a) b) c) d) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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LICENCIATURA EM GESTÃO
MATEMÁTICA FINANCEIRA E INSTRUMENTOS DE GESTÃO
TESTE 16.11.2005 – VERSÃO A
OBSERVAÇÕES:
(i) A duração da prova é de 2 horas;
(ii) Não é permitida a consulta de quaisquer elementos, nem são prestados quaisquer
esclarecimentos;
(iii) Responda ao Grupo I na tabela constante desta página, assinalando com uma cruz a
resposta certa. No final destaque esta folha e proceda à sua entrega;
(iv) Certifique-se de que a versão identificada nesta página corresponde à versão do seu
enunciado;
(v) No Grupo I a cada resposta certa são atribuídos “+0,83(3)” valores e a cada resposta
errada são atribuídos “-0,21” valores;
(vi) Responda aos Grupos II e III em folhas separadas, de modo claro e perceptível, e
indique o número de folhas entregues, incluindo a folha de resposta ao Grupo I;
(vii) Não se esqueça de se identificar de modo legível e completo em todas as folhas
entregues.
NOME:
NÚMERO:
GRUPO I (10 Valores)
VERSÃO A
a)
b)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/7
c)
d)
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GRUPO I (10 Valores)
1. Segundo dados do Banco Mundial a taxa de crescimento real do PIB num
determinado país passou de 3,5%, em 2003, para 2,3%, em 2004. Pode afirmar-se que
entre 2003 e 2004:
a) Em termos absolutos a taxa de crescimento do PIB diminuiu 1,2%.
b) Em termos relativos a taxa de crescimento do PIB diminuiu 1,2%.
c) ***Em termos absolutos a taxa de crescimento do PIB diminuiu 1,2 pontos
percentuais.
d) Em termos relativos a taxa de crescimento do PIB diminuiu 1,2 pontos percentuais.
2. O PIB per capita, a preços constantes, de um dado país passou de 8500 dólares para
9460 dólares entre 1996 e 2002. Pode afirmar-se que naquele período:
a) O PIB per capita, a preços constantes, aumentou, em média, 160 dólares por ano.
b) A taxa de crescimento média anual do PIB per capita, a preços constantes, foi de
1,8%.
c) A taxa de crescimento global do PIB per capita, a preços constantes, foi de 11,29%.
d) ***Todas as alíneas anteriores estão certas.
3. Em 2004, o PIB per capita do país A é de 6500 dólares norte-americanos, enquanto
que para o país B a mesma variável no mesmo ano ascende a 8300 dólares. Se, no
futuro, o PIB per capita do país A crescer à taxa média de 4,0% ao ano e o PIB per
capita do país B crescer à taxa média de 2,0% ao ano, pode afirmar-se que:
a) Em 2008, o PIB per capita do país A será de 82,7% do PIB do país B.
b) O País A demora 6 anos a atingir 90% do nível de produção per capita do país B.
c) ***De 2008 para 2009 o PIB per capita do país A aumentará 304,16 dólares,
enquanto o PIB per capita do país B aumentará 179,68 dólares.
d) Nenhuma das alíneas anteriores está certa.
R:
6500(1+4%)4 /8300(1+2%)4 = 84,64%. [Errado]
6500(1+4%)n = 90%*8300*(1+2%)n . Aplicando logaritmos, obtém-se n = 7,16 anos.
[Errado]
4% x 6500(1+4%)4 = 304,16 e 2% x 8300(1+2%)4 = 179,68. [Certo]
4. A tabela que se segue permite ver o número de fatos (F) que um determinado alfaiate
produz em certo número de horas de trabalho (H).
Produção de Fatos
Fatos
Horas de
[F]
Trabalho [H]
32
160
8
40
Pode afirmar-se que:
a) ***A relação entre a variação absoluta de F e a variação absoluta de H é 4,0.
b) A relação entre a variação absoluta de F e a variação absoluta de H é 0,25.
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c) A relação entre a variação relativa de F e a variação relativa de H é 4,0.
d) A relação entre a variação relativa de F e a variação relativa de H é 0,25.
5. Sabe-se que a elasticidade entre uma variável dependente (Y) e uma variável
independente (X) é 2,0. Perante isto pode afirmar-se que:
a) Se a variável X aumentar 10%, a variável Y aumenta 2%.
b) ***Se a variável X aumentar 5%, a variável Y aumenta 10%.
c) Se a variável X aumentar 10%, a variável Y diminui 5%.
d) A variável Y aumenta 2 unidades por cada unidade de aumento em X.
6. É conhecido que entre duas variáveis X e Y existe uma relação de proporcionalidade
composta directa. Sabe-se que a relação de proporcionalidade cresce a uma taxa de 5%
ao ano. Sabe-se também que a variável X regista uma taxa de crescimento de 9% ao
ano. Sabendo que a variável Y é a que tem um ritmo de crescimento superior, pode
afirmar-se que:
a) A taxa de crescimento da variável Y é 9,45% ao ano.
b) A taxa de crescimento da variável Y é 12,5% ao ano.
c) ***A taxa de crescimento da variável Y é 14,45% ao ano.
d) Não se pode responder a esta questão.
