Apresentação do PowerPoint

Geometrias Não
Euclidianas
Zilmara Raupp de Quadros de Oliveira
a) Quais os triângulos que vocês conhecem?
 Triângulo equilátero, o qual possui os três lados iguais;
 Triângulos isósceles, o qual possui dois lados;
 Triângulo escaleno, o qual possui todos os lados diferentes;
 Triângulo retângulo, o qual possui um ângulo reto;
 Triângulo acutângulo, o qual possui os três lados agudos;
 Triângulo obtusângulo, o qual possui um lado obtuso.
b) Qual a definição de um triângulo no que diz respeito
aos seus ângulos?
R: A soma dos ângulos internos é igual a 180.
c) Mas em que espaço, em que plano eles foram
desenhados? Em que plano está o quadro? Todos os
planos são assim, iguais a este? E se pensarmos no
planeta em que moramos, a terra, ela é plana?
R: Foram desenhados no quadro, em um plano
pertencente à geometria Euclidiana, porém não são todos
assim, iguais a este, a terra, o planeta em que moramos é
um plano esférico, em forma de um globo e não plano
reto.
d) E se desenharmos um triângulo na superfície
terrestre, na superfície esférica, o que
acontece? Como será este triângulo?
Problematização:
A prática de atividades, exercícios é
fundamental para uma vida saudável. Então se
imagine como um ótimo ciclista que é, partindo
de um certo ponto da terra. Você percorre de
bicicleta 100 km sobre a superfície da terra ao
sul, 100 km para leste e 100 km para o norte.
Podemos afirmar que você voltou ao ponto de
partida?
Historicização
O quinto postulado, do livro I, é o mais famoso dos postulados de Euclides
e aquele que apresentou mais discussões aos matemáticos. Equivalente ao axioma
das paralelas, de acordo com o qual, “Por um ponto exterior a uma reta, passa
apenas uma, e somente uma reta paralela à dada”. Desde cedo este postulado foi
objeto de polêmica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os restantes.
O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta
proposição a partir de outros axiomas da geometria. Mas sempre em vão. Esta
impossibilidade foi durante séculos o escândalo da geometria e o desespero dos
geômetras. De acordo com Aleksandrov a tarefa atraiu muitos geômetras: Proclo
(século V a.C), Nasiradin (século XIII), Wallis (1616-1703), Saccheri (1667-1733),
Lambert (1728-1777), Legendre (1752-1833), e muitos outros.
O padre jesuíta G. Saccheri foi, talvez, o primeiro a ensaiar uma
abordagem inteiramente nova. Aleksandrov afirma que ele tentou utilizar a técnica
de redução ao absurdo, admitindo a negação do postulado do paralelismo de
Euclides com vista a obter algum absurdo ou contradição. Lambert demonstrou ser
um pensador mais profundo que Saccheri e seus predecessores. Empreendendo o
mesmo caminho, não encontrou contradição lógica nem caiu, nos mesmos erros,
tampouco proclamou ter provado o Quinto Postulado.
Outros grandes matemáticos, como Karl Gauss (1777 - 1855), o príncipe
dos matemáticos, redescobriu e desenvolveu a geometria em bases semelhantes às
de Saccheri (negando o quinto postulado), sem nunca chegar a uma contradição.
Outros, mais ousados, não recuaram perante o estranho mundo
novo que se abria a seus olhos. O jovem húngaro Bolyai (1802 - 1860)
admite a negação do postulado do paralelismo de Euclides como hipótese
não absurda, isto é, como um novo postulado, a juntar aos postulados
habituais da geometria absoluta. Pela mesma época, e trabalhando
independentemente, o jovem russo Nicolai Lobachewski (1792 - 1856),
publica em 1829, a sua versão da geometria não euclidiana, na revista
Universidade de Kazan.
