Apostila Análise de Circuitos CA
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Números Complexos 4 ? Definição: Unidade imaginária: Professor: Neury Boaretto j 1 ou j 2 1 Desta forma: Material disponibilizado pelo autor do livro em: www.eletronica24h.com.br 4 ( 1).4 Curso Online: http://www.eletronica24h.com.br/Curso%20CA/index.htm Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Formas de Representação de um Numero Complexo Deduções: •Forma Cartesiana (Retangular) •Forma Polar •Forma Trigonométrica j 3 j 2 . j ( 1). j j j 4 j 2 . j 2 ( 1).( 1) 1 5 2 1. 4 j 2 Forma Cartesiana 2 j j . j . j ( 1).( 1). j j a e b são números reais Z=a+jb j 6 j 2 . j 2 . j 2 ( 1).( 1).( 1) 1 j é a unidade imaginária Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Forma Cartesiana (Retangular) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Exemplos: Representar os números complexos no plano cartesiano Eixo Imaginário (Im) Z1=4+j4 Im Z(a,b) Plano Cartesiano Z1 4 b Eixo Real (R) 4 R a Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 1 Z3=j3 (não tem parte real) Z2=7 (não tem parte imaginária) Im Im Z3 3 Z2 R 7 R Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Z5=3+j3 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Forma Polar Z4=-3+j2 Im Z4 Im MÓDULO Z=a +jb forma cartesiana Z5 3 b P FASE 2 Z 1 -3 1 -1 -2 2 3 R -1 o Segmento de reta OP Z Representa o MODULO Do numero complexo z -2 a R O ângulo representa o ARGUMENTO ou ÂNGULO DE FASE de z -3 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Transformação da Forma Cartesiana para Polar Forma Polar Na forma polar um numero complexo é representado por: Z a 2 b2 Dado: z=a+jb Im Determinar: Z e z= Z Z é o módulo e é a fase do numero complexo tg b a arctg Numero complexo é representado por letra minúscula, z b b Z a Z= Z Forma alternativa Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica R a E o seu módulo por letra maiúscula, Z z= Z Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 2 Exemplos: Transformar os números para a forma polar Z2=7 (não tem parte imaginária) Z1=4+j4 Z2=7 Im Z1 4 2 42 4 2 Im 2=00 z1 4 1 arctg Z1 4 4 45 0 1 2 R 4 z1 = 4 2 Z2 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 7 00 z2 = 7 z2 450 R Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Z4=-3+j2 z3=j3 (não tem parte real) Im Z3=3 3=900 Im z3 Z 4 ( 3) 2 2 2 13 3,6 z4 3 z3 = 3 Z3 900 ' arctg 2 Z4 4 ’ 3 4=180-34=1460 R -3 Ou.......... 2 340 3 R z3 = 3 2700 z4 = 3,6 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 1460 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Z6=-4-j3 Z5=-5 Im Im Z5=5 6 5=1800 Z 6 (4 )2 ( 3) 2 5 ' arctg -4 3 37 0 4 5 ’ z5 Z5 R Z6 -3 R z5 = 5 z6 1800 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 6=180+37=2170 z6 = 5 2170 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 3 Z7=-j4 Z8=4-j3 Z7=4 Im Im Z 8 4 2 ( 3) 2 5 7=2700 7 ' arctg 8 3 370 4 4 R z7 z7 = 4 -4 R ’ 2700 -3 Z8 z8 z8 = 5 Ou..... z7 = 4 8=360-37=3230 90 0 ou............... z8 = 5 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Operações com Números Complexos SOMA e SUBTRAÇÃO Na soma e na subtração é usada a forma cartesiana 3230 37 0 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Operações com Números Complexos MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Na multiplicação e divisão é usada a forma polar z1=4+j4=5,65 450 Z3=-j4=4 -900 z1=10+j10 z2=5+j4 z2=5+j8,66=10 600 Z4= -5+j8,66= 10 1200 z3=z1+z2=(10+j10) + (5+j4)= (10+5)+j(10+4)=15+j14 z4=z1-z2= (10+j10) - (5+j4)= (10-5)+j(10-4)=5+j6 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Exercícios Propostos Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS Dados os complexo: z1=4+j4=5,65 450 Z3=-j4=4 -900 z2=5+j8,66=10 600 Z4= -5+j8,66= 10 1200 Obter: a) Representação no plano cartesiano de