Apostila Análise de Circuitos CA

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Números Complexos
4 ?
Definição:
Unidade imaginária:
Professor: Neury Boaretto
j  1
ou
j 2  1
Desta forma:
Material disponibilizado pelo autor do livro em: www.eletronica24h.com.br
 4  ( 1).4 
Curso Online: http://www.eletronica24h.com.br/Curso%20CA/index.htm
Analise de Circuitos em Corrente
Alternada - Ed. Erica
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Formas de Representação de um Numero Complexo
Deduções:
•Forma Cartesiana (Retangular)
•Forma Polar
•Forma Trigonométrica
j 3  j 2 . j  ( 1). j   j
j 4  j 2 . j 2  ( 1).( 1)  1
5
2
 1. 4  j 2
Forma Cartesiana
2
j  j . j . j  ( 1).( 1). j  j
a e b são números reais
Z=a+jb
j 6  j 2 . j 2 . j 2  ( 1).( 1).( 1)  1
j é a unidade imaginária
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Forma Cartesiana (Retangular)
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Exemplos:
Representar os números complexos no plano cartesiano
Eixo Imaginário (Im)
Z1=4+j4
Im
Z(a,b)
Plano Cartesiano
Z1
4
b
Eixo Real (R)
4
R
a
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1
Z3=j3 (não tem parte real)
Z2=7 (não tem parte imaginária)
Im
Im
Z3
3
Z2
R
7
R
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Z5=3+j3
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Forma Polar
Z4=-3+j2
Im
Z4
Im
MÓDULO
Z=a +jb forma cartesiana
Z5
3
b
P
FASE
2
Z
1
-3

1
-1
-2
2
3
R
-1
o
Segmento de reta
OP  Z
Representa o MODULO
Do numero complexo z
-2
a
R
O ângulo  representa o
ARGUMENTO ou ÂNGULO DE
FASE de z
-3
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Transformação da Forma Cartesiana para Polar
Forma Polar
Na forma polar um numero complexo é representado por:
Z  a 2  b2
Dado: z=a+jb
Im
Determinar: Z e 
z= Z
Z é o módulo
e
 é a fase do numero complexo

tg  
b
a
  arctg 
Numero complexo é representado por letra minúscula, z
b
b
Z

a
Z= Z

Forma alternativa
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R
a
E o seu módulo por letra maiúscula, Z
z= Z

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2
Exemplos:
Transformar os números para a forma polar
Z2=7 (não tem parte imaginária)
Z1=4+j4
Z2=7
Im
Z1 
4 2  42  4 2
Im
2=00
z1
4
1  arctg
Z1
4
4
 45
0
1
2
R
4
z1 = 4 2
Z2
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7
00
z2 = 7
z2
450
R
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Z4=-3+j2
z3=j3 (não tem parte real)
Im
Z3=3
3=900
Im
z3
Z 4  ( 3) 2  2 2  13  3,6
z4
3
z3 = 3
Z3
900
 '  arctg
2
Z4
4
’
3
4=180-34=1460
R
-3
Ou..........
2
 340
3
R
z3 = 3
 2700
z4 = 3,6
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1460
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Z6=-4-j3
Z5=-5
Im
Im
Z5=5
6
5=1800
Z 6  (4 )2  ( 3) 2  5
 '  arctg
-4
3
 37 0
4
5
’
z5
Z5
R
Z6
-3
R
z5 = 5
z6
1800
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6=180+37=2170
z6 = 5
2170
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3
Z7=-j4
Z8=4-j3
Z7=4
Im
Im
Z 8  4 2  ( 3) 2  5
7=2700
7
 '  arctg
8
3
 370
4
4
R
z7
z7 = 4
-4
R
’
2700
-3
Z8
z8
z8 = 5
Ou.....
z7 = 4
8=360-37=3230
 90 0
ou...............
z8 = 5
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Operações com Números Complexos
SOMA e SUBTRAÇÃO
Na soma e na subtração é usada a forma cartesiana
3230
 37 0
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Operações com Números Complexos
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Na multiplicação e divisão é usada a forma polar
z1=4+j4=5,65 450
Z3=-j4=4 -900
z1=10+j10 z2=5+j4
z2=5+j8,66=10 600
Z4= -5+j8,66= 10 1200
z3=z1+z2=(10+j10) + (5+j4)= (10+5)+j(10+4)=15+j14
z4=z1-z2= (10+j10) - (5+j4)= (10-5)+j(10-4)=5+j6
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Exercícios Propostos
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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
Dados os complexo:
z1=4+j4=5,65 450
Z3=-j4=4 -900
z2=5+j8,66=10 600
Z4= -5+j8,66= 10 1200
Obter:
a) Representação no plano cartesiano de z1,z2,z3 e z4
b) z2.z4
z2.z3
c) z2/z4
z2/z3
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4
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
Tensão Alternada
Tensão Continua: Tensão que tem sempre a mesma polaridade
Símbolo
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Uxt
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5
Tensão Senoidal
Tensão Alternada
É uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal
É uma tensão cujo valor e polaridade se modificam ao longo do tempo.
Conforme o comportamento da tensão então temos os diferentes tipos de tensão:
Senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc
T=Período
Representação Gráfica e Expressão Matematica
v(t) = VP.sen(w.t +θ0)
ω é a freqüência angular
VPP
VP
VP é o valor de pico
VPP é valor de pico a pico
θ0 é o ângulo de fase inicial
θ = ω.t +θ0
VP= valor de pico=12V
VPP=valor de pico a pico=24V
No exemplo
v(t) = 10.sen(1000.π.t ) (V)
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Representação Gráfica e Expressão Matemática
Período (T) e Frequência (f)
v(θ) = VP.sen θ
Período (T) é o tempo necessário para o fenômeno voltar a se repetir
(completar um ciclo)
T   segundo(s)
Freqüência (f) é o numero de ciclos completados por segundo
θ=w.t=ângulo descrito
 f   Hz
ou ciclo / segundo
1
T
T 
f 
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1
f
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Movimento Circular Uniforme
Frequência Angular (ω)
A=amplitude do segmento
Representa a variação angular em função do tempo
   rd / s ou
graus / s
θ = ω.t
Se
2.π = ω.T
θ=2.π, o tempo será t= T

