Aplicações de Equações Diferenciais em Sistemas

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
CÂMPUS JUSSARA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
GENISOM DOS SANTOS
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM SISTEMAS MECÂNICOS
OSCILANTES ACOPLADOS COM n GRAUS DE LIBERDADE
JUSSARA-GO
2014
2
GENISOM DOS SANTOS
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM SISTEMAS MECANICOS
OSCILANTES ACOPLADOS COM n GRAUS DE LIBERDADE
Monografia apresentada ao Departamento de
Matemática da Universidade Estadual de Goiás,
Câmpus Jussara, em cumprimento à exigência para
obtenção do título de Licenciado em Matemática, sob a
orientação do professor Luciano Paulo de Araújo Maia.
JUSSARA-GO
2014
3
GENISOM DOS SANTOS
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM SISTEMAS
MECANICOS OSCILANTES ACOPLADOS COM n GRAUS DE LIBERDADE
Monografia apresentada ao Curso Licenciatura em Matemática, na UEG – Câmpus Jussara,
como requisito parcial para a obtenção do título de licenciado.
Banca examinadora
_____________________________________________________________
Orientador: Prof. Ms. Luciano Paulo de Araújo Maia
_____________________________________________________________
Examinador: Prof. Esp. Deusaguimar Divino da Silva
_____________________________________________________________
Examinador: Prof. Esp. Ciandra Augusta de Araújo
JUSSARA - GO
2014
4
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter me guiado em todos os momentos da minha vida, me ajudando,
orientando e incentivando a seguir. A Ele meus eterno agradecimento.
A toda a minha família, pelo incentivo e apoio durante minha jornada, em particular
aos meus pais, Virson e Palmira, a minha esposa e meus filhos.
Aos professores e corpo de funcionários desta instituição educacional pela orientação
e paciência que tanto contribuíram para realização deste trabalho e na minha vida.
Aos amigos e colegas que conheci na UEG ao longo destes anos, pela ajuda e
amizade.
Meu muito obrigado!
5
Algo é só impossível até que alguém duvide e acabe provando o contrário.
ALBERT EINSTEIN.
6
RESUMO
O estudo de sistemas oscilantes acoplados, com n graus de liberdade, surge em busca de uma
melhor compreensão, dos modelos Matemáticos e Físicos, que em geral, são pouco estudados
nos cursos de licenciatura em Matemática. Os conceitos fundamentais acerca das equações
diferenciais mais simples, isto é, as equações diferenciais ordinárias, lineares e de coeficientes
constantes são apresentados bem como uma introdução aos sistemas oscilantes mecânicos
simples. Analisamos a energia dos osciladores mecânicos acoplado e normais, com dois graus
de liberdade e generalizamos para n graus.
Palavra chaves: Equações Diferenciais. Sistemas Oscilante. Acoplamento.
7
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Força interação entre dois corpos ........................................................................... 20
Figura 2 – Movimento suspenso de mola vertical sem massa .................................................. 21
Figura 3 – Oscilação do corpo suspenso da mola na vertical ................................................... 22
Figura 4 – Oscilador simples sem atrito ................................................................................... 23
Figura 5 – A energia cinética e potencial do oscilador em função da amplitude de oscilação 23
Figura 6 – Energia potencial típica de um sistema ligado ........................................................ 25
Figura 7 – Oscilador amortecido .............................................................................................. 26
Figura 8 – Comportamento do oscilador amortecido sujeito a um sistema viscoso................. 27
Figura 9 – Comportamento de um oscilador forçado em função do tempo ............................. 27
Figura 10 – Amplitude de um oscilador forçado em função da frequência da ação externa.... 28
Figura 11 – Curva de ressonância observada entre sistemas físicos ........................................ 29
Figura 12 – Amplitude versus frequência de um oscilador amortecido forçado ...................... 30
Figura 13 – Oscilador em estado de equilíbrio ......................................................................... 31
Figura 14 – Oscilador em deslocamento .................................................................................. 32
Figura 15 – Representação de dois osciladores (massa-mola) acoplados ................................ 36
Figura 16 – Diagrama de força para corpo 1 ............................................................................ 36
Figura 17 – Diagrama de força para corpo 2 ............................................................................ 37
Figura 18 – Gráfico da dissipação da energia do oscilador ...................................................... 40
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 9
CAPÍTULO 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES E DE
COEFICIENTE CONSTANTE ................................................................................................ 10
1.1 – Equação Diferencial Ordinária ............................................................................ 10
1.2 – Ordem e Graus de uma Equação Diferencial....................................................... 11
1.2.1 – Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem .............................. 12
1.2.2 – Equação Diferencial Ordinária de Segunda Ordem .............................. 13
1.3 – Equação Diferencial Linear e não Linear ............................................................ 14
1.3.1 – Primeiro Teorema do Valor Médio para Integral.................................. 14
1.3.2 – Segundo Teorema do Valor médio para Integral .................................. 15
1.3.3 – Equação não Linear Primeira Ordem Redutível Linear ........................ 16
1.4 – Equação Diferencial com Coeficiente Constante ................................................ 16
1.4.1 – Duas Raízes Reais e Distintas ............................................................... 17
1.4.2 – Duas Raízes Reais e Iguais ................................................................... 17
1.4.3 – Duas Raízes Reais Conjugadas ............................................................. 17
1.5 – Equações Diferenciais em Modelagem Matemática com Aplicação Física ........ 18
CAPÍTULO 2 – SISTEMAS OSCILANTES MECÂNICOS SIMPLES ................................. 21
2.1 – Osciladores Harmônicos Livres ........................................................................... 21
2.2 – Energia do Oscilador Linear ................................................................................ 23
2.3 – Oscilador Linear Amortecido .............................................................................. 25
2.4 – Oscilador Harmônico Forçado ............................................................................. 27
2.5 – Ressonância ......................................................................................................... 28
CAPÍTULO 3 – OSCILADORES ACOPLADOS .................................................................. 31
3.1 – Osciladores Acoplados e Modo Normal .............................................................. 31
3.2 – Osciladores Acoplados com Dois Graus de Liberdade ....................................... 36
3.3 – Energia de Osciladores ........................................................................................ 39
CAPÍTULO 4 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................ 42
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 43
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INTRODUÇÃO
As equações diferenciais estudadas rapidamente no curso de matemática é uma
poderosa ferramenta de cálculo e têm aplicações em praticamente todas as áreas da física,
descrevem mesmo que aproximado a maioria dos fenômenos físicos existentes, inclusive os
sistemas oscilantes mecânicos e elétricos que chama bastante a atenção, isto nos motivou a
realizar este trabalho sobre as equações diferenciais aplicadas em alguns sistemas físicos.
Em especial há uma grande variedade de fenômenos físicos que são muito bem
representados por equações diferenciais de 2ª ordem, especialmente com coeficientes
constantes. Na verdade, a maioria das equações diferenciais que descrevem situações físicas é
no máximo de 2ª ordem, sejam elas ordinárias ou parciais.
Com uma simples pesquisa, qualquer pessoa pode ser capaz de reconhecer as diversas
aplicações do estudo de sistemas oscilantes, que vão desde sua análise na física às aplicações
em engenharia, química, biologia molecular, física médica, etc.
Tendo-se em vista essa grande variedade de sistemas oscilantes, este trabalho se
restringe ao estudo específico das equações diferenciais aplicadas em osciladores acoplados
simples e com dois graus de liberdade envolvendo massas molas, pêndulo e a energia dos
osciladores.
No primeiro capítulo fez-se uma apresentação de maneira formal, envolvendo as
equações diferenciais e suas definições, mostramos seus fundamentos e suas modelagens em
aplicações no conteúdo a seguir.
No segundo capítulo foi descritos os sistemas oscilantes mecânicos simples,
resolvendo suas equações diferenciais que advém da análise dos elementos que compõem o
trabalho.
No terceiro capítulo, foi mostrado como fica os sistemas de osciladores acoplados e de
modo normal, e com dois graus de liberdade em relação as equações diferenciais, e análise da
energia que se aplica em um oscilador harmônico simples.
Por fim foi apresentado uma conclusão de nosso trabalho sugerindo a utilização do
formalismo das equações diferenciais em outros sistemas físicos.
10
CAPÍTULO 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS, LINEARES E DE
COEFICIENTES CONSTANTES
1.1 – Equações diferenciais ordinárias
Quando se estuda equações diferenciais, geralmente, disciplina da grade dos cursos de
Licenciatura em Matemática, nota-se a concepção de que, é a procura de resoluções de
equações que envolvem derivadas, daí o nome diferencial, segundo Zill e Cullen (2001). E
com isso essas equações podem apresentar soluções explícitas e/ou implícitas.