z1,z2,z3 e z4 b) z2.z4 z2.z3 c) z2/z4 z2/z3 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 4 MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS Tensão Alternada Tensão Continua: Tensão que tem sempre a mesma polaridade Símbolo Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Uxt Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 5 Tensão Senoidal Tensão Alternada É uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal É uma tensão cujo valor e polaridade se modificam ao longo do tempo. Conforme o comportamento da tensão então temos os diferentes tipos de tensão: Senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc T=Período Representação Gráfica e Expressão Matematica v(t) = VP.sen(w.t +θ0) ω é a freqüência angular VPP VP VP é o valor de pico VPP é valor de pico a pico θ0 é o ângulo de fase inicial θ = ω.t +θ0 VP= valor de pico=12V VPP=valor de pico a pico=24V No exemplo v(t) = 10.sen(1000.π.t ) (V) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Representação Gráfica e Expressão Matemática Período (T) e Frequência (f) v(θ) = VP.sen θ Período (T) é o tempo necessário para o fenômeno voltar a se repetir (completar um ciclo) T segundo(s) Freqüência (f) é o numero de ciclos completados por segundo θ=w.t=ângulo descrito f Hz ou ciclo / segundo 1 T T f Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 1 f Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Movimento Circular Uniforme Frequência Angular (ω) A=amplitude do segmento Representa a variação angular em função do tempo rd / s ou graus / s θ = ω.t Se 2.π = ω.T θ=2.π, o tempo será t= T 2. T ou 2. . f A projeção do segmento no eixo vertical representa uma grandeza senoidal de amplitude A e fase inicial θ0 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 6 Movimento Circular Uniforme Movimento Circular Uniforme Neste caso a grandeza senoidal tem ângulo de fase inicial 0 e portanto a expressão que representa a grandeza é: A.sen(w.t) Neste caso o ângulo de fase inicial é -45 graus e a expressão em função do tempo que representará a grandeza em questão será: A.sen(w.t-45) Em todos os casos a grandeza em questão pode ser tensão, onde A será O valor de pico (Vp) e w a frequencia angular a qual estará relacionada com A frequencia por w=2.π.f Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica V(V) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de um sinal senoidal Determinando um valor de tensão Expressão em função do tempo: V(t)=5.sen(8.π.t) (V) V(t)=5.sen(8.π.t) (V) Qual o valor da tensão para t=0,6s? V(0,6s)=5.sen(8. π.0,6) =2,94V 5 0 0,250 0,500 0,125 0,375 t(s) 5V 2,94 -5 0,125 0,250 0,375 0,500 0,625 0,850 0,975 1,000 Tensão de pico: VP =5V 0,6 Tensão de pico a pico: VPP=10V f Período: T=0,25s Analise do sinal 1 4 Hz 0,25 -5V Frequência Angular: w=2.π.4=8.π rd/s Ângulo de fase inicial: θ0=0 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Ângulo de Fase Inicial Ângulo de Fase Inicial Se para t=0 a tensão é diferente de zero, dizemos que o sinal tem uma fase inicial. Sinal atrasado v(t) = VP.sen(w.t +θ0) Sinal adiantado Θ0 < 0 Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t-900) (V) v(V) VP Θ0 > 0 v(V) VP Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t+900) (V) θ0 w.t(rd) θ0 w.t(rd/s) -VP -VP Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 7 Exemplos Para os sinais pedem-se determinar: a) Freqüência angular b) freqüência c) Periodo d) Ângulo de fase inicial e) Representar graficamente f) Indicar o valor da tensão para t=0 e) 1) v1(t)=10.sen(20.000. π.t + π/3) (V) a) w=20.000. π rd/s 600 b) 20.000 . 10.000 Hz 10 KHz 2. 2. f c) T d) 1 0,0001s 0,1ms 100 s 10 .000 Θ0= π/3=600 f) No instante t=0 v1(0)=10.sen(w.0+600)=8,66V Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica V2=15.sen(8.000. π.t – 300) (V) a) w=8.000. π rd/s 8 .000 . b) f 4. 