Equações Diferenciais

Guia de aulas:
Equações diferenciais
Prof. Carlos Vidigal
Profª. Érika Vidigal
1º Semestre de 2013
Índice
1.Introdução................................................................................................................................................ 3
2. Equações Diferenciais de 1ª Ordem .................................................................................................... 7
2.1. Equações Diferenciais Separáveis.................................................................................................... 7
2.2. Modelagem ....................................................................................................................................... 9
2.3 Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem ...................................................................... 13
2.4 Aplicações ........................................................................................................................................ 17
3. EDO de 2º ordem com coeficientes constantes ............................................................................... 20
3.1 Solução geral da EDO homogênea de 2ª. Ordem e Coeficientes Constantes ................................ 21
3.2 Equações Lineares Não-homogêneas de Segunda Ordem ............................................................. 25
3.4 Aplicações ........................................................................................................................................ 28
5. Tabelas ................................................................................................................................................. 31
Algumas derivadas ................................................................................................................................ 31
Algumas integrais ................................................................................................................................. 32
Integração por partes: .......................................................................................................................... 32
Algumas fórmulas trigonométricas: ..................................................................................................... 33
Revisão: Derivadas.................................................................................................................................. 34
Revisão: Integrais .................................................................................................................................... 38
Este símbolo indica uma Leitura
Obrigatória do livro texto.
Este símbolo indica uma série de
Exercícios Sugeridos do livro texto.
“A intuição não é um guia seguro”
Gödel
1.Introdução
Equações envolvendo derivadas (ou diferenciais) da função incógnita são chamadas equações
diferenciais, em que a incógnita não é um número, mas uma função. Portanto, uma equação diferencial é
uma relação entre uma função e suas derivadas. Neste curso, estudaremos alguns métodos de resolver
equações diferenciais.
Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como:
F(x, y, y’ , y ’’, ... , y (n)) = 0
ou
F(x, y,
dy d 2 y
dny
,
, ...,
) = 0.
dx dx 2
dx n
Se a equação envolve apenas derivadas ordinárias (uma variável) temos uma equação diferencial
ordinária. Se envolver derivadas parciais (mais de uma variável) temos uma equação diferencial parcial.
As expressões seguintes são alguns exemplos de equações diferenciais.
4
3
d 2 y  dy 
2d y
 2y
  3  0
D. x
dx 3
dx 2  dx 
dy
A.
 x2 y
dx
B.
C.
dy
 sen x
dx
d2y
dx 2
x
E. e x dy  x 2 y dx  2
dy
y0
dx
F.
 2u
x 2

 2u
t 2
 0 , onde u = (x, t)
ORDEM: de uma equação diferencial é o número n que corresponde à ordem máxima das derivadas da
equação.
1ª. Ordem:
dy
 x2 y
dx
4
3
d 2 y  dy 
2d y
 2y
  3  0
3ª. Ordem: x
dx 3
dx 2  dx 
2ª. Ordem:
d2y
dx 2
x
 2u  2u
dy

 0 , onde u = (x, t) .
 y  0;
dx
x 2 t 2
GRAU: de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem.
3
d2y
dy  dy 
7    0
dx  dx 
dx 2
2ª. Ordem, 1º. Grau
2
dy
 dy 
  3  y  0
dx
 dx 
1ª. Ordem, 2º. Grau
SOLUÇÃO: de uma equação diferencial é uma função y = f (x) a qual, juntamente com as suas
derivadas, satisfaz a equação diferencial dada.
Exemplo 1: Verificar se y = 4.e-x + 5 é uma solução particular da equação diferencial
Exemplo 2: Verificar se y =
primeiro grau
d 2 y dy

