Matemática elementar/Conjuntos

Matemática elementar/Conjuntos
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Matemática elementar/Conjuntos
Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar
qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s)
conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas
não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C
relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul
Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.
Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja,
dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.
Representação
Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino,
maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por
letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a
colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:
O conjunto A e seus 4 elementos
Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z
A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por
exemplo, pontos geométricos:
Especificando conjuntos
A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre
chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:
Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns
elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número
infinito de elementos:
Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:
Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto,
que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:
P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro
conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:
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O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros
que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo,
.
Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode
gerar resultados paradoxais.
Terminologia
Conjunto unitário
Um conjunto unitário possui um único elemento.
Conjunto vazio
Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por
,
,
ou
. Podemos
mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve
possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto
não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto
sem elementos.
Conjuntos numéricos
Existem também os conjuntos numéricos, que em consideração especial em matemática. Os principais conjuntos
númericos são listados a seguir.
Conjunto dos números naturais
Os números naturais são usados para contar. O símbolo
usualmente representa este conjunto.
O capítulo sobre números naturais oferece informações detalhadas sobre os seguintes assuntos: Tópicos:
•
•
•
•
•
•
Definição
Divisão em
Critérios de divisibilidade
Números primos
Decomposição em fatores primos (fatoração)
Máximo Divisor Comum (MDC)
• Fatoração disjunta
• Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)
• Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
• Propriedade do MDC e do MMC
Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo
usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais são todos os números que podem ser representados por frações (e são expressos
tanto na forma fracionária quanto na forma decimal - por exemplo 3/4 e 0,75). Eles aparecem como soluções de
equações como a + bx = c. O símbolo
usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
Tópicos
• Números racionais e frações
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•
•
•
•
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Definições
Decimais
Tipos de frações
Operações
Conjunto dos números irracionais
O conjunto dos números irracionais contém todos os números que não podem ser representados por frações do tipo
p/q, onde p e q são números inteiros, com q diferente de zero. Estes números podem, no entanto, ser associados a
pontos numa reta, a reta real. O símbolo usualmente representa este conjunto.
Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e
os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais podem ser
dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real.
Tópicos
• Potenciação
• Definição
• Propriedades da potenciação
• Radiciação
•
•
•
•
Propriedades da radiciação
Racionalização de denominadores
Intervalos reais
Exercícios
Conjunto dos números complexos
O conjunto dos números complexos inclui os números, que resultam de qualquer radiciação possível, tendo uma
parte imaginária e uma parte real. O símbolo
usualmente representa este conjunto.
Cada número complexo é a soma dos números reais e dos imaginários:
. Aqui tanto r quanto s podem ser
iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números
complexos.
Tópicos
•
•
•
•
Introdução
O número imáginario
Formas de representar os complexos
Operações com os complexos
• Soma e subtração
• Multiplicação
• Divisão
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Conjunto dos números imaginários
O conjunto dos números imaginários puros inclui os números que aparecem como soluções de equações como x 2
+ r = 0 onde r > 0.
Outros conjuntos numéricos
Há outros conjuntos numéricos definidos na matemática, mas que não interessam nesse nível de estudo.
Exemplo: O conjunto dos números algébricos inclui os números, que aparecem como soluções de equações
polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo
ou
usualmente representa este conjunto.
Subconjuntos
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os
elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:
A = { 1,2,3 }
B = { 1,2,3,4,5,6 }
Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se
. Deve-se reparar que B é
subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são
chamados subconjuntos próprios.
Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.
A é um subconjunto de B
Conjunto das partes ou potência
Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A,
, como o conjunto que contém todos os
subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).
Uma maneira prática de determinar
é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os
subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.
Exemplo:
Se A = { 1, 2, 3 }, então
= { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.
Observação:
Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto
terá 2n elementos. Ou seja:
.
Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.
Se A =
→ P(A) = {
} → n(P(A)) = 2^0 = 1
Se A = {a} → P(A) = {
,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2
Se A = {a,b} → P(A) = {
Se A = {a,b,c} → P(A) = {
,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4
,a,b,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8
...
