logomarcas ies

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
TURMA 2008/1 – 6º PERÍODO – 1ª ETAPA
AVALIAÇÃO MP3 – DATA 09/12/2010
Álgebra II
2010/2
GABARITO COMENTADO
DEFINITIVO
estudados v = 2,−1  na Geometria
QUESTÃO 1: Com base nos conceitos
vetorial, encontre um vetor que é perpendicular ao vetor e tem módulo igual
a 4:
A.
B.
 
  
 
  
  
4 8
,
5  5
3 2
,
5 5
C. −
D.
E.
4 4
,
5 5
1 2
,
5 5
2
5
,−
5
5
A. Correta: Fazendo o produto escalar igual a zero temos:
(a, b)(2, -1) = 0
2a – b = 0
b = 2a
Como o módulo deve ser igual a 4 temos.
 a 2 +b 2=4
a 2 +b 2=16
Substituindo na primeira equação temos:
2
2
a 4a =16
4
a=±
5
4 8
4
8
,
,−
ou −
5  5
5 5

 

B. Incorreta
C. Incorreta
D. Incorreta
E. Incorreta
QUESTÃO 2: Conforme estudamos em aula, marque a alternativa que apresenta uma
propriedade válida:
A. Seja u u∈ℝ n  ⟨ u,u ⟩0
B. Sejam u,vew ∈ℝ n  ⟨u,v+w ⟩=⟨ u,v ⟩⟨u,w⟩
C. Sejam uew ∈ℝ n  ⟨u,w ⟩=0 u paralelo a w.
D. Sejam u,vew ∈ℝ n ,k ∈ℝ  k ⟨u,v ⟩=⟨ku,kv ⟩
E. Sejam uev ∈ℝn ⟨ u,v ⟩≠⟨ v,u⟩
A. Incorreta
B. Correta → o produto escalar possui a propriedade distributiva.
C. Incorreta
D. Incorreta
E. Incorreta →
QUESTÃO 3: Dada uma matriz A de ordem 2 x 4 e uma matriz B de ordem 4 x 2
podemos afirmar que a alternativa falsa é:
A. A multiplicação entre as matrizes A e B não está definida.
B. A multiplicação por escalares está definida, pois, esta é possível para qualquer tipo
de matrizes.
C. A adição entre as matrizes A e B é definida, e possui como soma uma matriz de
ordem 4 x 4.
D. A diferença entre as matrizes A e B não é definida.
E. A matriz A não pode ter como inversa a matriz B.
A. Incorreta
B. Incorreta
C. Correta → A soma de matrizes é definida somente para matrizes de
mesma ordem.
D. Incorreta
E. Incorreta –
QUESTÃO 4: Seja T :V W uma transformação linear, marque a alternativa
que apresenta a definição da sua imagem:
A. É o conjunto dos vetores de V, que tem imagem nula, portanto
Im  T  = {v ∈V ∣T  v =0∣} .
B. É o conjunto dos vetores de V, que tem imagem em w, portanto
N  T = {v ∈V ∣T  v  = w
 ∣}
C. É o conjunto dos vetores de W, que tem pré-imagem nula, portanto
Im  T  = {v ∈W ∣T  0  =v∣}
D. É um subespaço vetorial de W, tal que para cada vetor w existe um v e
T(v) = w.
E. Não podemos responder, pois não sabemos quem é V e W.
A. Incorreta
B. Incorreta
C. Incorreta
D. Correta → definição de imagem.
E. Incorreta
QUESTÃO 5: Dada uma transformação T: V → W, u e v ∈ V e α ∈ Κ, sendo U e V
espaços vetoriais e K um corpo, podemos afirmar que T é um operador linear se somente
se:
A. T(u x v) = T(u) x T(v),
B. T(u + v) = T(u) + T(v),