Foi necessário esperar até ao século XIX para Gauss, Bolyai,
Riemann e Lobachevski conseguissem demonstrar que se trata efetivamente
de um axioma, necessário e independente dos outros. Supuseram que o
postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros
axiomas:
a) Por um ponto exterior a uma reta, podemos traçar uma infinidade de
paralelas a esta reta (geometria de Lobachevski);
b) Por um ponto exterior a uma reta não podemos traçar nenhuma paralela
a esta reta (geometria de Riemann).
Todos se deram então conta de que, substituindo o axioma das
paralelas, era possível construir duas geometrias diferentes da geometria
euclidiana, igualmente coerentes e que não conduzia a nenhuma
contradição. Apesar de serem dificilmente concebíveis, estas duas novas
geometrias foram pouco a pouco reconhecidas como alternativas legítimas.
Chegou-se mesmo a demonstrar que, se qualquer das duas pudesse
apresentar alguma contradição, a própria geometria euclidiana seria também
contraditória. Desde então, encontramo-nos perante três sistemas
geométricos diferentes:
A) A geometria euclidiana;
B) A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica;
C) A geometria do Riemann, também chamada esférica ou elíptica.
As duas últimas recebem o nome de geometrias Não Euclidianas.
Estas novas geometrias permitiram às ciências exatas do século XX uma
série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de
Einstein (1879 - 1955). O que permitiu provar que essas teorias, ao
contrário do que muitos afirmavam, tinham realmente aplicações práticas.
A Terra não é uma esfera perfeita, pois há um pequeno
achatamento nos pólos. Porém, essa deformidade não ocasiona
distorções nos cálculos de trigonometria esférica que são
utilizados para determinação de rotas de navegação.
GEOMETRIA ELÍPTICA OU ESFÉRICA
Como vimos, foi na tentativa de provar o quinto postulado
de Euclides que surgiram as Geometrias Não Euclidianas. No
volume I dos Elementos são apresentados os cinco famosos
postulados:
1° – Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro,
escolhidos à vontade.
2° – Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente.
3° – Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários.
4° – Todos os ângulos retos são iguais.
5° – Se uma reta secante a duas outras formam ângulos, de um
mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos
retos, então essas retas se prolongadas suficientemente encontrarse-ão em um ponto desse mesmo lado.
Em 1854, Bernhard Riemann, substituiu o
postulado das paralelas pelo seguinte enunciado: Por
um ponto fora de uma reta não se pode traçar
uma reta paralela à outra reta dada.
A aceitação da geometria que também ficou
conhecida como Geometria de Riemann só
aconteceu após 1870. Na Geometria Riemanniana,
há um sentido restrito onde temos que interpretar o
plano como uma superfície de uma esfera e uma reta
como um círculo máximo sobre essa esfera.
A esfera pode ser considerada um modelo
(simplificado) do planeta Terra e existe uma
geometria que se dedica ao seu estudo: a
Geometria Esférica.
Como nesta geometria nosso plano é
semelhante a uma esfera e iremos trabalhar nela
é conveniente defini-la: chama-se superfície da
esfera de centro O e raio r ao conjunto dos
pontos P do espaço, tais que a distância OP seja
igual a r. Pode-se dizer que a superfície de uma
esfera é a superfície de revolução gerada pela
rotação de uma semicircunferência com
extremidades no eixo.
As extremidades P e P’ do eixo (e) de um círculo
máximo da esfera são denominadas polos da esfera.
Sabe-se que a geometria de Riemann tem importante aplicação
prática: na navegação marítima e na aviação. Uma circunferência, na
esfera, pode ser obtida intersectando a esfera com um plano. Quando o
plano contém o centro da esfera obtém-se um círculo máximo; caso
contrário, trata-se de um círculo menor. A circunferência verde é um
círculo máximo, mas a circunferência cor-de-laranja não é um círculo
máximo.
Na esfera, os círculos máximos assumem o papel análogo ao das
retas da Geometria Euclidiana e os arcos menores de círculo máximo
assumem o papel análogo ao dos segmentos de reta. Desta forma, na
esfera, a distância entre dois pontos, A e B, determina-se calculando o
comprimento do menor arco de círculo máximo definido pelos dois
pontos.
