probabilidade e estatística - CURSO DE LICENCIATURA EM

FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS
Praça Coronel Amazonas, s/n.º - Caixa Postal, 291 - Telefone (0425) 22-4433 CEP 84.600-000
UNIÃO DA VITÓRIA
ESTADO DO PARANÁ
HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal n.º 61.120 - 31.07.67 – DOU 03.08.67
LETRAS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74
LETRAS-PORTUGUÊS/ESPANHOL: Decreto Estadual n.º 1715 - 13. 08. 03 - DOE 13.08.03
MATEMÁTICA: Decreto Estadual n.º 1719 – 13.08.03- DOE 13.08.03
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA - 2012
PROFESSORA: MARIA IVETE BASNIAK
SUMÁRIO
ESTATÍSTICA ...................................................................................................................................... 4
CONCEITOS ESTATÍSTICOS ............................................................................................................ 4
Estatística Descritiva .......................................................................................................................... 4
Inferência Estatística .......................................................................................................................... 4
Variáveis Estatísticas ............................................................................................................................. 5
Variável Quantitativa ......................................................................................................................... 5
Variável Quantitativa Continua ..................................................................................................... 5
Variável Quantitativa Discreta:...................................................................................................... 5
Variável Qualitativa ........................................................................................................................... 5
Arredondamento De Dados ................................................................................................................... 6
AMOSTRAGEM ................................................................................................................................... 7
Quando não se deve realizar um estudo por amostragem? ................................................................ 7
Técnicas Probabilísticas (aleatórias) .................................................................................................. 7
Amostragem Aleatória Simples ..................................................................................................... 7
Amostragem Estratificada.............................................................................................................. 7
Amostragem Sistemática ............................................................................................................... 8
Amostragem por Conglomerados .................................................................................................. 9
Estudar a população de uma cidade, dispondo apenas do mapa dos quarteirões da cidade. ......... 9
Técnicas Não-Probabilísticas (não-aleatórias) ................................................................................... 9
Amostragem Acidental .................................................................................................................. 9
Amostragem Intencional ................................................................................................................ 9
Tamanho da amostra ........................................................................................................................ 10
Dados Absolutos .................................................................................................................................. 11
Dados Relativos ................................................................................................................................... 11
Índices .................................................................................................................................................. 11
Coeficientes ......................................................................................................................................... 11
Taxas .................................................................................................................................................... 12
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ............................................................................................................. 13
Principais Gráficos ........................................................................................................................... 13
Diagrama Por Linha Poligonal..................................................................................................... 13
Gráfico Em Colunas ..................................................................................................................... 14
Gráficos Em Barras ...................................................................................................................... 14
DISTRIBUIÇAO DE FREQUÊNCIA................................................................................................. 17
Tabela primitiva e rol de dados ........................................................................................................ 17
Distribuição de frequência ............................................................................................................... 17
Elementos de uma distribuição de frequência ................................................................................. 18
Classe ........................................................................................................................................... 18
Limites de classe .......................................................................................................................... 18
Amplitude de um intervalo de classe ........................................................................................... 18
Amplitude total da distribuição .................................................................................................... 18
Amplitude amostral ...................................................................................................................... 19
Ponto médio de uma classe .......................................................................................................... 19
Frequência simples ou absoluta ................................................................................................... 19
Tipos de Frequências ....................................................................................................................... 21
Frequência simples ou absoluta (fi) ............................................................................................. 21
Frequência relativa (fri) ................................................................................................................ 21
Frequência acumulada (Fi) ........................................................................................................... 21
Frequência acumulada relativa (Fri) ............................................................................................ 21
1
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO .......................................................... 25
MÉDIA ............................................................................................................................................ 25
Desvio em relação a média .......................................................................................................... 25
Cálculo da média para dados agrupados (média ponderada) ........................................................... 25
Sem intervalo de classe ................................................................................................................ 25
Com intervalo de classe ............................................................................................................... 26
MODA (Mo) .................................................................................................................................... 27
Cálculo da moda para dados agrupados ....................................................................................... 27
Sem intervalo de classe ................................................................................................................ 27
Cálculo da moda para dados agrupados ....................................................................................... 27
Com intervalo de classe ............................................................................................................... 27
MEDIANA ....................................................................................................................................... 28
Dados não-agrupados ................................................................................................................... 28
Sem intervalo de classe ................................................................................................................ 28
Dados agrupados .......................................................................................................................... 29
SEPARATRIZES................................................................................................................................. 31
Quartis .............................................................................................................................................. 31
Decis ................................................................................................................................................ 31
Percentis ........................................................................................................................................... 32
Representação Gráfica De Uma Distribuição ...................................................................................... 33
Histograma E Sua Interpretação .......................................................................................................... 33
MEDIDAS DE DISPERSÃO .............................................................................................................. 36
VARIÂNCIA ................................................................................................................................... 36
DESVIO PADRÃO ......................................................................................................................... 36
Dados agrupados .......................................................................................................................... 37
Sem intervalo de classes ou com intervalo de classe ................................................................... 37
Coeficientes De Variação (Cv) ............................................................................................................ 42
MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE ..................................................................................... 42
Momentos ............................................................................................................................................ 42
Formato de uma distribuição ....................................................................................................... 43
Medida De Assimetria ......................................................................................................................... 43
Interpretação .................................................................................................................................... 43
Medida De Curtose .............................................................................................................................. 44
ANÁLISE COMBINATÓRIA ............................................................................................................ 46
Permutações simples ........................................................................................................................ 47
Combinações simples....................................................................................................................... 48
Permutações circulares..................................................................................................................... 49
Permutações de elementos nem todos distintos ............................................................................... 49
Combinações completas................................................................................................................... 50
Princípio da inclusão/ exclusão ........................................................................................................ 50
PROBABILIDADE ............................................................................................................................. 51
Revisão conjuntos ................................................................................................................................ 51
Conjuntos ......................................................................................................................................... 51
Subconjuntos .................................................................................................................................... 51
Teorema 1.1 ................................................................................................................................. 51
Operações entre conjuntos ........................................................................................................... 51
Alguns Teoremas ......................................................................................................................... 51
Experimentos aleatórios ou não determinísticos ................................................................................. 52
Espaços amostrais ................................................................................................................................ 53
Eventos................................................................................................................................................. 53
2
Eventos particulares ou certos: ........................................................................................................ 53
Frequência Relativa e Probabilidade ................................................................................................... 55
Probabilidade ....................................................................................................................................... 55
Teoremas de Probabilidade .............................................................................................................. 55
Definição geométrica de Probabilidade ........................................................................................... 57
Probabilidade condicional.................................................................................................................... 57
Eventos independentes ..................................................................................................................... 58
Probabilidades Condicionais ............................................................................................................ 58
Teorema do Produto ..................................................................................................................... 59
Teorema da Probabilidade Total .................................................................................................. 60
Teorema de Bayes ........................................................................................................................ 60
Eventos independentes ..................................................................................................................... 60
Referências: ......................................................................................................................................... 63
3
ESTATÍSTICA
Introdução
Diariamente estamos envolvidos em análises estatísticas, por exemplo, quando você é
abordado na rua para responder qual o candidato irá votar na próxima eleição, quando o IBGE faz
uma visita a sua casa para o censo... Desta forma você está fazendo parte da estatística. Mas não é só
desta forma que você faz parte do infinito mundo da estatística. Quando você está desempregado ou
empregado, está fazendo parte da estatística, quando seu salário aumenta ou diminui, faz parte
também. Podemos ver que em quase tudo podemos empregar a estatística.
A estatística, como parte da matemática aplicada, trata da coleta, da análise e da
interpretação de dados observados. Estudando os mais variados fenômenos das diversas áreas do
conhecimento, ela representa um valioso instrumento de trabalho nos dias de hoje.
CONCEITOS ESTATÍSTICOS
Estatística Descritiva
Pode ser definida como os métodos que envolvem a coleta, a apresentação e a caracterização
de um conjunto de dados de modo a descrever apropriadamente as várias características deste
conjunto.
Embora os métodos estatísticos descritivos sejam importantes para a apresentação e a
caracterização dos dados, foi o desenvolvimento de métodos estatísticos de inferência, como um
produto de teoria da probabilidade, que levou à ampla aplicação da estatística em todos os campos de
pesquisas atuais.
Inferência Estatística
Pode ser definida como os métodos que tornam possível a estimativa de uma característica
de uma população ou a tomada de uma decisão referente à população com base somente em
resultados de amostras.
Para tornar mais claro esta definição, as definições seguintes são necessárias:
Uma população é a totalidade dos itens ou objetos a ser considerado.
Uma amostra é a parte da população selecionada para análise.
Um parâmetro é a medida calculada para descrever uma característica de toda uma população.
Uma estatística é a medida calculada para descrever uma característica de apenas uma amostra da
população.
4
Variáveis Estatísticas
Em estatística, uma variável é um atributo mensurável que tipicamente varia entre indivíduos.
Variável Quantitativa - São aquelas que são numericamente mensuráveis, por exemplo, a idade, a
altura, o peso. Estas ainda se subdividem em:
Variável Quantitativa Continua: São aquelas que assumem valores dentro de um conjunto contínuo,
tipicamente os números reais. São exemplos, o peso ou a altura de uma pessoa.
Variável Quantitativa Discreta: São aquelas que assumem valores dentro de um tempo finito ou
enumerável, tipicamente números inteiros. Um exemplo é o número de filhos de uma pessoa.
Variável Qualitativa - São aquelas que se baseiam em qualidades e não podem ser mensuráveis
numericamente.
Exercícios:
Identifique a população e as variáveis e classifique-as como qualitativas ou quantitativas: contínuas
(C) ou discretas (D):
a) Altura de precipitação de chuvas em um local.
b) Valores das ações vendidas na bolsa de valores.
c) Quantidade de ações vendidas na bolsa de valores.
d) Número de pétalas em ma flor.
e) Velocidade de um automóvel.
f) Cor dos cabelos dos alunos em uma escola.
g) Número de filhos dos casais residentes em uma cidade.
h) O ponto obtido em cada jogada nas jogadas de um dado.
i) Número de peças produzidas por hora, entre as peças produzidas por certa máquina.
j) Diâmetro externo das peças produzidas por certa máquina.
k) Número de ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo.
l) Comprimento dos pregos produzidos por certa máquina.
5
Arredondamento De Dados
Conforme critério universal adotado pela estatística o arredondamento de dados é feito da
seguinte forma:
1. Se o 1º algarismo a ser abandonado for menor que “5” o último a permanecer fica inalterado.
(arredondamento por falta)
Arredondar para centésimos os números abaixo.
a) 47,3227 ≅ 47,32
c) 53,77474 ≅ 53,77
b) 0,29364 ≅ 0,29
d) 30,00132 ≅ 30,00
2. O último algarismo a permanecer será acrescido de uma unidade se o 1º algarismo a
abandonar for maior que “5”. (arredondamento por excesso)
Arredondar para décimos os números abaixo.
a) 1,4632 ≅ 1,5
b) 23,09425 ≅ 23,1
c) 38,97777 ≅ 39,0
d) 74,28583 ≅ 74,3
3. Quando o “5” for o 1º algarismo a ser abandonado teremos duas soluções:
a) Quando o “5” for o único algarismo ou se a ele só se seguirem zeros o último
algarismo a permanecer se for ímpar, será acrescido de uma unidade.
b) Se após o “5” houver em qualquer casa um número diferente de zero, o último
algarismo a permanecer será acrescido de uma unidade.
