1 - IFMG
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INTRODUÇÃO ..................................................................................... 2
EQUAÇÕES LINEARES ...................................................................... 2
SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO LINEAR .......................................... 3
MATRIZES DE UM SISTEMA .............................................................. 6
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ................................................. 7
SISTEMAS ESCALONADOS ............................................................. 10
RESOLUÇÃO DE SISTEMA ESCALONADO .................................... 10
SISTEMAS EQUIVALENTES ............................................................. 12
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS .................................................. 13
TEOREMA DE CRAMER ................................................................... 20
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR ........................................... 25
SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS ........................................... 33
RESPOSTAS ..................................................................................... 38
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 40
No final das séries de exercícios podem
aparecer
sugestões
de
atividades
complementares. Estas sugestões referem-se a
exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva
fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG –
Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017.
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se
referem ao volume 2.
MATEMÁTICA III
1
SISTEMAS LINEARES
INTRODUÇÃO
EQUAÇÕES LINEARES
Tio Ítalo quer dividir $100 entre
seus dois sobrinhos de modo que o mais
velho receba $8 a mais que o mais
novo. Vamos calcular quanto receberá
cada um dos sobrinhos?
Chamamos de equação linear nas
incógnitas x1, x2, x3, ..., xn, toda equação
do tipo:
Chamando de x e y a parte que
cabe ao mais velho e ao mais novo,
respectivamente, podemos montar um
sistema de equações com as duas
incógnitas desta forma:
Os números a11, a12, a13, ..., a1n
são
reais
e
chamados
de
COEFICIENTES.
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b
O número b, também real, é
chamado de TERMO INDEPENDENTE.
x y 100
x y 8
Ex.1: 3x + 2y = 7 é uma equação linear
nas incógnitas x e y. 3 e 2 são os
coeficientes e 7 é o termo independente.
Resolvendo este sistema por
qualquer uma das formas que você já
conhece, encontramos, como única
solução, x = 54 e y = 46. Esta solução
pode ser apresentada também pelo par
ordenado (54, 46).
5
2
x y 3 z 6 é um equação
2
3
5 2
linear nas incógnitas x, y e z.
,
e
2 3
3 são coeficientes e 6 é o termo
independente.
Ex.2:
_______________________
Problemas como este, que
envolvem duas equações e duas
incógnitas, você aprendeu a resolver
quando ainda cursava o ensino
fundamental mas, a partir de agora,
estudaremos sistemas lineares com
várias equações e várias incógnitas.
CASSIO VIDIGAL
3
1
x3 x4 3x5 4 é
4
2
uma equação linear nas incógnitas x1,
1
3
x2, x3, x4 e x5. 2, -5, ,
e 3 são os
2
4
coeficientes lineares e 4 é o termo
independente.
Ex.3: 2 x1 5 x 2
2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Por definição, não são equações
lineares algumas expressões como as
apresentadas abaixo:
O par (5, -3) não é solução da
equação pois 3 5 2 3 7
Ex.2:
Considere a equação 3x + y – 2z = 8
O terno ordenado (2, 4, 1) é
solução
da
equação
pois
3 2 4 2 1 8 .
3xy = 10
x2 + y = 3
2
x + 2xy – 3y = 5
y3 x 4
Tente explicar, com os próximos
conceitos que veremos, o motivo de
expressões como estas, serem definidas
como não lineares.
SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO
LINEAR
O terno ordenado (0, 6, -1) é
solução
da
equação
pois
3 0 6 2 1 8 .
O terno ordenado (5, -2, 3) não é
solução
da
equação
pois
3 5 2 2 3 8
________________________
Um
sequência
ou
n-upla
ordenada
de
números
reais
1 , 2 , 3 , ..., n é solução da equação
linear:
a11x1 a12 x 2 a13 x3 ... a1n xn b
Geometricamente, dizemos cada
par ordenado (x, y) representa um ponto
do plano e cada terno ordenado (x, y, z)
representa um ponto do espaço
tridimensional.
Assim, podemos dizer que o par
7 3k
ordenado k ,
onde k é qualquer
2
número real é solução geral da equação
do exemplo 1 (na coluna da esquerda) e
que
o
terno
ordenado
3k m 8
k , m,
com k e m reais, é
2
solução geral do exemplo 2 (acima).
se a sentença
a11 1 a12 2 a13 3 ... a1n n b
for verdadeira.
Ex.1:
Considere a equação 3x + 2y = 7.
O par ordenado (1, 2) é solução
da equação pois 3 1 2 2 7 .
O par ordenado (3, -1) é solução
da equação pois 3 3 2 1 7
MATEMÁTICA III
Observações:
1. É fácil perceber que a equação
linear 0 x 0 y 0 z 0 admite,
como solução qualquer terno
ordenado.
2. Já
a
equação
linear
admite
0 x 0 y 0 z 3 não
nenhuma solução.
3
SISTEMAS LINEARES
3. Por fim, na equação linear
2 x 3 y z 0 , podemos notar
uma solução de fácil percepção
que é o terno (0, 0, 0). Esta
solução é chamada de TRIVIAL.
04) Verifique se o terno ordenado
(0, 0, 0) é solução da equação linear
2
3
2
x y
z0.
