Aritmética - Prof. Richard

Aritmética – material teórico
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1
O conjunto dos números inteiros, simbolizado por Z pode ser assim representado:
Z = {... -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}
Número par: é todo número inteiro divisível por 2, ou seja, que pode ser escrito na forma 2n, com n ∈
Z.
Número ímpar: é todo número inteiro que não é divisível por 2, ou seja, que pode ser escrito na forma
2n + 1, ou 2n – 1, em que n ∈ Z.
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando seu último algarismo é par.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos
algarismos é divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando o último algarismo é 0 ou 5.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos 3 últimos algarismos
é divisível por 8.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando o seu último algarismo é 0.
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem ímpar
menos a soma dos algarismos de ordem par é um número divisível por 11.
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplo: (EPCAR) Considere o número m = 488a9b, em que b é o algarismo das unidades e a é o
algarismo das centenas. Sabendo-se que m é divisível por 45, o valor da soma a + b é:
A) 7
B) 9
C) 16
D) 18
Um número é divisível por 45 se esse número é divisível por 9 e por 5. Para que m seja divisível por 5,
temos de considerar duas possibilidades: b = 0 ou b = 5
i) Para b = 0, temos m = 488a90. Porém, m é divisível também por 9, ou seja, a soma 4 + 8 + 8 + a + 9
+ 0 = 29 + a deve ser divisível por 9. O múltiplo de 9 mais próximo de 29 é o número 36. Para que a
soma seja igual a esse número, temos a = 7.
ii) Para b = 5, temos m = 488a95. Porém, m é divisível também por 9, ou seja, a soma 4 + 8 + 8 + a +
9 + 5 = 34 + a deve ser divisível por 9. Como no caso anterior, a soma deve ser igual a 36. Portanto, a
= 2. Em ambos os casos, temos a + b = 7. Resposta: Letra A
Decimal exato e dízima periódica:
Decimal exato, ou decimal finito
Decimal não exato, ou decimal periódico (dízima periódica)
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Na letra “e”, o período de repetição não aparece logo após a vírgula, como nos casos anteriores, logo,
devemos “ajustar” a dízima periódica antes de iniciarmos o processo. Ou proceder como na resolução
acima.
Múltiplos de um número natural
Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um
bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada.
Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2):
Portanto, os múltiplos de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...
Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3):
Logo, os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
Observações importantes para números naturais:
_ O menor múltiplo de um número é sempre o zero. Ou seja, o zero é múltiplo de qualquer
número,
_ Os múltiplos de um número, formam a tabuada desse número (obs.: a tabuada não termina no
“vezes 10”, continua, “vezes 11”, “vezes 12”, ...)
_ Os múltiplos de um número formam um conjunto infinito.
_ Dizer que x é múltiplo de 7 é o mesmo que dizer: x é divisível por 7 ou 7 divide x.
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Ano bissexto: a cada quatro anos, o mês de fevereiro tem 29 dias, em vez de 28, como ocorre nos
três anos anteriores. Por que isso acontece? A resposta é um misto de aula de matemática e de história.
O ano é o tempo que demora para a Terra dar uma volta em torno do Sol: 365 dias e aproximadamente
seis horas. Essas horas são acumuladas e, a cada quatro anos, acumulam 24 horas, isto é, um dia a
mais no mês de fevereiro.
Se o ano não termina em 00, ele é bissexto caso seja divisível por 4. Exemplos: 1988, 1992, 1996,
2004, e assim por diante. Um número é divisível por 4 se a sua dezena (1988 = 88) é divisível por 4. O
ano terminado em 00 será bissexto se for divisível por 400, temos como exemplo o ano de 2000.
Exemplo de exercício: Sabendo que os anos bissextos são múltiplos de 4 e que o primeiro dia de
2007 foi segunda-feira, qual será o próximo ano também a começar numa segunda feira?