Ex: Arredondar para milésimos os números abaixo:
a) 13,474503≅ 13,475
b) 29,87350 ≅ 29,874
c) 5,55555 ≅ 5,556
d) 0,138500 ≅ 0,138
e) 20,797504 ≅ 20,798
f) 99,99950 ≅ 100,000
Exercícios
01- Os dados abaixo são os índices (em %) alcançados por algumas escolas, em relação à taxa de
ocupação nas escolas públicas. Arredondamento para inteiros, unidade.
a) 85,4 ____________
b) 75,7 ___________c) 85,0 ______________
d) 75,99____________
e) 85,5 ___________f) 75,55 _____________
g) 95,05 ___________
h) 65,6 ___________i) 65,3 ______________
02- Em uma pesquisa sobre o tempo, em minutos, gasto pelos alunos da Escola X para realizar
uma atividade em sala de aula observou-se os seguintes dados. Faça os arredondamentos para
décimos.
a) 35,94
b) 18,09
c) 18,009
d) 19,55
e) 19,93
f) 29,97
g) 10,05
h) 10,55
i) 16,66
j) 18,88
l) 10,00
m) 26,06
n) 16,04
o) 17,65
p) 17,75
03- Utilize os dados do exercício 2 e faça o arredondamento para inteiros, unidade.
6
AMOSTRAGEM
É o estudo de um pequeno grupo de elementos retirado de uma população que se pretende
conhecer. Esses pequenos grupos retirados da população são chamados de Amostras.
Como a amostragem considera apenas parte da população, diferentemente de um censo, o
tempo para análise e o custo são menores, além de ser mais fácil e gerar resultados satisfatórios.
Quando não se deve realizar um estudo por amostragem?
Quando o tamanho da amostra é grande em relação ao tamanho da população, ou quando se
exige o resultado exato, ou quando já se dispõe dos dados da população, é recomendado realizar um
censo, que considera todos os elementos da população.
A partir das três perguntas anteriores, vamos aprender a realizar um estudo por amostragem,
conhecendo suas diferentes técnicas.
Para realizar um estudo por amostragem, a amostra deve ser representativa da população
estudada. Para isso, existem técnicas adequadas para cada tipo de situação.
Técnicas Probabilísticas (aleatórias)
As técnicas probabilísticas garantem a possibilidade de realizar afirmações sobre a população
com base nas amostras. Normalmente, todos os elementos da população possuem a mesma
probabilidade de serem selecionados. Assim, considerando N como o tamanho da população, a
probabilidade de cada elemento ser selecionado será 1/N. Estas técnicas garantem o acaso na
escolha.
São técnicas probabilísticas:
Amostragem Aleatória Simples
É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. Pode ser realizado numerando-se os
elementos da população de 1 a n e sorteando-se, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, X
números dessa seqüência, que corresponderão aos elementos pertencente à amostra.
Exemplo
Obter uma amostra representativa, de 10%, de uma população de 200 alunos de uma escola.
1º) Numerar os alunos de 1 a 200;
2º) Escrever os números de 1 a 200 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna;
3º) Retirar 20 pedaços de papel, um a um, da urna, formando a amostra da população.
Nesta técnica de amostragem, todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de serem
selecionados: 1/N, onde N é o número de elementos da população.
Amostragem Estratificada
Quando a população possui características que permitem a criação de subconjuntos, as amostras
extraídas por amostragem simples são menos representativas. Nesse caso, é utilizada a amostragem
estratificada.
7
Como a população se divide em subconjuntos, convém que o sorteio dos elementos leve em
consideração tais divisões, para que os elementos da amostra sejam proporcionais ao número de
elementos desses subconjuntos.
Exemplo:
Em uma população de 200 alunos, há 120 meninos e 80 meninas. Extraia uma amostra
representativa, de 10%, dessa população.
Nesse exemplo, há uma característica que permite identificar 2 subconjuntos, a característica Sexo.
Considerando essa divisão, vamos extrair a amostra da população.
SEXO
POPULAÇÃO
AMOSTRA (10%)
Masculino
120
12
Feminino
80
8
Total
200
20
Portanto, a amostra deve conter 12 alunos do sexo masculino e 8 do sexo feminino, totalizando 20
alunos, que correspondem a 10% da população.
Para selecionar os elementos da população para formar a amostra, podemos executar os seguintes
passos:
1º) Numerar os alunos de 1 a 200, sendo os meninos numerados de 1 a 120 e as meninas, de 121 a
200;
2º) Escrever os números de 1 a 120 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna A;
3º) Escrever os números de 121 a 200 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna B;
4º) Retirar 12 pedaços de papel, um a um, da urna A, e 8 da urna B, formando a amostra da
população.
São exemplos desta técnica de amostragem as pesquisas eleitorais por região, cidades pequenas e
grandes, área urbana e área rural, sexo, faixa etária, faixa de renda, etc.
Amostragem Sistemática
Esta técnica de amostragem em populações que possuem os elementos ordenados, em que não há a
necessidade de construir um sistema de referência. Nesta técnica, a seleção dos elementos que
comporão a amostra pode ser feita por um sistema criado pelo pesquisador.
Exemplo
Obter uma amostra de 80 casas de uma rua que contém 2000 casas. Nesta técnica de amostragem,
podemos realizar o seguinte procedimento:
1º) Como 2000 dividido por 80 é igual a 25, escolhemos, por um método aleatório qualquer, um
número entre 1 e 25, que indica o primeiro elemento selecionado para a amostra.
2º) Consideramos os demais elementos, periodicamente, de 25 em 25.
Se o número sorteado entre 1 e 25 for o número 8, a amostra será formada pelas casas: 8ª, 33ª, 58ª,
83ª, 108ª, etc.
Apesar de esta técnica ser de fácil execução, há a possibilidade de haver ciclos de variação, que
tornariam a amostra não-representativa da população.
8
Amostragem por Conglomerados
Esta técnica é usada quando a identificação dos elementos da população é extremamente difícil,
porém pode ser relativamente fácil dividir a população em conglomerados (subgrupos) heterogêneos
representativos da população global.
A seguir, é descrito o procedimento de execução desta técnica:
1º) Seleciona uma amostra aleatória simples dos conglomerados existentes;
2º) Realizar o estudo sobre todos os elementos do conglomerado selecionado.
São exemplos de conglomerados: quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios, etc.
Exemplo:
Estudar a população de uma cidade, dispondo apenas do mapa dos quarteirões da cidade.
Neste caso, não temos a relação dos moradores da cidade, restando o uso dos subgrupos
heterogêneos (conglomerados). Para realizar o estudo estatístico sobre a cidade, realizaremos os
seguintes procedimentos:
1º) Numerar os quarteirões de 1 a n;
2º) Escrever os números de 1 a n em pedaços de papel e colocá-los em uma urna;
3º) Retirar um pedaço de papel da urna e realizar o estudo sobre os elementos do conglomerado
selecionado.
Técnicas Não-Probabilísticas (não-aleatórias)
São técnicas em que há uma escolha deliberada dos elementos da população, que não permite
generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois amostras não garantem a
representatividade desta.
São técnicas não-probabilísticas:
Amostragem Acidental
Trata-se da formação de amostras por aqueles elementos que vão aparecendo. Este método é
utilizado, geralmente, em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente
escolhidos.
Exemplo: Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas movimentadas de grandes cidades, etc.
Amostragem Intencional
De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que
comporão a amostra. O pesquisador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais
deseja saber a opinião.
Exemplo: Em uma pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador entrevista
os freqüentadores de um grande salão de beleza.
9
Tamanho da amostra
Exemplos:
a) Obter uma amostra representativa para uma pesquisa da estatura de noventa alunos de uma
escola. Sugestão usar a 18ª linha da tabela de números aleatórios.
b) Supondo que destes 90 alunos, 54 sejam meninos e 36 meninas, obter a amostra
proporcional estratificada.
SEXO
POPULAÇÃO
10%
AMOSTRA
M
54
10X54:100=5,4
5
F
36
10X36:100=3,6
4
TOTAL
90
10X90:100=9,0
9
2) Uma cidade X apresenta a seguinte tabela em relação às suas escolas de Ensino
Fundamental:
ESCOLAS
Nº DE ESTUDANTES
A
B
C
D
E
F
MASCULINO
FEMININO
80
102
110
134
150
300
95
120
92
228
130
290
Total
876
955
Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes
3) Em uma escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1ª série, 32 na 2ª, 30 na 3ª, 28 na 4ª, 35 na
5ª, 32 na 6ª, 31 na 7ª e 27 na 8ª. Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha a tabela
seguinte:
Séries
População
Cálculo
Proporcional
Amostra
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
35
35x49:250=5,6
6
Total
250
28
31x40:250=
40
10
4) Uma escola de 1º grau abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra representativa
correspondente a 15% da população. Sugestão: Use a 8ª, 9ª e 10ª colunas, a partir da 5ª linha
da Tabela de números aleatórios.
5) Uma população é formada por 140 notas resultantes da aplicação de um teste de
inteligência:
62 129 95 123 81 93 105 95 96 80 87 110 139 75
123 60 72 86 108 120 57 113 65 108 90 137 74 106
109 84 121 60 128 100 72 119 103 128 80 99 149 85
77 91 51 100 63 107 76 82 110 63 131 65 114 103
104 107 63 117 116 86 115 62 122 92 102 113 74 78
69 116 82 95 72 121 52 80 100 85 117 85 102 106
94 84 123 42 90 91 81 116 73 79 98 82 69 102
100 79 101 98 110 95 67 77 91 95 74 90 134 94
79 92 73 83 74 125 101 82 71 75 101 102 78 108
125 56 86 98 106 72 117 89 99 86 82 57 106 90
Obtenha uma amostra formada de 26 elementos, tomando inicialmente a 1ª linha da esquerda para a
direita.
Dados Absolutos: Dados resultantes da coleta direta da fonte, sem qualquer outra manipulação que a
contagem ou medição da característica ou fenômeno em estudo.
Dados Relativos: São os resultados de comparações por quociente (ou razão) que se estabelecem
entre dados absolutos. Objetiva realçar ou facilitar as comparações entre quantidades, e são
normalmente expressos por PORCENTAGENS, ÍNDICES, COEFICIENTES e TAXAS.
Índices: São razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra.
Exemplos: Densidade Demográfica = População
Superfície
Renda per Capita= Renda
População
Quociente de Inteligência=Idade Mental
Idade Cronológica
Coeficientes: São razões entre o número de ocorrências e o número total de casos (ocorrências+não
ocorrências). Observe-se que o conseqüente da razão (denominador) inclui o antecedente
(numerador).