7
5
19
01) Identifique as equações lineares
abaixo como Linear ou Não Linear.
a) (
) 5x + 2y = 6
b) (
) x + 4y – z = 0
c) (
) x+y–z–1=0
d) (
) x2 + y = 10
e) (
) x+y=z–2
f) (
) 4xy = 10
g) (
) 2x – x + xy = 8
h) (
) 92x + 3y + 5z = 12 345
i) (
) x2 + y2 =
j) (
) 3x1 + 4x2 – x3 = 0
05) Verifique se o terno ordenado
(1, 5, -2) é solução da equação linear
2
2
xy z 2.
5
3
02) Verifique se o par ordenado (6, 2) é
solução da equação linear 4x – 3y = 18.
06) Calcule k para que o par ordenado
(3, k) seja solução da equação linear
3x – 2y = 5.
03) Verifique se o terno ordenado
(1, 3, 2) é solução da equação linear
2x + y + 5z = 15
CASSIO VIDIGAL
4
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
LINEARES
07) O terno ordenado (k, 2, k + 1) é uma
das soluções da equação linear
4x + 5y -3z = 10. :Determine k.
Um sistema de equações lineares
é um conjunto de m (m 1) equações
lineares nas incógnitas x1, x2, x3, ... xn .
Assim o sistema
a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 ... a1n x n b1
a x a x a x ... a x b
22 2
23 3
2n n
2
21 1
S a31 x1 a32 x 2 a33 x 3 ... a3 n x n b3
am1 x1 am2 x 2 am3 x 3 ... amn x n bm
é linear. Um sistema como este é
chamado de m x n (lemos m por n) pois
possui m equações e n incógnitas.
08) Escreva a solução geral da equação
linear 2x – y = -1 fazendo x = k com k
real.
3 x 2 y 7
x 3 y 1
é um sistema linear 2 x 2 nas incógnitas
x e y.
3 x y z 2
x 3 y 4 z 7
2 x y z 1
é um sistema linear 3 x 3 nas incógnitas
x, y e z.
09) Encontre uma solução para a
equação linear 2x + 3y – z = 0 diferente
da solução trivial.
O sistema apresentado no início
desta secção (página anterior) pode ser
transformado em um produto de
matrizes. Desta forma temos que:
a11
a
21
a 31
a m1
MATEMÁTICA III
5
a12
a 22
a 32
a13
a 23
a 33
a m2
a m3
a1n x1 b1
a 2 n x 2 b 2
a 3 n x 3 b 3
a mn x n b m
SISTEMAS LINEARES
Ex.4: O sistema
1
escrito como 3
2
x y 4
3 x y 1 pode ser
2 x y 0
1
4
x
1 1 .
y
1 0
MATRIZES DE UM SISTEMA
Como já foi visto, o sistema linear
a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 ... a1n x n b1
a x a x a x ... a x b
22 2
23 3
2n n
2
21 1
S a31 x1 a32 x 2 a33 x 3 ... a3 n x n b3
am1 x1 am2 x 2 am3 x 3 ... amn x n bm
pode ser escrito sob a forma de um
produto de matrizes. Cada uma destas
matrizes recebe um nome específico:
Observe:
3 x 2 y 7
Ex.1: O sistema
pode ser
x 3 y 1
3 2 x 7
escrito como
1 3 y 1
a11 a12 a13 a1n x1 b1
a
21 a22 a23 a2 n x 2 b2
a31 a32 a33 a3 n x 3 b3
am1 am2 am3 amn x n bm
3 x y 2 z 2
Ex.2: x 3 y 4 z 7 pode ser escrito
2 x y z 1
3 1 2 x 2
como 1 3 4 y 7
2 1 1 z 1
A
C
A matriz A é chamada de matriz
dos coeficientes. A matriz B é chamada
de matriz das incógnitas e a matriz C é
a matriz dos termos independentes.
2 x1 x 2 2 x 3 4
Ex.3: x1 5 x 2 7 x 3 1 pode ser
2 x 3 x 3
3
1
2 1 2 x1 4
escrito como 1 5 7 x 2 1
2 0 3 x 3 3
CASSIO VIDIGAL
B
Também há um conceito
matriz completa e incompleta
sistema. Veja:
6
de
do
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
A matriz dos coeficientes é
também chamada de matriz incompleta
de S e a matriz
b1
a11 a12 a13 a1n
a
b2
21 a22 a23 a2 n
a31 a32 a33 a3 n
b3
am1 am2 am3 amn
bm
é chamada de matriz completa de S.
O terno (1, 2, 3) é solução do sistema
pois:
1 2 3 6 Sentença verdadeira
2 1 2 3 1 Sentença verdadeira
3 1 2 3 4 Sentença verdadeira
Já o terno (-5, 11, 0) não é solução do
sistema pois:
5 11 0 6 Sentença verdadeira
2 5 11 0 1 Sentença verdadeira
3 5 11 0 4 Sentença FALSA
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA
LINEAR
Dizemos que 1 , 2 , 3 , , n ,
é solução do sistema
x 2 y 3 z 5
Ex.2: O sistema x y 4 z 1
nõ
0 x 0 y 0 z 6
a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 ... a1n x n b1
a x a x a x ... a x b
22 2
23 3
2n n
2
21 1
S a31 x1 a32 x 2 a33 x 3 ... a3 n x n b3
am1 x1 am2 x 2 am3 x 3 ... amn x n bm
quando
admite nenhum terno ordenado como
solução pois a última equação não tem
solução.
a
n-upla
ordenada
for solução de
TODAS as equações do sistema.