Sabemos: 01/01/2007 - 2º feira, Queremos: 01/01/???? - 2º feira
2007
2008
365
2ª feira
2009
366
3ª feira
2010
365
5ª feira
2011
365
6ª feira
2012
365
Sábado
2013
366
Domingo
2014
365
3ª feira
2015
365
4ª feira
2016
365
5ª feira
2017
366
6ª feira
2018
365
Domingo
2ª feira
Resposta 2018
Divisores de um número natural
Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto:
_ 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Ou seja, o 12 possui 6 divisores.
_ 36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. Ou seja, o 36 possui 9 divisores.
_ O conjunto dos divisores da unidade é um conjunto unitário formado pelo elemento 1, ou seja:
D(1) = { 1 }
_ O conjunto dos divisores do ZERO é um conjunto infinito formado por todos os números naturais
diferentes de 0, ou seja:
D(0) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ....}
_ O conjunto dos divisores de um número diferente de 1 ou 0 tem no mínimo dois divisores, ele mesmo
e a unidade, ou seja:
D(7) = { 1, 7 }
D(9) = { 1, 3, 9 }
D(11) = { 1, 11 }
D(15) = { 1, 3, 5, 15 }
_ Alguns autores, estendem a definição de divisores de um número para o conjunto dos números
inteiros, e com isso teremos divisores positivos e negativos, ou seja:
D(12) = { -12, - 6, - 4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
Mas, só devemos considerar dessa forma se isso ficar bem claro no enunciado da questão.
Observações importantes para números naturais:
_ O menor divisor de um número é sempre o 1.
_ O maior divisor de um número é o próprio número.
_ O zero não é divisor de nenhum número (não existe divisão por zero).
_ Os divisores de um número formam um conjunto finito.
Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: se 15 é
divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3.
Processo prático para obter os divisores de um número natural
Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos
determinar, por exemplo, os divisores de 90:
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1º) decompomos o número em fatores
primos;
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1
no alto, porque ele é divisor de qualquer
número;
3º) multiplicamos sucessivamente cada
fator primo pelos divisores já obtidos e
escrevemos esses produtos ao lado de
cada fator primo;
4º) os divisores já obtidos não precisam
ser repetidos.
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Processo prático para obter a quantidade de divisores de um número
Tomemos como exemplo o número 200 para aprendermos a identificar quantos e quais são os seus
divisores. Primeiramente iremos decompor o número 200 em fatores primos:
Temos então que 200 decomposto em fatores primos é igual a 23 . 52.
O número 200 decomposto possui dois fatores primos. Um com expoente 3 (23) e outro com expoente
2 (52). A multiplicação destes expoentes adicionados em uma unidade cada um deles, nos fornece a
informação procurada:
(3 + 1) . (2 + 1) = 12
Portanto o número natural 200 possui um total de 12 divisores naturais.
OBS.: A quantidade de divisores ímpares pode ser obtida através do produto dos expoentes dos
números primos ímpares adicionados de uma unidade.
Exemplos:
1) Quantos são os divisores positivos de:
a) 2. Resposta: 2 divisores, 20 e 21.
b) 22. Resposta: 3 divisores, 20 ; 21 e 22.
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3
0
5
1
2
3
c) 2 . Resposta: 4 divisores, 2 ; 2 ; 2 e 2 .
d) 22015. Resposta: 2016 divisores. OBS.: Se p é um número primo, pn terá n + 1 divisores.
2) Quantos divisores positivos tem o número 729?
29 + 1 = 30 divisores.
Divisão Euclidiana:
O algoritmo da divisão de dois números inteiros D e d, com d ≠ 0, é representado da seguinte forma:
Portanto, q é o quociente, e r é o resto da divisão de D por d, e denotamos
D por dividendo e d por divisor.
Observações:
•r=0↔
A divisão é exata,
D é múltiplo de d e
d é divisor de D
• Se D < d, então q = 0 e r = D.
Ou seja, quando temos o caso em que r = 0, então D = q . d e, assim, dizemos que D é um múltiplo de
d ou d é um divisor de D.
Exemplos:
1) Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo. Três mil dias após essa data, foi o dia 06/10/16, o qual
caiu numa:
a) 2ª feira b) 3ªfeira c) 4ª feira d) 5ª feira e) 6ª feira
Como a semana possui 7 dias, dividimos 3000 por 7, obtendo quociente 428 e resto 4, ou seja, 3000 =
428 . 7 + 4, dessa forma, após 3000 dias, passarão 428 semanas inteiras mais 4 dias (2ª, 3ª, 4ª, 5ª),
logo, cairá numa 5ª feira. Letra D.