Na Geometria Esférica o plano Euclidiano é substituído
pela superfície esférica. E nela:
Ponto: são pontos da superfície esférica, e as figuras
geométricas são traçadas sobre esta superfície.
Retas: são chamadas de geodésicas (são os círculos máximos, os
grandes círculos), obtidos pelos planos que interceptam a esfera
passando pelo seu centro. Elas são determinadas por dois pontos
como na Geometria Euclidiana. Sendo assim podemos perceber
que uma reta na superfície esférica possui propriedades próprias.
Ela deixa de ser infinita passando a ser ilimitada, ou seja, os
círculos máximos de uma esfera (as retas ou geodésicas) são
finitos (percorrendo-os sempre se volta ao ponto de partida), mas
ilimitada (pode-se percorrê-los indefinidamente).
Os segmentos de retas na Geometria Euclidiana aqui são
os arcos das geodésicas. E os outros círculos menores quando
não passam pelo centro não são considerados uma reta.
Vamos trabalhar um pouco com as
esferas? E tentar resolver nossa
problematização?
“Um ciclista saiu de sua casa e pedalou 100 km ao
sul. Depois virou ao leste e pedalou mais 100 km.
Então virou e pedalou novamente por mais 100 km
ao norte. Ficou surpreso, pois descobriu que voltara
novamente a sua casa”. Podemos afirmar que ele
voltou ao ponto de partida? Então construa:
a) Desenhar numa folha de papel o caminho
percorrido pelo ciclista.
b) De acordo com a situação acima é possível que
o ciclista volte ao ponto de partida?
c) Desenhar na esfera o caminho percorrido pelo
ciclista.
d) Analisando o caminho desenhado na esfera, é
possível para o ciclista voltar ao mesmo ponto de
partida?
“Agora imagine esse mesmo ciclista deseja dar uma
volta ao mundo ou andar de bike sempre na mesma
direção, o que vai acontecer com a sua viagem”? E faça
o que se pede:
a) Desenhe o caminho percorrido pelo ciclista numa
folha de papel.
b) De acordo com o caminho percorrido desenhado na
folha de papel, é possível para o ciclista voltar no ponto
de partida?
c) Desenhe o caminho percorrido pelo ciclista na
esfera.
Podemos perceber que uma reta na superfície
esférica possui propriedades próprias. Ela deixa de
ser infinita passando a ser ilimitada, ou seja, os
círculos máximos de uma esfera, as geodésicas são
finitos (percorrendo-os sempre se volta ao ponto
de partida), mas ilimitada (pode-se percorrê-los
indefinidamente).
d) De acordo com o caminho percorrido
desenhado na esfera, é possível para o ciclista
voltar ao ponto de partida?
Duas geodésicas são perpendiculares
se formam um ângulo reto quando se
interceptam.
Enquanto na Geometria Euclidianas
duas retas perpendiculares a uma terceira
são paralelas entre si, na Geometria
Esférica isto não acontece, pois as
geodésicas
perpendiculares
a
uma
geodésica Z não são paralelas entre si, mas
sim, concorrentes, isto é, todas as
geodésicas perpendiculares a Z tem um
ponto comum chamado de polo de Z.
A figura abaixo mostra geodésicas ACA’ e ADA’,
perpendiculares à geodésica BCDE.
“Agora o ciclista vai pedalar em linha reta da sua casa
até a pista de treinamento”.
a) Desenhe numa folha de papel o caminho percorrido
pelo ciclista.
b) Desenhe na esfera o caminho percorrido pelo ciclista
e represente esse desenho na folha de papel.
c) Qual é a diferença entre os dois desenhos?
