Cap. 19

179
ELETROMAGNETISMO II
19
AUTO INDUTÂNCIA, INDUTÂNCIA
MÚTUA E TRANSFORMADOR IDEAL
19.1 – Indutância
No capítulo 12 apresentamos a definição de indutância como sendo a relação entre fluxo magnético
concatenado e corrente, não nos preocupando com o fato de ser esta corrente contínua ou alternada
no domínio do tempo. Da maneira como fizemos, a indutância era tratada como uma grandeza
escalar, função apenas dos dados geométricos e características magnéticas do meio. Vamos agora
abordar novamente esse assunto, a partir do fenômeno da indução eletromagnética, visto no capítulo
anterior.
Vimos pela equação (12.16) e pela aplicação direta da lei circuital de Ampère, que a indutância de
um solenóide longo ou de um toróide enrolado por N espiras é dada por:
L
N2 A
(H)

(19.1)
onde:
 = permeabilidade magnética do meio. (H/m).
N = número de espiras do enrolamento
A = área da seção transversal de cada espira no enrolamento (m2)
 = comprimento disposto para o solenóide ou toróide (m).
Da definição de indutância, vimos que o fluxo magnético total  = N m concatenado com a corrente i
em N espiras é expresso como:
  N m  L i
(19.2)
Substituindo a corrente elétrica contínua I por outra i = i(t), variando no tempo, com a aplicação
imediata da lei de Faraday, podemos determinar a tensão e(t) produzida pela variação temporal do
fluxo magnético N m produzido em conseqüência da corrente alternada onde:
e( t )  N
d m
di
dL
 NL  N i
dt
dt
dt
(19.3)
A derivada do fluxo em relação ao tempo no caso mais geral produz dois termos; um devido á
variação alternada da corrente e outro pela variação da indutância em relação tempo. Se a
geometria permanece imutável no tempo, o segundo termo resulta nulo.
Pela lei da indução eletromagnética de Faraday, a tensão induzida e(t) que aparece entre os
terminais de um enrolamento solenoidal com N espiras de área A constante é determinada por:
eN
d m
dB
 NA
(V )
dt
dt
Onde para o solenóide longo ou o toróide B 
Ni
. Assim:

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(19.4)
180
ELETROMAGNETISMO II
e
N2 A di
(V)
 dt
(19.5)
Podemos observar que o termo que multiplica a derivada temporal da corrente i (t) na equação
acima é a expressão para a indutância do solenóide, aqui considerada fixa. Então:
di
(V )
dt
e L
(19.6)
19.2 – Indutância Mútua
Considere agora dois enrolamentos, montados sobre um mesmo núcleo que os acopla
magneticamente, como mostrado na figura 19.1 abaixo.
Como os enrolamentos são atravessados pelo mesmo fluxo magnético  m, imagine então que esse
fluxo seja produzido por uma corrente i1 no enrolamento 1 (primário) e que o enrolamento 2
(secundário) esteja em circuito aberto. Segundo a lei de Faraday-Lenz, sobre ele aparecerá uma
tensão induzida dada por:
m
i1
N1
N2
e2
Figura 19.1 - Núcleo com dois enrolamentos
dm
dt
(19.7)
N1A di1

dt
(19.8)
e2  N2
ou
e2  N2
Agrupando o fator que multiplica a derivada, esta expressão pode ainda ser escrita como:
e2  M21
di1
(V )
dt
(19.9)
Reciprocamente, caso seja agora o enrolamento 2 percorrido por uma corrente i2 e o enrolamento 1
posto em circuito aberto, teremos:
e1  N1
d m
dt
Ou ainda
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(19.10)
181
ELETROMAGNETISMO II
e1  N1
N2 A di 2
(V)

dt
(19.11)
de modo que:
di 2
(V)
dt
e1 M12
(19.12)
Pelas equações (19.8) e (19.11) M é a indutância mútua entre os enrolamentos onde:
M12  M21  M
N1N2
A (H)

