Universidade de So Paulo

Universidade de São Paulo
Disciplina: Climatologia I – ACA 0226
Introdução à Estatística Aplicada à Climatologia
Parte I – Estatística Descritiva
Projeto PAE
Bolsista: Michelle S. Reboita
São Paulo, 2005.
2
Sumário
1
2
Introdução ......................................................................... 3
Sobre a Estatística ............................................................... 3
2.1
Um Pouco da História da Estatística.......................................................................... 3
2.2
Definição ........................................................................................................................... 3
2.3
Conceitos Importantes .................................................................................................. 3
População:.................................................................................................................................. 3
Amostra: ................................................................................................................................... 4
3 Distribuição de Freqüências ...................................................... 4
3.1
Metodologia para a Elaboração de uma Distribuição de Freqüências................. 5
4 Medidas de Posição ou Tendência Central ....................................... 7
4.1
Média ................................................................................................................................. 8
4.2
Mediana ............................................................................................................................. 9
4.3
Moda................................................................................................................................... 9
4.4
Ponto Médio.....................................................................................................................10
5 Medidas de Dispersão ou de Variabilidade ..................................... 10
5.1
Amplitude Total.............................................................................................................. 11
5.2
Desvio-Padrão ................................................................................................................. 11
5.3
Variância...........................................................................................................................14
6 Assimetria ........................................................................ 14
7 Curtose............................................................................ 15
8 Separatrizes ...................................................................... 16
9 Referências .......................................................................20
10 Exercício ..........................................................................20
Projeto PAE – Bolsista: Michelle S. Reboita
3
1
Introdução
Os métodos e técnicas estatísticas são utilizados em Climatologia basicamente
para analisar o tempo passado com o objetivo de inferir sobre o provável
comportamento futuro de alguma variável.
A aplicação de técnicas estatísticas a dados meteorológicos tem a vantagem de
compactar o enorme volume de dados, medidos, por exemplo, em uma estação, em uma
simples tabela ou uma equação, capaz de sumariar todas as informações de modo a
facilitar as inferências sobre os dados (Assis et al, 1996).
2
Sobre a Estatística
2.1 Um Pouco da História da Estatística
Conforme descrito em Silva (1998), a estatística é uma ciência que surgiu na
Antigüidade e se desenvolveu paralelamente à própria civilização humana. Há mais de
3.000 anos a.C., os antigos egípcios deixaram dados estatísticos sobre seus povos
gravados em monumentos históricos daquela época, principalmente nas famosas
pirâmides. Além deles, os chineses realizaram um censo demográfico no ano 2.275 a.C.
e, bem mais tarde, os romanos no ano 556 a.C., também realizaram trabalho bastante
semelhante.
Nessas épocas, os censos concentravam-se basicamente no levantamento do
número de habitantes, nascimentos, óbitos e forças guerreiras, pois seus objetivos
eram voltados a fornecer dados confiáveis aos então governantes.
Na era Cristã, principalmente no primeiro milênio, houve também diversos
censos demográficos, notadamente em Israel e alguns países do ocidente.
Entretanto, a partir do século XVI, a estatística começou a ganhar importância,
passando a ser estudada por matemáticos e filósofos e, conseqüentemente, foi
introduzida nos currículos das universidades.
2.2 Definição
A estatística é uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter
dados e organiza-los, resumi-los, analisá-los, interpretá-los e deles extrair conclusões
(Triola, 1998).
2.3 Conceitos Importantes
Na estatística os termos população e amostra são muito utilizados, portanto é
necessário conhecer seus significados.
População: é uma coleção completa de todos os elementos a serem estudados. Ex:
conhecer a altura de todos os habitantes do Brasil.
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4
Amostra: é uma sub-coleção de elementos extraídos de uma população. Ex: conhecer a
altura de um conjunto de habitantes do Brasil.
Quando o estudo trata de dados meteorológicos, temos em mãos uma amostra,
pois não conhecemos a população, devido não haver o registro contínuo dos dados
desde a origem do planeta.