Considerem-se dois pontos A e B não
antípodas (pontos diametralmente opostos) na esfera
de raio r e centro O. À distância na esfera entre A e
B é dada pelo comprimento do menor arco AB do
círculo máximo definido por A e B. Note-se que, se
A e B são antípodas, a distância entre A e B é igual
ao comprimento de um semicírculo máximo, πr.
(metade do comprimento). Considerando r igual a
10 e o ângulo ∝ igual a 60°, calcule o comprimento
do arco.
“Agora o ciclista vai pedalar levando o seu fiel
amigo cachorro. Eles vão percorrer o trajeto
paralelamente”.
a) Desenhe numa folha de papel o caminho
percorrido pelo ciclista e pelo cachorro.
b) Desenhe na esfera de isopor o caminho
percorrido pelo ciclista e pelo cachorro.
c) É possível traçar retas paralelas para
representar o caminho percorrido pelo ciclista e
pelo cachorro na folha de papel e na bola de
isopor?
Podemos definir retas paralelas como sendo retas
que não se intersectam. Na esfera, dados dois círculos
máximos, estes intersectam-se sempre em dois pontos
antípodas (pontos diametralmente opostos). Por exemplo,
os meridianos terrestres intersectam-se no Pólo Norte e
no Pólo Sul. Assim, ao identificarmos o conceito de reta
na esfera com o de círculo máximo, concluímos que: Na
Geometria Esférica não existem retas paralelas!
As linhas imaginárias da esfera terrestre
O polo norte e o polo sul são os polos
principais da Terra. Os círculos perpendiculares
ao eixo que une os polos são os paralelos da
Terra, sendo que o paralelo máximo, que é um
círculo máximo do globo terrestre, é
denominado Linha do Equador e divide a esfera
terrestre em duas partes iguais chamadas de
hemisférios norte e sul, conforme o polo que
contiver.
Os semicírculos máximos que vão de um
polo ao outro são denominados meridianos e
são perpendiculares a todos os paralelos.
Ângulo Esférico
Ângulo esférico é o ângulo formado pela
interseção de dois arcos de círculos máximos.
Sua medida é a mesma do ângulo plano θ
formado pelas retas t1 e t2 tangentes, no ponto
de intersecção, aos lados do ângulo.
Dados dois círculos máximos, estes
intersectam-se sempre em dois pontos antípodas,
dividindo a esfera em quatro regiões, cada uma das
quais com dois lados; estas regiões designam-se
por biângulos ou lúnulas.
Biângulos- na Geometria Esférica existem
polígonos com dois lados, os biângulos, cujos
vértices são pontos antípodas (na esfera são pares
de pontos opostos) e cujos lados são semicírculos
máximos. A área de um biângulo com ângulo α é
dada por: 2αr² (α em radianos). E r o raio da esfera
em questão.
Triângulo esférico
Três pontos de uma esfera de centro O, não
pertencentes a um mesmo círculo máximo,
ligados dois a dois por meio de arcos de círculo
máximo formam os vértices de um triângulo
esférico ABC.
Todos os triângulos esféricos têm três alturas, três
medianas, três mediatrizes e três bissetrizes definidos do
mesmo modo que na Geometria Euclidiana, com a
diferença que para aqueles triângulos fala-se em retas e,
na superfície esférica, são geodésicas.
Os lados dos triângulos esféricos, subentendem
ângulos como vértices no centro da esfera, por isso
podem ser medidos em graus ou radianos.
Na Geometria Esférica dados três pontos,
estes podem definir dois triângulos, na medida em
que podem definir duas regiões limitadas na esfera.
Na esfera, existem ainda alguns triângulos
“estranhos” como, por exemplo, triângulos com três
vértices colineares.
“Desenhe um círculo máximo em uma esfera de
isopor;
desenhe
outro
círculo
máximo
perpendicular ao primeiro; desenhe um terceiro
círculo máximo, perpendicular aos dois já
construídos”.
a) Em quantos triângulos a bola ficou dividida?
b) Quanto mede cada ângulo desses triângulos?
c) Qual a soma dos ângulos internos de cada um
desses triângulos?
d) Como é classificado esse triângulo esférico de
acordo com seus lados e seus ângulos?