(19.13)
Considerando as equações (19.9) e (19.12), observamos que uma tensão e2(t) aparece no
enrolamento 2 (secundário) em virtude da variação temporal da corrente i1(t) no enrolamento 1
(primário) e vice-versa. Tal situação pode ser representada eletricamente pelo circuito dado na figura
19.2, onde a indutância mútua M pode ainda ser expressa como:
M
e1
e1
e
 2
di 2 di1
dt
dt
(19.14)
N2
N1
e2
Figura 19.2 - Circuito elétrico equivalente ao magnético da figura 19.1
Admitindo agora uma variação harmônica (senoidal) das correntes no tempo, pela fórmula de Euler,
podemos escrever que:
i1 I1e j t
;
i 2 I2 e j t
(19.15)
Derivando as expressões acima em relação ao tempo vem:
di1
 j  I1 e j t  j  i1
dt
di2
 j  I2 e j t  j  i 2
dt
(19.16)
Assim pela equação (19.14) temos:
M
e1
e
 2
j  i 2 j  i1
(19.17)
e1
e
 2 ( )
i2
i1
(19.18)
ou ainda
j M 
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ELETROMAGNETISMO II
O termo jM é a impedância mútua (complexa) entre os dois enrolamentos.
Exemplo 19.1
Uma espira retangular de 4 m x1 m está no mesmo plano de um condutor retilíneo longo, com o lado
maior paralelo ao fio, a uma distância de 2 m, como mostra a figura 19.3. Se a corrente no condutor
é i = 10 sen (1000t) A, encontre:
a) - A indutância mútua entre a espira e o condutor.
b) - O valor rms da tensão induzida na espira.
Solução:
m 
4 3
0 2
z
m 

B
i
m 
4m
0i
  2r drdz
2 0i


3 dr
2
r
2 0 i  3 
ln  (Wb )

2
Aqui
r=2m
m M i
r=3m
M2
Figura 19.3 - Espira paralela a um condutor
retilíneo
4 .10 7  3 
ln    0.324 H

2
b) -
a)
eM
da aplicação imediata da lei de Faraday
temos:
d m
dt
e
di
dt
e  0,324.10 6  10  1000 cos 1000t  3,24sen1000t mV
O valor rms de e fica então:
onde
E
 
 m  B  dS
s
3,24
2
 2,29 mV

Exemplo 19.2
Repetir o exemplo anterior, porém com o lado menor paralelo ao condutor.
Solução:
e
d m
dt
1 6  0i
m  

0 2 2r
m 
M
4.10 7
ln 3  0,22 H
2
e  0,22  10 6  1000  10 cos1000t  2,2 cos 1000t  mV
drdz
E 1,56 mV
 0i
ln 3 ( Wb)
2
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ELETROMAGNETISMO II
Exemplo 19.3
Um condutor longo de raio a é percorrido por uma corrente i = Isen(t). Uma luva de ferro, de raio
interno b, raio externo c, comprimento  e permeabilidade  envolve o condutor. N espiras são
enroladas sobre a luva no sentido longitudinal (axial), conforme mostra a figura 19.4.
a) - Deduza uma expressão para a indutância mútua entre o condutor e o enrolamento.
b) - Idem para a tensão induzida no enrolamento.
Solução:
i = Isen(t)
Figura 19.4 – Luva de aço envolvida por N espiras, axial a um condutor.
e N
d m
dt
eN
 
 m  B  dS
O termo que está multiplicando a derivada da
corrente em relação ao tempo é a indutância
mútua entre o enrolamento e o condutor, ou
seja:
s
 I

B
sent  aˆ  ; dS  drdz aˆ 
2 r
m 
d
  c  d
N
ln  Isent 
dt
2  b  dt
MN
 c
I
sent dr dz
b 2 r
0 
 c 
ln   (H)
2  b 
Para a tensão induzida temos:
m 
 c 
ln   I sent 
2  b 
e M
di N   I  c 