É importante determinar se um conjunto de dados se trata de uma amostra ou
de uma população, pois a metodologia de análise muitas vezes é diferente e, também,
as conclusões a que devemos chegar. Quando trabalhamos com amostras, os
resultados obtidos nos cálculos estatísticos são utilizados para fazer inferências
(generalizações) sobre a população. Vejamos um exemplo: selecionamos os dados
horários de temperatura do ar do verão de 2004 medidos numa cidade X, com isto
teremos uma amostra. Calculamos a média aritmética deste conjunto e a partir do
resultado obtido podemos inferir que a média da temperatura daquela cidade no verão
(no caso todos os verões - população) corresponde àquele determinado valor.
3
Distribuição de Freqüências
Quando estamos trabalhando com estatística, normalmente, precisamos manipular
grande quantidade de dados. Entretanto, estes devem ser organizados de tal forma a
facilitar o trabalho do investigador do fenômeno. Se possuímos um conjunto de dados,
por exemplo, de temperaturas médias diárias da estação do IAG (localizada em Água
Funda, São Paulo) do mês de dezembro de 2004, devemos dispô-los de forma que
consigamos extrair de maneira fácil informações como: maior e menor temperatura,
quantos dias tiveram temperaturas acima ou abaixo de um determinado valor, etc.
Para tanto, é elaborado uma distribuição de freqüências.
A distribuição de freqüências é uma tabela que relaciona categorias ou classes
de valores, juntamente com contagens ou freqüências do número de valores que se
enquadram em cada categoria (Triola, 1998). A distribuição de freqüências pode ser
representada através de um histograma, que é um gráfico cujas bases são os limites
das classes e as alturas são as freqüências.
Abaixo temos uma distribuição de freqüências (tabela 1) juntamente com um
histograma (figura 1) da temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da
estação do IAG. Na tabela o símbolo
indica que o limite de classe inclui o valor da
esquerda e exclui o da direita.
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5
Tabela
1.
Distribuição
de
freqüências da temperatura média
diária do mês de dezembro de 2004
da estação do IAG.
Intervalos de Classe
16.1
17.8
19.5
21.2
22.9
24.6
17.8
19.5
21.2
22.9
24.6
26.3
Freqüências
3
8
7
8
4
1
Figura 1. Histograma de freqüências.
3.1 Metodologia para a Elaboração de uma Distribuição de Freqüências
De posse de um conjunto de dados, neste caso, de dados de temperatura média
diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG (tabela 2), devemos seguir
alguns passos para a construção de uma distribuição de freqüências.
Tabela 2. Dados de temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da
estação do IAG.
Dia
Temperatura (ºC)
Dia
Temperatura (ºC)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
18,9
18,7
18,4
23,2
22,3
22
22,4
23
20,9
18,3
17,5
18
19,1
18,9
20
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
21,5
20,8
22,4
23,7
18,3
16,1
17,2
19,8
22,6
21,2
21,2
20,1
21,4
22,2
23,2
16
25,1
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6
Passo 1: Ordenar os elementos dos dados brutos em ordem crescente, indicando a
freqüência absoluta de cada elemento.
Dados brutos: dados que ainda não foram numericamente organizados. São as
observações.
Freqüência absoluta: número de vezes que um valor aparece num conjunto de
dados.
Tabela 3. Dados brutos dispostos em ordem crescente com as respectivas
freqüências.
Temperatura
Freqüências
16,1
17,2
17,5
18
18,3
18,4
18,7
18,9
19,1
19,8
20
20,1
20,8
20,9
21,2
21,4
21,5
22
22,2
22,3
22,4
22,6
23
23,2
23,7
25,1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
Passo 2: Determinar o número de intervalos de classe (K). O número de intervalos de
classe é obtido pela regra de Sturges (Crespo, 1997):
K = 1+3,3 (log10 n)
onde n é o número total de elementos do conjunto de dados.
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(1)
7
K = 1+3,3 (log10 31)
K = 1+3,3 (1,49)
K = 5,9 ≅ 6
Portanto, a distribuição de freqüências será constituída de 6 intervalos de
classe.