OBS.: A sequência dos dias da semana nunca se altera, repetindo-se sempre de sete em sete dias.
Como a pergunta estabelece 3000 dias, essa quantia já inclui os anos bissextos.
2) Dia 30 de janeiro de 2017 caiu numa 2ª feira. Dez mil dias após essa data, será qual dia da semana?
a) 2ª feira b) 3ªfeira c) 4ª feira d) 5ª feira e) 6ª feira
Como a semana possui 7 dias, dividimos 10.000 por 7, obtendo quociente 1.428 e resto 4, ou seja,
10.000 = 1.428 . 7 + 4, dessa forma, após 10.000 dias, passarão 1.428 semanas inteiras mais 4 dias
(3ª, 4ª, 5ª, 6ª), logo, cairá numa 6ª feira. Letra E.
3) Richard mora em Franca e seus pais em S. J. Rio Pardo. Para matar a saudade, ele telefona para
seus pais a cada 3 dias. O primeiro telefonema foi feito num domingo, o segundo numa quarta-feira, o
terceiro num sábado e assim por diante. Em qual dia da semana Richard telefonou para seus pais pela
centésima vez?
Vamos montar uma tabela para nos auxiliar:
Domingo
Segunda
Terça
Quarta
Quinta
Sexta
Sábado
1
6
4
2
7
5
3
8
13
11
9
14
12
10
Como a semana possui 7 dias, dividimos 100 por 7, obtendo quociente 14 e resto 2, ou seja, 100 = 14
. 7 + 2, dessa forma, como o resto é 2, o centésimo telefonema foi feito numa 3ª feira.
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4) O lava rápido RICHARD CLEAN, faz uma promoção:
- Lavagem simples R$ 50,00
- Lavagem completa R$ 70,00
No dia da promoção, o faturamento do lava rápido foi de R$ 1760,00. Nesse dia, qual o menor número
possível de clientes que foram atendidos?
Dividindo 1760 por 70, temos quociente 25 e resto 1, mas 25 vezes 70 é igual a 1750, logo, tivemos
menos que 25 lavagens completas, por tentativa, chegamos a 23 completas e 3 simples. Resposta 26
clientes atendidos no dia.
5) Na divisão de n por d, encontra-se quociente igual a 20 e resto igual a 3. Sabendo-se que n - d = 79,
calcule n.
Do enunciado, temos: n - d = 79 (1ª equação)
n = 20d + 3 (2ª equação)
Substituindo a 2ª na primeira e calculando, temos d = 4, logo n = 83.
6) O 2007º dígito da sequência 12345432 12345432 12345432 é:
Analisando a sequência, verificamos que após um período de 8 dígitos, a sequência volta a se repetir,
então dividimos 2007 por 8, obtendo quociente 250 e resto 7, ou seja a sequência de 8 dígitos repetese 250 vezes, seguidas pelos 7 primeiros dígitos da sequência, logo o 7º dígito é o último. Resposta 3.
7) Em uma agência bancária, cinco caixas atendem os clientes em fila única. Suponha que o
atendimento de cada cliente dura exatamente 3 minutos e que o caixa 1 atende o primeiro da fila, ao
mesmo tempo em que o caixa 2 atende o segundo, o caixa 3 o terceiro e assim sucessivamente.
Pergunta-se:
a) Qual caixa atenderá o sexagésimo oitavo cliente da fila?
Dividindo 68 por 5, temos quociente 13 e resto 3, logo o 68º cliente, será atendido no 3º caixa.
b) Quantos minutos, após a abertura dos caixas, o 68º cliente aguardará na fila?
Multiplicando o quociente anterior 13, por 3, temos 39 minutos.
8) Dividindo a por b (sendo a e b, naturais e diferentes de zero), obtém-se quociente 4 e resto 4. Calcular
o quociente da divisão de a por 4.
