Guia do Professor - Matemática multimídia

Números
e funções
Guia do professor
Experimento
Torres de Hanói
Objetivos da unidade
1. Utilizar o jogo de estratégia para explorar o raciocínio lógico
e a resolução de problemas;
2. Encontrar a relação algébrica que fornece o menor número
de jogadas necessárias para resolver o jogo.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Guia do professor
Torres
de Hanói
Sinopse
Este experimento se trata de um jogo conhecido por Torres de Hanói,
o qual se constrói a partir de 3 pinos e alguns discos. Ele possui regras
bem simples: os discos que, inicial­mente, formam uma torre no primeiro
pino, em ordem decrescente de tamanho, devem ser transferidos para
o último, movendo-se apenas um disco de cada vez e nunca colocando um
disco maior sobre um menor. Neste experimento, vamos, primeiramente,
pensar em uma estratégia para solucionar esse jogo usando o menor
número possível de movimentos. Depois, vamos tentar encontrar a relação
algébrica que fornece o menor número possível de movimentos em função
do número de discos na Torre.
„„
„„
Conteúdos
Sequências, Outras Sequências;
Função Exponencial, Aplicação.
Objetivos
1. Utilizar o jogo de estratégia para explorar o raciocínio lógico e a reso­lução
de problemas;
2. Encontrar a relação algébrica que fornece o menor número de jogadas
necessárias para resolver o jogo.
Duração
Uma aula dupla
Introdução
Motivação
O tema Números e Funções é de grande importância no Ensino Médio,
contribuindo para a compreensão e solução de grande parte dos pro­
blemas relacionados não apenas ao cotidiano do aluno, mas a casos mais
gerais.
O lúdico constitui uma forma agradável de apresentação ou solidifi­
cação de conceitos para os alunos. Jogos de estratégia, por exemplo, são
uma oportunidade de se aprimorar o raciocínio, a concentração, a capaci­
dade de memória, objetivando desenvolver habilidades de plane­jamento,
organi­zação e solução de problemas. Além disso, desafios como esses
permitem acompanhar o desenvolvimento dos alunos e auxiliam a obter
um melhor diagnóstico das dificuldades que eles apresentam.
Com essa intenção, foi escolhido o jogo das Torres de Hanói para estudar
o tema e chegar a um procedimento dedutivo ao determinar a relação entre
o número de discos e o número mínimo de movimentos necessários para
resolver o problema.
As Torres de Hanói são um jogo de origem oriental composto por uma base
contendo três pinos, sendo que, em um deles, estão colocados discos
concêntricos em ordem decrescente de diâmetros: os menores sobre os
maiores. O desafio consiste em transferir os discos para o terceiro pino, de
modo que fiquem dispostos como originalmente, usando o segundo pino
como auxílio. Devem ser obedecidas as duas regras básicas que seguem:
Torres de Hanói „„
„„
Apenas um disco pode ser movimentado por vez;
Não se pode colocar um disco maior sobre um outro menor.
Além desses, outro desafio é determinar o menor número possível de
movimentos em cada jogada para se chegar ao objetivo proposto, bem como
obter uma relação entre este número e o número de discos utilizados.
Este jogo foi inventado em 1883 pelo matemático francês Edouard Lucas,
que se inspirou em uma lenda sobre a Torre de Brahma. O nome Torres de
Hanói foi inspirado na torre, que é um dos símbolos da cidade de Hanói,
no Vietnã.
Existem várias lendas que dizem respeito às Torres de Brahma. Uma
delas conta que, no começo dos tempos, o Senhor do Universo teria criado
a Torre de Brahma com três pinos de diamante alinhados. No primeiro pino
colocou 64 discos de ouro maciço em ordem decrescente de tama­nho.
Aos seus sacerdotes, havia ordenado que transferissem todos os discos
para o terceiro pino movendo apenas um disco de cada vez e nunca colo­
cando um disco maior sobre um menor. Os sacerdotes, então, obedeceram
e começaram o seu trabalho, dia e noite. Diz a lenda que, quando eles
terminarem, a Torre de Brahma irá ruir e o mundo acabará.
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O experimento
Comentários iniciais
fig. 1 Torre de Hanói (com altura de 33,4m). Fotografia por Philip Jägenstedt.
Inserido no tema Números e Funções, a descoberta de padrões algébricos
que regem um fato ou experimento (ou até mesmo um jogo como o que
apresentamos) fica muitas vezes relegado a um segundo plano. Além disso,
as argumentações referentes à validação desses padrões em geral não são
desenvolvidas com os alunos, o que dificulta a participação dos alunos
na construção do conhecimento.