Passo 3: Determinar a amplitude dos intervalos de classe (h):
h=
[x
imáx
− (ximín − 1)]
k
(2)
onde K é o número de intervalos de classe e ximáx e ximín são respectivamente o maior e
o menor valor do conjunto de dados.
h=
[25,1 − (16,1 − 1)]
6
h ≅ 1,7
Após a obtenção da amplitude dos intervalos de classe (passo 3), basta
organizar os dados conforme a distribuição de freqüências apresentada na tabela 1.
Para tanto, se pega o menor valor do conjunto de dados e soma-se a amplitude dos
intervalos de classe. Então, o primeiro intervalo da distribuição de freqüências vai do
menor valor do conjunto até a soma deste com o valor da amplitude dos intervalos de
classe. Após verifica-se quantos elementos (freqüências) encontram-se neste
intervalo. Este procedimento é feito tantas vezes conforme indica o cálculo do número
de intervalos de classe. Também pode ser elaborado o histograma da distribuição de
freqüências (figura 1).
4
Medidas de Posição ou Tendência Central
Normalmente, quando estamos estudando um fenômeno, seja ele de qualquer
natureza, é basicamente impossível manipularmos todos os elementos da seqüência de
dados, a não ser que a quantidade seja pequena. Entretanto, é importante sabermos
onde os valores da seqüência se concentram, facilitando assim a análise. A estatística,
por sua vez, fornece medidas que podem caracterizar o comportamento dos elementos
de uma série. Essas medidas são chamadas de medidas de posição ou de tendência
central, que na prática, possibilitam determinar um valor compreendido entre o menor
e o maior valor da série numérica, ou seja, o valor localizado no centro ou no meio de
um conjunto de dados.
Há diferentes maneiras de definir o centro de um conjunto de dados, assim, há
diferentes definições de medidas de tendência central como: média, mediana, moda e
ponto médio.
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8
4.1 Média
Média Aritmética: a média aritmética de um conjunto de dados é o valor obtido
somando-se todos os elementos do conjunto e dividindo-se a soma pelo número total
de elementos. Observe:
x=
∑ xi
n
(3)
onde x é a média aritmética, xi os dados do conjunto amostral e n o número de
valores.
A média aritmética calculada para os dados fornecidos na tabela 1 corresponde
a:
18,9 + 18,7 + ... + 22,2 + 23,2
x =
31
x = 20,590 C
Observação: quando ao invés de x , que denota a média aritmética de uma
amostra, temos µ significa que a média aritmética é de uma população.
A média aritmética depende de todos os valores da série e qualquer alteração
de um deles altera seu valor. Esta medida é influenciada por valores extremos,
podendo, em alguns casos, não representar a série. Além da média aritmética, há a
média harmônica, geométrica e quadrática.
Média Harmônica: costuma ser usada como medida de tendência central para
conjuntos de dados que consistem em taxas de variação, como por exemplo
velocidades. Obtém-se a média harmônica dividindo-se o número n de valores pela
soma dos inversos de todos os valores. Portanto, é expressa como (Triola, 1998):
x=
n
1
∑x
i
Para os dados da tabela 1, temos a média harmônica igual a:
x =
31
1
1
1
1
+
+ ... +
+
18,9 18,7
22,2 23,2
x = 20,360 C
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(4)
9
Média Geométrica: é usada na administração e na economia para achar taxas médias
de variação, de crescimento, ou razões médias. Dados n valores (todos positivos), a
média aritmética é a raiz nma do seu produto (Triola, 1998). Por exemplo, determina-se
a média geométrica de 2, 4, 10 multiplicando-se os três valores – o que dá 80, e
tomando-se a raiz cúbica do resultado (porque há três valores). O resultado é 4,3.