Observação:
1 , 2 , 3 , , n ,
Quando um sistema linear S
admitir pelo menos uma solução, ele é
chamado
de
POSSÍVEL
ou
COMPATÍVEL. Como foi o caso do
exemplo 1 acima. Por outro lado, caso
um sistema não admita nenhum terno
ordenado como solução, o sistema é
chamado
de
IMPOSSÍVEL
ou
IMCOMPATÍVEL.
Ex.1: Vamos considerar o sistema
x y z 6
2 x y z 1 e os ternos ordenados
3 x y z 4
(1, 2, 3) e ( -5, 11, 0).
MATEMÁTICA III
7
SISTEMAS LINEARES
12) Verifique se as n-uplas ordenadas
são soluções dos sistemas lineares
apresentados em cada item.
2 x 5 y 11
a) (3, -1) e
3 x 6 y 3
10) Transforme cada sistema a seguir
num produto de matrizes equivalente.
2 x 5 y 3
a)
x 7 y 2
2 x y 3 z 5
b) x 4 z 0
3 x 4 y z 1
2 x y z 6
b) (4, 1, 3) e
x 3 y 2 z 13
x y z 0
c) (0, 0, 0) e 2 x 3 y 5 z 0
4 x 3 y z 0
11) Faça a matriz completa de cada um
dos itens a) e b) do exercício anterior.
a)
b)
CASSIO VIDIGAL
8
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
x y z 2
d) (1, 2, 3) e
2 x y 5 z 15
13) Verificar se o quádruplo ordenado
(1, 0, -2, 1) é solução do sistema:
5 x 3 y 2 z 4 t 5
2 x 4 y 3 z 5 t 9
x 2 y 5 z 3 t 12
x y 1
e) (0, -1) e x y 1
3 x y 2
MATEMÁTICA III
9
SISTEMAS LINEARES
SISTEMAS ESCALONADOS
RESOLUÇÃO DE SISTEMA
ESCALONADO
Consideremos um sistema linear
S onde, em cada equação existe pelo
menos um coeficiente não nulo.
Dizemos que S está na forma
escalonada quando o número de
coeficientes nulos antes do primeiro
coeficiente não nulo, aumenta de
equação para equação.
Vamos aqui separar os sistemas
escalonados em dois tipos de sistemas:
aqueles onde o número de incógnitas é
igual ao número de equações e aqueles
que possuem mais incógnitas que
equações.
1º Caso: Mesmo número de equações e
incógnitas:
Uma outra forma de caracterizar
um sistema escalonado é verificar sea
matriz dos coeficientes é uma matriz
triangular entretanto esta caracterização
só funciona quando tal matriz for
quadrada. Isto acontece quando o
número de equações for igual ao
número de incógnitas.
Os exemplos
matrizes escalonadas.
abaixo
3 x 7 y 5 z 3
y z 2 .
Resolver o sistema
2z 8
Resolução: Partindo da última
equação, descobrimos o valor de z,
substituindo este valor na segunda
equação, encontramos o valor de y. Por
fim, substituímos y e z na primeira
equação encontrando o valor de x,
acompanhe:
trazem
2 x y 7
2y 6
2 x y 5 z 7
4 y 2 z 3
z2
Da 3ª
equação:
2z 8
Da 2ª
equação:
y z 2
y 4 2
z 4
y2
4 x y 5 z 3
3y 2z 1
Da 1ª
equação:
4 x y z t w 1
z t 2w 0
2 w 3
3 x 7 y 5 z 3
3 x 7 2 5 4 3
3 x 6 3
x 1
Assim, a solução do sistema é o
terno ordenado (1, 2, -4).
CASSIO VIDIGAL
10
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Este tipo de sistema apresenta
sempre uma única solução. Temos
então um SISTEMA POSSÍVEL E
DETERMINADO.
2º Caso: Número de equações maior
que o número de incógnitas:
x y 3 z 5
Resolver o sistema
.
yz2
Para z = 0 temos (7, 2, 0)
Para z = 1 temos (3, 1, 1)
Para z = -1 temos (11, 3, -1)
Para z =
1
3 1
temos (5, , )
2
2 2
De forma geral, fazemz = k onde k é
qualquer número real, podemos dizer
que a resposta é:
Resolução: Em sistemas como
este, escolhemos uma variável que está
em todas as equações e transpomos
esta incógnita para o 2º membro em
cada equação e obtemos:
Para z = k, temos: (7 – 4k, 2 – k, k)
Este tipo de sistema que
apresenta infinitas soluções é chamado
de
SISTEMA
POSSÍVEL
E
INDETERMINADO.
x y 5 3 z
y 2z
Nesta segunda equação, já temos
y em função de z. Agora vamos
substituir a segunda equação na
primeira com o objetivo de obter x em
função de z:
14) Classifique como determinado ou
indeterminado e resolva cada um dos
sistemas a seguir:
4 x 2 y 2 z 0
3y z 1
a)
z 2
x y 5 3z
x 2 z 5 3 z
x 7 4z
Agora que já temos x e y em
função de z, podemos escrever a
solução:
(7 – 4z, 2 – z, z)
sendo z qualquer número real.