R:
5% = (1+RY)/(1+9%)-1, donde RY = 14,45%.
7. A variável X registou um crescimento de 2,5% entre 2003 e 2004. Sabe-se que o
índice simples representativo do andamento dessa variável (base 100 em 1990),
ascendia a 140,40 em 2003. Qual das seguintes afirmações está certa:
a) A variável cresceu 42,90% entre 1990 e 2004.
b) O valor do índice em 2004 é de 142,90 pontos.
c) ***A variável X cresceu a uma taxa média anual de 2,63%, entre 1990 e 2004.
d) Todas as alíneas anteriores estão certas.
R:
Índice em 2004 = 140,40 x (1+2,5%) = 143,91.
143,91 = 100(1+2,63%)14 .
8. O volume de produção de vinho de uma quinta no Douro foi de 7200 pipas em 1995 e
de 12 256,2 pipas em 2004. Sabendo que o responsável da quinta tem vindo a construir
um índice de evolução da produção (base 100 em 1990) e que o seu valor em 2004
ascendeu a 198,0 pontos, pode afirmar-se que:
a) O valor do índice em 1995 foi de 138,9 pontos.
b) A produção cresceu 17,3% entre 1990 e 1995 e 70,2% entre este último ano e 2004.
c) A taxa média anual de crescimento da produção foi de 5% entre 1990 e 2004, sendo
de 4,1% ao ano entre 1990 e 1995 e de 5,9% ao ano entre 1995 e 2004.
d) ***A produção aumentou 6066,2 pipas entre 1990 e 2004.
R:
I95,90 = I04.90xX95 /X04 = 198,0*7200/12 256,2 = 116,3.
116,3/100-1 = 16,3% e 198,0/116,3-1 = 70,2%.
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100(1+5%)14 = 198,0; 100(1+3,066%)5 = 116,3; 116,3(1+6,09%)9 = 198,0
[198,0 = (X04 /X90 )*100, donde 198,0 = (12 256,2/X90 )*100, logo X90 = 6190 pipas.
Logo, variação da produção = 12 256,2-6190 = 6066,2 pipas.
9. Um índice de preços de Laspeyres de base 1 em 1990 tem um valor de 1,47 em 2004.
Perante isto pode afirmar-se que:
a) Um índice de preços de Laspeyres de base 1 em 2004 tem um valor de 0,68 em 1990.
b) ***Um índice de preços de Paasche de base 1 em 2004 tem um valor de 0,68 em
1990.
c) Um índice de preços de Fisher de base 1 em 2004 tem um valor de 0,68 em 1990.
d) O índice de preços de Laspeyres goza da propriedade de reversibilidade no tempo.
10. No quadro seguinte encontra o Índice de Preços no Consumidor divulgado pelo INE
para Portugal relativo a alguns meses de 2003 e 2004:
Ano\Mês
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
2003
103,0 103,6 103,5 103,2 103,3 103,5 104,1 104,3 104,4
2004
105,4 106,1 106,3 106,1 105,7 105,7 106,3 106,9 107,0
a) A inflação mensal em Novembro de 2004 foi de 0,3%.
b) Em Julho de 2004, a taxa de inflação homóloga situou-se em 2,5%.
c) ***Um consumidor típico português, em Setembro de 2004, gastava 1020,27 euros
para comprar o mesmo que em Maio de 2003 adquiria com 1000 euros.
d) Para que um trabalhador português registasse um aumento real nulo no poder de
compra, o seu salário nominal deveria ter aumentado 2,4% de Agosto de 2003 para
Agosto de 2004.
R:
106,9/106,3-1= 0,56%.
1000*(105,7/103,6) = 1020,27.
106,1/103,2-1 = 2,8%.
105,7/103,3-1 = 2,32%.
11. Sabe-se que o produto nominal num dado país cresceu 35% em n anos. Sabe-se que,
no mesmo período, o deflator do PIB passou de 1,20 para 1,38. Sabendo que, no mesmo
espaço de tempo, o PIB real cresceu à taxa média anual de 4,09%, qual o valor de n?
a) 3 anos.
b) 3,5 anos.
c) ***4 anos.
d) Não é possível responder.
R:
Taxa crescimento global PIB nominal = 35%
Taxa crescimento global do deflator = 1,38/1,20-1 = 15%.
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Taxa crescimento global PIB real = (1+35%)/(1+15%)-1 = 17,35%
Donde:
(1+17,35%) = (1+4,08%)n , logo n = ln(1,1735)/ln(1,0408) = 4 anos.
