Equação do 1º grau Resolução de equações de 1º grau

1
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU
Equação do 1º grau
Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode
ser escrita sob a forma:
ax  b  0
em que a e b são números reais, com a ≠ 0.
Determinar a solução de uma equação do 1º grau significa obter, por meio de propriedades ou
processos algébricos, o valor da incógnita x que verifica a igualdade.
Chamamos de solução de uma equação os valores numéricos que atribuídos às incógnitas da
equação tornam a igualdade verdadeira. Assim temos que:

O número 2 é solução da equação 5x – 10 = 0, pois a sentença 5 . 2 – 10 = 0 é verdadeira;

O número 4 é solução da equação 5(z – 1) = 2z + 7, pois a sentença 5(4 – 1) = 2 . 4 + 7 é
verdadeira.
Qualquer equação do 1º grau admite uma solução única. O símbolo () serve para indicar que
duas equações admitem a mesma solução e, neste caso, dizemos que essas equações são
equivalentes. Veja alguns exemplos.

5x – 10 = 0  5x = 10

2x + 9 = y  9 = 3y

5(z – 1) = 2z + 7  3z – 12 = 0
Resolução de equações de 1º grau
Os processos algébricos, utilizados para a resolução de uma equação, baseiam-se nos seguintes
princípios.

Se adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número aos dois membros de uma equação,
obtemos outra equação equivalente.
x+3=8
x+3–3=8–3
x+0=5
x=5
2

Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros da equação por um mesmo número,
obtemos outra equação equivalente.
3x = 21
1
1
3x.  21.
3
3
x.1=7.1
x =7
Problemas modelados por equações de 1º grau
Para resolver problemas por meio de equações de 1º grau precisamos:

ler o enunciado com muita atenção;

verificar quem ou o que é a incógnita do problema, atribuindo à mesma um símbolo (x,
por exemplo)

escrever a equação de acordo com os dados do problema;

por meio de processos algébricos resolver a equação obtida;

fazer a interpretação da solução no correspondente problema;
Inequações de 1º grau
Para estudarmos as inequações de 1º grau, devemos antes aprimorar nossa compreensão do
conceito de desigualdades numéricas designado pelo símbolo (≠), cujo significado é o oposto do
símbolo (=). Assim, sendo x e y dois números quaisquer, a sentença x ≠ y informa que o número x
é diferente do número y.
A relação de igualdade (=) possui as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
reflexiva
simétrica
transitiva
a=a
a=bb=a
a  b
a c
b  c
A relação de desigualdade admite a propriedade simétrica: a ≠ b  b ≠ a, mas não admite a
propriedade reflexiva, uma vez que a ≠ a falso, nem a propriedade transitiva, pois se a ≠ b e b ≠ c,
é bem possível que tenhamos a = c.
Separamos as desigualdades em dois casos e usamos os símbolos (<) e (>) para representa-las.
Esses novos símbolos são comumente chamados de “menor que” (<) e “maior que” (>). Eles
designam, respectivamente, as relações estritas de ordem crescente e decrescente entre números
reais distintos. Veja, a seguir, alguns números reais postos em ordem crescente:
5  3  0 
1
1 2  2
2
3
Princípio da tricotomia
Sendo x e y dois números reais quaisquer, o princípio da tricotomia nos garante que: x < y ou x = y
ou x > y.
As relações de ordem (<) e (>) são combinadas em uma propriedade semelhante à propriedade
simétrica da igualdade, mas que é chamada de propriedade antissimétrica: a < b  b > a. Assim, o
princípio da tricotomia pode ser enunciado somente com os símbolos (=) e (<) da seguinte
maneira: x < y ou x = y ou y < x.
Além disso, as relações de ordem (<) e (>) são transitivas, pois se a < b e b < c, então temos que
a < c, e se a > b e b > c, temos que a > c. Mas não são reflexivas, pois tanto a < a quanto a > a são
sentenças falsas.
A negação dessas relações são indicadas pelos símbolos mistos (≤) e (≥) que combinam a relação
de igualdade com uma das relações de ordem.
Relação
Negação
>
“maior que”
≤
“menor ou igual que”
<
“menor que”
≥
“maior ou igual que”
Devemos nos atentar para o fato de que sendo x um número real ou racional, uma sentença como,
por exemplo, x < 4 não significa x ≤ 3. Isso só é verdade no universo dos números inteiros e
10 , que mesmo sendo
menores que o número 4, são ambos maiores que 3. Então devemos saber o que representa a
variável x em cada problema. Afinal, se x representa um número de pessoas, temos que x < 4
significa x ≤ 3, mas se x representa o preço de um produto ou o lado de um triângulo, então x < 4 e
x ≤ 3 possuem significados diferentes.
naturais, pois existem números racionais como 4,57 ou irracionais como a
Resolução de inequações de 1º grau
Os processos algébricos utilizados para a resolução de inequações de 1º grau são os mesmos
utilizados para a resolução de equações de 1º grau. No entanto, devemos estar atentos a uma
questão: quando multiplicamos uma desigualdade que envolve (>) ou (<) por (1), devemos
substituir o símbolo (>) por (<) e o símbolo (<) por (>) para manter o status de verdadeira dessa
sentença. Sabemos que 5 > 3. Ao multiplicarmos ambos os membros dessa desigualdade por
(1), obtemos 5 . (1) > 3 . (1), que, sem substituir o símbolo (>) por (<) ficaria, 5 > 3, que
não é uma sentença verdadeira. Substituindo o símbolo (>) por (<), a nova desigualdade 5 < 3 é
equivalente a primeira 5 > 3.
4
Exercícios resolvidos
1. Qual é a solução da equação 5(x + 3) – 2(x – 1) = 20?
5(x  3)  2(x  1)  20
5x  15  2x  2  20
3x  17  20
3x  20  17
3x  3
x 1
2. O conjunto solução da equação
a)
b)
c)
d)
x 2
 2 em R é:
x
S = {1}
S = {2}
S = {2}
S=
x 2
2
x
x  2  2x
x  2x  2
 x  2
x 2
3. Resolva as seguintes inequações de 1º grau.
a)
b)
3x
2x
5 5
2
3
3x 2x
  5 5
2 3
9x  4x
 10
6
5x  60
x  12
1  3x
x 1
x 
1
2
3
3(1  3x)  6x 2(x  1)  6