2.
T
ou
  2. . f
A projeção do segmento no eixo vertical representa uma grandeza
senoidal de amplitude A e fase inicial θ0
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Movimento Circular Uniforme
Movimento Circular Uniforme
Neste caso a grandeza senoidal tem ângulo de fase inicial 0 e portanto
a expressão que representa a grandeza é: A.sen(w.t)
Neste caso o ângulo de fase inicial é -45 graus e a expressão em função do tempo
que representará a grandeza em questão será: A.sen(w.t-45)
Em todos os casos a grandeza em questão pode ser tensão, onde A será
O valor de pico (Vp) e w a frequencia angular a qual estará relacionada com
A frequencia por w=2.π.f
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V(V)
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Analise de um sinal senoidal
Determinando um valor de tensão
Expressão em função do tempo:
V(t)=5.sen(8.π.t) (V)
V(t)=5.sen(8.π.t) (V)
Qual o valor da tensão para t=0,6s? V(0,6s)=5.sen(8. π.0,6) =2,94V
5
0
0,250
0,500
0,125
0,375
t(s)
5V
2,94
-5
0,125
0,250
0,375
0,500
0,625
0,850
0,975
1,000
Tensão de pico: VP =5V
0,6
Tensão de pico a pico: VPP=10V
f 
Período: T=0,25s
Analise do sinal
1
 4 Hz
0,25
-5V
Frequência Angular: w=2.π.4=8.π rd/s
Ângulo de fase inicial: θ0=0
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Ângulo de Fase Inicial
Ângulo de Fase Inicial
Se para t=0 a tensão é diferente de zero, dizemos que o sinal tem uma
fase inicial.
Sinal atrasado
v(t) = VP.sen(w.t +θ0)
Sinal adiantado
Θ0 < 0
Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t-900) (V)
v(V)
VP
Θ0 > 0
v(V)
VP
Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t+900) (V)
θ0
w.t(rd)
θ0
w.t(rd/s)
-VP
-VP
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Exemplos
Para os sinais pedem-se determinar: a) Freqüência angular b) freqüência
c) Periodo d) Ângulo de fase inicial e) Representar graficamente
f) Indicar o valor da tensão para t=0
e)
1) v1(t)=10.sen(20.000. π.t + π/3) (V)
a) w=20.000. π rd/s
600
b)

20.000 .

