Matemática Discreta - 13

Universidade Federal do Vale do São Francisco
Curso de Engenharia da Computação
Introdução à Álgebra de Boole
Matemá
Matemática Discreta - 13
Prof. Jorge Cavalcanti
[email protected]
www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti
www.twitter.com/jorgecav
Podemos lembrar das fbfs da lógica proposicional e
associar a elas um certo tipo de função.
Uma fbf proposicional com n letras, define uma função
com domínio {V,F}n e um contradomínio {V,F}.
O domínio consiste em todas as n-uplas de valores V/F.
Para cada n-upla, associamos umm único valor V ou F.
Ex. 01: Seja a fbf A∨
∨B’. Sua tabela-verdade é:
B’ A ∨ B’
A
B
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
A imagem da dupla (F,V) sobre essa
função é F.
Se chamarmos essa função de w,
então w(F,V)=F, w(V,V) = V.
1
Introdução à Álgebra de Boole
2
Introdução à Álgebra de Boole
Ex. 02: Denote por f a função definida pela fbf A∧
∧(B∨
∨C’).
Qual o valor de f(V,V,F) e f(F,V,F)?
Supondo que uma fbf proposicional P tem n letras de
proposição.
A
B
C
C’
B∨
∨C’
A ∧ (B∨
∨C’)
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
f(V,V,F)=V
f(F,V,F)=F
Introdução à Álgebra de Boole
Dessa forma, a lista de equivalências tautológicas da
lógica proposicional podem ser escritas como a seguir:
A∪B=B∪A
1b. A ∩ B = B ∩ A (comutatividade)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C) 2b.(A∩B)∩C = A∩(B ∩C) (assoc.)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 3b.A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C) (distrib.)
A∪∅=A
4b. A ∩ S = A (elementos neutros)
A ∪ A' = S
5b. A ∩ A' = ∅ (complemento)
∨ e ∪, ∧ e ∩, 0 e ∅, 1 e S.
Que conclusões podemos tirar dessa semelhança?
Analogamente, as identidades básicas envolvendo
conjuntos são listadas a seguir:
1a.
2a.
3a.
4a.
5a.
Podemos então escrever P=Q ao invés de P⇔Q.
4
Introdução à Álgebra de Boole
1a. A ∨ B = B ∨ A
1b. A ∧ B = B ∧ A (comutatividade)
2a. (A∨B)∨C = A∨(B∨C) 2b. (A∧B)∧C = A∧(B∧C) (assoc.)
3a. A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C) 3b.A∧(B∨C)= (A∧B)∨(A∧C) (distrib.)
4a.A ∨ 0 = A
4b. A ∧ 1 = A (elementos neutros)
5a. A ∨ A' = 1
5b. A ∧ A' = 0
(complemento)
A tabela-verdade inteira define uma função f:{V,F}n →
{V,F}, conforme os exemplos 01 e 02.
As funções associadas a tautologias são da forma
{V,F}n → {V} e as contradições são da forma {V,F}n →
{F}.
Podemos convencionar que qualquer fbf proposicional P
com n letras de proposição, o símbolo P não denota
apenas a fbf, mas também a função correspondente
definida pela tabela-verdade.
Se P e Q são fbfs equivalentes, então tem a mesma
tabela-verdade, logo definem a mesma função.
3
Então cada linha da tabela-verdade da fbf associa um
valor, V ou F a uma n-upla de valores V/F.
Dois exemplos que tem propriedades em comum
(equivalências tautológicas e identidades entre
conjuntos).
Abstraindo as propriedades comuns, é possível definir
uma estrutura matemática que incorpora essas
propriedades, como um modelo ou generalização
dessas propriedades.
Supondo que queremos caracterizar formalmente as
semelhanças entre a lógica proposicional e a teoria dos
conjuntos.
5
Em cada caso estamos falando de elementos de um
conjunto: um conjunto de fbfs ou um conjunto de
subconjuntos de S.
Em cada caso temos duas operações binárias e uma
operação unária que age nos elementos do conjunto:
Disjunção/conjunção/negação
União/interseção/complemento
6
Introdução à Álgebra de Boole
Introdução à Álgebra de Boole
Existem 02 elementos diferenciados no conjunto: 0/1
ou ∅/S.
São válidas 10 propriedades em cada caso (1a....5b).
Sempre que todas essas características estiverem
presentes, dizemos que temos uma Álgebra de Boole.
Álgebra de Boole – é um conjunto B no qual estão
definidas duas operações binárias, + (ou) e • (e), e
uma operação unária ´, e que contém dois elementos
distintos, 0 e 1, tais que as seguintes propriedades são
válidas, quaisquer que sejam x, y e z ∈ B:
1b. x • y = y • x (comutatividade)
2b. (x•y)•z = x•(y•z) (assoc.)
3b.x•(y+z)= (x•y)+(x•z) (distrib.)
4b. x • 1 = x (elementos neutros)
5b. x • x' = 0
(complemento)
1a. x + y = y + x
2a. (x+y)+z = x+(y+z)
3a. x+(y•z)=(x+y)•(x+z)
4a.x + 0 = x
5a. x + x' = 1
Ela também é o fundamento da matemática
computacional, baseada em números binários.