Como definição de equação diferencial ordinária, Sodré (2003) apresenta essa equação
na forma
F(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥), 𝑦 ′′ (𝑥), . . . , 𝑦 (𝑛) (𝑥)) = 0, envolvendo uma função
incógnita 𝑦 = 𝑦(𝑥) e suas derivadas ou suas diferenciais. 𝑥 é a variável
independente, 𝑦 é a variável dependente e o símbolo 𝑦 (𝑘) denota a derivada
de ordem 𝑘 da função 𝑦 = 𝑦(𝑥). (SODRÉ, 2003, p.1).
Referente a isso, o autor denota a ideia de que uma equação é denominada ordinária
em função de certo expoente de indicação derivável de (𝑦) que essa equação explicitar, por
exemplo, se o maior expoente de indicação derivável de uma equação for dois, como mostra o
esquema (1.1), então essa equação diferencial será de segunda ordem.
𝑦 ′′ + 16𝑦 = 0
(1.1)
“Uma relação funcional entre as variáveis dependente 𝑦 e independente 𝑥, num certo
intervalo I, que verifique a equação diferencial, chama-se solução da equação diferencial.”
(MINHÓS, 2009, p.8). As soluções de uma equação diferencial podem ser dadas de forma
explícita, quando ela obedece à forma: (𝑦 = 𝑓(𝑥)), e de forma implícita, quando “dizemos
que uma relação 𝐺(𝑥, 𝑦) = 0 é uma solução implícita de uma equação diferencial ordinária em
um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I” (ZILL e CULLEN, 2001,
p.6).
Para encontrar as soluções de equações diferenciais, é necessário encontrar equações
que satisfazem igualmente a essa equação dada à resolução. Sodré (2003) aponta que
11
Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz
identicamente à equação. A solução mais geral possível que admite uma
equação diferencial é denominada solução geral, enquanto que outra solução
é chamada uma solução particular. (SODRÉ, 2003, p.3-4)
Antes de quaisquer exames de possíveis soluções de uma equação diferencial
ordinária, é interessante analisar três perguntas, que Sodré (2003) considera importantes: (a)
apresentada uma equação diferencial ordinária, será que existe solução para ela? (b) se existir
uma solução, será que essa solução é única? (c) se existir uma condição especial, será que
essa solução a satisfaz?
Diante dessas perguntas, para respondê-las faz-se necessário utilizar de um teorema
chamado de Teorema de Existência e Unicidade de solução, que consiste em verificar, através
de demonstrações, se realmente, uma determinada equação diferencial ordinária dada existe
solução, e se existir, se ela é única.
Ainda, para o caso de soluções de uma equação diferencial ordinária, nota-se que se
ela obedece a alguns critérios estabelecidos, ou o que se pode chamar de condições adicionais,
segundo Sodré (2003), designa-se um problema de valor inicial, onde se podem obter
soluções particulares, dada essa condição, ou se não, designar uma solução geral pra essa
equação.
1.2 – Ordens e graus de uma equação diferencial
Como foi visto anteriormente, algumas são as características observadas para se
designar a ordem de uma equação diferencial ordinária. Para isso, deve-se observar
características estruturais dessa equação para que se possa classificar a ordem a qual ela
pertence. Sobre isso, Sodré (2003, p.1) apresenta
A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função
incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada
mais alta da equação, quando a equação tem a “forma” de um polinômio na
função incógnita e em suas derivadas.
12
Em outras palavras, para se designar a ordem de uma equação diferencial basta
observar qual a maior indicação diferençável de (y) e para designar grau, observa-se o
expoente maior da equação de índice diferençável maior, como mostra o esquema (1.2):
(𝑦”)3 + 3 (𝑦´)10 + 6y = tan(x) → tem ordem 2 e grau 3.
(1.2)
1.2.1 – Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
Diz-se equação diferencial de primeira ordem, toda equação que possui o índice de
derivação um, como seguem o esquema (1.3), ou quando a função f = f(x,y) pode ser transcrita
𝑑𝑦
na razão do esquema (1.4) e aproveitando o fato de 𝑑𝑥 =𝑦 ′(𝑥)𝑑𝑥, poder ser organizada como
no esquema (1.5)
𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦′ =
𝑀(𝑥,𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
(1.3)
(1.4)
(1.5)
Diante dessa equação apresentada, certo método listado para resolução delas, sendo a
primeira denotada utilizando a separação de variáveis, que consiste em fazer com que cada
membro da igualdade dependa das mesmas variáveis, ou seja, tomemos 𝑀(𝑥. 𝑦) + 𝑁 (𝑥, 𝑦) =
0, serão separáveis, se por exemplo, M for dependente somente da variável x e N for
dependente somente da variável y, podendo serem escritas na forma do esquema (1.6).
𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 0
(1.6)
Logo após fazer a separação de variáveis, utiliza-se o método de integração para
encontrar as possíveis equações soluções que satisfazem as condições da equação diferencial
dada.
Conseguinte a isso, se uma condição inicial for dada, como já dito anteriormente,
resulta num elenco de soluções particulares para a equação dada, denominando um problema
de valor inicial (PVI).
13
Algumas equações diferenciais de primeira ordem são tidas como homogêneas, se
obedecerem aos critérios de uma função homogênea, que Zill e Cullen (2001) definem como
sendo uma função que satisfaz: 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡 𝑘 𝑓 (𝑥, 𝑦), para 𝑡 ∈ ℝ e para algum número
real n, então dizemos que uma função é homogênea de grau n. Ainda sobre isso, Sodré (2003,
p.11)
Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial
é constatar que todos os monômios da função possuem o mesmo grau. No
caso de uma função racional (quociente de polinômios), os membros do
numerador devem ter um mesmo grau m e os membros do denominador
devem também um mesmo grau n, sendo que o grau da expressão do
denominador pode ser menor ou igual que o grau da expressão do
numerador.
Essa consideração apresentada pelo autor facilita na constatação da veracidade de uma
suposta equação diferencial de primeira ordem homogênea, como mostra o esquema (1.7)
𝑦′ =
𝑥 2 +𝑦 2
𝑥𝑦
𝑥2
y′ = 𝑦2
(1.7)
Em contrapartida a equação homogênea, existem também a equação diferencial exata,
que dada uma equação 𝑀(𝑥. 𝑦) + 𝑁 (𝑥, 𝑦) = 0, será exata se existir uma função 𝐹 = 𝐹(𝑋, 𝑌),
cuja diferencial exata 𝑑𝐹 = 𝐹𝑥 dx + 𝐹𝑦 dy coincide com 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 = 0.
Outro método também decorrente de se investigar as soluções de uma equação
diferencial de primeira ordem é a simplificação da mesma, que consiste no método de dividir
todos os termos da equação por uma função que simplifique o coeficiente da notação
derivável, como mostra o esquema (1.8)
𝑎0 (x)𝑦′ + 𝑎1 (x)y = b(x)
𝑦 ′ + p(x)y = q(x)
(1.8)
1.2.2 – Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem
Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação da forma a(x) y” +
b(x) y’ + c(x) y = d(x), onde a = a(x), b = b(x), c = c(x) e d = d(x) são funções conhecidas somente da
variável independente x.
14
Assim como, para se obter a identificação de uma equação diferencial de primeira
ordem, para identificar uma equação de segunda ordem, basta também que o maior indicativo
de derivação dessa equação seja dois como mostra o esquema (1.9)
(1.9)
Não existem casos específicos de resolução das equações lineares de segunda ordem,
visto que seja necessário utilizar de métodos de cálculos já conhecidos ou teoremas para se
encontrar soluções gerais ou particulares para essas equações.
Bem como as equações de primeira ordem que pode ser homogêneas, existem também
as equações diferenciais lineares de segunda ordem, homogêneas ou não homogêneas, que
consistem em se d = d(x) for igual a zero, logo essa equação será homogênea e se d = d(x) for
diferente de zero, essa equação será tida como não homogênea.
É importante ressaltar sobre a homogeneidade neste caso, onde a equação é linear e de
segunda ordem, com a do caso de homogêneas de primeira ordem com relação a funções
homogêneas onde o grau das equações é zero.
