Nona Aula - cosmobook

Nona Aula
Introdução à Astrofísica
Reinaldo R. de Carvalho ([email protected])
pdf das aulas estará em http://cosmobook.com.br/?page_id=440
Capítulo 9!
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Interiores Estelares!
Equilíbrio Hidrostático!
Equação de Estado!
Fontes de Energia Estelar
Equilíbrio Hidrostático
Análise da luz estelar obtida através dos detectores em telescópios permite aos astrônomos
determinar uma variedade de quantidades relacionadas às camadas externas das estrelas, como
temperatura efetiva, luminosidade e composição. Contudo, não existe nenhuma maneira de observar
as regiões centrais das estrelas.
Determinando a estrutura interna das estrelas
Para deduzir a estrutura interna detalhada das estrelas é preciso gerar modelos em computador que
sejam consistentes com as leis físicas conhecidas e que em última instância irão explicar as grandezas
que medimos na superfície. O estudo teórico da estrutura estelar, junto com os dados observacionais, mostram claramente que
estrelas são objetos dinâmicos, com variações a uma taxa que poderiam ser consideradas lentas para
os padrões humanos, embora as vezes variem de maneira dramática, como numa supernova.
Consideremos por exemplo a energia observada de uma estrela. No Sol, 3.839 x 1026 J de energia é
emitida por segundo. Uma vez que estrelas não possuem um reservatório infinito de energia, elas
usam o que é disponível e morrem. Evolução estelar é o resultado de uma constante luta contra a
gravidade.
Derivando a Equação de Equilíbrio Hidrostático
A força gravitacional é sempre atrativa, o que significa que uma força oposta deve existir para que
uma estrela não colapse. Esta força é a pressão. Para calcular como a pressão deve variar com a
profundidade numa estrela considere um cilindro de massa dm cuja base é localizada a uma distância
r do centro de uma estrela esférica.
Usando a segunda lei de Newton temos:
onde Fg < 0 é a força gravitacional dirigida para o interior da estrela e
FP,t e FP,b são as forças de pressão em cima e em baixo do cilindro. As
forças de pressão laterais ao cilindro irão cancelar. A força exercida na
parte superior do cilindro será para o interior, FP,t < 0, enquanto que a
pressão na parte inferior será para cima, FP,b > 0. Podemos então
escrever:
FP,t = - (FP,b + dFP)
Substituindo na expressão anterior temos:
Mas sabemos que a força gravitacional sobre uma pequena massa dm localizada a uma distância r do
centro da massa simétrica e esférica é:
Onde Mr é a massa dentro da esfera de raio r. A contribuição para a força gravitacional devido a
massa localizada fora da esfera de raio r é zero.
A pressão é definida como a força por unidade de área exercida sobre uma superfície, P ≡ F/A. A força
diferencial pode ser escrita como dFP = A dP. Assim podemos escrever:
Se a densidade do gás no cilindro é 𝝆, sua massa é dm = 𝝆 A dr, onde A dr é o volume do cilindro.
Assim podemos escrever a equação anterior como:
Finalmente dividindo pelo volume do cilindro, temos:
Esta é a equação para o movimento radial do cilindro, assumindo simetria esférica.
Se assumimos que a estrela é estática, então a aceleração deve ser zero. Neste caso
Onde g ≡ G Mr / r2 é a aceleração da gravidade no raio r. Esta equação é a condição de equilíbrio
hidrostático e representa uma das equações fundamentais da estrutura estelar para objetos
esfericamente simétricos sob a suposição de aceleração desprezível.
!
Esta equação indica que para uma estrela ser estática, um gradiente de pressão deve existir para
compensar a gravidade. Veja que não é a pressão que mantém a estrela estática, mas a variação da
pressão com o raio.
Exemplo: Para estimar aproximadamente a pressão no centro do Sol, vamos assumir que Mr = 1M⊙, r
= 1R⊙, e ρ= ⟨ρ⊙⟩ = 1410 kg m-3 é densidade solar média. Assumindo também que a pressão na
superfície é zero. Então convertendo a equação diferencial para uma equação de diferenças temos:
onde Pc é a pressão central e Ps e Rs são pressão superficial e o raio, respectivamente. Substituindo na
equação de equilíbrio hidrostático e resolvendo para a pressão central temos:
Para obter um valor mais preciso, precisamos integrar a equação de equilíbrio hidrostático da
superfície até o centro, considerando as variações na massa interior Mr, em cada ponto junto com a
variação de densidade com o raio 𝝆r≡𝝆(r), obtendo
Na verdade, para resolver esta integral necessitamos das funções Mr e 𝝆r, o que infelizmente não está
disponível de maneira simples. Uma estimativa mais rigorosa da pressão central obtida através de
modelos precisos é 2.34 x 1016 N m-2. Este valor é bem maior do que o obtido anteriormente de forma
simplificada, principalmente devido ao crescimento da densidade na região central.
