética da população,
com base em cada um dos seguintes conjuntos de dados, a admitindo que a população seja
normalmente distribuídas:
Conjunto 2
Conjunto 1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
8
8
8
8
a)Explique por que estes conjuntos de dados possuem diferentes intervalos de confiança, embora
possuam a mesma média aritmética e amplitude.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:20
63
R: sendo que a média de cada conjuntos 2 e 1 é de 4,5 . Portanto o conjunto 2 a margem de erro é
de 2,483 e do conjunto 1 a margem de erro é de 3,1267 como consequencia os dois conjuntos tem
intervalos de confiança diferentes ou seja o conjunto 02 é [2,4567;6,5483] e o conjunto 01 é
[1,3733;7,6267].
2,4500
4,5000
8
95%
Dados
Desvio Padrão da Amostra
Média da Amostra
Tamanho da Amostra
Nível de Confiança
3,7400
4,5000
8
95%
Cálculos Intermediários
Erro Padrão da Média
margem de erro- E
Graus de Liberdade
Valor t
Metade da Amplitude do Intervalo
0,8662
2,0483
7
2,3646
2,0483
Cálculos Intermediários
Erro Padrão da Média
margem de erro- E
Graus de Liberdade
Valor t
Metade da Amplitude do Intervalo
1,3223
3,1267
7
2,3646
3,1267
Intervalo de Confiança
Limite Inferior do Intervalo
Limite Superior do Intervalo
Intervalo de Confiança
Limite
Inferior
do Intervalo
2,4517
Limite
Superior
do Intervalo
6,5483
1,3733
7,6267
Dados
Desvio Padrão da Amostra
Média da Amostra
Tamanho da Amostra
Nível de Confiança
85) Construa uma estimativa do intervalo de confiança de 95%, da média aritmética da população ,
com base nos números 1,2,3,4,5,6 e 20. Altere o valor de 20 para 7, e recalcule o intervalo de
confiança. Utilizando estes resultados, descreva o efeito de um outlier ( ou seja , um valor extremo)
sobre o intervalo de confiança.
Dados
Desvio Padrão da Amostra
Média da Amostra
Tamanho da Amostra
Nível de Confiança
6,4660
5,8571
7
95%
Cálculos Intermediários
Erro Padrão da Média
margem de erro- E
Graus de Liberdade
Valor t
Metade da Amplitude do Intervalo
2,4439
5,9801
6
2,4469
5,9801
Intervalo de Confiança
Limite Inferior do Intervalo
Limite Superior do Intervalo
-0,1230
11,8372
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:20
Dados
Desvio Padrão da Amostra
Média da Amostra
Tamanho da Amostra
Nível de Confiança
2,1602
4,0000
7
95%
Cálculos Intermediários
Erro Padrão da Média
margem de erro- E
Graus de Liberdade
Valor t
Metade da Amplitude do Intervalo
0,8165
1,9979
6
2,4469
1,9979
Intervalo de Confiança
Limite Inferior do Intervalo
Limite Superior do Intervalo
2,0021
5,9979
64
Respostas: dados originais : [­0,1229;11,8371]; dados alterados: [2,022;5,9978]. A presença de um dado extremo (outlier) nos dados originais aumenta o valor da media aritmética
da amostra, e inflaciona sobremaneira o desvio padrão da amostra e consequentemente altera a
margem de erro.
6.6 ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO
•
Segundo LEVINE (2005), o conceito de intervalo de confiança é estendido para dados
categóricos, para estimar a proporção da população p, a partir da proporção da amostra
pa=
•
X
. n
Para que a distribuição binomial possa ser aproximada da distribuição normal é que ambos
np e n(1­p) são pelo menos iguais a 5. Então a estimativa do intervalo de confiança
(1­alfa)100% para a proporção da população , p, pode ser definida através da equação:
p a  proporção da amostra 
X sucessos

n amostra
p  proporção da população
Z  normal padronizada
n  tamanho da amostra
6.7 EXERCICIOS
86) Se n =200 e X = 50, construa uma estimativa do intervalo de confiança de 95%, correspondente
à proporção da população.