 0.
dx 2 dx
1  C.e x
é uma solução geral da equação diferencial de primeira ordem e
1  C.e x
dy 1 2
 ( y  1) .
dx 2
Exemplo 3: Verificar que y = A.cosx + B.senx é uma solução geral da equação diferencial y’’ + y = 0.
SOLUÇÃO PARTICULAR: Uma equação diferencial pode ter mais do que uma solução particular.
Uma solução y = f(x) de uma equação diferencial de ordem n contendo constantes arbitrárias é
chamada uma solução geral.
Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem representa uma
família de curvas conhecidas como curvas-solução uma para cada valor da constante arbitrária.
Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma condição
inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular de y, y0,
correspondente a um valor particular de x, x0. Isto é, se y = f(x) pode ser uma solução da equação
diferencial, então a função deve satisfazer a condição: y0 = f(x0). O problema de ser dada uma equação
diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor inicial.
Exemplo 4: Mostre que y = C.e-2x é uma solução para a equação diferencial y’ + 2y = 0 e encontre a
solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3.
Exercícios
Constatar a ordem e o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais.
1.
dy
 x2  y2
dx
5. y’’’- 4y’’ + xy = 0
2
dy
 dy 
2.    3x  2  0
dx
 dx 
3.
d2y
dx
4. x 2
2
 5 xy
dy
 x2 y
dx
6. y’+ x.cosx = 0
7. (y’’)3 - xy’ + y’’ = 0
2
dy
 dy 
 y   0
dx
 dx 
8. y’’+ ex y = 2
Verificar se cada uma das funções dadas y = f(x) é uma solução da equação diferencial dada.
9.
dy
 3 ; y = 3x – 7
dx
10.
dy
 y  2 x  4  x 2 ; y = x2 - 4x
dx
11. x
dy
 2 y  4 x ; y = x2 - 4x
dx
12. x
13.
14.
dy
 x 2  y ; y = x2 + Cx
dx
d2y
dx 2
d2y
dx
2
 16 y  0 ; y = A.sen4x + B.cos4x
 20x 3 ; y = x5 + 3x - 2
2. Equações Diferenciais de 1ª Ordem
Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equação diferencial envolvendo apenas primeira
derivada.
2.1. Equações Diferenciais Separáveis
Para esse tipo de equação, pode-se juntar todos os termos contendo x com dx e todos os termos contendo
y com dy, obtendo-se uma solução através de integração. Tais equações são ditas separáveis, e o método de
solução é o método de separação de variáveis.
Método de Separação de Variáveis
1. Coloque a equação na forma diferencial
M(x)dx + N(y)dy = 0 ou M(x)dx = - N(y)dy
2. Integre para obter a solução geral
 M ( x)dx   N ( y)dy  C .
Exemplo 1: Determinar a solução geral da equação diferencial x2 yy’ – 2xy3 = 0.
Obs.: Quando a solução de uma equação diferencial envolver a integração de um termo na forma
escrevemos agora