Do enunciado, temos que a = 4b + 4 ou a = 4(b + 1) ou a/4 = b + 1. Resposta: b + 1
9) Qual é o algarismo das unidades do número 32013?
Investigando a sequência, temos que:
30 = 1
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
37 = 2187
38 = 6561
Percebemos um padrão de repetição do último algarismo: 1; 3; 9 e 7. Então dividimos 2013 por 4,
obtendo quociente 503 e resto 1, ou seja, a sequência 1397 repete-se 503 vezes e inicia-se novamente
com o 1. Logo 31 = 3. Resposta 3. Caso ainda tenha dúvidas, teste com o 37, onde 7 : 4 = 1 e resto 3.
10) O menor valor do inteiro positivo n de forma que n300 > 3500 é:
Do enunciado, n300 > 3500, implica que n3 > 35, ou seja, n3 > 243
Testando valores inteiros para n, até o 6, não obtemos n 3 > 243, pois 63 = 216. O valor desejado, é
encontrado quando n = 7, pois 73 = 343. Logo o menor valor do inteiro n, de forma que n 3 > 35, é o 7.
11) Considere que a e b são dois números inteiros tais que a - b = 23, sendo b > 0. Sabendo-se que na
divisão de a por b, o quociente é 8 e o resto é o maior possível, nessa divisão, então, a + b é igual a:
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O maior valor inteiro possível para o resto, é sempre uma unidade a menos que o divisor, dessa forma,
se o divisor é b, o maior resto possível é b - 1. Então, do enunciado, temos a = 8b + (b - 1) e a - b = 23,
substituindo a 1ª equação na 2ª e calculando, temos b = 3 e a = 26. Logo, 26 + 3 = 29. Resposta 29
12) Um número de três algarismos, 2m3, é somado ao número 326, resultando no número de três
algarismos, 5n9, divisível por 9. Encontre o valor se m + n.
Se 5n9 é divisível por 9, então, a soma dos algarismos tem que ser divisível por 9.
5+0+9= 14 (Menor resultado)
5 + 9 + 9= 23 (Maior resultado)
O único número divisível por 9 nesse intervalo é o 18. Então:
5 + n + 9 = 18
14 + n = 18
n=4
Do enunciado, (2m3)+326=5n9, mas 5n9=549, portanto 549 – 326 = 223, m = 2.
Logo, a soma m + n = 2 + 4 = 6
13) Considere todas as divisões entre números naturais tais que o divisor é 13 e o resto é o triplo do
quociente. Determinar a soma dos possíveis quocientes dessas divisões.
Sejam D o dividendo e q o quociente na situação descrita. Como o resto é o triplo do quociente,
escrevemos:
Sabemos que o resto deve ser menor do que o divisor. Portanto, devemos encontrar todos os valores
de q para os quais 3q < 13. Assim, temos:
Para q = 0 ⇒ 3q = 0 < 13
Para q = 1 ⇒ 3q = 3 < 13
Para q = 2 ⇒ 3q = 6 < 13
Para q = 3 ⇒ 3q = 9 < 13
Para q = 4 ⇒ 3q = 12 < 13
Para q = 5 ⇒ 3q = 15 > 13 (não convém)
Portanto, os possíveis valores de q são 0, 1, 2, 3 e 4. A sua soma é igual a 10.
Números primos:
São os números que possuem apenas dois divisores naturais, o 1 e ele mesmo. Observe os números
primos de 1 a 100:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89 e 97
Observações:
_ Existem infinitos números primos;
_ O número 1 não é primo, pois só possui um divisor. Pela definição no conjunto dos Naturais, número
primo possui 2 e apenas 2 divisores (se a definição for feita no conjunto dos números inteiros, serão 4
divisores);
_ Só existe um número natural par que é primo, é o 2;
_ Números que não são primos, são chamados de números compostos. Todo número composto pode
ser decomposto (ou fatorado) num produto de fatores primos. Com exceção da ordem dos fatores e do
sinal, tal decomposição é única (Teorema Fundamental da Aritmética). Atenção, os números 1 e zero,
não são nem primos, nem compostos.