Assim, toda tripla ordenada da
forma apresentada é solução do sistema
e podemos chegar a qualquer uma
destas soluções substituindo números
reais no lugar de z, assim:
MATEMÁTICA III
11
SISTEMAS LINEARES
a b c 3
d)
2b c 1
2 x y z 3
b)
yz 0
x y z t 1
y 2z t 0
c)
zt 3
t2
SISTEMAS EQUIVALENTES
Dizemos que dois sistemas S1 e
S2 são equivalentes se TODA solução
de S1 for solução de S2 e toda solução
de S2 for solução de S1
Os
sistemas
x 2 y 3
S1
2 x y 1
e
x 2 y 3
S2
são equivalentes pois
3 y 5
ambos são determinados e admitem
como única solução o par ordenado
1 5
; .
3 3
CASSIO VIDIGAL
12
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Dois teoremas importantes devem
ser destacados aqui. Apesar de a
demonstração de ambos ser simples
não o faremos pois não cabe neste
curso. De qualquer forma, se o leitor se
interessar, pode encontrar no 4º volume
da
coleção
“Fundamentos
da
Matemática Elementar”.
Para escalonar um sistema
qualquer devemos seguir quatro passos
Passo 1:
Colocamos como 1ª equação aquela
em que o coeficiente da primeira
incógnita seja diferente de zero.
Passo 2:
Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita
de todas as equações (com exceção da
primeira)
subistituindo
a
i-ésima
equação (i > 1) pela soma da mesma
com a 1ª, multiplicada por um número
conveniente.
Teorema 1:
“Multiplicando-se os membros de
uma equação qualquer de um
sistema linear S, por um número
real K 0, o novo sistema S’
obtido, será equivalente a S.”
Passo 3:
Deixamos de lado a primeira equação e
aplicamos, nas restantes, os passos 1 e
2.
Passo 4:
Deixamos de lado a 1ª e 2ª equações e
aplicamos os passos 1 e 2 nas
equações restantes até o sistema ficar
escalonado.
Teorema 2:
“Se substituirmos uma equação
de um sistema linear S pela
soma, membro a membro dela
com outra do mesmo sistema, o
novo sistema obtido S’ será
equivalente a S.”
Vamos seguir os exemplos abaixo
a fim de entendermos como aplica os
passos acima.
Ex.1: Vamos resolver o sistema linear
x y 2z 3
2x y z 6 .
2 x 2 y z 1
ESCALONAMENTO DE
SISTEMAS
Resolução:
A fim de evitar ficar escrevendo
as incógnitas a todo instante, vamos
escrever a matriz completa do sistema
acima.
3
1 1 2
1 1
6
2
2 2 1
1
Aplicando os dois teoremas vistos
anteriormente, podemos transformar
qualquer sistema em um sistema
escalonado. Este processo é chamado
de ESCALONAMENTO e, a partir do
novo sistema escalonado, equivalente
ao sistema original, podemos determinar
sua solução.
MATEMÁTICA III
13
SISTEMAS LINEARES
x y 2 z 3
3 y 5 z 12
11
z 11
3
Para tornar o primeiro coeficiente da 2ª
linha igual a zero, vamos multiplicar por
2 os termos 1ª linha e somar à segunda:
Em seguida, para transformar o primeiro
coeficiente da 3ª linha igual a zero,
vamos multiplicar a primeira por -2 e
somar à 3ª. Note que vamos repetir a
primeira linha.
Obtemos,
assim,
um
sistema
equivalente ao primeiro e, na forma
escalonada, vamos encontrar a solução.
Da 3ª
equação:
Da 2ª
equação:
11
z 11
3
z3
3 y 5 z 12
3 y 5 3 12
3 y 3
y 1
Agora, para tornar o coeficiente de y na
3ª linha igual a zero, devemos multiplicar
a segunda linha por 4/3 e somar o
resultado à terceira. Note que devemos
repetir, neste momento, a primeira e
segunda linhas
Da 1ª
equação:
x y 2z 3
x 1 2 3 3
x5 3
x2
Desta forma, a solução procurada é o
terno ordenado (2, -1, 3)
___________________________
Ex.2: Vamos resolver
x y 2z 5
2 x 3 y z 15
3 x 5 y 4 z 5
o
sistema
Resolução: Vamos, primeiro, escrever a
matriz completa do sistema dado:
Agora, vamos transformar esta matriz
em um sistema linear escalonado e
descobrir a solução como já fizemos
.
CASSIO VIDIGAL
14
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
1 1
2 3
3 5
2
1
4
1 1 2
5
0 5
0 0
4
5
15
5
Vamos multiplicar a primeira linha por -2
e somar à segunda e em seguida
multiplicaremos a primeira linha por -3
para somarmos à terceira. Com este
procedimento, tornaremos nulo os
coeficientes da primeira incógnita das
linhas 2 e 3.
1 1 2
1
2 3
3 5 4
Com esta matriz, remontamos um
novo sistema, equivalente Àquele
proposto. Desta forma, temos:
x y 2 z 5
5y 5z 5
4 z 8
5 2 3
15
5
Agora
escalonado:
Assim, obtemos:
1 1 2
5
0 5
0 2 2
Da 3ª
equação:
5
5
10
Da 2ª
equação:
resolvemos
o
sistema
4 z 8
z 2
5 y 5 z 5 5
y z 1
y 2 1
y3
O nosso próximo passo é multiplicar a
segunda linha por um valor conveniente
a fim de, ao somarmos na terceira linha,
conseguimos tornar nulo o coeficiente
de y. Este número conveniente será 2/5.