 10.000 Hz  10 KHz
2.
2.
f 
c) T 
d)
1
 0,0001s  0,1ms  100 s
10 .000
Θ0= π/3=600
f) No instante t=0 v1(0)=10.sen(w.0+600)=8,66V
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V2=15.sen(8.000. π.t – 300) (V)
a) w=8.000. π rd/s

8 .000 .
b)
f 

 4. 000 Hz  4 KHz
2 .
2 .
c) T 
d)
e)
1
 0,00025 s  0,25 ms  250 s
4.000
Θ0=-300
f) No instante t=0 v2(0)=15.sen(w.0-300)=-7,5V
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Defasagem
A diferença de fase (Δθ) entre dois sinais de mesma freqüência
é chamada de defasagem, sendo medida tomando-se um dos sinais
como referencia
Ex: Qual a defasagem entre os sinais a seguir
v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)
v2(t)=5.sen(w.t) (V)
Δθ=θ1 – θ 2=90-0=90
300
-7,5V
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v1(t)=10sen(w.t+900) (V)
v2(t)=5.sen(w.t+900) (V)
Δθ=90 – 90=0
Δθ
v1 está 900 adiantado em relação a v2
Os sinais estão em QUADRATURA
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Sinais estão em FASE
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8
Representação Através do Diagrama Fasorial
v1(t)=10sen(w.t) (V)
v2(t)=5.sen(w.t+180)(V)
Δθ=180 – 0=180
É uma outra forma de representar uma tensão senoidal.
Vetor girante
Cada vetor (neste caso chamado de fasor), representa a tensão em um
determinado instante.
Observar que a tensão instantânea é a projeção no eixo vertical do vetor girante
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Representar os sinais no Diagrama fasorial (DF)
Diagrama Fasorial (DF)
Tensão senoidal representada no DF
V1 (t)=10.sen(w.t + 900)
10.sen(θ)
O fasor de amplitude 10V gira no sentido anti horario com
frequencia angula w
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V2 (t)=10.sen(w.t - 90o)
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Defasagem entre as duas tensões
V1 está adiantada em relação a V2
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Representação na Forma Complexa
Exercício Proposto
Numero Complexo tem:
Modulo
e
fase
1) Desenhar o Diagrama Fasorial dos sinais:
Tensão Senoidal tem:
Modulo
e
fase
v1(t)=10.sen(w.t+600) (V)
v2(t)=15.sen(w.t-300) (V)
Portanto..........................
2) Qual defasagem entre as tensões?
Forma Trigonometrica: v(t)=VP.sen(w.t+θ 0)
Forma Complexa:
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v=VP
θ0
VP.cos θ0 + j V P.sen θ 0
a
b
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Dadas as tensões
Resumo: Formas de representar uma tensão senoidal
v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)
v2(t)=5.sen(w.t) (V)
Expressão Trigonométrica
Pede-se: a) v3= v1+V2
v(t)=12.sen(w.t+600) (V)
b) Representar V3 no diagrama fasorial
c) Dar a expressão de V3(t) d) Representar V3 na forma polar e cartesiana
Diagrama Fasorial
Numero Complexo
v  6  j10,39 ( V )
Forma de Onda
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Circuitos Resistivos em CA
Em um circuito puramente resistivo (só com resistências) alimentado com uma
tensão alternada (CA) a tensão e a corrente estão em fase, sendo a relação entre
elas dada pela lei de ohm, isto é :
Como tensão e corrente estão em fase, concluímos que:
V(t) =Vp.sen(ω.t+θ0)
i( t ) 
v( t ) VP .sen( .t   0 )

 IP .sen( .t   0 )
R
R
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IP 
VP
R
Uma resistência pode ser representada por um numero complexo
Com parte imaginaria nula
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10
Valor Eficaz (VRMS)
A Tensão Alternada é senoidal
Dado uma tensão alternada (qualquer) v(t) define-se valor eficaz
T
Definição matemática:
VRMS 
1
. v 2 (t)dt
T 0
Qual deve ser o valor da tensão continua para aquecer R igualmente ?
Significado Físico: O valor eficaz de uma tensão alternada
senoidal é igual ao valor da tensão continua que produz mesmo
aquecimento
V
VP
2
 VEficaz  VRMS
RMS= Root Mean Square = valor quadrático médio
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Como Calcular a Potencia dissipada em CC ?
E no caso de uma tensão senoidal?
Vp
P  V.I
2
P
Qual a relação entre a tensão da bateria e a tensão de pico da senoide
para que o aquecimento seja o mesmo nos dois casos?
V
R
P  VRMS .IRMS
P
P  R.I2
2
P  R.IRMS
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Potencia
Qual o valor da tensão continua que produz mesmo aquecimento em um resistor
de 50 ohms ligado a uma tensão senoidal de 310V de pico?
VRMS 2
R
em Circuito Resistivo em CA
A potencia em CA é obtida pelo produto do valor instantâneo da tensão pela corrente
instantânea:p(t)=v(t).i(t)
p(t)=v(t).i(t)
Vp=17V e VRMS=12V
VEF 
VP 310V