A grande característica dessa geometria, como
percebemos, ao fato de não existirem retas paralelas,
é que a soma dos ângulos internos de um triângulo
varia entre 180° e 540°. Podendo ser representada
pela dupla desigualdade:
180° <Â+B+C < 540°
Logo, em relação à soma da medida dos lados
a,b,c persiste, também, uma faixa de variação de
extremos entre 180° e 360°, ou seja:
180°< a+b+c<360°
Sendo que nenhuma das medidas dos lados
pode ser maior que 180°.
Na geometria da esfera os termos triângulos
eqüilátero, isósceles, retângulo e obliquângulo têm o
mesmo sentido do que em geometria plana.
PROPRIEDADES
IA soma das medidas dos ângulos internos de
um triângulo retângulo esférico é maior que 180°.
Seja ABC um triângulo retângulo, e suponha por absurdo,
que A+B+C = 180°. Traçam-se as retas CD e BE, formando com
BC os ângulos X e Y congruentes, respectivamente, aos ângulos
1 e 2. De acordo com o caso ALA (Ângulo, Lado e Ângulo) de
congruência, o triângulo BCI vem a ser congruente ao triãngulo
ABC, obtendo um retângulo, o que seria um absurdo, pois não
existe retângulo na Geometria Esférica, pelo fato de não existir
retas paralelas na superfície esférica. Ou seja, não há nesta
superfície, um quadrilátero que tenha os quatros ângulos retos, de
acordo com a definição de retângulo na Geometria Euclidiana.
Portanto Â+B+C > 180°.
II- A soma das medidas dos ângulos de
qualquer triângulo é maior do que 180°.
Desde que qualquer triângulo possa ser
dividido em dois triângulos retângulos, as somas
das medidas dos ângulos destes triângulos é
maior que 360° e, assim, a soma das medidas dos
ângulos do triângulo primitivo é maior que 180°.
III- A soma das medidas
quadrilátero é maior que 360°.
de
qualquer
Seja ABCD um quadrilátero qualquer.
Traça-se a reta AC, dividindo o quadrilátero nos
dois triângulos ABC e ACD. Como a soma das
medidas dos ângulos de um triângulo é maior que
180° , tem-se Â+B+C+D > 360°
IV- A área da superfície esférica de raio
unitário é 720°.
Sabe-se que a área da superfície esférica de
raio r é (4𝜋𝑟²). Se a esfera tem raio unitário, a
medida da área da esfera em graus é, então, igual
a 720°.
V- A área de um triângulo esférico ABC numa
esfera de raio r é:
Se a esfera tem raio unitário, a área do
triângulo esférico é então:
Quadriláteros Elípticos
Na geometria elíptica a soma dos ângulos
internos de qualquer quadrilátero sempre excede
360°.
No quadrilátero de Saccheri podem
observadas duas importantes propriedades:
ser
•O segmento que liga os pontos médios da base e
do topo é perpendicular a ambos;
•Os ângulos do topo são congruentes e obtusos.
A principal propriedade para um quadrilátero de
Lambert é:
O seu quarto ângulo é obtuso e os lados adjacentes a
esse ângulo são maiores que os opostos
correspondentes.
Geometria
hiperbólica
A primeira delas a geometria de
Lobatchevsky, que em 1829, negou o quinto
postulado de Euclides, admitindo que por um
ponto fora de uma reta passam pelo menos duas
retas paralelas. A história nos diz que Gauss,
Bolyai e Lobachewsky desenvolveram a
Geometria Hiperbólica ao mesmo tempo. No
entanto, Lobachewsky foi o primeiro a publicar
seus trabalhos, cabendo a ele a honra da
descoberta desta geometria. Em 1832, Bolyai,
independentemente,
obteve
os
mesmos
resultados. E então essa geometria passou a ser
chamada de geometria hiperbólica.