Desta forma para os dados da tabela 1, temos:
x =
31
18,9 * 18,7 * ... * 22,2 * 23,2
x = 20,480 C
Média Quadrática: é utilizada em geral em experimentos físicos. Em sistemas de
distribuição de energia, por exemplo, as tensões e correntes são em geral dadas em
termos de sua média quadrática. Obtém-se a média quadrática de um conjunto de
valores elevando-se cada um ao quadrado, somando-se os resultados, dividindo-se o
total pelo número n de valores e tomando-se a raiz quadrada do resultado (Triola,
1998). Por exemplo, a média quadrática de 2, 4, 10 é 6,3. Agora calculando-se para os
dados da tabela 1, temos:
x=
x=
∑x
n
2
i
(5)
(18,9)2 + (18,7)2 + ... + (22,2)2 + (23,2)2
31
x = 20,710 C
4.2 Mediana
A mediana é o elemento que ocupa a posição central de uma série de dados. Para
encontrá-la os dados devem estar dispostos em ordem crescente ou decrescente. Se a
série tiver um número ímpar de dados o valor que estiver ocupando o meio da série
será a mediana. Se tiver um número par de dados deve-se extrair a média aritmética
dos dois valores centrais, uma vez que, o valor correspondente a mediana acha-se
entre eles.
A mediana dos dados fornecidos na tabela 1 corresponde a 20,9ºC.
4.3 Moda
A moda é o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de dados. Pode
ser identificada apenas observando-se a série nos casos de dados não agrupados.
Quando a série possuir dois valores com a mesma freqüência máxima, cada um deles é
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10
uma moda, e o conjunto diz-se bimodal. Se mais de dois valores ocorrerem com a
mesma freqüência máxima, o conjunto é multimodal. Quando nenhum valor é repetido,
o conjunto não tem moda.
A série de dados fornecida na tabela 1 é multimodal, pois cinco valores (18,3;
18,9; 21,2; 22,4 e 23,2) aparecem com a mesma freqüência máxima.
4.4
Ponto Médio
O ponto médio é o valor que está a meio caminho entre o maior e o menor valor
da série de dados. Para obtê-lo, somamos esses valores extremos e dividimos o
resultado por 2, como na expressão a seguir (Triola, 1998):
PM =
maior valor + menor valor
2
(6)
O ponto médio dos dados da tabela 1 é:
PM =
16,1 + 25,1
2
PM = 20,6º C
5
Medidas de Dispersão ou de Variabilidade
Vimos anteriormente que um conjunto de valores pode ser convenientemente
sintetizado, por meio de procedimentos matemáticos, em poucos valores
representativos – média, mediana e moda. Tais valores podem servir de comparação
para dar a posição de qualquer elemento do conjunto.
Não é o bastante dar uma das medidas de posição para caracterizar
perfeitamente um conjunto de valores, pois, mesmo sabendo, por exemplo, que a
temperatura média de duas cidades é a mesma, e igual a 24ºC, ainda assim somos
levados a pensar a respeito do clima dessas cidades. Em uma delas a temperatura
poderá variar entre limites de muito calor e de muito frio e, haver, ainda, uma
temperatura média de 24ºC. A outra poderá ter uma variação pequena de
temperatura, mas mantendo uma média de 24ºC.
Vemos, então, que a média – ainda que considerada como um número que tem a
faculdade de representar uma série de valores – não pode, por si mesma, destacar o
grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem
um conjunto.
Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis x, y e z:
X: 70, 70, 70, 70, 70
Y: 68, 69, 70, 71, 72
Z: 5, 15, 50, 120, 160
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11
Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtemos:
∑x
350
= 70
n
5
∑ yi = 350 = 70
y =
n
5
z
∑ i = 350 = 70
z =
n
5
x =
i
=
Vemos, então, que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética: 70.
Entretanto, é fácil notar que o conjunto x é mais homogêneo que os conjuntos y
e z, já que todos os valores são iguais a média.
O conjunto y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto z, pois há menor
diversificação entre cada um de seus valores e a média é representativa.
Chamando de dispersão ou de variabilidade a maior ou menor diversificação dos
valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado como ponto
de comparação, podemos dizer que o conjunto x apresenta dispersão ou variabilidade
nula e que o conjunto y apresenta uma distribuição ou variabilidade menor que o
conjunto z.