Exemplos:
Coeficiente de Natalidade = Nº Nascimentos
População
Coeficiente de Aproveitamento = Nº Alunos Aprovados
Nº Final de Matrículas
Coeficiente de evasão escolar = Nº de alunos evadidos
Total da População
11
Taxas: São coeficientes multiplicados por uma potência de 10. No caso específico da segunda
potência de 10 (100) temos a PORCENTAGEM.
Exemplos: Taxa de Mortalidade = Coeficiente de Mortalidadex1.000
Taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão escolar X 100
Exercícios:
1) Uma escola apresentava, no final do ano, o seguinte quadro
Séries
Matrículas
Março
Novembro
1ª
2ª
3ª
4ª
480
458
436
420
475
456
430
420
Total
1794
1781
Evadidos
Taxa de Evasão
a) Calcule a taxa de evasão por série;
b) Calcule a taxa de evasão da escola.
2) Considere a tabela abaixo:
Meses
Valor (U$ milhões)
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
33,3
54,1
44,5
52,9
Total
184,8
Taxas percentuais
Evolução das receitas de café industrializado
a) Complete-a com uma coluna de taxas percentuais.
b) Como se distribuem as receitas em relação ao total?
c) Qual o desenvolvimento das receitas de um mês para o outro?
d) Qual o desenvolvimento das receitas em relação ao mês de janeiro?
3) São Paulo tinha em 1989, uma população projetada de 32361700 habitantes. Sabendo que sua área
terrestre é de 248256 Km², calcule a sua densidade demográfica.
4) Considerando que Minas Gerais, em 1988, apresentou:
população projetada: 15345800 habitantes
superfície: 586624 Km²
nascimentos: 337889
casamentos: 110473
Calcule:
a) o índice da densidade demográfica;
b) a taxa de natalidade;
c) a taxa de nupcialidade.
12
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
Representar graficamente significa fazer um desenho que sintetize de maneira clara o
comportamento de uma ou mais variáveis.
Existem vários tipos de gráficos. Os melhores são os que primam pela simplicidade e clarezas:
Principais Gráficos
Diagrama Por Linha Poligonal - é a representação gráfica de uma série estatística, por meio de
segmentos de retas que une em sequencia os pontos de um sistema cartesiano.
Exs.:
1)
VENDAS
MESES
R$
JAN
170
FEV
230
MAR
320
ABR
410
MAI
530
JUN
600
Fonte: Loja Z
2)
COMÉRCIO EXTERIOR
US$ (bilhões)
ANOS Importação Exportação
1996
12
14
1997
15
17,2
1998
17
24,3
1999
19,2
20,4
2000
21,2
22,5
2001
25,4
20,3
Fonte:BB
* Previsão
VENDAS
800
600
400
200
0
JAN
FEV
MAR
ABR
MAI
JUN
Fonte: Loja Z
COMÉRCIO EXTERIOR
50
30
20,4
17
21,2
15
19,2
1997
1998
1999
2000
20,3
17,2
14
20
10
22,5
24,3
40
12
25,4
0
1996
Fonte: BB
Importação
2001
Exportação
13
Gráfico Em Colunas: é a representação gráfica de uma série estatística por meio de retângulos
dispostos na vertical, com espaços entre eles.
PRODUÇÃO DA
REGIÃO "A"
Produtos
Toneladas
soja
2550
trigo
1050
milho
2200
feijão
1300
Fonte: Cooperativa "A"
Produção da Região "A"
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
soja
trigo
milho
feijão
Fonte: Cooperativa "A"
Gráficos Em Barras: é a representação gráfica de uma série estatística em ordem crescente ou
decrescente por meio de retângulos dispostos na horizontal.
MOVIMENTO DA LOJA "IMPORTADOS" AGO/2000
Modelos
Unidades
BMW
30
HONDA
23
FERRARI
7
GOLF
32
BESTA
48
Fonte: Loja "Importados"
MOVIMENTO DA LOJA
"IMPORTADOS" - AGO 2000
BESTA
GOLF
FERRARI
HONDA
BMW
0
10
20
30
40
50
60
Fonte: Loja "Importados"
14
Gráfico Em Setores – é a representação gráfica de uma série estatística por meio de superfícies
setoriais.
Ex.:
PRODUÇÃO DA
PRODUÇÃO DA REGIÃO "ABC"
REGIÃO "ABC"
Produtos
Toneladas
9%
feijão
170
trigo
230
13%
feijão
46%
soja
570
trigo
milho
830
soja
Fonte: Cooperativa "ABC"
32%
milho
Fonte: Cooperativa "ABC"
Exercícios propostos:
Para as tabelas e quadros abaixo construa os gráficos que melhor representá-los:
1)
O CUSTO DOS INATIVOS
civis
militares
Ano
ativos
inativos
ativos
inativos
1995
1647
1378
914
1692
1997
1897
1617
988
1860
1999
1938
1762
1423
2239
Fonte: Ministério da Administração
*média salarial dos servidores civis e militares em R$
2500
O CUSTO DOS INATIVOS
2000
1500
1000
1995
500
1997
0
1999
ativos
inativos
civis
ativos
inativos
militares
Fonte: Ministério da Administração
15
2)
COMPUTADOR/
AUTOMÓVEL
Ano Computador Automóvel
94
2,2
1,2
95
2,8
1,3
96
4
1,5
97
5,6
1,7
98
6,8
1,5
Fonte: Revista Exame/98
*em milhões
3)
QUEM COMPRA PCs?
Indústria e Comércio
18%
Governo
15%
Setor Financeiro
27%
Pequenos Consumidores
40%
Fonte: Fenasoft/Simonsen Associados
4)
O CLUBE DOS SEM*
os sem-telefone
os sem-esgoto
os sem-casa própria
os sem-terra
os sem-mulher
os sem-marido
os sem-trabalho
Fonte Veja - 23/04/97
*em bilhões
108,7
84,6
43,7
20
16,7
14,1
4,5
5)
NÚMERO DE CASOS DE AIDS NA
REGIÃO ABC
MESES
N. DE CASOS
NOV
13
DEZ
17
JAN
23
FEV
32
MAR
20
ABR
15
MAI
18
Fonte: Secretaria de Saúde
16
DISTRIBUIÇAO DE FREQUÊNCIA
Tabela primitiva e rol de dados
É o tipo de tabela cujos elementos não foram numericamente organizados.
Exemplo:
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160
162 161 168 163 156 173 160 155 164 168
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161
Tabela 1: Estatura de 40 alunos do colégio A
Fonte: Crespo, 2002
A tabela primitiva após a ordenação recebe o nome de rol
Exemplo:
150 151 152 153 154 155 155 155
156 156 157 158 158 160 160 160
161 161 161 161 162 162 163 163
164 165 166 167 168 168 169 170
Tabela 2: Estatura de 40 alunos do colégio A
Fonte: Crespo, 2002
155
160
164
172
156
160
164
173
Distribuição de frequência
Denomina-se frequência o número de alunos que fica relacionado a um determinado valor da
variável. Exemplo:
Estatura (cm) Frequência
150
1
151
1
152
1
153
1
154
1
155
4
156
3
157
1
158
2
160
5
161
4
162
2
163
2
164
3
165
1
166
1
167
1
168
2
169
1
170
1
172
1
173
1
Total
40
Tabela 3: Estatura de 40 alunos do colégio A/ Fonte: Crespo, 2002
17
Pode-se ainda simplificar o processo, agrupando os valores da variável em intervalos, que chamamos
de classes. Assim, a tabela 4 representa a estatura dos alunos através de uma distribuição com
intervalos de classes:
Estatura (cm)
Frequência
150 |-- 154
4
154 |-- 158
9
158 |-- 162
11
162 |-- 166
8
166 |-- 170
5
170 |-- 174
3
Total
40
Tabela 4: Estatura de 40 alunos do colégio A agrupados
Fonte: Crespo, 2002
Ao agruparmos os dados ganhamos em simplicidade, mas perdemos em pormenores.
Elementos de uma distribuição de frequência
Classe
São intervalos de variação da variável. São representadas por i, sendo i = 1, 2, 3, ..., k.
Assim, na tabela 4, o intervalo 154 |-- 158, define a segunda classe, i = 2, sendo k = 6, já que a tabela
possui 6 classes.
Limites de classe
São os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior (li) e o maior número é o limite
superior (Li)
Na segunda classe por exemplo, tem-se:
li = 154
Li = 158
Amplitude de um intervalo de classe
É a medida do intervalo que define a classe. É obtida pela diferença entre os limites superior e
inferior dessa classe e é indicado por hi.
Assim:
hi = Li - li
Assim, a amplitude da segunda classe é:
h2 = L2 – l2
h2 = 158 – 154 = 4 cm
Amplitude total da distribuição
É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe.
AT= L (máx) – l (min)
No exemplo da tabela 4: AT = 174 – 150 = 24 cm
18
Amplitude amostral
É a diferença entre o valor máximo e valor mínimo da amostra.
AA = x(máx) – x (min)
No exemplo da tabela 2: AA = 173 – 150 = 23 cm
Observe que a amplitude total da distribuição não coincide com a da amplitude amostral.
Ponto médio de uma classe
É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.
=
Assim, o ponto médio da segunda classe, é:
+ 2
+ 2
154 + 158
=
= 156
2
=
Frequência simples ou absoluta
É o número de observações correspondentes a classe ou ao valor.
A frequência simples é simbolizada por fi (lemos: f índice i ou frequência da classe i)
Assim, no exemplo anterior:
f1 = 4, f2 = 9, f3 = 11, f4 = 8, f5 = 5 e f6 = 3
A soma de todas as frequências é representada por:
É evidente que:
= Para a distribuição em estudo, tem-se:
= 40
Representa-se da seguinte forma:
i
Estatura (cm)
fi
1
150 |-- 154
4
2
154 |-- 158
9
3
158 |-- 162
11
4
162 |-- 166
8
5
166 |-- 170
5
6
170 |-- 174
3
Total
∑ fi = 40
19
Exercícios:
1) As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
9
9
9
Complete a distribuição de frequência abaixo:
i
Notas
1
0 |-- 2
1
1
2
2 |-- 4
____
____
3
4 |-- 6
____
____
4
6 |-- 8
____
____
5
8 |-- 10
____
____
xi
Total
fi
∑ fi = 50
E, responda:
a) Qual a amplitude amostral?
b) Qual a amplitude da distribuição?
c) Qual o número de classes da distribuição
d) Qual o limite inferior da quarta classe?
e) Qual o limite superior da classe de ordem 2?
f) Qual a amplitude do segundo intervalo de classe?
Complete:
a) h3 =
b) n =
c) l1 =
d) L3 =
e) x2 =
f) f5 =
20
Tipos de Frequências
Frequência simples ou absoluta (fi)
São os valores que realmente representam o número de cada classe.