Solução:
pa=50/200=0,25
Sample size:200 number sucess:50 confidence level :95
Resposta:[0.19;0.31]
87) Uma agencia de automóveis deseja estimar a proporção de clientes que ainda possuem carro
adquirido há 5 anos. Uma amostra aleatória de 200 clientes, selecionada a partir dos registros da
agencia de automóveis, indica que 82 deles ainda possuem os carros que adquiriram a 5 anos.
a) construa um intervalo de confiança de 95% da proporção da população de todos os clientes que
ainda possuem carros, 5 anos após aquisição.
R:[0,3418;0,4782]
b) como os resultados de (a) podem ser utilizados pela agencia de auto, para estudar a satisfação
com carros adquiridos na agencia.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:20
65
6.8 DETERMINANDO O TAMANHO DE UMA AMOSTRA
•
Em LEVINE (2005), com relação a estimativa do intervalo de confiança, o tamanho da
amostra foi selecionado sem levar em conta a amplitude do intervalo de confiança. •
No mundo dos negócios , determinar o tamanho da amostra apropriado é um procedimento
complicado, sujeito a restrições de orçamento , tempo e facilidade de seleção.
Determinação do tamanho de uma amostra para a média aritmética
Na determinação do tamanho da amostra para estimar a média aritmética, é necessário considerar o
volume de erro da amostragem e algumas informações sobre o desvio padrão.
Z= valor critico por exemplo Z=1,96 (95% de confiança)
e=erro de amostragem aceitável ( diferença entre a média amostral e a média populacional)
σ= desvio padrão
Determinação do tamanho da amostra para a média aritmética
Z=
X−
Z∗
 X −=
n

n
 n=
Z∗
erro= X−
X−
O tamanho da amostra, n , é igual ao produto entre o valor de Z ao quadrado e a variância,  ,
dividido pelo erro de amostragem, e, ao quadrado.
Z22
n
e2
Para determinar o tamanho da amostra,tem que conhecer três fatores:
•
o nível de confiança desejado, que determina o valor de Z, que representa o valor critico a
partir da distribuição normal padronizada.
•
•
o erro de amostragem aceitável, e.
•
o desvio padrão ,  .
Z é utilizado, em vez de t , porque para determinar o valor de critico de t, o tamanho da
amostra precisa ser conhecido, mas ainda não é conhecido. Na maioria dos estudos o tamanho
da amostra necessário será grande o suficiente para que a distribuição normal padronizada
seja uma boa aproximação da distribuição t.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:20
66
6.9 EXERCICIOS
88)Se você deseja ter 95% de confiança e estar estimando a média aritmética da população , dentro
dos limites de um erro de amostragem de ±5 , e o desvio padrão for admitido igual a 15, que
tamanho da amostra é necessário? R:35
89)Se o gerente de uma loja de tintas deseja estimar a média aritmética da quantidade de tinta em
uma lata de 1 galão, dentro dos limites de ±0,004 galão, com 95% de confiança, e tambem admite
que o desvio padrão é de 0,02 galão, que tamanho da amostra se faz necessário?
R:97
DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA PARA UMA PROPORÇÃO
•
Para LEVINE (2005), os métodos para determinação do tamanho da amostra, para estimar
uma proporção da população , são semelhantes para estimar a média arimética.
•
Para determinar o tamanho da amostra utiliza­se a equação:
Z=
p a− p

p 1− p 
n
O erro de amostragem (e) è igual a (pa­ p) a diferença entre a proporção da amostra (pa) e o
parâmetro a ser estimado , (p). Isolando­se pa – p , o erro de amostragem é:
Determinação do tamanho da amostra para uma proporção
n=
Z 2 p 1− p 
e
2
e=Z

p 1− p 
n
p a = proporção da amostra =
X sucessos
=
n amostra
p= proporção de sucessos
Z = normal padronizada
n=tamanho da amostra  é o proximo valor inteiro
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:20
67
6.10 EXERCICIOS
90) Se voce deseja ter 95% de confiança de estar estimando a proporção da população, dentro dos
limites de um erro de amostragem de ±0,02, e houver evidencia histórica de que uma proporção da
população é aproximadamente igual a 0,4, que tamanho de amostra é necessário?