Portanto, para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou
menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a
Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade. Dessas medidas,
serão descritas a amplitude total, o desvio-padrão e a variância.
5.1 Amplitude Total
A amplitude total de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor
valor deste. Para calculá-la, basta subtrair o menor valor do maior.
AT = xmáx − xmín
(7)
Quanto maior a amplitude total de um conjunto de dados, maior é a dispersão ou
variabilidade dos valores.
A amplitude total observada nos dados da tabela 1 é:
AT = 25,1 – 16,1 = 9º C
5.2 Desvio-Padrão
A amplitude total é uma medida instável, pois se deixa influenciar pelos valores
extremos, que são, na sua maioria, devidos ao acaso.
O desvio-padrão e a variância são medidas que fogem a essa falha, pois levam
em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas
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12
índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente
empregados. Assim, pode-se definir o desvio-padrão como uma medida da magnitude
do espalhamento ou dispersão dos dados em relação à média da série.
A expressão para o cálculo do desvio-padrão amostral (s) é:
s=
(xi − x )2
(8)
n −1
onde xi é cada elemento do conjunto de dados, x é a média do conjunto e n é o
número total de elementos deste.
Já para o desvio-padrão populacional (σ) a expressão é:
σ=
(xi − µ )2
(9)
N
onde xi é cada elemento da população, µ e N são respectivamente a média e o número
total de elementos da população.
Observa-se que para a população x é substituído por µ e n-1 por N.
Em geral, a finalidade do cálculo de uma estatística amostral (como a média, o
desvio-padrão ou a variância) é estimar o parâmetro populacional correspondente. Se
extrairmos muitas amostras de uma população que tem média m, calcularmos as médias
amostrais x e se tomarmos as médias de todas as estimativas de m, veremos que essa
média fica muito próxima de m. Entretanto, se calculássemos a variância de cada
amostra pela fórmula:
∑ (x − x )
2
n
e tomássemos a média de todas essas supostas estimativas de σ2, provavelmente
obteríamos uma média inferior a σ2. Teoricamente, mostra-se que podemos compensar
essa desvantagem dividindo por n-1 em vez de n na fórmula de s2.
Uma regra que auxilia na interpretação do valor de um desvio-padrão é a regra
empírica, aplicável somente a conjuntos de dados aproximadamente em forma de sino,
conforme a figura 2. Essa figura mostra como a média e o desvio-padrão estão
relacionados com a proporção dos dados que se enquadram em determinados limites.
Assim é que, com uma distribuição em forma de sino, temos 95% dos seus valores a
menos de dois desvios-padrão da média. A regra empírica costuma a ser designada
abreviadamente como a regra 68-95-99.
A regra 68-95-99 diz que:
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13
a. cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio-padrão a contar da média;
b. cerca de 95% dos valores estão a menos de 2 desvios-padrão a contar da média;
c. cerca de 99,7% dos valores estão a menos de 3 desvios-padrão a contar da média.
Figura 2. Relação entre o desvio-padrão e a curva normal.
Na figura abaixo foi plotada a média (20,6º C), a média acrescida de mais um
desvio-padrão e a média descontada de um desvio-padrão da série de dados de
temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG, com o
objetivo de mostrar que uma grande porcentagem (cerca de 68%) dos dados ficam
entre os limites da média somada e diminuída de um desvio-padrão.
Figura 3. Temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG
(São Paulo), juntamente com a média da série e a média acrescida e diminuída de um
desvio-padrão. Os dados em análise possuem desvio-padrão igual a ±2.2.
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14
5.3 Variância
A variância é uma medida estatística da dispersão dos dados em torno da média de
um conjunto de dados. É obtida quando não extraímos a raiz quadrada do desviopadrão. A variância amostral é definida como:
s
2
∑ (x − x )
=
(10)
∑ (x − µ )
(11)
2
i
n −1
já a variância populacional é:
σ2 =
2
i
N
A variância obtida através dos dados da tabela 1 é 4,86º C.