Note que não vamos alterar em nada a
primeira linha.
1 1 2
5
0 5
0 2 2
5
5
8
Da 1ª
equação:
x y 2z 5
x 3 2 2 5
x4
Desta forma, a solução procurada
é o terno ordenado (4, 3, -2)
5
5 2 / 5
10
____________________
e obtemos:
MATEMÁTICA III
15
SISTEMAS LINEARES
Observe que chegamos numa
igualdade verdadeira mas que não nos
permite continuar resolver. Neste caso,
dizemos que o SISTEMA é POSSÍVEL
INDETERMINADO, ou seja, tem solução
mas são infinitas.
Ex.3: Vamos resolver o sistema
x 2y z 3
3x y z 1
2 x 4 y 2 z 6
Resolução:
Este sistema acima pode ser
reescrito como
Escrevendo a matriz completa:
1 2 1
3 1 1
2 4 2
.
3
1
6
x 2 y z 3
7 y 4 z 8
Multiplicaremos a primeira linha
por -3 e somaremos à segunda, em
seguida, vamos multiplicar a primeira
linha por -2 e somamos à terceira. Isso
faz tornar os coeficientes de x, nas duas
últimas linhas, nulos.
3 3
1
6
1 2 1
3 1 1
2 4 2
e neste caso, podemos escrever a
solução deste sistema em função de z.
Da segunda equação temos que
y
2
Substituindo na primeira equação
e isolando x, temos:
Obtemos, então, esta matriz:
1 2
0 7
0 0
1
4
0
8 4z
7
8 4z
x 2
z 3
7
5z
x
7
3
8
0
Note
que
aconteceu
algo
“extraordinário” na última linha, todos os
termos se anularam, assim, ao
montarmos o sistema a partir desta
matriz, obtemos:
Por fim, fazendo z = k, podemos
escrever o terno ordenado em função de
k:
5 k 8 4k
,
,k
7
7
x 2 y z 3
7 y 4 z 8
0 0
CASSIO VIDIGAL
16
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Observe que chegamos numa igualdade
sabidamente falsa na terceira equação
e, com isso, dizemos que o SISTEMA é
IMPOSSÍVEL e assim, a solução é
vazia, ou seja:
Ex.4: Vamos resolver o sistema
x 2y z 3
3x y z 1
2 x 4 y 2 z 7
S ou S
Resolução:
Escrevendo a matriz completa:
1 2 1
3 1 1
2 4 2
3
1
7
Multiplicaremos a primeira linha
por -3 e somaremos à segunda, em
seguida, vamos multiplicar a primeira
linha por -2 e somamos à terceira. Isso
faz tornar os coeficientes de x, nas duas
últimas linhas, nulos.
3 3
1
7
1 2 1
3 1 1
2 4 2
2
Obtemos, então, esta matriz:
1 2
0 7
0 0
1
4
0
3
8
1
Note que, mais uma vez,
aconteceu algo inusitado na última linha,
todos os coeficientes se anularam,
assim, ao montarmos o sistema a partir
desta matriz, obtemos:
x 2 y z 3
7 y 4 z 8
0 1
MATEMÁTICA III
17
SISTEMAS LINEARES
2 x 3 y z 14
b) 1x 4 y 2 z 7
3 x 3 y 4 z 14
15) Resolva os sistemas a seguir:
x 2 y 4 z 24
a) 3 x y 2 z 7
2 x 3 y 5 z 4
CASSIO VIDIGAL
18
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
xyz3
d) x 2 y 3 z 6
2 x 3 y 4 z 5
2x 2y z 1
c) 4 x 3 y 5 z 5
3 x 1y 4 z 4
MATEMÁTICA III
19
SISTEMAS LINEARES
16) Resolva o sistema
2 x y z w 1
x 2 y z w 2
x y 2 z w 3
x y z 2 w 4
TEOREMA DE CRAMER
Consideremos um sistema onde o
número de equações é igual ao número
de incógnitas. Nestas condições, A é
uma matriz quadrada.e seja D = det A.
Pelo Teorema de Cramer, se
D 0 , então o sistema em questão é
possível e determinado, ou seja, tem
uma única solução 1 , 2 , 3 , , n tal
D
que i i , i 1, 2, 3, ..., ne Di é o
D
determinante obtido de A substituindo a
i-ésima coluna pela dos termos
independentes
das
equações
do
sistema.
A demonstração de tal teorema
não cabe aqui mas pode ser encontrada
em diversos livros de ensino médio
como, por exemplo, o volume 4 dos
Fundamentos da Matemática Elementar
(Gelson Iezze e Samuel Hazzan),
Ex.1: Vamos resolver, aplicando
Teorema de Cramer, o sistema
x y z 6
x y z 4 .
2 x y z 1
o
Resolução:
Vamos isolar a matriz A e calcular
D = det A:
1 1
1
D 1 1 1 4
2 1
CASSIO VIDIGAL
20
1
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
x
Como D 0 , podemos garantir
que o sistema é possível e tem solução
única, então podemos continuar. Vamos,
agora, calcular D x , D y e D z .