A equação de conservação de massa
Uma segunda relação existe envolvendo massa, raio e densidade. Novamente, consideramos uma
estrela com simetria esférica. Seja uma camada de massa dMr e espessura dr, localizada a uma
distância r do centro (veja figura abaixo)
Se a camada é suficientemente fina (dr ≪ r), o volume da camada é dado
por dV = 4𝛑r2 dr. Se a densidade do gás é 𝝆, a massa da camada será
dada por dMr = 𝝆 (4𝛑r2 dr).
Re-escrevendo, chegamos na equação de conservação de massa
que nos diz como a massa no interior de uma estrela deve variar com a
distância ao centro. Esta é a segunda equação fundamental da
estrutura estelar.
A Equação de Estado
Até agora nenhuma informação foi oferecida sobre a origem do termo de pressão que aparece na
equação de equilíbrio hidrostático. Para descrever esta manifestação macroscópica das interações
entre as partículas é necessário obter a equação de estado do material. Esta equação relaciona a
pressão a outros parâmetros fundamentais do material. Um exemplo bem conhecido de uma equação
de estado é a Lei dos Gases Ideais, PV = N 𝜿 T, onde V é o volume do gás, N é o número de partículas,
T é a temperatura e 𝜿 é a constante de Boltzmann. A seguir apresentamos os princípios fundamentais
para a obtenção desta equação.
Considere um cilindro de gás de comprimento Δx e área A, como na figura abaixo
O gás é composto de partículas pontuais de massa m que
interagem através de colisões elásticas, ou seja, como um
gás ideal. Para determinar a pressão exercida sobre um
dos extremos do cilindro, examinemos o resultado de um
impacto sobre a parede do lado direito por uma
partícula individual. Já que a colisão é perfeitamente
elástica o ângulo de incidência deve ser igual ao de
reflexão e a variação no momento da partícula é
necessariamente somente na direção x, normal à
superfície. A partir da segunda lei de Newton (f = dp/dt) e a terceira lei, o impulso fΔt transmitido à
parede é o negativo da variação no momento da partícula, ou fΔt = -Δp = 2px i, onde px é a
componente do momento inicial da partícula na direção x.
Uma vez que a partícula deve atravessar o cilindro duas vezes antes de retornar para uma segunda
reflexão, o tempo entre colisões com a mesma parede, pela mesma partícula é dado por
Δt = 2 (Δx/vx)
Assim a força média exercida sobre a parede por uma única partícula, sobre o período de tempo é
f = 2px / Δt = px vx / Δx
onde é assumido que a direção do vetor força é normal a superfície. Uma vez que px∝ vx, o numerador
é proporcional a vx2 . Temos que v2 = vx2 + vy2 + vz2 e para uma grande coleção de partículas em
movimento aleatório, o movimento provável em cada uma das 3 direções é o mesmo. Ou seja, ⟨vx2⟩ =
⟨vy2⟩ = ⟨vz2⟩ = v2 / 3. Substituindo (1/3) pv por px vx, a força média por partícula tendo momento p é
f(p) = (1/3) pv/Δx
Em geral as partículas tem um certo intervalo de momentum. Se o número de partículas com
momentum entre p e p + dp é dado pela expressão Np dp, então o número total de partículas no
cilindro é
A contribuição para a forca total, dF(p), por todas as partículas no intervalo de momentum dp será
dada por
Integrando sobre todos os possíveis valores de momentum, a força total exercida pela partícula na
colisão é
Dividindo ambos os lados da expressão pela área da parede A, obtemos a pressão sobre a superfície P
= F / A. Notemos que ΔV = A Δx é o volume do cilindro. Além disso, np dp é definido como o número de
partículas por unidade de volume tendo momentum entre p e p + dp, ou
Assim a pressão exercida sobre a parede do cilindro é
Esta expressão, as vezes denominada pressão integral, torna possível determinar a pressão, dada uma
função de distribuição, np dp.
A Lei do Gás Ideal em termos do peso molecular médio
A equação anterior é válida para partículas com e sem massa (como fótons) viajando a qualquer
velocidade. Para o caso especial de partículas com massa, não-relativísticas, podemos usar p = m v
para escrever a pressão integral como
onde nv dv = np dp é o número de partículas por unidade de volume tendo velocidades entre v e v + dv.
A função nv dv é dependente da natureza física do sistema sendo descrito. No caso de um gás ideal nv
dv é a distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann descrita no capítulo anterior.
onde a densidade numérica de partículas é dada por
Substituindo na equação de pressão integral temos Pg = n𝜿T. Esta demonstração é deixada como
exercício. Uma vez que n ≡ N/V esta equação da pressão é exatamente a lei do gás ideal em sua forma
familiar.