Uma álgebra de Boole é denotada por [B, +, • , ´, 0, 1]
Ex. 03: Seja B={0,1}. Defina as operações binárias + e
• em B por x+y=máx(x,y) e x • y = mín (x,y), a
operação unária ‘ e, em seguida, mostre as
propriedades 2b (associatividade), 4a e 4b (elementos
neutros).
As operações + e • são ilustradas nas tabelas a seguir:
7
Introdução à Álgebra de Boole
+
0
1
•
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
(0
(0
(0
(0
(1
(1
(1
(1
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
0)
0)
1)
1)
0)
0)
1)
1)
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
0
1
0
1
0
1
0
1
=
=
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
1
1
1
1
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
(0
(0
(1
(1
(0
(0
(1
(1
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
0)
1)
0)
1)
0)
1)
0)
1)
=
=
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
0
1
Propriedade 4a.
0+0=0
1+0=1
1
0
Pode-se provar as 10 propriedades, verificando todos os
casos possíveis.
A propriedade 2b (associatividade) de • é dada como
segue:
Cont Ex. 03 – Propriedade associativa para • :
Propriedade 4b.
0.1=0
1.1=1
9
Introdução à Álgebra de Boole
Existem propriedades adicionais que são válidas e que
podem ser demonstradas usando as propriedades da
definição.
A idempotência da soma x + x = x é válida em
qualquer álgebra de Boole, pois:
x+x
=
=
=
=
=
8
Introdução à Álgebra de Boole
Cont Ex. 03: Seja B={0,1}. Defina as operações
binárias + e • em B por x+y=máx(x,y) e x • y = mín
(x,y), a operação unária ‘ e, em seguida, mostre as
propriedades 2b (associatividade) para • e 4a e 4b
(elementos neutros).
A operação unária ‘ é definida também por uma tabela:
Como 0’= 1 e 1’= 0, então [B, +, •, 0, 1] é uma
álgebra de Boole.
‘
0
1
Álgebra de Boole são estruturas algébricas que
"capturam a essência" das operações lógicas E, OU e
NÃO, bem como das operações da teoria de conjuntos
soma, produto e complemento.
(x + x) . 1 (4b)
(x + x) . (x + x’) (5a)
x + (x . x’) (3a)
x + 0 (5b)
x (4a)
Embora a aritmética usual dos inteiros tenha muitas
propriedades de uma álgebra de Boole, a idempotência
da soma deve convencê-lo de que os inteiros não
formam uma álgebra de Boole.
A propriedade x+x=x não é válida para os inteiros
11
com a soma usual, a menos que x seja nulo.
10
Introdução à Álgebra de Boole
Cada propriedade na definição de álgebra de Boole tem
a sua propriedade dual como parte da definição.
A dual é obtida permutando-se + com • e 1 com 0.
Cada passo da demonstração de uma propriedade de
uma álgebra de Boole pode ser substituída por sua
dual, resultando em uma demonstração válida da dual.
Ex. 04: Demonstre que o dual da idempotência x+x=x,
x.x=x
Uma vez demonstrada uma propriedade de álgebras de
Boole, ela pode ser usada para demonstrar outras
propriedades.
Ex.05: a)Provar que a propriedade x + 1 = 1 é válida
em qualquer álgebra de Boole. b) Explicitar a
propriedade usada em cada passo da demonstração. c)
Qual a sua propriedade dual?
12
Introdução à Álgebra de Boole
Introdução à Álgebra de Boole
A tabela abaixo sugere algumas maneiras para ajudar a
provar que uma álgebra de Boole tem uma propriedade
da forma “alguma expressão = outra expressão”.
Sugestões para Demonstrações de Identidades
Em geral, é melhor começar pela expressão mais complexa e
tentar mostrar que se reduz à expressão mais simples.
Considere somar 0 em alguma forma (como x.x’) ou multiplicar
por 1 em alguma forma (como x+x’).
Lembrar da propriedade 3a (distributividade da multiplicação),
pois ela não é válida na aritmética usual.
Lembrar da idempotência da soma e da multiplicação x+ x = x e
x . x = x.
13
Introdução à Álgebra de Boole
Cont Ex. 05:
+
0
1
a
a´
•
0
0
1
1
a
a
a´
a´
0
1
a
a´
Ex. 06: Prove as propriedades a seguir para álgebras de Boole,
justificando cada passo:
a) (x´)´= x (dupla negação)
b)(x+y)´=x´.y´ e (x.y)´=x´+ y´
c) x + (x.y) = x e x.(x+y)=x (absorção) d) x+y´=x + (x´.y+x.y)´
15
Se x é um elemento de uma álgebra de Boole B, o
elemento x’ é chamado de complemento de x e
satisfaz: x + x’= 1 e x . x‘ = 0
Teorema da Unicidade do Complemento – Dado um
elemento x em uma álgebra de Boole, se existe um
elemento x1, tal que x + x1 = 1 e x . x1 = 0, então x1 =
x’.
Ex. 05: Seja B = {0, 1, a, a'} e sejam + e • operações
binárias em B. A operação unária ' é definida pela tabela
‘
0
1
a
a´
1
0
a´
a
Suponha que sabemos que [B, +,.,', 0, 1 ] é uma
álgebra de Boole. Usando as propriedades válidas
para qualquer álgebra de Boole, preencha as tabelas
a seguir, que definem as operações binárias + e .:
14