du
 ln u  C em vez de
u

du
,
u
du
 ln u  C . Estamos agora percebendo que a solução é
u
válida apenas quando u é positivo. Lembrar também de incluir a constante de integração C.
Lembrete: Propriedades para logaritmo na base e
Sendo a > 0 e b > 0 e IR, então:
P1) ln (a . b) = ln a + ln b
P3) ln (a) = .ln a
P2) ln (a : b) = ln a - ln b
P4) e
lna
= a
Exemplo 2: Resolver a equação diferencial y ' 
y
x2 1
.
Exemplo 3: Resolver a equação diferencial x(1 + y2) – y(1 + x2)y’= 0.
Exemplo 4: Resolver a equação diferencial y’ – 2x = 0 sujeita à condição inicial y(2) = 1.
2.2. Modelagem
Lei de Resfriamento de Newton
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em
resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura cte Tm do meio
ambiente, isto é:
dT/ dt = k(T – Tm) ,
em que k é uma cte de proporcionalidade.
Exemplo: Um ovo duro, a 98º C, é colocado em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 minutos, a
temperatura do ovo é de 38º C. Suponha que durante o experimento a temperatura da água não aumente
apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 20º C?
Coeficiente Angular
Determine uma curva que seja definida pela condição de ter em todos os pontos (x,y) a inclinação
dy
dx
igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto.
Se y  y(x) é a equação da curva, então, para resolver este problema devemos resolver a
equação diferencial.
dy
 2( x  y )
dx
Transformação Química
100 gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformadas em dextrose numa razão que é
proporcional à quantidade não transformada. Deseja-se saber quanto açúcar foi transformado após t minutos.
Se q é o número de gramas convertido em t minutos e k é a constante de proporcionalidade,
então, a equação deste problema é dada por:
dq
 k (100  q)
dt
Sabendo q(0) = 100.
Exercícios
1. O preço de revenda de certa máquina descreve em um período de 10 anos, segundo uma taxa que
depende do tempo de uso da máquina. Quando a máquina tem t anos de uso, a taxa de variação do seu
valor é 220(t-10) reais por ano. Expresse o valor da máquina como função do tempo de uso e do valor
inicial. Se a máquina valia originalmente R$ 12.000,00, quanto valerá quando tiver 10 anos de uso? (V(t)
= 110.t² - 2.200t + C e V(10) = R$ 1.000,00)
2. Segundo estatísticas, a população de certo lugar está crescendo a uma taxa aproximada de 1.500 t-1/2
pessoas por ano, sendo t o número de anos transcorridos após 1990. Em 1999, a população deste lugar era
de 39.000 pessoas.
(a) Qual era a população, em 1990? (30.000)
(b) Se este tipo de crescimento continuar no futuro, quantas pessoas estarão vivendo neste lugar, em 2015?
(45.000)
3. Em certa região, às 7 horas da manhã, o nível de ozônio no ar é de 0,25 partes por milhão. Ao meio-dia,
sabe-se que, depois de t horas, a taxa de variação do ozônio no ar será de
0,24  0,03t
36  16t  t 2
partes por
milhão por hora.
(a) Expresse o nível de ozônio como função de t. (Q(t) = 0,03.(36 + 16t –t²)1/2 + 0,07)
(b) Quando ocorre o pico do nível de ozônio? Qual é o nível de ozônio, neste momento? (0,37 ppm até as 15h)
4. A taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do
meio circundante. Um objeto cuja temperatura era de 40 graus foi colocado num ambiente cuja
temperatura é de 80 graus. Após 20 minutos, a temperatura do objeto chegou a 50 graus. Expresse a
temperatura do objeto como função do tempo. (T(t) = 80 – 40.e-0,014t )
2.3 Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem
Forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n:
a n x 
dn y
dx
n
 a n -1 x 
d n -1 y
dx
n -1
   a1 x 
dy
 a 0 x y  g(x) .
dx
A linearidade significa que todos os coeficientes são funções de x somente e que y e todas as suas
derivadas são elevadas à primeira potência. Quando n = 1, obtemos uma equação linear de primeira ordem.
Definição Equação Linear
Uma equação diferencial que pode ser escrita na forma
dy
 Px .y  Q(x)
dx
é chamada de equação linear.
O método para solução das Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem consiste em
multiplicar equação toda por uma função (x,y) chamada fator de integração.
Método “Fator Integrante”
(1)
Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque – a na forma abaixo, isto é,
faça o coeficiente de
dy
 p ( x) y  f ( x)
dx
(2)
Identifique P(x) e encontre o fator de integração
 ( x)  e  P( x)dx
(3)
Multiplique a equação obtida em pelo fator de integração:
 ( x)
(4)
dy
  ( x) p ( x) y   ( x) f ( x)
dx
O lado esquerdo da equação em é a derivada do produto do fator de integração e a variável
independente y; isto é,