Em aplicações astrofísicas é comum expressar esta equação de uma outra forma. Já que n é a
densidade numérica de partículas, deve estar relacionada à densidade de massa do gás. Podemos
então escrever n = 𝝆 / ⟨𝒎⟩, onde ⟨𝒎⟩ é a massa média das partículas do gás. Desta forma a lei dos gás
ideal escreve-se Pg = 𝝆𝜿T / ⟨𝒎⟩. Neste ponto definimos o peso molecular médio como μ ≡ ⟨𝒎⟩ / mH,
onde mH = 1.673532499 x 10-27 kg é a massa do átomo de Hidrogênio. O peso molecular médio é a
massa média de uma partícula livre do gás, em unidades da massa do Hidrogênio. Costuma-se então
escrever a lei do gás ideal em termos do peso molecular médio como:
O peso molecular médio depende da composição do gás e do estado de ionização de cada espécie. O
nível de ionização entra porque os elétrons livres devem ser incluídos na massa média por partícula,
⟨𝒎n⟩. A equação de Saha é necessária para calcular os números relativos dos estados de ionização. No
entanto, quando o gás é ou completamente neutro ou completamente ionizado, os cálculos simplificam
significativamente.
Consideremos um gás completamente neutro
mj e Nj são respectivamente a massa e o número total de átomos do tipo j que estão no gás, e as somas
são feitas sobre todos os tipos de átomos. Dividindo por mH temos
onde Aj ≡ mj / mH. Da mesma forma, para um gás ionizado
onde 1 + zj leva em conta o núcleo mais o número de elétrons livres que resultam dos átomos do tipo j
completamente ionizados.
Invertendo a expressão para ⟨𝒎⟩, é possível escrever equações alternativas para 𝜇 em termos de
frações de massa. Lembrando que ⟨𝒎⟩ = 𝜇mH a equação para ⟨mn⟩ escreve-se
onde Xj é a fração de massa dos átomos do tipo j. Resolvendo para 1/𝜇n, temos
Assim, para um gás neutro
⟨1/A⟩n é a média ponderada de todos os elementos do gás mais pesados do que o Hélio. Para a
abundância solar, ⟨1/A⟩n = 1/15.5 = 0.064.
O peso molecular de um gás completamente ionizado pode ser determinado de maneira semelhante. É
necessário somente incluir o número total de partículas contida, núcleos e elétrons. Por exemplo, cada
átomo de Hidrogênio contribui com um elétron livre e seu núcleo, para a massa total de partículas. Da
mesma forma um átomo de Hélio contribui com dois elétrons livres mais o núcleo. Portanto, para um
gás completamente ionizado a equação para 1/𝜇i torna-se
Incluindo o Hidrogênio e o Hélio explicitamente temos
Para elementos mais pesados do que o Hélio, 1 + zj ≅ zj, onde zj ≫ 1 representa o número de prótons
(ou elétrons) em um átomo do tipo j. Além disso, Aj ≅ 2 zj, uma relação baseada no fato que átomos
suficientemente massivos tem aproximadamente o mesmo número de prótons e neutrons em seus
núcleos e que prótons e neutrons tem massas aproximadamente iguais. Assim
Se assumimos que X = 0.70, Y = 0.28, e Z = 0.02, uma composição típica de estrelas jovens, então 𝜇n =
1.30 e 𝜇i = 0.62.
A Energia Cinética Média por Partícula
Combinando as equações
obtemos
Podemos re-escrever esta equação como
No entanto, o lado esquerdo desta expressão é exatamente a integral da média de 𝑣2 ponderada pela
função de distribuição de Maxwell-Boltzmann. Logo
ou
Notemos que o fator 3 decorre da média das velocidades das partículas nas três direções (graus de
liberdade). Assim, a energia cinética média de uma partícula é (1/2) 𝜿T por grau de liberdade.
Exemplo: Usando o resultado do exemplo anterior quando calculamos o valor da pressão no centro do
Sol como sendo 2.7 x 1014 N m-2 e sabendo que ⟨ρ⊙⟩ = 1410 kg m-3, mH = 1.673 x 10-27 kg, 𝜇i = 0.62 e 𝜿
= 1.3804x 10-23 J k-1, podemos estimar o valor da temperatura central do Sol a partir da equação de
estado da lei dos gases ideais.
o que está em razoável acordo com modelos detalhados (1.57 x 107 K). Nesta temperatura a pressão de
radiação que pode ser calculada através da expressão Pc = (1/3) aT4 é 1.53 x 1013 N m-2, cerca de
0.065% da pressão do gás (2.57 x 1016 N m-2).