A variância também é denominada de segundo momento, sendo:
Σ(xi − x )
m2 =
n
2
6
(12)
Assimetria
A assimetria é o grau de deformação de uma curva de freqüências. Uma
distribuição de freqüência é simétrica, ou seja, que apresenta um gráfico cuja as duas
caudas possuem a mesma configuração (figura 4 a), quando a média, a mediana e a
moda da série forem iguais. A distribuição de freqüência também pode ser
assimétrica positiva (figura 4 b) e assimétrica negativa (figura 4 c), a primeira possui
uma cauda mais alongada à direita e ocorre quando a média da série for maior que a
moda e a segunda apresenta uma cauda mais alongada à esquerda e ocorre quando
média da série for menor que a moda.
a)
b)
c)
Figura
4. Representação
esquemática da assimetria.
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15
A assimetria pode ser obtida pelo coeficiente de assimetria (A) que é uma
medida adimensional, observe:
A=
x − Mo
s
(13)
onde Mo é a moda da série.
Desde que a moda é de difícil estimativa, o coeficiente de assimetria é obtido,
com boa aproximação, pela seguinte relação: x – Mo = 3( x – Me), onde Me é a
mediana. Assim:
A=
3(x − Me )
s
(14)
Mas, a medida de assimetria mais utilizada é dada pelo terceiro momento (m3)
centrado na média, ou seja:
A=
m3
s3
(15)
onde:
Σ (xi − x )
m3 =
n
3
(16)
sendo xi é cada elemento do conjunto de dados, x a média e n o número de elementos
do conjunto (Assis, 1996).
A distribuição será simétrica quando A = 0, se A for maior que zero a
assimetria é positiva e se A for menor que zero a assimetria é negativa.
Utilizando a expressão 15 para calcular o coeficiente de assimetria dos dados
fornecidos na tabela 1, obtemos A = -0,08 que corresponde a uma assimetria negativa,
ou seja, a distribuição possui cauda mais alongada a esquerda. Entretanto, se
fossemos apenas observar a figura 1 não conseguiríamos extrair esta informação
facilmente devido a forma do histograma.
7
Curtose
A curtose é o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma
distribuição padrão, denominada curva normal.
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16
A distribuição que apresenta uma curva de freqüências mais fechada que a
normal, é denominada leptocúrtica (figura 5 a). Quando a curva de freqüência é mais
aberta que a normal recebe o nome de platicúrtica (figura 5 b) e a curva normal é
denominada de mesocúrtica (figura 5 c).
a)
b)
c)
Figura 5. Representação esquemática da curtose.
A curtose (C) é definida pelo quarto momento (m4) dividido pelo o desvio-padrão
da série elevado a quarta potência ( s 4 ):
C=
m4
s4
(17)
onde o quarto momento é dado por:
m4 =
Σ (xi − x )4
n
onde xi é cada elemento do conjunto de dados, x a média e n o número de elementos
da série (Assis, 1996).
A curtose é denominada mesocúrtica quando C=3, neste caso, tem-se uma curva
normal. Se C>3, a curva de freqüência é mais fechada que a curva normal, ou seja
possui um pico e recebe a denominação de leptocúrtica. Se C<3, a curva de freqüência
é mais achatada que a curva normal, sendo chamada de platicúrtica.
A curtose calculada para os dados da tabela 1 foi C = 2,2, portanto C<3 e a curva
de freqüência é mais achatada que a curva normal.
8
Separatrizes
A mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central. No
entanto, ela apresenta uma outra característica, tão importante quanto a primeira: ela
separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores. Assim,
além das medidas de posição mencionadas há outras que, consideradas
individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana
relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam na sua posição na série.
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17
Essa medidas denominadas de quantis ou fractis, são juntamente com a mediana,
conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.
O quantil, por sua vez, é o nome genérico para outras medidas, como as que
dividem o conjunto de dados em 4, 10 ou 100 partes, por exemplo. Estas são
denominadas de quartil, decil e percentil, respectivamente.
Os três quartis Q1, Q2 e Q3 dividem o conjunto dos dados em quatro
subconjuntos de tal forma que 25% dos elementos situam-se abaixo do Q1; 25% entre
Q1 e Q2; 25% entre Q2 e Q3 e 25% acima de Q3, sendo que Q2 corresponde a mediana.