dy  P ( x ) dx
e
y  e  P ( x ) dx f ( x)
dx
(5)
Integre ambos os lados da equação encontrada e obtemos
 ( x) y    ( x) f ( x)dx
Exemplo: Encontre a solução geral das equações diferenciais a seguir:
a)
dy
 3y  x
dx
b) y'  e x  2 y
c) y' y  1  2 x
d) y '
y
 x2
x
e)
dx
 2 x  sent
dt
f)
x
dy
 4y  x 6 e x
dx
2.4 Aplicações
Circuito Elétrico RL
Em um circuito em série contendo somente um resistor e um indutor, a Segunda lei de Kirchhoff diz que a
soma da queda de tensão no indutor ( L(di / dt )) e da queda de tensão no resistor (iR ) é igual à voltagem
( E (t )) no circuito (circuito em Série L-R). Portanto, obtemos a equação diferencial linear para a corrente
i(t),
L
di
 R i  E (t )
dt
,
onde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A corrente é
algumas vezes chamada de resposta do sistema.
Circuito Elétrico RC
A queda de potencial em um capacitor com capacitância C é dada por q(t ) / C , em que q é a carga no
capacitor. Então, para o circuito em série R-C, a Segunda lei de Kirchhoff nos dá a equação R i 
Mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i 
R
1
q  E (t )
C
dq
, logo temos a equação diferencial linear
dt
dq 1
 q  E (t ) .
dt C
Exemplo Suponha que um circuito simples a resistência é 550  (ohms), a indutância é de 4 H (henry) e
a pilha fornece uma voltagem constante de 110 V (volts). Determine a corrente I se a corrente inicial é zero.
Exercícios:
1. Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/2 henry e a
resistência, 10 ohms. Determine a corrente i, se a corrente inicial é zero. O que acontece quando t   .
6(1  e 20t )
6
Resp.: i( t ) 
 , quando t   .
5
5
2. Uma força eletromotriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em série L-R no qual a indutância é de
0,5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a corrente i(t) se i (0)  0 . Determine a corrente quando t   .
3(1  e 500t )
3
Resp.: i( t ) 
 , quando t   .
5
5
3. Uma força eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é de 200
ohms e a capacitância, 10-4 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Encontre a corrente i(t).
1  e 50t
e 50t
Resp.: q( t ) 
.
, i( t ) 
100
2
4. Uma força eletromotriz (fem) de 200 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é de
1000 ohms e a capacitância, 5 x 10-6 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor se i(0) = 0,4. Encontre a carga
quando t   .
1 e 200t
1
Resp.: q( t )  
 , quando t   .
5
500
5
3. EDO de 2º ordem com coeficientes constantes
São equações da forma
a y’’ + b y’ + c y = f (x)
(N.H.)
onde a, b, c são constantes reais. A equação
a y’’ + b y’ + c y = 0,
(H.)
é chamada equação homogênea associada à não-homogênea.
Exemplo:
A equação 2y’’ + 3y’ – 5y = 0 é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem homogênea.