 220V
2
2
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A potência dissipada no resistor
será igual ao valor médio da
potencia instantânea
Ip= 4,25A IRMS=3A
P=VRMS.IRMS
No exemplo:
P=12V.3A=36W
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Genericamente para qualquer circuito
Dado as tensões:
P  VRMS .IRMS . cos 
v1(t)=20.sen(w.t) (V)
v2= 5
0 0 (V)
V3=20+j15(V)

é o ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão
No CASO DE CIRCUITO RESISTIVO
1) Representar as três tensões no DF
  00
2) Obter
cos 00  1
2a) v4=v1+v3
P  VRMS.IRMS
2b) v5=v1+v2+v3
3) As tensões V1 e V3 são aplicadas respectivamente em R=10 Ohms e
R=5 Ohms. Calcule em cada caso a) expressão de i(t) b) Potencia dissipada
mm cada caso.
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Capacitor
Capacitância (C)
Dispositivo usado para armazenar cargas elétricas
É a medida da capacidade que tem o dispositivo de armazenar cargas elétricas
Placas de area
S(m2)
terminais
O seu valor é especificado em Farads (F) e depende das dimensões (S, d) e do
material de que é feito o dielétrico (isolante que separa as duas placas).
Para um capacitor de placas planas e paralelas de área S, separadas por
Uma distancia d, a capacitância será dada por:
Dielétrico (isolante)
d(m)
C  K . 0.
Símbolo
S
d
Onde ε0 é a permissividade dielétrica do vácuo
ε0=8,85pF/m
K é a constante dielétrica do material. Por exemplo: Vidro K=4,5, vácuo K=1
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Relação entre tensão (U), carga elétrica (Q) e capacitância (C) em um capacitor
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Tipo de Capacitores
Eletrolítico
U
Q +
+
Poliéster
Cerâmico
Q=U.C
C
- -
Q é a quantidade de cargas em Coulombs (C)
U é a tensão aplicada em volts (V)
C é a capacitância em Farads (F)
Tântalo
A quantidade de carga é diretamente proporcional a U e a C
Ex: se C=100µF
Q=100.10-6.10=
e
U=10V qual a carga armazenada?
10-3C=1mC
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12
Capacitores Polarizados (Valor maior que 1uF)
Capacitores Não Polarizados (Valor menor que 1uF)
Eletrolíticos
Símbolo
0.1=0.1uF
Tântalo
100n=100nF=0,1uF
10 Numero: Primeiro Digito (1)
20 Numero: Segundo Digito (0)
30
C=1000pF=1nF
Numero: Numero de zeros (00)
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Usando Código de Cores (Poliester)
Qual o valor da capacitância? Da tolerancia? Da máxima tensão?
Amarelo=4
Violeta=7
Laranja=3
Vermelho=2
Violeta=7
Preto=20%
Amarelo=4
Vermelho=250V
Valor=270000pF=270nF=0,27uF
Tolerância
20%
Máxima Tensão
5%
100V
10%
250V
Valor=47000pF=47nF=0,047uF
400V
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Capacitores Variáveis
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Capacitor em CC
No circuito, a chave é fechada em t=0, considerando que o capacitor está inicialmente
descarregado, VC(0)=0
VR=VCC
VR
I
t=0
Vcc
De acordo com a 2a Lei de Kirchhoff:
Trimmer
Em t=0
I ( 0) 
I
VCC =VR + VC (em qualquer instante)
VR(0) + VC(0)=VCC >>>>>>>
VR ( 0 ) VCC

