atividades investigativas envolvendo produtos notáveis e equações

ATIVIDADES INVESTIGATIVAS ENVOLVENDO PRODUTOS
NOTÁVEIS E EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Ana Rafaela Correia Ferreira1
Warley Machado Correia2
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Centro Pedagógico da UFMG/Núcleo de Matemática, [email protected]
Centro Pedagógico da UFMG/Núcleo de Matemática, [email protected]
Resumo
Propomos, nesta oficina, o desenvolvimento de tarefas envolvendo produtos notáveis e
equação do segundo grau. Elaboradas sob a forma de investigação, o objetivo das
atividades é explorar geometricamente os produtos notáveis e a resolução de equações
polinomiais do 2° grau, através da fatoração. As atividades apresentadas, podem ser
desenvolvidas com estudantes de 8° e 9° anos do Ensino Fundamental e frequentemente
são utilizadas pelos professores do Centro Pedagógico (CP) da Universidade Federal de
Minas Gerais (UFMG). Nossa intenção é oferecer um material que possa auxiliar os
professores de Matemática, para que tenham um maior conhecimento e segurança ao
desenvolver atividades de investigação, propiciando dessa maneira, mais uma
possibilidade pedagógica de trabalho com esses conteúdos.
Palavras-chave: Ensino de Matemática. Atividades investigativas. Produtos Notáveis.
Equações Polinomiais de segundo grau. Material Concreto.
INTRODUÇÃO
Nossa proposta para esse minicurso envolve o estudo de dois importantes
conteúdos de álgebra: Produtos Notáveis e Equação Polinomial do Segundo Grau. Por
meio de atividades de investigação, apresentaremos uma proposta de trabalho indicando a
resolução de problemas como ponto de partida para a atividade matemática e destacando a
relevância da utilização de materiais concretos em sala de aula.
Nas atividades envolvendo produtos notáveis, trabalharemos os produtos "quadrado
da soma", "quadrado da diferença" e "produto da soma pela diferença" por meio de sua
interpretação geométrica. Para as equações polinomiais de segundo grau, nosso objetivo é
contextualizar o conteúdo a partir de uma situação-problema que envolva uma equação
polinomial do segundo grau e por meio dela, investigar as relações entre álgebra e
geometria, discutir uma das possibilidades de cálculo das soluções de uma equação do 2°
grau, relacionar coeficientes e soluções de uma equação polinomial do 2° grau e introduzir
o cálculo mental para descoberta das soluções e consequentemente para a sua fatoração
Além disso, no minicurso também iremos destacar alguns pontos sobre o ensino de
álgebra no Ensino Fundamental e sobre as potencialidades do trabalho com investigação
nas aulas de Matemática, especialmente nos conteúdos de produtos notáveis e equações
polinomiais do segundo grau.
O ENSINO DE ÁLGEBRA
É muito comum associar a álgebra à manipulação mecânica de símbolos, o que
pode ser traduzido como uma sensação de inutilidade. Isso acontece porque, muitas vezes,
o ensino de álgebra se reduz a um “amontoado” de fórmulas, equações e expressões que
são apresentados prontamente, sem discussão de sua origem: “Os estudos realizados sobre
o ensino da álgebra revelaram que muitas das dificuldades demonstradas pelos alunos
surgem porque a álgebra simbólica é introduzida já pronta” (DECHEN, 2009, p. 1).
Contudo, o estudo da álgebra pode se constituir em um espaço bastante significativo para
que os estudantes desenvolvam as capacidades de abstração e generalização,
possibilitando a aquisição de uma poderosa ferramenta para a resolução de problemas
(BRASIL, 1998).
Especialmente no último ciclo do Ensino Fundamental, os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN’s) adotam como ponto de partida para o ensino de álgebra que as noções
algébricas sejam exploradas por meio de jogos, generalizações e representações
matemáticas, em detrimento de procedimentos puramente mecânicos de lidar com as
expressões e equações. Assim, para além da simples manipulação de símbolos e expressões
algébricas, os alunos podem experimentar situações em que seja possível inter-relacionar
as diferentes concepções da Álgebra.