Dx 4
1
D 4
y
Dy
D
12
3
4
Dz 8
2
D 4
E, temos assim a única solução
do sistema: (1, 3, 2).
Dx
z
Para encontrar Dx, vamos tomar a
mesma matriz A substituindo os termos
da primeira coluna (coeficientes de x)
pela coluna dos termos independentes,
assim:
Ex.2: Resolver, por Cramer, o seguinte
x y z 1
sistema: 2 x y
z 1
3z 2 2 x y 1
6
1
1
D x 4 1 1 4
1
1
1
Resolução:
Devemos, em princípio, assumir
que 3 z 2 0 e 2 x y 0 . A partir daí,
temos que:
Dy
Para encontrar Dy, vamos tomar a
mesma matriz A substituindo os termos
da segunda coluna (coeficientes de y)
pela coluna dos termos independentes,
assim:
2x y
1 2x y 3z 2
3z 2
2x y 3z 2
1 6
1
D y 1 4 1 12
2
1
z 1
1 z 1 2x y
2x y
2 x y z 1
1
Dz
Para encontrar Dz, vamos tomar a
mesma matriz A substituindo os termos
da terceira coluna (coeficientes de z)
pela coluna dos termos independentes,
assim:
1 1
6
E, a partir daí, temos o seguinte sistema:
x y z 1
2 x y 3 z 2
2 x y z 1
Dz 1 1 4 8
2 1
Vamos calcular o determinantes
D , D x , D y e D z se D 0 .
1
Desta forma, temos que:
MATEMÁTICA III
21
SISTEMAS LINEARES
próximo tópico desta apostila é que
vamos aprender a discutir sistemas
lineares.
1 1
1
D 2 1 3 4
2
1
1
1
Dx 2
1
1
1 3 6
1
1
Dy 2
1
2
17)Resolver, pela regra de Cramer, os
seguintes sistemas:
x 4 y 0
a)
3 x 2 y 5
1
1
1
3 5
2 1 1
1
1
Dz 2 1
2
1
1
2 3
1
Com estas informações, determinamos,
agora, a solução do sistema:
x
Dx 6 3
D 4 2
y
Dy
z
Dz 3
D 4
D
5
5
4
4
2 x y 2
b)
x 3 y 3
Agora devemos avaliar as condições
que foram levantadas no início da
resolução quais sejam: 3 z 2 0 e
Isso
pode
ser
feito
2x y 0 .
mentalmente e notamos que ambas as
condições são respeitadas com as
soluções encontradas. Assim,
5 3
3
S , ,
4 4
2
Obs.: Se, ao resolver um sistema
aplicando o Teorema de Cramer,
encontrarmos D = 0, podemos afirmar
que o sistema não é determinado,
porém nada podemos dizer sobre se é
indeterminado ou se é impossível. No
CASSIO VIDIGAL
22
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
1
3 x y z
c) 2 x
3 z 1
4 x y 2 z 7
MATEMÁTICA III
x y z 5
d) x 2 y 4 z 4
3 x y 2 z 3
23
SISTEMAS LINEARES
y z
t 1
x
2 x y z
2
e)
t 0
x y z
2 x
2 z t 1
CASSIO VIDIGAL
x1
x
f) 1
2 x1
x1
24
x2
2 x2
x3
x3
x4
1
2
x2
3 x2
x3
x3
x4
2 x4
1
0
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA
LINEAR
Ex.1: Discuta o sistema abaixo:
ax 3ay 0
.
2 x ay 4
Discutir
um
sistema
linear
consiste em classificá-lo quanto à
quantidade de soluções.
Resolução:
Um sistema que possui uma
única solução é chamado de SISTEMA
POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD).
Um sistema que admite infinitas
soluções é classificado como SISTEMA
POSSÍVEL INDETERMINADO (SPI).
Por fim, um sistema que não admite
nenhuma solução, é chamado de
SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI).
1. Sabemos, pelo Teorema de Cramer,
a 3a
que se D
0 o sistema tem
2 a
solução única. Assim, os valores de
a para os quais D = 0, são os que
tornam o sistema indeterminado ou
impossível. Vamos examinar este
caso:
Observe o diagrama abaixo:
D
a 3a
2
a
a2 6 a
a2 6 a aa 6 0
a 0 ou a 6
2. Para a = 0, o sistema fica:
Um sistema com n equações e n
incógnitas
é
SPD
quando
o
determinante da matriz dos coeficientes
é diferente de zero. Caso tal
determinante seja nulo, devemos
escalonar o sistema para discuti-lo. Se,
em algum momento encontrarmos uma
equação
indeterminada,
do
tipo
0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0, dizemos que o
sistema é SPI e se, por outro lado,
encontrarmos uma equação do tipo
0x1 + 0x2 + ... + 0xn 0, dizemos que o
sistema é SI.
0 x 0 y 0
x 2 e y é qualquer
2 x 0 y 4
Logo, para a = 0, o sistema dado é
indeterminado.
3. Para a = 6, o sistema fica:
6 x 18 y 0 x 3 y 0
~
2 x 6 y 4
x 3 y 2
Note que as equações são
incompatíveis, logo p sistema é
impossível.
MATEMÁTICA III
25
SISTEMAS LINEARES
Resumindo, então, temos
a 0 e a 6 SPD
a0
SPI :
a6
SI
18) Discutir os seguintes sistemas nas
incógnitas x e y:
x y 3
a)
2 x my 6
x y 2
Ex.2: Discutir o sistema
.