Este experimento, então, nos propicia a oportunidade de tratar esse
assunto, o que pretendemos desenvolver sem muito formalismo e construir
um ambiente favorável para uma aprendizagem prazerosa e desafiadora.
O experimento é dividido em três etapas; vamos a elas.
Etapa 1 Construção das Torres de Hanói
A montagem das torres deve ser desenvolvida de acordo com o tempo
disponibilizado para o experimento.
Etapa 2 O jogo
fig. 2 Localização do país Vietnã e da cidade
Hanói.
Torres de Hanói Inicialmente, o jogo deve ser colocado em prática sem muita preocupação
com os registros e tabelas, porque a intenção é que os alunos se familia­
rizem com o jogo e com a resolução do problema.
A seguir, devemos partir para o registro das jogadas em tabelas.
A tabela 1 relaciona o número de discos na primeira torre com o número de
movimentos para finalizar o jogo. A tabela 2 deve ser feita na lousa e conter
o registro dos grupos, para socialização dos resultados. É importante que
se faça com os alunos uma análise desses resultados. Na última coluna
acrescentada à tabela devem constar os números mínimos de movimentos
em cada jogada.
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Fechamento
Etapa 3 Investigação da relação
Nesta etapa, o objetivo é levar o aluno a alcançar a solução do desafio
utilizando o número mínimo de movimentos para cada número de discos
escolhidos, ou seja, encontrar uma relação algébrica entre o número
mínimo de jogadas e o número n de discos em cada jogada, relação esta
que seja válida para qualquer quantidade de discos. É importante que,
por algum tempo, os alunos sejam incentivados a tentarem encontrar essa
relação, analisando a tabela na lousa e levantado discussões a respeito
dela. Caso o objetivo não seja atingido após o tempo determinado para
a tarefa, oriente-os com questionamentos e sugestões.
Além disso, outra questão: a relação algébrica encontrada será real­
mente válida para todo número natural n? Como garantir isso?
A solução dessas questões está apresentada no Fechamento.
O Fechamento é uma importante ferramenta para avaliar o método de
aula e promover a fixação da aprendizagem do aluno. Podemos iniciá-lo
expondo na lousa a tabela 2 do experimento, a qual relaciona o número
mínimo de movimentos necessários encontrados pelos grupos para trans­
ferir os discos para o último pino e o número de discos em cada jogada.
Por exemplo, poderiam ser obtidos os seguintes dados:
Grupo 1
n
Grupo 2
…
Grupo X
Número mínimo
de movimentos Jn
1
1
1
…
1
1
2
3
8
…
5
3
3
9
15
…
9
7
4
27
18
…
15
15
5
47
56
…
62
31
…
…
…
…
tabela 1
Depois da conclusão da tabela, é interessante promover uma discussão
com a classe, questionando:
„„
„„
Qual será o próximo número mínimo?
Como determinar uma lei que relacione os termos n e o número mínimo Jn
de movimentos, para qualquer número natural n?
Como resolver o problema com n discos?
Finalmente, o desafio é encontrar uma relação entre o número de discos e
o número mínimo Jn de movimentos necessários para se transferir todos
os n discos do primeiro pino para o último, obedecendo às regras básicas
já mencionadas.
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Pelo experimento, analisando as jogadas detalhadamente, chegamos à
relação de recorrência: Jn = 2 · Jn−1 + 1. Essa expressão, como o nome
sugere, relaciona o n-ésimo termo Jn da sequência com o seu antecessor Jn−1.
Observando a tabela 2, podemos notar que na última coluna estão os
números mínimos de movimentos necessários em cada jogada.Ou seja,
aparecem os primeiros termos da seqüência (Jn) de números naturais 1,
3, 7, 15, 31, …, como na figura 2.
n
Jn
1
1
2
3
3
7
4
15
5
31
6
…
…
…
tabela 2 Primeira
e última colunas
da TABELA 1.
Na ilustração a seguir, a situação está representada em um gráfico
n × Jn para os primeiros números naturais.
Torres de Hanói
J
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
n
fig. 3 Gráfico contendo os 5 primeiros pares da sequência. Observamos que
este gráfico pode ser visto como a restrição, aos números naturais, da função
exponencial
.