C. T(u + v) = T(u) + T(v),
D. T(u + v) = T(u) * T(v),
E. T(u + v) = T(u) + T(v),
T(αu) =α T(u)
T(αu) =α T(u) e V = W
T(uv) = vT(u)
T(uv) = vT(u) e V = W
T(αu) =α T(u)
A. Incorreta.
B. Correta → T(u + v) = T(u) + T(v), T(αu) =α T(u) e V = W
Definição de transformação linear, acrescido do fato do espaço do domínio
terma mesma dimensão do espaço do contradomínio
C. Incorreta
D. Incorreta
E. Incorreta
QUESTÃO 6: Qual das seguintes transformações (aplicações) é um operador linear?
A. T(x, y) = x2 + y
B. T(x, y) = (xy+ y, y, x)
C. T(x, y) = (x – 3y, 5x + 2y)
D. T(x, y) = (x+y, y+1, x)
E. T(x, y) = (1, y, x)
A. Incorreta – Justificativa:
B. Incorreta – Justificativa:
C. Correta – É a única que satisfaz a definição de transformação linear e tem
o espaço do domínio de mesma dimensão do espaço do contradomínio.
D. Incorreta – Justificativa:
E. Incorreta – Justificativa:
QUESTÃO 7: Dada a transformação linear T(x, y) = (2x+2y , x + y , -x - y) marque um
vetor que pertença ao seu núcleo:
A. u = (1, 2,3)
B. u = (1, 2)
C. u = (2, 2)
D. u = (−2, 2, 0)
E. u = (−1,1)
A. Incorreta
B. Incorreta
C. Incorreta
D. Incorreta
E. Correta → A única possibilidade é (-1, 1), fazendo T(-1, 1) encontramos
(0, 0, 0).
QUESTÃO 8: Usando a base canônica, qual assertiva apresenta a matriz que expressa a
seguinte transformação linear T(x, y) = (2x-y,2x+3y, 2y + x)?
2 −1
A=
2 3 .
A.
1 2
[ ]
[ ]
2 −1
A= 3 2
1 1
B.
[
]
[
]
[ ]
A= 2 2 1
−1 2 4
2 1 3
D. A=
−1 2 4
2 0
E. A=
2 1
C.
A. Correta: Fazendo T(1, 0) = (2, 2, 1) e T(0, 1) = (-1, 3, 2). Escrevendo
em forma de coluna e temos a matriz da letra A.
B. Incorreta
C. Incorreta
D. Incorreta
E. Incorreta
QUESTÃO 9: Os valores próprios do seguinte operador linear T(x, y) = (2x , x +2 y)
são:
A. 2 e 3
B. 1
C. 2 e 0
D. 1 e 2
E. 2
A. Incorreta
B. Incorreta
C. Incorreta –
D. Incorreta
E. Correta →
T(1, 0) = (2, 1) e T(0, 1) = (0, 2). Obtendo a matriz:
A=
 
2
1
0
2
Determinando o polinômio característico:
∣A−λI∣=0
Para o nosso exemplo temos a seguinte situação.
   
  


∣
2
1
0
1
−λ
2
0
0
∣=0
1
∣
2
1
0
−λ 0

∣=0
2
0 −λ
∣
2−λ
1
0
∣=0 →  2−λ  2−λ  =0 - Polinômio característico
2−λ
λ= 2
QUESTÃO 10: Sabendo que a transformação linear, T : IR 2 ﾮ IR 3 , tem o
núcleo com infinitos vetores dispostos sobre uma reta do tipo (x,2x),
encontre a dimensão da sua imagem:
A. dim [ Im(T) ] = 2 .
B. dim [ Im(T)] = 0 .
C. dim [ Im(T)] = 1 .
D. dim [ Im(T)] = 3 .
E. Não podemos calcular, pois faltam informações.
A. Incorreta
B. Incorreta
C. Correta →
Utilizando o teorema:
dim(D(T)) = dim(Im(T)) + dim(N(T))
2 = dim(Im(T)) + 1
dim(Im(T)) = 1
D. Incorreta
E. Incorreta