EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – VERIFICAÇÃO DE SOLUÇÕES 01

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – VERIFICAÇÃO DE SOLUÇÕES
01. Verifique se a função y = 3x2 – 3x + 2 é
solução da equação:
y” – 2y’ + y = 3x2 – 15x + 14
Resolução:
A primeira derivada de y é y’ = 6x – 3. A
segunda é y” = 6. Assim, substituindo no
primeiro membro da equação tem-se:
6 – 2(6x – 3) + (3x2 – 3x + 2) =
6 – 12x + 6 + 3x2 – 3x + 2 = 3x2 – 15x + 14
O que verifica a igualdade, logo é solução
da equação.
1 + C.e x
é uma
1 − C.e x
solução da equação diferencial de primeira
dy 1 2
= ( y − 1) .
ordem e primeiro grau
dx 2
Resolução:
dy
Devemos obter
que é a derivada de
dx
primeira ordem de y. Usando a regra do
quociente para a derivação temos que a
primeira derivada da equação dada é
dy C.e x + C.e x
2.C.e x
.
=
=
2
2
dx
1 − C.e x
1 − C.e x
02. Verificar que y =
(
)
(
)
Substituindo este resultado na equação
diferencial dada, temos:
2
 1
1  1 + C.e x
2.C .e x

= .
−
1
=
2
2  1 − C.e x 2  2
1 − C .e x


2
2
x
x
x
 1 + 2C.e + C .e − 1 − 2C.e + C 2 .e 2 x 


2


1 − C.e x
1  4.C.e x 
2.C .e x
= 
=
.

2  1 − C.e x 2  1 − C .e x 2
(
(
(
) (
)
(
(
(
)
)
)
)
)
(
)
03. Mostre que se y = 2 x 2 + 1 é solução da
equação diferencial (x2 + 1)y’ = xy.
Resolução:
Devemos obter a expressão y’.
Assim como y = 2( x 2 + 1)1 / 2 temos que
1
y ' = 2( x 2 + 1) −1 / 2 . .2 x = 2 x.( x 2 + 1) −1/ 2 .
2
2x
Isso implica em y ' =
. Agora
x2 +1
substituindo essa expressão o primeiro
membro da equação obtemos:
(x2 + 1)y’ = ( x 2 + 1).
2x
2
= 2x x 2 + 1 .
x +1
2
Então temos ( x + 1) y ' = x.2 x 2 + 1 = xy
como queríamos demonstrar.
04. Verificar que y = C1.cosx + C2.senx é
uma solução geral da equação diferencial
y’’ + y = 0.
Resolução:
Para iniciarmos nossa verificação, iremos
determinar a derivada de segunda ordem e
y.
y' = – C1.senx + C2..cosx
y’’= – C1.cosx – C2..senx
Fazendo a substituição no primeiro membro
da equação y’’ + y = 0 temos:
– C1.cosx – C2..senx + C1.cosx + C2..senx,
que resulta em 0. Portanto, y oferecido é
uma solução geral da equação diferencial
dada.
05. Mostre que y = K.e-2x é uma solução
para a equação diferencial y’ + 2y = 0 onde
K é uma constante real e encontre a solução
particular determinada pela condição inicial
y(0) = 3.
Resolução:
Primeiramente devemos verificar se
realmente y = K.e-2x é solução da equação
y’ + 2y = 0. Para tal faremos a derivada
primeira de y e iremos substituir no
primeiro membro da equação. Assim:
y’ = –2.K.e-2x
Vemos então que y = K.e-2x é solução
da equação dada pois,
y’ + 2y = –2.K.e-2x + 2.(K.e-2x ) = 0.
Agora, como y = K.e-2x é solução da
equação y’ + 2y = 0, podemos usar a
condição inicial y(0) = 3, ou seja, se x = o
temos y = 3, assim:
y = K.e-2x ⇒ 3 = K.e-2.0 ⇒ K = 3
e concluímos assim que a solução particular
procurada é y = 3.e-2x.