= Frequência relativa (fri)
São os valores das razões entre as frequências simples e a frequência total:
=
∑ A frequência relativa da terceira classe em nosso exemplo será:
= ∑ 11
=
= 0,275
40
A soma das frequências relativas será sempre = 1 ou seja de 100%
Frequência acumulada (Fi)
É a total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada
classe:
Fk = f1+ f2+...+ fk ou Fk = ∑fi (i = 1, 2, ... , k)
Assim, a frequência acumulada da terceira classe será:
F3 = f1+ f2+f3
F3 = 4+ 9 + 11= 24
O que significa que existem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm, limite superior do intervalo da
terceira classe.
Frequência acumulada relativa (Fri)
É a frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total da distribuição:
=
∑ =
∑ Assim, no exemplo para a terceira classe:
24
= 0,600
40
Vamos montar uma tabela com os dados do exemplo inicial da estatura dos alunos:
=
i
Estatura (cm)
xi
fi
Fi
fri
Fri
1
150 |-- 154
______
______
______
______
______
2
154 |-- 158
______
______
______
______
______
3
158 |-- 162
______
______
______
______
______
4
162 |-- 166
______
______
______
______
______
5
166 |-- 170
______
______
______
______
______
6
170 |-- 174
______
______
______
______
______
∑ fri = 1
∑ fi = 40
Total
∑ fi = 40
21
Exercícios:
1) Complete a distribuição abaixo determinando as frequências simples:
i
xi
fi
Fi
1
2
______
2
2
3
______
9
3
4
______
21
4
5
______
29
5
6
______
34
∑ fi = 34
2) Conhecidas as notas de 50 alunos:
84
74
59
67
65
68
71
80
41
94
33
81
41
78
66
52
91
50
56
48
47
65
53
94
39
73
55
65
35
69
68
57
76
45
89
61
35
85
55
98
73
85
73
64
42
77
88
60
74
54
Obtenha a distribuição de frequência, tendo 30 para limite inferior da primeira classe e 10 para
intervalo de classe.
3) Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:
6
1
5
2
5
5
6
4
2
6
2
3
3
5
2
6
3
1
2
4
4
5
3
5
6
3
1
5
1
1
6
3
4
3
5
2
6
4
6
2
6
3
2
5
4
5
4
6
1
3
Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classe.
4) Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 100 alunos:
64
73
78
86
76
82
68
71
95
94
78
95
86
84
80
90
96
73
94
75
66 82 74 103 78
82 89 73 92 85
78 101 85 98 75
86 76 76 83 103
92 102 73 87 70
83 81 85 72 81
86 70 72 74 84
63 105 74 98 78
88 62 91 83 98
67 95 108 98 71
86 103
80 81
73 90
86 84
85 79
96 81
99 81
78 83
93 83
92 72
87
90
86
85
93
85
89
96
76
73
Forme uma distribuição de frequência.
22
5) A tabela abaixo apresenta apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico,
durante um mês, por uma firma comercial:
14
12
12
15
12
14
14
13
11
13
10
16
13
14
13
17
14
11
15
14
13
12
11
14
Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classes.
6) Complete a tabela abaixo:
i
Classes
xi
1
fi
Fi
fri
Fri
0 |-- 8
2
8 |-- 16
______
4
______
______
______
______
10
______
______
3
______
4
16 |-- 24
______
14
______
______
______
5
24 |-- 32
______
9
______
______
______
32 |-- 40
______
3
______
______
______
Total
∑ fi = 40
7) Dada a distribuição de frequência:
xi 3
4
5
6
7
fi 2
5
12
10
8
∑ fri = 1
8
3
Determine:
a) ∑fi
b) As frequências relativas
c) As frequências acumuladas
d) As frequências relativas acumuladas
8) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes:
Áreas m2
300 |-- 400 |-- 500 |-- 600 |-- 700 |-- 800 |-- 900 |-- 1000 |-- 1100|-- 1200
Número de lotes
14
46
58
76
68
62
48
22
6
Com referência a essa tabela, determine:
a) a amplitude total;
b) o limite superior da quinta classe;
c) o limite inferior da oitava classe:
d) o ponto médio da sétima classe;
e) a amplitude do intervalo da segunda classe;
f) a frequência da quarta classe;
g) a frequência relativa da sexta classe;
h) a frequência acumulada da quinta classe;
i) o número de lotes cuja área não atinge 700 m2;
23
j)
k)
l)
m)
n)
o)
o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2;
a percentagem de lotes cuja área não atinge 600 m2;
a percentagem de lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2;
a percentagem de lotes cuja área é de 500 m2, no mínimo, mas inferior a 1000 m2;
a classe do 72° lote;
até que classe estão incluídos 60% dos lotes
9) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma
empresa de ônibus:
Determine:
a) o número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;
b) o número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes;
c) o número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes;
d) o número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes;
e) o número de motoristas que não sofreram no máximo 2 acidentes;
10) Complete os dados que faltam na distribuição de frequência:
a)
i
xi
fi
fri
Fi
Fri
1
0
1
0,05
______
______
2
1
______
0,15
4
______
3
2
4
______
______
______
4
3
______
0,25
13
______
5
4
3
0,15
______
______
6
5
2
______
18
7
6
______
______
19
8
7
______
______
______
∑ fi = 20
∑ fri = 1
b)
i
Classes
xi
fi
Fi
fri
Fri
1
0 |-- 2
______
4
______
______
______
2
2 |-- 4
______
8
______
______
______
3
4 |-- 6
______
______
30
______
______
4
6 |-- 8
______
27
______
______
______
5
8 |-- 10
______
15
72
______
______
6
10 |-- 12
______
______
83
______
______
7
12 |-- 14
______
10
93
______
______
8
14 |-- 16
______
______
______
______
______
Total
∑ fi = 40
∑ fri = 1
24
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO
MÉDIA
Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.
A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que
as restantes. Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.
Assim, não se pode dizer em termos absolutos qual destas medidas de localização é preferível, dependendo do
contexto em que estão a ser utilizadas.
x =∑xi
n
A média é o quociente da divisão da soma dos valores das variáveis pelo número deles:
Ex. para dados não agrupados: Sabendo-se que a produção diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10,
14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, calcule a produção média na semana.
Desvio em relação a média – é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média
aritmética.
Ex. Determinar o desvio em relação a média no exemplo anterior.
Cálculo da média para dados agrupados (média ponderada)
Sem intervalo de classe
x =∑xifi
∑fi
Ex.:
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do
sexo masculino:
Nº de meninos
fi
xifi
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
∑=34
∑=
Determine a média aritmética ponderada:
25
Exercício:
Determine a média aritmética da distribuição:
xi
fi
1
2
2
4
3
6
4
8
5
3
6
1
xifi
∑=
∑=
Com intervalo de classe
Ex.:
i
Estaturas (cm)
fi
1
150|--154
4
2
154|--158
9
3
158|--162
11
4
162|--166
8
5
166|--170
5
6
170|--174
3
xi
xifi
∑=40
∑=6440
Exercício: Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição de frequência:
Custos
450|--550|--650|--750|--850|--950|--1050|--1150
fi
i
8
xi
10 11
16
13
fi
xifi
1
8
4000
2
10
3
11
4
16
5
1
5
6
7
1100
∑=
∑=
R.:755
26
MODA (Mo)
Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo:
O valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior
frequência se os dados são contínuos.
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe
modal.
Cálculo da moda para dados agrupados
Sem intervalo de classe: Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de
dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a
média e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação).
Ex.: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 Mo=10
Série amodal: nenhum valor aparece mais vezes que outro. Ex.: 3, 5, 8, 10, 12, 13
Série bimodal: mais de um valor aparece mais vezes que outros. Ex.: 3, 4, 4, 4, 5, 7, 7, 7, 8, 10, 12, 13
Mo= 4 e 7
Cálculo da moda para dados agrupados
Com intervalo de classe
Mo = l + L
2
l = limite inferior da classe modal
L = limite superior da classe modal
Ex.: Determine a moda
i
Estatura (cm)
fi
1
150 |-- 154
4
2
154 |-- 158
9
3
158 |-- 162
11
4
162 |-- 166
8
5
166 |-- 170
5
6
170 |-- 174
3
Total
∑ fi = 40
Mo = 158 + 162 = 160
2
27
Exercício: Determine a moda:
i
Estaturas (cm)
fi
1
450 |--550
8
2
550 |--650
10
3
650 |--750
11
4
750 |--850
16
5
850 |--950
13
6
950 |--1050
5
7
1050|--1150
1
∑=64
MEDIANA
A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo:
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao
meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores
ou iguais à mediana.
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:
Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.
Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.
Ex.: Dada a série: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, determine a mediana.
Dados não-agrupados
Sem intervalo de classe
Nº de meninos
fi
Fi
0
2
2
1
6
8
2
10
18
3
12
30
4
4
34
∑=34
34/2=17, MD=2 meninos
28
Ex. 2
xi
fi
Fi
12
1
1
14
2
3
15
1
4
16
2
6
17
1
7
20
1
8
Md = 15,5
Exercícios:
Qual é a mediana nas distribuições?
a)
xi
2 4 6 8 10
fi
3 7 12 8 4
Md =
b)
xi
0 1 2 3 4
5
fi
2 5 9 7 6
3
Md=
Dados agrupados
Deve-se seguir os seguintes passos:
1) Determinar as frequências acumuladas
2) Calcular
∑ 3) Marcar a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior à
mediana e em seguida empregar a fórmula:
∑ – classe
∑%
$ ' & − )(+,-)/ 0∗
! = "∗ +
%∗
Na qual:
l* é o limite inferior da classe mediana;
F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
f* é a frequência simples da classe mediana;
h* é a amplitude do intervalo da classe mediana.
29
Exemplo: Determinar a mediana da distribuição de frequência:
i
Estatura (cm)
fi
1
150 |-- 154
4
2
154 |-- 158
9
3
158 |-- 162
11
4
162 |-- 166
8
5
166 |-- 170
5
6
170 |-- 174
3
Total
∑ fi = 40
Observação no caso de existir uma frequência acumulada exatamente igual a
limite superior da classe correspondente.
∑ , a mediana será o
Exercício:
1) Determinar a mediana das distribuições de frequência:
i
Custo
fi
1
450 |--550
8
2
550 |--650
10
3
650 |--750
11
4
750 |--850
16
5
850 |--950
13
6
950 |--1050
5
7
1050|--1150
1
∑=64
i
classes
fi
1
0 |-- 10
1
2
10 |-- 20
3
3
20 |-- 30
9
4
30 |-- 40
7
5
40 |-- 50
4
6
50 |-- 60
2
Total
∑ fi = 26
Calcule a média e a mediana das distribuições:
i
toneladas
fi
1
300 |-- 400
17
2
400 |-- 500
22
3
500 |-- 600
38
4
600 |-- 700
20
5
700 |-- 800
15
Total
∑ fi = 112
30
i
cm
1
140 |-- 150
17
2
150 |-- 155
28
3
155 |-- 160
43
4
160 |-- 165
52
5
165 |-- 170
40
6
170 |-- 180
30
Total
∑ fi = 210
fi
Resumindo, como a média é influenciada quer por valores muito grandes, quer por valores muito
pequenos, se a distribuição dos dados:
1.
for
aproximadamente
simétrica,
a
média
aproxima-se
da
mediana
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior
que
a
mediana
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser
inferior à mediana.