CURIOSIDADE: Existem números primos negativos, são os mesmos dos positivos, pois os números
primos são definidos no conjunto dos Inteiros e não dos Naturais. Dessa forma, números primos
possuem 4 divisores, que são o 1, o -1, o próprio número e o seu oposto (não confunda oposto com
inverso).
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Como vimos, o Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos
maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição
única a menos de permutações dos fatores.
Exemplos:
1) 6 = 21 . 31
2) 80 = 24 . 51
Processo prático para descobrir se um número é primo.
Seja n um número inteiro positivo. Para verificarmos se n é primo, podemos proceder da seguinte
forma:
i) Calculamos o valor de √𝑛.
ii) Verificamos se n é divisível por cada um dos números primos menores do que √𝑛.
iii) Se n não é divisível por nenhum desses números primos, então n é primo. Caso contrário, n é
composto.
Exemplo: Verifique se 97 é primo.
√97 = 9,85 (aproximadamente)
Os primos menores do que √97 são 2, 3, 5 e 7.
Observe que 97 não é divisível por nenhum desses números, ou seja, 97 é primo.
Outro processo: Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2,
3, 5, 7, 11, ... até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste
caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
•
•
•
•
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 161 : 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número
primo.
2) O número 113:
•
•
•
•
•
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 113 : 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
por 11: 113 : 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o
resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
Para determinarmos o Mínimo múltiplo comum, diferente de zero, entre os números 12 e 28,
escrevemos os múltiplos de 12 e os múltiplos de 28 e observamos qual o menor múltiplo que é comum
ao 12 e ao 28, ou seja:
M(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; ...}
M(28) = {0; 28; 56; 84; 112; 140; 168; ...}
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Observamos que o Mínimo múltiplo comum, após o zero, entre o 12 e o 28 é o número 84. Ou
seja, mmc(12 ; 28) = 84.
Processo prático para cálculo do m.m.c.
mmc(12;28) = 84
Máximo divisor comum (m.d.c.)
Processo prático para cálculo do m.d.c.
Dica: Faça um “círculo” no(s) número(s) que divide todos da linha. Se não tiver “círculo”, mdc
= 1.
Máximo divisor comum entre 12 e 28
mdc(12;28) = 4
Propriedade: o produto do mdc pelo mmc de dois números é igual ao produto dos dois números.
Primos entre si: dois números naturais são primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1. Por
exemplo, 16 não é um número primo, 21 também não é um número primo mas 16 e 21 são primos
entre si pois MDC(16,21)=1.
Aplicações do m.m.c. e do m.d.c.
O mmc é usado para resolver operações de adição e subtração de frações. O mdc é usado para
simplificar frações de uma só vez e não por divisões sucessivas. Ambos também são usados
para resolver problemas, tais como:
1) Duas bobinas de tecido possuem as medidas 156 m e 234 m, deseja-se cortar o tecido das duas
bobinas em partes iguais e de maior comprimento possível, sem que sobre tecido. Como podemos
resolver essa situação?
Calculando o mdc(156; 234) = 2 . 3 . 13 = 78
Os tecidos das 2 bobinas devem ter 78 cm de comprimento.
2) (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias,
na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a
manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia.
Calculando o mmc(3, 4, 6) = 2 . 2 . 3 = 12
Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de
dezembro.
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3) Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo
paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3
em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da
manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos?
Calculando o mmc(2, 3, 6) = 2 . 3 = 6
Portanto, o próximo horário será às 14 horas.
4) Um colecionador possui uma determinada coleção de moedas. Contando-as de 12 em 12 ou de 15
em 15 ou de 36 em 36, sempre obteve uma quantidade exata de grupos, sem sobrar nenhuma moeda.
Quantas moedas possui?
O mmc é o número de moedas procurado, porque ele pode ser simultaneamente dividido por 12, por
15 e por 36. Logo, mmc(12; 15; 36) = 180, que é o número de moedas que o colecionador possui.
5) Encontre o menor número natural que quando dividido por 2, 3, 5, 9 deixa sempre resto igual a 1.