Os decis dividem o conjunto de dados em 10 partes iguais. Os nove decis D1, D2,
D3,..., D9 são tais que 10% dos elementos situam-se abaixo de D1, 10% entre D1 e D2 e
assim por diante. A mediana é o quinto decil.
Os percentis dividem o conjunto dos dados ordenados em 100 partes iguais. A
mediana é o qüinquagésimo percentil.
Procedimento para obtenção dos quantis (Xavier et al., 2002):
1. dispor os dados em ordem crescente;
2. colocar um número de ordem para cada valor (i=1, ..., i=N);
3. para cada valor determinar a ordem quantílica: Pi=i/(N+1), onde N é o número de
elementos da série;
4. finalmente, para calcular o quatil Q(P) para uma ordem quantílica Pi qualquer, seguese:
a) se P coincidir com algum Pi já obtido, então: Q(P)=Q(Pi)=yi
b) se P não coincidir, haverá um índice i tal que Pi<P<Pi+1, onde Q(P) será obtido por
interpolação, onde: Q(P)=yi+{[P-Pi]/[Pi+1-Pi]}*[yi+1-yi]
Exemplo 1: Extraído de Xavier et al. (2002).
Considere os dados:
104 5 43 123 58 63 12 71 32
com N=9 observações. Determine o quartil inferior Q(0,25) e o superior Q(0,75) e o
primeiro tercil Q(0,333):
i
y
Pi=i/(N+1)
1
5
1/10
0,10
2
12
2/10
0,20
3
32
3/10
0,30
4
43
4/10
0,40
5
58
5/10
0,50
6
63
6/10
0,60
7
71
7/10
0,70
8
104
8/10
0,80
9
123
9/10
0,90
O esquema considerado acima faz atribuir a cada valor de yi a “ordem
quantílica” dada pela expressão:
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18
Pi=i/(N+1) onde i = 1, 2, ..., N
No caso, as ordens quantílicas obtidas foram 0,10 = 10%; 0,20 = 20%; 0,30 =
30%; 0,40 = 40%; 0,50 = 50%; 0,60 = 60%; 0,70 = 70%; 0,80 = 80% e 0,90 = 90%.
Segue-se que os yi correspondentes serão os decis, entre os quais está a mediana que
corresponde à ordem quantílica P = 0,50 = 50%.
Como faremos para calcular o quartil inferior Q(0,25) e o quartil superior
Q(0,75)?
Q(0,25) é o quantil que corresponde à ordem quantílica P = 0,25, portanto,
equidistante dos decis correspondentes as ordens quantílicas 0,20 e 0,30. Assim:
Q(0,25)=[Q(0,20)+Q(0,30)]=(12+32)/2=22
Q(0,75)=[Q(0,70)+Q(0,80)]=(71+104)/2=87,5
O primeiro tercil está entre 30% e 40%, cujos quantis respectivos são 32 e 43,
portanto:
Q(P)=yi+{[P-Pi]/[Pi+1-Pi]}*[yi+1-yi]
Q(33,3%)=32+{[33,3-30]/40,0-30,0]}*[43-32]
=32+(3,3/10,0)*11
=32+0,33*11
=35,63
Exemplo 2: Extraído de Assis et al. (1996).
Dada a tabela:
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19
Tabela 4: Totais anuais de chuva de Pelotas, RS, ordenados em forma crescente.