1.3 – Equações Diferenciais lineares e não lineares
Assim como visto anteriormente, equações diferenciais lineares são aquelas equações
que obedecem as estruturas de uma função linear, onde o maior grau da função estudada é
zero, como demonstra no esquema (1.10):
𝑎0 (x)𝑦′ + 𝑎1 (x)y = b(x)
(1.10)
Para resolução dessas equações usemos alguns teoremas que nos auxiliarão nessa
procura de soluções:
1.3.1 – Primeiro Teorema do valor médio para integrais
15
Se f = f(x) é uma função limitada sobre um intervalo compacto [a, b] tal que existem n
∈ R e N ∈ R tal que n ≤ f(x) ≤ N para todo x ∈ [a, b], então:
𝑛 ≤
𝑏
1
∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑 (𝑥 ) ≤ 𝑁
𝑏−𝑎 𝑎
1.3.2 – Segundo Teorema do valor médio para integrais
Se f = f(x) é uma função contínua sobre um intervalo compacto [a, b], então existe r ∈
[a, b] tal que
𝑓(𝑟) =
𝑏
1
∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑 (𝑥 )
𝑏−𝑎 𝑎
Teorema: Se f = f(x) é uma função limitada sobre [a, b] e contínua no ponto x ∈ (a, b), então
1 – a função definida por
𝑥
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓 (𝑡)𝑑 (𝑡)
𝑎
é diferenciável e além disso 𝐹 ′ (𝑥 ) = 𝐹(𝑥).
2 – a função f = f(x) é integrável sobre [a, b]
Outro método também eficaz na resolução desse tipo de equação, segundo Sodré
(2003) é o método por fator de integração que consiste em multiplicar todos os termos da
igualdade por um fator função 𝜇 = 𝜇 (𝑥), como demonstrado a seguir:
y’(x) + p(x) y = q(x), multiplicando os termos pelo fator de integração temos:
y’(x) 𝜇 (𝑥) + p(x) 𝜇 (𝑥) y(x) = q(x) 𝜇 (𝑥), de modo que o termo na posição esquerda seja a
derivação de y(x) 𝜇 (𝑥), ou seja,
𝑑
[y(x)𝜇 (𝑥 )] = y’(x) + y(x)p(x) 𝜇 (𝑥)
𝑑 (𝑥 )
Conseguinte a isso, basta encontrar o fator integrante que é dado por
𝜇 (𝑥 ) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑(𝑥 )
16
donde, a veracidade da solução da equação diferencial dada, e a consequência da igualdade:
𝜇 (𝑥 ) y´(x) + 𝜇 ′(𝑥 ) y(x) = 𝜇 (𝑥 ) y´(x) + 𝜇 (𝑥 )p(x) y(x)
1.3.3 – Equações não lineares de primeira ordem redutíveis a lineares
Segundo Sodré (2003), as equações não lineares, que são as que não obedecem a
estrutura das lineares apresentadas, possuem certo grau de dificuldade para se encontrar a
soluções dessas equações, sendo assim possível transformar algumas que não são lineares, por
meios de definições e cálculos, para uma equação que seja linear. Como exemplo disse, temos
a equação de Bernoulli, tomaremos como base, e a equação de Riccati.
A equação de Bernoulli é da forma: [𝑦 ′ + 𝜑(𝑥 )𝑦 = 𝜎 (𝑥 )𝑦 𝑛 ], donde segue que 𝜑 =
𝜑(𝑥 ) 𝑒 𝜎 = 𝜎 (𝑥 ) são funções que designam continuidade sobre um determinado intervalo. A
intenção agora, será encontrar uma maneira de substituição arranjável e aceitável, de modo
que essa equação não linear se torne uma equação linear.
Primeiramente, o autor sugere que dividamos todos os membros dessa equação por 𝑦 𝑛 ,
para assim obter: [𝑦 −𝑛 𝑦 ′ + 𝜑(𝑥 )𝑦 1−𝑛 = 𝜎(𝑥 )], seguinte a isso, multiplicamos a equação
obtida por (1 − 𝑛): [(1 − 𝑛)𝑦 −𝑛 𝑦 ′ + (1 − 𝑛)𝜑(𝑥 )𝑦1−𝑛 = (1 − 𝑛)𝜎 (𝑥 )], tomemos, 𝑧 =
𝑦 1−𝑛
e derivamos esse em relação a x:[𝑧 ′ = (1 − 𝑛) 𝑦 −𝑛 𝑦′], fazendo as devidas
substituições, temos: 𝑧 ′ + (1 − 𝑛)𝜑(𝑥 )𝑧 = (1 − 𝑛) 𝜎 (𝑥 ), que é a equação diferencial da
forma y’(x) + p(x) y = q(x).
Para se chegar a solução da Equação de Bernoulli, a partir de agora, aplicação do
método de fator de integração, que chegará à equação resultante: 𝑦(𝑥 ) =
1
𝑒 𝑥 (𝐾−𝑥)
, donde K é
uma constante de integração.
1.4 – Equações diferenciais com coeficientes constantes
Até agora fizemos uma exposição de equações diferencias de forma a não dar ressalto
a questão dos coeficientes. Nesse, faremos breve introdução sobre esses coeficientes, de modo
que nos levará a achar soluções para essa em detrimento deles.
Sodré (2003) afirma que
17
Como toda função constante real é contínua, então, dentre as equações
diferenciais lineares, existe um grupo de equações muito importante que é
formado pelas equações cujas funções coeficientes de y, y’ e y” são
constantes e neste caso, escrevemos simplesmente: L(y) ≡ a y” + b y’ + c y
= d(x). (SODRÉ, 2003, p.25).
Como procura de solução a essa, que não é uma equação homogênea, tomemos a
solução geral 𝑦ℎ = 𝑦ℎ (𝑥) da equação 𝐿(𝑦) ≡ 𝑎𝑦 " + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0, que é uma homogênea
associada. Sendo assim, a partir dessa tomada de ideia, optar pelos métodos de resolução de uma
equação diferencial linear homogênea.
Para resolver a equação homogênea com coeficientes constantes, devemos obter a
equação característica associada à mesma, dada por: 𝑎 𝑡 2 + 𝑏 𝑡 + 𝑐 = 0.
Obter as raízes da equação característica equivale a obter os autovalores do operador
diferencial linear: 𝐿 = 𝑎 𝐷 2 + 𝑏 𝐷 + 𝑐 𝐼
Como a equação característica é uma equação do segundo grau, ela possui exatamente
duas raízes no conjunto dos números complexos.
Detalhando um pouco mais, observamos que quando os valores de a, b e c são reais,
existem três possibilidades para a obtenção das raízes:
1.4.1 – Duas raízes reais e distintas
“Se r e s são raízes reais e distintas as duas autofunções (auto vetores) associadas a
estes autovalores em relação ao operador L, formam o conjunto: {𝑒 𝑟𝑥 , 𝑒 𝑠𝑥 }.” (SODRÉ, 2003,
p.26).
1.4.2 – Duas raízes reais e iguais
“Se r é um autovalor real (multiplicidade 2), as duas autofunções (auto vetores)
associadas a estes autovalores em relação ao operador L, formam o conjunto: {𝑒 𝑟𝑥 , 𝑥𝑒 𝑟𝑥 }.”
(SODRÉ, 2003, p.26).
1.4.3 – Duas raízes complexas conjugadas
“Se r e s são raízes complexos conjugadas, digamos𝑟 = 𝑎 + 𝑖𝑏 e 𝑠 = 𝑎 − 𝑖𝑏, as duas
autofunções (auto vetores) associadas a estes autovalores em relação ao operador L, formam o
conjunto: {𝑒 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥), 𝑒 𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)}.” (SODRÉ, 2003, p.26)
18
Dessa forma, demonstra-se que, o conjunto de formação por quaisquer pares de
funções notadas nas três situações acima é linearmente independente (LI) no espaço vetorial
de todas as funções que pertencem ao conjunto dos números reais, sobre o corpo dos números
reais. Em suma, toda combinação linear destas funções também será solução da equação
diferencial linear: 𝑎𝑦 " + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0.
“Se {y1, y2} é qualquer um dos conjuntos acima citados, a solução geral da equação
diferencial linear homogênea de segunda ordem será dada por: 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 .” (SODRÉ,
2003, p.27).
1.5 – Equações diferenciais em modelagens matemáticas com aplicações Físicas
As equações diferenciais estudadas, de forma introdutória, nos cursos de Licenciatura
em Matemática, tem vital importância na modelagem de fenômenos na Física, como afirma
Negrini (2000) dizendo que
As equações diferenciais estudadas rapidamente no curso de matemática são
uma poderosa ferramenta de cálculo e têm aplicações em praticamente todas
as áreas da física, descrevem mesmo que aproximadamente a maioria dos
fenômenos físicos existentes[...]. (NEGRINI, 2000, p.1).