Ao privilegiar o estudo do cálculo algébrico e das equações, em desarticulação com
as outras dimensões da álgebra, desvaloriza-se seu potencial formativo em relação à
“capacidade de lidar com outras relações e estruturas matemáticas e usá-las na
interpretação e resolução de problemas matemáticos ou de outros domínios” (PONTE,
BRANCO, MATOS, 2009, p. 10). Articular essas dimensões é um desafio, de modo a
evidenciar todo o potencial formativo da matemática para os estudantes.
Este planejamento insere-se, de acordo com os PCN’s, numa perspectiva de
“resolução de situações-problema que podem ser resolvidas por uma equação do segundo
grau cujas raízes sejam obtidas pela fatoração, discutindo o significado dessas raízes em
confronto com a situação proposta” (BRASIL, 1998, p. 88). Além disso, procura fazer uma
interlocução entre a álgebra e a geometria, através da manipulação de materiais concretos.
ATIVIDADES INVESTIGATIVAS NAS AULAS DE MATEMÁTICA
Um dos objetivos do Ensino Fundamental é que o aluno desempenhe um papel
ativo na construção do seu conhecimento (BRASIL, 1998). Para tanto, a escolha de uma
postura investigativa para a condução dessa aula tem por objetivo possibilitar “uma visão
global da matemática ao envolver os alunos em processos característicos desta, tais como
exploração de hipóteses, fazer e testar conjecturas, generalizar e provar resultados”
(ABRANTES, PONTE, BRUNHEIRA, 1999, p. 1). Considerando que a aprendizagem da
Matemática deve contemplar oportunidades dos alunos se envolverem em momentos de
atividade matemática, as tarefas de exploração e investigação ganham importância como
um recurso que possibilita os alunos se engajarem em seu próprio desenvolvimento.
Na Matemática, assim como em qualquer outra disciplina, o envolvimento do aluno
é condição fundamental da aprendizagem, conforme sugere Brocardo, Oliveira e Ponte
(2003).
A matemática pode dar sua contribuição à formação do cidadão ao desenvolver
metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação e
justificativas de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho
coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade para
enfrentar desafios (BRASIL, 1998, p. 27).
Na álgebra há um interessante campo para a escolha de tarefas de natureza
exploratória e investigativa que podem ser desenvolvidas na sala de aula, evitando, assim,
uma visão da Matemática centrada na execução de algoritmos e em “receitas” para resolver
os típicos exercícios (cf. Abrantes, 1999; Ernest, 1996; Brocardo, Oliveira e Ponte, 2003):
Atividades de investigação podem conformar uma concepção de matemática
como algo dinâmico, do conhecimento matemático como em construção, através
do desenvolvimento de ideias e processos, constituintes do pensar e fazer
matemáticos (FROTA, 2005, p. 2).
Para nossas atividades optamos pela utilização de materiais concretos, pois
acreditamos que pode favorecer o processo de ensino-aprendizagem. Esses materiais
permitem aos alunos pesquisar, testar hipóteses, visualizar, simular, que eles construam
“uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam
atitudes positivas diante do seu estudo” (BRASIL, 1998, p. 44). Além disso, ao utilizar
esse recurso, possibilitamos ao estudante conferir um tipo de significado às expressões,
interpretando geometricamente, de forma inicial, os cálculos algébricos, além de ser
apresentar um apelo lúdico.
ASPECTOS METODOLÓGICOS
O minicurso é destinado a professores de Matemática do Ensino Fundamental e
demais professores interessados pelo estudo de álgebra. Inicialmente faremos uma
abordagem teórica sobre o ensino de álgebra e as atividades de investigação como recurso
pedagógico.