Fontes de Energia Estelar
Sabemos que a taxa de energia que sai de uma estrela é muito grande. Contudo até então não
tratamos da questão relacionada à fonte desta energia. Obviamente que a medida do tempo de vida de
uma estrela deve estar ligada a quanto tempo a estrela pode manter esta taxa de liberação de energia.
Gravitação e a Escala de Tempo de Kelvin-Helmholtz
Uma fonte provável de energia estelar é a energia potencial gravitacional. A energia potencial
gravitacional de um sistema de duas partículas é dada por
Na medida que a distância entre M e m diminui, a energia potencial gravitacional torna-se mais
negativa, implicando que energia deve ser convertida em outras formas, como energia cinética. Se
uma estrela é capaz de converter sua energia potencial gravitacional em calor e então irradiar o calor
no espaço, a estrela será capaz de brilhar por um período longo de tempo. !
Lembremos que do teorema do virial a energia total de um sistema de partículas em equilíbrio é
metade da energia potencial do sistema. Logo, somente metade da energia potencial gravitacional da
estrela está disponível para ser irradiada, sendo que a energia potencial restante fornece energia
térmica e aquece a estrela.
Calculemos a energia potencial gravitacional de uma estrela. A força gravitacional sobre uma massa
pontual dmi localizada fora de uma estrela esfericamente simétrica de massa Mr é
e é direcionada em direção ao centro. Assim a energia potencial gravitacional da massa pontual é
escrita como
Se ao invés de uma massa pontual, considerarmos que esta massa está distribuída uniformemente
numa camada de espessura dr e massa dm (onde dm é a soma de todas as massas pontuais dmi), então
onde 𝝆 é a densidade de massa da camada e 4𝛑r2 dr é seu volume. Assim
Integrando sobre todas as camadas do centro até a superfície, a energia potencial gravitacional tornase
onde R é o raio da estrela. Uma solução exata de Ug requer o conhecimento de como 𝝆 e
consequentemente Mr depende de r. Assumindo 𝝆 constante e igual ao valor médio
onde M é a massa total da estrela. Aproximamos Mr como
Substituindo na equação da energia potencial gravitacional temos
Aplicando o teorema do virial temos a energia mecânica total de uma estrela
Exemplo: Se o Sol fosse originalmente muito maior do que é hoje, quanta energia teria sido liberada
em seu colapso gravitacional ? Assumindo que seu raio original fosse Ri, onde Ri ≫ 1R⊙, então a
energia irradiada durante o colapso deveria ser
Assumindo também que a luminosidade do Sol tem se mantido constante através de sua vida, ele
poderia emitir energia a uma taxa de aproximadamente
tKH é conhecido como escala de tempo de Kelvin-Helmholtz. Baseado em datações radioativas a idade
estimada de rochas da Lua é de 4 x 109 anos. Parece improvável que a idade do Sol seja menor do que
a idade da Lua. Portanto, a energia potencial gravitacional por si só não pode explicar a luminosidade
do Sol através de toda sua vida. No entanto, como veremos adiante a energia potencial gravitacional
das estrelas desempenha um papel importante em algumas fases de evolução das estrelas.
Escala de Tempo Nuclear
Os núcleos dos átomos podem também serem considerados como fontes de energia. Enquanto as
órbitas dos elétrons envolvem energias na faixa de eV, processos nucleares geralmente envolvem
energias milhões de vezes maiores (MeV). Se por um lado uma reação química pode resultar na
transformação de átomos em moléculas, ou um tipo de molécula em outro, reações nucleares
transformam um tipo de núcleo em outro. O núcleo de um particular elemento é especificado pelo
número de prótons, Z. Um isótopos de um dado elemento é identificado pelo número de neutrons, N,
no núcleo (todos os isótopos de um dado elemento possuem o mesmo número de prótons). Prótons e
neutrons são denominados núcleons. Como prótons e neutrons possuem massa muito maior que a do
elétron, A = Z + N é um bom indicador da massa do isótopos e é denominado número de massa.
As massas do próton, neutron e elétron são:
onde 1u = 1.66053873 x 10-27 kg. Assim, podemos expressar a massa do Hidrogênio, mH =
1.0078250321 u. Esta massa é ligeiramente menor do que a massa combinada do próton e do elétron.
Na verdade, se o átomo está no estado fundamental a diferença exata é 13.6 eV, que é o potencial de
ionização. Uma vez que massa é equivalente a uma quantidade correspondente de energia e a massa-energia
total do sistema deve ser conservada, qualquer perda em energia quando o elétron e o próton se
combinam para formar um átomo deve corresponder a uma perda de massa total.
Da mesma forma, energia é liberada com uma consequente perda de massa quando núcleons são
combinados para formar núcleos atômicos.