Logo, para se apresentar um estudo sobre alguns oscilantes mecânicos e elétricos se
farão necessário entender alguns conceitos estruturais e solucionáveis de equações
diferenciais, que neste casão serão lineares e de abordagem com coeficientes constantes. Para
tal feito, ainda sob a visão de Negrini (2000), tomaremos equações diferenciais de segunda
ordem, relevando que muitos das modelagens matemáticas para explicação de fenômenos
físicos chegam do máximo a essa ordem.
Ressaltando a importância dessas equações diferenciais no estudo das leis da física,
como por exemplo, as Leis de Newton, Cunha (2012) nos traz algumas das leis de Newton,
expondo as seguintes formas, as três principais leis desse físico
A 1ª lei diz que o movimento não pode ser definido só por si, em absoluto,
mas sim sempre em relação ao movimento do observador. Que a velocidade
de um corpo livre se mantém, pois que haverá um observador para o qual
esse corpo está em repouso e assim permanecerá. (CUNHA, 2012, p.5).
19
Em outras palavras, o autor afirma sobre a primeira lei de Newton a condição inercial
de um corpo, onde de acordo com um observador experimental, esse corpo, se estiver em
repouso, continuará em repouso se não houver nenhuma força de ação sobre ele.
A 2ª lei traduz formalmente a relação causal causa-efeito: - se agirmos, com
uma força sobre um corpo, alteramos a sua velocidade. É uma relação entre
as causas (as forças) e o efeito (a aceleração) em cada partícula de matéria
[...]. (CUNHA, 2012, p.5).
Com base na 2ª lei de Newton, o autor considera a condição ação e reação de um
corpo que antes estava sobre efeito inercial de repouso, isto é, quando se aplicada uma força
sobre esse corpo em repouso, como reação a isso, esse corpo sairá do repouso e iniciará um
processo de aceleração, sendo esse o efeito ou consequência do deslocamento de matéria
provocada pela força inicial.
Como ilustração, tomemos o esquema (1.11), que representa a situação descrita na
segunda lei de Newton:
Efeitos = ∑ 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑠
→
𝑎⃗ =
∑ 𝐹⃗
𝑚
(1.11)
Em palavras, sobre a visão de autor Cunha (2012), um conjunto de efeitos sobre um
determinado corpo, que ao mesmo tempo são um conjunto de causas, levam a uma aceleração
(𝑎⃗) desse corpo, que, sob causa, é a razão entre a força (𝐹⃗ ) aplicada e a massa (𝑚) do corpo
em questão.
Ainda em pauta, a terceira lei de Newton, o autor considera dizendo que
A 3ª lei é mais sutil; representa a nossa experiência concreta de que um
corpo não age sobre si próprio, interage com a sua vizinhança. Traduz a
constatação de que não há auto-acções, apenas interações. Ora, esta
contração do termo inter-acção pressupõe a existência de uma ação repartida
entre dois entes. Um ente não age sobre o outro, interage com ele. Se a acção
se traduzir numa força, ~F, isso significa que, no acto da inter-acção, se fará
sentir essa acção (ou força) em cada um dos intervenientes. Porém, a acção
será simétrica num e no outro. Se resultar da inter-acção uma força, ~F,
sobre o ente A, então resultará certamente uma força −~F sobre o ente B (ver
fig.1.1). Costuma-se dizer que as forças existem sempre em pares acçãoreaccão. (CUNHA, 2012, p.06).
20
Para entendermos melhor o autor, vejamos a ilustração da Figura 1:
Figura 1: Forças de interação entre dois corpos
Fonte: (CUNHA, 2012, p. 6)
Portanto, a terceira lei de Newton é basicamente a modelagem que explica sobre a
interdependência de dois corpos que não tem ação sobre si mesmo, mas sim há uma interação
entres esses dois corpos, resultantes de forças aplicadas neles, que também resultará em novas
forças, como reação as forças aplicadas inicialmente.
Em ressalto, devemos tomar a seguinte consideração do autor, que retoma sobre que a
aceleração de um corpo, originada pela aplicação de forças sobre ele, como sendo a derivada,
em tempo, da velocidade, assim traduzida por Newton, como equação diferencial de segunda
ordem.
21
CAPÍTULO 2 SISTEMAS OSCILANTES MECÂNICOS SIMPLES
2.1 – Osciladores harmônicos livres
A Física Clássica e Moderna contribuiu muito para análise de algumas modelagens
matemáticas de fenômenos que se apresentavam no cotidiano e, as Leis de Newton, também
chamadas de leis Newtonianas, foram as bases para que algumas conclusões fossem obtidas.
Para este estudo, tomaremos algumas de suas leis e analisaremos alguns sistemas oscilantes.
Em geral os osciladores não existem isolados, interagem com outros osciladores,
principalmente se eles fizerem parte de um sistema que contenha vários deles. Cada oscilador
tem a sua equação de movimento, que não é independente das equações do restante dos
osciladores vizinhos, com os quais interage. Essas equações serão por hipótese todas lineares.
Assim, em princípio deve ser possível combinar as equações de movimento e construir novas
coordenadas que sejam combinação linear das coordenadas originais, e satisfaçam equações
diferenciais desacopladas.
Tais coordenadas são chamadas de coordenadas normais. Associado a cada uma
dessas coordenadas deve existir um modo de vibração que deve ser independente dos
restantes, pois que nessas coordenadas as equações são independentes umas das outras (estão
desacopladas). Ou seja, deve haver um modo de vibração por cada uma das coordenadas
normais.
Ainda sobre considerações do oscilador harmônico, Ávila (2012) afirma que
Um bloco de massa m preso a uma mola ideal de constante elástica k
(positiva) é um bom exemplo de oscilador harmônico simples. Quando
comprimida ou esticada, a mola exerce uma força no bloco, dada pela
equação [...] no sentindo contrário ao deslocamento sempre puxando o bloco
para a posição de equilíbrio. (ÁVILA, 2012, p.15).
Tomaremos primeiro, o sistema corpo-mola sem a massa com peso, considerando que
nessa mola, sua massa específica seja desprezível e que possui uma constante de elasticidade
igual a K. Ela será presa a uma superfície que denominaremos de ponto fixo. Sobre isso
Cunha (2012, p.14) considera que “A mola representa aqui um sistema elástico linear,
caracterizado por ter uma força de interação diretamente proporcional a perturbação a que o
sistema for sujeito.” Noutras palavras, ao se aplicar uma força que deforme essa mola que
22
resultará em um comprimento, de sua posição sem aplicação força 𝑑0 , logo teremos uma
variação 𝑥 = 𝑑 − 𝑑0 , que denominaremos de perturbação da mola, como mostra a Figura (2):
Figura 2: Movimento suspenso de uma mola vertical sem massa
Fonte: (CUNHA, 2012, p.15)
Quando este sistema é retirado da posição de equilíbrio, surge uma força restauradora que
tenta trazê-lo de volta a situação inicial. Se puxarmos o bloco e em seguida soltarmos, o sistema
oscilará em torno da posição de equilíbrio. Este sistema oscilante chama-se Oscilador Harmônico
Simples (OHS), que manterá uma amplitude constante, se não levarmos em consideração os
efeitos causados pelas forças de atrito.
Como esse sistema trata-se de um sistema linear elástico, então vale dizer que o vetor
da força aplica, é o resultando do produto da constante de elasticidade da mola pela variação
de perturbação dela, traduzida na fórmula: 𝐹⃗ = −𝐾𝑥⃗, e como não há atrito, observa-se a lei
de Newton 𝑃⃗⃗ + 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗, onde, por estar em uma vertical, há a ação da força peso 𝑃⃗⃗ .
Desenvolvendo a lei de Newton de forma análoga e explícita chegamos a 𝛿 2 + 𝜑 2 𝑥 =
𝑔, para 𝜑 = √𝐾 ⁄𝑚, assumindo como solução, a equação 𝑥 = 𝑥𝐺 +𝑥𝑃 , com 𝑥𝐺 solução geral
dessa equação e 𝑥𝑃 = (𝛿 2 + 𝜑 2 )−1 𝑔 como solução particular dela.
Fazendo as devidas substituições obtidas das soluções da equação, obtemos a seguinte
estrutura solucionável para o sistema em questão, como mostra o esquema (3.1):
𝑥=
𝑚𝑔
𝐾
+ 𝑥0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
(2.1)
Concluímos então que o ponto de equilíbrio do sistema corpo-mola é a equação que
designa o ponto
mg
K
(ver Figura 3):
23
Figura 3: Oscilação do corpo suspenso da mola, na vertical.