Sobre as tarefas a serem desenvolvidas, que foram elaboradas sob a forma de
investigação, será proposto uma sequência de atividades dividida em quatro partes,
tomando como ponto de partida, uma situação-problema. A primeira parte das atividades
consiste em conhecer o material que será utilizado, explorando, dessa forma, os conceitos
de área e de polinômios. Aqui desenvolveremos os produtos notáveis a partir do conceito
de áreas de quadrados, cujos lados são expressões algébricas.
A segunda parte, já envolvendo equação polinomial do segundo grau, utilizaremos
o material como apoio no cálculo das soluções de uma equação, do tipo ax2 + bx + c = 0,
sempre com a = 1, b e c > 0. Com a utilização do material, o aluno deverá formar
retângulos que representem o polinômio que forma a equação. Nessa mesma tarefa,
propomos uma investigação inicial entre os coeficientes e as raízes da equação.
Na terceira parte da tarefa, trabalharemos com equações do tipo ax 2 + bx + c = 0,
porém com a ≠ 1 e b e c > 0. Fazendo a utilização do material proposto para a oficina,
buscar-se-á representar o polinômio da equação e fazer uma investigação entre os
coeficientes e as raízes da equação.
Na última parte da atividade proposta, utilizaremos equações do tipo ax2 + bx + c =
0, porém com os coeficientes a, b e c representando quaisquer números inteiros. Nesse
caso parte das peças poderão ser utilizadas como sobreposição de figuras para forma
retângulos cujas áreas representem o polinômio proposto na equação. Finalizaremos
fazendo a relação dos coeficientes com as raízes da equação.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A oficina que estamos propondo associa duas metodologias para o ensino da álgebra:
as atividades de investigação e a utilização de material concreto, tendo como ponto de
partida a resolução de problemas. Nesse contexto, utilizaremos atividades em que, através
da manipulação e da investigação, é possível discutir aspectos teóricos acerca de produtos
notáveis e equações polinomiais do segundo grau, bem como do processo de ensino e
aprendizagem de Matemática no Ensino Fundamental.
Fazendo o uso das atividades que vamos propor, buscamos oportunizar momentos de
aprendizagem ativa para alunos e professores. O professor, quando adota métodos não
convencionais e diversificados, em especial, as atividades de investigação, ele pode tornar
as aulas mais atrativas para os estudantes, que assumem um papel de construtores do seu
próprio conhecimento.
REFERÊNCIAS
ABRANTES, P. Investigações em geometria na sala de aula. In: ABRANTES, P. PONTE,
J.P. FONSECA, H. (Org), Investigações matemáticas na aula e no currículo. Lisboa:
Projecto MPT e APM, 1999, p. 153-167.
ABRANTES, P; PONTE, J. P.; BRUNHEIRA, L. Investigações matemáticas na aula e no
currículo. Lisboa, APM, 1999.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros curriculares nacionais terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental:
matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1998.
BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. PONTE, J.P. Investigações Matemáticas na Sala de
Aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. 149 p.
DECHEN, T. Tarefas exploratório-investigativas para o ensino de álgebra na 6ª série do
ensino fundamental: indícios de formação e desenvolvimento da linguagem e do
pensamento algébricos. In: 17º COLE - Congresso de Leitura do Brasil, 2009, Campinas.
Anais do 17º COLE, 2009.
ERNEST, P. (1996) Investigações, Resolução de Problemas e Pedagogia. P. Abrantes, L.C.
Leal, J.P. Ponte (Eds.). Investigar para aprender matemática, (pp. 25-48). Lisboa: Projecto
MPT e APM.
FROTA, M.C.R. Experiência Matemática e Investigação matemática. V CIBEM, Porto,
Portugal, jul. 2005. Disponível em: <http://www.matematica.pucminas.br/Grupo%20de%
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04 maio. 2010.
PONTE, J. P.; BRANCO, N.; MATOS, A. Álgebra no ensino básico. Lisboa: Ministério
da Educação, 2009. Disponível em: <http://area.dgidc.min-du.pt/materiais_NPMEB/
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