A equação 2xy’’ + 5y’ + 6y = ex é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem nãohomogênea.
Teorema: Sejam u(x) e v(x) soluções LI de (H). Então, a solução geral de (H) é dada por:
yH (x) = c1 u(x) + c2 v(x).
Além disso, a solução de (NH) é da forma
yNH (x) = c1 u(x) + c2 v(x) + yP (x),
onde c1 e c2 são constantes genéricas e yP (x) é uma solução particular de (NH).
Exemplo 1: Em relação a equação y’’ + 4y = 8e2x , mostre que:
a) yH (x) = c1 cos2x + c2 sen2x é a solução geral de (H);
b) yP (x) = e2x é uma solução particular de (NH);
c) y (x) = yH (x) + e2x é solução de (NH).
3.1 Solução geral da EDO homogênea de 2ª. Ordem e Coeficientes Constantes
Forma Geral: ay’’ + by’ + cy = 0
Suponha que y = erx , onde r é um parâmetro a ser determinado.
Vem então y’ = r.erx e y’’ = r2.erx . Levando as expressões de y, de y’ e de y ’’ na Equação (H), obtemos:
(ar2 + br + c).erx = 0,
ou, como erx  0,
ar2 + br + c = 0.
que é chamada equação característica da equação diferencial (H).
Teorema Solução geral de uma equação linear homogênea (H)
Raízes Reais Distintas Se r1  r2 são raízes reais distintas da equação característica, então a solução geral é:
y = c1. e r1 x + c2 .er2 x.
Raízes Reais Iguais Se r1 = r2 são raízes reais iguais da equação característica, então a solução geral é:
y = c1. e r x + c2 .x.er
x
= (c1 + c2 .x)er x.
Raízes Complexas Se r1 =  + i e r2 =  - i são raízes complexas da equação característica, então a
solução geral é:
y = c1. e x cosx + c2 . e x senx.
Exemplo 1: Achar a solução geral da equação diferencial y’’ + 6y’ + 12y = 0.
OBS: Observe, no exemplo anterior, que, embora a equação característica tenha duas raízes complexas, a
solução da equação diferencial é real.
Exemplo 2: Achar a solução do problema de valor inicial y ’’ + 4y ’ + 4y = 0; y(0) = 2; y’(0) = 1.
Exemplo 3: Achar a solução do problema de valor inicial: y ’’ + 5y ’ + 6y = 0; y(0) = 2; y’(0) = 3.
Exercícios
Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
01. y’’ – 5y’ – 14y = 0
02. y’’ – 2y’ – 8y = 0
R.: y = C1 e7x + C2 e-2x
R.:. y = C1 e4x + C2 e-2x
03. y’’ – y = 0
04.. 2y’’ – 13 y’ + 15y = 0
R.: y = C1 ex + C2 e-x
R.: y = C1 e3x/2 + C2 e5x
Determinar a solução particular das seguintes equações diferenciais sujeitas às condições dadas:
05. y’’ – 4y’ = 0; y(0) = 3 e y’(0) = 4
R.: y = 2 + e4x
06. y’’ – y’ – 2y = 0; y(0) = 2 e y’(0) = 1
R.: y = e2x + e-x
07. y’’ – 8y’ + 15y = 0; y(0) = 4 e y’(0) = 2
R.: y = -5e5x + 9e3x
08. y’’ – 6y’ + 9y = 0; y(0) = 2 e y’(0) = 4
R.: y = 2e3x – 2xe3x
3.2 Equações Lineares Não-homogêneas de Segunda Ordem
Teorema Solução geral de uma equação linear não homogênea (NH)
Seja ay” + by’ + cy = F(x) uma equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem. Se yp , é uma
solução particular dessa equação e se yh é a solução geral da equação homogênea correspondente, então:
y = yh + yp.
é a solução geral da equação não-homogênea.
Como já temos as ferramentas para encontrar yh , vamos nos concentrar em formas de encontrar a
solução particular yp. Se a função F(x) consiste em somas ou produtos de
xn, emx, cosx, senx
podemos encontrar urna solução particular pelo método dos coeficientes a determinar. A idéia do método
é tentar uma solução yp do mesmo tipo que F(x). Eis alguns exemplos:
1.
Se F(x) = 5x + 4, escolha yp = Ax + B;
2.
Se F(x) = 2xex,+ 5ex escolha yp = (Ax + B)ex = Axex + Bex;
3.
Se F(x) = x² + 9 – cos7x, escolha y p = (Ax2 + Bx + C) + C.sen7x + D.cos7x.
Depois, por substituição, determinamos os coeficientes dessa solução. Os próximos exemplos
ilustram esse método.
Exemplo: Encontre a solução geral da equação y”- 2y’ – 3y = 2.senx.
Encontre a solução geral da equação y’’ – 2y’ = x + 2ex.
Exercícios
Determine a forma de uma solução particular para:
01. y’’ – 8y’ + 25 y = 5x3 e-x –7e-x
02. y’’ + 4y = x.cosx
03. y’’ – 9y’ + 14y = 3x2 – 5sen2x + 7xe7x
Encontre a solução geral das seguintes equações:
04. y’’ + 4y’ – 2y = 2x2 – 3x + 6
R. :y(x) = C1.e
 2  6 . x  C .e 2  6 . x  x 2  5 x  9.
2
2
05. y’’+ y = 4x + 10 senx; y() = 0 e y’() = 2.
R.: y(x) = 9.cosx + 7senx + 4x – 5xcosx.
3.4 Aplicações
Exemplo: Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola é dado por
y’’ + 2y = 0; y(0) = 0; y’(0) = 1
(a) Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial.
(b) Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.
Exemplo 2: Se um sistema massa-mola com uma massa de 2 kg e uma mola com constante de
elasticidade igual 0,5 N/m é colocado em movimento, no instante t = 0, num meio em que a constante de
amortecimento é igual a 1 N.s/m, determine a posição da massa em qualquer instante t, considerando a
posição inicial igual u0 e a velocidade inicial u’0.
Exercícios
1. Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola ´e dado por
2y’’ + 3y = 0; y(0) = 1; y’(0) = 0
(a) Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial.
(b) Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.
2. Uma mola, de um sistema massa-mola sem amortecimento, tem constante igual a 3 N/m. Pendura-se na
mola uma massa de 2 kg e o sistema sofre a ação de uma força externa de 3 cos(3t). Determine a função que
descreve o movimento da massa em qualquer instante t, considerando a posição inicial igual u 0 e a
velocidade inicial u’0.
4. Tabelas
Algumas derivadas