Representando as ditribuições dos dados (esta observação é válida para as representações gráficas na
forma de diagramas de barras ou de histograma) na forma de uma mancha, temos, de um modo geral:
SEPARATRIZES
São medidas teóricas que permitem a separação da distribuição em grupos.
Posição das separatrizes:
Quartis
Denomina-se quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
∑
1 = 2 com i = 1, 2 ou 3
Decis
Denomina-se decis os valores de uma série que a dividem em 10 partes iguais.
∑
3 = 4 com i = 1, 2, ..., 9
31
Percentis
Denomina-se decis os valores de uma série que a dividem em 100 partes iguais.
∑ 5 =
com i = 1, 2 ou 3
44
Quando os dados são agrupados, usa-se a mesma técnica do cálculo da mediana. Por exemplo, para
calcularmos o terceiro quartil:
3 ∑ − (78)/ ℎ∗
2
∗
1 = +
∗
$
Exemplo:
1) Calcule o 1° e 3° quartil, 3° e 6° decil e o 32° percentil:11, 13, 13, 15, 17, 17, 17, 18, 18, 21,
23, 23, 25, 26, 28, 30, 31, 33, 36, 37, 37, 38, 38, 39, 39, 40, 41, 42, 42, 42, 45, 46, 48, 49, 51,
52.
2) Calcular os quartis inferior e superior e os 15° e 25° centis:
Vida útil
(horas)
fi
0 |-- 100
13
100 |-- 200
45
200 |-- 300
54
300 |-- 400
125
400 |-- 500
96
500 |-- 600
27
Total
∑ fi =
3) A avaliação de desempenho de um treinamento aplicado aos funcionários da empresa Um
Dois Três de Oliveira Quatro obedecia o seguinte critério: Notas de 65 a 100 Aprovados; de
50 até 65 Recuperação Parcial; de 34 a 50, Recuperação Plena e abaixo de 34 Reprovados. Os
resultados obtidos foram expressos na distribuição abaixo:
Notas
fi
10 |-- 25
14
25 |-- 40
20
40 |-- 55
26
55 |-- 70
34
70 |-- 85
60
85 |-- 100
26
Total
∑ fi = 180
Pede-se:
a) A quantidade de funcionários reprovados;
b) A quantidade de funcionários em recuperação plena;
c) A quantidade de funcionários recuperação parcial;
d) A quantidade de funcionários aprovados.
32
Representação Gráfica De Uma Distribuição
Histograma E Sua Interpretação
Uma leitura atenta do histograma deve responder a questões como:
1. Qual é a forma da distribuição?
2. Existe um ponto central bem definido?
3. Quão grande é a variação?
4. Qual é a amplitude dos dados?
5. Existe apenas um pico?
6. A distribuição é simétrica?
7. Existem barras isoladas?
8. Quais conclusões que você pode tirar sobre o desempenho do processo em relação
r
à
característica estudada?
9. O histograma é conclusivo ou seu aspecto sugere a necessidade de estratificação para buscar
as causas das anomalias encontradas?
Tipos De Histogramas:
Histograma simétrico, tipo distribuição Normal:
Característica: a frequência é mais alta no centro e decresce gradualmente para as caudas de
maneira simétrica (forma de sino). A média e a mediana são aproximadamente iguais e
localizam-se
se no centro do histograma (ponto de pico).
Quando ocorre: forma usualmente observada
observada em processos padronizados, estáveis, em que a
característica de qualidade é contínua e não apresenta nenhuma restrição teórica nos valores que
podem ocorrer.
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
33
Histograma assimétrico e com apenas um pico:
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Características: a frequência decresce bruscamente em um dos lados de forma gradual no outro,
produzindo uma calda mais longa em um dos lados. A média localiza-se
localiza se fora do meio da faixa de
variação. Quando a assimetria é à direita a mediana é inferior a média. Quando a assimetria é à
esquerda
squerda a mediana é superior à média.
Quando ocorre:: possivelmente a característica de qualidade possui apenas um limite de
especificação e é controlada durante o processo, de modo que satisfaça a essa especificação.
Histograma tipo “despenhadeiro”:
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Característica: o histograma termina abruptamente de um ou dos dois lados, dando a impressão
de faltar um pedaço na figura.
Quando ocorre: possivelmente foram eliminados dados por uma inspeção 100%; nesse caso o
“corte” coincide com os limites de especificação.
Histograma com dois picos:
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
34
Característica: ocorrem dois picos e a frequência é baixa entre eles
Quando ocorre: em situações
ções em que há mistura de dados com médias diferentes obtidos em
duas condições distintas. Por exemplo, dois tipos de matérias primas, duas máquinas ou dois
operadores. A estratificação dos dados segundo esses fatores poderá confirmar ou não tais
conjecturas.
Histograma do tipo “platô”
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Característica: classes centrais possuem aproximadamente a mesma frequência.
Quando ocorre: aspecto possível quando há mistura de várias distribuições com médias
diferentes
Histograma com uma pequena “ilha” isolada:
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Característica: algumas faixas de valores da característica de qualidade observada ficam
isoladas da grande maioria dos dados, gerando barras ou pequenos agrupamentos separados.
Quando ocorre: possivelmente ocorreram anormalidades temporárias
temporárias no processo, erros de
medição, erros de registro ou transcrição dos dados, produzindo alguns resultados muito
diferentes dos demais.
35
MEDIDAS DE DISPERSÃO
VARIÂNCIA: Define-se a variância, e representa-se por s2, como sendo a medida que se obtém somando os
quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de
observações da amostra menos um:
( xi − x) 2
s =∑
i =1
n −1
n
2
DESVIO PADRÃO: Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime
não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas
unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
( xi − x) 2
i =1
n −1
n
s= ∑
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a
dispersão
dos
dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
• o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais variabilidade houver entre os
dados.
• se s = 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais.
A informação que o desvio padrão dá sobre a variabilidade deve ser entendida como a variabilidade que é
apresentada relativamente a um ponto de referência - a média, e não propriamente a variabilidade dos dados,
uns relativamente aos outros.
Ex.: Calcular o desvio padrão par ao conjunto de valores: 40, 45, 48, 52, 54, 62, 70
xi
x
xi - x
(xi- x )2
40
53
-13
169
45
53
-8
64
48
53
-5
25
52
53
-1
1
54
53
1
1
62
53
9
81
70
53
17
289
∑=371
S=
630
36
Exercício:
Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão, dados os valores da variável: 8, 10, 11, 15, 16, 18
xi
x
xi - x
(xi- x )2
8
10
11
15
16
18
∑=
S=
Dados agrupados
Sem intervalo de classes ou com intervalo de classe
( xi − x) 2 fi
amostral
s= ∑
i =1
n −1
n
xi
fi
0
2
1
6
2
12
3
7
4
3
x
xi - x
(xi- x )2
(xi- x )2fi
∑=
S=
37
Exercício:
Calcule o desvio padrão da distribuição:
xi
1 2 3 4 5 6
fi
2 5 8 6 3 1
xi
fi
x
xi - x
(xi- x )2
(xi- x )2fi
1
2
3
4
5
6
S=
Ex.:
i
Estaturas (cm) fi
xi
1
150|--154
4
152
2
154|--158
9
156
3
158|--162
11
160
4
162|--166
8
164
5
166|--170
5
168
6
170|--174
3
172
x
(xi- x )2
xi - x
(xi- x )2fi
S=
Exercício: Calcule o desvio padrão da distribuição:
i
intervalo
fi
1
30|--50
2
2
50|--70
8
3
70|--90
12
4
90|--110
10
5
110|--130
5
∑=
xi
x
xi - x
∑=
∑=
(xi- x )2 (xi- x )2fi
38
Exercícios complementares:
1) Os tempos despendidos por 12 alunos (N = 12), em segundos, para percorrer certo trajeto, sem barreira,
foram 16, 17, 16, 20, 18, 16, 17, 19, 21, 22, 16, 23. Determine o valor, sem agrupar os dados: da moda,
mediana e média; da variância absoluta, do desvio padrão.
2) Considerando uma população, de tamanho 16 (N = 16), constituída de alunos, cuja variável de interesse X
é o número de faltas de cada aluno, obteve-se: 0, 0, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 3, 0, 5, 4, 4, 3 e 2. Sem agrupar os
dados, determine o valor: da moda, mediana e média; da variância absoluta, do desvio padrão.
3) Considere uma população de 40 profissionais liberais que foram, questionados sobre o número de revistas
e/ou jornais que os mesmos são assinantes, obteve-se a seguinte tabela:
Nº de Publicações
Nº de Profissionais
0
6
1
8
2
12
3
10
4
4
∑
40
Pede-se:
a) A percentagem de profissionais que tem menos de 3 revistas e/ou jornais (publicações).
b) valor da moda, da mediana e da média aritmética simples.
c) valor da variância absoluta, do desvio padrão.
4) Em certo dia foi realizado um levantamento a respeito das idades dos alunos de um curso noturno, obtendose a tabela abaixo:
Idades (anos)
Nº de Alunos
16 |- 20
8
20 |- 24
16
24 |- 28
12
28 |- 32
4
∑
40
Considerando esta turma como uma população, determine:
a) A percentagem de alunos com menos de 24 anos.
b) O valor da média aritmética simples e a moda.
c) O valor da variância absoluta, do desvio padrão.
39
5) Em um levantamento realizado, em maio de 1983 nos 200 funcionários da empresa XK, em relação a
variável expressa em unidades monetárias (u.m.), obteve-se a seguinte tabela:
Salário (u.m.)
Nº de Funcionários
0 |- 2
26
2 |- 4
32
4 |- 6
34
6 |- 8
40
8 |- 10
28
10 |- 12
22
12 |- 14
18
∑
200
Considerando os 200 funcionários como de uma população, determine:
a) A percentagem de funcionários que recebem salário maior ou igual a 2 u.m. e menor que 4 u.m.
b) A porcentagem de funcionários que recebem menos de 8 u.m.
c) O valor da moda e da média dos salários.
d) O valor da variância absoluta, do desvio padrão.
6) Considerando que foi extraída uma amostra aleatória simples de 10 alunos de uma grande escola, cuja
variável em estudo é a nota obtida em Matemática, obteve-se: 5, 7, 8, 6, 5, 4, 8, 9, 10 e 6. Determine a
média da amostra, a variância da amostra e o desvio padrão da amostra.
7) Considerando que as três distribuições hipotéticas apresentam os valores indicados abaixo:
Valores obtidos em três distribuições hipotéticas
DISTRIBUIÇÃO
A
B
C
N = 200
N = 50
N = 400
∑f.X = 4000
∑f.X = 500
∑f.X = 3200
∑f.X2 = 85000
∑f.X2 = 5450
∑f.X2 = 32000
Determine os indicadores: média aritmética, variância absoluta, desvio padrão.