000 Hz 4 KHz 2 . 2 . c) T d) e) 1 0,00025 s 0,25 ms 250 s 4.000 Θ0=-300 f) No instante t=0 v2(0)=15.sen(w.0-300)=-7,5V Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Defasagem A diferença de fase (Δθ) entre dois sinais de mesma freqüência é chamada de defasagem, sendo medida tomando-se um dos sinais como referencia Ex: Qual a defasagem entre os sinais a seguir v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V) v2(t)=5.sen(w.t) (V) Δθ=θ1 – θ 2=90-0=90 300 -7,5V Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica v1(t)=10sen(w.t+900) (V) v2(t)=5.sen(w.t+900) (V) Δθ=90 – 90=0 Δθ v1 está 900 adiantado em relação a v2 Os sinais estão em QUADRATURA Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Sinais estão em FASE Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 8 Representação Através do Diagrama Fasorial v1(t)=10sen(w.t) (V) v2(t)=5.sen(w.t+180)(V) Δθ=180 – 0=180 É uma outra forma de representar uma tensão senoidal. Vetor girante Cada vetor (neste caso chamado de fasor), representa a tensão em um determinado instante. Observar que a tensão instantânea é a projeção no eixo vertical do vetor girante Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Representar os sinais no Diagrama fasorial (DF) Diagrama Fasorial (DF) Tensão senoidal representada no DF V1 (t)=10.sen(w.t + 900) 10.sen(θ) O fasor de amplitude 10V gira no sentido anti horario com frequencia angula w Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica V2 (t)=10.sen(w.t - 90o) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Defasagem entre as duas tensões V1 está adiantada em relação a V2 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 9 Representação na Forma Complexa Exercício Proposto Numero Complexo tem: Modulo e fase 1) Desenhar o Diagrama Fasorial dos sinais: Tensão Senoidal tem: Modulo e fase v1(t)=10.sen(w.t+600) (V) v2(t)=15.sen(w.t-300) (V) Portanto.......................... 2) Qual defasagem entre as tensões? Forma Trigonometrica: v(t)=VP.sen(w.t+θ 0) Forma Complexa: Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica v=VP θ0 VP.cos θ0 + j V P.sen θ 0 a b Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Dadas as tensões Resumo: Formas de representar uma tensão senoidal v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V) v2(t)=5.sen(w.t) (V) Expressão Trigonométrica Pede-se: a) v3= v1+V2 v(t)=12.sen(w.t+600) (V) b) Representar V3 no diagrama fasorial c) Dar a expressão de V3(t) d) Representar V3 na forma polar e cartesiana Diagrama Fasorial Numero Complexo v 6 j10,39 ( V ) Forma de Onda Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Circuitos Resistivos em CA Em um circuito puramente resistivo (só com resistências) alimentado com uma tensão alternada (CA) a tensão e a corrente estão em fase, sendo a relação entre elas dada pela lei de ohm, isto é : Como tensão e corrente estão em fase, concluímos que: V(t) =Vp.sen(ω.t+θ0) i( t ) v( t ) VP .sen( .t 0 ) IP .sen( .t 0 ) R R Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica IP VP R Uma resistência pode ser representada por um numero complexo Com parte imaginaria nula Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 10 Valor Eficaz (VRMS) A Tensão Alternada é senoidal Dado uma tensão alternada (qualquer) v(t) define-se valor eficaz T Definição matemática: VRMS 1 . v 2 (t)dt T 0 Qual deve ser o valor da tensão continua para aquecer R igualmente ? Significado Físico: O valor eficaz de uma tensão alternada senoidal é igual ao valor da tensão continua que produz mesmo aquecimento V VP 2 VEficaz VRMS RMS= Root Mean Square = valor quadrático médio Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Como Calcular a Potencia dissipada em CC ? E no caso de uma tensão senoidal? Vp P V.I 2 P Qual a relação entre a