O mmc(2, 3, 5, 9) = 90, ou seja, 2 . 3 . 3 . 5 = 90, dessa forma o número que queremos é o (90 + 1), pois
2 . 3 . 3 . 5 = 90 + 1, ou seja, deixa resto 1. Resposta 91.
6) Um comerciante tentou colocar n camisas em caixas com 4 unidades, mas ficaram sobrando 3. Ao
tentar colocá-las em caixas com 7, sobraram 6. Ao tentar colocá-las em caixas com 11, sobraram 10.
O número mínimo de camisas que esse comerciante tinha era:
Fazendo o mmc de (4; 7; 11), temos 308, como sobravam camisas, por tentativa, chegamos ao número
307, que dividido por 4, deixa resto 3, satisfazendo o enunciado. Resposta 307
7) No sítio de Francisco, a colheita de laranjas ficou entre 500 e 1500 unidades. Se essas laranjas
fossem colocadas em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam 12 laranjas e se fossem colocadas
em sacos com 36 unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas. Assim sendo, quantas laranjas
sobrariam se elas fossem colocadas em sacos com 35 unidades cada um?
Fazendo o mmc de 50 e 36, temos 900, como sobram laranjas, por tentativa, chegamos ao número
912, que dividido por 36, deixa resto 12, atendendo o enunciado. E, 912 dividido por 35, deixa resto 2.
Resposta 2 laranjas.
8) Calcule o mmc e o mdc entre A e B, sendo A = a5 . b3 . x4 . y2 . t e B = a3 . b4 . x6 . y . s.
mmc(A,B) = a5b4x6y2ts, que é o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente;
mdc(A,B) = a3b3x4y, que é o produto só dos fatores comuns e de menor expoente.
9) O produto de dois números é 2400 e o mdc deles é 20. Calcule o seu mmc.
mmc (a, b) . mdc (a, b) = 2400, propriedade: o produto do mdc pelo mmc de dois números é igual ao
produto dos dois números.
mmc (a, b) . 20 = 2400
2400
𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) =
= 120
20
10) Calcule o maior número pelo qual dividindo-se 690 e 387, obtemos, respectivamente, os restos 15
e 27.
Subtraindo 15 de 690 e 27 de 387, obtemos os números 675 e 360 e o mdc(675, 360) = 45.
11) (UNICAMP) Dividindo-se 7.040 por n, obtém-se resto 20. Dividindo-se 12.384 por n, obtém-se resto
9. O valor de n é:
Seguindo o raciocínio do exemplo acima, temos: mdc(7020; 12375) = 45
12) Obtenha todos os números compreendidos entre 1000 e 2300 que sejam divisíveis
simultaneamente por 10; 21 e 60.
O menor número divisível simultaneamente por 10; 21 e 60 é o mmc(10; 21; 60) = 420. Entre 1000 e
2300 estão os seguintes múltiplos que satisfazem a condição do exercício: 3 . 420 = 1260; 4 . 420 =
1680 e 5 . 420 = 2100, logo os números procurados são: 1260; 1680 e 2100.
13) A capacidade de 3 reservatórios é de 6000 litros, 3200 litros e 2500 litros, respectivamente. Quer
se construir um quarto reservatório, de modo que, ao ser usada a sua capacidade total, venha a ser
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preenchido um número exato de vezes com o líquido contido em cada um dos três reservatórios citados,
separadamente. Qual deve ser a capacidade do reservatório construído?
Basta calcularmos o mdc das três litragens dadas, mdc(6000; 3200; 2500) = 100 litros. Dessa forma, o
reservatório de 6000 litros poderá preencher 60 vezes o quarto reservatório; o de 3200 litros, 32 vezes,
o de 2500 livtros, 25 vezes; os três exatamente.
14) Uma empresa de transporte de cargas possui cinco caminhões: A, B,C, D e E. O caminhão A
permanece fora do recinto da empresa a ela retornando a cada 12 dias; o caminhão B, a cada 5 dias;
o caminhão C, a cada 10 dias; o caminhão D, a cada 4 dias e o caminhão E, a cada 3 dias. No dia 20
de um determinado mês, os 5 caminhões encontravam-se no recinto da empresa. Na próxima vez em
que os 5 caminhões voltarem a se encontrar no recinto da empresa, quantas viajens terão sido
realizadas pelo caminhão D?
mmc(12; 5; 10; 4; 3) = 60 dias e 60 : 4 = 15 viagens.