Um núcleo de He composto de dois prótons e dois neutrons pode ser formado por uma série de
reações nucleares originalmente envolvendo quatro núcleos de Hidrogênio (ou seja, 4H → He + resto
de baixa massa). Estas reações são chamadas de fusão. O processo contrário é chamado de fissão.
A massa total de quatro átomos de H é 4.03130013 u enquanto que a massa de um átomo de He é
4.002603 u. A massa combinada dos átomos de H excede a massa do átomo de He por Δm = 0.028697
u , ou seja, 0.7% somente. Portanto, a quantidade total de energia liberada na forma de núcleo de He
é Eb = Δm c2 = 0.028697 x 1.66053873 x 10-27 x (3 x 108)2 m/s = 0.42887 x 10-11 J, mas 1J = 6.242 x 1018
eV logo Eb = 2.677 x 107 eV = 26.763 MeV
Esta energia é conhecida como energia de ligação no núcleo de He.
Exemplo: Esta fonte de energia nuclear é suficiente para justificar o que medimos como a
luminosidade do Sol ? Por simplicidade, assumimos que o Sol foi originalmente 100% Hidrogênio e
que somente os 10% mais central da massa do Sol é quente o suficiente para converter H em He. Uma vez que 0.7% da massa de H é convertida em energia na formação do átomo de He, a
quantidade de energia nuclear disponível no Sol será Enuclear = 0.1 x 0.007 x M⊙ c2 = 1.3 x 1044 J. Isto
nos dá a escala de tempo nuclear que é aproximadamente
Um tempo maior do que a idade das rochas lunares.
O Efeito de Tunelamento Quântico
Aparentemente existe energia suficiente no núcleo dos
átomos para justificar a luminosidade estelar
observada, mas reações nucleares realmente acontecem
no interior das estrelas ?
Para que prótons possam colidir e formar um núcleo no
processo devem vencer a bateira coulombiana. A figura
ao lado mostra a curva de energia potencial que um
núcleo atômico experimenta quando se aproxima de um
outro núcleo. Duas regiões são distintas nesta curva: 1)
fora do núcleo é a energia potencial que existe entre duas
partículas positivamente carregadas; 2) dentro do núcleo
é o potencial governado pela força nuclear forte que
mantém o núcleo ligado.
Se assumimos que a energia requerida para vencer a barreira coulombiana é fornecida pela energia
térmica do gás, e que todos os núcleos movem-se não-relativisticamente então a temperatura Tclássica
para vencer a barreira pode ser estimada
Uma vez que o movimento das partículas do gás é aleatório, nos referimos a velocidade v entre dois
núcleos e sua massa reduzida, 𝜇m. Igualando a energia cinética da massa reduzida à energia potencial
da barreira coulombiana temos o ponto de máximo na curva apresentada na figura anterior. Usando
a equação
Podemos escrever
onde Tclássica é a temperatura requerida para uma partícula média vencer a barreira coulombiana, Z1
e Z2 são os números de prótons em cada núcleo, e r é a distância de separação. Assumindo que o raio
típico do núcleo é da ordem de 10-15 m (1 Fermi), considerando a colisão entre dois prótons (Z1 = Z2 =
1), a temperatura para vencer a barreira é
No entanto, a temperatura central do Sol é da ordem de 1.57 x 107 K, muito menor do que o
requerido. Mesmo levando em conta o fato de que a distribuição de Maxwell-Boltzmann indica que
um significativo número de partículas têm velocidades bem acima da média, a física clássica não
explica como um número substancial de partículas podem vencer a barreira coulombiana e produzir
a luminosidade observada do Sol.
Mas como vimos anteriormente quando tratamos do efeito de tunelamento quântico, mesmo que a
energia cinética da colisão entre dois prótons seja insuficiente para vencer a barreira coulombiana,
ambos podem ainda encontrar-se “frente a frente” com o potencial central definido pela força forte.
Consideremos então de maneira aproximada como levar em conta o efeito de tunelamento.
Assumimos que um próton deve estar dentro de aproximadamente um comprimento de onda de de
Broglie a fim de sofrer tunelamento. Assim, λ = h / p. Re-escrevendo a equação da energia cinética
temos
e considerando a distância do encontro mais próximo dos prótons como um comprimento de onda de
de Broglie temos
Resolvendo esta equação para λ e substituindo r = λ na equação de Tclássica encontramos a estimativa
quântica da temperatura necessária para uma reação ocorrer
Assumindo, novamente a colisão entre dois prótons, 𝜇m = mp/2 e Z1 = Z2 = 1, obtemos uma
temperatura Tquântica ~ 107 K. Logo, assumindo efeitos quânticos a temperatura requerida para
reações nucleares acontecerem é consistente com a temperatura central do Sol.