Fonte: (CUNHA, 2012, p.16)
2.2 – Energia do oscilador linear
Para fazermos o estudo da energia de um oscilador linear, tomemos um oscilador sem
atrito e livre, com uma força 𝐹⃗ exercida pela mola num corpo de massa 𝑚, onde ocorre uma
variação de energia cinética da forma 𝑑𝑇 = 𝐹⃗ × 𝑑𝑙⃗, como mostra a Figura 4:
Figura 4: Oscilador simples sem atrito
Fonte: (CUNHA, 2012, p.16)
Considerando uma força sendo aumentada na mesma direção do movimento e sabendo
que 𝐹⃗ =
𝑑𝑃⃗⃗
𝑑𝑡
⃗⃗
𝑑𝑣
e 𝑑𝑙⃗ = 𝑣⃗𝑑𝑡, substituindo na forma ∆𝑇 = 𝐹⃗ . 𝑑𝑙⃗, que resulta em ∆𝑇 = 𝑑𝑡 . 𝑑𝑙⃗ =
𝑚𝑣⃗ . 𝑑𝑣⃗, como mostra a Figura 5:
24
Figura 5: A energia cinética e potencial do oscilador em função de
amplitude de oscilação.
Fonte: (CUNHA, 2012, p. 16)
Logo, por análise dos comportamentos da mora em detrimento de forças, define-se
uma energia potencial elastica, isto é, uma energia em potencia que circula no sistema de
forma armazenada que será evidencia pela interação dessa mola, através da força elástica,
com os outros componentes desse sistema dada pelo esquema (2.2).
𝑣
𝑇 = ∫0 𝑚𝑣𝑑𝑣 =
𝑚𝑣 2
2
(2.2)
Em sobressalto a isso, a energia potencial elástica transfere a energia do sistema, como
um todo, para os movimentos do corpo da mola, considerando que não há atrito nesse sistema.
Sobre isso vale a igualdade da equação −𝑑𝑉 = 𝐹⃗ × 𝑑𝑙⃗.
Sobre isso ainda temos, 𝑑 (𝑇 + 𝑉 ) = 0 ou Emec = T +V = constante e 𝐹⃗ = −𝐾𝑥⃗, no
modo que a variação da energia potencial seja ∆𝑉 = 𝐾𝑥⃗ · 𝑑𝑥⃗, onde 𝑑𝑥⃗ é a perturbação
desse sistema no ponto de equilíbrio, fazemos:
𝑥
𝑉 (𝑥 ) − 𝑉(0) = ∫0 𝐾 𝑥⃗ . 𝑑𝑥⃗ =
𝐾𝑥 2
2
(2.3)
Segundo Cunha (2012), é frequente fazer V(0) = 0, pela energia estar relativamente
liga ao ponto de equilíbrio, logo 𝑉(𝑥 ) =
𝐾𝑥 2
2
.
Através de análises, percebemos que a energia potencial elástica é menor no ponto de
equilíbrio do sistema, crescendo, quando se afasta de posicionamento, num desenho
parabólico (ver Figura 6). Com isso, Cunha (2012) afirma que.
25
As posições de equilíbrio do oscilador não perturbado podem, pois ser
definidas como os pontos que correspondem a mínimos da energia potencial.
Este conceito é sobremaneira importante para a análise de sistemas
complexos. De fato, um sistema se for perturbado oscilará em geral em torno
do mínimo de energia em que se encontre e a que corresponde uma certa
posição de equilíbrio estável. (CUNHA, 2012, p.17).
Figura 6: Energia potencial típica de um sistema ligado
Fonte: (CUNHA, 2012, p.18)
2.3 – Oscilador linear amortecido
Quando se estuda osciladores harmônicos, desconsidera os atritos do sistema e releva
um movimento contínuo desse sistema. Na realidade isso não acontece, pois no sistema
massa-mola, o corpo da mola perde energia até voltar ao seu estado de repouso original. De
acordo com Ávila (2012), isso acontece pelo processo de interação do sistema com o meio
que ele está inserido, causando o retardo gradual dos movimentos da mola até chegar repouso
antes da perturbação. Decorrente a esse processo de retardo dos movimentos do sistema por
motivo da interação dos atritos, denominaremos movimento harmônico amortecido (MHA).
Experimentalmente, Robert Hooke verificou que a mola quando comprimida ou
distendida por um agente externo produz uma força sobre esse agente, essa força é
oposta ao sentido da deformação, quando a mola é comprimida, ela empurra o
agente, e quando esticada ela puxa, o que significa que a mola tende a retornar ao
26
seu comprimento natural I. Forças deste tipo são chamadas forças restauradoras.
Ele percebeu que se a deformação não fosse muito grande (se for muito esticada ou
comprimida ela pode perder a elasticidade), a força 𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 exercida pela mola seria
proporcional a deformação (x - L), que também é chamada elongação. (NEGRINI,
2000, p.3-4).
Figura 7: Oscilador amortecido
Fonte: (CUNHA, 2012, p.20)
Segundo Cunha (2012), um oscilador é linear se for originada uma perturbação, que
resulta numa proporcionalidade de forças que tendem a retornar o oscilador a posição inicial,
pelo mesmo trajeto da perturbação. Reforçado essa ideia, Cunha (2012), ainda coloca que.
Um oscilador é linear se uma perturbação, x, em relação a posição de
equilíbrio der como resposta uma força de retorno a essa posição diretamente
proporcional à perturbação, i.e. se 𝐹⃗ = −K𝑥⃗. Esta forca é a força elástica,
sendo K a constante elástica do sistema. Esta é no essencial a lei de
Hooke.(CUNHA, 2012, p.20)
Sobre a lei de Hooke, e a descrição desses movimentos e forças, considerando que a
mola saiu de seu repouso e a força elástica da mola, num sistema viscoso, temos: ⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑎 = −𝛾𝑣⃗,
onde 𝛾 é a constante da equação e 𝑣⃗ é a variação da velocidade e tem sinal negativo
considerando a força que a mole exerce contrário o movimento de perturbação dela.
A segunda lei de Newton descreve 𝑚𝑥 " = 𝐹⃗ 𝑎 + 𝐹⃗ = −𝛾𝑥 ′ − 𝐾𝑥⃗,
para 𝑥⃗ = 𝑥𝑖̂,
𝑥 ′ = 𝑥 ′𝑖̂ e 𝑥 " = 𝑥 " 𝑖̂, isto é,
𝒙" +
𝜸
𝒎
𝒙′ +
𝑲
𝒎
𝒙=𝟎
(2.4)
Simplificando essa equação e achando suas raízes, teremos a frequência de oscilação,
𝑘
𝛾
donde 𝜔02 = 𝑚 e 𝛿 = 𝑚, conforme Figura 8:
27
Figura 8: Comportamento do oscilador amortecido sujeito a um sistema viscoso.
Fonte: (CUNHA, 2012, p.22)
2.4 – Oscilador harmônico forçado
Nos tópicos anteriores, considerando no primeiro, um movimento uniforme da mola
sem atrito, já no segundo, considere o movimento da mola com interação a atritos e agentes
externos e internos ao sistema (MHA) e falemos agora do movimento harmônico forçado
(MHF). Ver Figura 9:
Figura 9: Comportamento de um oscilador forçado em função do tempo.
Fonte: (CUNHA, 2012, p.24)
Agora, consideremos uma mola sob as mesmas condições físicas anteriores com um
bloco de massa m preso a sua extremidade, com um movimento sob atrito 𝐹𝑎 = 𝜎 − 𝑣, e um
28
corpo é movimentado sob uma força 𝐹 (𝑡) = 𝐹0 + 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡, onde 𝜔 é a frequência da ação
externa constante, e ainda está sobre a ação das forças elástica, de atrito e da força
solicitadora. Daí segue a segunda lei de Newton:
𝒙" +
𝜸
𝒙′ +
𝒎
𝑲
𝒙=
𝒎
𝑭𝟎
𝒎
𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
(2.5)
Fazendo algumas articulações algébricas e simplificações dessa lei, de acordo com
algumas concepções de equações diferenciais, notamos que a solução geral pra ela se recai
sobre 𝑥 = 𝑥𝑔 + 𝑥𝑝 , donde se chega.
𝛽
𝑥 (𝑡) = 𝑒 −2 𝑡 (𝐴𝑒 𝜂𝑡 + 𝐵𝑒 −𝜂𝑡 ) + 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜑)
(2.6)
para β= 𝛾/𝑚 e η = √𝛽2 − 4𝜔02 .