8) Uma empresa de informática possui 10 vendedores e cada um deles trabalha com diferentes cargas
horárias. As cargas horárias dos vendedores são dadas abaixo:
5
4
8
8
7
6
6
8
8
12
Calcule a média, a mediana, a moda e desvio padrão das cargas horárias desses vendedores.
40
9) Uma pesquisa sobre a idade (em anos), de uma classe de calouros do curso de Computação de certa
faculdade, revelou os seguintes valores:
17
17
17
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
20
20
20
20
20
20
20
20
21
21
21
21
Construa uma distribuição de frequência e em seguida determine a média, a mediana, a moda e desvio padrão
das idades.
10) Um produto é condicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. Considere os produtos que
compõe um determinado lote com seus respectivos pesos (em kg):
3
4
3,5
5
3,5
4
5
5,5
4
5
Determine:
a) O peso médio dos produtos;
b) A mediana correspondente ao peso dos produtos;
c) A Moda correspondente ao peso dos produtos;
d) A variação dos pesos dos produtos.
11) Considere as seguintes distribuições A, B e C, que representam a satisfação do cliente em relação ao
atendimento ao usuário:
Distribuição A
Distribuição B
Distribuição C
Satisfação do
Cliente
fi
Satisfação do
Cliente
fi
Satisfação do
Cliente
fi
0├
2├
4├
6├
8├
2
4
9
15
7
0├
2├
4├
6├
8├
5
8
11
8
5
0├
2├
4├
6├
8├
7
12
9
5
4
2
4
6
8
10
Σfi = 37
2
4
6
8
10
Σfi = 37
2
4
6
8
10
Σfi = 37
Calcular a média, mediana, moda e desvio padrão das distribuições A, B e C;
41
Coeficientes De Variação (Cv)
Quando temos dois ou mais conjuntos com média e desvio padrão diferentes entre eles, como
podemos determinar o mais homogêneo?
Exemplo:
Conjunto C
Conjunto D
̅ = 100
̅ = 450
s = 10
s = 35
Podemos usar a idéia de: Quanto 10 representa em 100? E quanto 35 representa em 450?
Este cálculo, expresso em porcentagem é o coeficiente de variação, ou seja mede percentualmente a
relação
ação entre desvio padrão e a média aritmética, sendo pois uma medida adimensional.
;
CV = <̅ 100
MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE
Momentos
42
Formato de uma distribuição
O terceiro e quarto momentos1 de uma distribuição são freqüentemente usados para estudar a
“aparência” de uma distribuição, em especial sua assimetria e sua curtose. Em outras palavras, a
distribuição dos dados pode ser simétrica ou não, ou ainda achatada ou pontiaguda e, isso, dará um
u
formato à curva de distribuição.
Medida De Assimetria
Denomina-se
se assimetria o grau de afastamento da simetria de uma distribuição de dados. Em
uma distribuição (a) simétrica, tem-se
tem se igualdade dos valores da média, mediana e moda. Entretanto,
se numa distribuição ocorrer:
b) X ≥ Md ≥ Mo : existirão mais dados da série menores do que a média, porém a curva da
distribuição terá uma cauda mais longa para os dados maiores do que a média, isto é, diz-se
diz
que a distribuição tem assimetria positiva.
c) X ≤ Md ≤ Mo : existirão mais dados da série
série maiores do que a média, porém
poré a curva de
distribuição terá uma cauda mais longa para os dados menores do que a média, isto é, diz-se
diz
que a distribuição tem assimetria negativa;
A estimativa do coeficiente de assimetria (Cs)
(
de uma variável X é dada por: 5=
5= ?B
*;C .D,E
Interpretação
a) Cs = 0:: se o resultado for zero, a distribuição é simétrica,
b) Cs < 0:: se o valor for negativo, a distribuição é assimétrica negativa (inclinada para a
esquerda) e,
c) Cs > 0:: se o resultado for positivo, a distribuição é assimétrica positiva (inclinada para a
direita).
A estimativa do coeficiente de assimetria pode ainda ser encontrado através do primeiro e segundo
coeficiente de assimetria de Pearson, dados respectivamente
respe
por:
5= =
1
<̅ >?@
;
e 5= *<̅ >?A.
;
O primeiro momento é a média e o segundo momento é a variância.
43
Medida De Curtose
Denomina-se
se curtose o grau de achatamento da distribuição.
O resultado pode ser assim definido: 5F =
?′G
*;C .C
Ck = 3 - Mesocúrtica – a distribuição de frequências é a própria distribuição normal;
Ck > 3 - Platicúrtica – a distribuição é achatada (alta variabilidade);
Ck < 3 - Leptocúrtica – a distribuição é concentrada em torno da média (alta homogeneidade).
Obs: A assimetria positiva surge quando a média aritmética é aumentada por algum valor
extraordinariamente elevado e, a assimetria negativa ocorre quando a média é reduzida por algum
valor extremamente baixo. Os dados são simétricos quando não existem valores realmente extremos
em uma direção específica, de modo que
que os valores baixos e altos se equilibram entre si.
Ou também pela fórmula:
Exercícios:
1) Determinar :
a) O primeiro, o segundo e o terceiro momento para o conjunto de números 2, 3, 7, 8, 10.
b) O segundo momento em relação à média.
44
2) Os dados a seguir referem-se
referem se ao número de partos/dia ocorridos num determinado hospital
durante o mês de março de 2007:
a) Obter o primeiro momento à origem
b) Segundo, terceiro e quarto momentos em relação à média
c) Obter os coeficientes de assimetria e curtose utilizando o terceiro e quarto momento
encontrado.
ções de frequência
frequência abaixo determine: a media, a moda, a mediana, o desvio
3) Para as distribuições
padrão
ão os coeficientes de assimetria de Person e os coeficientes de curtose.
45
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípio Fundamental da Contagem
Se um resultado pode ser obtido de n1 maneiras diferentes e se, após isso um segundo resultado pode
ser obtido de n2 maneiras diferentes, ... e finalmente se um k° resultado pode ser obtido de nk
maneiras diferentes, então, todos os kk resultados podem ser obtidos na ordem especificada, de n1,n2
..., nk maneiras diferentes.
Exercícios:
1) Se um homem tem 2 camisas e 4 gravatas, poderá escolher uma camisa e uma gravata de
quantas maneiras diferentes?
2) Uma bandeira é formada por 4 listras, que devem ser coloridas usando-se apenas as cores
amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos
pode ser colorida a bandeira?
3) Quantos números naturais de 3 algarismo distintos (na base 10) existem?
Recomendação: Tomar primeiro a decisão mais difícil.
4) Quantos números de 4 algarismos (na base 10) que sejam menores que 5000 e divisíveis por
5 podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5?
5) As placas de automóvel são formadas por 3 letras (K, Y e W inclusive) seguidas por 4
algarismos.Quantas placas podem ser formadas?
6) Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com 3 algarismos
distintos?
7) O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elementos/
a) Quantas são as funções f: A→B?
b) Quantas são as funções injetoras f: A→B?
8) Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?
9) Há duas estradas principais da cidade A até a cidade B, ligadas por 10 estradas secundárias.
Quantas rotas livres de auto-interseção há de A até B?
46
Permutações simples
Dados n objetos distintos a1, a2, ..., an de quantos modos é possível ordená-los?
O números de modos de ordenar n objetos distintos é: n(n-1) ... 1 = n!
Cada ordenação dos n objetos é chamada uma permutação simples de n objetos e o número de
permutações simples de n objetos distintos é representado por Pn.
Assim Pn = n!
0! = 1, por quê?
Exercícios:
1) Quantos são os anagramas da palavra PRATICO?
2) Quantos são os anagramas da palavra PRATICO que começam e terminam por consoante?
3) De quantos modos 5 rapazes e 5 moças podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares cada, de
modo que em cada banco fique um rapaz e uma moça?
4) De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos de 4 pessoas cada?
5) Se A é um conjunto com n elementos, quantas são as funções f: A→B bijetoras?
6) De quantos modos r rapazes e m moças podem se colocar em fila de modo que as moças
fiquem juntas?
7) Quantas são as permutações simples dos números, 1, 2,..., n nas quais o elemento que ocupa a
k-ésima posição é inferior a k+4 para todo k?
8) Quantas são as permutações simples dos números 1, 2, ..., n nas quais os k-ésima posição é
maior que k-3, para todo k?
47
Combinações simples
De quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n objetos distintos dados? Ou, o que é
o mesmo, quantos são os subconjuntos com p elementos do conjunto {a1,a2 ..., an}?
Cada subconjunto com p elementos é chamado de uma combinação simples da classe p dos n objetos
a1,a2 ..., an. Assim, por exemplo, as combinações simples de classe 3 dos objetos a1 ,a2, a3, a4, a5 são:
{a1,a2,a3}{a1,a2,a4}{a1,a2,a5}{a1,a3,a4}{a1,a3,a5}{a1,a4,a5}{a2,a3,a4}{a2,a3,a5}{a2,a4,a5}{a3,a4,a5}
I
O número de combinações simples de classe p de n objetos é representado por 5H .Assim, 5J = 10
Analisemos essa resposta:
Primeiro elemento:
Segundo elemento:
Terceiro elemento:
....
Concluindo:
5HI =
!
MNO 0 ≤ L ≤ L! ( − L)!
Exercícios:
1) Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar dispondo de 10 frutas
diferentes?
2) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta R’. Quantos triângulos
existem com vértices em 3 desses pontos?
3) De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos 2 mulheres, em um
grupo de 7 elementos e 4 mulheres?
4) De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos de 4 pessoas cada?
5) Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhido um grupo de 8 homens
e 5 mulheres.
a) Quantas comissões podem ser formadas?
b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitasse participar da comissão se nela
estivesse determinada mulher?
6) Para a seleção brasileira foram convocados 2 goleiros, 6 zagueiros, 7 meios de campo e 4
atacantes. De quantos modos é possível escalar a seleção com um goleiro, 4 zagueiros, 4
meios de campo e 2 atacantes?
7) Quantas diagonais possui um polígono de n lados?
8) Tem-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta R’ paralela a R. quantos
quadriláteros convexos em 4 desses 13 pontos existem?
9) Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos
modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas?
10) De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças?
48
Permutações circulares
De quantos podemos colocar n objetos distintos em n lugares equiespaçados em torno de um círculo,
se considerarmos equivalentes disposições que podem coincidir por rotação?
PCn = número de permutações circulares de n objetos distintos.
Exemplo: Como podemos permutar 3 objetos distintos em 3 lugares em um único círculo?
PCn =
H!
H
ou (n-1)!
Exercícios:
1) Quantas rodas de ciranda podem ser formadas com n crianças?
2) De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianças, de modo que 2
determinadas dessas crianças não fiquem juntas?
Permutações de elementos nem todos distintos
Exemplo: Quantos anagramas possui e palavra TARTARA?
Exercícios:
1) Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA?
2) Quantos são os anagramas da palavra URUGUAI que começam por vogal?