A geometria hiperbólica, por sua vez, deve ser
representada por uma superfície com curvatura
negativa. Apesar do seu nome, as melhores escolhas
para isso não envolvem uma hipérbole. Uma superfície
que atende esse requisito é essa, vista na figura, que
parece uma sela. Dá para ver que, em qualquer ponto
dessa superfície, duas curvas se cruzam com curvaturas
para lados opostos. Isso faz a curvatura de Gauss ser
negativa.
Beltrami usou outra superfície mais
conveniente que a sela para representar a geometria
hiperbólica. Ele chamou essa superfície de
pseudoesfera, e mostrou que ela exibe as
propriedades requeridas pela geometria hiperbólica
de curvatura negativa.
A soma dos ângulos de um triângulo
desenhado sobre a superfície de uma
pseudoesfera é menor que 180 graus, como
esperado de uma superfície que represente a
geometria hiperbólica e o caso agudo de
Saccheri. Observamos que quanto maior o
triângulo, menor é a soma de seus ângulos.
Além disso, por um ponto P, podem passar
infinitas retas paralelas a outra reta. Na figura
abaixo, L2 e L3 são paralelas a L1 e se cruzam
em um ponto P. Todas as retas que passam por P
e estão entre L2 e L3 também são paralelas a L1.
Um modelo para representação da geometria
Hiperbólica foi criado pelo matemático Henry
Poincaré.
Ele inventou um mapa que é ótimo para
ajudar a visualizar o plano hiperbólico.
Reproduzir a superfície de uma esfera, como o
globo terrestre, em um papel plano implica
necessariamente em distorções (é necessário usar
a imaginação).
Resumidamente, o mapa de Poincaré
transporta todo um plano do espaço hiperbólico
para dentro de um círculo, também chamado de
"disco de Poincaré". As seguintes regras são
seguidas nesse mapa:
1) Todo ponto do plano hiperbólico corresponde
a um, e só um, ponto dentro do disco.
2) Uma "reta" do plano hiperbólico corresponde
a um segmento de círculo encerrado dentro do
disco,
cujas
pontas
se
aproximam
perpendicularmente da borda desse disco.
No disco as retas AB e CD são retas
paralelas e EF e GH são retas que se cruzam.
A figura abaixo mostra infinitas retas
hiperbólicas paralelas a r passando por P.
No disco abaixo temos um exemplo de uma
infinidade de retas com um ponto em comum e
paralelas a outra reta arbitrária.
Veja no disco de Poincaré a figura de um
triângulo hiperbólico:
A área do triângulo = π – (
). Pois na
geometria hiperbólica a soma dos ângulos
internos de um triângulo é sempre menos que
180°.
Podemos ainda utilizar dos softwares para
construir figuras no plano hiperbólico.
Ex: Através do geogebra
Reta hiperbólica passando por A e por B:
Triângulos equiláteros a partir da intersecção
de círculos:
Medida da soma dos ângulos dos triângulos
equiláteros:
Triângulos isósceles e a soma de seus ângulos:
Quadrilátero de Saccheri: Nesse quadrilátero, conforme
figura, AB é denominado lado base, CD é denominado
lado topo do quadrilátero e AB e CD são os lados
congruentes do quadrilátero. Os ângulos do lado base
são retos e os dois ângulos do lado topo são agudos e
congruentes.
Quadrilátero de Lambert: No quadrilátero de Lambert
somente um ângulo é agudo e os outros três ângulos são
retos.
E outras figuras, podendo sempre calcular
seus ângulos:
Outro resultado sem equivalente na geometria.
euclidiana é que os triângulos equiláteros (3
lados iguais) não são semelhantes entre si (têm
ângulos diferentes)
O mesmo ocorrendo com os quadrados. Os
quadrados abaixo não são semelhantes.
Na geometria hiperbólica dois triângulos
podem ter dois pares de ângulos congruentes sem
terem o terceiro par de ângulos congruentes.