A solução do oscilador forçado é assim constituída por duas partes. A 1ª
parcela representa o comportamento transitório, que tende exponencialmente
para zero e rapidamente se extingue. A 2ª parcela representa o regime
estacionário. Decorrido tempo suficiente, o sistema oscila com a frequência
do oscilador exterior de modo permanente, enquanto essa ação persistir.
(CUNHA, 2012, p.24). Conforme Figura 10
Figura 10: Amplitude de um oscilador forçado em função da frequência da
ação externa
Fonte: (CUNHA, 2012, p.25)
2.5 – Ressonância
29
Em si tratando de amplitudes de oscilação, é dado que quando o crescimento dessa
atitude varia em uma determinada frequência no sistema, origina-se o fenômeno da
ressonância. Tudo isso decorrente da variação da potência que é transferida para o objeto
oscilador. Para efeito, define-se potência pela seguinte fórmula, no esquema (2.7):
𝑃=
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=
𝐹⃗.𝑑𝑙⃗
𝑑𝑡
= 𝐹⃗ . 𝑥 ′ = 𝐹0 𝑥 ′ cos 𝜔𝑡
(2.7)
Em outras palavras, a potência é dada pela derivação da frequência em função de
tempo. Conforme Figura 11.
Figura 11: Curvas de ressonâncias observadas em sistemas físicos.
Fonte: (CUNHA, 2012, p.26)
Sabe-se que todo esse sistema se comporta no regime estacionário, onde as seguintes
equações equivalem:
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜑)
𝑥 ′ = 𝐴 sen(𝜔𝑡 − 𝜑)
(2.8)
Fazendo as devidas substituições na forma da potência, temos:
< 𝑷 > = −𝑭𝟎 𝑨𝝎(𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 − 𝝋))
= −𝑭𝟎 𝑨𝝎(𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)(𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕)𝒄𝒐𝒔𝝋 − 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)𝒔𝒆𝒏𝝋))
= 𝑭𝟎 𝑨𝝎[𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝝎𝒕)𝒔𝒆𝒏𝝋)] + 𝟎
(2.9)
30
Sabe-se que < P > é as frequências das vizinhas de 𝜔0 , 𝜔 ~ 𝜔0 , sendo pequeno não
estando nessa área. Mas, na zona em que < P > é significativo, 𝜔02 − 𝜔0 = (𝜔0 + 𝜔)(𝜔0 −
𝜔) ≈ 2𝜔0 (𝜔0 − 𝜔), e dessa forma:
<𝑷>≈
𝑭𝟐𝟎 𝜷
𝟖𝒎
∗
𝟏
𝜷𝟐
𝟒
(𝝎𝟎 −𝝎)𝟐 +
(2.10)
Ávila (2012) considera a seguinte forma pra investigação de ressonância num
determinado sistema num regime Estácio quando o oscilador tende a amortecer-se
𝑑𝐴
forçadamente: (𝑑𝜔)
𝜔=𝜔𝑅
= 0, donde, manipulando algebricamente obtém 𝜔𝑅 = √𝜔02 − 2𝛾 2 ,
resaltando que para haver ressonância 2𝛾 2 ≤ 𝜔02 . Ainda propõe que em um amortecimento
fraco, a ressonância não acontecerá, a não ser que seja em partes infinitesimalmente pequenas,
como demonstrado na figura 12:
Figura 12: amplitude versus frequência de um oscilador amortecido
forçado
Fonte: (ÁVILA, 2012, p.24)
31
CAPÍTULO 3 OSCILADORES ACOPLADOS
3.1 – Oscilações acopladas e modos normais
Os sistemas naturais não são isolados, mas interagem entre si. Em particular, se dois
ou mais sistemas capazes de oscilar tiverem algum tipo de interação, ou acoplamento, entre si,
uma grande variedade de fenômenos interessantes podem ocorrer.
Observem no que falamos acima de sistemas naturais acoplados e não somente de
sistemas físicos. Isto porque há muitos casos em química, biologia, sociologia, etc. Em que o
acoplamento entre sistemas que oscilam possui consequências observáveis importantes.
Muitos desses fenômenos que não envolvem sistemas físicos são atualmente estudados
utilizando-se técnicas da física e da matemática. Vamos começar considerando o caso mais
simples em que pode acontecer acoplamento entre osciladores, a saber, o de apenas dois
osciladores acoplados.
Considerando o caso de dois pêndulos idênticos, A e B, unidos por uma mola cujo
comprimento d no repouso é exatamente igual à distância de equilíbrio entre os corpos de
massa m nos dois pêndulos. A Figura 13, abaixo ilustra a situação.
Figura 13: Oscilador em estado de equilíbrio.
Os dois pêndulos, se estivessem livres, teriam a mesma frequência angular de
oscilação dada por:
32
𝑔
𝜔0 = √ 𝑙
(3.1)
Chamemos de 𝑥𝐴 𝑒 𝑥𝐵 os deslocamentos dos dois corpos de massa m em relação às
suas respectivas posições de equilíbrio onde pode-se supor que esses deslocamentos são
suficientemente pequenos para que se possa fazer as aproximações.
𝑥𝐴 ≈ 𝑙𝜃𝐴 e 𝑥𝐵 ≈ 𝑙𝜃𝐵 ,
(3.2)
Onde 𝑞𝐴 e 𝑞𝐵 são os ângulos de desvio (veja a figura 14 abaixo).
Figura 14: Oscilador harmônico em deslocamento.
Em um instante arbitrário, em que a posição do corpo A é 𝑥𝐴 e a posição do corpo B
é 𝑥𝐵 , o comprimento da mola é d + (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ). Portanto, a deformação da mola é dada por
(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ).
Em um caso em que (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ) > 0, como na figura, a mola está esticada e produz uma
força –k (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ) (para a esquerda) sobre o corpo A e uma força de mesmo módulo e sentido
contrário, k (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ) (para a direita), sobre o corpo B. Em um caso em que (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ) <0, a
mola está comprimida e produz uma força −k(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ) > 0 (para a direita) sobre o corpo A e
uma força de mesmo módulo e sentido contrário, k(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ) < 0 (para a esquerda), sobre o
corpo B.
Note que nos dois casos a força feita pela mola sobre o corpo A é escrita como:
𝐹𝑀𝐴 = −𝐾(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)
(3.3)
𝐹𝑀𝐵 = 𝐾(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 )
(3.4)
33
Além dessas forças, os dois corpos estão sujeitos às tensões exercidas pelos fios e à
força gravitacional. Os componentes radiais das forças gravitacionais se cancelam com as
tensões, mas os componentes tangenciais das forças gravitacionais constituem forças
restauradoras sobre os corpos (que sempre tendem a levá-los de volta à posição de equilíbrio).
Elas são dadas por
A: 𝐹𝐺𝐴 = −mgsen𝜃𝐴
B: 𝐹𝐺𝐵 = −mgsen𝜃𝐵
No caso de pequenas oscilações, sen 𝜃𝐴 ≈ 𝜃𝐵 . Portanto:
A: 𝐹𝐺𝐴 ≈ −mg𝜃𝐴
B: 𝐹𝐺𝐵 ≈ −mg𝜃𝐵
Usando as aproximações da equação (2):
A: 𝐹𝐺𝐴 ≈ −mg 𝑥𝐴 /l
B: 𝐹𝐺𝐵 ≈ −mg 𝑥𝐵 /l
Usando agora (1) se escrever essas forças como:
A: 𝐹𝐺𝐴 ≈ −m𝜔02 𝑥𝐴
(3.5)
B: 𝐹𝐺𝐵 ≈ −mg 𝑥𝐵
(3.6)
Combinando tudo o que foi visto até agora, podemos escrever as equações de
movimento (sem amortecimento) para os dois corpos como:
𝑚𝑥𝐴" = −𝑚𝑥02 𝑥𝐴 − 𝐾(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 )
(3.7)
𝑚𝑥𝐵" = −𝑚𝜔02 𝑥𝐵 − K(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 )
(3.8)
Dividindo por m e definindo
𝜔𝑐2 ≡
𝑘
𝑚
,
Temos
𝑥𝐴" = −𝜔02 𝑥𝐴 − 𝜔𝑐2 (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ) = −(𝜔02 + 𝜔𝑐2 ) 𝑥𝐴 + 𝜔𝑐2 𝑥𝐵
𝑥𝐵" = −𝜔02 𝑥𝐵 − 𝜔𝑐2 (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ) = −(𝜔02 + 𝜔𝑐2 ) 𝑥𝐵 + 𝜔𝑐2 𝑥𝐴
Passando todos os termos para o lado esquerdo obtemos, finalmente:
(3.9)
34
𝑥𝐴" + (𝜔02 + 𝜔𝑐2 )𝑥𝐴 − 𝜔𝑐2 𝑥𝐵 = 0
(3.10)
𝑥𝐵" + (𝜔02 + 𝜔𝑐2 )𝑥𝐵 − 𝜔𝑐2 𝑥𝐴 = 0
(3.11)
O sistema de equações diferencial dado por (3.10) e (3.11) constitui um sistema de
duas equações diferenciais lineares de 2ª ordem acopladas. A primeira equação, que descreve
a aceleração de A,
Depende de 𝑥𝐵 ; e a segunda equação, que descreve a aceleração de B, depende de 𝑥𝐴 .
