ANÁLISE MATEMÁTICA II

ANÁLISE MATEMÁTICA II
Acetatos de Ana Matos
Séries de Potências
DMAT
Séries de Potências
As séries de potências são uma generalização da noção de
polinómio.
Definição: Sendo x uma variável e a
, chama-se série de
potências centrada em a (série de potências em torno de a
ou série de potências de x a), a qualquer série da forma
an x
a n,
n 0
ou seja
a0
a1 x
a
an x
a
n
onde a n é uma sucessão real (cujos termos se designam por
coeficientes da série de potências).
Em particular, chama-se série de potências de x a qualquer
série da forma
anxn,
n 0
ou seja
a0
a1x
a2x2
anxn
Ao conjunto dos valores reais que, substituídos na série de
potências, originam uma série numérica convergente chama-se
domínio de convergência da série de potências.
Observação: Uma série de potências é uma função de x, cujo
domínio é o conjunto dos valores reais que, substituídos em x,
originam uma série numérica convergente (o domínio de
convergência da série).
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Séries Pot. - 1
Exemplo Importante (série de potências geométrica):
O intervalo
1, 1 é o domínio de convergência da série
xn
x
1
xn
x2
n 0
Mais, para qualquer x
1, 1 ,
1
xn
1
n 0
A série
n 0
x
x n define a função
e só neste intervalo, apesar de
1
1 x
.
1
1 x
em
1, 1 ,
estar definida em
\ 1 .
Raio de convergência e intervalo de convergência
O domínio de convergência de uma série de potências centrada
em a nunca é vazio. De facto,
an a
a
n
a0
0
0
0
a0.
n 0
Portanto, a pertence ao domínio de convergência da série (e
fa
a 0 ).
Mais, o domínio de uma série de potências centrada em a é
sempre um intervalo centrado em a.
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Séries Pot. - 2
Para uma série de potências centrada em a, é satisfeita
exactamente uma das seguintes alternativas:
1. a série de potências é convergente apenas em a;
2. existe um número real R 0 tal que a série de potências é
absolutamente convergente para os valores de x
tais que
|x a| R e diverge para |x a| R;
3. a série é absolutamente convergente para todo o x
Definição: Seja
a x
n 0 n
torno de a e considere-se
R
(com R
0, se lim n |a n |
a
n
.
uma série de potências em
1
lim n |a n |
e R
, se lim n |a n |
0).
A este valor R chama-se raio de convergência da série de
potências.
O intervalo a R, a R designa-se por intervalo de
convergência da série.
Proposição: Seja R o raio de convergência duma série de
potências centrada em a. Então
se R
se R
a R, a
se R
x
.
0, a série é convergente apenas em a.
, a série é absolutamente convergente em
R e divergente em
,a R
a R,
.
a série é absolutamente convergente para todo o
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Séries Pot. - 3
Nota 1: A proposição nada afirma sobre a convergência da
série nos extremos do intervalo de convergência. É necessário
estudar, para a série em causa, o que se passa em cada um dos
extremos do intervalo.
Nota 2: Frequentemente, o domínio de convergência da série de
potências é designado por intervalo de convergência . Não é esta
a convenção que fazemos.
Proposição: O raio de convergência de uma série de potências
n
a
x
a
, de coeficientes diferentes de zero, é igual a
n
n 0
lim aann1 ,
desde que este limite exista.
Exemplo (série exponencial):
A série de potências
n 0
xn
n!
1
x
x2
2!
é absolutamente convergente em
x3
3!
xn
n!
.
(Veremos que a soma desta série é e x , para qualquer x
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.
Séries Pot. - 4
Operações com séries de potência
n
n
Proposição: Sejam f x
a
x
e
g
x
b
x
n
n
n 0
0
duas séries de potência de x, com raios de convergência não
nulos, e R o raio de convergência da primeira série.
Se k é um número real e N um um número natural, então:
1. f kx
2. f x N
n 0
n
anknxn,
nN
a
x
,
n
0
para |kx|
R;
para |x N |
R;
3. f x g x
a
n 0 n
domínios de convergência;
b n x n , na intersecção dos
4. f x g x
a
n 0 n
domínios de convergência.
b n x n , na intersecção dos
Observação 1: Saliente-se que as operações acima podem
mudar o intervalo de convergência e que nos extremos a
convergência terá que ser estudada directamente.