tensão da bateria e a tensão de pico da senoide para que o aquecimento seja o mesmo nos dois casos? V R P VRMS .IRMS P P R.I2 2 P R.IRMS Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Potencia Qual o valor da tensão continua que produz mesmo aquecimento em um resistor de 50 ohms ligado a uma tensão senoidal de 310V de pico? VRMS 2 R em Circuito Resistivo em CA A potencia em CA é obtida pelo produto do valor instantâneo da tensão pela corrente instantânea:p(t)=v(t).i(t) p(t)=v(t).i(t) Vp=17V e VRMS=12V VEF VP 310V 220V 2 2 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica A potência dissipada no resistor será igual ao valor médio da potencia instantânea Ip= 4,25A IRMS=3A P=VRMS.IRMS No exemplo: P=12V.3A=36W Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 11 Genericamente para qualquer circuito Dado as tensões: P VRMS .IRMS . cos v1(t)=20.sen(w.t) (V) v2= 5 0 0 (V) V3=20+j15(V) é o ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão No CASO DE CIRCUITO RESISTIVO 1) Representar as três tensões no DF 00 2) Obter cos 00 1 2a) v4=v1+v3 P VRMS.IRMS 2b) v5=v1+v2+v3 3) As tensões V1 e V3 são aplicadas respectivamente em R=10 Ohms e R=5 Ohms. Calcule em cada caso a) expressão de i(t) b) Potencia dissipada mm cada caso. Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Capacitor Capacitância (C) Dispositivo usado para armazenar cargas elétricas É a medida da capacidade que tem o dispositivo de armazenar cargas elétricas Placas de area S(m2) terminais O seu valor é especificado em Farads (F) e depende das dimensões (S, d) e do material de que é feito o dielétrico (isolante que separa as duas placas). Para um capacitor de placas planas e paralelas de área S, separadas por Uma distancia d, a capacitância será dada por: Dielétrico (isolante) d(m) C K . 0. Símbolo S d Onde ε0 é a permissividade dielétrica do vácuo ε0=8,85pF/m K é a constante dielétrica do material. Por exemplo: Vidro K=4,5, vácuo K=1 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Relação entre tensão (U), carga elétrica (Q) e capacitância (C) em um capacitor Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Tipo de Capacitores Eletrolítico U Q + + Poliéster Cerâmico Q=U.C C - - Q é a quantidade de cargas em Coulombs (C) U é a tensão aplicada em volts (V) C é a capacitância em Farads (F) Tântalo A quantidade de carga é diretamente proporcional a U e a C Ex: se C=100µF Q=100.10-6.10= e U=10V qual a carga armazenada? 10-3C=1mC Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 12 Capacitores Polarizados (Valor maior que 1uF) Capacitores Não Polarizados (Valor menor que 1uF) Eletrolíticos Símbolo 0.1=0.1uF Tântalo 100n=100nF=0,1uF 10 Numero: Primeiro Digito (1) 20 Numero: Segundo Digito (0) 30 C=1000pF=1nF Numero: Numero de zeros (00) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Usando Código de Cores (Poliester) Qual o valor da capacitância? Da tolerancia? Da máxima tensão? Amarelo=4 Violeta=7 Laranja=3 Vermelho=2 Violeta=7 Preto=20% Amarelo=4 Vermelho=250V Valor=270000pF=270nF=0,27uF Tolerância 20% Máxima Tensão 5% 100V 10% 250V Valor=47000pF=47nF=0,047uF 400V Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Capacitores Variáveis Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Capacitor em CC No circuito, a chave é fechada em t=0, considerando que o capacitor está inicialmente descarregado, VC(0)=0 VR=VCC VR I t=0 Vcc De acordo com a 2a Lei de Kirchhoff: Trimmer Em t=0 I ( 0) I VCC =VR + VC (em qualquer instante) VR(0) + VC(0)=VCC >>>>>>> VR ( 0 ) VCC R R VC=0 VCC VC VR(0)=VCC C começa a se carregar, VC começa a aumentar...... ...e VR começa a diminuir, conseqüentemente I Depois de um tempo (que depende de C e R), o capacitor estará carregado Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 13 Gráficos Conclusões: •Do