Matematicamente, isto quer dizer que as duas equações não podem ser resolvidas
independentemente.
Fisicamente, isto quer dizer que o movimento de A afeta o movimento de B e viceversa.
Como as equações são de 2ª ordem, a solução geral de cada uma depende de 2
constantes arbitrárias, determinadas pelas condições iniciais. Essas 4 constantes serão
ajustadas conhecendo-se as posições e velocidades iniciais dos dois corpos:
𝑥𝐴 (0), 𝑥𝐵 (0), 𝑥𝐴̇ (0), 𝑥𝐵̇ (0).
Uma estratégia muito usada para resolver sistemas de equações diferenciais acopladas
é tentar encontrar um novo sistema de coordenadas (vamos chamá-las de q1, q2, q3, etc.) tal
que, nesse sistema de coordenadas, as equações diferenciais sejam desacopladas.
No caso do sistema dado pelas equações (3.10) e (3.11) isto pode ser feito. A maneira
é a seguinte:
Somando (3.10) e (3.11) temos,
𝑥𝐴" + 𝑥𝐵" + 𝜔02 (𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 ) = 0
𝑑
Ou (fica mais fácil aqui usar a notação 𝑑𝑡 para derivadas),
𝑑2 𝑣
𝑑𝑡 2
(𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 ) + 𝜔02 (𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 ) = 0
(3.12)
𝑑
Subtraindo (11) de (10) temos (usando novamente a notação 𝑑𝑡 ),
𝑑2 𝑣
𝑑𝑡 2
(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ) + (𝜔02 + 2𝜔𝑐2 )(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ) = 0
Se definirmos duas novas variáveis,
(3.13)
35
𝑞1 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵
𝑞2 = 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ,
(3.14)
Podemos escrever (12) e (13) em termos de q1 e q2 como:
𝑑2 𝑣
𝑑𝑡 2
+ 𝜔02 𝑞1 = 0
(3.15)
+ (𝜔02 + 2𝜔𝑐2 ) 𝑞2 = 0
(3.16)
e
𝑑2 𝑣
𝑑𝑡 2
Definindo
2
𝜔′ = 𝜔02 + 2𝜔𝑐2
(3.17)
e a equação (3.16) fica:
𝑑2 𝑣
𝑑𝑡 2
2
+ 𝜔′ 𝑞2 = 0.
(3.18)
As equações (3.15) e (3.18) são duas equações desacopladas de oscilações harmônicas
simples. Na primeira, a frequência angular é 𝜔0 e, na segunda, a frequência angular é 𝜔′ .
As soluções gerais dessas duas equações são:
𝑞1 (t) = C cos (𝜔0 t + 𝜑1 )
(3.19)
𝑞2 (t) = D cos (𝜔0 t + 𝜑2)
(3.20)
e as soluções gerais das duas equações originais para 𝑥𝐴 e 𝑥𝐵 : são
1
1
1
1
2
2
𝑥𝐴 (t) = 2(𝑞1 (t) + 𝑞2 (t) = 2[C cos(𝜔0 t + 𝜑1 ) + D cos(𝜔0 t + 𝜑2)
(3.21)
e
𝑥𝐵 (t) = (𝑞1 (t) + 𝑞2 (t) = [C cos(𝜔0 t + 𝜑1 ) + D cos(𝜔0 t + 𝜑2 )
(3.22)
As soluções gerais para os dois pêndulos acoplados, equações (3.21) e (3.22), indicam
que os pêndulos não executam mais movimentos harmônicos simples. Os seus movimentos
são mais complicados, dados por superposições de oscilações com frequências diferentes.
As coordenadas 𝑞1 e 𝑞2, no entanto, oscilam como movimentos harmônicos simples
independentes. Coordenadas que satisfazem esta propriedade são chamadas de coordenadas
normais do sistema.
Cada coordenada normal oscila em referência a uma frequência própria distinta,
chamada de frequência normal. A coordenada normal 𝑞1 oscila com a frequência normal 𝜔0
e a coordenada normal 𝑞2 oscila com a frequência normal 𝜔′.
36
Perceba que há dois casos particulares das soluções gerais (3.21) e (3.22) em que as
coordenadas 𝑥𝐴 e 𝑥𝐵 oscilam ambas com a mesma frequência, igual a uma das frequências
normais.
a) Se D = 0 em (3.21) e (3.22) as coordenadas 𝑥𝐴 e 𝑥𝐵 oscilam com a mesma
frequência, igual a 𝜔0 .
b) Se C = 0 em (3.21) e (3.22) as coordenadas 𝑥𝐴 e 𝑥𝐵 oscilam com a mesma
frequência, igual a 𝜔′.
3.2 – Oscilador acoplado com dois graus de liberdade
Figura 15: representação de dois osciladores (massa-mola) acoplados
O sistema oscilante escolhido para o estudo é constituído de duas massas, m1 e m2,
acopladas por três molas de constantes de força k1, k2 e k3, dispostas como na figura acima.
A oscilação é unidimensional, horizontal e com dois graus de liberdade para vibração.
Para o desenvolvimento do estudo abaixo será suposto que 𝐹2 (t) > 𝐹1 (t) e 𝑥1 > 𝑥2 .
Conforme Figura 16.
Figura 16: diagrama de forças para o corpo 1.
37
𝑑2 𝑣
𝑚1 𝑑𝑡 2 =𝑘2 (𝑥2 -𝑥1 ) - 𝑘1 𝑥1 + 𝐹1 (t)
𝑑2 𝑣
𝑚1 𝑑𝑡 2 =𝑘2 𝑥2 - 𝑘2 𝑥1 - 𝑘1 𝑥1 + 𝐹1 (t)
𝑚1
𝑑2 𝑣
𝑑𝑡 2
=- 𝑥1 (𝑘1 + 𝑘2 ) - 𝑘2 𝑥2 + 𝐹1 (t)
(3.1)
Figura 17: diagrama de forças para o corpo 2.
𝑑2 𝑣
𝑚2 𝑑𝑡 2 =−𝑘2 (𝑥2 -𝑥1 ) - 𝑘3 𝑥2 + 𝐹2 (t)
𝑑2 𝑣
𝑚2 𝑑𝑡 2 =−𝑘2 𝑥2 - 𝑘2 𝑥1 - 𝑘3 𝑥2 + 𝐹2 (t)
𝑑2 𝑣
𝑚2 𝑑𝑡 2 =−𝑘2 𝑥1 - 𝑥2 (𝑘3 −𝑘2 ) + 𝐹2 (t)
(3.2)
Equações diferenciais 3.1 e 3.2 estão acopladas formando um sistema linear de
equações diferencias dado por:
𝑚1 𝑥1" = - (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥1 - 𝑘2 𝑥2 + 𝐹1 (t)
𝑚2 𝑥2" = 𝑘2 𝑥1 – (𝑘2 + 𝑘3 ) 𝑥2 + 𝐹2 (t)
(3.3)
Com o intuito de se trabalhar com um sistema linear homogêneo, admite-se:
𝐹1 (t) = 𝐹2 (t) = 0
𝑚1 𝑥1" + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥1 - 𝑘2 𝑥2 = 0
𝑚2 𝑥2" − 𝑘2 𝑥1 + (𝑘2 + 𝑘3 ) 𝑥2 = 0
A forma geral das soluções procuradas é 𝑥1 = 𝑐1 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 e 𝑥2 = 𝑐2 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
𝑥1′ = -i𝜔𝑐1 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
𝑥1" = -𝜔2 𝑐1 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
(3.4)
38
𝑥2′ = -i𝜔𝑐2 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
𝑥2" = -𝜔2 𝑐2𝑒 −𝑖𝜔𝑡
(3.5)
Fazendo a substituição de 𝑥1 , 𝑥2 e suas respectivas derivadas no sistema de equações,
tem-se que:
−𝑚1 𝜔2 𝑐1𝑒 −𝑖𝜔𝑡 + (𝑘1 + 𝑘2 ) 𝑐1 - 𝑘2 𝑐2 = 0
−𝑚2 𝜔2 𝑐2 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 - 𝑘2 𝑐1 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 + (𝑘2 + 𝑘3 ) 𝑐2 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 = 0
−𝑚1 𝜔2 𝑐1 + (𝑘1 + 𝑘2 ) 𝑐1 - 𝑘2 𝑐2 = 0
−𝑚2 𝜔2 𝑐2 - 𝑘2 𝑐1 + (𝑘2 + 𝑘3 ) 𝑐2= 0
[−𝑚1 𝜔2 + (𝑘1 + 𝑘2 )] 𝑐1 - 𝑘2 𝑐2 = 0
- 𝑘2 𝑐1 + [−𝑚2 𝜔2 + (𝑘2 + 𝑘3 )] 𝑐2 = 0
(3.6)
A teoria de sistemas de equações diferenciais garante que para um sistema
Homogêneo uma solução não trivial é encontrada quando o determinante da matriz formada
pelos coeficientes de tal sistema é nulo. Assim:
(𝑘 + 𝑘2 )−𝑚1 𝜔2
| 1
− 𝑘2
− 𝑘2
|
(𝑘2 + 𝑘3 )−𝑚2 𝜔2
(3.7)
Em um primeiro momento, para simplificação, pode-se adotar 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = k e
𝑚1 = 𝑚2 = m.