Nucleosíntese Estelar e Leis de Conservação
Agora é preciso compreender a seqüência exata dos passos pelos quais um elemento é convertido em
outro, processo conhecido como nucleosíntese. A estimativa feita da escala de tempo nuclear foi feita
baseada no fato de que quatro núcleos de H foram convertidos em He. No entanto, é improvável que
isto aconteça da colisão dos quatro núcleos simultaneamente. Para o processo ocorrer é necessário
uma cadeia de de reações envolvendo a mais provável colisão de dois corpos.
Mas o processo pelo qual uma cadeia de reações nuclear acontece não é arbitrário, uma série de leis
de conservação devem ser obedecidas: conservação da carga elétrica, do número de núcleons e do
número de leptons (que significa partículas leves como elétrons, positrons, neutrinos e anti-neutrinos.
Embora anti-matéria seja rara, desempenha um papel importante na física subatômica. Sua interação
com matéria implica em aniquilamento de ambas as partículas acompanhado pela produção de fótons
energéticos.
e- + e+ → 2𝛾
onde e-, e+ e 𝛾 denotam um elétron, positron e fóton. Os dois fótons produzidos são requeridos para
conservar momentum e energia simultaneamente.
Uma vez que elétrons e positrons têm cargas iguais em magnitude que um próton, estes léptons
contribuem para o balanço da conservação de carga, além do que o número total de léptons deve ser
conservado. A nomenclatura usada para os núcleos ajuda no balanço destas quantidades. Usa-se
onde X é o símbolo do elemento, Z é o número de prótons, e A é o número de massa.
Janela de Energia para reações nucleares
A barreira coulombiana para a reações de partículas carregadas e a distribuição de velocidades
devido a teoria cinética dos gases sugere que existe um domínio estreito de energias onde reações
nucleares podem ocorrer em estrelas. Esta janela é denominada janela de Gamow e é mostrada na
figura.
O pico é o produto das duas curvas decrescendo em direções opostas: A probabilidade de penetração
na barreira coulombiana decresce rapidamente com a energia, mas a uma dada temperatura a
possibilidade de ter uma partícula de alta energia decresce rapidamente com a energia. Somente se as
partículas têm energias aproximadamente neste intervalo em torno do pico é que reações nucleares
acontecerão. Isto coloca um vínculo importante para a produção de energia em estrelas.
A Cadeia Próton-Próton
As principais reações na cadeia próton-próton são ilustradas na figura abaixo
A cadeia P-P consiste das seguintes reações:
1) Dois isótopos de H sofrem simultaneamente uma fusão e um decaimento beta para produzir um
pósitron, um neutrino e o deutério (isótopo do H de número de massa 2).
2) O deutério reage com o H para produzir He-3 e um raio-𝛾.
3) Dois isótopos do He-3 produzidos separadamente nos passos (1) e (2) fundem-se para formar um
núcleo de He-4 mais dois prótons.
O efeito liquido é converter H em He, com a energia liberada sendo absorvida pelas partículas
do meio e raios-𝛾.
Um núcleo de H espera 1 bilhão de anos para interagir com outro núcleo de H para iniciar a
seqüência enquanto todos os outros passos são quase que instantâneos em comparação, logo esta
etapa inicial é que determina a taxa de reação nuclear. Embora seja uma taxa muito pequena, ela é o
suficiente para explicar a luminosidade estelar, porque são muitos átomos de H no núcleo de uma
estrela e portanto cada instante tem sempre muitos átomos gerando energia.
O Ciclo CNO
A cadeia P-P é a mais importante fonte de energia para estrelas normais com massa comparável a do
Sol ou menor. Para estrelas mais massivas a cadeia P-P pode ainda ocorrer mas existe um outro
processo mais favorável para converter H em He, o ciclo CNO.
O ciclo CNO converte H em He de acordo com a seguinte seqüência de reações:
!
1) O Carbono-12 captura um próton e emite um raio-𝛾, produzindo Nitrogênio-13.
2) O Nitrogênio-13 é instável e decai para Carbono-13 com uma meia vida de 10 minutos.
3) O Carbono-13 captura um próton e emite um raio-𝛾, e tornando-se Nitrogênio-14
4) O Nitrogênio-14 captura outro próton e emite um raio-𝛾 tornando-se Oxigênio-15
5) O Oxigênio-15 experimenta um decaimento β e tornando-se Nitrogênio15
6) O Nitrogênio-15 captura um próton e emite uma partícula α, que nada mais é do que um núcleo de
He. Assim, encerra-se o ciclo com o retorno do Carbono-12.
Competição entre cadeia P-P e o ciclo CNO
Já que ambos, cadeia P-P e ciclo CNO, podem produzir energia para conversão de H em He, eles
devem competir um com o outro.