Observação 2: Resultados análogos aos anteriores são válidos
para séries de potências de x a.
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Séries Pot. - 5
Derivação e integração de séries de potências
Um intervalo da forma a
vizinhança de a.
,a
, com
0, diz-se uma
Definição: Uma função f diz-se analítica num ponto a, do
seu domínio, se f é a soma de uma série de potências de a,
nalguma vizinhança de a.
Isto é, se existe uma sucessão a n tal que, para algum
fx
an x
a n,
x
a
,a
0,
.
n 0
Exemplo: A função f x
1
1 x
é analítica em 0.
Proposição: Considere-se a série de potências
n
a x
0 n
a n,
com raio de convergência R, e a série que se obtém derivando-a
termo a termo:
n an x
a
n 1
a1
2a 2 x
a
n an x
a
n 1
n 1
Então:
1. as duas séries têm o mesmo raio de convergência R;
2. se R
0, a função
fx
an x
a
R
e
n an x
a
n
n 0
é derivável no intervalo a
R, a
f x
n 1
.
n 1
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Séries Pot. - 6
Nota: Os domínios de convergência das duas séries podem ser
diferentes, em virtude dos seus comportamentos nos extremos.
Corolário: Uma função definida por uma série de potências de
x a, com raio R 0, é indefinidamente derivável em
a R, a R e as suas derivadas calculam-se derivando
sucessivamente as séries termo a termo.
Exemplo: Mostre que a função
1
1 x
2
é analítica em 0
(desenvolva-a em série de potências de x).
Corolário: Seja
a x
n 0 n
raio de convergência R 0.
a
Então, a função definida em a
n
uma série de potências, com
R, a
an x
fx
R por
a
n
n 0
é primitivável neste intervalo e
Pf x
P an x
n 0
a
n
an
n 0
x
a
n
n 1
1
C,
com C uma constante real.
Ou seja, uma função definida por uma série de potências de
x a, com raio R 0, é primitivável em a R, a R e as
suas primitivas obtêm-se primitivando a série termo a termo.
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Séries Pot. - 7
Exemplo: No intervalo
ln x
1, 1 ,
1
1
n
n 0
Para x
xn 1 .
n 1
1, obtém-se a série
1
n 0
n
n
1
1
(a série harmónica alternada) que é simplesmente convergente.
Daqui pode-se justificar que a soma da série harmónica alternada
é ln 2 .
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Séries Pot. - 8
Série de Taylor e série de Mac-Laurin
Definição: Seja f uma função indefinidamente diferenciável
a
.
Chama-se série de Taylor de f no ponto a à série de
potências
f
n 0
n
a
n!
x
a
n
isto é a
fa
f a x
f
a
a
2!
x
a
f
2
n
a
n!
x
a
n
Chama série de Mac-Laurin de f à série de Taylor de f em
a 0, isto é, a
f
n 0
n
0 n
x
n!
ou seja
f0
f 0 x
f
f
0 2
x
2!
n
0 n
x
n!
Exemplos Importantes:
1. A série de Mac-Laurin de e x é
n 0
xn
n!
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1
x
x2
2!
x3
3!
xn
n!
Séries Pot. - 9
2. A série de Mac-Laurin de sen x é
3
x5
x x
1
3!
5!
isto é
1
n 0
2n
x 2n 1
2n 1 !
n
n
1 !
x 2n
3. A série de Mac-Laurin de cos x é
2
x4
1 x
1
2!
4!
isto é
n
1
x 2n
2n !
1 n 2n
x
2n !
n 0
Observação: O facto de podermos escrever a série de Taylor de
uma função num ponto não garante que a função seja soma
dessa série, mesmo no intervalo de convergência da série.
Por exemplo, a função
fx
e
1
x2
0
é indefinidamente diferenciável em
Pode-se provar que, em x
ordem, existem e são 0.
se x
0
se x
0
.
\ 0 .
0, as suas derivadas, de qualquer
A função f apenas se anula em 0, pelo que não é igual à soma
da sua série de Mac-Laurin num intervalo centrado em 0.
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Séries Pot. - 10
Definição: Diz-se que uma função f é desenvolvível em série
de Taylor num ponto a se f é soma da sua série de Taylor
nalgum intervalo centrado em a.
