Dipolo Elétrico - professor Daniel Orquiza de Carvalho
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Prof.DanielOrquiza EletromagnetismoI EletromagnetismoI Prof.DanielOrquizadeCarvalho SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico (Capítulo 4 – Páginas 96 a 100) • Cálculo da distribuição de potencial de um dipolo elétrico. • Cálculo da distribuição de campo elétrico de um dipolo elétrico. EletromagnetismoI 2 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico • Um dipolo elétrico é um para de cargas pontuais de sinais opostos, separadas por uma distância finita ‘d’ em uma dada posição do espaço. • O dipolo é útil para entender a interação entre o campo eletrostático e meios materiais (e também vai ser usado no caso de radiação eletromagnética). • Um dado material é descrito como um conjunto de dipolos elétricos. EletromagnetismoI 3 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico • Cada átomo do material corresponde a um dipolo, onde: Ø Carga positiva = núcleo Ø Carga negativa = nuvem de elétrons em órbita ao redor do núcleo. Materiais apolares EletromagnetismoI Sem campo externo 4 Com campo externo Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico • O dipolo elétrico considerado consiste de uma carga positiva em (0, 0, d//2)m e uma carga negativa em (0, 0, - d/2). z Q ! R1 ! r ! R2 θ d x EletromagnetismoI −Q P y ! r! = vetor posição do ponto de observação R1 = vetor distância partindo da carga positiva ! R2 = vetor distância partindo da carga negativa 5 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico • Campo distante: se o ponto de observação estiver distante (r >> d), R1 é paralelo a R2. ! R1 z Q d x P "no infinito" ! r ! R2 y θ −Q EletromagnetismoI 6 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico § Sabemos que potencial em r devido à carga pontual Q é: V1 = Q 1 4πε 0 R1 § O potencial em r devido à carga – Q é: V2 = − Q 1 4πε 0 R2 § O potencial ‘V’ no ponto P é a superposição do potencial das devido às duas cargas: Q ⎛1 1⎞ Q ⎛ R2 − R1 ⎞ V= ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ 4πε 0 ⎝ R1 R2 ⎠ 4πε 0 ⎝ R1R2 ⎠ EletromagnetismoI 7 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico • A diferença entre as distâncias R1 e R2 das cargas até P é d.cosθ. ! R1 z Q d x −Q P "no infinito" ! r ! R2 y θ R2 - R1 = d cosθ ! R1 = R1 EletromagnetismoI 8 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico § O potencial no ponto P fica: Q ⎛ d cosθ ⎞ V= ⎜ ⎟ 4πε 0 ⎝ R1R2 ⎠ § No denominador podemos aproximar: R1R2 ≈ r 2 § A expressão para o potencial fica: V≈ Q d cosθ 4πε 0 r 2 Note que V está expresso em coordenadas esféricas! EletromagnetismoI 9 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico § Já temos uma expressão para o potencial elétrico do dipolo: Q d cosθ V≈ 4πε 0 r 2 § Como calculamos o campo elétrico? ! E = −∇V § O gradiente do campo escalar V em coordenadas esféricas é: ∂V 1 ∂V 1 ∂V ∇V = âr + âθ + âφ ∂r r ∂θ rsenθ ∂φ EletromagnetismoI 10 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico § A distribuição de campo elétrico em coordenadas esféricas, para um dipolo com comprimento ‘d’, orientado na direção ‘z’ e situado na origem: ! ⎞ Q ⎛ 2d cosθ dsenθ E =− − â − â + 0 â ⎜ r θ φ⎟ 3 3 ⎝ ⎠ 4πε 0 r r § Podemos reescrever a expressão acima: ! Qd E= 2 cosθ âr + senθ âθ ) 3( 4πε 0 r EletromagnetismoI 11 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico § Voltando ao potencial elétrico do dipolo: V≈ Q d cosθ 4πε 0 r 2 § É útil definir o momento de dipolo, igual a Q multiplicado pelo vetor distância entre a carga negativa e a positiva. ! ! p = Q d [C.m] § No caso do dipolo anteriormente: ! d = d âz EletromagnetismoI que ! R1 z x Q ! d ! r ! R2 y θ −Q definimos (omomentodedipolopodeterqualquerorientaçãonoespaço) 12 Prof.DanielOrquiza Eletromagnetismo I - Eletrostática SJBV Dipolo Elétrico § O potencial V pode ser reescrito usando o momento de dipolo. Q d cosθ V= 4πε 0 r 2 ! p ⋅ âr = 4πε 0 r 2 Q § A expressão acima pode ser generalizada para um dipolo em qualquer posição r’. ! p ⋅ âR V= ! ! 2 4πε 0 r − r ' (Onde EletromagnetismoI ! ! r −r' âR = ! ! ) r −r' ! R1 z x 13 ! d −Q ! r ! R2 y θ âr Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico Note que: ! p ⋅ âR V= ! ! 2 4πε 0 r − r ' 1 . § O potencial decai com r2 § O campo elétrico decai com ! Qd E= 2 cosθ âr + senθ âθ ) 3( 4πε 0 r 1 . r3 § Tanto E quanto V decaem mais rapidamente do que no caso de uma carga pontual, pois conforme nos afastamos do dipolo, o campo de uma carga cancela o da outra (sinais opostos). EletromagnetismoI 14 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Dipolo Elétrico • As distribuições espaciais do campo elétrico e potencial elétrico são ilustradas abaixo. EletromagnetismoI 15 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Exemplo Um dipolo elétrico posicionado no espaço livre está na origem do sistema de coordenadas e tem um momento de dipolo: ! p = 3âx − 2 ây + âz [nC. m], (a) Calcule V em PA(2, 3, 4). (b) Calcule V em r = 2,5m, θ = 30º, φ = 40º. EletromagnetismoI 16 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Exemplo Dois dipolos elétricos com momentos de dipolo -5az nC.m e 9az nC.m estão localizados nos pontos (0, 0, -2) e (0, 0, 3), respectivamente. Determine o potencial na origem. EletromagnetismoI 17 Prof.DanielOrquiza