Solução:
e=0,02 z=1,96 (95%) p=0,4
Dados
Estimativa da Verdadeira Proporção
Erro de Amostragem
Nível de Confiança
Cálculos Intermediários
Valor de Z
Tamanho Calculado da Amostra
Resultado
Tamanho de Amostra Necessário
0,4000
0,0200
95%
-1,96
2304,88
2305
91)Um orgão de pesquisa de opinião pública deseja estimar a proporção de eleitores que irá votar
no candidato democrata, em uma campanha eleitoral para a presidência dos EUA. O orgão de
pesquisa de opinião pública deseja ter 90% de confiança de que sua previsão está correta, dentro de
um intervalo de ±0,04 da proporção da população.
a) que tamanho da amostra é necessário?
R:423
b) se o órgão de pesquisa de opinião pública deseja ter 95% de confiança, que tamanho de amostra é
necessário?
c) se ele desejar ter 95% de confiança e um erro de amostragem correspondente a ±0,03, que
tamanho de amostra é necessário?
d)com base em suas respostas para (a) –(c) , que conclusões gerais podem ser tiradas sobre os
efeitos do nível de confiança desejado e o erro de amostragem aceitável, em relação ao tamanho da
amostra necessário? discuta
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:20
68
6.11 ATIVIDADES PRÁTICAS PEDAGÓGICAS
4-distribuições de probabilidade básica e de probabilidade discreta
5-a distribuição normal e as distribuições de amostragem
6-estimativa do intervalo de confiança
CAPITULO 4
1. MONTGOMERY( p.33) , o tempo de enchimento de um reator é medido em minutos ( e frações
de minutos). Faça o espaço amostral ser formado por numeros reais e positivos . Defina os eventos
A e B como :
A={ x/x <72,5} e B={ x/x > 52,5}. Descreva cada um dos seguintes eventos .
a) A∩B
b)
A∪B
2. Amostras de espuma de 3 fornecedores são classificados com relação a satisfazer ou não as
especificações. Os resultados de 100 amostras são resumidas a seguir:
obedece
Sim não
fornecedores 1 18
2 17
3 50
2
3
10
Faça A denotar o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor 1 faça B denotar o
evento em que uma amostra atenda as especificações. Determine o número de amostras em :
a) A '∩B
b) A∪B
3.Um pedido de um automóvel pode se especificar se a transmissão é automática ou padrão , com
ou sem ar condicionado e qualquer uma das 4 cores: vermelha, azul, preta ou branca. Descreva o
conjunto de pedidos possíveis para esse experimento em forma de árvore de decisão.
4. MONTGOMERY (p.36) , pedidos de acessórios de iluminação são resumidos pelas
características opcionais que são requeridas.
Proporção de pedidos
Nenhuma opcional
0,3
Um opcional
0,5
Mais de um opcional 0,2
a) qual é a probabilidade de que um pedido requeira no mínimo uma característica opcional?
b) qual é a probabilidade de que um pedido não requeira mais de uma característica opcional?
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:20
69
5.MONTGOMERY(2003, p.41), em um lote de 100 chips semicondutores, 20 são defeituosos. Dois
deles são selecionados ao acaso, sem reposição.
a) qual é a probabilidade de que o primeiro chip selecionado seja defeituoso?
b) qual é a probabilidade de que o segundo chip selecionado seja defeituoso, dado que o primeiro
deles foi defeituoso?
6. MONTGOMERY( 2003, p.43), suponha que 2% dos rolos de tecido de algodão e 3% dos rolos
de tecido de nailon contenham falhas, Dos rolos usados por um fabricante, 70% são de algodão e
30% são de nailon . Qual será a probabilidade de que um rolo selecionado aleatóriamente, usado
pelo fabricante, contenha falhas?
•
probabilidade total.
MONTGOMERY( p.44-46) INDEPENDENCIA : o resultado de um experimento esteja no
evento A não afeta a probabilidade de que o resultado esteja no evento B.