ponto de vista físico não existe movimento de cargas (corrente) através do capacitor (as cargas se movimentam no circuito externo) •A corrente no capacitor está adiantada em relação à tensão •O tempo de carga depende da constante de tempo do circuito definida como sendo =R.C, sendo C em Farads (F) R em Ohms ( em segundos(s) •Na pratica bastam 4 constantes de tempo para carregar um capacitor VR=0 VC=VCC I=0 VCC Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica R C + + - - Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Equações: Tensão no Capacitor e Resistor Carga Total e=base do logaritmo neperiano=2,71828........ Teoricamente, de acordo com a equação de vC(t), o capacitor estará totalmente carregado para um tempo infinito. VR 7,56V vc(t)=VCC.(1-e-t/RC) (Função Exponencial) VC vR(t)=VCC.e-t/RC 4,44V Na prática podemos considerar o capacitor carregado para t=44.R.C Para t=4.R.C vc(4.R.C)=VCC.(1-e-4)=0,98.VCC=11,76V t=s Para t=0 na expressão de vC(t) na expressão de vR(t) Para t= R.C=2s vc()=VCC.(1-e-0)=0 vR(0)=VCC.e-0=VCC=12V na expressão de vC(t) na expressão de vR(t) vc(R.C)=VCC.(1-e-1)=0,63.VCC=7,56V vR(R.C)=VCC.e-1=0,37.VCC=4,44V t=4. t= Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Curva de Descarga Descarga do Capacitor Considerando o capacitor totalmente carregado com VC =VCC=12V Como fazer para descarregar o capacitor ? Vc=12.e-t/RC Deve haver um condutor entre as placas para que ocorra a descarga 4,4V Se for um fio a descarga será instantânea, caso contrario o tempo de descarga dependerá da resistência. Para t=RC a tensão em C cai para v(RC)=0,37.Vcc=0,37.12=4,4V Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 14 Associação de Capacitores Paralelo Serie 1 1 1 1 Ceq C1 C2 C3 Para dois em serie: C eq C eq C1 C 2 C1 .C 2 C1 C 2 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Capacitores Polarizados Capacitor em CA Se a um capacitor ideal for aplicada uma tensão senoidal, a corrente resultante será senoidal e adiantada de 900 em relação à tensão aplicada. + + - - + + 100uF - - 100uF + + + + + + v(t)= vC(t) =VP.senwt 50uF 100uF - - 100uF 50uF + + - - - - + + - - - - + + 100uF 100uF - - 200uF Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Neste caso v(t)=VP.senw.t ou IC(t)=IP .sen(w.t+900) ou v=VP 00 IC=IP 900 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Exercício1: Calcule a intensidade da corrente no circuito em seguida desenhe o diagrama fasorial, se a fase inicial da tensão é zero. Reatância Capacitiva É a medida da oposição oferecida pelo capacitor à passagem da corrente alternada é calculada por: XC V V0 V 90 jX C I C I C 90 I C Solução: Como são dados C e a freqüência, podemos calcular a reatância capacitiva (Xc) : com C em Farads (F), f em Hertz (Hz) resultando XC em Ohms (Ω) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 15 Calcular a intensidade da corrente para cada posição da chave. A B I=4,5mA 110V/60Hz V= 120V Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Triangulo das Tensões Circuito RC Série V Num RC serie a corrente continua na frente da tensão mas de um angulo menor do que 90º. Seja a fase da corrente igual a 900 (arbitrariamente). I V VR V 2 VR2 VC2 VR VC Dividindo todos os lados por I teremos um triangulo chamado de Triangulo de Impedâncias v VC Triangulo das Impedâncias V/I Ângulo de defasagem cos = VR / V logo V Z I VR/I VC/I = arccos(VR /V) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Impedância do circuito VR R I Resistência do circuito VC XC I Reatância do circuito Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Triangulo das Potências Z 2 R 2 X C2 XC Cos z Z Se no triangulo das tensões os lados forem multiplicados por I obtemos o que É conhecido como Triangulo das Potências R Z Z=R-jXC PAp V .I V.I VR.I R Z P VR . I PR VC .I VC.I