P(A) é formado por
somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A).
Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por
n(P(A)) =
Pelo triângulo de pascal, com a soma das linhas:
).
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→ n(P(A)) =
Mas,
→ n(P(A))
Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos
distintos de A.
Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
O Teorema de Cantor estabelece que
.
Conjunto Universo
Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos
considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é
conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.
Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o
conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o
alfabeto.
Relações entre conjuntos
Relação de pertinência
Se
é um elemento de
. Se
, nós podemos dizer que o elemento
não é um elemento de
podemos escrever
pertence ao conjunto
, nós podemos dizer que o elemento
e podemos escrever
não pertence ao conjunto
e
.
Exemplos:
•
•
•
•
Subconjuntos próprios e impróprios
Se
e
são conjuntos e todo o elemento
dito um subconjunto do conjunto
pertencente a
, denotado por
também pertence a
. Note que esta definição inclui o caso em que
possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (
elemento pertencente a
não pertence a
, então
, então o conjunto
). Se
é chamado de subconjunto próprio de
. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.
é
e
e ao menos um
, denotado por
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Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é
elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é
. Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o
símbolo
.
Simetria de conjuntos
Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a
pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.
Operações com conjuntos
União
A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os
elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou
então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A
com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto
A ou ao conjunto B. Matematicamente:
União de A e B (em azul mais escuro)
Por exemplo:
Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.
• A união de um conjunto
, qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto
.
• Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja,
.
,
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Intersecção
A intersecção de dois conjuntos
e
, é o conjunto de elementos que
pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos
e
,
pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao
conjunto cujos elementos pertencem tanto a
quanto a
.
Matematicamente:
Intersecção de A e B (em azul mais escuro)
Por exemplo:
Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto
vazio.
Diferença
Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se
diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e
não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de
elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:
Diferença A menos B (em azul mais escuro)
Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z(números inteiros não-positivos):
Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
N = {1,2,3,4,5,...}
• A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A,
.
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Complementar
Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em
relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos
presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se
complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto
do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a
A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se
o símbolo . Matematicamente:
Complementar de B em relação a A (em
azul mais escuro)
Exemplo:
A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }
D = { {10,12} }
Cardinalidade
A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é
Exemplos:
Se A = { 7, 8, 9 }, então A = 3
Se A = { }, então A = 0.
Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um
conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho
desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser
(aleph zero),
.
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto
é denotada por
ou por
. Se para dois conjuntos A e B é
possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então
.
Problemas matemáticos sobre cardinalidade
Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:
• É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de
algum conjunto derivado dele
• É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número
para outro subconjunto.
Um problema típico simples do primeiro caso é:
• Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem
Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade
extra?
Um problema típico simples do segundo caso é:
• Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87%
da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste
Bubônica?
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A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou
porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem,
deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.
Exercícios
• Matemática elementar/Conjuntos/Exercícios
Produto cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares
ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do
produto cartesioano é
. Matematicamente:
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:
A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto
.
• O produto cartesiano é não-comutativo:
.
• Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria
analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R
(imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.
Par ordenado
Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou
primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um
par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares
ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,
Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem.
Esse conjunto é:
Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto
contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é
conhecida como intervalo aberto.
Matemática elementar/Conjuntos
Relações
Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O
assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)
Ligações externas
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Números Naturais: Primeira parte [1]
Números Naturais: Segunda parte [2]
Critérios de Divisibilidade [3]
Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores [4]
Números Inteiros [5]
Frações [6]
Frações e Números Decimais [7]
Números Racionais [8]
Frações e Números decimais (Exercícios) [9]
Referências
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
http:/ / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ naturais/ naturais1. htm
http:/ / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ naturais/ naturais2. htm
http:/ / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ naturais/ divisibilidade. htm
http:/ / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ naturais/ naturais2-a. htm
http:/ / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ inteiros/ inteiros. htm
http:/ / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ fracoes/ fracoes. htm
http:/ / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ fracoes/ fracdec. htm
http:/ / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ fracoes/ racionais. htm
http:/ / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ fracoes/ fracoes-a. htm
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Fontes e Editores da Página
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