DEFINIÇÃO: dois eventos são independentes se qualquer uma das seguintes afirmações for
verdadeira. 1) P(A/B)=P(A)
2) P(B/A)=P(B) 3) P A∩B=P  A P B
7. Discos de policarbonato plástico, provenientes de um fornecedor, são analisados com relação à
resistência a arranhões e choque. Os resultados de 100 discos estão resumidos a seguir:
Resistência a arranhão Resistência a choque
alta
alta
baixa
80
9
baixa 6
5
Faça A denotar o evento em que um disco tenha alta resistência a choque e faça B denotar o evento
em que um disco tenha alta resistência a arranhão. Os eventos A e B são independentes?
8. Amostras de espuma de 3 fornecedores são classificados com relação a satisfazer ou não as
especificações. Os resultados de 126 amostras são resumidas a seguir:
obedece
fornecedores
Sim não
1 80
4
2 40 2
Faça A denotar o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor 1 e faça B denotar o
evento B em que uma amostra atende as especificações.
a) A e B são independentes? R: são
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
b) A' e B são independentes?R: são
14:19:21
70
9. Um serviço de emissão de títulos municipais possui três categorias (A, B e C). Suponha que , no
ano passado, dentre os títulos municipais emitidos no âmbito dos EUA, 70% foram classificados
como A, 20% foram classificados como B e 10% foram classificados como C. Dos títulos
municipais classificados como A, 50% foram emitidos por cidades, 40% por subúrbios e 10% por
áreas rurais. Dos títulos municipais classificados como B, 60% foram emitidos por cidades, 20%
por subúrbios e 20% por áreas rurais. Dos títulos municipais classificados como C, 90% foram
emitidos por cidades, 5% por subúrbios e 5% por áreas rurais.
a) que proporção de títulos municipais é emitida por cidades?
b) se um novo título municipal estiver para ser emitido por uma cidade, qual é a probabilidade de
que venha a receber uma cotação de A?
10.Registros de certificados de garantia mostram que a probabilidade de que um carro novo
necessite de um reparo inerente à garantia, nos primeiros 90 dias, é de 0,05. Se uma amostra de três
carros novos for selecionada.
a) qual é a probabilidade de que nenhum deles necessite de um reparo inerente à garantia?
b) qual é a probabilidade de que pelo menos um deles necessite de um reparo inerente à garantia?
c) qual é a probabilidade de que mais de um deles necessite de um reparo inerente à garantia?
d) determine a média aritmética e o desvio padrão, sendo n = 3 e p = 0,05.
11.distribuição de poisson ( probabilidade discreta).Em uma pequena cidade, o número de
reclamações relativas a bagagem extraviada, em uma companhia aérea bastante conhecida, gira em
torno de um média de 9 por dia. Qual é probabilidade de que, em um determinado dia, haverá:
a) menos de três reclamações realizadas?
b) exatamente três reclamações realizadas?
c)três ou mais reclamações realizadas?
12. A partir de um estoque de 48 carros transportados para a concessionárias locais, 12 tiveram
rádios defeituosos instalados.
a) qual é a probabilidade de que uma determinada concessionária que receba 8 carros obtenha todos
eles com rádios defeituosos?
b) qual é a probabilidade de que uma determinada concessionária que receba 8 carros obtenha pelo
menos um deles com rádio defeituoso?
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:21
71
13. APLICAÇÕES NA INFORMÁTICA. O numero de mensagens enviadas por hora , através de
uma rede de computadores, tem a seguinte distribuição:
x=
numero 10
11
12
13
14
15
0,15
0,3
0,2
0,2
0,07
de
mensagens
f(x)
0,08
Determine a média e o desvio padrão do numero de mensagens enviadas por hora.
CAPITULO 5
14. Para uma distribuição normal padronizada, determine as seguintes probabilidades:
a) P(Z >1,08 )=
b) P(Z<-0,21)=
c) P(-1,96<Z<1,08)=
15. Qual é o valor de Z se:
a) 50% de todos os valores possíveis de Z forem menores do que ele próprio?
b) somente 15,87% de todos os valores possíveis de Z forem maiores do que ele próprio?