É esperado que alguns alunos já possam encontrar a relação de recorrência Jn = 2 · Jn−1 + 1. Gostaríamos agora que os alunos chegassem à
relação: Jn = 2n − 1 por meio de análise da tabela, pela observação da
sequência numérica (Jn) resultada ou até mesmo pela relação de recorrência
encontrada. Se necessário, sugira aos alunos que considerem a sequência
na qual cada um de seus termos é dado pelo termo correspondente da
10 1 1 1 2 1 2 2
1 1 21,2ou
142seja,
142 842,84,16
84, 16
8 ,16
83216
3216
32
2e0escrevam
32
2−0 232
1−0 12−021cada
2−
2−
1−21−
1 12−212−2−1−21−1
sequência (Jn) mais o número
,…,
4 isso,
8 peça
16que escrevam
32 20 − 1 21 −
um de seus termos como uma potência1 de 2. Feito
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Princípio da Indução Matemática
0
0
4 1,8 2 16 4 328 216
− 1 32 212−
−
1 1 22 2−1 1− 123 2−2 1− 124 2−3 1− 125 2−4 1− 1 25 − 1
cada um dos termos da sequência (Jn) como uma potência1de 2 menos
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5 5
N conjunto
1n+1S
=números
N
S N , 1talnque
+ 11S2 =
3 4N5 6
1 21 2 2os
4 4primeiros
48 8 81616
163232como:
32202−
2−1 −
1 12, 12−
2−1 −
1, 2122−
2−1,−
1 2132−
2−1 −
1 2142−
2−1 −
1 21Dado
2−2−1um
−
1 1subconjunto S do
chegando a1escrever
termos
dos
naturais
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
n pertence a S , N
Nsempre
1 n +que
1 Sum
= número
N
n
S+
N 11Sn=
+N
1S=N
2−
2−1−1 12 2−
2−1−1 12, 2−
2−1−1,12 2−
2−1−
1 isso, esperamos que os alunos consigam
.1Com
pertence a S e,
seu1sucessor
N
11 nn+
+11 SS =
=N
N, ou seja, todo número natural
observar e conjecturar que o n-ésimo termo da sequência é dado por
também pertence aSS ,N
temos
que
pertence ao conjunto S . N 1 n + 1 S = N
Jn = 2n − 1.
Será que de fato o número mínimo de movimentos necessários para
finalizar o jogo com uma torre de 105 discos é 2105 − 1? E com 1000 discos,
quantos movimentos são necessários?
Esse princípio fornece uma poderosa técnica de demonstração em
Antes de responder a essas perguntas, vamos analisar uma outra
matemática: a demonstração por indução. Com ele, podemos demons­
situação:
trar que:
Seja a seguinte sentença matemática:
“n2 − n + 41 é um número primo, para todo número natural n”
É fácil ver que essa sentença é verdadeira para os números naturais
O número mínimo de movimentos necessários para finalizar o jogo com
uma torre de n discos é Jn = 2n − 1.
111,1121222,23233334,34444545,5556566,666. Para isso, basta substituir cada um desses números em
n2 − n + 41 e ver que resultam em números primos.
Nconjunto
1 n + 1dos
S =números
N
De fato, considerando S o
naturais n para os
n
Porém, será que podemos afirmar que a sentença é verdadeira para todo
quais Jn = 2 − 1, temos:
n+1
1 ,∈
11=−211 n
−∈1;S
n∈
S 1n ∈
+ S1 ∈
S J=
= 2−
número natural n?
„„ 1 ∈ S
Jpois
n+
Jn+1
2n+1
1 −1
1 = 2
n+1
1S=J1
2
1
nn+1
n = 41 em n − n + 41 , obtemos
Veja para n = 41. Substituindo
Supondo
1 ∈ S J„1„ =
1 = 2 que
− 1 n ∈ S , nisto
+ 1é,∈ que
S Jn+1
= 22 − 1−, 1vamos provar que
Jn =
dizer
seja,
1=
21 n−+1 1n ∈∈ SS, Jou
nn+1
+
1=∈que
S Jn+1
412 − 41 + 41 = 412 , que não é um número primo. Isso equivale
1 ∈a S
J1 = 11 ∈=S21J−
1n
∈S
2n+1
− 1 = 2n+1 − 1.
1 =
que a sentença não é verdadeira para todo n, ou seja, a sentença é falsa.
Esse fato traz o seguinte alerta: será que a relação encontrada no
Pela relação de recorrência já obtida, temos:
experimento é válida para todo número natural? É possível testar, um por
um, para todos os números naturais?
Jnn =
− 21 = 2 × 2n − 2 + 1 = 2n+1 − 1.
