Sobre a Topologia de Zariski

Sobre a Topologia de Zariski
Donizetti Kurtz von Ende Peçanha, Profa. Dra. Eliris Cristina Rizziolli, IGCE – UNESP – Campus de
Rio Claro, Matemática, [email protected], PET-SESu/MEC
Palavras Chave: Zariski, álgebra, topologia.
Introdução
Sabe-se que as linhas de pesquisa em matemática
se concentram em três grandes áreas, quais sejam
“Análise”, “Álgebra” e “Geometria e Topologia”.
Cada uma com seus objetos de estudos bem
definidos.
Sobretudo existe uma beleza ímpar em elementos
provenientes da conexão entre estas áreas. Neste
sentido, o surgimento da Topologia de Zariski
permitiu uma interessante ligação entre a “Álgebra”
e a “Geometria e Topologia”, causando forte
impacto sobre a Geometria Algébrica, sendo
essencial para avanços significativos nesta linha de
pesquisa.
A caracterização de conjuntos abertos a partir de
equações algébricas é o grande feito desta
topologia a qual apresentaremos neste trabalho.
Objetivos
Apresentar a Topologia de Zariski e utilizar esta
topologia no anel do números inteiros.
Material e Métodos
Estudo da bibliografia sugerida e seminários
semanais com o acompanhamento e presença da
orientadora.
Resultados e Discussão
Para a compreensão da Topologia de Zariski
algumas definições e resultados são necessários,
colocaremos a seguir os mais pertinentes.
Afim de caracterizar um espaço topológico via
subconjuntos fechados considere X um espaço e T
uma família de subconjuntos de X tais que:
i)
X e { } pertencem a T;
ii)
Se F1, F2, … Fn pertencem a T então a
união de F1, F2, … Fn também pertencem a T; e
iii)
Se para qualquer família de elementos de T,
a interseção destes elementos também pertence a
T.
Então ao par (X,T) damos o nome de espaço
topológico, e T é uma topologia para o espaço X,
sendo que cada elemento de T é denominado
conjunto fechado de X.
XXVI Congresso de Iniciação Científica
Agora seja R um anel comutativo e X o conjunto dos
ideais primos de R. Existe uma maneira natural de
definir uma topologia em X que permite a introdução
de ideias geométricas no estudo do anel R. Para
tanto se A é um subconjunto qualquer de R,
consideremos V(A) como sendo um subconjunto de
X cujos elementos são ideais primos que contém o
conjunto A. Estes conjuntos V(A) satisfazem as
condições que caracterizam um espaço topológico
via subconjuntos fechados, a saber:
i)
{ } e X são conjuntos fechados, uma vez que
{ }=V({1}) e X=V({0});
ii)
A união de dois conjuntos fechados é
fechado, pois podemos tomar estes conjuntos
fechados como sendo V(A1) e V(A2), e então a
união destes conjuntos é V(A1A2);
iii)
A interseção de qualquer coleção de
conjuntos fechados é fechado, porque se {Ak} é
uma família, não necessariamente finita, de
subconjuntos de R, então a interseção de seus
elementos é igual a V(U), onde U é a união destes
elementos.
Chamaremos X equipado com esta topologia de
espectro primo de R, denotado por Spec(R), e a
esta topologia damos o nome de Topologia de
Zariski.
Conclusões
Esta topologia surgiu em meados da década de
1950, criada por Oscar Zariski, foi motivada pelo
Nullstellensatz de Hilbert. Seu estudo proporcionou
um grande avanço na geometria algébrica.
Neste trabalho a topologia de Zariski é apresentada
numa roupagem moderna via Radical, Spec, entre
outras estruturas algébricas que permitem
vislumbrar aplicações direcionadas à álgebra
comutativa.
Agradecimentos
Agradeço a minha orientadora pela oportunidade de
estudo.
____________________
Atiyah, M. F. e Macdonald, I. G.. Introduction to Commutative
Algebra. 1969.
Jacobson, N.. Basic Algebra II. 1995.
Domingues, H. H.. Álgebra Moderna. 2003.