16. A disposição ordenada ilustra a quantidade de dinheiro em dólares retirada de um caixa
eletrônico por 25 clientes em um banco local:
40
50
50
70
70
80
80
90
100
100
100
100
100
100
110
110
120
120
130
140
140
150
160
160
200
decida se os dados parecem ser distribuídos aproximadamente de forma normal:
b) escreva a expressão que ajusta a reta.
a) construa o gráfico ( pode ser a mão com uma régua)
17.distribuição exponencial (probabilidade continua).Automóveis chegam a uma cabine de
pedágio localizada na entrada de uma ponte a uma taxa de 50 por minuto, no intervalo entre 5 e 6
horas da tarde.
a) se um automóvel acabou de chegar, qual é a probabilidade de que o próximo automóvel chegue
dentro de 3 segundos (0,05 minuto)?
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:21
72
b) se um automóvel acabou de chegar, qual é a probabilidade de que o próximo automóvel chegue
dentro de 1 segundos (0,0167 minuto)?
18.Dada uma distribuição normal com µ=100 e σ=10, se uma amostra de n=25 é selecionada.
* padronizar pela formula :
Z=
X −μ
σ
n
a) qual é a probabilidade de X seja menor do que 95?
b) qual é a probabilidade de X esteja entre 95 e 97,5?
c) qual é a probabilidade de que X esteja acima de 102,2?
19. O serviço de atendimento on-line ao cliente é peça chave no comercio varejista on – line. De
acordo com o WSJ Market Data Group, 37,5 % dos clientes da Priceline.com utiliza estes serviço.
Formula para padronizar os dados
Z=
p a− p

p 1− p 
n
a) se as amostras aleatórias de 200 clientes da Priceline.com fossem selecionadas, que proporção
das amostras teria possibilidade de estar entre 35% e 40% daqueles que utilizam o serviço on line
para clientes?
CAPITULO 6
20. Uma papelaria deseja estimar a média aritmética do preço de varejo de cartões de felicitações
que estão em seu estoque. Uma amostra aleatória de 20 cartões de felicitações indica um valor
médio de $ 1,67 e um desvio padrão de $ 0,32.
a) admitindo que existe uma distribuição normal, construa uma estimativa do intervalo de confiança
de 95% da média aritmética do valor de todos os cartões de felicitações no estoque da papelaria.
21. Uma empresa de telefonia deseja estimar a proporção de domicilios que poderiam vir adquirir
uma linha telefonica adicional, caso este se tornasse disponível, mediante um custo de instalação
substancialmente reduzido. Uma amostra aleatória de 500 domicílios foi selecionada. Os resultados
indicam que 135 dos domicílios comprariam a linha telefonica adicional, mediante um custo de
instalação substancialmente reduzido.
a) construa uma estimativa do intervalo de confiança de 95% da proporção da população, dos
domicilios que poderiam adquirir a linha telefonica adicional.
22) Se voce deseja ter 99% de confiança de estar estimando a proporção da população p=0,5, dentro
dos limites de um erro de amostragem de ± 0,04, que tamanho de amostra se faz necessário?
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:21
73
REFERENCIAS
•
MONTGOMERY, D.C. e RUNGER,G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade Para
Engenheiros. 2a edição RJ. Editora LTC.2003. •
LEVINE, David M. et. al. Estatística –Teoria e Aplicações Usando o Microsoft Excel em
Português. 3a ed.RJ Editora LTC. 2005.
•
CRESPO, A. Estatística Fácil. 14a ed .SP. Editora Saraiva.1994 •
BROFFICE
•
LARSON & FARBER. Estatística Aplicada. 4a edição.SP.Pearson Education.2009.
•
DOMENICO, Luiz Carlos De. MATEMATICA 3 em 1. Artes Gráficas e Editora- Unificado.
Curitiba.PR.
•
FARBER, Betsy. LARSON, Ron. Estatística Aplicada. São Paulo. 4 edição.2009. Pearson.
•
MILONE, Giuseppe. Estatistica Geral e Aplicada.São Paulo: Thomson Learning.2006.
•
Disponivel em
http://www.apis2.com.br/wp-content/uploads/2011/12/Graphic57-b.jpg,
acessado em 28/05/2012.
Prof jorge roberto grobe AD34S
11/09/2014
14:19:21
74