(2𝑘 − 𝑚𝜔2 )
|
−𝑘
−𝑘
| =0
(2𝑘 − 𝑚𝜔2 )
(2𝑘 − 𝑚𝜔2 )(2𝑘 − 𝑚𝜔2 ) − 𝑘 2 = 0
−4𝑚𝑘𝜔2 + 𝑚2 𝜔4− 𝑘 2 = 0
𝑚2 𝜔4 − 4𝑚𝑘𝜔2 + 3𝑘 2 = 0
Fazendo 𝜔2 = ϵ
𝑚2 𝜖 2 − 4𝑚𝑘𝜖 + 3𝑘 2 = 0
𝑘 2 𝑚2 𝑘 2 𝑚2 𝑘 2 𝑚2 
ϵ =
4𝑚𝑘±2𝑚𝑘
2𝑚𝑘 2
(3.8)
39
6𝑚𝑘
𝜖1=
2𝑚2
2𝑚𝑘
𝜖2=
2𝑚2
𝑘
 = 3𝑚
=
𝑘
𝑚
𝑘
𝜔 1 = √𝑚
(3.9)
𝑘
𝜔2 =√3√𝑚
(3.9.1)
As frequências 𝜔1 e 𝜔2 representam os modos normais de vibração para o movimento
desse sistema oscilante. Qualquer outro movimento pode ser descrito como uma combinação
linear desses modos.
Com essas frequências conhecidas é possível determinar as constantes 𝑐1 𝑒 𝑐2.
𝑘
Substituindo 𝜔1 = √
𝑚
[−
𝑘
𝑚
𝑚 + 2𝑘]𝑐1 - k𝑐2 = 0
K 𝑐1 - k𝑐2 = 0 => 𝑐1 = 𝑐2
(3.9.2)
𝑘
Substituindo 𝜔2 =√3 √𝑚
𝑘
[3− 𝑚 𝑚 + 2𝑘]𝑐1 - k𝑐2 = 0
-K 𝑐1 - k𝑐2 = 0 => 𝑐1 = 𝑐2
(3.9.3)
De um modo bem simples, 𝑐1 𝑒 𝑐2 , corresponde à situação em que as duas massas
deslocam-se no mesmo sentido e, 𝑐1 𝑒 𝑐2, ao caso em que o movimento se dá em sentidos
opostos.
3.3 – Energia do Oscilador
Analisando a energia mecânica do sistema, tem-se que, conforme Figura 18:
40
Figura 18: Gráfico da dissipação de energia do Oscilador
Quando o objeto é abandonado na posição 𝑥 = 𝐴, a energia mecânica do sistema é
igual à energia potencial elástica armazenada, pois não há movimento e, consequentemente,
energia cinética. Assim:
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃𝐸𝑙
𝐸𝑀 =
1
1
𝑚𝑣 2 + 2 𝐾𝐴2
2
P/ v = 0
𝐸𝑀 =
1
2
𝐾𝐴2 = 𝐸𝑃𝐸𝑙
(3.3.1)
Ao chegar na posição 𝑥 = −𝐴, novamente o objeto ficará momentaneamente parado
(𝑣 = −𝐴), tendo sua energia mecânica igual à energia potencial elástica do sistema.
No ponto em que 𝑥 = 0, ocorrerá o fenômeno inverso ao da máxima elongação, sendo
que:
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃𝐸𝑙
𝐸𝑀 =
1
2
1
𝑚𝑣 2 + 2 𝐾𝑋 2
P/ x = 0
𝐸𝑀 =
1
2
𝑚𝑣 2 = 𝐸𝐶
(3.3.2)
41
Assim podemos concluir que na posição x=0, ocorre a velocidade máxima do sistema
massa-mola, já que toda a energia mecânica é resultado desta velocidade.
Para todos os outros pontos do sistema:
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃𝐸𝑙
𝐸𝑀 =
1
2
1
𝑚𝑣 2 + 2 𝐾𝑥 2
(3.3.3)
Como não há dissipação de energia neste modelo, toda a energia mecânica é
conservada durante o movimento de um oscilador massa-mola horizontal.
42
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os objetivos iniciais que nortearam a elaboração deste estudo foram alcançados. Foi
proposto, inicialmente, estudar em detalhes as equações diferenciais e suas aplicações em
sistema de osciladores harmônicos acoplados e visualizar a dinâmica teórica prevista. A
questão é que o estudo em detalhes de qualquer sistema físico parece não ter fim quando a
teoria é submetida à análise profunda.
Há ainda um vasto campo na área dos osciladores, não chegamos a comentar sobre
oscilações eletromagnéticas ou oscilações de moléculas entre outras, tentamos apenas
descrever uma parte dos fenômenos oscilatórios que nos cercam através deste pequeno
trabalho. Temos em mãos um trabalho onde apresentamos com todo o rigor matemático
possível as equações diferenciais e a teoria dos osciladores de uma forma mais realística.
Não se trata de um trabalho na área de ensino de física, porém fica a sugestão de
utilização desse tipo de atividade com mais frequência nos cursos de graduação em física pelo
alto potencial em proporcionar um aprendizado mais significativo e oferecer uma dinâmica de
todo o aparato físico e matemático empregado.
Aqui o leitor poderá ter uma visão mais concreta sobre o assunto, bem como um
auxílio na resolução das equações diferenciais aplicadas a física. Apresentamos também
alguns desenhos explicativos, que ajudarão na compreensão da matéria.
Enfim, montamos um trabalho que esperamos que possa ser utilizado por outros
estudantes.
43
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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comprimento variável. TCC (bacharel em Física). Fortaleza: Universidade Estadual do Ceará,
2012. 63 f.
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Paulo: Editora Livraria da Física, 2004.
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Problemas de Valores de Contorno, 7 ed., LTC, 1999. ISBN 85-216-1131-5.
CUNHA, José Pinto da. Mecânica Clássica II: notas lectivas. Coimbra: Universidade de
Coimbra, 2012.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física,
Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Rio de Janeiro: 7 ed. LTC-Livros Técnicos e
Científicos, 2006. ISBN85-216-1485-3.
MACHADO, Kleber Daum. Equações Diferenciais Aplicadas a Física. Universidade
Federal de Ponta Grossa: Editora UEPG. 1999.
NEGRINI, Patrich Luiz. TCC (licenciatura em Matemática). Florianópolis: Universidade de
Santa Catarina, 2000.
NUSSENZVEIG, Moysés. Curso de Física Básica 2, Fluidos, Oscilações e Ondas e Calor.
São Paulo: Edgard Blücle LTDA, 2002.
SODRÉ, Ulysses. Equações Diferenciais Ordinárias: computação, engenharia elétrica e
engenharia civil. Notas de aulas. 2003.
TIPLER, Paul A. Mecânica, Oscilações e Ondas e Termodinâmica. Rio de Janeiro: 4 ed.
LTCLivros Técnicos e Científicos SA, 2000.
ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais, volume I. 3 ed. São Paulo:
MAKRON Books, 2001.