i
Pi=i/(N+1)
Yi
i
Pi=i/(N+1)
Yi
i
Pi=i/(N+1)
Yi
i
Pi=i/(N+1)
Yi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,059
0,069
0,079
0,089
0,099
0,109
0,119
0,129
0,139
0,149
0,158
0,168
0,178
0,188
0,198
0,208
0,218
0,228
0,238
0,248
680
689
832
856
857
864
885
890
890
919
923
926
931
952
973
982
998
1004
1011
1040
1048
1049
1054
1066
1090
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
0,257
0,267
0,277
0,287
0,297
0,307
0,317
0,327
0,337
0,347
0,356
0,366
0,376
0,386
0,396
0,406
0,416
0,426
0,436
0,446
0,455
0,465
0,475
0,485
0,495
1099
1110
1112
1114
1137
1138
1144
1153
1160
1166
1178
1179
1191
1198
1212
1220
1225
1232
1237
1255
1258
1265
1270
1271
1297
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
0,505
0,515
0,525
0,535
0,545
0,554
0,564
0,574
0,584
0,594
0,604
0,614
0,624
0,634
0,644
0,653
0,663
0,673
0,683
0,693
0,703
0,713
0,723
0,733
0,743
1298
1300
1305
1307
1311
1320
1321
1323
1326
1330
1331
1334
1342
1344
1350
1352
1355
1360
1361
1372
1373
1377
1390
1423
1435
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
0,752
0,762
0,772
0,782
0,792
0,802
0,812
0,822
0,832
0,842
0,851
0,861
0,871
0,881
0,891
0,901
0,911
0,921
0,931
0,941
0,950
0,960
0,970
0,980
0,990
1443
1455
1496
1501
1510
1510
1535
1539
1543
1555
1582
1605
1654
1656
1694
1695
1718
1724
1746
1778
1780
1815
1945
1995
2338
Para se encontrar os quartis divide-se o N+1 por 4; para os decis divide-se N+1
por 10 e para os percentis divide-se o N+1 por 100.
Na tabela acima, o primeiro quartil é o valor da série ordenada cuja posição é
(N+1)/4 = 101/4 = 25,25 que corresponde a um valor de chuva entre 1.090 e 1.099 mm;
a mediana, o segundo quartil, é encontrada por 2(N+1)/4 = 202/4 = 50,5, ou seja, o
valor de chuva correspondente a 1.298 mm; o terceiro quartil é o 75º valor da série
ordenada, ou seja, 3(N+1)/4 = 75,75, sendo o valor de chuva entre 1.443 e 1.455 mm.
O primeiro decil corresponde a (N+1)/100 = 101/100 = 1,01, que corresponde a
um valor de chuva compreendido entre 680 e 689 mm. Por interpolação linear obtémse o valor exato do primeiro decil multiplicando-se 0,01 pela diferença entre os
valores da décima e nona observação e somando-se esse resultado ao valor da nona
observação. Assim:
680+0,01(689-680) = 680,1 mm
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20
9
Referências
ASSIS, F. N., et al, 1996. Aplicações de Estatística à Climatologia. Ed. Universitária,
UFPEL, Pelotas, RS.
CRESPO, A. A., 1997. Estatística Fácil. 15º Ed., Saraiva, São Paulo, SP.
SILVA, N. P., 1998. Estatística Auto-Explicativa. Ed. Érica, São Paulo, SP.
TRIOLA, M. F., 1998. Introdução à Estatística. 7º Ed., LTC, Rio de Janeiro, RJ.
XAVIER, T. M. B. S., SILVA, J. F. e REBELLO, E. R. G., 2002. A Técnica dos Quantis.
Thesaurus, Brasília.
10 Exercício
Dada a série de temperatura média diária do mês de dezembro de 2000 da estação
meteorológica situada na cidade do Rio Grande, RS, faça:
1. a distribuição e o histograma de freqüências;
2. calcule as medidas de tendência central;
3. calcule as medidas de dispersão;
4. calcule o coeficiente de assimetria e curtose e
5. compare os resultados obtidos com este conjunto de dados com os da estação do
IAG.
Dia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Temperatura do Ar (ºC)
18.76
20.5
21.06
20.66
18.56
22.28
25.38
25.9
25.86
20.52
23.8
24.72
25.5
23.22
23.12
16
17.84
Dia
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
26
29
30
31
Temperatura do Ar (ºC)
19.64
22.74
20.02
18.86
21.02
22.34
21.26
21.32
25.42
28.94
22.04
21.92
23.06
21.36
20.94
Projeto PAE – Bolsista: Michelle S. Reboita