2 x ay b
Resolução:
1. Se D
1 1
2
a
Cramer, o
única.
D
0 , pelo Teorema de
sistema
1
1
2
a
tem solução
a2
a 2 0 a 2
2. Se a = -2, o sistema fica assim:
x y 2
x y 2
~
2 x 2 y b 0 x 0 y b 4
Assim, temos que
b 4 0 Sistemapossível indeterminado
b 4 0 Sistemaimpossível
3. Resumindo, temos:
SPD
a 2
a 2 e b 4 SPI
a 2 e b 4 SI
CASSIO VIDIGAL
26
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
2 x 3 y a
b)
6 x 3 y 2
MATEMÁTICA III
x 2 y ax
c)
2 x ay y
27
SISTEMAS LINEARES
ax y 1
d)
a 1x 2ay 4
CASSIO VIDIGAL
19) Discutir o sistema linear:
2
2
2
2a 1 x 4a 1 y 2a 1
2
4a 1x 2a 1y 4a 1
28
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
x 2 y 1
21) Discutir o sistema
3 x ay b
mx y 1 m
20) Discutir o sistema
x my 0
MATEMÁTICA III
29
SISTEMAS LINEARES
22) Se abcd 0, determinar p e q para
ax by c
que o sistema
seja
px qy d
indeterminado.
CASSIO VIDIGAL
23) Discutir e resolver
xyz0
x y mz 2
mx 2 y z 1
.
30
o
sistema
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
mx y z 4
24) Discutir o sistema x my z 0
x y 2
MATEMÁTICA III
25) Discutir e resolver
mx y mz m
2 x mz 3
mx my 2
31
o
sistema
SISTEMAS LINEARES
26) Discutir e resolver
x my z 0
2 x y mz 3
2 x 2 y mz 2
o
sistema
27)
a) Determinar os valores de k para que
a equação matricial abaixo tenha
solução.
2 5 3 x 1
4 10 2 y 5
6 15 1 z k
b) Resolver a equação na condição do
item a.
CASSIO VIDIGAL
32
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Observe os exemplos a seguir:
SISTEMAS LINEARES
HOMOGÊNEOS
4 x 6 y 0
Ex.1: Resolver o sistema
.
6 x 9 y 0
Resolução:
4 6
D
36 36 0
6 9
Se, num sistema linear, todos os
termos independentes são iguais a zero,
então o sistema é denominado
SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO.
Como D = 0 e o sistema é
homogêneo, ele só pode ser SPI, ou
seja, admite infinitas soluções. Vamos,
então, encontrar estas soluções. Para
tal, faremos y = k.
3 x 2 y 0
Ex.1:
é um sistema linear
x 2 y 0
homogêneo
4 x 6 y 0 4 x 6k 0 4 x 6k
6k
3k
x
x
4
2
Desta forma, a solução do sistema é:
3k
S , k
2
x y 4 z 0
Ex.2: x 3 y z 0 é outro exemplo de
2 x y z 0
sistema linear homogêneo.
____________________________
Ex.2: Resolver o sistema
x y z 0
.
2 x y z 0
x 2 y 5 z 0
Um sistema linear homogêneo de
n equações e n incógnitas (n 2) é
sempre possível, pois admite, pelo
menos, a solução (0, 0, 0, ..., 0)
denominada solução trivial.
Resolução:
1
D 2
Como estes sistemas são sempre
possíveis, são os únicos que podem ser
classificados,
exclusivamente,
pelo
determinante da matriz dos coeficientes.
Como não existe a possibilidade de o
sistema ser SI, temos:
1
2
5
Como D 0, o sistema admite uma
única solução. Se o sistema é
homogêneo, podemos então afirmar que
a solução é
S = (0, 0, 0)
det A 0 SPI
det A 0 SPD
MATEMÁTICA III
1 1
1 1 ... 19
33
SISTEMAS LINEARES
Ex.3: Determine a para que o sistema
x y az 0
admita soluções
x ay z 0
x a 1y z 0
diferentes da trivial:
29) Discutir, segundo os valores do
parâmetro a, o sistema:
x 4 y 5 z 0
2 x y 3 z 0
3 x ay 2 z 0
Resolução:
Para que o sistema acima admita
solução diferente de (0, 0, ..., 0),
devemos ter D = 0, ou seja:
1
1
1
a
1 a 1
a
1 0 a 1 0 a 1
a
Logo, a = 1.
28)
Verifique
se o sistema linear
x y z 0
homogêneo
é
2 x 2 y 4 z 0
x y 3 z 0
determinado ou indeterminado.
CASSIO VIDIGAL
34
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
30) Resolver o sistema
x y 3 z 0
4 x y z 0
2 x 3 y 7 z 0
MATEMÁTICA III
31) Discutir segundo os valores do
parâmetro m os seguintes sistemas:
x my 0
a)
2 x 6 y 0
35
SISTEMAS LINEARES
k x y z 0
32) Estudar o sistema k y z x 0
k x z y 0
x y z 0
b) mx 3 y 5 z 0
m2 x 9 y 25 z 0
CASSIO VIDIGAL
36
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
x y z 0
33) Dado o sistema 4 x 2my 3 z 0 ,
2 x 6 y 4mz 0
determinar m para que o sistema admita
soluções diferentes da trivial e
determiná-las.
