AVC TConforme p Fisica

CEFET – Ba Centro Federal de Educação Tecnológica da Bahia
Análise de Variáveis Complexas
Parte II
Semestre – 2004.2
Engenharia Elétrica
A doçura do falar aumenta o saber!
Fontes e poços
São pontos singulares de f(z).
Linhas de fontes e linhas de poços – são linhas no fluido nos quais o fluido aparece e
desaparece, respectivamente.
Alguns Escoamentos Especiais
1- Escoamento Uniforme
O potencial complexo corresponde ao fluxo de um fluido com velocidade constante V0,
numa direção fazendo um ângulo  com a direção positiva do eixo dos x.
( z )  V0e i z
2- Fonte em z = a. ( z )  k ln( z  a) onde k > 0 é dito o comprimento da fonte. As
linhas de fluxo e as linhas equipotenciais são retas e círculos, respectivamente.
3- Poço em z = a.O fluido desaparece em z = a ( z )  k ln( z  a)
4- Escoamento com circulação. O fluxo corresponde ao potencial complexo
( z )  ik ln( z  a)
5- Superposição de escoamento. Fluxo devido à fonte em z = - a e ao poço de igual
comprimento em z = a
za
( z )  k ln( z  a )  k ln( z  a )  k ln 

za
Fazendo a 0 e k   de tal modo que 2ka =  seja finito, obtemos o potencial

( z )  . Este é o potencial complexo devido a um dipolo. A quantidade  é chamada
z
o momento do dipolo.
Escoamento em torno de obstáculos
Fluxo de um fluido, que, movendo-se inicialmente com velocidade constante V0, é
perturbado por introduzir-se um certo obstáculo.
( z )  V0 z  G( z )
Onde G(z) seja tal que lim G' ( z )  0 (Longe do obstáculo, a velocidade tem módulo
z 
constante (neste caso, V0).
O potencial complexo deve ser escolhido de tal modo que tenha uma das linhas de fluxo
seja a fronteira do obstáculo.
O potencial complexo correspondente ao fluxo uniforme no plano w é dado por V0w.
a2
Usando transformação conforme w  z  , o semiplano superior do plano w é levado
z
na região do semi plano superior do plano z, exterior ao círculo C, e o potencial

a2 

complexo para o fluxo é dado por ( z )  V0  z   .
z 

Teorema de Bernoulli
Se P é a pressão em um fluido e V é a velocidade do fluido, então, o teorema de
Bernoulli estabelece que P  12 V 2  k onde  é a densidade do fluido e k é uma
constante ao longo de qualquer linha de fluxo.
Teorema de Blasius
1- Sejam x e y forças internas, nas direções positivas dos eixos dos x e y, devidas a
pressão do fluido sobre a superfície de um obstáculo limitado por uma curva
simples fechada C. Então, se  é o potencial complexo para o fluxo,
1
 d 
i  
 dz .
2 C  dz 
2- Se M é o momento, com relação à origem, das forças de pressão sobre o obstáculo,
então,
2

 1

 d  
M  Re    z
 dz  .

 2 C  dz  

2
x  yi 
Aplicações a Eletrostática
Lei de Coulomb
Seja r a distância entre duas cargas elétricas pontuais q1 e q2. Então, o módulo da força
qq
entre elas é dada pela lei de Coulomb F  1 22 e é de atração ou repulsão dependendo das
kr
cargas serem ou não de mesmos sinais. A constante k é a constante dielétrica.
Intensidade de Campo elétrico. Potencial Eletrostático
Intensidade do campo elétrico
   grad   onde  é o potencial.
Se a distribuição de cardas é bidimensional, então   Ex  iE y  
Ex  


i
onde
x
y


e Ey  
Em tal caso, se Et é a componente tangencial da intensidade do
x
y
campo elétrico em qualquer curva simples fechada C do plano z, então,
 Et ds   Ex dx  Ey dy  0
C
C
Teorema De Gauss
Se C é qualquer curva simples do plano z, limitando uma região com carga q (é um cilindro
infinito com carga q), e Em é a componente normal da intensidade do campo elétrico,
então, o teorema de Gauss estabelece que  En ds  4q .
C
Se C não envolve nenhuma carga, reduz-se a
 E ds  0 . Segue-se daí que, em qualquer
n
Ex E y  2  2
região não carregada

 2  2  0 .  é uma função harmônica em todos
x
y
x
y
os pontos não carregados.
O Potencial Eletrostático Complexo
Existe uma função harmônica  conjugada de  tal que ( z )  ( x, y )  i ( x, y ) é
analítica numa região descarregada. Chamamos (z) o potencial eletrostático complexo.




d
 
i

i

 ' ( z ) e o módulo de  é dado por
x
y
x
y
dz
E    ' ( z) .
As curvas ( x, y )   ,  ( x, y )   são linhas equipotenciais e linhas de fluxo,
respectivamente.
O campo elétrico nos problemas eletrostático corresponde ao campo de velocidade nos
problemas de escoamento de fluidos.
O potencial (eletrostático) complexo devido a uma linha de carga q por unidade de
comprimento em z0 (no vácuo) é dado por ( z )  2q ln( z  z0 ) e representa uma fonte ou
um poço, se q < 0 ou q > 0.
Aplicações ao escoamento de calor
Consideremos um sólido com uma distribuição de temperatura não necessariamente
uniforme. A quantidade de calor conduzido, por unidade de tempo, através de uma
superfície localizada no sólido, a que chamaremos o fluxo de calor através da superfície, é
dada por L = - k grad 
Onde  é a temperatura e k, considerado constante, a condutividade térmica que depende
do material sólido.
A Temperatura Complexa
   


  Qx  iQy , onde Qx  k
, Qy   k
L = - k k 
i
x
y
y 
 x
Seja C qualquer curva simples fechada no plano z (representando a seção reta de um
cilindro). Se Qt e Qn são componentes tangencial e normal do fluxo de calor e se as
condições de estado estacionário prevalecem de tal modo que não existe nenhuma
acumulação de calor na região limitada por C, então, temos  Qn ds   Qx dx  Qy dy  0 ,
C
C
 Q ds   Q dx  Q dy  0 considerando que não exista nenhuma fonte ou poço nessa
t
C
região.
x
y
C
( z )  ( x, y )  i ( x, y ) é analítica. As curvas ( x, y )   ,  ( x, y )   são
chamadas linhas isotermas e linhas de fluxo, respectivamente, e (z ) a temperatura
complexa.