A relação a²=b²+c² conhecida como teorema de
Pitágoras não é válida na geometria hiperbólica.
Sendo a,b e c respectivamente as medidas da
hipotenusa e dos catetos de um triângulo
retângulo temos que a²>b²+c².
Veja também algumas figuras não muito
desconhecidas que envolvem a geometria
hiperbólica.
Assim sendo, como afirma Henri Poincaré:
Nenhuma geometria é mais correta do que
qualquer outra - apenas é mais conveniente.
Referências bibliográficas
•
•
•
•
•
ABREU, Miguel. Instituto Superior Técnico e Sociedade Portuguesa de
Matemática, Fevereiro de 2012. Introdução às Geometrias Não-Euclidianas.
Disponível
em
<
http://www.math.ist.utl.pt/~mabreu/outreach/palestrageometria.pdf >. Acessado em 26 out. 2014.
ÁVILA, Geraldo. Várias Faces da Matemática: Tópicos para Licenciatura e Leitura
Geral. 2° edição. Revista Ampliada. Ed @ Blucher. São Paulo, 2011.
BONGIOVANNI Vincenzo. JAHN, Ana Paula. Revista ibero-americana de
educação matemática - junho de 2010 - número 22 - página 37. De Euclides às
geometrias
não
euclidianas.
Disponível
em
<
http://www.fisem.org/www/union/revistas/2010/22/Union_022_006.pdf
>.
Acessado em 26 out. 2014.
CARMO< Manfredo Perdigão do. Matematica Universitária, N. 6, dezembro de
1987, 25-48. Geometrias Não- Euclidianas.
Disponível em <
http://matematicauniversitaria.ime.usp.br/Conteudo/n06/n06_Artigo02.pdf
>.
Acessado em 26 out. 2014.
DANTE, Roberto Luiz. Matemática. Volume único. 3° edição. São Paulo, editora
ática, 2011.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
DEVITO, André. FREITAS, Araone Koaerece de. PEREIRA, Kênia Cristina. Geometrias
NãoEuclidianas.
Disponível
em
<
http://www.ime.unicamp.br/~eliane/ma241/trabalhos/nao_euclidiana >. Acessado em 26 out.
2014.
Explorar geometria hiperbólica no Geogebra. 2013, número 1, volume 1.
Geometria
Não
Euclidiana.
Disponível
em
<
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/alice/geometria_ne.htm >. Acessado em
26 out. 2014.
ARATTA, Roberto Carlos. SOUZA, Luciane de Fátima Rodrigues de. Revista Eletrônica de
Educação e Ciência – REEC Volume 01 Número 01 Setembro/2011 Páginas 18-50 ISSN
2237-3462. Abordagem de uma aplicação das geometrias não euclidianas. Disponível em <
http://www.fira.edu.br/revista/ano1_num1_ed1_art3_pag18.pdf >. Acessado em 26 out. 2014.
MARQUEZE, João Pedro. As Faces dos Sólidos Platônicos na Superfície Esférica: Uma
Proposta para o Ensino-Aprendizagem de Noções Básicas de Geometria Esférica. Disponível
em
<
http://www.sapientia.pucsp.br/tde_arquivos/3/TDE-2007-06-15T12:46:48Z3516/Publico/dissertacao_joao_pedro_marqueze.pdf >. Acessado em 26 out. 2014.
Matemática
do
Planeta
Terra,
2013.
Disponível
em<
http://www.atractor.pt/mat/GeomEsf/triangulos.htm >. Acessado em 26 out. 2014.
PETIT, Jean Pierre. As Aventuras de Anselmo Curioso, Os Mistérios da Geometria.
Publicações Dom Quixote. Lisboa. 1982.
RIBEIRO, Ricardo Silva. GRAVINA, Maria Alice. Disco de poincaré: uma proposta para
WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre.
Geometria esférica. Disponível em <
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_esf%C3%A9rica >. Acessado em 26 out. 2014.