TRIÂNGULO RETÂNGULO

Triângulo retângulo
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é
retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Relações métricas:
Para um triângulo retângulo ABC pode estabelecer algumas relações entre as
medidas de seus elementos:
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção
desse cateto sobre a hipotenusa.
b² = a.n
c² = a.m
- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a
hipotenusa.
b.c = a.h
- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a
hipotenusa.
h² = m.n
- O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.
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Exemplo:
No triângulo ABC, calcular: a, h, m e n:
a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10
b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4
Determinar os valores literais indicados nas figuras:
a)
13² = 12² + x²
169 = 144 + x²
x² = 25
x=5
5.12 = 13.y
y = 60/13
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b)
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c)
d)
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Triângulo retângulo
Determinar a altura de um triângulo equilátero de lado l.
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Determinar x nas figuras.
a)
O triângulo ABC é equilátero.
b)
O triângulo ABC é equilátero.
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c)
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Triângulo retângulo
Determinar a diagonal de um quadrado de lado l.
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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:
- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa
do triângulo.
senÊ = e/a
senÔ = o/a
- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a
hipotenusa do triângulo.
cosÊ = o/a
cosÔ = e/a
- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto
adjacente.
tgÊ = e/o
tgÔ = o/e
Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º
Exemplo:
senÔ = 3/5 = 0,6
cosÔ = 4/5 = 0,8
tgÔ = 3/4 = 0,75
senÊ = 4/5 = 0,8
cosÊ = 3/5 = 0,6
tgÊ = 4/3 = 1,333....
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ÂNGULOS NOTÁVEIS
Pode-se determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses
ângulos chamados de notáveis são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de
seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos
notáveis. Considere um triângulo equilátero de lado l Traçando a altura AM,
obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°.
Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:
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Triângulo retângulo
Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado
de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.
No triângulo ABD, temos:
Observação: sen45° = cos45°
Resumindo temos a tabela:
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Exercícios resolvidos:
1) Calcular o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o
segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5
Solução:
2) Calcular a altura de um triângulo equilátero que tem 10 cm de lado.
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Solução:
3) A altura de um triângulo equilátero mede 4 cm. Calcular:
a) A medida do lado do triângulo
b) A área do triângulo
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4) Calcule x indicado na figura
Solução:
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Solução:
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6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo,
forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada
em metros?
Solução:
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7) Na figura indicada calcule AB.
Solução:
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8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do
quadrado 1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros
quadrados, a área do quadrado 3 ?
A2 = A1 + A 3
100 = 36 + A2
A2 = 100 – 36 = 64cm²
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9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as
medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da
hipotenusa e o perímetro desse triângulo.
10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana
relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um
triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação
decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.
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11) Um quadrado e um triângulo equilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a
medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado.
Determine o valor da razão h/d.
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