Fatores que controlam a taxa de fusão:
Existem dois pontos a considerar: Primeiro, deve existir C, N e O presentes para que o ciclo CNO
ocorra (somente uma pequena quantidade é necessária); Segundo, as reações tem dependências com a
temperatura muito diferentes, como mostra a figura abaixo
No caso do Sol, modelos detalhados sugerem que o mesmo está produzindo 98-99% de sua energia
através da cadeia P-P e somente 1% através do ciclo CNO. Contudo, se o Sol fosse 10-20% mais
massivo, sua produção de energia seria dominada pelo ciclo CNO.
Processo Triplo-𝛂
A conversão de H em He através da cadeia P-P ou ciclo CNO requer temperaturas da ordem de 10
milhões Kelvin.
O He produzido não pode continuar a gerar energia através de fusão por causa de um simples fato da
física nuclear. Não existem isótopos estáveis com massa atômica 5 ou 8. Isto significa que os dois
passos iniciais mais prováveis para a fusão do He-4 envolvem a combinação do He-4 com o H para
formar um isótopo de massa 5, ou combinação de dois núcleos de He-4 para formar um isótopo de
massa 8. Mas ambos são instáveis e isto produz um “gargalo” para a fusão de núcleos de He-4.
Somente a altas temperaturas, da ordem de 100 milhões Kelvin, este “gargalo” pode ser vencido por
uma reação altamente improvável. Em altas temperaturas dois núcleos de He-4 formam o altamente
instável Berilio-8, numa taxa alta o suficiente que exista sempre uma pequena concentração do Be-8
em um dado instante.
Esta pequena concentração de Be-8 pode começar reações com o He-4 para produzir um estado
excitado de Carbono-12, que também é instável, mas alguns desses núcleos de Carbono emitem um
raio-𝛾 rápido o suficiente para tornar-se estável antes que desintegre. Esta seqüência altamente
improvável é chamada processo triplo-α, porque é o resultado da combinação de 3 partículas α ( 3
núcleos de He-4) para formar um núcleo de C-12.
!
Gigantes Vermelhas,
!
O processo triplo-α é irrelevante em estrelas normais (seqüência principal), como o Sol, porque suas
temperaturas centrais são baixas. Contudo em gigantes vermelhas a temperatura central já atingiu
valores altos o suficiente para iniciar o processo triplo-α para fundir He em C. Este então é o principal
mecanismo gerador de energia numa gigante vermelha.
A Seqüência Principal
☛A análise dos espectros estelares nos indica que as atmosferas da grande maioria das estrelas são
compostas basicamente de Hidrogênio, cerca de 70% em massa (X ~ 0.7). Assumindo que a
composição inicial de uma estrela é homogênea, as primeiras reações de fusão nuclear deve ser aquela
que converte H em He (cadeia P-P ou ciclo CNO).
☛Dado que o H é o elemento predominante no núcleo e que o processo de queima de H em He é lento,
a composição e a estrutura do interior de uma estrela varia lentamente. Assim, se as variações no
centro da estrela são lentas, assim será também na superfície.
☛Uma vez que a maioria das estrelas apresentam composições semelhantes, a estrutura deve variar
com a massa. Quanto maior a massa, maior a pressão central, maior a temperatura central. Assim,
em estrelas de baixa massa a cadeia P-P dominará o processo de geração de energia, uma vez que
menos energia é necessário para iniciar as reações. Para estrelas de alta massa, o ciclo CNO irá
dominar o processo de geração de energia, por conta de sua forte dependência com a temperatura.
☛Em algum momento, na medida que a massa da estrela vai diminuindo, a temperatura central vai
diminuindo também até o ponto que reações nucleares não são mais capazes de estabilizar a estrela
contra a contração gravitacional. Estimativas precisas indicam que abaixo de 0.072 M⊙ não temos
reações nucleares do núcleo e portanto não se forma uma estrela. No outro extremo, estrelas com
massas acima de 90 M⊙ tornam-se sujeitas a oscilações térmicas em seus centros que podem produzir
significativas variações na geração de energia nuclear em escalas de tempo de 8 horas.
O Limite de Luminosidade de Eddington
Além das oscilações térmicas, a estabilidade de estrelas muito massivas é diretamente afetada pela sua
alta luminosidade. Examinando a equação abaixo
se a temperatura é suficientemente alta e a densidade do gás o suficientemente baixa, é possível que a
pressão de radiação domine a pressão do gás em uma certa região da estrela. Tal situação pode
ocorrer nas camadas mais externas de estrelas muito massivas. Neste caso, o gradiente de pressão é
dado pela equação abaixo.