3) A figura representa o mapa de uma cidade na qual há 7 avenidas na direção norte-sul e 6
avenidas na direção leste-oeste.
a) Quantos são os trajetos de comprimento mínimo ligando o ponto A ao ponto B?
b) Quantos desses trajetos passam por C?
49
Combinações completas
Exemplo: De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7
sabores?
I
I
5QH = 5IRH> =
( + L − 1)!
L! ( − 1)!
Exercícios:
1) Quantas são as soluções inteiras e não-negativas de x + y + z = 5?
2) Quantas são as soluções inteiras e não-negativas da inequação x + y + z ≤ 5?
3) Quantas são as soluções inteiras da equação x + y + z = 20, com x≥2, y≥2, z≥2?
4) Quantos são os anagramas da palavra PIRACICABA que não possuem duas letras A juntas?
5) Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x + y + z + w = 3?
6) Quantas são as soluções inteiras e não-negativas de x + y + z + w < 6?
7) Quantas são as peças de um dominó comum?
8) D e quantos modos podemos colocar em fila 7 letras A, 6 letras B e 5 letras C de modo que
não haja duas letras B juntas?
9) A fábrica X produz 8 tipos de bombons que são vendidos em caixas de 30 bombons (de um
mesmo tipo ou sortidos). Quantas caixas diferentes podem ser formadas?
10) De quantos modos podem ser pintados seis objetos iguais usando 3 cores diferentes?
11) De quantos modos esse mapa pode ser colorido (cada país de uma cor, países com uma linha
fronteira comum não podem ter a mesma cor) se dispomos de x cores diferentes?
Qual o menor valor de x que permite colorir o mapa?
e
Princípio da inclusão/ exclusão
Exemplo: Quantos inteiros entre 1 e 1000 são divisíveis por 3 ou 7?
Exercícios:
1) Uma urna contém n bolas, das quais devem ser escolhidas p bolas. Determine:
a) O número SIH de seleções ordenadas, se repetições não são permitidas (essas seleções são
denominadas arranjos simples de classe p das n bolas.
b) O número de seleções desordenadas (isto é, seleções que só diferem pela ordem são
consideradas iguais se repetições não são permitidas).
c) O número SQHI de seleções ordenadas, se repetições são permitidas (essas seleções são
denominadas arranjos completos de classe p das n bolas. Também são usados os nomes
arranjos com reposição ou arranjos sem reposição).
d) O número de seleções desordenadas, se seleções são permitidas.
50
PROBABILIDADE
Revisão conjuntos
Conjuntos
Coleção de objetos chamados membros ou elementos do conjunto. Denota-se por uma letra
maiúscula (A, B, C, ...) e os elementos por letras minúsculas (a, b, c, ...)
A ∈ C se A pertence a C
A ∉ C se A não pertence a C
Deve-se ter uma regra para determinar se um elemento pertence ou não a determinado conjunto.
Subconjuntos
Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é subconjunto de B:
A ⊂ B ou B ⊃ A. Segue que qualquer que seja A, A ⊂ A
Se A ⊂ B e B ⊃ A, A = B. Em tal caso tem exatamente os mesmos elementos.
Se A e B não são iguais, isto é, não tem os mesmos elementos A ≠ B.
Se A ⊂ B, mas A ≠ B., dizemos que A é subconjunto próprio de B.
Exemplo: {a, i, u} é subconjunto próprio de {a, e, i, o, u}.
Teorema 1.1 : Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.
Conjunto Universal ou Universo: também designado por U
Conjunto vazio: sem elementos ∅
Exemplos:
Operações entre conjuntos
União – A ∪ B
Intersecção – A ∩ B
Diferença – A - B
Complemento – Se B ∁ A então A – B é o complemento de B em relação a A
Se A = ∪, ∪ - B complemento de B (B’ ou ]^)
Alguns Teoremas
T 1.2 - A ∪ B = B ∪ A (lei comutativa da união)
51
T 1.3 - A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C (lei associativa da união)
T 1.4 - A ∩ B = B ∩ A (lei comutativa da intersecção)
T 1.5 - A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C (lei associativa da intersecção)
T 1.6 – A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Primeira lei distributiva)
T 1.7 – A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Segunda lei distributiva)
T 1.8 – A – B = A ∩ B’
T 1.9 – Se A ⊂ B, então A’⊃ B’ ou B’ ⊂ A’
T 1.10 - A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅
T 1.11 - A ∪ U = U, A ∩ U = A
T 1.12a – (A ∪ B’) = A’ ∩ B’ (Primeira lei de Morgan)
T 1.12b – (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ (Segunda lei de Morgan)
T 1.13 – A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B’) para quaisquer conjuntos A e B
Exercícios:
1) Sejam os conjuntos A= {x/x é inteiro ímpar}, B = {x/x2 - 8x + 15 = 0}, mostre que B ⊂ A.
2) Determine quais afirmações são verdadeiras.
a) {x/x ≠ x}= {∅}
b) Se A = {x/x2 = 4, x > 9} e B = {x/x ≤ 1}, então B > A.
3) Seja o Universo U = _ , 0, `, 5, − √2, −4b. Se A = c− √2, `, 0d, B = _5, , − √2, −4b e C =
_ , −4b. são subconjuntos de U, determine:
a) (A ∩ B) =
b) (A ∪ B) =
c) (A ∪ B) ∩ C =
d) B’ ∪ C’ =
e) A – B =
f) (B ∩ C)’ =
g) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) =
Experimentos aleatórios ou não determinísticos
São experimentos em que os resultados não são essencialmente os mesmos, ainda que as condições
se mantenham as mesmas.
52
Exemplo: jogada de uma moeda, jogada de um dado, máquinas de roelas.
Obs.: repetido muitas vezes a regularidade aparece
Espaços amostrais
Definição: Para cada experimento ε do tipo considerado, definimos espaço amostral como o conjunto
de todos os resultados possíveis de ε.
Exemplos. Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.
Jogue uma moeda quatro vezes e observe o número de caras obtido
Jogue uma moeda duas vezes. Descreva o espaço amostral representado por coroa (T) e cara (H)
Eventos
Um evento é um subconjunto de A do espaço amostral, isto é, um conjunto de resultados possíveis,
Se o resultado de um experimento é elemento de A, dizemos que A ocorreu,
Exemplo: Jogue uma moeda duas vezes, o evento consiste em aparecer cara apenas uma vez. É o
subconjunto do espaço amostral que consiste dos pontos {TH e HT}.
Eventos particulares ou certos: temos nesse caso o próprio espaço amostral, e como evento
impossível o ∅, pois sempre teremos cara ou coroa.
Eventos são conjuntos, assim, se A e B são eventos:
a) A ∪ B é o evento A, ou B, ou ambos
b) A ∩ B é o evento A e B
c) A’ é o evento não A
d) A – B é o evento A mas não B
Se os conjuntos correspondentes aos eventos A e B são disjuntos, isto é, se A ∩ B = ∅ diz-se que
os conjuntos são mutuamente excludentes, o que significa que os eventos em questão não podem
ocorrer simultaneamente.
Exemplo: Referindo-se ao lançamento de uma moeda duas vezes, seja A o evento “aparece ao menos
uma cara” e B o evento “o resultado do segundo lançamento é coroa”, então A =? e B=?
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A’
d) A – B
Observações: Se um espaço amostral tem um número finito de pontos, chama-se espaço amostral
finito. Exemplo: Jogar uma moeda duas vezes. Se tem tantos pontos quantos são os números
naturais, chama-se espaço amostral infinito numerável. Esses dois casos são discretos.
Se tem tantos pontos quantos um determinado segmento do eixo dos x, tal como 0 ≤ x ≤ 1, chamase espaço amostral infinito não-enumerável, é um espaço amostral não discreto ou contínuo.
Exemplos:
53
1) De um baralho comum de 52 cartas extrai-se uma carta ao acaso. Descreva o espaço
amostral:
a) Não se levando em conta os naipes
b) Levando-se em conta os naipes
c) Represente a letra b através de uma figura, mais especificamente um sistema cartesiano
em que os eixo x representa as cartas e o eixo y os naipes.
2) Ainda em relação ao problema 1, seja A o evento {extração de um rei}ou simplesmente
{rei} e B o evento {carta de paus}. Descreva:
a) A ∪ B =
b) A ∩ B =
c) A ∪ B’ =
d) A’ ∪ B’
e) A – B =
f) A’ - B’ =
g) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B’) =
3) Um dispositivo eletrônico é ensaiado e o tempo total do serviço t é registrado. Admitindo-se
que o espaço amostral seja {t/ t ≥ 0}. Sejam A, B e C três eventos definidos da seguinte
maneira: {A = t/ t < 100}, B = {t/ 50 ≤ t ≤ 200} e C = {t/ t > 150}. Então:
a) A ∪ B =
b) A ∩ B =
c) B ∪ C =
d) B ∩ C =
e) A ∩ C =
f) A ∪ C =
g) A’ =
h) C’ =
54
Frequência Relativa e Probabilidade
Definição: fA = nA/n é denominada frequência relativa do evento A nas n repetições de ε. A
frequência relativa fA apresenta as seguintes propriedades:
1) 0 ≤ fA ≤ 1
2) fA = 1 se e, somente se, A ocorrer em todas as n repetições.
3) fA = 0 se e, somente se, A nunca ocorrer nas n repetições.
4) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes e se fAuB for a frequência relativa associada
ao evento A ∪ B , então fAuB = fA + fb
5) fA, com base nas n repetições do experimento é considerada uma função de n, que converge
em certo sentido probabilístico para P (A), quando n → ∞. Exemplo: pingo de chuva na
calçada.
Probabilidade
Definição: Seja ε um experimento. Seja S um espaço amostral associado a ε. A cada evento A
associaremos um número real representado por P(A) e denominado probabilidade de A que satisfaça
às seguintes propriedades:
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) P(S) = 1
3) Se A e B são eventos mutuamente excludentes P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
4) Se A1, A2, ... , An forem 2 a 2 eventos mutuamente excludentes, então:
g
∞
e(⋃g
S ) = e(S ) + e(S ) + ⋯ + e(SH ) Ni =jk7, e(⋃ S ) = ∑m=1(S )
Teoremas de Probabilidade
T1. Se ∅ for o conjunto vazio, então P(∅) = 0
T2. Se A’ for o evento complementar de A, P(AP = 1 – P(A’)
T3. Se A e B forem dois eventos quaisquer, então:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Se (A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
T4. Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B)
Atribuições:
Se um espaço amostral consiste apenas de eventos elementares A1, A2, ... , An
P(A1), P(A2), ... , P(An) = 1
Então P(Ak)= 1/n, k= 1, 2, ..., n
55
Exercícios:
1) Lança-se um dado. Determinar a probabilidade de aparecer 2 ou 5.
2) Extrai-se uma carta de um baralho ordinário de 52 cartas. Determine a probabilidade de a
carta ser:
a) Um às
b) Um valete de copas
c) 3 de paus ou 6 de ouro
d) Uma carta de copas
e) De qualquer naipe, exceto copas
f) Um dez ou uma carta de espadas
g) Nem 4 nem carta de paus.
3) Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis.