y=cy =0

y=xy =1

y = c.u  y  = c. u 

y = u + v  y = u  + v 

y = u . v  y = v. u  + u. v 

y = u / v  y  = ( v.u  - u v) / v2

y = u  y  =  u -1.u 

y = au  y  = au lna.u 

y = eu  y  = eu.u 

(10) y  log a u  y '  u' / u .loga e

y = ln u  y = ( u / u)

y = uv  y  = v. uv -1. u  + uv. ln u. v 

y = sen u  y  = cos u. u 

y = cos u  y = - sen u. u

y = tg u  y  = sec2 u. u 

y = cotg u  y = - cosec2 u. u

y = sec u  y  = sec u. tg u. u 

y = cosec u  y = - cosec u. cotg u. u

y = arc sen u  y  = u  / 1 u 2

y = arc cos u  y  = - u  / 1 u 2

y = arc tg u  y = u / (1 + u2 )

y = arc cotg u  y = - u / (1 + u2 )

y = arc sec u  y  = u  / u . u 2  1

y = arc cosec u  y  = - u  / u . u 2  1













Algumas integrais

 du  u  C



α
 u du 

au
 a du  lna  C

e

 senu du   cos u  C

 cosu du  sen u  C

 tgu du  ln secu  C

 cotgu du  ln senu  C

 cosecu du  ln cosecu  cotgu  C

 secu du  ln secu  tgu  C

 sec

 cosec

 secu.tgu du  secu  C

 cosecu.cot gu du  - cosecu  C


du
 ln u  C
u
u α 1
C
α 1
u
u
du  e u  C
2
u du  tgu  C
2
u du  - cotgu  C
du
a2  u2
du

 a2  u2


 arc sen

du
u u2  a2
u
C
a
1
u
arc tg  C
a
a

1
u
arc sec  C
a
a
Integração por partes:
b
a
b
u dv  u v a   v du .
b
a
Algumas fórmulas trigonométricas:
 sen 2 x  cos 2 x  1
 sec 2 x  1  tg 2 x
 cos sec 2 x  1  cot g 2 x
1  cos 2 x
 cos 2 x 
2
1  cos 2 x
 sen 2 x 
2
 sen 2 x  2 senx cos x
o
 cos 2 x  cos 2 x  sen 2 x
senx
 tgx 
cos x
1
 cot gx 
tgx
1
 sec x 
cos x
1
 cos sec x 
senx

sen(A  B)  sen A cos B  cos A sen B

cos(A  B)  cos A cos B  sen A sen B

senh(A  B)  senhA cosh B  cosh AsenhB

cosh(A  B)  cosh A cosh B  senh A senh B
Revisão: Derivadas
1. f(x)= 5 + 6x2 + 7x
2. f ( x) 
R.: f ´(x) = 12 x + 7
3x
x 1
R.:
3. f ( x )  3 4  x 2
1 