PAp=potência aparente (VA) P=potência real (ativa)(W) 2 PAp P 2 PR2 PR= potência reativa (VARC) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 16 Indutor Chamamos de indutor a um fio enrolado em forma de hélice em cima de um núcleo que pode ser de ar ou de outro material. A figura mostra o símbolo para indutor com núcleo de ar, de ferro e de ferrite. Força Eletromotriz Induzida Para que uma tensão s eja induzida em uma espira ou em um enrolamento, é necessário que haja variação do fluxo magnético através da espira ou do enrolamento. A figura a seguir mostra um exemplo de induç ão de tensão em um enrolam ento (bobina). A Lei de Lenz diz que o sentido da corrente induzida deverá ter orientação de tal forma que origine um campo magnético variável que se opõe à variaç ão do fluxo magnétic o original. Indutor em Corrente Contínua O que acontece quando no circuito da Fig. 02 fechamos a chave no instante t=0? A tensão é aplicada no indutor mas a corrente leva um certo tempo para crescer, a explicação é um fenômeno chamado auto indução que faz aparecer uma tensão e que se oporá ao crescimento da corrente. Ao abrir a chave, no instante t2, novamente esse fenômeno vai atuar na bobina não deixando a corrente se anular instantaneamente, fazendo aparecer uma tensão e com a polaridade tal que se opõe à diminuição da corrente. Observe que isso faz aparecer uma tensão nos terminais da chave que é igual a E + e, que pode causar uma arco de corrente. Concluímos que um indutor se opõe à passagem de uma corrente alternada (se opõe à variação de uma corrente) e que a corrente está atrasada em relação à tensão (a tensão já está aplicada e a corrente começa a aumentar). A indutância (L) de um indutor é um parâmetro que dá a medida da capacidade que tem o indutor de armazenar energia no campo magnético, a sua unidade se chama Henry (H). Fig04: Indução de tensão provocada pela v ariaç ão da intensidade do cam po m agnético de um imã Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Indutor em Corrente Alternada Senoidal A corrente em um indutor está atrasada em relaç ão à tens ão em um circuito CC. O que acontece se alimentarmos um indutor ideal (não tem resistência ôhmica) de indutância L c om uma tensão alternada senoidal de freqüência f ? Obs: Um indutor ideal (que não existe) não tem resistência ôhmica (R). No circuito da Fig04, a corrente continua atrasada em relação à tensão e de um angulo bem definido, no caso 90º. Observe que a fas e da tensão foi considerada arbitrariam ente igual a 0º. ( a) (b) (a) (c) Fig02: Indutor em CC ( a ) Instante que a chave é fechada ( b ) Corrente em regime ( c ) Instante que a chave é aberta Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 1.4. Reatância Indutiva Como vimos um indutor se opõe à variação de uma corrente. A medida desta oposição é dada pela sua reatância indutiva (XL ), sendo calculada por: (b) Fig04: Indutor em CA - (a) circ uito; (b) diagrama fasorial (fasor em vermelho: corrente; fasor preto: tens ão) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Circuito RL Serie Na prática um indutor apresenta resistência ôhmica, portanto, em um Indutor a corrente sofre dois tipos de oposição: IMPORTANTE !!!!! •A resistência ôhmica do fio (R) que tende a manter tensão e corrente em fase Com L especific ado em Henries (H), f em hertz ( Hz ), XL em ohms ( ). Exercício1: Uma bobina tem 0,1 H de indutância, sendo ligada a um a tensão de 110V, 60Hz. Determinar: a) Reatância da bobina (XL ) b ) Valor da corrente no c ircuito ( I ) Solução: a) XL = 2. .60.0,1 = 37,7 b) I = V / XL = 110 / 37,7 = 2,9A •A reatância indutiva (XL) que tende a defasar tensão e corrente em 900 A combinação dos efeitos da resistência com da reatância é chamado de....... Impedância (Z) A corrente ainda continua