Jn+1 = 2Jn + 1 = 2(2
− 21)n +
Na impossibilidade de realizar o experimento e verificar que é válido
para cada um dos números naturais de modo direto, precisamos
é, n + 1 ∈ S . Jn+1 = 2n+1 − 1
1 ∈ S de
J1 um
= 1 = 21 − 1 n ∈ S n + 1 Logo,
−11,nisto
∈ S J1n+1
= 1==2n+1
21 −
∈S
n
N 1 n + 1 S = N , ou seja, a
método para argumentar e mostrar que a fórmula Jn = 2 − 1 é válida
Portanto, pelo Princípio de InduçãoS Matemática,
n
para todo número natural n, ou seja, precisamos validar essa conjectura
fór­mula Jn = 2 − 1 é válida para todo número natural n.
utilizando algum método de demonstração.
Neste caso é apropriado utilizar o Princípio de Indução Matemática:
Sobre a sequência 2n − 1
Variando o número de discos n = 111
,12222
, 3333,44445
,5556,666…, obtemos o número mí=
156,31
31
31, …, respectiva1=1211, 333,7477,15
515
nimo de movimentos em cada jogada JJJnnn=
mente, ou seja, obtemos a seqüência (J
JJnnn) =
=
=(222nnn−
−
−111). Observe que é uma
sequência que pode ser vista como sendo consequência da sequência
Jn =( 2n),− 1
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Variações
2 3cada
4 5um
6 de seus termos. Assim, o conhecimento da
da qual subtraímos 1 de
seqüência
Jn =( 2n ),−que
1 é uma progressão geométrica de primeiro termo igual
1 2 e3termo
4 5 6geral igual
a 20 = 1, razão
pode
Jn =a 2n ,−
1 auxiliar na interpretação e
entendimento do que acontece com o número mínimo de jogadas quando
aumentamos o número de discos. Desse modo, esse experimento pode ser
É possível trabalhar com os alunos outras relações entre dois números
visto como uma motivação para o estudo de progressões geométricas.
naturais, sequências, sequências especiais como a progressão aritmética e
JJJnnn=
=
=
156,31
31
31, … são os
1 1211, 333,7477,15
515
Também, os números mínimos de movimentos
a progressão geométrica. Veja, por exemplo a sequência de Fibonnacci, que
x
aa3 3==aa1 1+e+aa2,2aos
a4 4dois
==aa2primeiros
valores assumidos nos números naturais pela função f (x) = 2 − 1 , cujo
é definida a partir de dois números conhecidos,
2++aa
3 3aa
5 5==aa
3 3++aa
44
domínio é o conjunto dos números reais. Assim, o conhecimento do com­
termos da sequência. A sequência de Fibonnacci é definida por uma relação
f (x) = 2x,−
1
portamento e do gráfico da função exponencial
e consequentemente
de recorrência, como:
x
a3 = a1 + a2, a4 = a2 + a3 a5 = a3 + a4 an = an−2 + an−1
da função transladada verticalmente de −1, ou seja, f (x) = 2 − 1 ,
a3 = a1 + a2 a4 = a2 + a3, a5 = a3 + a4 an = an−2 + an−1
fornece informações importantes para uma interpretação do que acontece
a3 = a1 + a2 a4 = a2 + a3 a5 = a3 + a4. an = an−2 + an−1
com o número mínimo de movimentos necessários quando aumentamos
cada vez mais o número de discos na torre.
a3 podem
= a1 + a2 a4 = a2 + a3 a5 = a3Assim,
+ a4 an = an−2 + an−1.
Da mesma forma, observamos que progressões geométricas
ser vistas como restrições de funções exponenciais em que o domínio é
o conjunto dos números naturais. Assim, é pertinente olhar este experimento
como uma motivação para abordar características e comportamentos de
gráficos de funções exponenciais.
Bibliografia
Ávila, G. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Blücher,
3ª edição, 2006
Hefez, A. Indução Matemática. Programa de Iniciação Científica da obmep,
vol. 4, sbm, 2007.
Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. E., Morgado, A. C. A. Matemática
do Ensino Médio, vol. 1, Coleção do Professor de Matemática. sbm. 1999.
Watanabe, R. Vale para um, vale para dois, vale para três, ... Vale sempre?.
Revista do professor de Matemática, nº 9, sbm, 1986, p. 32–38.
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Ficha técnica
Autoras
Claudina Izepe Rodrigues,
Eliane Quelho Frota Rezende e
Maria Lúcia Bontorim de Queiroz
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
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Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
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Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
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Edmundo Capelas de Oliveira
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