15) (Unesp) Durante um evento, o organizador pretende distribuir, como brindes, a alguns dos
participantes, caixas (kits), com o mesmo conteúdo, formado de camisetas e chaveiros. Sabe-se que
ele possui exatamente 200 camisetas e 120 chaveiros. Determine o número máximo de caixas, com o
mesmo conteúdo, que o organizador conseguirá formar utilizando todos os chaveiros e camisetas
disponíveis.
Todas as n caixas devem ter o mesmo conteúdo, isto é, o mesmo número x de camisetas e o mesmo
número y de chaveiros. Logo 200 = nx, 120 = ny e, portanto, n é um divisor comum de 200 e 120.
Assim, o número máximo de caixas é mdc (200, 120) = 23 ⋅ 5 = 40
16) Uma sala retangular de dimensões 36 m e 40 m deverá ter o seu piso preenchido com placas
idênticas, de formato quadrado e dimensões inteiras. Qual é o menor número de placas quadradas
necessário para revestir esse piso nas condições dadas, de maneira que não haja cortes ou sobras de
material?
Seja x a medida do lado de cada placa quadrada. Observe que, para que não haja sobra de material,
a medida x deve ser um divisor de 36 e de 40. Para que tenhamos o menor número de placas, é
necessário que a medida x seja a maior possível. Portanto, x = MDC (36, 40) = 4 m.
O número de placas é obtido dividindo-se a área total da sala pela área de uma das placas quadradas.
Logo, 90 placas.
17) Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o máximo divisor comum entre eles é 18, quais
são esses números?
Se X e Y são os números procurados, eles devem ser múltiplos de 18 e podem ser escritos na forma
X=18a e Y=18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a-18b=126, de onde segue que 18(ab)=18 . 7, o que é equivalente a: a – b = 7. Tomando a=8 e b=1 teremos X=144 e Y=18.
Base decimal e binária (a computação e a matemática)
A maioria dos seres humanos entendem o sistema decimal, enquanto os computadores digitais usam
o sistema de base 2 ou numeração binária. Tratando com números binários o termo bit significa digito
binário. Um byte possui 8 bits.
Uma base de um sistema numérico é um conjunto de símbolos usados para representar as
quantidades.
Base 10 (Decimal): B10 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Exemplos:
1) 723 = 7 . 102 + 2 . 101 + 3 . 100
2) 38 = 3 . 101 + 8 . 100
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3) 723 + 38 =
7 . 102 + 2 . 101 + 3 . 100 + 3 . 101 + 8 . 100
7 . 102 + 5 . 101 + 11 . 100
7 . 102 + 6 . 101 + 1 . 100
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Base 2 (Binário): B2 = {0; 1}
Transformação de bases de numeração
Vamos converter 25 de decimal para binário:
Vamos converter 11001 de binário em decimal:
1
1
0
0
1
24
23
22
21
1 . 24
1 . 16
16
1 . 23
1.8
8
0 . 22
0.4
0
0 . 21
0.2
0
20
1 . 20
1.1
1
+
+
+
+
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Exemplo de Exercício: (ENEM-adaptado) O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados,
consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico
passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1.
Observe a seguir um exemplo simplificado de um código em um sistema de 20 barras.
Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: 01011010111010110001. Se o leitor óptico for passado da
direita para a esquerda irá ler: 10001101011101011010. No sistema de código de barras, para se organizar o processo de
leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a
direita igual à da direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000. Faça o desenho de 6 sistemas de códigos
que utilize apenas cinco barras, nos quais a leitura da esquerda para a direita, seja igual a leitura da direita para a esquerda,
em seguida, converta esses 6 códigos, para o sistema decimal.
Piada nerd: O 2 disse para o 10: “_ Você é grande mais não é 2.” O 10 respondeu: “_ Vá estudar binário!”