R
R
VC=0
VCC
VC
VR(0)=VCC
C começa a se carregar, VC começa a aumentar......
...e VR começa a diminuir, conseqüentemente I
Depois de um tempo (que depende de C e R), o capacitor estará carregado
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13
Gráficos
Conclusões:
•Do ponto de vista físico não existe movimento de cargas (corrente) através do
capacitor (as cargas se movimentam no circuito externo)
•A corrente no capacitor está adiantada em relação à tensão
•O tempo de carga depende da constante de tempo do circuito definida como
sendo
 =R.C, sendo C em Farads (F)
R em Ohms (  em segundos(s)
•Na pratica bastam 4 constantes de tempo para carregar um capacitor
VR=0
VC=VCC
I=0
VCC
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R
C
+ +
- -
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Equações: Tensão no Capacitor e Resistor
Carga Total
e=base do logaritmo neperiano=2,71828........
Teoricamente, de acordo com a equação de vC(t), o capacitor estará totalmente
carregado para um tempo infinito.
VR
7,56V
vc(t)=VCC.(1-e-t/RC) (Função Exponencial)
VC
vR(t)=VCC.e-t/RC
4,44V
Na prática podemos considerar o capacitor carregado para t=44.R.C
Para t=4.R.C
vc(4.R.C)=VCC.(1-e-4)=0,98.VCC=11,76V
t=s
Para t=0
na expressão de vC(t)
na expressão de vR(t)
Para t= R.C=2s
vc()=VCC.(1-e-0)=0
vR(0)=VCC.e-0=VCC=12V
na expressão de vC(t)
na expressão de vR(t)
vc(R.C)=VCC.(1-e-1)=0,63.VCC=7,56V
vR(R.C)=VCC.e-1=0,37.VCC=4,44V
t=4.
t=
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Curva de Descarga
Descarga do Capacitor
Considerando o capacitor totalmente carregado com VC =VCC=12V
Como fazer para descarregar o capacitor ?
Vc=12.e-t/RC
Deve haver um condutor entre as placas para que ocorra a descarga
4,4V
Se for um fio a descarga será instantânea, caso contrario o tempo de descarga
dependerá da resistência.
Para t=RC a tensão em C cai para v(RC)=0,37.Vcc=0,37.12=4,4V
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14
Associação de Capacitores
Paralelo
Serie
1
1
1
1



Ceq
C1 C2 C3
Para dois em serie:
C eq 
C eq  C1  C 2
C1 .C 2
C1  C 2
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Capacitores Polarizados
Capacitor em CA
Se a um capacitor ideal for aplicada uma tensão senoidal, a corrente resultante
será senoidal e adiantada de 900 em relação à tensão aplicada.
+ +
- -
+ +
100uF
- -
100uF
+ +
+ +
+ +
v(t)= vC(t) =VP.senwt
50uF
100uF
- -
100uF
50uF
+ +
- -
- -
+ +
- -
- -
+ +
100uF
100uF
- -
200uF
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Neste caso v(t)=VP.senw.t
ou
IC(t)=IP .sen(w.t+900)
ou
v=VP
00
IC=IP 900
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Exercício1: Calcule a intensidade da corrente no circuito em seguida desenhe
o diagrama fasorial, se a fase inicial da tensão é zero.
Reatância Capacitiva
É a medida da oposição oferecida pelo capacitor à passagem da corrente alternada
é calculada por:
XC 
V
V0
V


  90   jX C
I C I C 90 I C
Solução: Como são dados C e a freqüência, podemos calcular a
reatância capacitiva (Xc) :
com
C em Farads (F), f em Hertz (Hz)
resultando XC em Ohms (Ω)
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15
Calcular a intensidade da corrente para cada posição da chave.
A
B
I=4,5mA
110V/60Hz
V= 120V
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Triangulo das Tensões
Circuito RC Série
V
Num RC serie a corrente continua na frente da tensão mas de um angulo menor do
que 90º. Seja a fase da corrente igual a 900 (arbitrariamente).


I
V
VR
V 2  VR2  VC2
VR
VC
Dividindo todos os lados por I teremos um triangulo chamado de
Triangulo de Impedâncias
v
VC
Triangulo das Impedâncias
V/I

Ângulo de defasagem 
cos = VR / V
logo
V
Z
I
VR/I
VC/I
= arccos(VR /V)
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Impedância do circuito
VR
R
I
Resistência do circuito
VC
 XC
I
Reatância do circuito
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Triangulo das Potências
Z 2  R 2  X C2

XC
Cos  
z  Z 
Se no triangulo das tensões os lados forem multiplicados por I obtemos o que
É conhecido como Triangulo das Potências
R
Z
Z=R-jXC
PAp  V .I
V.I
VR.I

