RELAÇÃO DE DISPERSÃO DE LAPLACE: ONDAS CURTAS

RELAÇÃO DE DISPERSÃO DE LAPLACE: ONDAS CURTAS
A escala de comprimento da relação de dispersão de Laplace:
 2  gk tanh kH
que determina a característica da onda, onde ela ocorre, é a profundidade H.
Formas diferentes de relação de dispersão são usadas dependendo como
k 1 se relaciona com H ,
isto é, como o comprimento de onda  se relaciona com a profundidade H, onde se dá o
movimento ondulatório.
Para o caso de ONDAS CURTAS, quando
  k 1  H
a relação de dispersão de Laplace se reduz a:
 2  gk ,
pois, para Ondas Curtas, de  2  gk tanh Hk , se   H 
H

 1 tanh
H

1
Da mesma forma, para ONDAS CURTAS, a solução da equação de Laplace para p ! :
p! 
go cos(kx  y  t ) cosh K ( z  H )
cosh kH
,
ou
p!  
cosh k ( z  H )
cosh kz. cosh kH  senhkz.senhkH

cosh k .H
cosh kH
se reduz a:
1
p!  
cosh k ( z  H )
senhkz. cosh kH

  (cosh kz  senhkz)
cosh kH
cosh kH
 p !   .e kz
, (nas condições de Ondas Curtas )  k 1  H
As condições acima satisfazem as ONDAS CURTAS, ou dito de outra forma são
satisfeitas pelas ONDAS DE GRAVIDADE DE ÁGUAS PROFUNDAS, pois nessas
condições, também está satisfeita a relação:
H  k 1  
A profundidade de
H
do
local onde ocorre a onda é muito maior do que seu
comprimento de onda  . Dessa forma a propagação da onda não é obstaculizada pela
distância ao fundo, desde que seu comprimento  é menor do que a sua amplitude de
´'
perturbação p . A pressão e o movimento estão confinados a uma dimensão de ordem
de
  k 1 .
Da relação de dispersão para "ondas curtas", ou ondas de "mar profundo" pode-se ver que
para ondas com período T  10 seg da relação de dispersão  2  gk obtem-se para
2  T  10segundos  2 1   
2
10
  25m
Para ondas curtas viajando em áreas costeiras, com celeridade igual a 15m/s que é a
c2
15 2

 25m ,
velocidade média dos ventos oceânicos obtem-se de c  gH  H 
9
10
pois em áreas costeiras elas podem ser consideradas como ondas longas,
2
H  25m
para a profundidade oceânica, a partir da qual essas ondas podem se propagar sem que
haja interferência do fundo em direção ao oceano mais profundo.
A aproximação de "águas profundas" pode ser feita para essas ondas, quando a
profundidade do local é maior do que 25m. Uma vez que a profundidade média dos
oceanos é de 5km, essas ondas podem viajar os oceanos livremente só sentem os efeitos
do fundo em regiões em próximas à costa.
A freqüência  permanece constante à medida que elas se aproximam de águas razas de
tal forma que pela relação de dispersão de Laplace:
 2  gk tan ghkH
elas retornam menores em comprimento de onda e a velocidade de fase.
c  gH
diminui. Quando a profundidade se reduz a H=1m o comprimento de onda  de uma
onda com período T=10 seg é  = 30m e a velocidade de fase:
c  3m / seg
Dessa forma deve se entender que as ondas medidas nas praias e nas proximidades da
costa são bastante modificadas em comparação com suas características em mar aberto.
Entretanto, deve se notar que em ambas as situações elas serão consideradas ONDAS
DE GRAVIDADE CURTAS, ou ONDAS DE GRAVIDADE DE MAR PROFUNDO.
A distinção entre ondas de oceano e de plataforma depende da profundidade H. Para o
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mar aberto com profundidades de 5Km as ondas de oceano devem ter comprimentos de
H
 2 minutos. As
ondas 2k 1  30km e períodos 2 1 menor do que 2
g
velocidades de fase devem ser menores do que 200 cm/s. Na plataforma continental com
profundidade de 50m, entretanto, ondas de oceano devem ter  < 300m e períodos T <
15 seg e velocidade de fase ou celebridade c < 20m/seg.
RELAÇÃO DE DISPERSÃO DE LAPLACE: ONDAS LONGAS
A relação de dispersão de Laplace para ondas longas, isto é, para   k 1  H se
transforma em:
 2  gk 2 H
,
pois tan( ghkH )  kH para kH  0