12. Um índice de bolsa apresentava os seguintes valores no final de cada um dos
respectivos anos: 3250,0 (1998); 3737,5 (1999); 4485,0 (2000); 2691,0 (2001). Para o
período compreendido entre o final de 1998 e o final de 2001, pode afirmar-se que:
a) A média geométrica dos retornos é –6,1% ao ano.
b) A média aritmética dos retornos é –1,6(6)% ao ano
c) Por cada 1000 euros aplicados no início, no final o investidor apenas tinha 828 euros.
d) ***Todas as alíneas anteriores estão certas.
R:
(1,15*1,2*0,6)1/3 -1 = (2691/3250)1/3 -1 = -6,097%.
[15% + 20% - 40%]/3 = -1,6(6)%.
1000*2691/3250 = 828 = 1000*(1+-6,097%)3 .
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GRUPO II [5 VALORES]
A tabela seguinte apresenta, para os dois principais operadores de transportes públicos
rodoviários de passageiros das áreas metropolitanas de Lisboa e do Porto (Carris e
STCP), e relativamente aos anos de 1996 a 2003, a receita obtida, em milhares de euros.
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
Carris
65.113
67.203
69.158
66.370
66.944
68.156
68.923
70.637
STCP
45.670
46.004
47.452
48.048
48.135
48.944
49.665
50.879
a) (0,5 valores) Qual dos dois operadores apresenta maior variação absoluta da receita
obtida entre 1996 e 2003?
Carris
5.524
STCP
5.209
A Carris apresentou maior variação absoluta
b) (1,0 valores) Qual dos dois operadores apresenta maior variação relativa da receita
obtida entre 1996 e 2003? Indique as taxas de variação de ambos.
Carris
8,48%
STCP
11,41%
A STCP apresentou maior variação relativa
c) (1,0 valores) Qual a taxa média anual de crescimento da receita da STCP entre 1996 e
2003?
1,55%
d) (1,25 valores) Em quantos (e quais) dos anos de 1997 a 2003 se registou na STCP
uma taxa de crescimento da receita (relativamente à do ano precedente) superior à taxa
média anual de crescimento no período 1996 - 2003?
Três: 1998, 2001 e 2003
e) (1,25 valores) Se cada um dos operadores apresentar a partir de 2003 taxas de
crescimento anuais idênticas à taxa média anual que registou no período de 1996 a
2003, em que ano ultrapassará a STCP a Carris?
50879 x 1,0155n > 70637 x 1,0117n
(1,0155 / 1,0117) n > 70637/50879
1,00380419 n > 1,3883331
n log(1,00380419) > log(1,3883331)
n > 86,4120682
2003 + 87 = 2090
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GRUPO III (5 VALORES)
No quadro seguinte apresentam-se os dados relativos à venda de acções das três
instituições bancárias, que são parte integrante do índice PSI-20, nos meses de Agosto,
Setembro e Outubro de 2005 (período em que não se registaram acidentes técnicos).
BCP
BES
BPI
Cotação Índice simples Cotação Índice simples Cotação Índice simples
média da
do volume
média da
do volume
média da
do volume
acção transaccionado
acção
transaccionado
acção
transaccionado
(base fixa)
(base fixa)
(base fixa)
Mês
Agosto
Setembro
Outubro
2,15
2,24
2,23
100
179,6
161
12,88
13,19
13,25
124,9
100
99,4
3,48
3,56
3,69
100
135
85,4
Fonte: Dathis
a) (0,5 valores) Sabendo que o número de acções transaccionadas do BPI em Setembro
foi de 28,8 milhões, qual foi o volume transaccionado em Agosto?
R:
28,8/1,35 = 21,(3)
b) (1 valores) Apresente um índice, com base em Agosto, que lhe permita obter a
variação, ao longo de todo o período, da cotação média das acções do BCP. Interprete o
valor do índice para o mês de Outubro.
R:
IAgo,Ago = 1
ISet,Ago = 2,24/2,15 = 1,0419
IOut,Ago = 2,23/2,15 = 1,0372
A cotação média das acções do BCP em Outubro foi superior à de Agosto em 3,72 %
c) (1,75 valores) Sabendo que em Agosto o volume transaccionado das acções do BES e
do BPI representava 10,6% e 1,9%, respectivamente, do volume transaccionado de
acções do BCP, calcule um índice (tipo Laspayres) de cotações amostral da banca para
Outubro, com base em Agosto.
R:
Volume transaccionado de acções do BCP em Agosto – x
2, 23 × x + 13, 25 × 0,106 × x + 3,69 × 0,019 × x
L Out, Ago =
× 100 = 103, 44
2,15 × x + 12,88 × 0,106 × x + 3,48 × 0,019 × x
d) (1,75 valores) Tendo em conta que a inflação média mensal de Agosto a Outubro foi
de 0,2% determine a taxa de crescimento real das cotações da banca, com base na
amostra, de Agosto a Outubro.(Se não resolveu a alínea anterior utilize LOut,Ago = 104,25).
δ
r
Out , Ago
=
n
1 + δ Out
, Ago
1+ δ
p
Out , Ago
−1 =
1 + 3,44%
− 1 = 3,03%
(1 + 0,2%) 2
7/7