4. f ( x)  3 3  x 2 
2 

5. f ( x)  3x  2 3
4
f ´(x) 
3
( x  1) 2
3 x
R.:
f ´(x) 
R.:
1 

f ´(x)  6  3  x 2   x 
2 

2
4  x2
R.: f ´(x)  4 3 x  2
6. f ( x)  52 x  4 3 5 x  6 3
4
2
1
2
 40 
f ´( x)     2 x  4  3  5 x  6  3 
 3 
R.:
1
4
50

5x  6 3  2 x  4 3
3
f ´( x ) 
7. f ( x) 
3x  1
3x 2  2
R.: 

8. f ´(1) se f ( x) 
2x 3  4
x 2  4x  1


3 3 x 2  2  6 x3x  1
3x
2
2
9 x 2  6  18 x 2  6 x
3x
2
2

2
 9x  6x  6
2
3x
2
R.: f ´(1)  0
2

2

2


 2x  1 
9. f ´(2) se f ( x)  

 3x  1 
4
R.: f ´(2)  
4
5
25
 3.6466
47
10. f ´(3) se f ( x)  2 x 3  4 x  5
R.: f ´(3) 
11. y  e 3 x
R.: y ´ 6 x e 3 x
12. y 
2
e2x
x2
13. y  x 4 ln 3x 2
R.: y ´
2
2 x 2e2x  2 x e2x
x4
 
R.: y ´ 4 x 3 ln 3x 2  2 x 3
14. f ( x )  sen3( 4 x )
R.:12sen2 4 x .cos 4 x 
15. f ( t )  cos ( 3t 2  1 )
R.:  6tsen ( 3t 2  1 )
16. f ( x )  cos 2 x  sen2 x
R.: 0
17. f ( x )  tg 2 ( x  2 )
R.: 2tg ( x  2 ). sec 2 ( x  2 )
18. f ( x )  cos 2 ( 2  5x )
R.: 10 cos ( 2  5x ). sen ( 2  5x )
19. f ( x )  sec ( 8x  1 )
R.: 8 sec ( 8x  1 ). tg ( 8x 1 )
20. f ( x )  tg 2 x  sec 2 x
R.: 0
Revisão: Integrais
dx
a)
 3x  7
b)
x
c)
2 x
 x e dx
x 2  1.dx
R.:
R.:
1
( x 2  1) 3  C
3
3
ln x 2
d) 
dx
x
1
ln(3x  7)  C
3
R.:
1 x3
e C
3
R.: (ln x)2 + C
e)  t 7t 2  12dt
2 2 x
 x e dx
3
f)
sen  2t  1
g)
 cos  2t  1dt
h)
 xe
2
2 x
dx
R.:

1
7t 2  12
21

3
2
c
3
1
R.:  e2 x  c
6
R.:
1
c
2cos  2t  1
1
1
R.:  xe2 x  e2 x  c
2
4
i)
 x sen x dx
j)
e
k)
 x ln 3x dx
R.:
x2
2
l)
2
 tg x sec x dx
R.:
tg 2 x
c
2
2
2x
sen x dx
R.: x2 cos x  2x senx  2cos x  c
R.:


1
2e2 x sen x  e2 x cos x  c
5
1

ln 3x  2   c


m)

10
2
3
5x  1
R.:
dx
24
5
4
n)
 (1  sen 2 x)
3
 cos 2x dx
R.: 1,875
0
o)

4
0
( 2x  1) dx
R.: 8,667