R

Z
P  VR . I
PR  VC .I
VC.I
PAp=potência aparente (VA)
P=potência real (ativa)(W)
2
PAp
 P 2  PR2
PR= potência reativa (VARC)
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16
Indutor
Chamamos de indutor a um fio enrolado em forma de hélice em cima de
um núcleo que pode ser de ar ou de outro material. A figura mostra o
símbolo para indutor com núcleo de ar, de ferro e de ferrite.
Força Eletromotriz Induzida
Para que uma tensão s eja induzida em uma espira ou em um enrolamento, é necessário que haja variação do fluxo
magnético através da espira ou do enrolamento. A figura a seguir mostra um exemplo de induç ão de tensão em um
enrolam ento (bobina).
A Lei de Lenz diz que o sentido da corrente induzida deverá ter orientação de tal forma que origine um campo
magnético variável que se opõe à variaç ão do fluxo magnétic o original.
Indutor em Corrente Contínua
O que acontece quando no circuito da Fig. 02 fechamos a chave no
instante t=0? A tensão é aplicada no indutor mas a corrente leva um certo
tempo para crescer, a explicação é um fenômeno chamado auto indução que
faz aparecer uma tensão e que se oporá ao crescimento da corrente.
Ao abrir a chave, no instante t2, novamente esse fenômeno vai atuar na
bobina não deixando a corrente se anular instantaneamente, fazendo aparecer
uma tensão e com a polaridade tal que se opõe à diminuição da corrente.
Observe que isso faz aparecer uma tensão nos terminais da chave que é igual a
E + e, que pode causar uma arco de corrente.
Concluímos que um indutor se opõe à passagem de uma corrente alternada (se
opõe à variação de uma corrente) e que a corrente está atrasada em relação
à tensão (a tensão já está aplicada e a corrente começa a aumentar).
A indutância (L) de um indutor é um parâmetro que dá a medida da
capacidade que tem o indutor de armazenar energia no campo magnético, a
sua unidade se chama Henry (H).
Fig04: Indução de tensão provocada pela v ariaç ão da intensidade do cam po m agnético de um imã
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Indutor em Corrente Alternada Senoidal
A corrente em um indutor está atrasada em relaç ão à tens ão em um circuito CC. O que acontece se alimentarmos um
indutor ideal (não tem resistência ôhmica) de indutância L c om uma tensão alternada senoidal de freqüência f ?
Obs: Um indutor ideal (que não existe) não tem resistência ôhmica (R).
No circuito da Fig04, a corrente continua atrasada em relação à tensão e de um angulo bem definido, no caso 90º.
Observe que a fas e da tensão foi considerada arbitrariam ente igual a 0º.
( a)
(b)
(a)
(c)
Fig02: Indutor em CC ( a ) Instante que a chave é fechada ( b )
Corrente em regime ( c ) Instante que a chave é aberta
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1.4. Reatância Indutiva
Como vimos um indutor se opõe à variação de uma corrente. A medida desta oposição é dada pela sua reatância
indutiva (XL ), sendo calculada por:
(b)
Fig04: Indutor em CA - (a) circ uito; (b) diagrama fasorial (fasor em vermelho: corrente; fasor preto: tens ão)
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Circuito RL Serie
Na prática um indutor apresenta resistência ôhmica, portanto, em um
Indutor a corrente sofre dois tipos de oposição:
IMPORTANTE !!!!!
•A resistência ôhmica do fio (R) que tende a manter tensão e corrente em fase
Com L especific ado em Henries (H), f em hertz ( Hz ), XL em ohms (
).
Exercício1: Uma bobina tem 0,1 H de indutância, sendo ligada a um a tensão de 110V, 60Hz. Determinar:
a) Reatância da bobina (XL ) b ) Valor da corrente no c ircuito ( I )
Solução:
a)
XL = 2. .60.0,1 = 37,7
b) I = V / XL = 110 / 37,7 = 2,9A
•A reatância indutiva (XL) que tende a defasar tensão e corrente em 900
A combinação dos efeitos da resistência com da reatância é chamado de.......
Impedância (Z)
A corrente ainda continua atrasada em relação à tensão mas de um ângulo
menor do que 900
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17
Circuito RL serie
Diagrama Fasorial
Impedância Indutiva (ZL)
V

VL
VR
A oposição que um indutor real oferece à passagem de uma corrente
Alternada é uma combinação da resistência ôhmica com a reatância
Indutiva sendo chamada de impedância
I
I
I
Considerando a fase da corrente nula
v
v
Numero
complexo
Numero
complexo
Z 
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Relações no Circuito RL Serie
i=I
V