Assim, o gradiente de pressão próximo a superfície pode ser escrito como
Mas a equação de equilíbrio hidrostático requer que o gradiente de pressão perto da superfície da
estrela seja
onde Mr é a massa da estrela. Combinando as duas equações e resolvendo para obter a luminosidade,
temos:
onde LEd é a luminosidade máxima que uma estrela pode ter e ainda permanecer em equilíbrio
hidrostático. Se a luminosidade excede LEd, perda de massa deve ocorrer, através da pressão de
radiação. Esta luminosidade máxima é denominada limite de Eddington.
É possível estimar a luminosidade de Eddington para estrelas no ramo superior da seqüência
principal. A temperatura efetiva de uma estrela massiva é da ordem de 50000 K, alta o suficiente para
que grande parte do H esteja ionizado na sua fotosfera. Portanto, a maior contribuição para a
opacidade vem de elétrons livres espalhados - 𝜿 = 0.034. Assim, temos
Para uma estrela de 90 M⊙, a luminosidade de Eddington será LEd ≃ 3.5 x 106 L⊙, aproximadamente 3
vezes o valor esperado para o valor na seqüência principal.
Esta razoável correspondência entre o valor teórico e o limite de Eddington indica que o envelope de
estrelas massivas da seqüência principal são de certa forma próximos a uma instabilidade. As
observações indicam que estrelas com massas próximas a 100 M⊙ estão sofrendo considerável perda
de massa e exibem variabilidade em sua luminosidade.
Variação dos Parâmetros estelares na Seqüência Principal
com a Massa
Comparando o resultado de modelos (figura da esquerda) com dados observacionais vemos a estreita
relação, evidenciando que estrelas que estão atualmente queimando Hidrogênio em seus núcleos, se
distribuem ao longo da seqüência principal.
Notamos que a luminosidade varia entre 5 x 10-4 L⊙ e 1 x 106 L⊙ , uma variação de nove ordens de
magnitude, enquanto a massa varia somente três ordens de magnitude. Devido a alta taxa de
liberação de energia das estrelas do ramo superior da seqüência principal, estas consomem o H do
núcleo num período de tempo muito menor do que as estrelas do ramo inferior.
O tempo de vida na seqüência principal decresce com o aumento da luminosidade (massa)
Tempo de Vida na Seqüência Principal
Podemos usar a famosa equação de Einstein relacionando massa e energia para calcular quanto
tempo uma estrela permanecerá na seqüência principal.
Vamos supor uma estrela de massa M e que uma fração f da estrela seja convertida em energia pela
fusão do H. Então, a energia total, E, fornecida pela fusão do H pode ser expressa como
E = f M c2
Esta energia é liberada gradualmente sobre bilhões de anos. Se L é a luminosidade da estrela (energia
liberada por unidade de tempo) e t é o tempo de vida na seqüência principal, então podemos escrever:
L=E/t
ou
E=Lt
Assim, podemos escrever
L t = f M c2
➔
t = f M c2 / L
Mas sabemos da observação que existe uma relação entre a massa e a luminosidade da estrela dada
pela expressão L ∝ M3.5. Substituindo na relação anterior temos
Esta relação pode ser usada para estimar-se quanto tempo uma estrela permanecerá na seqüência
principal. Em geral relacionamos estas estimativas ao Sol. Assim, uma estrela de 1 M⊙, ficará 1.2 x
1010 anos na seqüência principal.
Exercícios
1 - Mostre que a equação do equilíbrio hidrostático pode ser escrita em termos da profundidade
óptica 𝜏, como
2 - Assumindo que 10 eV seja liberado por cada átomo no Sol através de reações químicas, estime
quanto tempo o Sol poderia brilhar com a atual taxa através somente de processos químicos. Por
simplicidade, assuma que o Sol é composto somente de Hidrogênio. É possível que a energia do Sol
seja completamente química ? Por que ou por que não ?
3 - Usando o teorema do Virial dado pela equação, -2⟨K⟩ = ⟨U⟩, estime a temperatura média do Sol.
Este resultado é consistente com as outras estimativas feitas durante a aula 9 ? Por que ? ou por que
não ?
4 - Estime o tempo de vida de estrelas queimando Hidrogênio próximas do ramo inferior e do ramo
superior da seqüência principal. O ramo inferior é definido como 0.072 M⊙, log Te = 3.23 e log (L/L⊙)
= -4.3 enquanto o ramo superior é definido como 85 M⊙, log Te = 4.705 e log (L/L⊙) = 6.006.
Consideramos aqui que as estrelas de 0.072 M⊙ são inteiramente conectivas, de tal forma que através
da mistura conectiva todo seu Hidrogênio torna-se disponível para a queima e não somente os 10%
que em geral considera-se que ocorra na região central.
3 -Quanto tempo uma estrela de 4 M⊙ permanecerá na seqüência principal ?