atrasada em relação à tensão mas de um ângulo menor do que 900 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 17 Circuito RL serie Diagrama Fasorial Impedância Indutiva (ZL) V VL VR A oposição que um indutor real oferece à passagem de uma corrente Alternada é uma combinação da resistência ôhmica com a reatância Indutiva sendo chamada de impedância I I I Considerando a fase da corrente nula v v Numero complexo Numero complexo Z Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Relações no Circuito RL Serie i=I V VL VR Impedância na Forma Polar 00 V vL=VL 900 vR=VR 0o xL=XL 900 = jXL = I Modulo: VL I VR I V VR VL I I I V=VR + VL dividindo por I IMPEDANCIA NA FORMA CARTESIANA VL VR Z R 2 X L2 I arctg Fase: 00 = R = r=R Z R jX L Numero complexo V I XL R ou arccos R Z Portanto.............. z=Z Ou na forma polar......... Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Exemplo: Dado o circuito pedem-se: Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica a) A impedância na forma cartesiana é Z=30+j40 (Ω) Na forma polar: O modulo de Z a) Valor da impedância e sua representação nas formas polar e cartesiana A fase de Z Z 30 2 40 2 50 arctg b) Valor de da indutância 40 530 30 c) Valor da corrente e sua representação nas formas polar e cartesiana d) Valor de VR e VL e suas representações na forma polar e trigonométrica e) Diagrama fasorial Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Z=50 530 (Ω) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 18 VR=R.I= 30 00 . d) b) Pela reatância indutiva tira-se L 40 106mH 2. .60 L X L 2. . f .L 2,2 370 = 66 VR = 66 VL=XL.I= 40 900 . 370 370 (V) (V) 2,2 370 = 88 1270 (V) c) Corrente no circuito I v 11090 0 2,237 0 ( A) Z 50530 VL= 88 1270 (V) 0 vR (t ) 66. 2 .sen( 2. .60 .t 37 ) 66. 2 .sen(377.t 37 0 )(V ) i=2,2.cos370 + j2,2.sen370 =1,75 +j1,32 (A) v L (t ) 88 . 2 .sen (377 .t 127 0 )(V ) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Potencia Em um Circuito RL Serie e) Diagrama Fasorial Para a analise da potencia seja o triangulo de tensões do diagrama fasorial V(110V) Multipliquemos cada um dos lados por I, resultará o triangulo de potencia 530 V.I VL(88)V 1270 I(2,2A) VR(66V) V VL VL.I 370 VR I VR.I I P=VR.I=V.I.cos é a potência real ou ativa do circuito (W) PAP=V.I é a potencia aparente do circuito (VA) PR=VL.I=V.I.sen é a potencia reativa do circuito (VARi) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Triangulo de Potencias P=PAP.cosΦ=V.I.cos Φ Carga Puramente Resistiva PAP =V.I PR=VL.I 2 PAP P 2 PR2 Φ=0 portanto cos Φ=1 a carga aproveita toda a energia fornecida Pelo gerador Carga Puramente Indutiva P=VR.I Φ=90 portanto cos Φ=0 não há potencia ativa a carga troca energia entre o gerador. Fator de potencia Carga Indutiva e Resistiva É UMA MEDIDA DO APROVEITAMENTO DA ENERGIA È definido como sendo FP= cosΦ= Φ<90 portanto cos Φ<1 há potencia ativa a carga aproveita apenas uma parte da energia fornecida. P PAP Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 19 1) A potencia consumida (ativa) por uma instalação elétrica é de 2400W. Se a tensão de alimentação é 220V, calcular a potencia aparente e corrente quando: a) FP=0,9 3) No circuit0 a leitura dos instrumentos é V=220V. I=55A e P=10KW. Calcular: a ) Impedância do circuito b) Valor da resistência e indutância (f=60Hz) c) Potencia aparente e reativa d ) FP b) FP=0,6 2) Um circuito consome 10A, quando ligado em 220V. Um wattimetro ligado ao circuito indica 2000W. Calcular o fator de potencia do circuito e a potencia reativa. Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 4) No circuito VR(t)=10.sen(ω.t-300)(V). Determinar: a) i(t) b) v(t) Circuitos Mistos Para resolver um circuito misto, deveremos primeiramente calcular a impedância equivalente, para em seguida calcularmos todas as correntes e tensões. Portanto é um procedimento semelhante ao adotado na analise de circuitos resistivos, somente que agora temos elementos reativos presentes, sendo necessário usar como ferramenta de analise os números complexos. Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Exemplo: Resolver o circuito IT I1=IT I3 Z5 = Z3 + Z4 = 10 -j10 ( ) = 14,1 -45º() Z2 = 20 90º () I2 Z6 = Z2 // Z5 = (Z2.Z5)/(Z2 + Z5 )= (20 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 90º x14,1 - 45º )/(j20 + (10- j10) =(282 45o )/(10+j10) Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 20 Calculo das Correntes Z6= (282 45º )/14,1 45º ) =20 0º =20 () I1 = V/ZE =( 50 0º )/(22,36 -26,5º) = 2,24 26,5º (A) I1 -26,5º( ) ZE = Z1 + Z6 = -j10 + 20 = 20 - j10 = 22,36 U6 =Z6.I1=20 0º x 2,24 I3 26.5º = 44,8 26.50 (V) e como U6 = U2 =U5 então U6 I2 =( 44,8 26,5º )/(20 90º)=2,24 I3 =( 44,8 26,5º )/(14,1 I2 - 63,5º (A) -45º ) = 3,17 71,5º (A) O Fator de potencia do circuito é: FP=coscos26,5º=0,895 E a Potencia real: P = U. I.cos = 50.2,24.cos26,5º = 100W Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Correção do Fator de Potência POR QUE CORRIGIR? Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Correção do Fator de Potência Situação Desejável •DIMINUIÇÃO DA CORRENTE NA LINHA DE ALIMENTAÇÃO. •MULTA DA CONCESSIONARIA Situação Atual: Antes da correção FP=cosΦ2>0,92 ADEQUADO FP=cosΦ1<0,92 INADEQUADO Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Exemplo Cálculo do Capacitor C Calcular C no circuito para que o FP do circuito aumente para 0,94 P .(tg1 tg 2) w.V 2 Calcule o FP Obs: ver a dedução na bibliografia O FP aumenta de cosΦ1 para cos Φ 2 F.P atual =0,662 P é a potência ativa (Watts) do circuito, P = UxIxcos Φ 1 =220x14,46x0,662 =2108W w é a frequência angular Deseja-se cosΦ1 =0,662 >>>>>> cosΦ2 =0,94 V é o valor eficaz da tensão Faça download do arquivo Exemplo usando microcap e execute no seu PC se tiver instalado o software MicroCap9 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 21 Conclusão Observe o que acontece quando ligamos o capacitor de 75uF. A corrente na carga não muda, mas a corrente na linha diminui. Esse é o objetivo, diminuir a corrente na LINHA, mantendo as condições da carga (por exemplo um motor continuará operando com a mesma potência) e consumindo a mesma corrente Circuitos Trifásicos SÃO NECESSARIOS QUANDO A CARGA CONSOME MUITA POTENCIA (CORRENTE E TENSÃO ALTA). AS TRES TENSÕES SÃO DEFASADAS ENTRE SI DE 1200 CARGA E GERADOR PODEM SER LIGADOS DE DUAS FORMAS: ESTRELA E TRIANGULO. CONSIDERAREMOS SOMENTE CARGA BALANCEADA (AS TRES IMPEDANCIAS SÃO IGUAIS) A corrente de linha diminui para 10,56A Mas a corrente na carga se mantem no mesmo valor 14,47A Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica LIGAÇÃO ESTRELA Corrente de Fase: IA,IB,IC VCA VA=VF IN Corrente de Linha: corrente na linha que liga o gerador à carga Para a Ligação estrela: IF=IL VC VAB=VL VB Relação entre tensão de fase (VF) e tensão de linha (VL) VCB Tensões de Fase (TENSÃO DO GERADOR): VA=VB=VC=VF VL 3 .VF Tensões de Linha( TENSÃO ENTRE AS LINHAS): VCA=VCB=VAB=VL Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Considere que no circuito Z1=Z2=Z3= 10 Ohms resistiva Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica LIGAÇÃO TRIANGULO A Calcular: a)Tensões de fase e de linha b) Correntes de fase, de linha e no neutro IAC=IF B C 120V/fase 0 IN Tensões de Fase: VCA, VAB, VBC VF=VL 120V/fase -120 RELAÇÃO ENTRE AS CORRENTE DE LINHA E DE FASE 120V/fase 120 IL 3 .IF Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 22 No circuito Z1=Z2=Z3= 20 Ohms (Resistiva) a) Calcular a corrente na carga em cada fase b) Calcular a corrente de linha 380V fase1200 380V fase 0 380V fase -1200 Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica 23