ln   cos t  (V )
dt
2
b
19.3 - O Transformador Ideal
O transformador é um dispositivo eletromagnético que modifica tensões e correntes de um nível
maior para um nível menor, e vice-versa. Tais dispositivos são constituídos de um circuito magnético
que favorece o caminho ao fluxo, sobre o qual são montados os enrolamentos. Como os processos
baseados nas leis de interação magnética estão sujeitos a perdas, o transformador ideal pode ser
definido e seu funcionamento entendido, desde que essas perdas sejam desconsideradas.
Sobre a estrutura ferromagnética da figura 19.5 são montados dois enrolamentos; o enrolamento
primário e o enrolamento secundário.
Se uma tensão v 1 for aplicada no enrolamento primário, sobre o secundário aparecerá uma tensão
induzida dada por:
v 2 N 2
d m
dt
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(19.19)
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ELETROMAGNETISMO II
m
i1(t)
i2(t)
1
v1(t)
v2(t)
2
figura 19.5 - Transformador ideal
Considerando que este mesmo fluxo  m enlaça a bobina 1, desprezando-se as perdas, a tensão na
bobina 1 será:
v 1 N1
d m
dt
(19.20)
Assim, estabelecendo a relação entre as equações (19.19) e (19.20) vem:
v 2 N2

v1 N1
(19.21)
Vemos que a relação entre as tensões nos enrolamentos está na proporção direta da relação entre o
número de suas espiras. Razão pela qual esta relação entre os números de espiras é também
conhecida por relação de transformação.
Exemplo 19.4
Qual é a indutância, e a impedância mútuas de um transformador ideal se uma corrente de 2 A
(rms), em 60 Hz, induz uma tensão de 6 V (rms) no enrolamento secundário ?
Solução:
Da expressão
v
di
v 2  M 1 tem-se M  2
di1
dt
dt
Mas v 2  6 2 e j t V
i1  2 2 e jt A
Daí
Então M 
6 2 e j t
j 2 2 e
j t

3
j
A indutância mútua, M é então igual a:
M
3
 8 mH
2  60
E a impedância mútua é j M  3 
di1
 j 2 2 e jt
dt
Comentários suplementares
Ao estudarmos este capítulo pudemos notar que um transformador modifica valores de tensões e
correntes baseado na relação entre o número de espiras em cada enrolamento. Assim temos um
transformador abaixador quando a sua tensão no secundário é menor do que no primário, ou seja o
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ELETROMAGNETISMO II
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terminal secundário de saída possui menos espiras do que o terminal primário de entrada. Pela
mesma razão um transformador elevador tem mais espiras no secundário do que no primário Em
ambos os casos a energia e a potência se conservam e relação entre as correntes se dá no modo
inverso. Concluindo, podemos dizer que a denominação de elevador ou abaixador depende do
terminal definido como secundário, ou de saída do transformador, se este tem a sua tensão maior ou
menor do que a do primário.
Outra questão que chamamos atenção é para o transformador que possui uma relação de
transformação 1:1, ou seja, o número de espiras no primário e no secundário é o mesmo. Neste
caso, o transformador é conhecido como de isolação ou de isolação galvânica onde não há variação
de tensão nem de corrente. Este tipo de transformador permite que os potenciais de referência no
lado do primário e no do secundário sejam desvinculados.
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ELETROMAGNETISMO II
EXERCÍCIOS
1) A figura abaixo mostra dois solenóides de comprimento  , e áreas S1 (solenóide 1) e S2
(solenóide 2) coaxiais. Mostre que a indutância mútua entre eles pode ser expressa por:
M  K L1L 2 , onde L1 é a indutância própria do solenóide 1, e L2 a indutância própria do solenóide
2, onde K 
S2
S1
é chamado de coeficiente de acoplamento, cujo valor máximo é unitário.

S1
S2
Figura 19.6 – Figura para o problema 1
2) Em um dia sujeito a tempestades, uma nuvem típica pode desenvolver uma carga negativa de
100 C, induzindo uma carga de igual magnitude, porém de sinal contrário, no solo. Se as cargas
são neutralizadas por uma descarga de 2 ms de duração, encontre a corrente média da descarga.
Tipicamente, descargas atmosféricas possuem um crescimento rápido, e um decaimento gradual.
Se o tempo de subida é 2 s, para uma corrente de 104 A em um condutor que recebe a
descarga, encontre a tensão desenvolvida no condutor. A indutância própria do condutor é 10-3 H,
e sua resistência 10-2 .
3) Qual é a indutância, e a impedância mútuas de um transformador ideal se uma tensão de 12 V
(rms), em 60 Hz, induz uma corrente de 3 A (rms) no enrolamento secundário ?
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