Como c 
,ou c   , obtem-se para a celereidade
k
c 2  gH
Ondas dessa forma são também chamadas de ondas de ÁGUAS RAZAS, pois
H  k 1   e elas não são dispersivas, porque a velocidade de fase "c" não depende do
número de onda k.
A onda de maré tem essa característica e sua celeridade é cerca de c = 200m/seg em mar
aberto. Elas podem atravessar o Atlântico em menos de 7 horas conforme mostrado na
Fig. 7.
A propagação da onda de maré, por ter comprimento de onda   H , e por ser maior
que a dimensão das bacias oceânicas, se faz ao redor de pontos anfidômicos onde a
aplitude da maré é nula. A componente de maré representada é a M 2 que tem 2 pontos
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anfidrômicos no A. Sul, sendo o de Rio Grande, RS, degenerado, isto é, ele se encontra
sobre a Terra.
A celeridade "c" da onda M 2 não é constante e é menor na região oceânica entre os 2
pontos anfidrômicos e maior ao cruzarem o Atlântico entre a África e a América do Sul.
Nas plataforma continental, as velocidades (celeridades) são menores, chegando a
velocidades de 20m/seg em profundidades menores que 50m.
A solução para a pertubação de pressão p ! da solução de Laplace se torna:
p !  g o cos( kx  y  t )
isto é a perturbação p ! se torna independente da profundidade.
Desde que a pertubação p ! não depende da profundidade o resultado que pressupõe a
aproximação hidrostática é a de que a pressão ao longo da profundidade obedece a lei
da hidrostática adicionado a essa perturbação, via de regra pequena, comparada com a
pressão total. Isto é, os valores da pressão hidrostática e a suposição de condições de
ONDAS LONGAS, ou AGUAS RAZAS são equivalentes nas derivações que se
seguem. De acordo com essas considerações ,portanto, em condições em que
tanh k ( z  H ) são verificáveis os valores da velocidade vertical w variam desde zero no
fundo até o valor máximo

na superfície.
t
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AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO: APROXIMAÇÃO HIDROSTÁTICA
(ONDAS LONGAS – CONDIÇÃO DE ÁREAS RAZAS )
Para um fluído homogêneo a aproximação hidrostática (ONDAS LONGAS) implica que:
p !
 0 e que segue: p!  g em todos os pontos da coluna.
z
As equações do movimento escritas em termos de p !  g se transformam em:
u

  g
t
x
v

  g
t
y
w
 ( g )

0
t
z
Estas equações mostram que a variação vertical de w é quase nula, à vista das variações
das correntes de componentes u e v tem variações com o tempo independentes das
profundidade.
A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A equação da continuidade, admitindo-se densidade   constante, como foi mostrado,
pode ser escrita na forma:
u v w


0
x y z
Integrando-se verticalmente entre –H e n com relação a profundidade e levando em conta
as condições de contorno.
w0
w
em
z  H
em
z 

t
Integrando-se ao longo da profundidade:
6



u
v
w
H x dz H y dz  H z dz  0
trocando a posição dos sinais de operação integral e derivada,






udz 
vdz 
wdz  0.


x  H
y  H
z H
Como u e v e suas derivadas parciais em relação a x e y são consideradas constantes ao
longo da
profundidade: e H   segue-se:

 u v  
H    
 wdz  0 ;
 x y  z  H
como pelas condições de contorno w = 0 em z =-H e w 

t
em z =  , efetuando-
se a integração da última parcela resulta:
 u v 

 H     0 .
t
 x y 
 u v 
O valor de H    é chamado de DIVERGÊNCIA HORIZONTAL, sendo a
 x y 
divergência da corrente horizontal.
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A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DERIVADA DOS PRINCÍPIOS
A equação da continuidade pode também ser derivada a partir de princípios trágicos.
Considere-se o volume mostrado na Figura:
Sejam u e v as componentes da velocidade do fluxo no centro do elemento de volume
da Figura e  a elevação da superfície lá (no centro).
Como u e v são independentes da profundidade, isto é, são constantes ao longe da
vertical a vazão do fluxo de massa através da secção vertical normal à direção do fluxo
através do volume mostrado no Figura é:
u.( H   )y
A diferença entre o fluxo de entrada acima e o fluxo de saída:
u ( H   )y 
onde

H   u xy
x

H   u xy é a variação do fluxo na direção x devido a varição de  .
x
A diferença entre o fluxo de entrada e o fluxo de saída é portanto:
xyuH   / x
que represente a derivada em relação a variável x e u. Fazendo de forma similar para a
direção y para v obtem-se:
xyvH   / y
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Levando em conta as variações do fluxo nas duas direções e equacionando-as com a
vazão de variação da  com o tempo obtem-se:
 

 H   u  H   v  0
t x
y
A expressão se aplica a grandes movimentos ondulatórios uma vez que u e v são
independentes da profundidade.
Se a pertubação  é pequena comparada com H a expressão acima se reduz a:
 ( Hu ) ( Hv )


0
t
x
y
Se H for considerado constante então se obtem:
 u v 

 H    0
t
 x y 
que é a equação da continuidade (De acordo com a aproximação hidrostática, ou
condição de Ondas Longas, ou condição de Águas Razas), escrita em termos do
divergente horizontal.
A EQUAÇÃO DE ONDAS DE LAGRANGE (1781)
As equações de "momentum":
u

 g
t
x
v

 g
t
y
podem ser utilizadas para substituir o divergente horizontal e obter uma equação apenas
na variável  , obtendo-se:
u  g  g

dt
x
v  g  g

dt
y
que substituídos na equação da continuidade acima fornece:

 
 
 
 
 H   g  dt   H   g  dt   0
t
x 
x 
y 
y 
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Derivando-se em relação a t obtem-se:
 2  ( gH )   
 
0
   gH
2
x
x y 
y 
t
Se a profundidade H puder ser considerada constante obtem:se:
 2
 2
 2
 gH 2  gH 2  0
t 2
x
y
Lembrando que: c 2  gH , tem-se finalmente:
2
2
 2
2  
2  
 c
c
0
t 2
x 2
y 2
seguindo-se:
2
 2
 2 
2  
 c  2  2 
t 2
y 
 x
que é a equação de onda devida a Lagrange (1781).
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