MATEMÁTICA III
34) Qual o valor de k para que o sistema
x y z 0
2 x ky z 0 admita solução própria?
x 2 y 2 z 0
(Nota: a solução trivial é também chamada de solução
imprópria)
37
SISTEMAS LINEARES
14)
RESPOSTAS
15)
a) S={(-2, 5, -3) }
b) S={ (3, 3, 1) }
7 7 k k 1
c) SPI; S=
,
, k
5
5
d) SI
16)
S= { ( -1, 0, 1, 2) }
17)
a)
a) L
f) NL
02)
Sim
03)
Sim
04)
Sim
05)
Não
06)
k=2
07)
k=3
b)
08)
(k, 2k + 1)
09)
A resposta é aberta mas como
exemplo, temos (1, 1, 5).
c)
d)
11)
e) L
j) L
e)
2 5 x 3
a)
1 7 y 2
2 1 3 x 5
b) 1 0 4 y 0
3 4 1 z 1
2 5
a)
1 7
a) Sim
d) Não
f)
18)
3
2
2 1 3
b) 1 0 4
3 4 1
12)
d) NL
i) NL
5 3k 1 k
d) SPI, S
,
, k
2
2
01)
10)
b) L
c) L
g) NL h) L
c) SPD, S 8, 4, 1, 2
(Cont)
b) Sim
e) Não
5
0
1
c) Sim
19)
13)
14)
É solução
5
a) SPD, S , 1, 2
4
3 2k
, k , k k
b) SPI, S
2
CASSIO VIDIGAL
38
1
2,
2
4
3
,
5
5
1, 1, 1
2, 3, 0
1
11
4, , , 2
2
2
0, 0, 2, 1
a)
m 2 SPD
m 2 SPI
b)
a 1 SPD
a 1 SI
c)
a 1 e a 3 SPD
a 1 ou a 3 SPI
1
a 2 e a 1 SPD
d)
a 1 ou a 1 SI
2
1 1
a 0 , 2 e 2 SPD
1
a 0 ou a SPI
2
1
a 2 SI
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
20)
21)
m 1 e m 1 SPD
m 1 SPI
m 1 SI
x
y
a 6 SPD
a 6 e b 3 SPI
a 6 e b 3 SI
z
bd
ad
e q
c
c
22)
p
23)
Resolução:
1 1
1 m 0 , pela
1. Se
m 2 1
regra de Cramer, o sistema
tem solução única. Assim, os
valores de m que anulam o
determinante são os que
tornam
o
sistema
indeterminado ou impossível.
Vamos, então, resolver o sistema
para D 0 .
1 1 1
D 1 1 m mm 1 0
2
1
1
Dy 1
0
2
1
1
1
xyz0
xyz0
x y z 2 ~ 0 x 2 y 0 z 2
x 2 y z 1 0 x y 0 z 1
note que pelas duas últimas
equações, podemos afirmar que
y = -1 e x = 1 – z. Tomando z = k,
temos a solução S 1 k, 1, k
1
1
m 1 m
Resumindo,
m 0 e m 1 SPD
SPI
m 1
m 0
SI
0
2 2 m 1
m 2 1
Assim, temos que:
MATEMÁTICA III
Dz 2 m 1 2
D mm 1 m
3. se m = 1, temos:
m 1 1
1
Dz 1
1 m 1
mm 1
m
e vemos, na última equação, que o
sistema é impossível.
1 m 1 m
2
D
2. Se m = 0 temos:
xyz0
x y 0z 2
0 x 2 y z 1
Escalonando o sistema,
encontramos:
xyz0
xyz0
0 x 2 y z 2 ~ 0 x 2 y z 2
0 x 2 y z 1 0 x 0 y 0 z 1
m 0
daí, temos que e
m 1
0
1 1
Dx 2
Dy
e a solução do sistema é:
1 2
1
S , ,
m m
m
1
D 1
m
1 m 1
Dx
D mm 1
m
39
SISTEMAS LINEARES
24)
25)
m 1 SPD
m 1 SPI
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE,
m 0 e m 1 SPD
S m 2 , 4 m , m 4
m
m2
m
m 1 SPI
3 k 1k
S
,
, k
2
2
m 0 SI
Luiz
Roberto;
Matemática, Volume dois. São Paulo,
Atica, 2005.
IEZZI,
Gelson
e
outros;
Fundamentos da Matemática Elementar,
Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição,
1977.
m 2 SPD S m 2 , 1, 2
m 2 SPI S 2 k , 1, k
27) a) k = 6
3
17 40k
, k,
b) S
8
16
PAIVA,
26)
Manoel
Rodrigues;
Matemática, Volume 2, São Paulo,
Editora Moderna, 1ª edição, 1995.
28) Indeterminado.
29)
30)
3
a 13 SPD
a 3 SPI
13
Links dos
apostila:
2k 13k
S ,
, k
5
5
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mas-lineares-introducao/
31) a)
b)
32)
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m 3 SPD
m 3 SPI
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m 3 e m 5 SPD
m 3 ou m 5 SPI
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onamento/
1
k 1 e k 2 SPD
k 1 ou k 1 SPI
2
k
k
33) m 1 , , k
2
2
3
m 0 , k , k
2
34) k = 1
CASSIO VIDIGAL
40
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