Determine a probabilidade de a bola extraída ser:
a) Vermelha
b) Branca
c) Azul
d) Não vermelha
e) Vermelha ou branca
4) Um dado é lançado. Pergunta-se a probabilidade dos eventos:
a) A = sair um número ímpar
b) B = sair um número menor que 3
c) C = sair um número maior que 10
d) D = sair um número inteiro maior ou igual a 1 e menor ou igual a 6.
5) Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas.
a) Qual a probabilidade de sair uma carta de espadas?
b) Qual a probabilidade de sair um rei?
6) De quantas maneiras é possível colocar 6 anéis diferentes em 4 dedos?
7) Três moedas são jogas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter 2 caras?
Qual é a probabilidade de obter ao menos 2 caras?
Descreva o espaço amostral.
8) Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que a soma dos
números mostrados nas faces de cima seja 7. Descreva o espaço amostral.
9) Suponha que de n objetos escolhemos r ao acaso com reposição. Qual a probabilidade de que
nenhum objeto seja escolhido mais de uma vez?
10) Quantas são as soluções inteiras não- negativas de x + y + z + w = 20 nas quais x>y?
56
Definição geométrica de Probabilidade
Suponha que um segmento l seja parte de um outro segmento L e que se tenha escolhido ao
acaso um ponto de L. Se admitirmos que a probabilidade deste ponto pertencer a l é proporcional ao
comprimento de l e não depende do lugar que l ocupa em L, então a probabilidade de que o ponto
selecionado esteja em l é:
e() =
MNOL. MNOL. e(o) =
áj7 o
áj7 q
Analogamente:
E ainda:
e(r) =
rN r
rN s
Probabilidade condicional
Sejam A e b dois eventos, com P(A) > 0. Denotemos por P(B/A) a probabilidade de ocorrência de B,
na hipótese de A ter ocorrido. Como A ocorreu, A passa a ser o novo espaço amostral que vem
substituir o espaço original S.
Então, em outras palavras, a probabilidade de ocorrência de B dado que A ocorreu é:
e(S ∩ ])
e(]/S) =
e(S)
Observações:
1) Como P(B/A) é uma probabilidade vale para ela todas as propriedades da probabilidade.
2) Como e(S/]) =
u(v∩w)
u(w)
, então a ocorrência simultânea dos eventos A e B é dada por
P(A∩B) = P(A) P(B/A) = P(B). P(A/B)
Teorema da Multiplicação ou da Probabilidade Composta: Seja o espaço de probabilidade (S, x, y),
então:
a) P(A∩B) = P(A) P(B/A) ∀S, ] ∈ x
b) e (S ∩ S ∩ … ∩ SH ) = e(S ). e(S /S ). e(S /S ∩ S ) … e(SH /S ∩ S ∩
… SH> ) ∀S , S … , SH ∈ x
Prova:
57
Exemplo: Determinar a probabilidade de a jogada de um dado resultar em um número menor
que 4:
a) Se não temos nenhuma outra informação
b) Sabendo-se que o resultado é um número ímpar.
Eventos independentes
Se P(B/A) = P(B) isto é, se a probabilidade de ocorrência de B não é afetada pela ocorrência, ou não
de A, dizemos que A e B são eventos independentes. Isto equivale a P(A∩B) = P(A) P(B)
Ou seja, P(B/A) = P(B) e P(A/B) = P(A)
Exercícios:
1) Um lote é formado por 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves.
Dois artigos são escolhidos ao acaso. Ache a probabilidade de que:
a) Ambos sejam perfeitos
b) Ambos tenham defeitos graves
c) Ao menos um seja perfeito
d) No máximo um seja perfeito
e) Exatamente um seja perfeito
Probabilidades Condicionais
Consideremos o experimento que consiste em jogar um dado não-viciado. Sejam Ω = {1, 2, ..., 6},
A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3}...
Definição: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de B dado A é o número
e(S ∩ ])/e(S). Representa-se por P(B/A). Simbolicamente: e(]/S) =
Então e(S ∩ ]) = e(]/S). e(S)
I(v∩w)
u(v)
quando P(A)>0.
Se P(B) > 0, e(S ∩ ]) = e(]). e(S/])
Como P(A/B) é uma probabilidade vale para ela todas as propriedades da probabilidade, ou seja, seja
A tal que P(A) > 0, então:
a) e(∅/S) = 0, e(Ω/S) = 1, 0 ≤ e(]/S) ≤ 1
58
b) e((] ∪ 5)/S) = e(]/S) + e(5/S), =j ] ∩ 5 = ∅ . Ou seja, fixado A a probabilidade
condicional é outra probabilidade sobre o espaço amostral Ω.
Demonstração:
Teorema do Produto:
Se
e (S ∩ S ∩ … ∩ SH ) ≠ 0 j8ãN e (S ∩ S ∩ … ∩ SH ) = e(S ). e(S /S ). e(S /
S ∩ S ) … e(SH /S ∩ S ∩ … SH> )
Esboço de Demonstração:
Exercícios:
1) Um grupo de pessoas está classificado da seguinte forma:
fala inglês
92
101
Homens
Mulheres
fala alemão
35
33
fala francês
47
52
Escolhe-se uma pessoa ao caso. Sabendo-se que esta pessoa fala francês, qual é a probabilidade de
que seja homem?
2) Sabe-se que 80% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores do
Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 40% se o cobrador for do
Flamengo e de 70% em caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser cobrado:
a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser
convertido?
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?
c) Um pênalti foi marcado a favor do Brasil e acabou de ser desperdiçado. Qual é a
probabilidade de que o cobrador tenha sido um jogador do Flamengo?
3) Consideremos dois dados: um deles equilibrado (P({1}) = P({2}) = ... = P({6}))= 1/6 e outro
viciado com P({1}) = ½ e P({2}) = ... = P({6}) = 1/10. Escolhe-se um dos dados ao acaso e
se efetuam dois lançamentos, obtendo-se dois uns. Qual a probabilidade condicional de que o
dado escolhido tenha sido viciado?
4) Marina quer enviar uma carta a Verônica. A probabilidade de que Marina escreva a carta é de
8/10. A probabilidade de que o correio não a perca é de 9/10. A probabilidade de que o
carteiro a entregue é de 9/10. Dado que Verônica não recebeu a carta, qual é a probabilidade
condicional
de
que
Marina
não
a
tenha
escrito?
59
Teorema da Probabilidade Total
Se B é um evento contido numa reunião de eventos disjuntos S , S , … , SH e P(S ) > 0, P(S ) > 0,
... , P(SH ) > 0, então:
P(B) = e(S )e(]/S ) + e(S )e(]/S ) + ⋯ + e(SH ). e(]/SH )
Demonstração:
Teorema de Bayes
Nas condições da proposição anterior, se P(B)>0, então para i = 1, 2, ... , n.
e(S )e(]/S )
e(S /]) =
e(S )e(]/S ) + ⋯ + e(SH ). e(]/SH )
Exercícios:
1) Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4/10. O
Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade 6/10 e em um dia sem
chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia
de agosto, qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
2) Num exame há três respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para
cada pergunta um alunos tem probabilidade 1/3 de escolher a resposta certa se ele está
adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30% das respostas do exame. Se ele
deu a resposta correta para uma das perguntas qual a probabilidade de que ele adivinhou?
Eventos independentes
Dois eventos A e B são chamados independentes se:
P(A∩B) = P(A). P(B)
Uma conseqüência imediata desta definição é que o vazio o espaço amostral são
independentes de qualquer outro evento, então:
e(S ∩ ∅) = e(∅) = 0 = e(∅. e(S)
e(S ∩ Ω) = e(S). 1 = e(S). e(Ω)
Definição: A1, A2, ..., An são independentes se ∀ k, e ∀ i1, i2, ..., ik tem-se:
e (S ∩ S ∩ … ∩ S ) = e (S )e(S ) … e(S )
Prova:
60
Exemplo: Seja o espaço amostral apresentado na figura a seguir com 4 pontos w1, w2, w3, w4,
e Pa a probabilidade que associa a cada ponto o valor ¼. Sejam C= {w1, w3}, L = {w3, w4} e
D = {w2, w3} três eventos correspondentes a primeira coluna, à segunda linha e a diagonal,
respectivamente, resulta que:
.w1
.w2
.w3
.w4
Exercícios:
1) Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros A e B. Os resultados dos jogos
são independentes e as probabilidades dele ganhar de A e B são 1/3 e 2/3
respectivamente. O jogador vencerá o torneio se ganhar dois jogos consecutivos de uma
série de 3. Que série de jogos é mais favorável para o jogador ABA ou BAB?
2) A probabilidade de fechamento de cada rele do circuito apresentado na figura a seguir é
igual a p, 0<p<1
Se todos os reles funcionam independentemente, qual é a probabilidade de que haja
corrente circulando entre os circuitos?
2
A
1
3
4
5
B
Se todos os reles funcionam independentemente, qual é a probabilidade de que haja corrente
circulando entre os terminais A e B?
3) Escolhe-se ao acaso um número entre 1 e 50. Se o número é primo, qual é a probabilidade
de que seja ímpar?
61
4) Uma moeda é jogada 6 vezes. Sabendo-se que no primeiro lançamento deu coroa,
calcular a probabilidade condicional de que o número de caras nos seis primeiros
lançamentos supere o número de coroas?
5) Uma moeda é jogada 4 vezes. Sabendo que o primeiro resultado foi cara, calcular a
probabilidade condicional de obter pelo menos duas caras?
6) Joguei um dado duas vezes. Calcule a probabilidade de obter 3 na primeira jogada,
sabendo que a soma dos resultados foi 7.
7) Se A e B são eventos independentes, tais que P(A) = 1/3 e P(B) = ½, calcule:
P (A ∪ B) =
P (A’ ∪ B’) =
P (P’ ∩ B) =
8) Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A) = ¼ e P(A ∪ B) A ∪ B) = 1/3,
calcule P(B).
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Referências:
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 2002.
DANTAS, Carlos A. B. Probabilidade um curso introdutório. 3 ed. Ver. São Paulo: Editora da
Universidade de São Paulo, 2008.
JAMES, Barry R. Probabilidade um curso em nível intermediário. 2 ed. Rio de Janeiro: IMPA,
1996.
MEYER, PAUL L. Probabilidade com aplicações à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
MAGALHÃES, Marcos Nascimento. Probabilidade e variáveis aleatórias. 3 ed. São Paulo:
Editora da Universidade de São Paulo, 2011.
MARQUES, Jair Mendes. MARQUES, Marcos Augusto Mendes. Estatística básica para os cursos
de engenharia. Curitiba: Domínio do Saber, 2005.
MARQUES, Jair Mendes. Testes estatísticos para cursos das áreas biológicas e da saúde com o
uso do computador. Curitiba: Domínio do Saber, 2004.
SPIEGEL, M. R. Estatística. Coleção Schaum. São Paulo: McGraw_Hill do Brasil, 1976.
SPIEGEL, M. R. Probabilidade e Estatística. Coleção Schaum. São Paulo: McGraw_Hill do Brasil,
1978.
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