VL
VR
Impedância na Forma Polar
00
V
vL=VL
900
vR=VR
0o
xL=XL
900 = jXL =
I
Modulo:
VL
I
VR
I
V VR VL


I
I
I
V=VR + VL dividindo por I
IMPEDANCIA
NA FORMA
CARTESIANA

VL
VR
Z 
R 2  X L2
I
  arctg
Fase:
00 = R =
r=R
Z  R  jX L
Numero
complexo
V
I
XL
R
ou
  arccos
R
Z
Portanto..............
z=Z

Ou na forma polar.........
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Exemplo: Dado o circuito pedem-se:
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a) A impedância na forma cartesiana é Z=30+j40 (Ω)
Na forma polar:
O modulo de Z
a) Valor da impedância e sua representação nas formas polar e cartesiana
A fase de Z
Z  30 2  40 2  50
  arctg
b) Valor de da indutância
40
 530
30
c) Valor da corrente e sua representação nas formas polar e cartesiana
d) Valor de VR e VL e suas representações na forma polar e trigonométrica
e) Diagrama fasorial
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Z=50
530 (Ω)
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18
VR=R.I= 30 00 .
d)
b) Pela reatância indutiva tira-se L
40
 106mH
2. .60
L
X L 2. . f .L
2,2 370 = 66
VR = 66
VL=XL.I= 40 900 .
370
370
(V)
(V)
2,2 370 = 88
1270
(V)
c) Corrente no circuito
I
v 11090 0

 2,237 0 ( A)
Z
50530
VL= 88
1270
(V)
0
vR (t )  66. 2 .sen( 2. .60 .t  37 )  66. 2 .sen(377.t  37 0 )(V )
i=2,2.cos370 + j2,2.sen370 =1,75 +j1,32 (A)
v L (t )  88 . 2 .sen (377 .t  127 0 )(V )
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Potencia Em um Circuito RL Serie
e) Diagrama Fasorial
Para a analise da potencia seja o triangulo de tensões do diagrama fasorial
V(110V)
Multipliquemos cada um dos lados por I, resultará o triangulo de potencia
530
V.I
VL(88)V
1270
I(2,2A)
VR(66V)
V

VL

VL.I
370
VR
I
VR.I
I
P=VR.I=V.I.cos é a potência real ou ativa do circuito (W)
PAP=V.I é a potencia aparente do circuito (VA)
PR=VL.I=V.I.sen é a potencia reativa do circuito (VARi)
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Triangulo de Potencias
P=PAP.cosΦ=V.I.cos Φ
Carga Puramente Resistiva
PAP =V.I
PR=VL.I
2
PAP
 P 2  PR2
Φ=0 portanto cos Φ=1 a carga aproveita toda a energia fornecida
Pelo gerador