6
6
3  9x  6x  2x  2  6
3  15x  2x  8
15x  2x  8  3
17x  11 (-1)
17x  11
x
11
17
5
4. Determine os valores de a para os quais a equação ax + 1 = 2x + 7 possui solução.
a) a  1
b) a  2
c) a  3
d) a  – 1
e) a  – 2
ax  2x  6
x(a  2)  6
6
x
a2
a2  0
a2
5. Leia a seguinte descrição de uma sequência de cálculos sobre um número.




pensei em um número;
subtraí 4 desse número;
dividi o resultado por 5;
multipliquei o novo resultado por 8 e encontrei 40.
Em que número pensei?
Seja x o número pensado.
Subtrai 4 desse número: x – 4
x4
Dividi o resultado por 5:
5
Multiplique o novo resultado por 8 e encontrei 40:
x 4
 x 4 
8. 
 5  x  4  25  x  29
  40 
5
 5 
6. Suponha que para calcular a nota final de uma prova com 30 questões fossem contabilizados
quatro pontos a cada questão que o aluno acertasse e, menos um ponto, a cada questão que
o alunos errasse. De acordo com essa hipótese caso um participante responda todas as
questões e obtenha 60 pontos, quantas questões ele acertou?
4x – (30 – x) = 60
4x + x = 60 + 30
5x = 90
x = 18
6
Exercícios Propostos
1. Qual é a solução
4x  1 1  2x

?
2
3
da
equação
3. Resolva as seguintes inequações de 1º
grau.
a)
x
x
1  3 
2
2
b)
x x 1
x

x
2
3
6
c)
x
2. A solução da equação 2(x + 1) = 3(2 – x) é
um número racional:
a)
b)
c)
d)
menor que 1
compreendido entre 1 e 0
compreendido entre 0 e 1
maior que 1
5  x 4x  4 x


6
x
2
7
4. Diminuindo-se 6 anos da idade de minha
3
filha obtém-se os
de sua idade. Qual é a
5
idade de minha filha?
6. Em uma caixa há bolas brancas e pretas em
um total de 360. Se o número de brancas é
o quádruplo do de pretas, qual é o número
de bolas brancas?
5. Um aluno recebe 3 pontos por problema
que acerta e perde 2 pontos por problema
que erra. Fez 50 problemas e obteve 85
pontos. Quantos problemas ele acertou?
7. José gastou tudo o que tinha no bolso em
três lojas. Em cada uma gastou 1 (um) real
a mais do que a metade do que tinha ao
entrar. Quanto tinha José quando entrou
na primeira loja?
Gabarito
1
2
5/16
c
3
a)x≥4
b) R
c) 
4
5
6
7
15
37
288
14