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MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Circunferência Chama-se circunferência de centro O e raio r ao conjuntos de pontos do plano cuja a distância ao ponto O é igual a r. Uma circunferência de centro O e raio r designa-se geralmente por C(O, r). O r C(O , r) Círculo Chama-se círculo de centro O e raio r ao conjuntos de pontos do plano cuja a distância ao ponto O é menor ou igual a r. O r Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Círculos concêntricos Dois ou mais círculos dizem-se concêntricos quando têm o mesmo centro. O Círculos concêntricos Corda e diâmetro Chama-se corda a um segmento de reta cujos extremos são pontos da circunferência. Diâmetro é uma corda à qual pertence o centro da circunferência. B A O C D E F [AB], [CD] , [EF] são cordas; [CD] é um diâmetro. Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Arco de uma circunferência Arco de uma circunferência é uma parte dessa circunferência compreendida entre dois dos seus pontos. A P O B Os pontos A e B dividem a circunferência em dois arcos: Arco menor AB ou simplesmente arco AB; Arco maior ou simplesmente arco APB. Setor circular Chama-se setor circular a uma porção de círculo limitada por um arco e dois raios. O Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Reta secante à circunferência Uma reta contida no mesmo plano de uma circunferência diz-se secante quando a interseta em dois pontos distintos; B r A O r é secante Reta tangente à circunferência Uma reta contida no mesmo plano de uma circunferência diz-se tangente quando a interseta em dois pontos distintos; r P O r é tangente Reta exterior à circunferência Uma reta contida no mesmo plano de uma circunferência diz-se exterior quando não a interseta. O r r é exterior Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Ângulos ao centro e arcos correspondentes Chama-se ângulo ao centro a um ângulo cujo vértice é o centro de uma circunferência. B O C D A ∢AOB , ∢BOC , ∢COD , ∢AOD , são ângulos ao centro da circunferência de centro O. A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente 90º A 180º C 120º D 90º 180º 120º E O F O O CÔD CD 90º EÔF EF 180º B AÔB AB 120º Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Ângulos ao centro e arcos correspondentes Numa circunferência, arcos correspondentes a ângulos ao centro iguais têm a mesma amplitude e, reciprocamente, ângulos ao centro correspondentes a arcos iguais têm a mesma amplitude. F E C D A B O EÔF AB CD EF Ângulos ao centro e cordas correspondentes Numa circunferência, cordas correspondentes a ângulos ao centro iguais são geometricamente iguais e, reciprocamente, ângulos ao centro correspondentes a cordas iguais são geometricamente iguais. C D B 65º 65º O A AÔB CÔD 65º AB CD 65º AB CD Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Ângulo inscrito num arco de circunferência Um ângulo diz-se inscrito numa circunferência quando é um ângulo cujo vértice pertence à circunferência e cujos lados contêm cordas da circunferência. A B O V O ângulo AVB é um ângulo inscrito. O arco AB é o arco correspondente ao ângulo inscrito AVB. O ângulo AOB é o ângulo ao centro correspondente ao ângulo inscrito AVB. A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco correspondente V A 30º 30º O 30º B V O C O 45º 15º F 60º V 90º 60º 90º E D AV̂B AB 15º 2 CV̂D CD 30º 2 EV̂F EF 45 º 2 Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são geometricamente iguais P Q 30º 30º B O 60º 30º R A AP̂B AQ̂B AR̂B 30º Um ângulo inscrito numa semicircunferência é um ângulo reto P B Q 90º 90º R 90º O 180º A AP̂B AQ̂B AR̂B 90º Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Eixos de simetria numa circunferência Qualquer reta que passa pelo centro de uma circunferência é um eixo de simetria dessa circunferência. d1 d2 O d3 d1 , d2 e d3 são eixos de simetria da circunferência representada. Eixos de simetria numa circunferência Qualquer reta que passa pelo centro de um circunferência bisseta as cordas que lhes são perpendiculares (bem como os ângulos ao centro e arcos correspondentes). d O P A Q PQ d PA AQ Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Eixos de simetria numa circunferência Qualquer reta que passa pelo centro de uma circunferência bisseta as cordas que lhes são perpendiculares (bem como os ângulos ao centro e arcos correspondentes). A O M N d B Od AB d AM MB AN NB AÔM BÔM Eixos de simetria numa circunferência Numa circunferência, arcos ou cordas entre duas retas paralelas são geometricamente iguais. Q B A D O S O P C BD//AC PQ//RS R AB CD PQ RS arco AB arco CD arco PQ arco RS Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Eixos de simetria numa circunferência Qualquer reta que passa pelo centro de uma circunferência é perpendicular às retas tangentes à circunferência nos pontos em que a interseta. d N O B M A MN BN NM AM Eixos de simetria numa circunferência Uma reta tangente a uma circunferência no ponto M é perpendicular ao raio no ponto de tangência M. M O A MA é tangente à circunferência OM MA Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Polígonos inscritos, polígonos regulares Chama-se polígono a uma figura plana limitada por segmentos de reta. Os segmentos de reta que limitam um polígono chama-se lados do polígono e a interseção de dois lados consecutivos chama-se vértices do polígono. Representam polígonos Não polígonos Não representam polígonos Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Polígonos convexos Um polígono diz-se convexo quando contém todos os segmentos de reta definidos por dois dos seus pontos. B A Polígonos côncavos Um polígono diz-se côncavo quando existe pelo menos um segmento de reta definido por dois dos seus pontos que não está contido nesse polígono. B A Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Polígonos inscritos Um polígono cíclico ou está inscrito numa circunferência quando cada vértice do polígono pertence a uma mesma circunferência. B B A O C O A C D Polígonos não inscritos O O Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Ângulos internos e ângulos externos Um polígono cíclico ou está inscrito numa circunferência quando cada vértice do polígono pertence a uma mesma circunferência. Ângulos internos Ângulos externos Polígonos regulares e não regulares Um polígono diz-se regular quando tem os lados e os ângulos geometricamente iguais. Polígonos regulares Polígonos não regulares Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira MATEMÁTICA Polígonos e circunferências Polígono regular Número Amplitude Amplitude Amplitude de do do do lados ângulo ao centro ângulo interno ângulo externo 3 360º 120º 3 3 2180º 60º 180º 60º 120º 4 360º 90º 4 4 2180º 90º 180º 90º 90º 5 2180º 108º 180º 108º 72º 6 2180º 120º 180º 120º 60º 8 2180º 135º 180º 135º 45º Triângulo 120º 60º 3 Quadrado 90º 90º 4 Pentágono 108º 72º 5 360º 72 º 5 6 360º 60º 6 5 Hexágono 60º 120º 6 Octógono 45º 135º 8 360º 45º 8 n 360º n 8 Polígono com n lados 360º n n 2180º n n 2180º n 360º n Realizado por: Nuno Miguel da Apresentação Pereira