Carga Puramente Indutiva
P=VR.I
Φ=90 portanto cos Φ=0 não há potencia ativa a carga troca
energia entre o gerador.
Fator de potencia
Carga Indutiva e Resistiva
É UMA MEDIDA DO APROVEITAMENTO DA ENERGIA
È definido como sendo
FP= cosΦ=
Φ<90 portanto cos Φ<1 há potencia ativa a carga aproveita
apenas uma parte da energia fornecida.
P
PAP
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19
1) A potencia consumida (ativa) por uma instalação elétrica
é de 2400W. Se a tensão de alimentação é 220V, calcular a
potencia aparente e corrente quando:
a) FP=0,9
3) No circuit0 a leitura dos instrumentos é V=220V. I=55A e
P=10KW.
Calcular: a ) Impedância do circuito b) Valor da resistência e
indutância (f=60Hz) c) Potencia aparente e reativa d ) FP
b) FP=0,6
2) Um circuito consome 10A, quando ligado em 220V. Um
wattimetro ligado ao circuito indica 2000W. Calcular o fator
de potencia do circuito e a potencia reativa.
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4) No circuito VR(t)=10.sen(ω.t-300)(V). Determinar:
a) i(t)
b) v(t)
Circuitos Mistos
Para resolver um circuito misto, deveremos
primeiramente calcular a impedância equivalente,
para em seguida calcularmos todas as
correntes e tensões. Portanto é um procedimento
semelhante ao adotado na analise de circuitos
resistivos, somente que agora temos elementos
reativos presentes, sendo necessário usar como
ferramenta de analise os números complexos.
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Exemplo: Resolver o circuito
IT
I1=IT
I3
Z5 = Z3 + Z4 = 10 -j10 (  ) = 14,1 -45º()
Z2 = 20
90º ()
I2
Z6 = Z2 // Z5 = (Z2.Z5)/(Z2 + Z5 )= (20
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90º x14,1
- 45º )/(j20 + (10- j10) =(282 45o )/(10+j10)
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20
Calculo das Correntes
Z6= (282
45º )/14,1
45º ) =20
0º =20 ()
I1 = V/ZE =( 50
0º )/(22,36
-26,5º) = 2,24
26,5º (A)
I1
-26,5º( )
ZE = Z1 + Z6 = -j10 + 20 = 20 - j10 = 22,36
U6 =Z6.I1=20
0º x 2,24
I3
26.5º = 44,8 26.50 (V) e como
U6 = U2 =U5 então
U6
I2 =( 44,8
26,5º )/(20
90º)=2,24
I3 =( 44,8
26,5º )/(14,1
I2
- 63,5º (A)
-45º ) = 3,17
71,5º (A)
O Fator de potencia do circuito é:
FP=coscos26,5º=0,895
E a Potencia real:
P = U. I.cos = 50.2,24.cos26,5º = 100W
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Correção do Fator de Potência
POR QUE CORRIGIR?
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Correção do Fator de Potência
Situação Desejável
•DIMINUIÇÃO DA CORRENTE NA LINHA DE ALIMENTAÇÃO.
•MULTA DA CONCESSIONARIA
Situação Atual:
Antes da correção
FP=cosΦ2>0,92 ADEQUADO
FP=cosΦ1<0,92 INADEQUADO
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Exemplo
Cálculo do Capacitor
C
Calcular C no circuito para que o FP do circuito aumente para 0,94
P
.(tg1  tg 2)
w.V 2
Calcule o FP
Obs: ver a dedução na bibliografia
O FP aumenta de cosΦ1 para cos Φ 2
F.P atual =0,662
P é a potência ativa (Watts) do circuito,
P = UxIxcos Φ 1 =220x14,46x0,662 =2108W
w é a frequência angular
Deseja-se cosΦ1 =0,662 >>>>>> cosΦ2 =0,94
V é o valor eficaz da tensão
Faça download do arquivo Exemplo usando microcap e execute no
seu PC se tiver instalado o software MicroCap9
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21
Conclusão
Observe o que acontece quando ligamos o capacitor de 75uF. A corrente na carga
não muda, mas a corrente na linha diminui. Esse é o objetivo, diminuir a
corrente na LINHA, mantendo as condições da carga (por exemplo um motor continuará
operando com a mesma potência) e consumindo a mesma corrente
Circuitos Trifásicos
SÃO NECESSARIOS QUANDO A CARGA CONSOME MUITA POTENCIA
(CORRENTE E TENSÃO ALTA).
AS TRES TENSÕES SÃO DEFASADAS ENTRE SI DE 1200
CARGA E GERADOR PODEM SER LIGADOS DE DUAS FORMAS: ESTRELA E
TRIANGULO.
CONSIDERAREMOS SOMENTE CARGA BALANCEADA (AS TRES
IMPEDANCIAS SÃO IGUAIS)
A corrente de linha diminui para 10,56A
Mas a corrente na carga se mantem no mesmo valor 14,47A
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LIGAÇÃO ESTRELA
Corrente de Fase: IA,IB,IC
VCA
VA=VF
IN
Corrente de Linha: corrente na linha que liga o gerador à carga
Para a Ligação estrela: IF=IL
VC
VAB=VL
VB
Relação entre tensão de fase (VF) e tensão de linha (VL)
VCB
Tensões de Fase (TENSÃO DO GERADOR): VA=VB=VC=VF
VL  3 .VF
Tensões de Linha( TENSÃO ENTRE AS LINHAS): VCA=VCB=VAB=VL
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Considere que no circuito Z1=Z2=Z3= 10 Ohms resistiva
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LIGAÇÃO TRIANGULO
A
Calcular: a)Tensões de fase e de linha
b) Correntes de fase, de linha e no neutro
IAC=IF
B
C
120V/fase 0
IN
Tensões de Fase: VCA, VAB, VBC
VF=VL
120V/fase -120
RELAÇÃO ENTRE AS CORRENTE DE LINHA E DE FASE
120V/fase 120
IL  3 .IF
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22
No circuito Z1=Z2=Z3= 20 Ohms (Resistiva)
a) Calcular a corrente na carga em cada fase
b) Calcular a corrente de linha
380V fase1200
380V fase 0
380V fase -1200
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