número 2 -ou um

Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens
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C ONGRUÊNCIAS
5. C ONGRUÊNCIAS
Dizemos que a ≡ b (mod m) (lê-se “a é congruente com b módulo m”) se m dividir a − b.
Propriedades.
1. A congruência módulo m é uma relação de equivalência;
2. Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), então a + c ≡ b + d (mod m);
3. Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), então ac ≡ bd (mod m);
4. Se a ≡ b (mod m) e d|m, então a ≡ b (mod d);
5. Se a ≡ b (mod m) e c > 0, então ac ≡ bc (mod mc);
Nota. Em geral, a “lei do corte” não é válida!. Por exemplo, tem-se 2 × 1 ≡ 2 × 3 (mod 4), mas
1 6≡ 3 (mod 4);
µ
¶
m
6. Se ac ≡ bc (mod m), então a ≡ b mod
;
(m, c)
Teorema. (Pequeno Teorema de Fermat) Seja p um número primo.
1. Se p - a, então ap−1 ≡ 1 (mod p).
2. ap ≡ a (mod p).
Prova.
1. Consideremos os números a, 2a, . . ., (p − 1)a. Nenhum destes números é múltiplo de p e não há
dois que sejam congruentes módulo p. Logo os restos da divisão por p destes números são (não
necessariamente por esta ordem) 1, 2, . . ., p − 1. Então
a × 2a × . . . × (p − 1)a ≡ 1 × 2 × (p − 1) (mod p),
e portanto
ap−1 (1 × 2 × . . . × (p − 1)) ≡ 1 × 2 × (p − 1) (mod p).
Como mdc(p, 1 × 2 × . . . × (p − 1)) = 1, a propriedade vi. mostra-nos que ap−1 ≡ 1 (mod p).
2. Se p - a, esta é uma consequência imediata da alínea anterior; se p|a, então ap ≡ a ≡ 0; (mod p).
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C ONGRUÊNCIAS
6. C RITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Um critério de divisibilidade é um método expedito de descobrir se um dado número é múltiplo de
outro. Por exemplo, não é necessário efectuar a divisão de 253453485374858 e 349857934750345601
por 2 para saber que o primeiro é múltiplo de 2 e o segundo não é.
Critérios de divisibilidade por
2
Um número é par se e só se o seu algarismo das unidades for par.
Prova. Se o algarismo das unidades de n é a, então n pode escrever-se na forma n = 10b + a.
Como 10 ≡ 0 (mod 2), então
n é par ⇔ n ≡ 0 (mod 2) ⇔ 10b + a ≡ 0 (mod 2) ⇔ a ≡ 0 (mod 2) ⇔ a é par.
5
Um número é múltiplo de 5 se e só se o seu algarismo das unidades for múltiplo de 5.
Prova. Seja n = 10b + a. Como 10 ≡ 0 (mod 5), então
n ≡ 0 (mod 5) ⇔ 10b + a ≡ 0 (mod 5) ⇔ a ≡ 0 (mod 5).
4
Um número é múltiplo de 4 se e só se a soma do seu algarismo das unidades com o dobro do seu
algarismo das dezenas for múltipla de 4.
Prova. Seja n = 100c + 10b + a. Como 100 ≡ 0 (mod 4) e 10 ≡ 2 (mod 4), então
n ≡ 0 (mod 4) ⇔ 100c + 10b + a ≡ 0 (mod 4) ⇔ 2b + a ≡ 0 (mod 4).
3
Um número é múltiplo de 3 se e só se a soma do seus algarismos for múltipla de 3.
Prova. Seja n = a0 + 10a1 + 100a2 + · · · + 10k ak . Como 10i ≡ 1i ≡ 1 (mod 3), então
n ≡ 0 (mod 3) ⇔ a0 +10a1 +100a2 +· · ·+10k ak ≡ 0 (mod 3) ⇔ a0 +a1 +a2 +· · ·+ak ≡ 0 (mod 3).
9
Um número é múltiplo de 9 se e só se a soma do seus algarismos for múltipla de 9.
Prova. Seja n = a0 + 10a1 + 100a2 + · · · + 10k ak . Como 10i ≡ 1i ≡ 1 (mod 9), então
n ≡ 0 (mod 9) ⇔ a0 +10a1 +100a2 +· · ·+10k ak ≡ 0 (mod 9) ⇔ a0 +a1 +a2 +· · ·+ak ≡ 0 (mod 9).
Poder-se-ia encontrar um critério de divisibilidade por 6, mas para ver se um número é múltiplo de 6,
basta ver se ele é simultaneamente múltiplo de 2 e de 3.
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7. E QUAÇÕES
Nesta secção vamos ver como resolver equações lineares envolvendo congruências.
Teorema.
1. Se (a, m) = 1, então a equação ax ≡ b (mod m) tem uma única solução módulo m.
2. Se (a, m) = d, então a equação ax ≡ b (mod m) tem d soluções módulo m se d|b e nenhuma
em caso contrário.
Teorema. (Teorema Chinês dos Resíduos) Sejam m1 , . . . mk números primos dois a dois. Então o
sistema


x ≡ a1 (mod m1 )



 x ≡ a2 (mod m2 )
..

.



 x ≡ a (mod m )
k
k
tem uma única solução módulo M = m1 × m2 × · · · × mk .
Prova. Apenas vamos mostrar a existência de uma solução do sistema, exibindo-a.
Sejam n1 = M/m1 , . . ., nk = M/Mk .
A equação ni x ≡ 1 (mod mi ) tem uma única solução módulo mi , para cada i. Designemos esta
solução por si .
Seja x = n1 s1 a1 + n2 s2 a2 + · · · + nk sk ak . Como n1 s1 a1 ≡ a1 (mod m1 ) e n2 s2 a2 ≡ · · · ≡ nk sk ak ≡
0 (mod mi ), então x ≡ a1 (mod m1 ). Do mesmo modo se mostra que x é solução das restantes
equações do sistema.
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