Proposição: Seja f uma função indefinidamente diferenciável
num intervalo aberto I, centrado em a, e R n x o resto de
ordem n do seu polinómio de Taylor em a.
Então, f é soma da sua série de Taylor em a, no intervalo I,
sse
lim R n x
x
0,
n
I.
Proposição: (C. Suf. de Desenvolvimento em Série de Taylor)
Seja f uma função indefinidamente diferenciável no intervalo
a R, a R , para a qual existe uma constante M tal que
n
x a R,a R
0
: |f
n
x |
M.
Então, neste intervalo, f é soma da série de Taylor no ponto a,
isto é,
f
fx
n 0
n
a
n!
x
a n,
x
a
R, a
R.
Nota: Para aplicar esta proposição temos que majorar f e todas
as suas derivadas, em a
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R, a
R , pela mesma constante.
Séries Pot. - 11
Exemplos Importantes: Para qualquer x
sen x
cos x
ex
n 0
1 n
2n 1 !
n 0
1 n
2n !
1
n 0 n!
xn
x 2n
x 2n
1
x3
3!
x
1
x2
2!
1
x2
2!
x
,
x5
5!
1
x4
4!
x3
3!
1
n
x 2n 1
2n 1 !
n x 2n
2n !
xn
n!
Em particular,
1 .
n!
e
n 0
Teorema (unicidade do desenvolv. em série de potências):
Se f x
n
a x
0 n
a n , nalgum intervalo aberto centrado
em a, então essa série coincide com a série de Taylor de f em
a.
Isto é, para qualquer n
0,
an
f
n
a
.
n!
Observação 1: Este Teorema garante que, caso uma função seja
soma de uma série de potências (num intevalo aberto), então essa
série coincide com a sua série de Taylor.
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Séries Pot. - 12
Para cada uma das funções do exemplo anterior, determinou-se a
série de Taylor da função e provou-se, pela condição suficiente
de desenvolvimento em série de Taylor, que a função é igual à
soma da série; este processo é, em geral, trabalhoso.
Tem-se agora uma alternativa que, frequentemente, permite
obter, de um modo muito mais simples, o desenvolvimento de
uma função em série de Taylor num ponto a:
mostra-se que a função é soma uma certa série de
pontências de x a (num intervalo aberto centrado em a),
a partir de desenvolvimentos conhecidos e/ou dos resultados
sobre derivação e integração de séries;
aplica-se o teorema da unicidade do desenvolvimento em
série de potências para garantir que essa série é a série de
Taylor da função no ponto a.
Exemplos:
1. O desenvolvimento em série de Mac-Laurin de
xn
1
x
xn
x2
,
x
1
1 x
é
1, 1 .
n 0
2. O desenvolvimento em série de Mac-Laurin de ln x
1
n 0
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n
xn 1 ,
n 1
x
1 é
1, 1 .
Séries Pot. - 13
Aplicação das séries de potências à primitivação
Muitas funções, embora sejam primitiváveis, não podem ser
primitivadas recorrendo às técnicas já dadas: primitivas
imediatas, primitivação por partes e primitivação por
substituição.
Diz-se que f é uma função elementar se pode ser obtida por um
número finito de operações de adição, multiplicação, divisão e
composição, a partir de funções polinomiais, exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas, directas ou inversas.
A função
e
x2
é uma função elementar.
Pode-se provar que a sua primitiva não é elementar, pelo que não
pode ser obtida, pelos métodos referidos, a partir de funções
elementares.
Da primitivação de séries de potências e do desenvolvimento
ex
n 0
xn ,
n!
em
conclui-se que
Pe
x2
n 0
1 n x 2n 1
n! 2n 1
C,
com C constante real.
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Séries Pot. - 14
Desenvolvimentos Fundamentais
Recordem-se alguns desenvolvimentos indispensáveis:
1
1 x
ex
sen x
cos x
n 1
xn
1
xn
n 0 n!
1
1
x
n
n 0
1
n 0
1
n x 2n
2n !
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x
x2
x2
2!
x3
x3
3!
x 2n 1
2n 1 !
x2
2!
x
1;
, em ;
x3
3!
x
1
, para 1
x5
5!
x4
4!
x7
7!
x6
6!
, em ;
, em .
Séries Pot. - 15